Funcții și grafică. Funcția exponențială

Să găsim valoarea expresiei pentru diferite valori raționale ale variabilei x=2; 0; -3; -

Rețineți că indiferent de ce număr înlocuim variabila x, putem găsi întotdeauna valoarea acestei expresii. Aceasta înseamnă că luăm în considerare o funcție exponențială (y este egal cu trei cu puterea lui x) definită pe mulțime numere raționale: .

Să construim un grafic al acestei funcții prin compilarea unui tabel cu valorile acesteia.

Să desenăm o linie netedă care trece prin aceste puncte (Figura 1)

Folosind graficul acestei funcții, să luăm în considerare proprietățile acesteia:

3. Crește pe toată zona de definiție.

1. interval de valori de la zero la plus infinit.

8. Funcția este convexă în jos.

Dacă construim grafice ale funcțiilor într-un sistem de coordonate; y=(y este egal cu doi cu puterea lui x, y este egal cu cinci cu puterea lui x, y este egal cu șapte cu puterea lui x), atunci puteți vedea că au aceleași proprietăți ca și y= (y este egal cu trei cu puterea lui x) (Fig. .2), adică toate funcțiile de forma y = (a este egal cu a cu puterea x, pentru a mai mare decât unu) vor avea astfel de proprietăți

Să diagramăm funcția:

1. Alcătuirea unui tabel cu valorile acestuia.

Să marchem punctele obținute pe planul de coordonate.

Să desenăm o linie netedă care trece prin aceste puncte (Figura 3).

Folosind graficul acestei funcții, indicăm proprietățile acesteia:

1. Domeniul definiției este mulțimea tuturor numerelor reale.

2. Nu este nici par, nici impar.

3.Scăderi în întregul domeniu de definire.

4. Nu are nici cele mai mari, nici cele mai mici valori.

5. Limitat mai jos, dar fără limitare mai sus.

6.Continuu pe întregul domeniu de definire.

7. interval de valori de la zero la plus infinit.

8. Funcția este convexă în jos.

În mod similar, dacă trasăm grafice de funcții într-un sistem de coordonate; y = (y este egal cu o jumătate cu puterea lui x, y este egal cu o cincime cu puterea lui x, y este egal cu o șapte cu puterea lui x), atunci puteți observa că au aceleași proprietăți ca și y = (y este egal cu o treime cu puterea x (Fig. 4), adică toate funcțiile de forma y = (y este egal cu unul împărțit la puterea x, cu un mai mare decat zero dar mai mic de unu) va avea astfel de proprietati.

Să construim grafice ale funcțiilor într-un sistem de coordonate

Aceasta înseamnă că graficele funcțiilor y=y= vor fi și ele simetrice (y este egal cu a la puterea x și y este egal cu unul împărțit cu a la puterea x) pentru aceeași valoare a lui a.

Să rezumam ceea ce s-a spus definind funcția exponențială și indicând principalele sale proprietăți:

Definiţie: O funcție de forma y=, unde (y este egal cu a cu puterea x, unde a este pozitivă și diferită de una), se numește funcție exponențială.

Este necesar să ne amintim diferențele dintre funcția exponențială y= și funcția de putere y=, a=2,3,4,…. atât auditiv cât și vizual. Funcția exponențială X este o diplomă și functie de putere X este baza.

Exemplul 1: Rezolvați ecuația (trei la puterea x este egal cu nouă)

(Y este egal cu trei cu puterea lui X și Y este egal cu nouă) Fig. 7

Rețineți că au un punct comun M (2;9) (em cu coordonatele două; nouă), ceea ce înseamnă că abscisa punctului va fi rădăcina acestei ecuații. Adică, ecuația are o singură rădăcină x = 2.

Exemplul 2: Rezolvați ecuația

Într-un sistem de coordonate, vom construi două grafice ale funcției y= (y este egal cu cinci cu puterea lui x și y este egal cu o douăzeci și cinci) Fig. Graficele se intersectează într-un punct T (-2; (te cu coordonatele minus două; o douăzeci și cinci). Aceasta înseamnă că rădăcina ecuației este x = -2 (numărul minus doi).

