Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v segmente. Najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v segmente

Štandardný algoritmus na riešenie takýchto úloh zahŕňa po nájdení núl funkcie určenie znamienok derivácie na intervaloch. Potom výpočet hodnôt v nájdených bodoch maxima (alebo minima) a na hranici intervalu, v závislosti od toho, aká otázka je v stave.

Radím vám robiť veci trochu inak. prečo? Napísali o tom.

Navrhujem riešiť takéto úlohy nasledovne:

1. Nájdite deriváciu.
2. Nájdite nuly derivácie.
3. Určte, ktoré z nich patria do daného intervalu.
4. Vypočítame hodnoty funkcie na hraniciach intervalu a bodov bodu 3.
5. Vyvodíme záver (odpovedáme na položenú otázku).

V priebehu riešenia uvedených príkladov sa podrobne neuvažuje o riešení kvadratických rovníc, mali by ste to zvládnuť. Mali by tiež vedieť.

Zvážte príklady:

77422. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y=x 3 –3x+4 na segmente [–2;0].

Nájdite nuly derivácie:

Bod x = –1 patrí do intervalu špecifikovaného v podmienke.

Hodnoty funkcie vypočítame v bodoch –2, –1 a 0:

Najväčšia hodnota funkcie je 6.

odpoveď: 6

77425. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 na segmente.

Nájdite deriváciu danej funkcie:

Nájdite nuly derivácie:

Bod x = 2 patrí do intervalu uvedeného v podmienke.

Vypočítame funkčné hodnoty v bodoch 1, 2 a 4:

Najmenšia hodnota funkcie je -2.

odpoveď: -2

77426. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 - 6x 2 na segmente [-3; 3].

Nájdite deriváciu danej funkcie:

Nájdite nuly derivácie:

Bod x = 0 patrí do intervalu uvedeného v podmienke.

Hodnoty funkcie vypočítame v bodoch –3, 0 a 3:

Najmenšia hodnota funkcie je 0.

odpoveď: 0

77429. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 - 2x 2 + x + 3 na segmente.

Nájdite deriváciu danej funkcie:

3x 2 - 4x + 1 = 0

Dostaneme korene: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.

Iba x = 1 patrí do intervalu uvedeného v podmienke.

Nájdite hodnoty funkcií v bodoch 1 a 4:

Zistili sme, že najmenšia hodnota funkcie je 3.

odpoveď: 3

77430. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3 na segmente [- 4; -1].

Nájdite deriváciu danej funkcie:

Nájdite nuly derivácie, vyriešte kvadratická rovnica:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Poďme ku koreňom:

Koreň х = –1 patrí do intervalu špecifikovaného v podmienke.

Nájdite hodnoty funkcií v bodoch –4, –1, –1/3 a 1:

Zistili sme, že najväčšia hodnota funkcie je 3.

odpoveď: 3

77433. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 na segmente.

Nájdite deriváciu danej funkcie:

Nájdite nuly derivácie, vyriešte kvadratickú rovnicu:

3x 2 - 2x - 40 = 0

Poďme ku koreňom:

Koreň x = 4 patrí do intervalu špecifikovaného v podmienke.

Hodnoty funkcie nájdeme v bodoch 0 a 4:

Zistili sme, že najmenšia hodnota funkcie je -109.

Odpoveď: -109

Zvážte metódu na určenie najväčších a najmenších hodnôt funkcií bez derivácie. Tento prístup možno použiť, ak máte definíciu derivátu veľké problémy. Princíp je jednoduchý - do funkcie dosadíme všetky celočíselné hodnoty z intervalu (faktom je, že vo všetkých takýchto prototypoch je odpoveď celé číslo).

77437. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y \u003d 7 + 12x - x 3 na segmente [-2; 2].

Nahrádzame body od -2 do 2: Zobraziť riešenie

77434. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 na segmente [-2; 0].

To je všetko. Veľa šťastia!

S pozdravom Alexander Krutitskikh.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste o stránke povedali na sociálnych sieťach.

V tomto článku budem hovoriť o algoritmus na nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie, minimálny a maximálny počet bodov.

Z teórie budeme určite potrebovať derivačná tabuľka A pravidlá diferenciácie. Všetko je na tejto doske:

Algoritmus na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt.

Ľahšie sa mi to vysvetľuje na konkrétnom príklade. Zvážte:

Príklad: Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y=x^5+20x^3–65x na segmente [–4;0].

