ระบบวิธีเมทริกซ์พีชคณิตเชิงเส้น การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

สมการโดยทั่วไปสมการพีชคณิตเชิงเส้นและระบบของสมการตลอดจนวิธีการแก้สมการนั้นครอบครองสถานที่พิเศษในวิชาคณิตศาสตร์ทั้งทางทฤษฎีและประยุกต์

เนื่องจากปัญหาทางกายภาพ เศรษฐกิจ เทคนิค และแม้แต่การสอนส่วนใหญ่สามารถอธิบายและแก้ไขได้โดยใช้สมการและระบบที่หลากหลาย ใน เมื่อเร็วๆ นี้การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ได้รับความนิยมเป็นพิเศษในหมู่นักวิจัย นักวิทยาศาสตร์ และผู้ปฏิบัติงานในเกือบทุกสาขาวิชา ซึ่งอธิบายได้จากข้อได้เปรียบที่ชัดเจนเหนือวิธีการอื่นๆ ที่เป็นที่รู้จักและผ่านการพิสูจน์แล้วในการศึกษาวัตถุที่มีลักษณะต่างๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งที่เรียกว่า ระบบที่ซับซ้อน- มีความหลากหลายมาก คำจำกัดความที่แตกต่างกันแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่นักวิทยาศาสตร์มอบให้ เวลาที่ต่างกันแต่ในความเห็นของเรา สิ่งที่ประสบความสำเร็จมากที่สุดคือข้อความต่อไปนี้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นความคิดที่แสดงออกมาด้วยสมการ ดังนั้นความสามารถในการเขียนและแก้สมการและระบบของสมการจึงเป็นคุณลักษณะสำคัญของผู้เชี่ยวชาญสมัยใหม่

ในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นมักใช้วิธีการต่อไปนี้: Cramer, Jordan-Gauss และ วิธีเมทริกซ์.

วิธีการแก้ปัญหาเมทริกซ์ - วิธีการแก้ปัญหาที่ใช้ เมทริกซ์ผกผันระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่มีดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์

หากเราเขียนค่าสัมประสิทธิ์สำหรับปริมาณที่ไม่รู้จัก xi ในเมทริกซ์ A แล้วรวบรวมปริมาณที่ไม่ทราบในคอลัมน์เวกเตอร์ X และเทอมอิสระในคอลัมน์เวกเตอร์ B จากนั้นระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นสามารถเขียนได้ในรูปแบบของ ต่อไปนี้สมการเมทริกซ์ A · X = B ซึ่งมีคำตอบเฉพาะเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A ไม่เท่ากับศูนย์เท่านั้น ในกรณีนี้สามารถหาคำตอบของระบบสมการได้ ดังต่อไปนี้ เอ็กซ์ = ก-1 · บี, ที่ไหน ก-1 - เมทริกซ์ผกผัน

วิธีการแก้ปัญหาเมทริกซ์มีดังนี้

ให้ระบบได้รับ สมการเชิงเส้นกับ nไม่ทราบ:

สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบเมทริกซ์: ขวาน = บี, ที่ไหน ก- เมทริกซ์หลักของระบบ บีและ เอ็กซ์- คอลัมน์ข้อกำหนดและแนวทางแก้ไขฟรีของระบบตามลำดับ:

ลองคูณนี่ดู สมการเมทริกซ์ทิ้งไว้ ก-1 - เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ ก: ก -1 (ขวาน) = ก -1 บี

เพราะ ก -1 ก = อีเราได้รับ เอ็กซ์=ก -1 บี- ทางด้านขวาของสมการนี้จะให้คอลัมน์คำตอบของระบบเดิม ไม่มีเงื่อนไขสำหรับการบังคับใช้วิธีนี้ (รวมถึงการมีอยู่ของวิธีแก้ปัญหาโดยทั่วไป) ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันสมการเชิงเส้นที่มีสมการจำนวนหนึ่ง เท่ากับจำนวนไม่ทราบ) คือความไม่เสื่อมของเมทริกซ์ ก- เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับสิ่งนี้คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ไม่เท่ากับศูนย์ ก:det ก≠ 0.

สำหรับระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน นั่นคือ เมื่อเวกเตอร์ บี = 0 แท้จริงแล้วมีกฎตรงกันข้าม: ระบบ ขวาน = 0 มีวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ไม่สำคัญ (นั่นคือ ไม่ใช่ศูนย์) เฉพาะในกรณีที่ det ก= 0 การเชื่อมโยงระหว่างคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันดังกล่าวเรียกว่าทางเลือกเฟรดโฮล์ม

ตัวอย่าง การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นแบบไม่เป็นเนื้อเดียวกัน.

ให้เราตรวจสอบให้แน่ใจว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น ไม่เท่ากับศูนย์

ขั้นตอนต่อไปคือการคำนวณการเสริมพีชคณิตสำหรับองค์ประกอบของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบ พวกมันจำเป็นจะต้องค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

วิธีเมทริกซ์ โซลูชั่นสลอวประยุกต์ใช้ในการแก้ระบบสมการโดยจำนวนสมการตรงกับจำนวนที่ไม่ทราบ วิธีนี้ใช้ดีที่สุดสำหรับการแก้ปัญหาระบบที่มีลำดับต่ำ วิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นขึ้นอยู่กับการประยุกต์ใช้คุณสมบัติของการคูณเมทริกซ์

วิธีการนี้กล่าวอีกนัยหนึ่ง วิธีเมทริกซ์ผกผันที่เรียกว่าเพราะว่าคำตอบลดเหลือสมการเมทริกซ์ธรรมดา เพื่อแก้โจทย์ที่คุณต้องหาเมทริกซ์ผกผัน

วิธีการแก้ปัญหาเมทริกซ์ SLAE ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ที่มากกว่าหรือ น้อยกว่าศูนย์เป็นดังนี้:

สมมติว่ามี SLE (ระบบสมการเชิงเส้น) ด้วย nไม่ทราบ (เหนือฟิลด์ใดก็ได้):

ซึ่งหมายความว่าสามารถแปลงเป็นรูปแบบเมทริกซ์ได้อย่างง่ายดาย:

ขวาน=ข, ที่ไหน ก— เมทริกซ์หลักของระบบ บีและ เอ็กซ์— คอลัมน์คำศัพท์ฟรีและวิธีแก้ปัญหาของระบบตามลำดับ:

ลองคูณสมการเมทริกซ์นี้จากทางซ้ายด้วย เอ−1— เมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์ A: A −1 (AX)=A −1 B.

เพราะ A −1 A=E, วิธี, X=A −1 B- ทางด้านขวาของสมการคือคอลัมน์คำตอบ ระบบเริ่มต้น- เงื่อนไขสำหรับการบังคับใช้วิธีเมทริกซ์คือการไม่เสื่อมของเมทริกซ์ ก- เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับสิ่งนี้คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ไม่เท่ากับศูนย์ ก:

detA≠0.

สำหรับ ระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้น, เช่น. ถ้าเป็นเวกเตอร์ บี=0กฎตรงกันข้ามถือเป็น: ระบบ ขวาน=0มีวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญ (เช่น ไม่เท่ากับศูนย์) เฉพาะเมื่อเท่านั้น เดตเอ=0- การเชื่อมโยงระหว่างคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันนี้เรียกว่า ทางเลือกใหม่ของเฟรดโฮล์ม

ดังนั้น การแก้ปัญหาของ SLAE โดยใช้วิธีเมทริกซ์จึงดำเนินการตามสูตร - หรือพบวิธีแก้ปัญหาของ SLAE เมทริกซ์ผกผัน เอ−1.

เป็นที่ทราบกันว่าสำหรับเมทริกซ์จตุรัส กคำสั่ง nบน nมีเมทริกซ์ผกผัน เอ−1ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ของมันไม่ใช่ศูนย์เท่านั้น ดังนั้นระบบ nสมการพีชคณิตเชิงเส้นด้วย nเราแก้ค่าที่ไม่ทราบโดยใช้วิธีเมทริกซ์ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบไม่เท่ากับศูนย์

แม้ว่าจะมีข้อ จำกัด เกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการใช้วิธีนี้และมีปัญหาในการคำนวณสำหรับค่าสัมประสิทธิ์และระบบที่มีค่ามาก ลำดับสูงวิธีนี้สามารถนำไปประยุกต์ใช้บนคอมพิวเตอร์ได้อย่างง่ายดาย

ตัวอย่างของการแก้ SLAE ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน

ขั้นแรก เรามาตรวจสอบว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของ SLAE ที่ไม่รู้จักไม่เท่ากับศูนย์หรือไม่

ตอนนี้เราพบว่า ยูเนี่ยนเมทริกซ์ให้เปลี่ยนตำแหน่งและแทนที่ลงในสูตรเพื่อหาเมทริกซ์ผกผัน

แทนตัวแปรลงในสูตร:

ตอนนี้เราค้นหาสิ่งที่ไม่ทราบโดยการคูณเมทริกซ์ผกผันและคอลัมน์ของพจน์อิสระ

ดังนั้น, x=2; ย=1; ซ=4.

เมื่อย้ายจากรูปแบบปกติของ SLAE ไปเป็นรูปแบบเมทริกซ์ ควรระมัดระวังลำดับของตัวแปรที่ไม่รู้จักในสมการของระบบ ตัวอย่างเช่น:

ไม่สามารถเขียนเป็น:

ขั้นแรกจำเป็นต้องเรียงลำดับตัวแปรที่ไม่รู้จักในแต่ละสมการของระบบ และหลังจากนั้นดำเนินการตามรูปแบบเมทริกซ์:

นอกจากนี้คุณต้องระมัดระวังในการกำหนดตัวแปรที่ไม่รู้จักแทน x1, x 2 , …, xnอาจมีตัวอักษรอื่น ตัวอย่างเช่น:

ในรูปแบบเมทริกซ์เราเขียนได้ดังนี้:

วิธีเมทริกซ์จะดีกว่าสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นซึ่งจำนวนสมการเกิดขึ้นพร้อมกับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักและดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบไม่เท่ากับศูนย์ เมื่อมีสมการมากกว่า 3 สมการในระบบ การค้นหาเมทริกซ์ผกผันจะต้องใช้ความพยายามในการคำนวณมากขึ้น ดังนั้นในกรณีนี้ ขอแนะนำให้ใช้วิธีเกาส์เซียนในการแก้โจทย์

ให้มีเมทริกซ์จตุรัสลำดับที่ n

เรียกเมทริกซ์ A -1 เมทริกซ์ผกผันสัมพันธ์กับเมทริกซ์ A ถ้า A*A -1 = E โดยที่ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับที่ n

เมทริกซ์เอกลักษณ์- เมทริกซ์จตุรัสดังกล่าวซึ่งมีองค์ประกอบทั้งหมดตามเส้นทแยงมุมหลักที่ผ่านจากมุมซ้ายบนไปยังมุมขวาล่างเป็นองค์ประกอบและส่วนที่เหลือเป็นศูนย์เช่น:

เมทริกซ์ผกผันอาจมีอยู่จริง สำหรับเมทริกซ์จตุรัสเท่านั้นเหล่านั้น. สำหรับเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวและคอลัมน์ตรงกัน

ทฤษฎีบทสำหรับเงื่อนไขการดำรงอยู่ของเมทริกซ์ผกผัน

เพื่อให้เมทริกซ์มีเมทริกซ์ผกผัน จำเป็นและเพียงพอแล้วที่จะต้องไม่เป็นเอกพจน์

เรียกเมทริกซ์ A = (A1, A2,...A n) ไม่เสื่อมถ้าเวกเตอร์คอลัมน์เป็นอิสระเชิงเส้น จำนวนเวกเตอร์คอลัมน์อิสระเชิงเส้นของเมทริกซ์เรียกว่าอันดับของเมทริกซ์ ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ว่าเพื่อให้เมทริกซ์ผกผันมีอยู่จำเป็นและเพียงพอที่อันดับของเมทริกซ์จะเท่ากับมิติของมันนั่นคือ ร = เอ็น

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

1. เขียนเมทริกซ์ A ลงในตารางสำหรับการแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีเกาส์เซียน และกำหนดเมทริกซ์ E ไว้ทางด้านขวา (แทนที่ทางด้านขวามือของสมการ)
2. ใช้การแปลงแบบจอร์แดน ลดเมทริกซ์ A ให้เป็นเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยคอลัมน์หน่วย ในกรณีนี้จำเป็นต้องแปลงเมทริกซ์ E ไปพร้อม ๆ กัน
3. หากจำเป็น ให้จัดเรียงแถว (สมการ) ของตารางสุดท้ายใหม่ เพื่อให้ภายใต้เมทริกซ์ A ของตารางต้นฉบับ คุณจะได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ E
4. เขียนเมทริกซ์ผกผัน A -1 ซึ่งอยู่ในตารางสุดท้ายใต้เมทริกซ์ E ของตารางเดิม

ตัวอย่างที่ 1

สำหรับเมทริกซ์ A ให้ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน A -1

วิธีแก้ไข: เราเขียนเมทริกซ์ A และกำหนดเมทริกซ์เอกลักษณ์ E ไปทางขวา โดยใช้การแปลงแบบ Jordan เราลดเมทริกซ์ A ให้เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ E การคำนวณแสดงไว้ในตารางที่ 31.1

ตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณโดยการคูณเมทริกซ์ A ดั้งเดิมและเมทริกซ์ผกผัน A -1

จากการคูณเมทริกซ์ จะได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ขึ้นมา ดังนั้นการคำนวณจึงทำได้อย่างถูกต้อง

คำตอบ:

การแก้สมการเมทริกซ์

สมการเมทริกซ์อาจมีลักษณะดังนี้:

AX = B, HA = B, AXB = C,

โดยที่ A, B, C คือเมทริกซ์ที่ระบุ X คือเมทริกซ์ที่ต้องการ

สมการเมทริกซ์แก้ได้โดยการคูณสมการด้วยเมทริกซ์ผกผัน

เช่น หากต้องการหาเมทริกซ์จากสมการ คุณต้องคูณสมการนี้ทางด้านซ้าย

ดังนั้น หากต้องการหาคำตอบของสมการ คุณต้องหาเมทริกซ์ผกผันแล้วคูณด้วยเมทริกซ์ทางด้านขวาของสมการ

สมการอื่นๆ ก็แก้ได้เช่นเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 2

แก้สมการ AX = B ถ้า

สารละลาย: เนื่องจากเมทริกซ์ผกผันมีค่าเท่ากับ (ดูตัวอย่างที่ 1)

วิธีเมทริกซ์ในการวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์

นอกจากสิ่งอื่นแล้วยังใช้อีกด้วย วิธีเมทริกซ์- วิธีการเหล่านี้ใช้พีชคณิตเชิงเส้นและเวกเตอร์เมทริกซ์ วิธีการดังกล่าวใช้เพื่อวัตถุประสงค์ในการวิเคราะห์ปรากฏการณ์ทางเศรษฐกิจที่ซับซ้อนและหลายมิติ ส่วนใหญ่แล้ววิธีการเหล่านี้จะใช้เมื่อจำเป็นในการประเมินเปรียบเทียบการทำงานขององค์กรและแผนกโครงสร้าง

ในกระบวนการใช้วิธีการวิเคราะห์เมทริกซ์สามารถแยกแยะได้หลายขั้นตอน

ในระยะแรกกำลังสร้างระบบตัวบ่งชี้ทางเศรษฐกิจและบนพื้นฐานของข้อมูลเมทริกซ์เริ่มต้นจะถูกรวบรวมซึ่งเป็นตารางที่แสดงหมายเลขระบบในแต่ละแถว (ผม = 1,2,....,n)และในคอลัมน์แนวตั้ง - จำนวนตัวบ่งชี้ (เจ = 1,2,....,ม.).

ในระยะที่สองสำหรับแต่ละคอลัมน์แนวตั้ง ค่าตัวบ่งชี้ที่ใหญ่ที่สุดที่มีอยู่จะถูกระบุ ซึ่งถือเป็นค่าเดียว

หลังจากนั้น จำนวนเงินทั้งหมดที่แสดงในคอลัมน์นี้จะถูกหารด้วย มูลค่าสูงสุดและเกิดเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์มาตรฐานขึ้นมา

ในระยะที่สามส่วนประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์มีกำลังสอง หากมีความสำคัญต่างกัน ตัวบ่งชี้เมทริกซ์แต่ละตัวจะถูกกำหนดค่าสัมประสิทธิ์น้ำหนักที่แน่นอน เค- คุณค่าของสิ่งหลังถูกกำหนดโดยความคิดเห็นของผู้เชี่ยวชาญ

ในตอนสุดท้าย ขั้นตอนที่สี่พบค่าเรตติ้ง รจจะถูกจัดกลุ่มตามลำดับการเพิ่มขึ้นหรือลดลง

ควรใช้วิธีเมทริกซ์ที่สรุปไว้ เช่น เมื่อใด การวิเคราะห์เปรียบเทียบโครงการลงทุนต่างๆ ตลอดจนการประเมินตัวชี้วัดทางเศรษฐกิจอื่นๆ ขององค์กร

ระบบสมการเชิงเส้น m ที่ไม่มีค่าไม่ทราบเรียกว่าระบบรูป

ที่ไหน ไอจและ ข ฉัน (ฉัน=1,…,ม; ข=1,…,n) คือตัวเลขบางตัวที่รู้จัก และ x 1 ,…,xn– ไม่ทราบ ในการกำหนดสัมประสิทธิ์ ไอจดัชนีแรก ฉันหมายถึงหมายเลขสมการและตัวที่สอง เจ– จำนวนไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์นี้

เราจะเขียนสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบในรูปแบบของเมทริกซ์ ซึ่งเราจะเรียกว่า เมทริกซ์ของระบบ.

ตัวเลขทางด้านขวาของสมการคือ ข 1 ,…,ข มถูกเรียก สมาชิกฟรี

จำนวนทั้งสิ้น nตัวเลข ค 1 ,…,ค นเรียกว่า การตัดสินใจของระบบที่กำหนด ถ้าแต่ละสมการของระบบมีความเท่าเทียมกันหลังจากแทนตัวเลขเข้าไปแล้ว ค 1 ,…,ค นแทนที่จะเป็นสิ่งไม่รู้ที่เกี่ยวข้อง x 1 ,…,xn.

หน้าที่ของเราคือค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาของระบบ ในกรณีนี้อาจเกิดขึ้นได้สามสถานการณ์:

เรียกว่าระบบสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ ข้อต่อ- มิฉะนั้นนั่นคือ หากระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหาก็จะถูกเรียก ไม่ใช่ข้อต่อ.

ลองพิจารณาวิธีการค้นหาวิธีแก้ไขระบบ

วิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

เมทริกซ์ทำให้สามารถเขียนระบบสมการเชิงเส้นโดยย่อได้ ให้ระบบสมการ 3 สมการที่มีตัวแปรไม่ทราบ 3 ตัวได้รับ:

พิจารณาเมทริกซ์ของระบบ และคอลัมน์เมทริกซ์ของคำศัพท์ที่ไม่รู้จักและเสรี

หางานกันเถอะ

เหล่านั้น. จากผลคูณ เราได้ด้านซ้ายมือของสมการของระบบนี้ จากนั้นใช้คำจำกัดความของความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์ ระบบนี้สามารถเขียนเป็นแบบฟอร์มได้

หรือสั้นกว่า ก∙เอ็กซ์=ข.

นี่คือเมทริกซ์ กและ บีเป็นที่รู้จักและเมทริกซ์ เอ็กซ์ไม่ทราบ ต้องหาให้เจอเพราะ... องค์ประกอบต่างๆ ของมันคือคำตอบของระบบนี้ สมการนี้เรียกว่า สมการเมทริกซ์.

ให้ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์แตกต่างจากศูนย์ | ก- ≠ 0 จากนั้นสมการเมทริกซ์จะถูกแก้ไขดังนี้ คูณทั้งสองด้านของสมการทางซ้ายด้วยเมทริกซ์ เอ-1, ส่วนผกผันของเมทริกซ์ ก- เนื่องจาก เอ -1 เอ = อีและ อี∙เอ็กซ์ = เอ็กซ์จากนั้นเราจะได้คำตอบของสมการเมทริกซ์ในรูปแบบ X = ก -1 บี .

โปรดทราบว่าเนื่องจากเมทริกซ์ผกผันสามารถพบได้สำหรับเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น วิธีเมทริกซ์จึงสามารถแก้ได้เฉพาะระบบเหล่านั้นเท่านั้น จำนวนสมการเกิดขึ้นพร้อมกับจำนวนไม่ทราบ- อย่างไรก็ตาม การบันทึกเมทริกซ์ของระบบก็สามารถทำได้ในกรณีที่จำนวนสมการไม่เท่ากับจำนวนที่ไม่ทราบ ดังนั้นเมทริกซ์ กจะไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจึงไม่สามารถหาคำตอบของระบบในรูปแบบได้ X = ก -1 บี.

ตัวอย่าง.แก้ระบบสมการ

กฎของแครเมอร์

พิจารณาระบบสมการเชิงเส้น 3 สมการที่ไม่ทราบค่า 3 ค่า:

ดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สามที่สอดคล้องกับเมทริกซ์ระบบ เช่น ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งไม่รู้

เรียกว่า ปัจจัยกำหนดของระบบ.

ลองเขียนดีเทอร์มิแนนต์อีกสามตัวดังนี้: แทนที่คอลัมน์ 1, 2 และ 3 ตามลำดับในดีเทอร์มิแนนต์ D ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ

จากนั้นเราสามารถพิสูจน์ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้

ทฤษฎีบท (กฎของแครเมอร์)หากดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ Δ ≠ 0 แสดงว่าระบบที่พิจารณามีวิธีแก้ปัญหาเพียงวิธีเดียวเท่านั้น และ

การพิสูจน์- ลองพิจารณาระบบสมการ 3 สมการที่ไม่ทราบค่า 3 ตัว ลองคูณสมการที่ 1 ของระบบด้วยส่วนเสริมพีชคณิตกัน เอ 11องค์ประกอบ 11, สมการที่ 2 – เปิด เอ 21และครั้งที่ 3 – เป็นต้นไป เอ 31:

ลองเพิ่มสมการเหล่านี้:

ลองดูที่วงเล็บแต่ละอันและ ด้านขวาสมการนี้ ตามทฤษฎีบทการขยายตัวของดีเทอร์มิแนนต์ในองค์ประกอบของคอลัมน์ที่ 1

ในทำนองเดียวกัน ก็สามารถแสดงได้ว่า และ

สุดท้ายก็สังเกตเห็นได้ง่ายว่า

ดังนั้นเราจึงได้รับความเท่าเทียมกัน:

เพราะฉะนั้น, .

ความเท่าเทียมกัน และ ได้มาในทำนองเดียวกันซึ่งคำสั่งของทฤษฎีบทดังต่อไปนี้

ดังนั้นเราจึงทราบว่าหากปัจจัยกำหนดของระบบΔ ≠ 0 แสดงว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะและในทางกลับกัน ถ้าดีเทอร์มีแนนต์ของระบบเท่ากับศูนย์ แสดงว่าระบบมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุดหรือไม่มีคำตอบ กล่าวคือ เข้ากันไม่ได้

ตัวอย่าง.แก้ระบบสมการ

วิธีเกาส์

วิธีการที่กล่าวมาก่อนหน้านี้สามารถใช้เพื่อแก้เฉพาะระบบที่มีจำนวนสมการตรงกับจำนวนที่ไม่ทราบ และดีเทอร์มิแนนต์ของระบบจะต้องแตกต่างจากศูนย์ วิธีเกาส์เป็นแบบสากลมากกว่าและเหมาะสำหรับระบบที่มีสมการจำนวนเท่าใดก็ได้ ประกอบด้วยการกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบออกจากสมการของระบบอย่างสม่ำเสมอ

พิจารณาระบบอีกครั้งจาก สามสมการมีสิ่งไม่รู้อยู่ ๓ ประการ คือ

.

เราจะปล่อยให้สมการแรกไม่เปลี่ยนแปลง และจากสมการที่ 2 และ 3 เราจะแยกคำศัพท์ที่มีอยู่ออก x1- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หารสมการที่สองด้วย ก 21 และคูณด้วย – ก 11 แล้วบวกเข้ากับสมการที่ 1 ในทำนองเดียวกัน เราหารสมการที่สามด้วย ก 31 และคูณด้วย – ก 11 แล้วบวกกับอันแรก เป็นผลให้ระบบเดิมจะอยู่ในรูปแบบ:

ตอนนี้จากสมการสุดท้ายเรากำจัดคำที่มี x2- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หารสมการที่สามด้วย คูณ และเพิ่มด้วยสมการที่สอง จากนั้นเราจะได้ระบบสมการ:

จากนี้ไปจากสมการที่แล้วก็หาได้ง่ายครับ x3แล้วจากสมการที่ 2 x2และสุดท้ายตั้งแต่วันที่ 1 - x1.

เมื่อใช้วิธีเกาส์เซียน สามารถสลับสมการได้หากจำเป็น

มักจะแทนที่จะเขียน ระบบใหม่สมการจำกัดอยู่เพียงการเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ:

แล้วนำมาเป็นรูปสามเหลี่ยมหรือ มุมมองแนวทแยงโดยใช้การแปลงเบื้องต้น

ถึง การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นเมทริกซ์ประกอบด้วยการแปลงต่อไปนี้:

1. การจัดเรียงแถวหรือคอลัมน์ใหม่
2. การคูณสตริงด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์
3. เพิ่มบรรทัดอื่นลงในหนึ่งบรรทัด

ตัวอย่าง:แก้ระบบสมการโดยใช้วิธีเกาส์

ดังนั้นระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนอนันต์

(บางครั้งวิธีนี้เรียกอีกอย่างว่าวิธีเมทริกซ์หรือวิธีเมทริกซ์ผกผัน) จำเป็นต้องทำความคุ้นเคยเบื้องต้นกับแนวคิด เช่น รูปแบบเมทริกซ์ของสัญกรณ์ SLAE วิธีเมทริกซ์ผกผันมีไว้สำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ระบบแตกต่างจากศูนย์ โดยธรรมชาติแล้ว สิ่งนี้จะถือว่าเมทริกซ์ของระบบเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (แนวคิดเรื่องดีเทอร์มิแนนต์มีอยู่สำหรับเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น) สาระสำคัญของวิธีเมทริกซ์ผกผันสามารถแสดงได้สามจุด:

1. เขียนเมทริกซ์สามตัวลงไป: เมทริกซ์ระบบ $A$, เมทริกซ์ของสิ่งที่ไม่รู้จัก $X$, เมทริกซ์ของเงื่อนไขอิสระ $B$
2. ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน $A^(-1)$
3. ใช้ความเท่าเทียมกัน $X=A^(-1)\cdot B$ หาคำตอบของ SLAE ที่กำหนด

SLAE ใดๆ สามารถเขียนในรูปแบบเมทริกซ์เป็น $A\cdot X=B$ โดยที่ $A$ คือเมทริกซ์ของระบบ $B$ คือเมทริกซ์ของเงื่อนไขอิสระ $X$ คือเมทริกซ์ของสิ่งที่ไม่ทราบ ปล่อยให้เมทริกซ์ $A^(-1)$ มีอยู่ ลองคูณทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกัน $A\cdot X=B$ ด้วยเมทริกซ์ $A^(-1)$ ทางด้านซ้าย:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

เนื่องจาก $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์) ความเท่าเทียมกันที่เขียนด้านบนจึงกลายเป็น:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

เนื่องจาก $E\cdot X=X$ ดังนั้น:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

ตัวอย่างหมายเลข 1

แก้ SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right) -

ลองหาเมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์ระบบกัน เช่น ลองคำนวณ $A^(-1)$ กัน ในตัวอย่างหมายเลข 2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . -

ทีนี้ลองแทนเมทริกซ์ทั้งสาม ($X$, $A^(-1)$, $B$) ลงในความเท่าเทียมกัน $X=A^(-1)\cdot B$ จากนั้นเราก็ทำการคูณเมทริกซ์

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right) -

ดังนั้นเราจึงได้ความเท่าเทียมกัน $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( อาร์เรย์ )\right)$ จากความเท่าเทียมกันนี้ เราได้: $x_1=-3$, $x_2=2$

คำตอบ: $x_1=-3$, $x_2=2$.

ตัวอย่างหมายเลข 2

แก้ SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ โดยใช้วิธีเมทริกซ์ผกผัน

ให้เราเขียนเมทริกซ์ของระบบ $A$, เมทริกซ์ของเงื่อนไขอิสระ $B$ และเมทริกซ์ของสิ่งที่ไม่รู้จัก $X$

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right) -

ตอนนี้ถึงคราวที่ต้องค้นหาเมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์ระบบ เช่น หา $A^(-1)$ ในตัวอย่างที่ 3 บนหน้าที่ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน พบเมทริกซ์ผกผันแล้ว ลองใช้ผลลัพธ์ที่เสร็จสิ้นแล้วเขียน $A^(-1)$:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(อาร์เรย์)\right) -

ทีนี้ลองแทนเมทริกซ์ทั้งสาม ($X$, $A^(-1)$, $B$) ลงในความเท่าเทียมกัน $X=A^(-1)\cdot B$ จากนั้นทำการคูณเมทริกซ์ทางด้านขวา ของความเท่าเทียมกันนี้

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(อาร์เรย์) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$

ดังนั้นเราจึงได้ความเท่าเทียมกัน $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\end(อาร์เรย์)\right)$. จากความเท่าเทียมกันนี้ เราได้: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$