Exemplul 3: Rezolvați inegalitatea

Într-un sistem de coordonate vom construi două grafice ale funcției y=

(Y este egal cu trei cu puterea lui X și Y este egal cu douăzeci și șapte).

Fig.9 Graficul funcției este situat deasupra graficului funcției y=at

x Prin urmare, soluția inegalității este intervalul (de la minus infinit la trei)

Exemplul 4: Rezolvați inegalitatea

Într-un sistem de coordonate, vom construi două grafice ale funcției y= (y este egal cu o pătrime cu puterea lui x și y este egal cu șaisprezece). (Fig. 10). Graficele se intersectează într-un punct K (-2;16). Aceasta înseamnă că soluția inegalității este intervalul (-2; (de la minus doi la plus infinit), deoarece graficul funcției y= este situat sub graficul funcției la x

Raționamentul nostru ne permite să verificăm validitatea următoarelor teoreme:

Tema 1: Dacă adevărat dacă și numai dacă m=n.

Teorema 2: Dacă este adevărată dacă și numai dacă, inegalitatea este adevărată dacă și numai dacă (Fig. *)

Teorema 4: Dacă este adevărată dacă și numai dacă (Fig.**), inegalitatea este adevărată dacă și numai dacă Teorema 3: Dacă și numai dacă m=n.

Exemplul 5: Reprezentați grafic funcția y=

Să modificăm funcția aplicând proprietatea gradului y=

Să construim sistem suplimentar coordonate și în sistem nou coordonate, vom construi un grafic al funcției y = (y este egal cu doi cu puterea x) Fig. 11.

Exemplul 6: Rezolvați ecuația

Într-un sistem de coordonate vom construi două grafice ale funcției y=

(Y este egal cu șapte cu puterea lui X și Y este egal cu opt minus X) Fig. 12.

Graficele se intersectează într-un punct E (1; (e cu coordonatele unu; șapte). Aceasta înseamnă că rădăcina ecuației este x = 1 (x egal cu unu).

Exemplul 7: Rezolvați inegalitatea

Într-un sistem de coordonate vom construi două grafice ale funcției y=

(Y este egal cu un sfert cu puterea lui X și Y este egal cu X plus cinci). Graficul funcției y= se află sub graficul funcției y=x+5 când soluția inegalității este intervalul x (de la minus unu la plus infinit).

FUNCȚII EXPONENTARE ȘI LOGARITMICE VIII

§ 179 Proprietăţile de bază ale funcţiei exponenţiale

În această secțiune vom studia proprietățile de bază ale funcției exponențiale

y = a x (1)

Să ne amintim asta mai jos O în formula (1) ne referim la orice fix număr pozitiv, diferit de 1.

Proprietatea 1. Domeniul unei funcții exponențiale este mulțimea tuturor numerelor reale.

De fapt, cu un pozitiv O expresie O x definit pentru orice număr real X .

Proprietatea 2. Funcția exponențială ia doar valori pozitive.

Într-adevăr, dacă X > 0, deci, după cum sa dovedit în § 176,

O x > 0.

Dacă X <. 0, то

O x =

Unde - X deja mai mult de zero. De aceea A - x > 0. Dar atunci

O x = > 0.

În sfârșit, când X = 0

O x = 1.

A 2-a proprietate a funcției exponențiale are o interpretare grafică simplă. Constă în faptul că graficul acestei funcții (vezi Fig. 246 și 247) este situat în întregime deasupra axei absciselor.

Proprietatea 3. Dacă O >1, apoi când X > 0 O x > 1, si cand X < 0 O x < 1. Dacă O < 1, тo, dimpotrivă, când X > 0 O x < 1, si cand X < 0 O x > 1.

Această proprietate a funcției exponențiale permite, de asemenea, o interpretare geometrică simplă. La O > 1 (Fig. 246) curbe y = a x situat deasupra liniei drepte la = 1 la X > 0 și sub linia dreaptă la = 1 la X < 0.

Dacă O < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = a x situat sub linia dreaptă la = 1 la X > 0 și deasupra acestei linii la X < 0.

Să dăm o dovadă riguroasă a celei de-a treia proprietăți. Lasă O > 1 și X - un număr pozitiv arbitrar. Să arătăm asta

O x > 1.