Krok 1. Berieme derivát.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Krok 2 Hľadanie extrémnych bodov.

extrémny bod pomenúvame také body, v ktorých funkcia dosiahne svoju maximálnu alebo minimálnu hodnotu.

Na nájdenie extrémnych bodov je potrebné prirovnať deriváciu funkcie k nule (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Teraz riešime túto bikvadratickú rovnicu a nájdené korene sú našimi extrémnymi bodmi.

Takéto rovnice riešim nahradením t = x^2, potom 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Znížte rovnicu o 5, dostaneme: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Urobíme opačnú substitúciu x^2 = t:

X_(1 a 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 a 4) = ±sqrt(-13) (vylúčime, pod koreň nemôže byť záporné čísla(pokiaľ, samozrejme, nehovoríme o komplexných číslach)

Celkom: x_(1) = 1 a x_(2) = -1 - to sú naše extrémne body.

Krok 3 Určte najväčšiu a najmenšiu hodnotu.

Substitučná metóda.

V podmienke sme dostali segment [b][–4;0]. Bod x=1 nie je zahrnutý v tomto segmente. Takže to nezvažujeme. Ale okrem bodu x=-1 musíme zvážiť aj ľavú a pravú hranicu nášho segmentu, teda body -4 a 0. Aby sme to dosiahli, dosadíme všetky tieto tri body do pôvodnej funkcie. Všimnite si, že pôvodný je ten, ktorý je uvedený v podmienke (y=x^5+20x^3–65x), niektorí začnú dosadzovať do derivácie...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

To znamená, že maximálna hodnota funkcie je [b]44 a dosahuje sa v bodoch [b]-1, čo sa nazýva maximálny bod funkcie na segmente [-4; 0].

Rozhodli sme sa a dostali odpoveď, sme skvelí, môžete si oddýchnuť. Ale prestaň! Nezdá sa vám, že počítanie y(-4) je nejako príliš komplikované? V podmienkach obmedzeného času je lepšie použiť inú metódu, nazývam to takto:

Cez intervaly stálosti.

Tieto medzery sa nachádzajú pre deriváciu funkcie, teda pre našu bikvadratickú rovnicu.

Robím to nasledovným spôsobom. Nakreslím smerovú čiaru. Nastavil som body: -4, -1, 0, 1. Napriek tomu, že 1 v danom segmente nie je zahrnutá, treba si to ešte všimnúť, aby sa správne určili intervaly stálosti. Zoberme si nejaké číslo mnohonásobne väčšie ako 1, povedzme 100, mentálne ho dosaďte do našej bikvadratickej rovnice 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Aj bez toho, aby sme čokoľvek spočítali, je zrejmé, že v bode 100 funkcia má znamienko plus. To znamená, že pre intervaly od 1 do 100 má znamienko plus. Pri prechode cez 1 (ideme sprava doľava) funkcia zmení znamienko na mínus. Pri prechode cez bod 0 si funkcia zachová svoje znamienko, pretože toto je len hranica segmentu a nie koreň rovnice. Pri prechode cez -1 funkcia opäť zmení znamienko na plus.

Z teórie vieme, že kde je derivácia funkcie (a nakreslili sme to pre ňu) zmení znamienko z plus na mínus (v našom prípade bod -1) funkcia dosiahne jeho lokálne maximum (y(-1)=44, ako bolo vypočítané skôr) na tomto segmente (to je logicky veľmi jasné, funkcia prestala rásť, keďže dosiahla maximum a začala klesať).

V súlade s tým, kde derivácia funkcie zmení znamienko z mínus na plus, dosiahnuté lokálne minimum funkcie. Áno, áno, našli sme aj bod lokálneho minima, ktorý je 1 a y(1) je minimálna hodnota funkcie na intervale, povedzme od -1 do +∞. Upozorňujeme, že toto je len MIESTNE MINIMUM, teda minimum na určitom segmente. Keďže skutočná (globálna) funkcia minima dosiahne niekde tam, v -∞.

Podľa môjho názoru je prvá metóda jednoduchšia teoreticky a druhá je jednoduchšia z hľadiska aritmetických operácií, ale oveľa náročnejšia z hľadiska teórie. Koniec koncov, niekedy existujú prípady, keď funkcia nezmení znamienko pri prechode cez koreň rovnice a skutočne sa môžete zmiasť s týmito lokálnymi, globálnymi maximami a minimami, aj keď to budete musieť dobre zvládnuť, ak plánujete vstúpiť na technickú univerzitu (a za čo ešte dať profilová skúška a vyriešiť tento problém). Ale prax a len prax vás naučí, ako takéto problémy raz a navždy vyriešiť. A cvičiť môžete na našej stránke. Tu .

Ak máte nejaké otázky, alebo vám niečo nie je jasné, určite sa pýtajte. Rád vám odpoviem, urobím zmeny, doplnenia článku. Pamätajte, že túto stránku tvoríme spoločne!

Pozrime sa, ako preskúmať funkciu pomocou grafu. Ukazuje sa, že pri pohľade na graf môžete zistiť všetko, čo nás zaujíma, a to:

• rozsah funkcie
• funkčný rozsah
• funkčné nuly
• obdobia nárastu a poklesu
• vysoké a nízke body
• najväčšia a najmenšia hodnota funkcie na intervale.

Ujasnime si terminológiu:

Abscisa je horizontálna súradnica bodu.
Ordinovať- vertikálna súradnica.
úsečka - horizontálna os, najčastejšie označovaný ako os.
Os Y- vertikálna os, alebo os.

Argumentovať je nezávislá premenná, od ktorej závisia hodnoty funkcie. Najčastejšie indikované.
Inými slovami, sami si vyberieme , dosadíme vo funkčnom vzorci a dostaneme .

doména funkcie - množina tých (a iba tých) hodnôt argumentu, pre ktoré funkcia existuje.
Označené: alebo .

Na našom obrázku je doménou funkcie segment. Práve na tomto segmente je nakreslený graf funkcie. Len tu danú funkciu existuje.

Funkčný rozsah je množina hodnôt, ktoré premenná nadobúda. Na našom obrázku ide o segment – ​​od najnižšej po najvyššiu hodnotu.

Funkčné nuly- body, kde sa hodnota funkcie rovná nule, t.j. Na našom obrázku sú to body a .

Funkčné hodnoty sú kladné kde . Na našom obrázku sú to intervaly a .
Funkčné hodnoty sú záporné kde . Tento interval (alebo interval) máme od do.

Najdôležitejšie pojmy - zvyšovanie a znižovanie funkcie na nejakej zostave. Ako množinu môžete vziať segment, interval, spojenie intervalov alebo celú číselnú os.

Funkcia zvyšuje

Inými slovami, čím viac, tým viac, to znamená, že graf ide doprava a nahor.

Funkcia klesá na množine ak pre nejaké a patriace do množiny nerovnosť implikuje nerovnosť .

Pre klesajúcu funkciu väčšia hodnota zodpovedá menšej hodnote. Graf ide doprava a dole.

Na našom obrázku funkcia rastie na intervale a klesá na intervaloch a .

Definujme, čo je maximálne a minimálne body funkcie.

Maximálny bod- toto je vnútorný bod definičného oboru, takže hodnota funkcie v ňom je väčšia ako vo všetkých bodoch dostatočne blízko k nemu.
Inými slovami, maximálny bod je taký bod, hodnota funkcie, pri ktorej viac než v susedných. Toto je miestny "kopec" na grafe.

Na našom obrázku - maximálny bod.

Nízky bod- vnútorný bod definičného oboru, takže hodnota funkcie v ňom je menšia ako vo všetkých bodoch dostatočne blízko k nemu.
To znamená, že minimálny bod je taký, že hodnota funkcie v ňom je menšia ako v susedných. Na grafe ide o miestnu „dieru“.

Na našom obrázku - minimálny bod.

Pointa je hranica. Nie je to vnútorný bod domény definície, a preto nezodpovedá definícii maximálneho bodu. Veď ona nemá susedov vľavo. Rovnako tak na našom grafe nemôže byť žiadny minimálny bod.

Maximálny a minimálny počet bodov sa nazývajú spoločne extrémne body funkcie. V našom prípade je to a .

Čo ak však potrebujete nájsť napr. funkčné minimum na reze? IN tento prípad odpoveď: . Pretože funkčné minimum je jeho hodnota v minimálnom bode.

Podobne maximum našej funkcie je . Dosahuje sa v bode .

Môžeme povedať, že extrémy funkcie sa rovnajú a .

