Completitudinea secvențelor fundamentale a mulțimii numerelor reale. Axiomele numerelor reale

Definiția 2. Se spune că o mulțime este mărginită de sus (de jos) dacă există un număr astfel încât c (respectiv, ) pentru orice .

Numărul c în acest caz se numește granița superioară (respectiv, inferioară) a mulțimii X sau, de asemenea, majoranta (minoratul) a mulțimii X.

Definiția 3. O mulțime mărginită atât deasupra cât și dedesubt se numește mărginită.

Definiție 4. Un element a se numește elementul cel mai mare sau maxim (cel mai mic sau minim) al mulțimii dacă (respectiv, ) pentru orice element .

Introducem notația și, în același timp, dăm o notație formală pentru definirea elementelor maxime și, respectiv, minime:

Alături de desemnări (se citește „maximum (se citește” minim în același sens, se folosesc simbolurile, respectiv)

Din axioma de ordinul I rezultă imediat că dacă într-o mulțime numerică există un element maxim (minim), atunci acesta este doar unul.

Totuși, nu fiecare set, chiar și unul limitat, are un element maxim (minim).

De exemplu, un set are un element minim, dar, așa cum este ușor de verificat, nu are un element maxim.

Definiția 5. Cel mai mic dintre numerele care au legat mulțimea de sus se numește limita superioară (sau limita superioară exactă) a mulțimii X și se notează (a se citi „supra sau

Aceasta este definiția principală a acestui paragraf. Asa de,

În prima paranteză, în dreapta conceptului în curs de definire, scrie că acesta limitează X de sus; a doua paranteză spune că este minimul numerelor care au această proprietate. Mai precis, a doua paranteză afirmă că orice număr mai mic decât nu mai este limita superioară a lui X.

În mod similar, conceptul de limita inferioară (limita inferioară exactă) a mulțimii X este introdus ca cea mai mare dintre limitele inferioare ale mulțimii X.

Definiția 6.

Împreună cu denumirea (se citește „infimum pentru fața inferioară a lui X), denumirea este de asemenea folosită

Astfel, sunt date următoarele definiții:

Dar mai sus am spus că nu orice mulțime are un element minim sau maxim, astfel încât definițiile acceptate ale limitelor superioare și inferioare ale unei mulțimi numerice necesită argumentare, care este furnizată de următoarele

Lema (principiul limitei superioare). Fiecare submulțime nevidă a mulțimii numerelor reale mărginite de sus are, în plus, o limită superioară unică.

Deoarece cunoaștem deja unicitatea elementului minim al unei mulțimi de numere, trebuie doar să verificăm existența limitei superioare.

Fie ca submulțimea dată să fie mulțimea limitelor superioare ale lui X. Prin presupunere, Atunci, în virtutea axiomei completității, există un număr astfel încât Numărul c este, prin urmare, un majorant al lui X și un minorant. Ca majorant al lui X, numărul c este un element al lui Y, dar ca minorant al lui Y, numărul c este elementul minim al mulțimii Y. Deci,

Desigur, existența și unicitatea limitei inferioare a unei mulțimi numerice mărginite de jos pot fi dovedite în mod similar, adică avem

Teoriile matematice, de regulă, își găsesc ieșirea în faptul că permit procesarea unui set de numere (date inițiale) într-un alt set de numere, ceea ce constituie un scop intermediar sau final al calculelor. Din acest motiv, funcțiile numerice ocupă un loc special în matematică și în aplicațiile acesteia. Ele (mai precis, așa-numitele funcții numerice diferențiabile) constituie obiectul principal de studiu al analizei clasice. Dar orice descriere a proprietăților acestor funcții care este completă din punctul de vedere al matematicii moderne, așa cum ați simți deja la școală și după cum veți vedea în curând, este imposibilă fără o definiție precisă a mulțimii numerelor reale pe care aceste funcții acţionează.

Un număr în matematică, ca și timpul în fizică, este cunoscut de toată lumea, dar este de neînțeles doar specialiștilor. Aceasta este una dintre principalele abstracții matematice, care, aparent, nu a suferit încă o evoluție semnificativă și a cărei poveste poate fi dedicată unui curs intensiv independent. Aici ne referim doar să reunim ceea ce cititorul știe practic despre numerele reale din liceu, evidențiind sub formă de axiome proprietățile fundamentale și independente ale numerelor. În același timp, scopul nostru este să oferim o definiție exactă a numerelor reale potrivite pentru utilizarea matematică ulterioară și să acordăm o atenție deosebită proprietății lor de completitudine, sau continuitate, care este germenul trecerii la limită - principala non-aritmetică. operația de analiză.

§ 1. Axiomatica si unele proprietati generale ale multimii numerelor reale

1. Definirea multimii numerelor reale

Definiție 1. Mulțimea E se numește mulțime de numere reale (reale), iar elementele ei se numesc reale (reale)

numere dacă este îndeplinită următorul set de condiții, numit axiomatica numerelor reale:

(I) Axiomele adunării

Maparea definită (operație de adăugare)

atribuind fiecărei perechi ordonate de elemente din E un element numit suma lui x și y. În acest caz, sunt îndeplinite următoarele condiții:

Există un element neutru 0 (numit zero în cazul adunării), astfel încât pentru oricare

Pentru orice element există un element numit opus astfel încât

Operația 4 este asociativă, adică pentru orice elemente din

Operația 4 este comutativă, adică pentru orice elemente ale lui E,

Dacă o operație este definită pe o mulțime care satisface axiomele, atunci se spune că structura unui grup este dată pe sau că există un grup. Dacă operația se numește adunare, atunci grupul se numește aditiv. Dacă, în plus, se știe că operația este comutativă, adică condiția este îndeplinită, atunci grupul se numește comutativ sau abelian. Deci axiomele spun că E este un grup abelian aditiv.

(II) Axiomele înmulțirii

Maparea definită (operație de multiplicare)

atribuind fiecărei perechi ordonate de elemente din E un element, numit produsul lui x și y, și în așa fel încât să fie îndeplinite următoarele condiții:

1. Există un element neutru în cazul înmulţirii cu unu) astfel încât

2. Pentru orice element există un element numit invers, astfel încât

3. Operația este asociativă, adică oricare dintre E

4. Operația este comutativă, adică pentru orice

Rețineți că, în ceea ce privește operația de înmulțire, se poate verifica că mulțimea este un grup (multiplicativ).

(I, II) Relația dintre adunare și înmulțire

Înmulțirea este distributivă în raport cu adunarea, adică.

Rețineți că, având în vedere comutativitatea înmulțirii, ultima egalitate este păstrată dacă ordinea factorilor din ambele părți este inversată.

Dacă pe o mulțime există două operații care satisfac toate axiomele enumerate, atunci se numește câmp algebric sau pur și simplu câmp.

(III) Axiomele ordinii

Există o relație între elementele lui E, adică pentru elementele din E se stabilește dacă este îndeplinită sau nu. În acest caz, trebuie îndeplinite următoarele condiții:

Relația se numește relație de inegalitate.

Se știe că o mulțime, între unele dintre ale cărei elemente există o relație care satisface axiomele 0, 1, 2, este numită parțial ordonată și dacă, în plus, axioma 3 este satisfăcută, adică oricare două elemente ale mulțimii sunt comparabile , atunci mulțimea se numește ordonată liniar.

Astfel, mulțimea numerelor reale este ordonată liniar după relația de inegalitate dintre elementele sale.

(I, III) Relația dintre adunare și ordine în R

Dacă x, sunt elemente ale lui R, atunci

(II, III) Relația dintre înmulțire și ordine în R

Dacă sunt elemente ale lui R, atunci

(IV) Axioma completității (continuității)

Dacă X și Y sunt submulțimi nevide ale lui E care au proprietatea că pentru orice element, atunci există astfel încât pentru orice element .

Aceasta completează lista de axiome a căror îndeplinire pe orice mulțime E face posibilă considerarea acestei mulțimi ca o realizare concretă sau, după cum se spune, un model de numere reale.

Această definiție nu presupune în mod formal nicio informație preliminară despre numere și din ea, „inclusiv gândirea matematică”, din nou, formal, trebuie să obținem deja restul proprietăților numerelor reale ca teoreme. Am dori să facem câteva observații informale despre acest formalism axiomatic.

Imaginați-vă că nu ați trecut de la adăugarea de mere, cuburi sau alte cantități numite la adăugarea de numere naturale abstracte; că nu ai măsurat segmente și nu ai ajuns la numere raționale; că nu știi marea descoperire a anticilor că diagonala unui pătrat este incomensurabilă cu latura lui și de aceea lungimea lui nu poate fi un număr rațional, adică este nevoie de numere iraționale; că nu ai noțiunea de „mai mult” care apare în procesul de măsurare, că nu îți ilustrezi ordinea, de exemplu, prin imaginea unei linii numerice. Dacă toate acestea nu s-ar fi întâmplat în prealabil, atunci setul enumerat de axiome nu numai că nu ar fi perceput ca un rezultat definit al dezvoltării spirituale, ci ar părea mai degrabă cel puțin ciudat și, în orice caz, o născocire arbitrară a fanteziei.

În ceea ce privește orice sistem abstract de axiome, imediat apar cel puțin două întrebări.

În primul rând, sunt aceste axiome compatibile, adică există o mulțime care îndeplinește toate condițiile de mai sus? Aceasta este problema consistenței axiomaticii.

În al doilea rând, sistemul de axiome dat determină în mod unic obiectul matematic, adică, așa cum ar spune logicienii, sistemul de axiome este categoric.

Neechivocitatea de aici ar trebui înțeleasă după cum urmează. Dacă persoanele A și B, în mod independent, și-au construit propriile modele, de exemplu, ale sistemelor numerice care satisfac axiomatica, atunci se poate stabili o corespondență bijectivă între mulțimi, chiar dacă păstrează operațiile aritmetice și relația de ordine, i.e.

Din punct de vedere matematic, în acest caz, acestea sunt doar implementări (modele) diferite (complet egale) ale numerelor reale (de exemplu, fracții zecimale infinite și - puncte pe linia numerică). Astfel de realizări se numesc izomorfe, iar maparea se numește izomorfism. Rezultatele activității matematice, așadar, nu se referă la o implementare individuală, ci la fiecare model din clasa modelelor izomorfe ale unei axiomatici date.

Nu vom discuta aici întrebările de mai sus și ne vom limita la răspunsuri informative la acestea.

Un răspuns pozitiv la întrebarea despre consistența axiomaticii este întotdeauna condiționat. În ceea ce privește numerele, arată astfel: pe baza axiomaticii teoriei mulțimilor adoptate de noi (vezi Cap. I, § 4, punctul 2), putem construi o mulțime de numere naturale, apoi o mulțime de numere raționale și , în sfârșit, o mulțime E a tuturor numerelor reale care satisface toate proprietățile de mai sus.

Definiția segmentelor imbricate. Dovada lemei Cauchy-Cantor pe segmente imbricate.

Conţinut

Definiția segmentelor imbricate

Fie a și b două numere reale (). Lăsați-l să plece . Mulțimea numerelor x care satisfac inegalitățile se numește segment cu capete a și b . Segmentul este marcat astfel:

Succesiunea segmentelor numerice

numită succesiune segmente imbricate, dacă fiecare segment următor este cuprins în cel precedent:
.
Adică, capetele segmentelor sunt legate prin inegalități:
.

Lema pe segmente imbricate (principiul Cauchy-Cantor)

Pentru orice succesiune de segmente imbricate, există un punct care aparține tuturor acestor segmente.
Dacă lungimile segmentelor tind spre zero:
,
atunci există un singur astfel de punct.

Această lemă mai este numită teorema segmentelor imbricate sau Principiul Cauchy-Cantor.

Dovada

Pentru dovada prima parte a lemei, folosim axioma completitudinii numerelor reale.

Axioma completității numerelor reale este după cum urmează. Fie mulțimile A și B două submulțimi de numere reale, astfel încât inegalitatea să fie valabilă pentru oricare două elemente și pentru aceste mulțimi. Atunci există un număr real c astfel încât pentru toți și inegalitățile sunt valabile:
.

Să aplicăm această axiomă. Fie mulțimea A mulțimea capetelor din stânga ale segmentelor, iar mulțimea B să fie mulțimea capetelor din dreapta. Atunci inegalitatea este valabilă între oricare două elemente ale acestor mulțimi. Apoi, din axioma completității numerelor reale rezultă că există un astfel de număr c încât pentru toți n sunt valabile următoarele inegalități:
.
Înseamnă că punctul c aparține tuturor segmentelor.

Să demonstrăm partea a doua a lemei.

Lăsa . Conform definiției limitei unei șiruri, aceasta înseamnă că pentru orice număr pozitiv există un număr natural N care depinde de ε astfel încât pentru toate numerele naturale n > N inegalitatea
(1) .

Să presupunem contrariul. Să fie două puncte distincte c 1 și c 2 , c 1 ≠ c2 aparţinând tuturor segmentelor. Aceasta înseamnă că următoarele inegalități sunt valabile pentru tot n:
;
.
De aici
.
Aplicând (1) avem:
.
Această inegalitate trebuie să fie valabilă pentru orice valoare pozitivă a lui ε. De aici rezultă că
c 1 = c2.

Lema este dovedită.

cometariu

Existența unui punct aparținând tuturor segmentelor decurge din axioma completității, care este valabilă pentru numerele reale. Această axiomă nu se aplică numerelor raționale. Prin urmare, lema pe segmentele imbricate nu se aplică și la mulțimea numerelor raționale.

De exemplu, am putea alege segmentele astfel încât ambele capetele din stânga și din dreapta să convergă către un număr irațional. Atunci orice număr rațional, cu o creștere în n, ar cădea întotdeauna din sistemul de segmente. Singurul număr care aparține întregului segment este un număr irațional.

Referinte:
O.V. demonii. Prelegeri de analiză matematică. Partea 1. Moscova, 2004.

§ 7 . Fundamentul analizei, 4

Completitudinea multimii numerelor reale.

7.1. Introducere.

Definiție. Prin număr real a înțelegem clasa de echivalență a șirurilor fundamentale de numere raționale.

Definiție. Multe R clasele de echivalență ale șirurilor fundamentale ale numerelor raționale vor fi numite mulțimea numerelor reale.

1) lim a n = a Û " 0< eÎR$ pО N("nО N, n ³ p) Þ |a n - a| £ e

2) fiecare șir (a n) care este convergentă este de asemenea fundamentală

" 0 < eÎR$ pО N("mО N, " nО N, m ³ p, n ³ p) Þ |a m - a n | £ e)

Este firesc să încercăm, prin analogie cu §6, să aplicăm procedura de factorizare la mulțimea de șiruri fundamentale de numere reale. Nu am obține un set de clase de echivalență de secvențe fundamentale de numere reale care conțin mulțimea R ca subgrup propriu?

Se dovedește că nu.

În acest § se va stabili o proprietate remarcabilă: proprietatea de completitudine a mulţimii numerelor reale, care constă în faptul că orice succesiune fundamentală de numere reale converge în R.

7.2. Aproximarea numerelor reale prin fracții zecimale.

Definiție. Secvența (q n) este mărginită dacă $ 0< MÎQ, că (" nО N|q n | M £)

Teorema 1. Fiecare succesiune fundamentală de numere raționale este mărginită.

Dovada. Fie (q n) o succesiune fundamentală de numere raționale, atunci, datorită naturii fundamentale, pentru e=1 există un astfel de pн N, ce:

$ pО N:((" m ³ p) Þ |q n -q m | £ 1)

m = p - fix, atunci " n ³ p |q n | £ |q p | + 1.

Într-adevăr: |q n | = |qn -qp +qp | £ |q n -q p | + |q p | z |q n | £ 1 + |q p |.

Setând ca M = max (|q 1 |, |q 2 |, … , |q p-1 |, …, 1+|q p |) obținem: " nн N|q n | £ M.ð

În clauza 6.3. relația unară „a fi pozitiv” a fost dată pe platou. Suntem de acord să scriem „>0“. Apoi a ³ 0 w (a > 0 sau a = 0).

Teorema 2 . Fie șirul fundamental (q n) de numere raționale să reprezinte un număr real a, atunci:

a) ($ p 1 О N, $ MO Q("nО N, " n ³ p 1) z |q n | £ M) z a £ M.

b) ($ p 2 О N, $ mО Q("nО N, " n ³ p 2) Þ q n ³ m) Þ m £ a.

Dovada. Deoarece „ n³p 1 q n -M £ 0, atunci șirul fundamental q n -M - diferența dintre secvența fundamentală (q n) și secvența constantă M nu poate fi o secvență pozitivă, deoarece este fie zero, fie negativă.

Prin urmare, numărul real (a-M) reprezentat de această secvență nu poate fi pozitiv, adică. a-M £ 0, adică a e M.

În mod similar, se ia în considerare b).

Teorema 3 . Sirul fundamental (q n) de numere raționale reprezintă un număr real a dacă și numai dacă „0 R$po N, că „nО N iar n³p inegalitatea |q n -a| £e:

(q n)нa ы " 0< eÎR$ pО N("nО N, n³p) Þ |q n -a| £ e.

Dovada. Să demonstrăm doar necesitatea. Este evident că „eн R$ e 1 О Q(e 1 £e)

Fie șirul fundamental (q n) de numere raționale un reprezentant al numărului a.

Prin presupunere, este fundamental, adică. "0< eÎQ$ pО N("nО N,"mО N, n³p, m³p) Þ |q n -q n | £e/2.

Fixați n³p, atunci obținem șirul fundamental (q m -q n): (q 1 -q n; q 2 -q n; ...; q n-1 -q n; 0; q n+1 -q n; ...) .

Toți termenii acestei șiruri pentru m³p satisfac inegalitatea: |q m -q n |£ e/2.

Prin teorema 2, numărul real reprezentat de această secvență | a-q n | £e/2.

| a-q n | £ e О R„n³p.

Teorema 4 . Oricare ar fi numărul real a, va exista întotdeauna un întreg M astfel încât inegalitatea M £ a

("aО R$! MO Z(M £ a< M+1))

Dovada.

Pasul 1. Dovada existenței.

Fie șirul fundamental (q n) de numere raționale să reprezinte un număr real a: ((q n)нa). În virtutea teoremei 1, $ Lн Z0, astfel încât „nн N q n ³-L, q n £L: (-L£ q n £L).

Prin Teorema 3 (q n)нa ы " e>0, eн R$ pО N: ((" nО N, n³p) z 1q n -a1 £ e).

Atunci " n³p ½a1=½a- q n + q n ½ £½a- q n ½+½ q n ½ £ e + L.

½a1 £ e + L w -L-e £ a £ L+e.

pentru că e este un număr arbitrar >0, apoi –L £ a £ L. După aceea, este evident că -1-L< a < L+1.

Apoi, printre mulțimea finită de numere întregi: -L-1, -L, -L+1, ..., -1, 0, +1, ..., L, L+1, găsim primul numărul M+1 pentru care condiția a< M+1.

Atunci numărul M nu satisface inegalitatea M £ a< M+1, т.е. такое число M существует.

Pasul 2. Dovada unicității.4

Plan:

Introducere

• 1 Axioma continuitatii
• 2 Rolul axiomei continuității în construcția analizei matematice
• 3 Alte declarații ale proprietății de continuitate și propuneri echivalente
  • 3.1 Continuitate după Dedekind
  • 3.2 Lema pe segmente imbricate (principiul Cauchy-Cantor)
  • 3.3 Principiul supremum
  • 3.4 Lema de acoperire finită (principiul Heine-Borel)
  • 3.5 Lema punctului limită (principiul Bolzano-Weierstrass)
• 4 Echivalența propozițiilor care exprimă continuitatea mulțimii numerelor reale
Note
Literatură

Introducere

Continuitatea numerelor reale- o proprietate a sistemului de numere reale, pe care multimea numerelor rationale nu o are. Uneori, în loc de continuitate, se vorbește despre completitudinea sistemului de numere reale. Există mai multe formulări diferite ale proprietății de continuitate, dintre care cele mai cunoscute sunt: Principiul lui Dedekind al continuității numerelor reale, principiul segmentelor imbricate Cauchy - Cantor, teorema supremului. În funcție de definiția acceptată a unui număr real, proprietatea de continuitate poate fi fie postulată ca axiomă - într-o formulare sau alta, fie dovedită ca teoremă.

1. Axioma continuitatii

Următoarea propoziție este poate cea mai simplă și mai convenabilă pentru aplicații de formulare a proprietății de continuitate a numerelor reale. În construcția axiomatică a teoriei unui număr real, această afirmație, sau echivalentul acesteia, este cu siguranță printre axiomele unui număr real.

Ilustrarea geometrică a axiomei continuității

Axioma de continuitate (completitudine). Oricare ar fi mulțimile nevide și , astfel încât pentru oricare două elemente și inegalitatea este valabilă, există un număr ξ astfel încât pentru toate și relația este valabilă

Geometric, dacă tratăm numerele reale ca puncte pe o dreaptă, această afirmație pare evidentă. Dacă două seturi Ași B sunt astfel încât pe linia numerică toate elementele unuia dintre ele se află la stânga tuturor elementelor celui de-al doilea, atunci există un număr ξ, separând aceste două seturi, adică situate în dreapta tuturor elementelor A(cu excepția, poate, ξ însuși) și la stânga tuturor elementelor B(aceeași clauză).

Trebuie remarcat aici că, în ciuda „evidentității” acestei proprietăți, pentru numerele raționale nu este întotdeauna satisfăcută. De exemplu, luați în considerare două seturi:

Este ușor de observat că pentru orice element și inegalitatea A < b. in orice caz raţional nu există un număr ξ care să separe aceste două mulțimi. Într-adevăr, acest număr poate fi doar , dar nu este rațional.

2. Rolul axiomei continuităţii în construcţia analizei matematice

Semnificația axiomei continuității este de așa natură încât fără ea o construcție riguroasă a analizei matematice este imposibilă. Pentru a ilustra, prezentăm câteva afirmații fundamentale de analiză, a căror demonstrație se bazează pe continuitatea numerelor reale:

În cele din urmă, din nou datorită continuității dreptei numerice, se poate determina valoarea expresiei A X deja pentru arbitrar . În mod similar, folosind proprietatea de continuitate, demonstrăm existența jurnalului de numere A b pentru orice .

Pentru o lungă perioadă istorică, matematicienii au demonstrat teoreme din analiză, în „locuri subțiri”, referindu-se la justificarea geometrică, și de cele mai multe ori le-au sărit cu totul pentru că era evident. Conceptul esențial de continuitate a fost folosit fără nicio definiție clară. Abia în ultima treime a secolului al XIX-lea matematicianul german Karl Weierstrass a produs aritmetizarea analizei, construind prima teorie riguroasă a numerelor reale ca fracții zecimale infinite. El a propus definiția clasică a limitei în limbă, a dovedit o serie de afirmații care erau considerate „evidente” înaintea lui și a completat astfel fundamentul analizei matematice.

Ulterior, au fost propuse și alte abordări ale definiției unui număr real. În abordarea axiomatică, continuitatea numerelor reale este evidențiată în mod explicit ca o axiomă separată. În abordările constructive ale teoriei unui număr real, de exemplu, atunci când se construiesc numere reale folosind secțiuni Dedekind, proprietatea de continuitate (într-o formulare sau alta) este demonstrată ca o teoremă.

3. Alte formulări ale proprietății de continuitate și propoziții echivalente

Există mai multe afirmații diferite care exprimă proprietatea de continuitate a numerelor reale. Fiecare dintre aceste principii poate fi luat ca bază pentru construirea teoriei numărului real ca axiomă a continuității, iar toate celelalte pot fi derivate din aceasta. Această problemă este discutată mai detaliat în secțiunea următoare.

3.1. Continuitate după Dedekind

Problema continuității numerelor reale este abordată de Dedekind în lucrarea sa Continuity and Irrational Numbers. În ea, el compară numerele raționale cu punctele unei linii drepte. După cum știți, se poate stabili o corespondență între numerele raționale și punctele unei linii drepte atunci când un punct de plecare și o unitate de măsură a segmentelor sunt alese pe o linie dreaptă. Cu ajutorul acestuia din urmă, pentru fiecare număr rațional A construiți segmentul corespunzător și punându-l deoparte la dreapta sau la stânga, în funcție de existența A număr pozitiv sau negativ, obțineți punct p corespunzător numărului A. Deci fiecare număr rațional A se potrivește cu un singur punct p pe o linie dreaptă.

Se dovedește că există infinit de multe puncte pe linie care nu corespund niciunui număr rațional. De exemplu, un punct obținut prin trasarea lungimii diagonalei unui pătrat construit pe un segment unitar. Astfel, tărâmul numerelor raționale nu are asta completitudine, sau continuitate, care este inerent unei linii drepte.

Pentru a afla în ce constă această continuitate, Dedekind face următoarea remarcă. În cazul în care un p este un anumit punct al dreptei, atunci toate punctele liniei se împart în două clase: puncte situate la stânga p, și arată spre dreapta p. Chiar punctul p poate fi atribuit în mod arbitrar fie clasei inferioare, fie clasei superioare. Dedekind vede esența continuității în principiul invers:

Din punct de vedere geometric, acest principiu pare evident, dar nu suntem în măsură să-l dovedim. Dedekind subliniază că, în esență, acest principiu este un postulat, care exprimă esența acelei proprietăți atribuite liniei directe, pe care o numim continuitate.

Pentru a înțelege mai bine esența continuității dreptei numerice în sensul lui Dedekind, luați în considerare o secțiune arbitrară a mulțimii numerelor reale, adică împărțirea tuturor numerelor reale în două clase nevide, astfel încât toate numerele de o clasă se află pe linia numerică din stânga tuturor numerelor celei de-a doua. Aceste clase sunt denumite respectiv inferiorși clase superioare secțiuni. Teoretic, există 4 posibilități:

1. Clasa de jos are un element maxim, clasa de sus nu are un minim
2. Clasa de jos nu are un element maxim, în timp ce clasa de sus are un minim
3. Clasa de jos are un element maxim, iar clasa de sus are un element minim.
4. Clasa de jos nu are maxim, iar clasa de sus nu are minim.

În primul și al doilea caz, elementul maxim al inferiorului sau, respectiv, elementul minim al superiorului, produce această secțiune. În al treilea caz avem a sari, iar în al patrulea spaţiu. Astfel, continuitatea dreptei numerice înseamnă că nu există salturi sau goluri în mulțimea numerelor reale, adică, la figurat vorbind, nu există goluri.

Dacă introducem conceptul de secțiune a mulțimii numerelor reale, atunci principiul continuității Dedekind poate fi formulat după cum urmează.

Principiul de continuitate al lui Dedekind (completitudine). Pentru fiecare secțiune a mulțimii numerelor reale, există un număr care produce această secțiune.

Cometariu. Formularea Axiomei Continuității despre existența unui punct care separă două mulțimi amintește foarte mult de formularea principiului continuității lui Dedekind. De fapt, aceste afirmații sunt echivalente și, în esență, sunt formulări diferite ale aceluiași lucru. Prin urmare, ambele afirmații sunt numite principiul continuităţii numerelor reale după Dedekind.

3.2. Lema pe segmente imbricate (principiul Cauchy-Cantor)

Lema pe segmente imbricate (Cauchy - Kantor). Orice sistem de segmente imbricate

are o intersecție nevidă, adică există cel puțin un număr care aparține tuturor segmentelor sistemului dat.

Dacă, în plus, lungimea segmentelor sistemului dat tinde spre zero, adică

atunci intersecția segmentelor acestui sistem este formată dintr-un punct.

Această proprietate se numește continuitatea multimii numerelor reale in sensul lui Cantor. Se va arăta mai jos că pentru câmpurile ordonate arhimediene continuitatea după Cantor este echivalentă cu continuitatea după Dedekind.

3.3. Principiul supremum

Principiul supremației. Fiecare set nevid de numere reale mărginite mai sus are un supremum.

În cursurile de calcul, această propoziție este de obicei o teoremă, iar demonstrația ei folosește în mod semnificativ continuitatea mulțimii de numere reale într-o formă sau alta. În același timp, dimpotrivă, este posibil să se postuleze existența unui supremum pentru orice mulțime nevidă mărginită de sus, și bazându-se pe aceasta pentru a demonstra, de exemplu, principiul continuității Dedekind. Astfel, teorema supremului este una dintre formulările echivalente ale proprietății de continuitate a numerelor reale.

Cometariu. În locul supremumului, se poate folosi conceptul dual al infimului.

Principiul infim. Fiecare set nevid de numere reale mărginite mai jos are un infim.

Această propoziție este, de asemenea, echivalentă cu principiul continuității lui Dedekind. Mai mult, se poate arăta că enunțul teoremei infime decurge direct din afirmarea teoremei supremului, și invers (vezi mai jos).

3.4. Lema de acoperire finită (principiul Heine-Borel)

Lema de acoperire finită (Heine - Borel). În orice sistem de intervale care acoperă un segment, există un subsistem finit care acoperă acest segment.

3.5. Lema punctului limită (principiul Bolzano-Weierstrass)

Lema punctului limită (Bolzano - Weierstrass). Fiecare set infinit de numere mărginite are cel puțin un punct limită.

4. Echivalența propozițiilor care exprimă continuitatea mulțimii numerelor reale

Să facem câteva observații preliminare. În conformitate cu definiția axiomatică a unui număr real, mulțimea numerelor reale satisface trei grupuri de axiome. Primul grup este axiomele de câmp. A doua grupă exprimă faptul că colecția de numere reale este o mulțime ordonată liniar, iar relația de ordine este consecventă cu operațiile de bază ale câmpului. Astfel, primul și al doilea grup de axiome înseamnă că mulțimea numerelor reale este un câmp ordonat. Al treilea grup de axiome constă dintr-o axiomă - axioma continuității (sau completității).

Pentru a arăta echivalența diferitelor formulări ale continuității numerelor reale, trebuie demonstrat că dacă una dintre aceste propoziții este valabilă pentru un câmp ordonat, atunci toate celelalte sunt adevărate.

Teorema. Fie o mulțime arbitrară ordonată liniar. Următoarele afirmații sunt echivalente:

După cum se poate observa din această teoremă, aceste patru propoziții folosesc doar ceea ce a introdus relația de ordine liniară și nu folosesc structura câmpului. Astfel, fiecare dintre ele exprimă o proprietate ca o mulțime ordonată liniar. Această proprietate (a unei mulțimi ordonate liniar arbitrar, nu neapărat a mulțimii numerelor reale) este numită continuitate sau completitudine, conform lui Dedekind.

Demonstrarea echivalenței altor propoziții necesită deja o structură de câmp.

Teorema. Fie un câmp ordonat arbitrar. Următoarele propoziții sunt echivalente:

Cometariu. După cum se poate vedea din teoremă, principiul segmentelor imbricate în sine nu este echivalent Principiul continuității lui Dedekind. Principiul segmentelor imbricate decurge din principiul continuității Dedekind, dar, invers, este necesar să se solicite suplimentar ca câmpul ordonat să satisfacă axioma lui Arhimede.

Dovada teoremelor de mai sus poate fi găsită în cărțile din bibliografia prezentată mai jos.

Note

1. Zorich, V. A. Analiza matematică. Partea I. - Ed. 4, corectat .. - M .: "MTsNMO", 2002. - S. 43.
2. De exemplu, în definiția axiomatică a unui număr real, principiul continuității Dedekind este inclus printre axiome, iar în definiția constructivă a unui număr real folosind secțiuni Dedekind, aceeași afirmație este deja o teoremă - vezi de exemplu Fikhtengolts, G. M.
3. Kudryavtsev, L.D. Curs de analiză matematică. - a 5-a ed. - M .: „Drofa”, 2003. - T. 1. - S. 38.
4. Kudryavtsev, L.D. Curs de analiză matematică. - a 5-a ed. - M .: „Drofa”, 2003. - T. 1. - S. 84.
5. Zorich, V. A. Analiza matematică. Partea I. - Ed. 4, corectat .. - M .: "MTsNMO", 2002. - S. 81.
6. Dedekind, R. Continuitate și numere iraționale - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irationale Zahlen. - a 4-a ediție revizuită. - Odesa: Mathesis, 1923. - 44 p.

Literatură

• Kudryavtsev, L.D. Curs de analiză matematică. - a 5-a ed. - M .: „Drofa”, 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1
• Fikhtengolts, G. M. Fundamentele analizei matematice. - Ed. a VII-a. - M .: „FIZMATLIT”, 2002. - T. 1. - 416 p. - ISBN 5-9221-0196-X
• Dedekind, R. Continuitate și numere iraționale - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irationale Zahlen. - a 4-a ediție revizuită. - Odesa: Mathesis, 1923. - 44 p. , Turing complete , Set partition , Set variation , Set degree .