Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств, и случайная величина называется непрерывной , если она может принимать любое значение из какого-либо ограниченного или неограниченного интервала. Для непрерывной случайной величины невозможно указать все возможные значения, поэтому обозначают интервалы этих значений, которые связаны с определёнными вероятностями.

Примерами непрерывных случайных величин могут служить: диаметр детали, обтачиваемой до заданного размера, рост человека, дальность полёта снаряда и др.

Так как для непрерывных случайных величин функция F (x ), в отличие от дискретных случайных величин , нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Это значит, что для непрерывной случайной величины бессмысленно говорить о распределении вероятностей между её значениями: каждое из них имеет нулевую вероятность. Однако в некотором смысле среди значений непрерывной случайной величины есть "более и менее вероятные". Например, вряд ли у кого-либо возникнет сомнение, что значение случайной величины - роста наугад встреченного человека - 170 см - более вероятно, чем 220 см, хотя и одно, и другое значение могут встретиться на практике.

Функция распределения непрерывной случайной величины и плотность вероятности

В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин, вводится понятие плотности распределения или плотности вероятности. Подойдём к нему путём сравнения смысла функции распределения для непрерывной случайной величины и для дискретной случайной величины.

Итак, функцией распределения случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) или интегральной функцией называется функция , которая определяет вероятность, что значение случайной величины X меньше или равно граничному значению х .

Для дискретной случайной величины в точках её значений x 1 , x 2 , ..., x i ,... сосредоточены массы вероятностей p 1 , p 2 , ..., p i ,... , причём сумма всех масс равна 1. Перенесём эту интерпретацию на случай непрерывной случайной величины. Представим себе, что масса, равная 1, не сосредоточена в отдельных точках, а непрерывно "размазана" по оси абсцисс Оx с какой-то неравномерной плотностью. Вероятность попадания случайной величины на любой участок Δx будет интерпретироваться как масса, приходящаяся на этот участок, а средняя плотность на этом участке - как отношение массы к длине. Только что мы ввели важное понятие теории вероятностей: плотность распределения.

Плотностью вероятности f (x ) непрерывной случайной величины называется производная её функции распределения:

.

Зная функцию плотности, можно найти вероятность того, что значение непрерывной случайной величины принадлежит закрытому интервалу [a ; b ]:

вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала [a ; b ], равна определённому интегралу от её плотности вероятности в пределах от a до b :

.

При этом общая формула функции F (x ) распределения вероятностей непрерывной случайной величины, которой можно пользоваться, если известна функция плотности f (x ) :

.

График плотности вероятности непрерывной случайной величины называется её кривой распределения (рис. ниже).

Площадь фигуры (на рисунке заштрихована), ограниченной кривой, прямыми, проведёнными из точек a и b перпендикулярно оси абсцисс, и осью Ох , графически отображает вероятность того, что значение непрерывной случайной величины Х находится в пределах от a до b .

Свойства функции плотности вероятности непрерывной случайной величины

1. Вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение из интервала (и площадь фигуры, которую ограничивают график функции f (x ) и ось Ох ) равна единице:

2. Функция плотности вероятности не может принимать отрицательные значения:

а за пределами существования распределения её значение равно нулю

Плотность распределения f (x ), как и функция распределения F (x ), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения, она не универсальна: плотность распределения существует только для непрерывных случайных величин.

Упомянем о двух важнейших в практике видах распределения непрерывной случайной величины.

Если функция плотности распределения f (x ) непрерывной случайной величины в некотором конечном интервале [a ; b ] принимает постоянное значение C , а за пределами интервала принимает значение, равное нулю, то такое распределение называется равномерным .

Если график функции плотности распределения симметричен относительно центра, средние значения сосредоточены вблизи центра, а при отдалении от центра собираются более отличающиеся от средних (график функции напоминает разрез колокола), то такое распределение называется нормальным .

Пример 1. Известна функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины:

Найти функцию f (x ) плотности вероятности непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 4 до 8: .

Решение. Функцию плотности вероятности получаем, находя производную функции распределения вероятностей:

График функции F (x ) - парабола:

График функции f (x ) - прямая:

Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 4 до 8:

Пример 2. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины дана в виде:

Вычислить коэффициент C . Найти функцию F (x ) распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 0 до 5: .