Niekedy v úlohách musíte nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v danom segmente. Nemusia sa nevyhnutne zhodovať s extrémami.

V našom prípade najmenšia funkčná hodnota na intervale sa rovná minimu funkcie a zhoduje sa s ním. Ale jeho najväčšia hodnota v tomto segmente sa rovná . Dosahuje sa na ľavom konci segmentu.

V každom prípade najväčšie a najmenšie hodnoty nepretržitá funkcia na segmente sú dosiahnuté buď v extrémnych bodoch alebo na koncoch segmentu.

Proces hľadania najmenších a najväčších hodnôt funkcie na segmente pripomína fascinujúci let okolo objektu (graf funkcie) na helikoptére s streľbou z diaľkového kanóna v určitých bodoch a výberom z tieto body sú veľmi špeciálne body pre kontrolné strely. Body sa vyberajú určitým spôsobom a podľa určitých pravidiel. Podľa akých pravidiel? Budeme o tom hovoriť ďalej.

Ak je funkcia r = f(X) súvislé na segmente [ a, b], potom dosiahne tento segment najmenej A najvyššie hodnoty . To sa môže stať buď v extrémne body alebo na koncoch segmentu. Preto nájsť najmenej A najväčšie hodnoty funkcie , súvislé na intervale [ a, b], musíte vypočítať všetky jeho hodnoty kritických bodov a na koncoch segmentu a potom vyberte najmenší a najväčší z nich.

Nech je napríklad potrebné určiť maximálnu hodnotu funkcie f(X) na segmente [ a, b]. Ak to chcete urobiť, nájdite všetky jeho kritické body ležiace na [ a, b] .

kritický bod sa nazýva bod, v ktorom funkcia definovaná, a jej derivát je buď nula, alebo neexistuje. Potom by ste mali vypočítať hodnoty funkcie v kritických bodoch. A nakoniec je potrebné porovnať hodnoty funkcie v kritických bodoch a na koncoch segmentu ( f(a) A f(b)). Najväčšie z týchto čísel bude najväčšia hodnota funkcie na intervale [a, b] .

Problém nájsť najmenšie hodnoty funkcie .

Spoločne hľadáme najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie

Príklad 1. Nájdite najmenší a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente [-1, 2] .

Riešenie. Nájdeme deriváciu tejto funkcie. Prirovnajte deriváciu k nule () a získajte dva kritické body: a . Na nájdenie najmenšej a najväčšej hodnoty funkcie na danom segmente stačí vypočítať jej hodnoty na koncoch segmentu a v bode , keďže bod nepatrí do segmentu [-1, 2]. Tieto funkčné hodnoty sú nasledovné: , , . Z toho vyplýva najmenšia funkčná hodnota(označené červenou farbou na grafe nižšie), rovné -7, sa dosiahne na pravom konci segmentu - v bode , a najväčší(na grafe aj červená), sa rovná 9, - v kritickom bode .

Ak je funkcia spojitá v určitom intervale a tento interval nie je segmentom (ale je napr. intervalom; rozdiel medzi intervalom a segmentom: hraničné body intervalu nie sú zahrnuté v intervale, ale hraničné body segmentu sú zahrnuté v segmente), potom medzi hodnotami funkcie nemusia byť najmenšie a najväčšie. Takže napríklad funkcia zobrazená na obrázku nižšie je spojitá na ]-∞, +∞[ a nemá najväčšiu hodnotu.

Avšak pre akýkoľvek interval (uzavretý, otvorený alebo nekonečný) platí nasledujúca vlastnosť spojitých funkcií.

Príklad 4. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente [-1, 3] .

Riešenie. Deriváciu tejto funkcie nájdeme ako deriváciu kvocientu:

.

Deriváciu prirovnáme k nule, čo nám dáva jeden kritický bod: . Patrí do intervalu [-1, 3] . Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

Porovnajme tieto hodnoty. Záver: rovný -5/13, v bode a najväčšiu hodnotu rovná 1 v bode .

Pokračujeme v spoločnom hľadaní najmenších a najväčších hodnôt funkcie

Sú učitelia, ktorí na tému hľadania najmenších a najväčších hodnôt funkcie nedávajú žiakom zložitejšie príklady ako tie, ktoré sú práve uvažované, teda také, v ktorých je funkciou polynóm alebo zlomok, čitateľ. a menovateľom ktorých sú polynómy. Neobmedzíme sa však na takéto príklady, pretože medzi učiteľmi sú milovníci toho, aby študenti premýšľali v plnom rozsahu (tabuľka derivátov). Preto sa použije logaritmus a goniometrické funkcie.

Príklad 6. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente .

Riešenie. Deriváciu tejto funkcie nájdeme ako derivát produktu :

Deriváciu prirovnáme k nule, čo dáva jeden kritický bod: . Patrí do segmentu. Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

Výsledok všetkých akcií: funkcia dosiahne svoju minimálnu hodnotu, rovný 0, v bode a v bode a najväčšiu hodnotu rovná e² , v bode .

Príklad 7. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente .

Riešenie. Nájdeme deriváciu tejto funkcie:

Prirovnajte deriváciu k nule:

Jediný kritický bod patrí segmentu. Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

Záver: funkcia dosiahne svoju minimálnu hodnotu, rovný , v bode a najväčšiu hodnotu, rovná sa , v bode .

V aplikovaných extrémnych problémoch sa hľadanie najmenších (najväčších) funkčných hodnôt spravidla redukuje na nájdenie minima (maxima). Väčší praktický záujem však nie sú samotné minimá alebo maximá, ale hodnoty argumentu, pri ktorých sa dosahujú. Pri riešení aplikovaných problémov vzniká ďalší problém - zostavovanie funkcií, ktoré popisujú uvažovaný jav alebo proces.

Príklad 8 Nádrž s objemom 4, ktorá má tvar kvádra so štvorcovým dnom a je otvorená hore, musí byť pocínovaná. Aké by mali byť rozmery nádrže, aby bola pokrytá čo najmenším množstvom materiálu?

Riešenie. Nechaj X- základná strana h- výška nádrže, S- jeho povrch bez krytu, V- jeho objem. Plocha nádrže je vyjadrená vzorcom, t.j. je funkciou dvoch premenných. Vyjadriť S ako funkciu jednej premennej používame skutočnosť, že , odkiaľ . Nahradenie nájdeného výrazu h do vzorca pre S:

Preskúmajme túto funkciu pre extrém. Je definovaný a diferencovateľný všade v ]0, +∞[ , a

.

Deriváciu prirovnáme k nule () a nájdeme kritický bod. Okrem toho v , derivát neexistuje, ale táto hodnota nie je zahrnutá v doméne definície, a preto nemôže byť extrémnym bodom. Takže - jediný kritický bod. Skontrolujme to na prítomnosť extrému pomocou druhého dostatočného znaku. Poďme nájsť druhú deriváciu. Keď je druhá derivácia väčšia ako nula (). To znamená, že keď funkcia dosiahne minimum . Pretože toto minimum - jediný extrém tejto funkcie, je to jej najmenšia hodnota. Takže strana základne nádrže by sa mala rovnať 2 m a jej výška.

Príklad 9 Z odseku A, ktorý sa nachádza na železničnej trati, do bodu S, vo vzdialenosti od neho l, tovar je potrebné prepraviť. Náklady na prepravu jednotky hmotnosti na jednotku vzdialenosti po železnici sa rovnajú , po diaľnici sa rovnajú . Do akého bodu M linky železnice diaľnica by mala byť postavená tak, aby preprava tovaru z A V S bola najhospodárnejšia AB predpokladá sa, že železnica je rovná)?

A na jeho vyriešenie potrebujete minimálne znalosti danej témy. Nasledovný akademický rok, každý chce ísť na dovolenku a aby som tento moment priblížil, hneď sa pustím do práce:

Začnime oblasťou. Oblasť uvedená v podmienke je obmedzené ZATVORENÉ množina bodov v rovine. Napríklad množina bodov ohraničená trojuholníkom vrátane CELÉHO trojuholníka (ak od hranice„Vystrčte“ aspoň jeden bod, potom už oblasť nebude uzavretá). V praxi sa vyskytujú aj plochy pravouhlých, okrúhlych a trochu zložitejších tvarov. Treba poznamenať, že teoreticky matematická analýza sú uvedené prísne definície obmedzenia, izolácia, hranice atď., ale myslím si, že každý si je vedomý týchto pojmov na intuitívnej úrovni a viac teraz nie je potrebné.

Plocha sa štandardne označuje písmenom a spravidla je daná analyticky - niekoľkými rovnicami (nie nevyhnutne lineárne); menej často nerovnosti. Typický slovný obrat: „uzavretá oblasť, ohraničené čiarami ».

Neoddeliteľnou súčasťou uvažovanej úlohy je konštrukcia plochy na výkrese. Ako to spraviť? Je potrebné nakresliť všetky uvedené čiary (v tomto prípade 3 rovno) a analyzujte, čo sa stalo. Požadovaná oblasť je zvyčajne jemne šrafovaná a jej okraj je zvýraznený hrubou čiarou:


Je možné nastaviť rovnakú oblasť lineárne nerovnosti: , ktoré sa z nejakého dôvodu častejšie píšu ako zoznam enumerácií, a nie systém.
Keďže hranica patrí regiónu, potom všetky nerovnosti, samozrejme, neprísne.

A teraz jadro veci. Predstavte si, že z počiatku súradníc ide os priamo k vám. Zvážte funkciu, ktorá nepretržitý v každom plošný bod. Graf tejto funkcie je povrch, a malým šťastím je, že na vyriešenie dnešného problému vôbec nemusíme vedieť, ako tento povrch vyzerá. Môže byť umiestnený nad, pod, cez rovinu - to všetko nie je dôležité. A dôležité je nasledovné: podľa Weierstrassove vety, nepretržitý V obmedzené zatvorené oblasti, funkcia dosahuje maximum (z "najvyšších") a najmenej (z "najnižších") hodnoty, ktoré treba nájsť. Tieto hodnoty sa dosahujú alebo V stacionárne body, patriace do regiónuD , alebo v bodoch, ktoré ležia na hranici tohto regiónu. Z toho vyplýva jednoduchý a prehľadný algoritmus riešenia:

Príklad 1

Obmedzené uzavretá oblasť

Riešenie: Najprv musíte na výkrese znázorniť oblasť. Bohužiaľ je pre mňa technicky náročné urobiť interaktívny model problému, a preto hneď uvediem finálnu ilustráciu, na ktorej sú zobrazené všetky „podozrivé“ body zistené počas štúdia. Zvyčajne sa ukladajú jeden po druhom, keď sa nájdu:

Na základe preambuly možno rozhodnutie pohodlne rozdeliť do dvoch bodov:

I) Nájdite stacionárne body. Ide o štandardný úkon, ktorý sme na lekcii opakovane vykonávali. o extrémoch viacerých premenných:

Nájdený stacionárny bod patrí oblasti: (označte to na výkrese), čo znamená, že by sme mali vypočítať hodnotu funkcie v danom bode:

- ako v článku Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v segmente, dôležité výsledky zvýrazním tučným písmom. V zošite je vhodné ich zakrúžkovať ceruzkou.

Venujte pozornosť nášmu druhému šťastiu - nemá zmysel kontrolovať postačujúca podmienka pre extrém. prečo? Aj keď v bode, kedy funkcia dosiahne napr. miestne minimum, potom to NEZNAMENÁ, že výsledná hodnota bude minimálne v celom regióne (pozri začiatok lekcie o bezpodmienečných extrémoch) .

Čo ak stacionárny bod NEPATRÍ do oblasti? Takmer nič! Treba poznamenať, že a prejdite na ďalší odsek.

II) Skúmame hranicu regiónu.

Keďže hranica pozostáva zo strán trojuholníka, je vhodné rozdeliť štúdiu na 3 pododseky. Ale je lepšie to urobiť nie. Z môjho pohľadu je najskôr výhodnejšie uvažovať o segmentoch rovnobežných so súradnicovými osami a v prvom rade o tých, ktoré ležia na samotných osiach. Ak chcete zachytiť celú postupnosť a logiku akcií, skúste si naštudovať koniec „jedným dychom“:

1) Poďme sa zaoberať spodnou stranou trojuholníka. Aby sme to dosiahli, dosadíme priamo do funkcie:

Prípadne to môžete urobiť takto:

Geometricky to znamená súradnicová rovina (čo je dané aj rovnicou)„vystrihnúť“ z povrchy„priestorová“ parabola, ktorej vrchol okamžite padne do podozrenia. Poďme zistiť kde je:

- výsledná hodnota "zasiahla" oblasť a pokojne to môže byť aj v bode (značka na výkrese) funkcia dosahuje najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu v celej oblasti. V každom prípade urobme výpočty:

Ďalšími „kandidátmi“ sú samozrejme konce segmentu. Vypočítajte hodnoty funkcie v bodoch (značka na výkrese):

Tu, mimochodom, môžete vykonať ústnu mini-kontrolu na „oblečenej“ verzii:

2) Aby sme preštudovali pravú stranu trojuholníka, dosadíme ju do funkcie a „dáme tam veci do poriadku“:

Tu okamžite vykonáme hrubú kontrolu a „prezvoníme“ už spracovaný koniec segmentu:
, Skvelé.

Geometrická situácia súvisí s predchádzajúcim bodom:

- výsledná hodnota tiež „vstúpila do rozsahu našich záujmov“, čo znamená, že musíme vypočítať, čomu sa funkcia rovná v bode, ktorý sa objavil:

Pozrime sa na druhý koniec segmentu:

Pomocou funkcie , Skontrolujme to:

3) Každý asi vie, ako preskúmať zvyšnú stranu. Do funkcie nahrádzame a vykonávame zjednodušenia:

Linka končí už boli preskúmané, ale na koncepte stále kontrolujeme, či sme funkciu našli správne :
– zhoduje sa s výsledkom podľa prvého pododseku;
– sa zhoduje s výsledkom podľa druhého pododseku.

Zostáva zistiť, či je v segmente niečo zaujímavé:

- Existuje! Nahradením priamky do rovnice dostaneme ordinátu tejto „zaujímavosti“:

Označíme bod na výkrese a nájdeme zodpovedajúcu hodnotu funkcie:

Ovládajme výpočty podľa „rozpočtovej“ verzie :
, objednať.

A posledný krok: POZORNE si prezrite všetky "tučné" čísla, odporúčam aj začiatočníkom urobiť si jeden zoznam:

z ktorých vyberáme najväčšie a najmenšie hodnoty. Odpoveď napíš štýlom problém nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v segmente:

Pre každý prípad sa ešte raz vyjadrím ku geometrickému významu výsledku:
– tu je najvyšší bod povrchu v regióne;
- tu je najnižší bod povrchu v oblasti.

V analyzovanom probléme sme našli 7 „podozrivých“ bodov, no ich počet sa líši od úlohy k úlohe. V prípade trojuholníkovej oblasti sa minimálna „súbor na prieskum“ skladá z tri body. To sa stane, keď sa funkcia napr lietadlo- je celkom jasné, že neexistujú žiadne stacionárne body a funkcia môže dosiahnuť maximálne / minimálne hodnoty iba vo vrcholoch trojuholníka. Ale neexistujú také príklady raz, dvakrát - zvyčajne sa s nejakým musíte vyrovnať povrch 2. rádu.

Ak takéto úlohy trochu riešite, tak z trojuholníkov sa vám môže zakrútiť hlava, a preto som pre vás pripravil nevšedné príklady, aby to bolo štvorcové :))

Príklad 2

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v uzavretom priestore ohraničenom čiarami

Príklad 3

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v ohraničenej uzavretej oblasti.

Venujte zvláštnu pozornosť racionálnemu poradiu a technike skúmania hranice územia, ako aj reťazcu medzikontrol, ktoré takmer úplne zabránia výpočtovým chybám. Vo všeobecnosti to môžete vyriešiť, ako chcete, ale v niektorých problémoch, napríklad v rovnakom príklade 2, existuje šanca výrazne skomplikovať váš život. Ukážka Ukážka dokončovanie úloh na konci hodiny.

Algoritmus riešenia systematizujeme, inak sa s mojou usilovnosťou pavúka akosi stratil v dlhom vlákne komentárov prvého príkladu:

- V prvom kroku vybudujeme oblasť, je vhodné ju zatieniť a zvýrazniť hranicu hrubou čiarou. Počas riešenia sa objavia body, ktoré je potrebné umiestniť na výkres.

- Nájdite stacionárne body a vypočítajte hodnoty funkcie len v tých, ktoré patria do oblasti . Získané hodnoty sú v texte zvýraznené (napríklad zakrúžkované ceruzkou). Ak stacionárny bod NEPATRÍ do oblasti, potom túto skutočnosť označíme ikonou alebo slovne. Ak neexistujú žiadne stacionárne body, vyvodíme písomný záver, že chýbajú. V každom prípade túto položku nie je možné preskočiť!

– Prieskum pohraničnej oblasti. Najprv je výhodné zaoberať sa priamkami, ktoré sú rovnobežné so súradnicovými osami (ak nejaké existujú). Zvýraznené sú aj funkčné hodnoty vypočítané v "podozrivých" bodoch. O technike riešenia vyššie bolo povedané veľa a niečo iné bude povedané nižšie - čítajte, znova čítajte, ponorte sa do toho!

- Z vybraných čísel vyberte najväčšiu a najmenšiu hodnotu a odpovedzte. Niekedy sa stáva, že funkcia dosiahne takéto hodnoty v niekoľkých bodoch naraz - v tomto prípade by sa všetky tieto body mali prejaviť v odpovedi. Nech napr. a ukázalo sa, že je to najmenšia hodnota. Potom to napíšeme

Záverečné príklady sú venované ostatným užitočné nápady užitočné v praxi:

Príklad 4

Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v uzavretej oblasti .

Ponechal som autorovu formuláciu, v ktorej je plocha uvedená ako dvojitá nerovnosť. Táto podmienka môže byť napísaná v ekvivalentnom systéme alebo v tradičnejšej forme pre tento problém:

Pripomínam, že s nelineárne na nerovnosť sme narazili na , a ak nerozumiete geometrickému významu zadania, tak prosím neodkladajte a objasnite situáciu hneď teraz ;-)

Riešenie, ako vždy, začína výstavbou plochy, ktorá je akousi „podrážkou“:

Hmm, niekedy treba hlodať nielen žulu vedy....

I) Nájdite stacionárne body:

Systém snov idiota :)

Stacionárny bod patrí do regiónu, konkrétne leží na jeho hranici.

A tak to nie je nič ... prebehla zábavná lekcia - to znamená piť správny čaj =)

II) Skúmame hranicu regiónu. Bez ďalších okolkov začnime s osou x:

1) Ak , tak

Zistite, kde je vrchol paraboly:
- Oceňujte takéto momenty - "trafte" až do bodu, z ktorého je už všetko jasné. Ale nezabudnite skontrolovať:

Vypočítajme hodnoty funkcie na koncoch segmentu:

2) Spodnú časť „podrážky“ vyriešime „na jedno posedenie“ - bez komplexov ju dosadíme do funkcie, navyše nás bude zaujímať len segment:

ovládanie:

Teraz to už prináša oživenie do monotónnej jazdy na ryhovanej trati. Poďme nájsť kritické body:

My rozhodujeme kvadratická rovnica pamätáš si tento? ... Pamätajte však, samozrejme, inak by ste tieto riadky nečítali =) Ak by v dvoch predchádzajúcich príkladoch boli výpočty vhodné v desatinné zlomky(čo je mimochodom zriedkavé), potom tu čakáme na obvyklé bežné zlomky. Nájdeme korene „x“ a pomocou rovnice určíme zodpovedajúce „herné“ súradnice „kandidátskych“ bodov:


Vypočítajme hodnoty funkcie v nájdených bodoch:

Skontrolujte funkciu sami.

Teraz pozorne študujeme získané trofeje a zapisujeme si ich odpoveď:

Tu sú „kandidáti“, teda „kandidáti“!

Pre samostatné riešenie:

Príklad 5

Nájdite najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v uzavretom priestore

Záznam so zloženými zátvorkami znie takto: „súbor bodov takých, že“.

Niekedy v takýchto príkladoch používajú Lagrangeova multiplikačná metóda, ale skutočná potreba jeho použitia pravdepodobne nevznikne. Takže napríklad, ak je daná funkcia s rovnakou oblasťou "de", potom po dosadení do nej - s deriváciou bez ťažkostí; navyše je všetko nakreslené v „jednom riadku“ (so znakmi) bez toho, aby bolo potrebné posudzovať horný a dolný polkruh oddelene. Samozrejme, existujú aj komplikovanejšie prípady, kedy bez funkcie Lagrange (kde je napríklad rovnaká kruhová rovnica) je ťažké sa zaobísť – aké ťažké je zaobísť sa bez dobrého odpočinku!

Všetko najlepšie, aby ste prešli reláciou a čoskoro sa uvidíme v budúcej sezóne!

Riešenia a odpovede:

Príklad 2: Riešenie: nakreslite oblasť na výkres: