Сводка и группировка статистических данных. Построение интервального ряда распределения

При построении интервального ряда распределения решаются три вопроса:

• 1. Сколько надо взять интервалов?
• 2. Какова длина интервалов?
• 3. Каков порядок включения единиц совокупности в границы интервалов?
• 1. Количество интервалов можно определить по формуле Стер- джесса :

2. Длина интервала, или шаг интервала , обычно определяется по формуле

где R - размах вариации.

3. Порядок включения единиц совокупности в границы интервала

может быть разным, но при построении интервального ряда распределения обязательно строго определен.

Например, такой: [), при котором единицы совокупности в нижние границы включаются, а в верхние - не включаются, а переносятся в следующий интервал. Исключение в этом правиле составляет последний интервал , верхняя граница которого включает последнее число ранжированного ряда.

Границы интервалов бывают:

• закрытые - с двумя крайними значениями признака;
• открытые - с одним крайним значением признака (до такого-то числа или свыше такого-то числа).

С целью усвоения теоретического материала введем исходную информацию для решения сквозной задачи.

Имеются условные данные по среднесписочной численности менеджеров по продажам, количеству проданного ими однокачественного товара, индивидуальной рыночной цене на этот товар, а также объему продаж 30 фирм в одном из регионов РФ в I квартале отчетного года (табл. 2.1).

Таблица 2.1

Исходная информация для сквозной задачи

	Численность менеджеров,		Цена, тыс. руб.	Объем продаж, млн руб.

	Численность менеджеров,	Количество проданного товара, шт.	Цена, тыс. руб.	Объем продаж, млн руб.

На базе исходной информации, а также дополнительной сделаем постановку отдельных заданий. Затем представим методику их решения и сами решения.

Сквозная задача. Задание 2.1

Используя исходные данные табл. 2.1, требуется построить дискретный ряд распределения фирм по количеству проданного товара (табл. 2.2).

Решение:

Таблица 2.2

Дискретный ряд распределения фирм по количеству проданного товара в одном из регионов РФ в I квартале отчетного года

Сквозная задача. Задание 2.2

требуется построить ранжированный ряд 30 фирм по среднесписочной численности менеджеров.

Решение:

15; 17; 18; 20; 20; 20; 22; 22; 24; 25; 25; 25; 27; 27; 27; 28; 29; 30; 32; 32; 33; 33; 33; 34; 35; 35; 38; 39; 39; 45.

Сквозная задача. Задание 2.3

Используя исходные данные табл. 2.1, требуется:

• 1. Построить интервальный ряд распределения фирм по численности менеджеров.
• 2. Рассчитать частости ряда распределения фирм.
• 3. Сделать выводы.

Решение:

Рассчитаем по формуле Стерджесса (2.5) количество интервалов :

Таким образом, берем 6 интервалов (групп).

Длину интервала , или шаг интервала , рассчитаем по формуле

Примечание. Порядок включения единиц совокупности в границы интервала такой: I), при котором единицы совокупности в нижние границы включаются, а в верхние - не включаются, а переносятся в следующий интервал. Исключение в этом правиле составляет последний интервал I ], верхняя граница которого включает последнее число ранжированного ряда.

Строим интервальный ряд (табл. 2.3).

Интервальный ряд распределения фирм но среднесписочной численности менеджеров в одном из регионов РФ в I квартале отчетного года

Вывод. Наиболее многочисленной группой фирм является группа со среднесписочной численностью менеджеров 25- 30 человек, которая включает 8 фирм (27%); в самую малочисленную группу со среднесписочной численностью менеджеров 40-45 человек входит всего одна фирма (3%).

Используя исходные данные табл. 2.1, а также интервальный ряд распределения фирм по численности менеджеров (табл. 2.3), требуется построить аналитическую группировку зависимости между численностью менеджеров и объемом продаж фирм и на основании ее сделать вывод о наличии (или отсутствии) связи между указанными признаками.

Решение:

Аналитическая группировка строится по факторному признаку. В нашей задаче факторным признаком (х) является численность менеджеров, а результативным признаком (у) - объем продаж (табл. 2.4).

Построим теперь аналитическую группировку (табл. 2.5).

Вывод. На основании данных построенной аналитической группировки можно сказать, что с увеличением численности менеджеров по продажам средний в группе объем продаж фирмы также увеличивается, что свидетельствует о наличии прямой связи между указанными признаками.

Таблица 2.4

Вспомогательная таблица для построения аналитической группировки

	Численность менеджеров, чел.,	Номер фирмы	Объем продаж, млн руб., у
			» = 59 f = 9,97
			Я-™ 4 - Ю.22
			74 ’25 1ПЙ1 У4 = 7 = 10,61

			у = ’ =10,31 30

Таблица 2.5

Зависимость объемов продаж от численности менеджеров фирм в одном из регионов РФ в I квартале отчетного года

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

• 1. В чем суть статистического наблюдения?
• 2. Назовите этапы статистического наблюдения.
• 3. Каковы организационные формы статистического наблюдения?
• 4. Назовите виды статистического наблюдения.
• 5. Что такое статистическая сводка?
• 6. Назовите виды статистических сводок.
• 7. Что такое статистическая группировка?
• 8. Назовите виды статистических группировок.
• 9. Что такое ряд распределения?
• 10. Назовите конструктивные элементы ряда распределения.
• 11. Каков порядок построения ряда распределения?

Во многих случаях, кота статистическая совокупность включает большое или тем более бесконечное число вариант, что чаще всего встречается при непрерывной вариации, практически невозможно и нецелесообразно формировать группу единиц для каждой варианты. В таких случаях объединение статистических единиц в группы возможно лишь на базе интервала, т.е. такой группы, которая имеет определенные пределы значений варьирующего признака. Эти пределы обозначаются двумя числами, указывающими верхнюю и нижнюю границы каждой группы. Применение интервалов приводит к формированию интервального ряда распределения.

Интервальный рад - это вариационный ряд, варианты которого представлены в виде интервалов.

Интервальный ряд может формироваться с равными инеравными ин­тервалами, при этом выбор принципа построения этого ряда зависит главным образом от степени представительности и удобности статистической совокупности. Если совокупность достаточно велика (представительна) по числу единиц и вполне однородна по своему составу, то в основу формирования интервального ряда целесообразно положить равенства интервалов. Обычно по этому принципу образуют интервальный ряд по тем совокупностям, где размах вариации сравнительно невелик, т.е. максимальная и минимальная варианты различаются между собой обычно в несколько раз. При этом величина равных интервалов рассчитывается отношением размаха вариации признака к заданному числу образуемых интервалов. Для определения равного и нтервала может быть ииспользована формула Стерджесса (обычно при небольшой вариации интервальных признаков и большом числе единиц в статистической совокупности):

где х i - величина равного интервала; X max, X min- максимальная и минимальная варианты в статистической совокупности; n. - число единиц в совокупности.

Пример . Целесообразно рассчитать размер равного интервала по плотности радиоактивного загрязнения цезием – 137 в 100 населенных пунктах Краснопольского района Могилевской области, если известно, что начальная (минимальная) варианта равна I км/км 2 , конечная (максимальная) - 65 ки/км 2 . Воспользовавшись формулой 5.1. получим:

Следовательно, чтобы сформировать интервальный ряд с равными интервалами по плотности загрязнения цезием - 137 населенных пунктов Краснопольского района, размер равного интервала может составить 8 ки/км 2 .

В условиях неравномерного распределения т.е. когда максимальная иминимальная варианты сотни раз, при формировании интервального ряда можно применить принцип неравных интервалов. Неравные интервалы обычно увеличиваются по мере перехода к большим значениям признака.

По форме интервалы могут быть закрытыми и открытыми. Закрытыми принято называть интервалы, у которых обозначены как нижняя, так и верхняя границы. Открытые интервалы имеют только одну границу: в первом интервале – верхняя, в последнем - нижняя граница.

Оценку интервальных рядов, особенно с неравным интервалами, целесообразно проводить с учетом плотности распределения , простейшим способом расчета которого является отношение локальной частоты (или частости) к размеру интервала.

Для практического формирования интервального ряда можно воспользоваться макетом табл. 5.3.

Т а б л и ц а 5.3. Порядок формирования интервального ряда населённых пунктов Краснопольского района по плотности радиоактивного загрязнения цезием –137

Основное преимущество интервального ряда - его предельная компактность. в то же время в интервальном ряду распределения индивидуальные варианты признака скрыты в соответствующих интервалах

При графическом изображении интервального ряда в системе прямоугольных координат на оси абсцисс откладывают верхние границы интервалов, на ос ординат - локальные частоты ряда. Графическое построение интервального ряда отличается от построения полигона распределения тем, что каждый интервал имеет нижнюю и верхнею границы, а одному какому- либо значению ординаты соответствуют две абсциссы. Поэтому на графике интервального ряда отмечается не точка, как в полигоне, а линия, соединяющая две точку. Эти горизонтальные линии соединяются друг с другом вертикальными линиями и получается фигура ступенчатого многоугольника, который принято называть гистограммой распределения (рис.5.3).

При графическом построении интервального ряда по достаточно большой статистической совокупности гистограмма приближается к симметричной форме распределения. В тех же случаях, где статистическая совокупность невелика, как правило, формируется асимметричная гистограмма.

В некоторых случаях имеется целесообразность в формировании ряда накопленных частот, т.е. кумулятивного ряда. Кумулятивный ряд можно образовать на основе дискретного либо интервального ряда распределения. При графическом изображении кумулятивного ряда в системе прямоугольных координат на оси абсцисс откладывают вариан­ты, на оси ординат - накопленные частоты (частости). Полученную при этом кривую линию принято называть кумулятой распределения (рис.5.4).

Формирование и графическое изображение различных видов вариационных рядов способствует упрощенному расчету основных статистических характеристик, которые подробно рассматриваются в теме 6, помогает лучше понять сущность законов распределения статистической совокупности. Анализ вариационного ряда приобретает особенное значение в тех случаях, когда необходимо выявить и проследить зависимость между вариантами и частотами (частостями). Эта зависимость проявляется в том, что число случаев, приходящихся на каждую варианту, определенным образом связано с величиной этой варианты, т.е. с возрастанием значений варьирующего признака частоты (частости) этих значений испытывают определенные, систематические изменения. Это означает, что числа в столбце частот (частостей) подвержены не хаотическим колебаниям, а изменяются в определенном направлении, в определенном порядке и последовательности.

Если частоты в своих изменениях обнаруживают определенную систематичность, то это означает, что мы находимся на пути к выявлению закономерности. Система, порядок, последовательность в изменении частот - это отражение общих причин, общих условий, характерных для всей совокупности.

Не следует считать, что закономерность распределения всегда дается в готовом виде. Встречается довольно много вариационных рядов, в которых частоты причудливо скачут, то возрастая, то уменьшаясь. В таких случаях целесообразно выяснить, с каким распределением имеет дело исследователь: то ли этому распределению вовсе не присущи закономерности, то его характер еще не выявлен: Первый случай встречается редко, второй же, второй же случай - явление довольно частое и весьма распространенное.

Так, при формировании интервального ряда общее число статистических единиц может быть небольшим, и в каждый интервал попадает малое число вариант (например, 1-3 единицы). В таких случаях рассчитывать на проявление какой-либо закономерности не приходится. Для того чтобы на основе случайных наблюдений получился закономерный результат, необходимо вступление в силу закона больших чисел, т.е. чтобы на каждый интервал приходилось бы не несколько, а десятки и сотни статистических единиц. С этой целью надо стараться, по возможности увеличивать число наблюдений. Это самый верный способ обнаружения закономерности в массовых процессах. Если же не представляется реальная возможность увеличить число наблюдений, то выявление закономерности может быть достигнуто уменьшением числа интервалов в ряду распределения. Уменьшая число интервалов в вариационном ряду, тем самым увеличивается численность частот в каждом интервале. Это означает, что случайные колебания каждой статистической единицы накладываются друг на друга, "сглаживается", превращаясь в закономерность.

Формирование и построение вариационных рядов позволяет получить лишь общую, приближенную картину распределения статистической совокупности. Например, гистограмма лишь в грубой форме выражает зависимость между значениями признака и его частотами (частостями) Поэтому вариационные ряды по существу являются лишь основой для дальнейшего, углубленного изучения внутренней закономерности статического распределения.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ТЕМЕ 5

1. Что представляет собой вариация? Чем вызывается вариация признака в статистической совокупности?

2. Какие виды варьирующих признаков могут иметь место в статистике?

3. Что такое вариационный ряд? Какие могут быть виды вариационных рядов?

4. Что представляет собой ранжированный ряд? Какие его преимущества и недостатки?

5. Что такое дискретный ряд и какие его преимущества и недостатки?

6. Каков порядок формирования интервального ряда, какие его преимущества и недостатки?

7. Что представляет собой графическое изображение ранжированного, дискретного, интервального рядов распределения?

8. Что такое кумулята распределения и что она характеризует?

Наиболее простым способом обобщения статистического материала является построение рядов. Результатом сводки статистического исследования могут быть ряды распределения. Рядом распределения в статистике называется упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по какому-либо одному признаку: по качественному или количественному. Если ряд построен по качественному признаку, то он называется атрибутивным, а если по количественному признаку, то вариационный.

Вариационный ряд характеризуется двумя элементами: вариантой (Х) и частотой (f). Варианта – это отдельное значение признака отдельной единицы или группы совокупности. Число, показывающее, сколько раз встречается то или иное значение признака, называется частотой. Если частота выражена относительным числом, то она называется частостью. Вариационный ряд может быть интервальным, когда определены границы «от» и «до», а может быть дискретным, когда изучаемый признак характеризуется определенным числом.

Построение вариационных рядов рассмотрим на примерах.

Пример . и меются данные о тарифных разрядах 60 рабочих одного их цехов завода.

Распределить рабочих по тарифному разряду, построить вариационный ряд.

Для этого выпишем все значения признака в порядке возрастания и посчитаем число рабочих в каждой группе.

Таблица 1.4

Распределение рабочих по разряду

Разряд рабочих (X)	Число рабочих
	человек (f)	в % к итогу (частность)

Мы получили вариационный дискретный ряд, в котором изучаемый признак (разряд рабочего) представлен определенным числом. Для наглядности вариационные ряды изображают графически. На основании данного ряда распределения построили поверхность распределения.

Рис. 1.1. Полигон распределения рабочих по тарифному разряду

Построение интервального ряда с равными интервалами рассмотрим на следующем примере.

Пример . Известны данные о стоимости основного капитала 50 фирм в млн руб. Требуется показать распределение фирм по стоимости основного капитала.

Чтобы показать распределение фирм по стоимости основного капитала, сначала решим вопрос о количестве групп, которые хотим выделить. Предположим, решили выделить 5 групп предприятий. Затем определим величину интервала в группе. Для этого воспользуемся формулой

Согласно нашему примеру .

Путем прибавления величины интервала к минимальному значению признака, получим группы фирм по стоимости основного капитала.

Единица, обладающая двойным значением, относится к той группе, где она выступает в роли верхней границы (т.е. значение признака 17 пойдет в первую группу, 24 – во вторую и т.д.).

Подсчитаем число заводов в каждой группе.

Таблица 1.5

Распределение фирм по стоимости основного капитала (млн руб.)

Стоимость основного капитала в млн руб. (Х)	Число фирм (частота) (f)	Накопленные частоты (кумулятивные)

Согласно данному распределению получили вариационный интервальный ряд, из которого следует, что 36 фирм имеют основной капитал стоимостью от 10 до 24 млн руб. и т.д.

Интервальные ряды распределения можно представить графически в виде гистограммы.

Результаты обработки данных оформляются в статистические таблицы . Статистические таблицы содержат свое подлежащее и сказуемое.

Подлежащее – это та совокупность или часть совокупности, которая подвергается характеристике.

Сказуемое – это показатели, характеризующие подлежащее.

Таблицы различают: простые и групповые, комбинационные, с простой и сложной разработкой сказуемого.

Простая таблица в подлежащем содержит перечень отдельных единиц.

Если же в подлежащем имеется группировка единиц, то такая таблица называется групповой. Например, группа предприятий по числу рабочих, группы населения по полу.

В подлежащем комбинационной таблицы содержится группировка по двум или нескольким признакам. Например, население по полу разделяется на группы по образованию, возрасту и т.д.

Комбинационные таблицы содержат информацию, позволяющую выявить и охарактеризовать взаимосвязь ряда показателей и закономерность их изменения как в пространстве, так и во времени. Чтобы таблица была наглядной при разработке ее подлежащего, ограничиваются двумя-тремя признаками, образуя по каждому из них ограниченное число групп.

Сказуемое в таблицах может быть разработано по-разному. При простой разработке сказуемого все его показатели располагаются независимо друг от друга.

При сложной разработке сказуемого показатели сочетаются друг с другом.

При построении любой таблицы нужно исходить из целей исследования и содержания обработанного материала.

Кроме таблиц в статистике используются графики и диаграммы. Диаграмма – статистические данные изображаются с помощью геометрических фигур. Диаграммы подразделяются на линейные и столбиковые, но могут быть фигурные диаграммы (рисунки и символы), круговые диаграммы (окружность принимается за величину всей совокупности, а площади отдельных секторов отображают удельный вес или долю ее составных частей), радиальные диаграммы (строятся на базе полярных ординат). Картограмма представляет собой сочетание контурной карты или плана местности с диаграммой.

Располагая данные статистического наблюдения, характеризующих то или иное явление, прежде всего необходимо их упорядочить, т.е. придать характер системности

Английский статистик. УДжРейхман по поводу неупорядоченных совокупностей образно сказал, что столкнуться с массой необобщенных данных равнозначно ситуации, когда человека бросают в лесной чаще без компаса. Что же собой представляет систематизация статистических данных в виде рядов распределениялу?

Статистический ряд распределения - это упорядоченные статистические совокупности (табл. 17). Простейшим видом статистического ряда распределения ранжированном ряд, т.е. ряд чисел, находящейся в порядке возрастания ч или падения варьируя признаки. Такой ряд не позволяет судить о закономерности, заложенные в распределенных данных: у какой величины группируется большинство показателей, какие есть отклонения от этой величины; как а общая картина распределения. С этой целью группируют данные, показывая, как часто встречаются отдельные наблюдения в общем их числе (Схема 1а 1).

. Таблица 17

. Общий вид статистических рядов распределения

. Схема 1. Схемастатистичних рядов распределения

Распределение единиц совокупности по признакам, не имеют количественного выражения, называется атрибутивным рядом (например, распределение предприятий по их производственным направлением)

Ряды распределения единиц совокупности по признакам, имеют количественное выражение, называются вариационными рядами . В таких рядах значение признака (варианты) находятся в порядке возрастания или убывания

В вариационном ряде распределения различают два элемента: варианта и частота. Варианта - это отдельное значение группировочного признаки частота - число, которое показывает, сколько раз встречается каждый варианта

В математической статистике исчисляется еще один элемент вариационного ряда - частисть . Последняя определяется как отношение частоты случаев данного интервала к общей сумме частот частисть определяется в долях единицы, процентах (%) в промилле (% о)

Таким образом, вариационный ряд распределения - это такой ряд, в котором варианты расположены в порядке возрастания или убывания, указаны их частоты или частости. Вариационные ряды бывают дискретные (переривни) и др. нтервальни (непрерывного).

. Дискретные вариационные ряды - это такие ряды распределения, в которых варианта как величина количественного признака может принимать только определенное значение. Варианты различаются между собой на одну или несколько единиц

Так, количество произведенных деталей за смену конкретным рабочим может выражаться только одним определенным числом (6, 10, 12 и тд). Примером дискретного вариационного ряда может быть распределение работников по к количеством произведенных деталей (табл 18 18).

. Таблица 18

. Дискретный ряд распределения _

. Интервальные (непрерывного) вариационные ряды - такие ряды распределения, в которых значение варианты даны в виде интервалов, т.е. значения признаков могут отличаться друг от друга на сколь угодно малую величину. При построении вариационного ряда нэп переривнои признаки невозможно указать каждое значение варианты, поэтому совокупность распределяется по интервалам. Последние могут быть равны и неравны. Для каждого из них указываются частоты или частости (табл. 1 9 19).

В интервальных рядах распределения с неравными интервалами вычисляют такие математические характеристики, как плотность распределения и относительная плотность распределения на данном интервале. Первая характеристика определи ся отношением частоты до величины того же интервала, вторая - отношением частости к величине того же интервала. Для приведенного выше примера плотность распределения на первом интервале составит 3: 5 = 0,6, а относительная плотность на этом интервале - 7,5:5 = 1,55%.

. Таблица 19

. Интервальный ряд распределения _

Условие:

Имеются данные о возрастном составе рабочих (лет): 18, 38, 28, 29, 26, 38, 34, 22, 28, 30, 22, 23, 35, 33, 27, 24, 30, 32, 28, 25, 29, 26, 31, 24, 29, 27, 32, 25, 29, 29.

1. 1. Построить интервальный ряд распределения.
   2. Построить графическое изображение ряда.
   3. Графически определить моду и медиану.

Решение:

1) По формуле Стерджесса совокупность надо разделить на 1 + 3,322 lg 30 = 6 групп.

Максимальный возраст - 38, минимальный - 18.

Ширина интервала Так как концы интервалов должны быть целыми числами, разделим совокупность на 5 групп. Ширина интервала - 4.

Для облегчения подсчетов расположим данные в порядке возрастания: 18, 22, 22, 23, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 28, 28, 28, 29, 29, 29, 29, 29, 30, 30, 31, 32, 32, 33, 34, 35, 38, 38.

Распределение возрастного состава рабочих

Графически ряд можно изобразить в виде гистограммы или полигона. Гистограмма - столбиковая диаграмма. Основание столбика - ширина интервала. Высота столбика равна частоте.

Полигон (или многоугольник распределения) - график частот. Чтобы его построить по гистограмме, соединяем середины верхних сторон прямоугольников. Многоугольник замыкаем на оси Ох на расстояниях, равных половине интервала от крайних значений х.

Мода (Мо) - это величина изучаемого признака, которая в данной совокупности встречается наиболее часто.

Чтобы определить моду по гистограмме, надо выбрать самый высокий прямоугольник, провести линию от правой вершины этого прямоугольника к правому верхнему углу предыдущего прямоугольника, и от левой вершины модального прямоугольника провести линию к левой вершине последующего прямоугольника. От точки пересечения этих линий провести перпендикуляр к оси х. Абсцисса и будет модой. Мо ≈ 27,5. Значит, наиболее часто встречаемый возраст в данной совокупности 27-28 лет.

Медиана (Mе) - это величина изучаемого признака, которая находится в середине упорядоченного вариационного ряда.

Медиану находим по кумуляте. Кумулята - график накопленных частот. Абсциссы - варианты ряда. Ординаты - накопленные частоты.

Для определения медианы по кумуляте находим по оси ординат точку, соответствующую 50% накопленных частот (в нашем случае 15), проводим через неё прямую, параллельно оси Ох, и от точки её пересечения с кумулятой проводим перпендикуляр к оси х. Абсцисса является медианой. Ме ≈ 25,9. Это означает, что половина рабочих в данной совокупности имеет возраст менее 26 лет.