Решение. Коэффициент C найдём, пользуясь свойством 1 функции плотности вероятности:

Таким образом, функция плотности вероятности непрерывной случайной величины:

Интегрируя, найдём функцию F (x ) распределения вероятностей. Если x < 0 , то F (x ) = 0 . Если 0 < x < 10 , то

.

x > 10 , то F (x ) = 1 .

Таким образом, полная запись функции распределения вероятностей:

График функции f (x ) :

График функции F (x ) :

Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 0 до 5:

Пример 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана равенством , при этом . Найти коэффициент А , вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[, функцию распределения непрерывной случайной величины X .

Решение. По условию приходим к равенству

Следовательно, , откуда . Итак,

.

Теперь находим вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[:

Теперь получим функцию распределения данной случайной величины:

Пример 4. Найти плотность вероятности непрерывной случайной величины X , которая принимает только неотрицательные значения, а её функция распределения .

Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x)

Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x) . Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b ].

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называется определенный интеграл

Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:

При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится.

Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:

Определение. Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.

Определение. Модой М 0 дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум.

Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется двухмодальным или многомодальным . Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным .

Определение. Медианой M D случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.

Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам. Отметим, что если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.

Определение. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины Х k .

Для дискретной случайной величины: .

.

Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию.

Определение. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины

Для дискретной случайной величины: .

Для непрерывной случайной величины: .

Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а центральный момент второго порядка равен дисперсии. Центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию распределения.

Определение. Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в третьей степени называется коэффициентом асимметрии .

Определение. Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом .

Кроме рассмотренных величин используются также так называемые абсолютные моменты:

Абсолютный начальный момент: . Абсолютный центральный момент: . Абсолютный центральный момент первого порядка называется средним арифметическим отклонением .

Пример. Для рассмотренного выше примера определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Пример. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее пять раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают обратно и шары перемешивают. Приняв за случайную величину Х число извлеченных белых шаров, составить закон распределения этой величины, определить ее математическое ожидание и дисперсию.

Т.к. шары в каждом опыте возвращаются обратно и перемешиваются, то испытания можно считать независимыми (результат предыдущего опыта не влияет на вероятность появления или непоявления события в другом опыте).

Таким образом, вероятность появления белого шара в каждом опыте постоянна и равна

Таким образом, в результате пяти последовательных испытаний белый шар может не появиться вовсе, появиться один раз, два, три, четыре или пять раз. Для составления закона распределения надо найти вероятности каждого из этих событий.

1) Белый шар не появился вовсе:

2) Белый шар появился один раз:

3) Белый шар появиться два раза: .

Глава 6. Непрерывные случайные величины.

§ 1. Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины.

Множество значений непрерывной случайной величины несчетно и обычно представляет собой некоторый промежуток конечный или бесконечный.

Случайная величина x(w),заданная в вероятностном пространстве {W, S,P}, называется непрерывной (абсолютно непрерывной) W, если существует неотрицательная функция такая, что при любых х функцию распределения Fx(x) можно представить в виде интеграла

Функция называется функцией плотности распределения вероятностей .

Из определения вытекают свойства функции плотности распределения :

1..gif" width="97" height="51">

3. В точках непрерывности плотность распределения равна производной функции распределения: .

4. Плотность распределения определяет закон распределения случайной величины, т. к. определяет вероятность попадания случайной величины на интервал :

5.Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение равна нулю: . Поэтому справедливы следующие равенства:

График функции плотности распределения называется кривой распределения , и площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Тогда геометрически значение функции распределения Fx(x) в точке х0 есть площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс и лежащая левее точки х0.

Задача 1. Функция плотности непрерывной случайной величины имеет вид:

Определить константу C, построить функцию распределения Fx(x) и вычислить вероятность .

Решение. Константа C находится из условия Имеем:

откуда C=3/8.

Чтобы построить функцию распределения Fx(x), отметим, что интервал делит область значений аргумента x (числовую ось) на три части: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17.gif" width="264" height="49">

так как плотность x на полуоси равна нулю. Во втором случае

Наконец, в последнем случае, когда x>2,

Так как плотность обращается в нуль на полуоси . Итак, получена функция распределения

Вероятность вычислим по формуле . Таким образом,

§ 2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Математическое ожидание для непрерывно распределенных случайных величин определяется по формуле https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

если интеграл, стоящий справа, абсолютно сходится.

Дисперсия x может быть вычислена по формуле , а также, как и в дискретном случае, по формуле https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Все свойства математического ожидания и дисперсии , приведенные в главе 5 для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных случайных величин.

Задача 2 . Для случайной величины x из задачи 1 вычислить математическое ожидание и дисперсию.

Решение.

И значит,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

График плотности равномерного распределения см. на рис. .

Рис.6.2. Функция распределения и плотность распределения. равномерного закона

Функция распределения Fx(x) равномерно распределенной случайной величины равна

Fx(x)=

Математическое ожидание и дисперсия ; .

Показательное (экспоненециальное) распределение. Непрерывная случайная величина x, принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение с параметром l>0, если плотность распределения вероятностей случайной величины равна

рx(x)=

Рис. 6.3. Функция распределения и плотность распределения показательного закона.

Функция распределения показательного распределения имеет вид

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> и , если ее плотность распределения равна

.

Через обозначается множество всех случайных величин, распределенных по нормальному закону с параметрами параметрами и .

Функция распределения нормально распределенной случайной величины равна

.

Рис. 6.4. Функция распределения и плотность распределения нормального закона

Параметры нормального распределения суть математическое ожидание https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

В частном случае, когда https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> нормальное распределение называется стандартным , и класс таких распределений обозначается https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

а функция распределения

Такой интеграл не вычислим аналитически (не берется в «квадратурах»), и потому для функции составлены таблицы. Функция связана с введенной в главе 4 функцией Лапласа

,

следующим соотношением . В случае же произвольных значений параметров https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> функция распределения случайной величины связана с функцией Лапласа с помощью соотношения:

.

Поэтому вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на интервал можно вычислять по формуле

.

Неотрицательная случайная величина x называется логарифмически нормально распределенной, если ее логарифм h=lnx подчинен нормальному закону. Математическое ожидание и дисперсия логарифмически нормально распределенной случайной величины равны Мx= и Dx=.

Задача 3. Пусть задана случайная величина https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Решение. Здесь и https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Распределение Лапласа задается функцией fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> и эксцесс равен gx=3.

Рис.6.5. Функция плотности распределения Лапласа.

Случайная величина x распределена по закону Вейбулла , если она имеет функцию плотности распределения, равную https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Распределению Вейбулла подчиняются времена безотказной работы многих технических устройств. В задачах данного профиля важной характеристикой является интенсивность отказа (коэффициент смертности) l(t) исследуемых элементов возраста t, определяемый соотношением l(t)=. Если a=1, то распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение, а если a=2 - в так называемое распределение Рэлея.

Математическое ожидание распределения Вейбулла: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, где Г(а) - функция Эйлера. .

В различных задачах прикладной статистики часто встречаются так называемые «усеченные» распределения. Например, налоговые органы интересуются распределением доходов тех лиц, годовой доход которых превосходит некоторый порог с0, установленный законами о налогообложении. Эти распределения оказываются приближенно совпадающими с распределением Парето. Распределение Парето задается функциями

Fx(x)=P(x.gif" width="44" height="25"> случайной величины x и монотонная дифференцируемая функция ..gif" width="200" height="51">

Здесь https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Задача 4. Случайная величина равномерно распределена на отрезке . Найти плотность случайной величины .

Решение. Из условия задачи следует, что

Далее, функция является монотонной и дифференцируемой функцией на отрезке и имеет обратную функцию , производная которой равна Следовательно,

§ 5. Пара непрерывных случайных величин

Пусть заданы две непрерывные случайные величины x и h. Тогда пара (x, h) определяет «случайную» точку на плоскости. Пару (x, h) называют случайным вектором или двумерной случайной величиной.

Совместной функцией распределения случайных величин x и h и называется функция F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. Совместной плотностью распределения вероятностей случайных величин x и h называется функция такая, что .

Смысл такого определения совместной плотности распределения заключается в следующем. Вероятность того, что «случайная точка» (x, h) попадет в область на плоскости, вычисляется как объем трехмерной фигуры – «криволинейного» цилиндра, ограниченного поверхностью https://pandia.ru/text/78/107/images/image098_3.gif" width="211" height="39 src=">

Простейшим примером совместного распределения двух случайных величин является двумерное равномерное распределение на множестве A . Пусть задано ограниченное множество М с площадью Оно определяется как распределение пары (x, h), задаваемое с помощью следующей совместной плотности:

Задача 5. Пусть двумерный случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри треугольника . Вычислить вероятность неравенства x>h.

Решение. Площадь указанного треугольника равна (см. рис. № ?). В силу определения двумерного равномерного распределения совместная плотность случайных величин x, h равна

Событие соответствует множеству на плоскости, т. е. полуплоскости. Тогда вероятность

На полуплоскости B совместная плотность равна нулю вне множества https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Таким образом, полуплоскость B разбивается на два множества и https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> и , причем второй интеграл равен нулю, так как там совместная плотность равна нулю. Поэтому

Если задана совместная плотность распределения для пары (x, h), то плотности и составляющих x и h называются частными плотностями и вычисляются по формулам:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Для непрерывно распределенных случайных величин с плотностями рx(х), рh(у) независимость означает, что

Задача 6. В условиях предыдущей задачи определить, независимы ли составляющие случайного вектора x и h?

Решение . Вычислим частные плотности и . Имеем:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Очевидно, что в нашем случае https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> - совместная плотность величин x и h, а j(х, у) - функция двух аргументов, тогда

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Задача 7. В условиях предыдущей задачи вычислить .

Решение. Согласно указанной выше формуле имеем:

.

Представив треугольник в виде

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Плотность суммы двух непрерывных случайных величин

Пусть x и h - независимые случайные величины с плотностями https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Плотность случайной величины x + h вычисляется по формуле свертки

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Вычислить плотность суммы .

Решение. Так как x и h распределены по показательному закону с параметром , то их плотности равны

Следовательно,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Если x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">отрицателен, и потому . Поэтому Если же https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Таким образом, мы получили ответ:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> нормально распределена с параметрами 0 и 1. Случайные величины x1 и x2 независимы и имеют нормальные распределения с параметрами а1, и а2, соответственно. Доказать, что x1 + x2 имеет нормальное распределение. Случайные величины x1, x2, ... xn распределены и независимы и имеют одинаковую функцию плотности распределения

.

Найти функцию распределения и плотность распределения величин:

а) h1 = min {x1 , x2, ...xn} ; б) h(2) = max {x1,x2, ... xn }

Случайные величины x1, x2, ... xn независимы и равномерно распределены на отрезке [а, b]. Найти функции распределения и функции плотности распределения величин

x(1) = min {x1,x2, ... xn} и x(2)= max{x1, x2, ...xn}.

Доказать, что Мhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

Случайная величина распределена по закону Коши Найти: а) коэффициент а; б) функцию распределения; в) вероятность попадания на интервал (-1, 1). Показать, что математическое ожидание x не существует. Случайная величина подчинена закону Лапласа с параметром l (l>0): Найти коэффициент а; построить графики плотности распределения и функции распределения; найти Mx и Dx; найти вероятности событий {|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Написать формулу для плотности распределения, найти Мx и Dx.

Вычислительные задачи.

Случайная точка А имеет в круге радиуса R равномерное распределение. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния r точки до центра круга. Показать, что величина r2 равномерно распределена на отрезке .

Плотность распределения случайной величины имеет вид:

Вычислить константу C, функцию распределения F(x), и вероятность Плотность распределения случайной величины имеет вид:

Вычислить константу C, функцию распределения F(x), и вероятность Плотность распределения случайной величины имеет вид:
Вычислить константу C, функцию распределения F(x), , дисперсию и вероятность Случайная величина имеет функцию распределения

Вычислить плотность случайной величины, математическое ожидание, дисперсию и вероятность Проверить, что функция =
может быть функцией распределения случайной величины. Найти числовые характеристики этой величины: Mx и Dx. Случайная величина равномерно распределена не отрезке . Выписать плотность распределения. Найти функцию распределения. Найти вероятность попадания случайной величины на отрезок и на отрезок . Плотность распределения x равна

.

Найти постоянную с, плотность распределения h = и вероятность

Р (0,25

Время безотказной работы ЭВМ распределено по показательному закону с параметром l = 0,05 (отказа в час), т. е. имеет функцию плотности

р(х) =.

Решение определенной задачи требует безотказной работы машины в течение 15 минут. Если за время решения задачи произошел сбой, то ошибка обнаруживается только по окончании решения, и задача решается заново. Найти: а) вероятность того, что за время решения задачи не произойдет ни одного сбоя; б) среднее время, за которое будет решена задача.

Стержень длины 24 см ломают на две части; будем считать, что точка излома распределена равномерно по всей длине стержня. Чему равна средняя длина большей части стержня? Отрезок длины 12 см случайным образом разрезается на две части. Точка разреза равномерно распределена по всей длине отрезка. Чему равна средняя длина малой части отрезка? Случайная величина равномерно распределена на отрезке . Найти плотность распределения случайной величины а) h1 = 2x + 1; б) h2 =-ln(1-x); в) h3 = .

Показать, что если x имеет непрерывную функцию распределения

F(x) = P(x

Найти функцию плотности и функцию распределения суммы двух независимых величин x и h c равномерными законами распределения на отрезках и соответственно. Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и соответственно. Вычислить плотность суммы x+h. Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и соответственно. Вычислить плотность суммы x+h. Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и соответственно. Вычислить плотность суммы x+h. Случайные величины независимы и имеют показательное распределение с плотностью . Найти плотность распределения их суммы. Найти распределение суммы независимых случайных величин x и h, где x имеет равномерное на отрезке распределение, а h имеет показательное распределение с параметром l. Найти Р, если x имеет: а) нормальное распределение с параметрами а и s2 ; б) показательное распределение с параметром l; в) равномерное распределение на отрезке [-1;1]. Совместное распределение x, h является равномерным в квадрате
К ={х, у): |х| +|у|£ 2}. Найти вероятность. Являются ли x и h независимыми? Пара случайных величин x и h равномерно распределена внутри треугольника K=. Вычислить плотность x и h. Являются ли эти случайные величины независимыми? Найти вероятность . Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и [-1,1]. Найти вероятность . Двумерная случайная величина (x, h) равномерно распределена в квадрате с вершинами (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Найти значение совместной функции распределения в точке (1, -1). Случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри круга радиуса 3 с центром в начале координат. Написать выражение для совместной плотности распределения. Определить, зависимы ли эти случайные величины. Вычислить вероятность . Пара случайных величин x и h равномерно распределена внутри трапеции с вершинами в точках (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Найти совместную плотность распределения для этой пары случайных величин и плотности составляющих. Зависимы ли x и h? Случайная пара (x, h) равномерно распределена внутри полукруга . Найти плотности x и h, исследовать вопрос об их зависимости. Совместная плотность двух случайных величин x и h равна .
Найти плотности x, h. Исследовать вопрос о зависимости x и h. Случайная пара (x, h) равномерно распределена на множестве . Найти плотности x и h, исследовать вопрос об их зависимости. Найти М(xh). Случайные величины x и h независимы и распределены по показательному закону с параметром Найти

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Пример 2.1. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значения, заключенные в промежутке (2,5; 3,6).

Решение: Х в промежуток (2,5; 3,6) можно определить двумя способами:

Пример 2.2. При каких значениях параметров А и В функция F (x ) = A + Be - x может быть функцией распределения для неотрицательных значений случайной величины Х .

Решение: Так как все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу , то для того, чтобы функция была функцией распределения для Х , должно выполняться свойство:

.

Ответ: .

Пример 2.3. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина X ровно 3 раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25;0,75).

Решение: Вероятность попадания величины Х в промежуток (0,25;0,75) найдем по формуле:

Пример 2.4. Вероятность попадания мячом в корзину при одном броске равна 0,3. Составить закон распределения числа попаданий при трех бросках.

Решение: Случайная величина Х – число попаданий в корзину при трех бросках – может принимать значения: 0, 1, 2, 3. Вероятности того, что Х

Х :

Пример 2.5. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5, вторым – 0,4. Составить закон распределения числа попаданий в мишень.

Решение: Найдем закон распределения дискретной случайной величины Х – числа попаданий в мишень. Пусть событие – попадание в мишень первым стрелком, а – попадание вторым стрелком, и - соответственно их промахи.

Составим закон распределения вероятностей СВ Х :

Пример 2.6. Испытываются 3 элемента, работающих независимо друг от друга. Длительности времени (в часах) безотказной работы элементов имеют функции плотности распределения: для первого: F 1 (t ) =1-e - 0,1 t , для второго: F 2 (t ) = 1-e - 0,2 t , для третьего: F 3 (t ) =1-e - 0,3 t . Найти вероятность того, что в интервале времени от 0 до 5 часов: откажет только один элемент; откажут только два элемента; откажут все три элемента.

Решение: Воспользуемся определением производящей функции вероятностей :

Вероятность того, что в независимых испытаниях, в первом из которых вероятность появления события А равна , во втором и т. д., событие А появится ровно раз, равна коэффициенту при в разложении производящей функции по степеням . Найдем вероятности отказа и неотказа соответственно первого, второго и третьего элемента в интервале времени от 0 до 5 часов:

Составим производящую функцию:

Коэффициент при равен вероятности того, что событие А появится ровно три раза, то есть вероятности отказа всех трех элементов; коэффициент при равен вероятности того, что откажут ровно два элемента; коэффициент при равен вероятности того, что откажет только один элемент.

Пример 2.7. Дана плотность вероятности f (x )случайной величины X :

Найти функцию распределения F(x).

Решение: Используем формулу:

.

Таким образом, функция распределения имеет вид:

Пример 2.8. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

Решение: Случайная величина Х – число элементов, отказавших в одном опыте – может принимать значения: 0, 1, 2, 3. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле Бернулли:

Таким образом, получаем следующий закон распределения вероятностей случайной величины Х :

Пример 2.9. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

Решение: Случайная величина Х – число стандартных деталей среди отобранных – может принимать значения: 1, 2, 3 и имеет гипергеометрическое распределение. Вероятности того, что Х

где -- число деталей в партии;

-- число стандартных деталей в партии;

– число отобранных деталей;

-- число стандартных деталей среди отобранных.

.

.

.

Пример 2.10. Случайная величина имеет плотность распределения

причем и не известны, но , а и . Найдите и .

Решение: В данном случае случайная величина X имеет треугольное распределение (распределение Симпсона) на отрезке [a, b ]. Числовые характеристики X :

Следовательно, . Решая данную систему, получим две пары значений: . Так как по условию задачи , то окончательно имеем: .

Ответ: .

Пример 2.11. В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Вычислить математическое ожидание и дисперсию числа таких договоров среди наудачу выбранных четырех.

Решение: Математическое ожидание и дисперсию можно найти по формулам:

.

Возможные значения СВ (число договоров (из четырех) с наступлением страхового случая): 0, 1, 2, 3, 4.

Используем формулу Бернулли, чтобы вычислить вероятности различного числа договоров (из четырех), по которым были выплачены страховые суммы:

.

Ряд распределения СВ (число договоров с наступлением страхового случая) имеет вид:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Ответ: , .

Пример 2.12. Из пяти роз две белые. Составить закон распределения случайной величины, выражающей число белых роз среди двух одновременно взятых.

Решение: В выборке из двух роз может либо не оказаться белой розы, либо может быть одна или две белые розы. Следовательно, случайная величина Х может принимать значения: 0, 1, 2. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:

где -- число роз;

-- число белых роз;

– число одновременно взятых роз;

-- число белых роз среди взятых.

.

.

.

Тогда закон распределения случайной величины будет такой:

Пример 2.13. Среди 15 собранных агрегатов 6 нуждаются в дополнительной смазке. Составить закон распределения числа агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке, среди пяти наудачу выбранных из общего числа.

Решение: Случайная величина Х – число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди пяти выбранных – может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и имеет гипергеометрическое распределение. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:

где -- число собранных агрегатов;

-- число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке;

– число выбранных агрегатов;

-- число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди выбранных.

.

.

.

.

.

.

Тогда закон распределения случайной величины будет такой:

Пример 2.14. Из поступивших в ремонт 10 часов 7 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Найти математическое ожидание и дисперсию числа просмотренных часов.

Решение: Случайная величина Х – число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди пяти выбранных – может принимать значения: 1, 2, 3, 4. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:

.

.

.

.

Тогда закон распределения случайной величины будет такой:

Теперь вычислим числовые характеристики величины :

Ответ: , .

Пример 2.15. Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она нечетная. Найти математическое ожидание и дисперсию числа сделанных им наборов номера телефона до попадания на нужный номер, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает.

Решение: Случайная величина может принимать значения: . Так как набранную цифру абонент в дальнейшем не набирает, то вероятности этих значений равны .

Составим ряд распределения случайной величины:

	0,2

Вычислим математическое ожидание и дисперсию числа попыток набора номера:

Ответ: , .

Пример 2.16. Вероятность отказа за время испытаний на надежность для каждого прибора серии равна p . Определить математическое ожидание числа приборов, давших отказ, если испытанию подверглись N приборов.

Решение: Дискретная случайная величина X - число отказавших приборов в N независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления отказа равна p, распределена по биномиальному закону. Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:

Пример 2.17. Дискретная случайная величина X принимает 3 возможных значения: с вероятностью ; с вероятностью и с вероятностью . Найти и , зная, что M(X ) = 8.

Решение: Используем определения математического ожидания и закона распределения дискретной случайной величины:

Находим: .

Пример 2.18. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится 5 изделий. Найти математическое ожидание случайной величины X – числа партий, в каждой из которых содержится ровно 4 стандартных изделия, если проверке подлежат 50 партий.

Решение: В данном случае все проводимые опыты независимы, а вероятности того, что в каждой партии содержится ровно 4 стандартных изделия, одинаковы, следовательно, математическое ожидание можно определить по формуле:

,

где - число партий;

Вероятность того, что в партии содержится ровно 4 стандартных изделия.

Вероятность найдем по формуле Бернулли:

Ответ: .

Пример 2.19. Найти дисперсию случайной величины X – числа появлений события A в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что M (X ) = 0,9.

Решение: Задачу можно решить двумя способами.

1) Возможные значения СВ X : 0, 1, 2. По формуле Бернулли определим вероятности этих событий:

, , .

Тогда закон распределения X имеет вид:

Из определения математического ожидания определим вероятность :

Найдем дисперсию СВ X :

.

2) Можно использовать формулу:

.

Ответ: .

Пример 2.20. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15; 25).

Решение: Вероятность попадания нормальной случайной величины Х на участок от до выражается через функцию Лапласа:

Пример 2.21. Дана функция:

При каком значении параметра C эта функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины X ? Найти математическое ожиданий и дисперсию случайной величины X .

Решение: Для того, чтобы функция была плотностью распределения некоторой случайной величины , она должна быть неотрицательна, и она должна удовлетворять свойству:

.

Следовательно:

Вычислим математическое ожидание по формуле:

.

Вычислим дисперсию по формуле:

T равна p . Необходимо найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение: Закон распределения дискретной случайной величины X - числа появлений события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , называют биномиальным. Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события А одном испытании:

.

Пример 2.25. Производится три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.25. Определить среднее квадратическое отклонение числа попаданий при трех выстрелах.

Решение: Так как производится три независимых испытания, и вероятность появления события А (попадания) в каждом испытании одинакова, то будем считать, что дискретная случайная величина X - число попаданий в мишень – распределена по биномиальному закону.

Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

Пример 2.26. Среднее число клиентов, посещающих страховую компанию за 10 мин., равно трем. Найти вероятность того, что в ближайшие 5 минут придет хотя бы один клиент.

Среднее число клиентов, пришедших за 5 минут: . .

Пример 2.29. Время ожидания заявки в очереди на процессор подчиняется показательному закону распределения со средним значением 20 секунд. Найти вероятность того, что очередная (произвольная) заявка будет ожидать процессор более 35 секунд.

Решение: В этом примере математическое ожидание , а интенсивность отказов равна .

Тогда искомая вероятность:

Пример 2.30. Группа студентов в количестве 15 человек проводит собрание в зале, в котором 20 рядов по 10 мест в каждом. Каждый студент занимает место в зале случайным образом. Какова вероятность того, что не более трех человек будут находиться на седьмом месте ряда?

Решение:

Пример 2.31.

Тогда согласно классическому определению вероятности:

где -- число деталей в партии;

-- число нестандартных деталей в партии;

– число отобранных деталей;

-- число нестандартных деталей среди отобранных.

Тогда закон распределения случайной величины будет такой.

Функцией распределения случайной величиныХ называется функцияF (х ), выражающая для каждогох вероятность того, что случайная величинаХ примет значение, меньшеех :.

Функцию F (х ) иногда называют интегральной функцией распределения, или интегральным законом распределения .

Случайная величина Х называется непрерывной , если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Примеры непрерывных случайных величин: диаметр детали, которую токарь обтачивает до заданного размера, рост человека, дальность полета снаряда и др.

Теорема. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю

.

Следствие. Если Х - непрерывная случайная величина, то вероятность попадания случайной величины в интервал
не зависит от того, является этот интервал открытым или закрытым, т.е.

Если непрерывная случайная величина Х может принимать только значения в границах от а до b (где а и b - некоторые постоянные), то функция распределения ее равна нулю для всех значений
и единице для значений
.

Для непрерывной случайной величины

Все свойства функций распределения дискретных случайных величин выполняются и для функций распределения непрерывных случайных величин.

Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным.

Плотностью вероятности (плотностью распределения или плотностью ) р (х ) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения

.

Плотность вероятности р (х ), как и функция распределенияF (х ), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения она существует только длянепрерывных случайных величин.

Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией, или дифференциальным законом распределения .

График плотности вероятности называется кривой распределения.

Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины:

Рис. 8.1

Рис. 8.2

4.
.

Геометрически свойства плотности вероятности означают, что ее график - кривая распределения - лежит не ниже оси абсцисс, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Пример 8.1. Минутная стрелка электрических часов передвигается скачками поминутно. Вы бросили взгляд на часы. Они показывают а минут. Тогда для вас истинное время в данный момент будет случайной величиной. Найти ее функцию распределения.

Решение. Очевидно, что функция распределения истинного времени равна 0 для всех
и единице для
. Время течет равномерно. Поэтому вероятность того, что истинное время меньше а + 0,5 мин, равна 0,5, так как одинаково вероятно, прошло ли после а менее или более полминуты. Вероятность того, что истинное время меньше а + 0,25 мин, равна 0,25 (вероятность этого времени втрое меньше вероятности того, что истинное время больше а + 0,25 мин, а сумма их равна единице, как сумма вероятностей противоположных событий). Аналогично рассуждая, найдем, что вероятность того, что истинное время меньше а + 0,6 мин, равна 0,6. В общем случае вероятность того, что истинное время меньше а + + α мин
, равна α . Следовательно, функция распределения истинного времени имеет следующее выражение:

Она непрерывна всюду, а производная ее непрерывна во всех точках, за исключением двух:х = а их = а + 1. График этой функции имеет вид (рис. 8.3):

Рис. 8.3

Пример 8.2. Является ли функцией распределения некоторой случайной величины функция

Решение.

Все значения этой функции принадлежат отрезку
, т.е.
. Функция F (х ) является неубывающей: в промежутке
она постоянна, равна нулю, в промежутке
возрастает, в промежутке
также постоянна, равна единице (см. рис. 8.4). Функция непрерывна в каждой точке х 0 области ее определения - промежутка
, поэтому непрерывна слева, т.е. выполняется равенство

,
.

Выполняются и равенства:

,
.

Следовательно, функция
удовлетворяет всем свойствам, характерным для функции распределения. Значит данная функция
является функцией распределения некоторой случайной величиныХ .

Пример 8.3. Является ли функцией распределения некоторой случайной величины функция

Решение. Данная функция не является функцией распределения случайной величины, так как напромежутке
она убывает и не является непрерывной. График функции изображен на рис. 8.5.

Рис. 8.5

Пример 8.4. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти коэффициент а и плотность вероятности случайной величины Х . Определить вероятность неравенства
.

Решение. Плотность распределения равна первой производной от функции распределения

Коэффициент а определяем с помощью равенства

,

.

Тот же результат можно было получить, используя непрерывность функции
в точке

,
.

Следовательно,
.

Поэтому плотность вероятности имеет вид

Вероятность
попадания случайной величины Х в заданный промежуток вычисляется по формуле

Пример 8.5. Случайная величина Х имеет плотность вероятности (закон Коши)

.

Найти коэффициент а и вероятность того, что случайная величина Х примет какое-нибудь значение из интервала
. Найти функцию распре­деления этой случайной величины.

Решение. Найдем коэффициент а из равенства

,

Следовательно,
.

Итак,
.

Вероятность того, что случайная величина Х примет какое-нибудь значение из интервала
, равна

Найдем функцию распределения данной случайной величины

Пример 8.6. График плотности вероятности случайной величиныХ изображен на рис. 8.6 (закон Симпсона). Написать выражение плотности вероятности ифункцию распределения этой случайной величины.

Рис. 8.6

Решение. Пользуясь графиком, записываем аналитическое выражение плотности распределения вероятностей данной случайной величины

Найдем функцию распределения.

Если
, то
.

Если
, то .

Если
, то

Если
, то

Следовательно, функция распределения имеет вид