Dacă numărul X rațional ( X = m / n ), Asta O x = O m/ n = n √o m .

Din moment ce O > 1, atunci O m > 1, dar rădăcina unui număr mai mare decât unu este evident și mai mare decât 1.

Dacă X este irațional, atunci există numere raționale pozitive X" Şi X" , care servesc ca aproximări zecimale ale unui număr x :

X"< х < х" .

Dar apoi, prin definiția unui grad cu un exponent irațional

O x" < O x < O x"" .

După cum se arată mai sus, numărul O x" mai mult de unul. Prin urmare numărul O x , mai mare decât O x" , trebuie să fie, de asemenea, mai mare decât 1,

Deci, am arătat că atunci când o >1 și pozitiv arbitrar X

O x > 1.

Dacă numărul X a fost negativ, atunci am avea

O x =

unde este numărul X ar fi deja pozitiv. De aceea A - x > 1. Prin urmare,

O x = < 1.

Astfel, când O > 1 și negativ arbitrar x

O x < 1.

Cazul când 0< O < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.

Proprietatea 4. Dacă x = 0, atunci indiferent de a O x =1.

Aceasta rezultă din definiția gradului zero; puterea zero a oricărui număr altul decât zero este egală cu 1. Grafic, această proprietate este exprimată prin faptul că pentru orice O curba la = O x (vezi Fig. 246 și 247) intersectează axa la într-un punct cu ordonata 1.

Proprietatea 5. La O >1 funcţie exponenţială = O x este monoton în creștere, iar pentru a < 1 - în scădere monoton.

Această proprietate permite, de asemenea, o interpretare geometrică simplă.

La O > 1 (Fig. 246) curbă la = O x cu crestere X se ridică din ce în ce mai sus și când O < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.

Să dăm o dovadă riguroasă a celei de-a 5-a proprietăți.

Lasă O > 1 și X 2 > X 1. Să arătăm asta

O x 2 > O x 1

Din moment ce X 2 > X 1., atunci X 2 = X 1 + d , Unde d - un număr pozitiv. De aceea

O x 2 - O x 1 = O x 1 + d - O x 1 = O x 1 (O d - 1)

Prin proprietatea a 2-a a funcției exponențiale O x 1 > 0. Din moment ce d > 0, apoi prin a 3-a proprietate a funcției exponențiale O d > 1. Ambii factori din produs O x 1 (O d - 1) sunt pozitive, prin urmare acest produs în sine este pozitiv. Mijloace, O x 2 - O x 1 > 0 sau O x 2 > O x 1, care este ceea ce trebuia dovedit.

Deci, când o > 1 functie la = O x este în creștere monoton. În mod similar, se demonstrează că atunci când O < 1 функция la = O x este monoton în scădere.

Consecinţă. Dacă două puteri ale aceluiași număr pozitiv, altele decât 1, sunt egale, atunci exponenții lor sunt egali.

Cu alte cuvinte, dacă

O b = O c (O > 0 și O =/= 1),

b = c .

Într-adevăr, dacă numerele b Şi Cu nu erau egale, atunci din cauza monotonității funcției la = O x cea mai mare dintre ele ar corespunde O >1 mai mare și când O < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или O b > O c , sau O b < O c . Ambele contrazic condiția O b = O c . Rămâne de recunoscut că b = c .

Proprietatea 6. Dacă a > 1, apoi cu o creștere nelimitată a argumentului X (X -> ∞ ) valorile funcției la = O x cresc de asemenea la infinit (la -> ∞ ). Când argumentul scade fără limită X (X -> -∞ ) valorile acestei funcții tind spre zero, rămânând pozitive (la->0; la > 0).

Ținând cont de monotonitatea funcției dovedite mai sus la = O x , putem spune că în cazul în cauză funcția la = O x crește monoton de la 0 la ∞ .

Dacă 0 <O < 1, apoi, cu o creștere nelimitată a argumentului x (x -> ∞), valorile funcției y = a x tind spre zero, rămânând în același timp pozitive (la->0; la > 0). Când argumentul x scade fără limită (X -> -∞ ) valorile acestei funcții cresc nelimitat (la -> ∞ ).

Datorită monotonității funcției y = un x putem spune că în acest caz funcţia la = O x scade monoton de la ∞ la 0.

A șasea proprietate a funcției exponențiale este reflectată clar în figurile 246 și 247. Nu o vom demonstra strict.

Tot ce trebuie să facem este să stabilim domeniul de variație al funcției exponențiale y = un x (O > 0, O =/= 1).

Mai sus am demonstrat că funcția y = un x ia doar valori pozitive și fie crește monoton de la 0 la ∞ (la O > 1), sau scade monoton de la ∞ la 0 (la 0< O <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = un x Există salturi când te schimbi? Este nevoie de valori pozitive? Această problemă este rezolvată pozitiv. Dacă O > 0 și O =/= 1, atunci oricare ar fi numărul pozitiv la 0 va fi găsit cu siguranță X 0, astfel încât

O x 0 = la 0 .

(Datorită monotonității funcției y = un x valoare specificată X 0 va fi, desigur, singurul.)

Demonstrarea acestui fapt depășește scopul programului nostru. Interpretarea sa geometrică este aceea pentru orice valoare pozitivă la 0 grafic al funcției y = un x cu siguranță se va intersecta cu o linie dreaptă la = la 0 și, în plus, doar într-un punct (Fig. 248).

Din aceasta putem trage următoarea concluzie, pe care o formulăm drept proprietatea 7.

Proprietatea 7. Aria de modificare a funcției exponențiale y = a x (O > 0, O =/= 1)este multimea tuturor numerelor pozitive.

Exerciții

1368. Aflați domeniile de definiție ale următoarelor funcții:

1369. Care dintre aceste numere este mai mare decât 1 și care este mai mic decât 1:

1370. Pe baza ce proprietăţi a funcţiei exponenţiale se poate afirma că

a) (5 / 7) 2,6 > (5 / 7) 2,5; b) (4 / 3) 1.3 > (4 / 3) 1.2

1371. Care număr este mai mare:

O) π - √3 sau (1/ π ) - √3; c) (2/3) 1 + √6 sau (2 / 3) √2 + √5 ;

b) ( π / 4) 1 + √3 sau ( π / 4) 2; d) (√3) √2 - √5 sau (√3) √3 - 2 ?

1372. Sunt inegalitățile echivalente:

1373. Ce se poate spune despre numere X Şi la , Dacă un x = și y , Unde O - un număr pozitiv dat?

1374. 1) Este posibil printre toate valorile funcției la = 2x evidențiați:

2) Este posibil printre toate valorile funcției la = 2 | x| evidențiați:

O) cea mai mare valoare; b) cea mai mică valoare?

Rezolvarea majorității problemelor matematice într-un fel sau altul implică transformarea expresiilor numerice, algebrice sau funcționale. Cele de mai sus se aplică în special deciziei. În versiunile examenului de stat unificat la matematică, acest tip de problemă include, în special, sarcina C3. Învățarea să rezolve sarcinile C3 este importantă nu numai pentru succes promovarea examenului de stat unificat, dar și pentru motivul că această abilitate va fi utilă atunci când studiezi un curs de matematică în liceu.

Când finalizați sarcinile C3, trebuie să decideți diverse tipuri ecuații și inegalități. Printre acestea se numără raționale, iraționale, exponențiale, logaritmice, trigonometrice, care conțin module (valori absolute), precum și combinate. Acest articol discută principalele tipuri de ecuații exponențiale și inegalități, precum și diverse metode deciziile lor. Citiți despre rezolvarea altor tipuri de ecuații și inegalități în secțiunea „” din articolele dedicate metodelor de rezolvare a problemelor C3 din Opțiuni pentru examenul de stat unificatîn matematică.

Înainte de a începe să analizăm specific ecuații exponențiale și inegalități, în calitate de tutore de matematică, vă sugerez să periați ceva material teoretic de care vom avea nevoie.

Funcția exponențială

Ce este o funcție exponențială?

Funcția formei y = un x, Unde o> 0 și o≠ 1 este numit functie exponentiala.

De bază proprietățile funcției exponențiale y = un x:

Graficul unei funcții exponențiale

Graficul funcției exponențiale este exponent:

Grafice ale funcțiilor exponențiale (exponenți)

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale

Indicativ se numesc ecuatii in care variabila necunoscuta se gaseste numai in exponenti ai unor puteri.

Pentru a rezolva ecuații exponențiale trebuie să cunoașteți și să fiți capabil să utilizați următoarea teoremă simplă:

Teorema 1. Ecuație exponențială o f(x) = o g(x) (Unde o > 0, o≠ 1) este echivalentă cu ecuația f(x) = g(x).

În plus, este util să ne amintim formulele și operațiile de bază cu grade:

Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

Exemplul 1. Rezolvați ecuația:

Soluţie: Folosim formulele de mai sus și înlocuirea:

Ecuația devine atunci:

Discriminant a primit ecuație pătratică pozitiv:

Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

Aceasta înseamnă că această ecuație are două rădăcini. Le gasim:

Trecând la înlocuirea inversă, obținem:

A doua ecuație nu are rădăcini, deoarece funcția exponențială este strict pozitivă pe întregul domeniu de definiție. Să o rezolvăm pe a doua:

Ținând cont de cele spuse în teorema 1, trecem la ecuația echivalentă: x= 3. Acesta va fi răspunsul la sarcină.

Răspuns: x = 3.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația:

Soluţie: Ecuația nu are restricții în domeniul valorilor permise, deoarece expresia radicală are sens pentru orice valoare x(funcție exponențială y = 9 4 -x pozitiv și nu egal cu zero).

Rezolvăm ecuația prin transformări echivalente folosind regulile de înmulțire și împărțire a puterilor:

Ultima tranziție a fost efectuată în conformitate cu teorema 1.

Răspuns:x= 6.

Exemplul 3. Rezolvați ecuația:

Soluţie: ambele părți ale ecuației inițiale pot fi împărțite la 0,2 x. Această tranziție va fi echivalentă, deoarece această expresie este mai mare decât zero pentru orice valoare x(funcția exponențială este strict pozitivă în domeniul său de definire). Atunci ecuația ia forma:

Răspuns: x = 0.

Exemplul 4. Rezolvați ecuația:

Soluţie: simplificăm ecuația la una elementară prin transformări echivalente folosind regulile de împărțire și înmulțire a puterilor date la începutul articolului:

Împărțirea ambelor părți ale ecuației la 4 x, ca în exemplul anterior, este o transformare echivalentă, deoarece această expresie nu este egală cu zero pentru nicio valoare x.

Răspuns: x = 0.

Exemplul 5. Rezolvați ecuația:

Soluţie: funcţie y = 3x, aflat în partea stângă a ecuației, este în creștere. Funcţie y = —x-2/3 din partea dreaptă a ecuației este în scădere. Aceasta înseamnă că dacă graficele acestor funcții se intersectează, atunci cel mult un punct. ÎN în acest caz, nu este greu de ghicit că graficele se intersectează în punct x= -1. Nu vor exista alte rădăcini.

Răspuns: x = -1.

Exemplul 6. Rezolvați ecuația:

Soluţie: simplificăm ecuația prin transformări echivalente, ținând cont peste tot că funcția exponențială este strict mai mare decât zero pentru orice valoare xși folosind regulile de calcul a produsului și a coeficientului de puteri date la începutul articolului:

Răspuns: x = 2.

Rezolvarea inegalităților exponențiale

Indicativ se numesc inegalitati in care variabila necunoscuta este continuta doar in exponenti ai unor puteri.

Pentru a rezolva inegalități exponențiale este necesară cunoașterea următoarei teoreme:

Teorema 2. Dacă o> 1, apoi inegalitatea o f(x) > o g(x) este echivalentă cu o inegalitate de același sens: f(x) > g(x). Daca 0< o < 1, то inegalitatea exponenţială o f(x) > o g(x) este echivalent cu o inegalitate cu sens invers: f(x) < g(x).

Exemplul 7. Rezolvați inegalitatea:

Soluţie: Să prezentăm inegalitatea inițială sub forma:

Să împărțim ambele părți ale acestei inegalități la 3 2 x, în acest caz (datorită pozitivității funcției y= 3 2x) semnul inegalității nu se va schimba:

Să folosim înlocuirea:

Atunci inegalitatea va lua forma:

Deci, soluția inegalității este intervalul:

Trecând la substituția inversă, obținem:

Inegalitatea din stânga, datorită pozitivității funcției exponențiale, este satisfăcută automat. Folosind proprietatea binecunoscută a logaritmului, trecem la inegalitatea echivalentă:

Deoarece baza gradului este un număr mai mare decât unu, echivalentul (prin teorema 2) este trecerea la următoarea inegalitate:

Deci, în sfârșit, obținem răspuns:

Exemplul 8. Rezolvați inegalitatea:

Soluţie: Folosind proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor, rescriem inegalitatea sub forma:

Să introducem o nouă variabilă:

Ținând cont de această substituție, inegalitatea ia forma:

Înmulțind numărătorul și numitorul fracției cu 7, obținem următoarea inegalitate echivalentă:

Deci, următoarele valori ale variabilei satisfac inegalitatea t:

Apoi, trecând la substituția inversă, obținem:

Deoarece baza gradului aici este mai mare decât unu, trecerea la inegalitate va fi echivalentă (prin teorema 2):

În sfârșit, obținem răspuns:

Exemplul 9. Rezolvați inegalitatea:

Soluţie:

Împărțim ambele părți ale inegalității prin expresia:

Este întotdeauna mai mare decât zero (datorită pozitivității funcției exponențiale), astfel încât semnul de inegalitate nu trebuie schimbat. Primim:

t situat în intervalul:

Trecând la substituția inversă, aflăm că inegalitatea inițială se împarte în două cazuri:

Prima inegalitate nu are soluții datorită pozitivității funcției exponențiale. Să o rezolvăm pe a doua:

Exemplul 10. Rezolvați inegalitatea:

Soluţie:

Ramuri de parabolă y = 2x+2-x 2 sunt îndreptate în jos, de aceea este limitată de sus de valoarea pe care o atinge la vârful său:

Ramuri de parabolă y = x 2 -2x+2 din indicator sunt îndreptați în sus, ceea ce înseamnă că este limitat de jos de valoarea pe care o atinge la vârful său:

În același timp, funcția se dovedește a fi mărginită de jos y = 3 x 2 -2x+2, care se află în partea dreaptă a ecuației. Ea își atinge scopul cea mai mică valoareîn același punct cu parabola din exponent, iar această valoare este egală cu 3 1 = 3. Deci, inegalitatea inițială poate fi adevărată numai dacă funcția din stânga și funcția din dreapta iau o valoare egală cu 3 în același punct (prin intersecție Gama de valori ale acestor funcții este doar acest număr). Această condiție este îndeplinită într-un singur punct x = 1.

Răspuns: x= 1.

Pentru a învăța să decidă ecuații exponențialeși inegalități este necesar să ne antrenăm constant în rezolvarea lor. Diverse lucruri vă pot ajuta în această sarcină dificilă. manuale metodologice, cărți de probleme la matematică elementară, culegeri de probleme competitive, ore de matematică la școală, precum și lecții individuale cu un tutore profesionist. Vă doresc din suflet succes în pregătirea dumneavoastră și rezultate excelente la examen.

Serghei Valerievici

P.S. Dragi invitati! Vă rugăm să nu scrieți solicitări pentru a vă rezolva ecuațiile în comentarii. Din păcate, nu am absolut timp pentru asta. Astfel de mesaje vor fi șterse. Vă rugăm să citiți articolul. Poate că în ea veți găsi răspunsuri la întrebări care nu v-au permis să vă rezolvați singur sarcina.

Funcția exponențială este o generalizare a produsului a n numere egale cu a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
la mulțimea numerelor reale x:
y (x) = un x.
Aici a este fix număr real care se numeste baza functiei exponentiale.
Se mai numește și o funcție exponențială cu baza a exponent la baza a.

Generalizarea se realizează după cum urmează.
Pentru natural x = 1, 2, 3,... , funcția exponențială este produsul x factori:
.
Mai mult, are proprietăți (1,5-8) (), care decurg din regulile de înmulțire a numerelor. La zero și valori negative numere întregi, funcția exponențială este determinată folosind formulele (1.9-10). Pentru valorile fracționale x = m/n numere raționale, , se determină prin formula (1.11). Pentru real, funcția exponențială este definită ca limita a secvenței:
,
unde este o succesiune arbitrară de numere raționale care converg către x: .
Cu această definiție, funcția exponențială este definită pentru toate , și satisface proprietățile (1.5-8), ca pentru x natural.

O formulare matematică riguroasă a definiției unei funcții exponențiale și demonstrarea proprietăților acesteia este dată la pagina „Definiția și demonstrarea proprietăților unei funcții exponențiale”.

Proprietățile funcției exponențiale

Funcția exponențială y = a x are următoarele proprietăți pe mulțimea numerelor reale ():
(1.1) definit si continuu, pentru , pentru toti ;
(1.2) pentru un ≠ 1 are multe semnificații;
(1.3) strict crește la , scade strict la ,
este constantă la ;
(1.4) la ;
la ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Alte formule utile.
.
Formula pentru conversia într-o funcție exponențială cu o bază de exponent diferită:

Când b = e, obținem expresia funcției exponențiale prin exponențială:

Valori private

, , , , .

Figura prezintă grafice ale funcției exponențiale
y (x) = un x
pentru patru valori baze de grad: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 și a = 1/8 . 1 Se vede că pentru un > 0 < a < 1 funcţia exponenţială creşte monoton. Cu cât baza gradului a este mai mare, cu atât creșterea este mai puternică. La

funcţia exponenţială scade monoton. Cu cât exponentul a este mai mic, cu atât scăderea este mai puternică.

Urcând, coborând

	Funcția exponențială este strict monotonă și, prin urmare, nu are extreme. Principalele sale proprietăți sunt prezentate în tabel. 1	y = a x , a > 0 < a < 1
y = ax,	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Domeniul definiției	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Gama de valori	Monoton	crește monoton
scade monoton 0	Zerouri, y =	Zerouri, y =
Nu 0	Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 1	Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

y=

Funcția inversă

Inversa unei funcții exponențiale cu baza a este logaritmul cu baza a.
.
Dacă, atunci
.

Dacă, atunci

Diferențierea unei funcții exponențiale Pentru a diferenția o funcție exponențială, baza acesteia trebuie redusă la numărul e, aplicați tabelul de derivate și regula de diferențiere.

functie complexa
Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați proprietatea logaritmilor
.

și formula din tabelul derivatelor:
.
Să fie dată o funcție exponențială:

O aducem la baza e:

Să aplicăm regula de diferențiere a funcțiilor complexe. Pentru a face acest lucru, introduceți variabila

Din tabelul derivatelor avem (înlocuiește variabila x cu z):
.
Deoarece este o constantă, derivata lui z față de x este egală cu
.
Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe:
.

Derivată a unei funcții exponențiale

.
Derivată de ordin al n-lea:
.
Formule derivate > > >

Un exemplu de diferențiere a unei funcții exponențiale

Aflați derivata unei funcții
Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 3 5 x

Soluţie

Să exprimăm baza funcției exponențiale prin numărul e.
3 = e ln 3
Să aplicăm regula de diferențiere a funcțiilor complexe. Pentru a face acest lucru, introduceți variabila
.
Introduceți o variabilă
.
Să aplicăm regula de diferențiere a funcțiilor complexe. Pentru a face acest lucru, introduceți variabila

Din tabelul derivatelor găsim:
.
Din moment ce 5ln 3 este o constantă, atunci derivata lui z față de x este egală cu:
.
Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe, avem:
.

Răspuns

Integral

Expresii folosind numere complexe

Luați în considerare funcția număr complex z:
f (z) = a z
unde z = x + iy; 2 = - 1 .
i
Să exprimăm constanta complexă a în termeni de modul r și argument φ:
Să aplicăm regula de diferențiere a funcțiilor complexe. Pentru a face acest lucru, introduceți variabila


.
a = r e i φ Argumentul φ nu este definit în mod unic. ÎN
φ = φ vedere generală,
0 + 2 πn unde n este un număr întreg. Prin urmare, funcția f(z)
.

nici nu este clar. Semnificația sa principală este adesea luată în considerare

.

Extinderea seriei
Literatura folosita: