Vzorec diferenciálnej rovnice so separovateľnými premennými. Diferenciálne rovnice prvého rádu so separovateľnými premennými

V mnohých obyčajných DE 1. rádu existujú také, v ktorých môžu byť premenné x a y rozmiestnené do pravej a ľavej časti rovnice. Premenné môžu byť už oddelené, ako je možné vidieť v rovnici f (y) d y = g (x) d x . Premenné v ODR f 1 (y) · g 1 (x) d y = f 2 (y) · g 2 (x) d x možno oddeliť transformáciami. Najčastejšie sa na získanie rovníc so separovateľnými premennými používa metóda zavádzania nových premenných.

V tejto téme podrobne rozoberieme metódu riešenia rovníc s oddelenými premennými. Uvažujme rovnice so separovateľnými premennými a DE, ktoré možno zredukovať na rovnice so separovateľnými premennými. V časti sme rozobrali veľké množstvo úloh na danú tému s podrobným rozborom riešenia.

Na uľahčenie asimilácie témy vám odporúčame oboznámiť sa s informáciami, ktoré sú uverejnené na stránke „Základné definície a pojmy z teórie diferenciálnych rovníc“.

Separované diferenciálne rovnice f (y) d y = g (x) d x

Definícia 1

Rovnice s oddelenými premennými sa nazývajú DE v tvare f (y) d y = g (x) d x . Ako už názov napovedá, premenné, ktoré tvoria výraz, sú na oboch stranách znamienka rovnosti.

Dohodnime sa, že funkcie f (y) a g(x) budeme predpokladať nepretržité.

Pre rovnice so separovanými premennými bude všeobecný integrál ∫ f (y) d y = ∫ g (x) d x . Všeobecné riešenie DE môžeme získať vo forme implicitne danej funkcie Ф (x, y) \u003d 0 za predpokladu, že integrály z vyššie uvedenej rovnosti sú vyjadrené v elementárnych funkciách. V mnohých prípadoch môže byť funkcia y vyjadrená aj explicitne.

Príklad 1

Nájdite všeobecné riešenie separovanej diferenciálnej rovnice y 2 3 d y = sin x d x .

Riešenie

Integrujeme obe časti rovnosti:

∫ y 2 3 d y = ∫ sin x d x

Toto je v skutočnosti všeobecné riešenie tohto DE. V skutočnosti sme zredukovali problém hľadania všeobecného riešenia diferenciálnej rovnice na problém hľadania neurčitých integrálov.

Teraz môžeme použiť priraďovaciu tabuľku na získanie integrálov, ktoré sú vyjadrené v elementárnych funkciách:

∫ y 2 3 d y = 3 5 y 5 3 + C 1 ∫ sin x d x = - cos x + C 2 ⇒ ∫ y 2 3 d y = ∫ sin x d x ⇔ 3 5 y 3 5 + C 1 = -
kde C1 a C2 sú ľubovoľné konštanty.

Funkcia 3 5 y 3 5 + C 1 = - cos x + C 2 je implicitne definovaná. Je to všeobecné riešenie pôvodnej separovanej diferenciálnej rovnice. Dostali sme odpoveď a nemusíme pokračovať v rozhodnutí. V uvažovanom príklade však možno požadovanú funkciu vyjadriť explicitne pomocou argumentu x.

Dostaneme:

3 5 y 5 3 + C 1 ⇒ y = - 5 3 cos x + C 3 5, kde C = 5 3 (C2 - C1)

Všeobecným riešením tohto DE je funkcia y = - 5 3 cos x + C 3 5

odpoveď:

Odpoveď môžeme napísať niekoľkými spôsobmi: ∫ y 2 3 d y = ∫ sin x d x alebo 3 5 y 5 3 + C 1 = - cos x + C 2 , alebo y = - 5 3 cos x + C 3 5

Vždy stojí za to, aby ste učiteľovi vysvetlili, že popri schopnostiach riešiť diferenciálne rovnice máte aj schopnosť transformovať výrazy a brať integrály. Urob to jednoduché. Konečnú odpoveď stačí dať vo forme explicitnej funkcie alebo implicitne danej funkcie Ф (x, y) = 0.

Diferenciálne rovnice so separovateľnými premennými f 1 (y) g 1 (x) d y = f 2 (y) g 2 (x) d x

y" = d y d x, keď y je funkciou x.

V diaľkovom ovládaní f 1 (y) g 1 (x) d y \u003d f 2 (y) g 2 (x) d x alebo f 1 (y) g 1 (x) y "= f 2 (y) g 2 (x ) d x môžeme vykonávať transformácie takým spôsobom, aby sme oddelili premenné. Tento druh DE sa nazýva separovateľná premenná DE. Príslušná DE so separovanými premennými sa zapíše ako f 1 (y) f 2 (y) d y = g 2 ( x ) g 1 ( x ) d x .

Pri oddeľovaní premenných je potrebné vykonávať všetky transformácie opatrne, aby sa predišlo chybám. Výsledná a pôvodná rovnica musia byť navzájom ekvivalentné. Ako test môžete použiť podmienku, podľa ktorej f 2 (y) a g 1 (x) nesmie zaniknúť na integračnom intervale. Ak táto podmienka nie je splnená, potom existuje možnosť, že o niektoré z riešení prídeme.

Príklad 2

Nájdite všetky riešenia diferenciálnej rovnice y " = y · (x 2 + e x) .

Riešenie

Môžeme oddeliť x a y, takže máme čo do činenia so separovateľnou premennou DE.

y " \u003d y (x 2 + e x) ⇔ d y d x \u003d y (x 2 + e x) ⇔ d y y \u003d (x 2 + e x) d x p p a y ≠ 0

Keď y \u003d 0, pôvodná rovnica sa stane identitou: 0 " \u003d 0 (x 2 + e x) ⇔ 0 ≡ 0. To nám umožní tvrdiť, že y \u003d 0 je riešením diferenciálnej rovnice. toto riešenie nebrať do úvahy pri vykonávaní transformácií.

Urobme integráciu DE so separovanými premennými d y y = (x 2 + e x) d x:
∫ d y y = ∫ (x 2 + e x) d x ∫ d y y = ln y + C 1 ∫ (x 2 + e x) d x = x 3 3 + e x + C 2 ⇒ ln y + C 1 = e x 3 + C 2 ⇒ log y = x 3 3 + e x + C

Po vykonaní transformácie sme vykonali výmenu C2 - C1 na OD. Riešenie DE má tvar implicitne danej funkcie ln y = x 3 3 + e x + C . Túto funkciu môžeme vyjadriť explicitne. Aby sme to dosiahli, zosilníme výslednú rovnosť:

ln y = x 3 3 + e x + C ⇔ e ln y = e x 3 3 + e x + C ⇔ y = e x 3 3 + e x + C

odpoveď: y = ex33 + ex + C, y = 0

Diferenciálne rovnice redukujúce na rovnice s oddeliteľnými premennými y " = f (a x + b y) , a ≠ 0, b ≠ 0

Ak chcete priniesť obyčajné DE prvého rádu y " = f (a x + b y), a ≠ 0, b ≠ 0, do separovateľnej premennej rovnice je potrebné zaviesť novú premennú z = a x + b y , kde z je funkcia argumentu X.

Dostaneme:

z = a x + b y ⇔ y = 1 b (z - a x) ⇒ y " = 1 b (z" - a) f (a x + b y) = f (z)

Vykonávame substitúciu a potrebné transformácie:

y "= f (a x + b y) ⇔ 1 b (z" - a) = f (z) ⇔ z " = b f (z) + a ⇔ d z b f (z) + a = d x, b f (z) + a ≠ 0

Príklad 3

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice y " = 1 ln (2 x + y) - 2 a konkrétne riešenie, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku y (0) = e .

Riešenie

Predstavme si premennú z = 2 x + y, dostaneme:

y = z - 2 x ⇒ y " = z " - 2 ln (2 x + y) = ln z

Výsledok, ktorý sme dostali, dosadíme do pôvodného výrazu, prevedieme ho na diaľkové ovládanie s oddeliteľnými premennými:

y " = 1 ln (2 x + y) - 2 ⇔ z " - 2 = 1 ln z - 2 ⇔ d z d x = 1 ln z

Po oddelení premenných integrujeme obe časti rovnice:

d z d z = 1 ln z ⇔ ln z d z = d x ⇔ ∫ ln z d z = ∫ d x

Aplikujeme metódu integrácie po častiach, aby sme našli integrál umiestnený na ľavej strane rovnice. Pozrime sa na integrál na pravej strane tabuľky.

∫ ln z d z = u = ln z, d v = d z d u = d z z, v = z = z ln z - ∫ z d z z = = z ln z - z + C 1 = z (ln z - 1) + C 1 ∫ dx = x + C2

Môžeme povedať, že z · (ln z - 1) + C 1 = x + C 2 . Teraz ak to prijmeme C \u003d C2 - C1 a vykonajte opačnú substitúciu z = 2 x + y, potom dostaneme všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice v tvare implicitne danej funkcie:

(2x + y) (ln(2x + y) - 1) = x + C

Teraz začnime hľadať konkrétne riešenie, ktoré musí spĺňať počiatočnú podmienku y(0)=e. Urobme náhradu x=0 a y (0) = e do všeobecného riešenia diferenciálnej rovnice a nájdite hodnotu konštanty С.

(2 0 + e) ​​​​(ln (2 0 + e) ​​- 1) = 0 + C e (ln e - 1) = C C = 0

Dostaneme konkrétne riešenie:

(2x + y) (ln(2x + y) - 1) = x

Keďže podmienka úlohy nešpecifikovala interval, na ktorom je potrebné nájsť všeobecné riešenie DE, hľadáme riešenie, ktoré je vhodné pre všetky hodnoty argumentu x, pre ktoré má pôvodný DE zmysel. .

V našom prípade má DE zmysel pre ln (2 x + y) ≠ 0 , 2 x + y > 0

Diferenciálne rovnice redukujúce na rovnice s oddeliteľnými premennými y "= f x y alebo y" = f y x

DEs v tvare y " = f x y alebo y " = f y x môžeme redukovať na separovateľné diferenciálne rovnice tak, že dosadíme z = x y alebo z = y x , kde z je funkcia argumentu x.

Ak z \u003d x y, potom y \u003d x z a podľa pravidla diferenciácie zlomku:

y "= x y" = x "z - x z" z 2 = z - x z "z 2

V tomto prípade budú rovnice mať tvar z - x z "z 2 = f (z) alebo z - x z" z 2 = f 1 z

Ak prijmeme z \u003d y x, potom y \u003d x ⋅ z a podľa pravidla derivácie súčinu y "= (x z)" \u003d x "z + x z" \u003d z + x z ". V tomto v prípade sa rovnice zredukujú na z + x z" \u003d f 1 z alebo z + x z " = f(z) .

Príklad 4

Vyriešte diferenciálnu rovnicu y" = 1 e y x - y x + y x

Riešenie

Zoberme si z = y x , potom y = x z ⇒ y " = z + x z " . Dosaďte do pôvodnej rovnice:

y "= 1 e y x - y x + y x ⇔ z + x z" = 1 e z - z + z ⇔ x d z d x = 1 e z - z ⇔ (e z - z) d z = d x x

Vykonajte integráciu rovnice so separovanými premennými, ktoré sme získali pri transformáciách:

∫ (e z - z) d z = ∫ d x x e z - z 2 2 + C 1 = ln x + C 2 e z - z 2 2 = ln x + C, C = C 2 - C 1

Urobme inverznú substitúciu, aby sme získali všeobecné riešenie pôvodného DE vo forme implicitne definovanej funkcie:

e y x - 1 2 y 2 x 2 = log x + C

A teraz sa zamerajme na diaľkové ovládanie, ktoré má podobu:

y" = a 0 y n + a 1 y n - 1 x + a 2 y n - 2 x 2 + ... + a n x n b 0 y n + b 1 y n - 1 x + b 2 y n - 2 x 2 + . . . n + b n x

Delenie čitateľa a menovateľa zlomku na pravej strane záznamu o y n alebo x n, môžeme priniesť originál DE v tvare y " = f x y alebo y " = f y x

Príklad 5

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice y "= y 2 - x 2 2 x y

Riešenie

V tejto rovnici sa x a y líšia od 0. To nám umožňuje deliť čitateľa a menovateľa zlomku na pravej strane záznamu o x2:

y "= y 2 - x 2 2 x y ⇒ y" = y 2 x 2 - 1 2 y x

Ak zavedieme novú premennú z = y x , dostaneme y = x z ⇒ y " = z + x z " .

Teraz musíme vykonať substitúciu v pôvodnej rovnici:

y "= y 2 x 2 - 1 2 y x ⇔ z" x + z = z 2 - 1 2 z ⇔ z "x = z 2 - 1 2 z - z ⇔ z" x = z 2 - 1 - 2 z 2 2 z ⇔ d z d x x = - z 2 + 1 2 z ⇔ 2 z d z z 2 + 1 = - d x x

Takže sme sa dostali k DE s oddelenými premennými. Poďme nájsť jeho riešenie:

∫ 2 z d z z 2 + 1 = - ∫ d x x ∫ 2 z d z z 2 + 1 = ∫ d (z 2 + 1) z 2 + 1 = ln z 2 + 1 + C 1 - ∫ d x x = - ln x + C 2 z 2 + 1 + C1 \u003d - ln x + C2

Pre túto rovnicu môžeme získať explicitné riešenie. Aby sme to dosiahli, vezmeme - ln C \u003d C 2 - C 1 a použijeme vlastnosti logaritmu:

ln z 2 + 1 = - ln x + C 2 - C 1 ⇔ ln z 2 + 1 = - ln x - ln C ⇔ ln z 2 + 1 = - ln C x ⇔ ln z 2 + 1 = ln C x - 1 ⇔ e ln z 2 + 1 = e ln 1 C x ⇔ z 2 + 1 = 1 C x ⇔ z ± 1 C x - 1

Teraz vykonáme opačnú substitúciu y = x ⋅ z a zapíšeme všeobecné riešenie pôvodného DE:

y = ± x 1 C x - 1

V tomto prípade by bolo správne aj druhé riešenie. Môžeme použiť náhradu z = x y Pozrime sa na túto možnosť podrobnejšie.

Čitateľ a menovateľ zlomku umiestneného na pravej strane vstupu rovnice vydeľme y2:

y "= y 2 - x 2 2 x y ⇔ y" = 1 - x 2 y 2 2 x y

Nech z = x y

Potom y "= 1 - x 2 y 2 2 x y ⇔ z - z" x z 2 = 1 - z 2 2 z

Vykonáme substitúciu do pôvodnej rovnice, aby sme získali DE s oddeliteľnými premennými:

y "= 1 - x 2 y 2 2 x y ⇔ z - z" x z 2 = 1 - z 2 2 z

Po oddelení premenných dostaneme rovnosť d z z (z 2 + 1) = d x 2 x , ktorú môžeme integrovať:

∫ d z z (z 2 + 1) = ∫ d x 2 x

Ak rozšírime integrand integrálu ∫ d z z (z 2 + 1) na jednoduché zlomky, dostaneme:

∫ 1 z - z z 2 + 1 d z

Poďme integrovať najjednoduchšie zlomky:

∫ 1 z - z z 2 + 1 d z = ∫ z d z z 2 + 1 = ∫ d t z - 1 2 ∫ d (z 2 + 1) z 2 + 1 = = ln z - 1 2 ln z 2 + 1 + C 1 = ln zz2 + 1 + C1

Teraz nájdeme integrál ∫ d x 2 x:

∫ d x 2 x = 1 2 ln x + C 2 = ln x + C 2

V dôsledku toho dostaneme ln z z 2 + 1 + C 1 = ln x + C 2 alebo ln z z 2 + 1 = ln C · x, kde ln C = C2 - C1.

Urobme opačnú substitúciu z = x y a potrebné transformácie, dostaneme:

y = ± x 1 C x - 1

Variant riešenia, v ktorom sme vykonali zámenu z = x y, sa ukázal byť prácnejší ako v prípade zámeny z = y x. Tento záver bude platiť pre veľký počet rovníc v tvare y" = f x y alebo y" = f y x. Ak sa zvolená možnosť riešenia takýchto rovníc ukáže ako pracná, namiesto nahradenia z = x y môžete zaviesť premennú z = y x . Žiadnym spôsobom to neovplyvní výsledok.

Diferenciálne rovnice redukujúce na rovnice so separovateľnými premennými y "= f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 , a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 ∈ R

Diferenciálne rovnice y "= f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 možno redukovať na rovnice y" = f x y alebo y "= f y x, teda na rovnice so separovateľnými premennými. Pre toto sa zistí (x 0 , y 0) - riešenie sústavy dvoch lineárnych homogénnych rovníc a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 a zavádzajú sa nové premenné u = x - x 0 v = y - y 0. Po takomto nahradení bude mať rovnica tvar d v d u \u003d a 1 u + b 1 v a 2 u + b 2 v.

Príklad 6

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice y" = x + 2 y - 3 x - 1 .

Riešenie

Zostavíme a vyriešime sústavu lineárnych rovníc:

x + 2 y - 3 = 0 x - 1 = 0 ⇔ x = 1 y = 1

Vykonávame zmenu premenných:

u = x - 1 v = y - 1 ⇔ x = u + 1 y = v + 1 ⇒ d x = d u d y = d v

Po dosadení do pôvodnej rovnice dostaneme d y d x = x + 2 y - 3 x - 1 ⇔ d v d u = u + 2 v u . Po rozdelení podľa učitateľa a menovateľa pravej strany máme d v d u = 1 + 2 v u .

Zavedieme novú premennú z = v u ⇒ v = z y ⇒ d v d u = d z d u u + z , potom

d v d u = 1 + 2 v u ⇔ d z d u u + z = 1 + 2 z ⇔ d z 1 + z = d u u ⇒ ∫ d z 1 + z = ∫ d u u ⇔ ln 1 + z + C 1 = ln u + C = ln u + ln C , ln C = C 2 - C 1 ln 1 + z = ln C u 1 + z = C u ⇔ z = C u - 1 ⇔ v u = C u - 1 ⇔ v = u (C u - 1)

Vrátime sa k pôvodným premenným, pričom vykonáme opačnú substitúciu u = x - 1 v = y - 1:
v = u (Cu - 1) ⇔ y - 1 = (x - 1) (C (x - 1) - 1) ⇔ y = C x 2 - (2 C + 1) x + C + 2

Toto je všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Angličtina: Wikipedia robí stránku bezpečnejšou. Používate starý webový prehliadač, ktorý sa v budúcnosti nebude môcť pripojiť k Wikipédii. Aktualizujte svoje zariadenie alebo kontaktujte správcu IT.

中文: 维基 百科 正 在 使 网站 更加 安全 您 正 使用 旧 的 ， ， 在 将来 无法 百科。 更新 英语 设备 或 您 的 英语 的 管理员。 英语 更 ， 具 技术性 更新 仅 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 管理员 英语 英语 英语 ， ， 技术性 技术性 仅 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语ahoj).

španielčina: Wikipedia je zabezpečená. Používa sa web navigácie, ktorý nie je pripojený k Wikipédii a budúcnosti. Aktuálne informácie o kontakte a správcovi informático. Más abajo hay una updateization más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Francais: Wikipedia a bientôt rozširuje bezpečnú stránku. Ak používate aktuálny webový navigátor, môžete použiť pripojenie na internetovú stránku Wikipédia. Merci de mettre à joour votre appareil or de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Informácie o doplnkových technikách a technikách sú k dispozícii.

日本語: ウィキペディア で は サイト の セキュリティ を て い ます ご 利用 利用 の は バージョン が 、 、 接続 でき なく 可能 性 が ます 更新 更新 を を 更新 更新 、 管理 ご ください。 技術 の 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新更新 更新 更新 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい HIP情報は以下に英語で恗〾い

nemčina: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Tento nový webový prehliadač vám umožňuje používať nový webový prehliadač, ktorý nie je k dispozícii na Wikipédii. Bitte aktualisiere dein Gerät alebo sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

taliansky: Wikipedia sa nachádza v tejto situácii. Použite web prehliadača, ktorý nie je dostupný na stupňoch pripojenia na Wikipédii v budúcnosti. V prospech, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

maďarčina: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

Švédsko: Wikipedia sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare inte commer att Kunna läsa Wikipedia and framtiden. Aktualizácia alebo kontakt na správcu IT. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Odstraňujeme podporu pre nezabezpečené verzie protokolu TLS, konkrétne TLSv1.0 a TLSv1.1, na ktoré sa softvér vášho prehliadača spolieha pri pripájaní na naše stránky. Zvyčajne je to spôsobené zastaranými prehliadačmi alebo staršími smartfónmi so systémom Android. Alebo to môže byť rušenie z podnikového alebo osobného softvéru „Web Security“, ktorý v skutočnosti znižuje bezpečnosť pripojenia.

Ak chcete získať prístup k našim stránkam, musíte aktualizovať svoj webový prehliadač alebo inak vyriešiť tento problém. Táto správa zostane v platnosti do 1. januára 2020. Po tomto dátume už váš prehliadač nebude môcť nadviazať spojenie s našimi servermi.

Diferenciálna rovnica s oddelenými premennými je napísaná takto: (1). V tejto rovnici jeden člen závisí iba od x a druhý závisí od y. Integráciou tejto rovnice člen po člene dostaneme:
je jeho všeobecný integrál.

Príklad: nájdite všeobecný integrál rovnice:
.

Riešenie: Táto rovnica je diferenciálna rovnica s oddelenými premennými. Preto
alebo
Označiť
. Potom
je všeobecný integrál diferenciálnej rovnice.

Rovnica separovateľnej premennej má tvar (2). Rovnicu (2) možno ľahko zredukovať na rovnicu (1) jej delením po členoch
. Dostaneme:

je všeobecný integrál.

Príklad: vyriešiť rovnicu .

Riešenie: transformujte ľavú stranu rovnice: . Obe strany rovnice delíme o


Riešením je výraz:
tie.

Homogénne diferenciálne rovnice. Bernoulliho rovnice. Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu.

Typová rovnica sa nazýva homogénne, ak
a
sú homogénne funkcie rovnakého rádu (meranie). Funkcia
sa nazýva homogénna funkcia prvého rádu (meranie), ak pri vynásobení každého z jej argumentov ľubovoľným faktorom celá funkcia sa násobí o , t.j.
=
.

Homogénna rovnica môže byť zredukovaná do tvaru
. S pomocou substitúcie
(
) homogénna rovnica sa zredukuje na rovnicu s oddeliteľnými premennými vzhľadom na novú funkciu .

Diferenciálna rovnica prvého rádu sa nazýva lineárne ak sa to dá napísať vo forme
.

Bernoulliho metóda

Riešenie rovnice
sa hľadá ako súčin dvoch ďalších funkcií, t.j. pomocou substitúcie
(
).

Príklad: integrovať rovnicu
.

My veríme
. Potom, t.j. . Najprv vyriešime rovnicu
=0:


.

Teraz riešime rovnicu
tie.


. Takže všeobecné riešenie tejto rovnice je
tie.

rovnica J. Bernoulliho

Rovnica tvaru , kde
volal Bernoulliho rovnica. Táto rovnica sa rieši Bernoulliho metódou.

Homogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi

Homogénna lineárna diferenciálna rovnica druhého rádu je rovnica tvaru (1) , kde a sú konštantné.

Jednotlivé riešenia rovnice (1) sa budú hľadať vo forme
, kde do- nejaké číslo. Dvakrát diferencovať túto funkciu a nahradiť výrazy za
do rovnice (1), dostaneme m.e.alebo
(2) (
).

Rovnica 2 sa nazýva charakteristická rovnica diferenciálnej rovnice.

Pri riešení charakteristickej rovnice (2) sú možné tri prípady.

Prípad 1 Korene a rovnice (2) sú skutočné a rôzne:

a

.

Prípad 2 Korene a rovnice (2) sú skutočné a rovnajú sa:
. V tomto prípade sú konkrétne riešenia rovnice (1) funkciami
a
. Preto má všeobecné riešenie rovnice (1) tvar
.

Prípad 3 Korene a rovnice (2) sú zložité:
,
. V tomto prípade sú konkrétne riešenia rovnice (1) funkciami
a
. Preto má všeobecné riešenie rovnice (1) tvar

Príklad. vyriešiť rovnicu
.

Riešenie: zostavíme charakteristickú rovnicu:
. Potom
. Všeobecné riešenie tejto rovnice
.

Extrém funkcie viacerých premenných. Podmienený extrém.

Extrém funkcie viacerých premenných

Definícia.Bod M (x o ,y o ) sa nazývamaximálny (minimálny) bod funkciez= f(X, y) ak existuje okolie bodu M také, že pre všetky body (x, y) z tohto okolia je nerovnosť
(
)

Na obr. 1 bod ALE
- existuje minimálny bod a bod AT
- maximálny bod.

Nevyhnutnéextrémna podmienka je viacrozmernou analógiou Fermatovej vety.

Veta.Nechajte bod
je extrémnym bodom diferencovateľnej funkciez= f(X, y). Potom parciálne derivácie
a
vtento bod je nulový.

Body, v ktorých sú splnené nevyhnutné podmienky pre extrém funkcie z= f(X, y), tie. parciálne deriváty z" X a z" r sa nazývajú rovné nule kritický alebo stacionárne.

Rovnosť parciálnych derivácií k nule vyjadruje len nevyhnutnú, ale nedostatočnú podmienku pre extrém funkcie viacerých premenných.

Na obr. takzvaný sedlový bod M (x o ,y o ). Parciálne deriváty
a
sa rovnajú nule, ale, samozrejme, v bode nie sú žiadne extrémy M(x o ,y o ) č.

Takéto sedlové body sú dvojrozmernými analógmi inflexných bodov pre funkcie jednej premennej. Úlohou je oddeliť ich od extrémnych bodov. Inými slovami, musíte vedieť dostatočné extrémny stav.

Veta (dostatočná podmienka pre extrém funkcie dvoch premenných).Nechajte funkciuz= f(X, y): a) je definovaný v niektorom okolí kritického bodu (x o ,y o ), kde
=0 a
=0 ;

b) má v tomto bode spojité parciálne derivácie druhého rádu
;

;
Potom, ak ∆=AC-B 2 >0, potom v bode (x o ,y o ) funkciuz= f(X, y) má extrém, a ak ALE<0 - maximálne ak A>0 - minimálne. V prípade ∆=AC-B 2 <0, функция z= f(X, y) nemá extrém. Ak ∆=AC-B 2 =0, potom otázka prítomnosti extrému zostáva otvorená.

Skúmanie funkcie dvoch premenných pre extrém odporúča sa vykonať nasledovné schéma:

Nájdite čiastočné deriváty funkcií z" X a z" r .

Vyriešte sústavu rovníc z" X =0, z" r =0 a nájdite kritické body funkcie.

Nájdite parciálne derivácie druhého rádu, vypočítajte ich hodnoty v každom kritickom bode a pomocou dostatočnej podmienky vyvodte záver o prítomnosti extrémov.

Nájdite extrémy (extrémne hodnoty) funkcie.

Príklad. Nájdite extrémy funkcie

Riešenie. 1. Nájdite parciálne derivácie

2. Kritické body funkcie nájdeme zo sústavy rovníc:

so štyrmi riešeniami (1; 1), (1; -1), (-1; 1) a (-1; -1).

3. Nájdeme parciálne derivácie druhého rádu:

;
;
, vypočítame ich hodnoty v každom kritickom bode a skontrolujeme v ňom splnenie dostatočnej extrémnej podmienky.

Napríklad v bode (1; 1) A= z"(1; 1) = -1; B = 0; C = -1. Pretože ∆ =AC-B 2 = (-1)2-0=1 >0 a A=-1<0, potom bod (1; 1) je maximálny bod.

Podobne stanovíme, že (-1; -1) je minimálny bod a v bodoch (1; -1) a (-1; 1), v ktorých ∆ =AC-B 2 <0, - экстремума нет. Эти точки являются седловыми.

4. Nájdite extrémy funkcie z max = z(l; 1) = 2, z min = z(-l; -1) = -2,

Podmienený extrém. Metóda Lagrangeových multiplikátorov.

Uvažujme o probléme, ktorý je špecifický pre funkcie viacerých premenných, keď sa jeho extrém nehľadá na celej doméne definície, ale na množine, ktorá spĺňa určitú podmienku.

Nech funkcia z = f(X, r), argumenty X a pri ktoré spĺňajú podmienku g(x, y)= OD, volal rovnica spojenia.

Definícia.Bodka
nazvaný bodpodmienené maximum (minimum), ak existuje také okolie tohto bodu, ktoré pre všetky body (x, y) z tohto okolia spĺňa podmienkug (X, r) = С, nerovnosť

(
).

Na obr. zobrazí sa podmienený maximálny bod
. Je zrejmé, že nejde o bezpodmienečný extrém funkcie z = f(X, r) (na obrázku ide o bod
).

Najjednoduchší spôsob, ako nájsť podmienený extrém funkcie dvoch premenných, je zredukovať problém na nájdenie extrému funkcie jednej premennej. Predpokladajme obmedzovaciu rovnicu g (X, r) = OD podarilo vyriešiť s ohľadom na jednu z premenných, napr pri cez X:
. Dosadením výsledného výrazu do funkcie dvoch premenných dostaneme z = f(X, r) =
, tie. funkcia jednej premennej. Jeho extrém bude podmieneným extrémom funkcie z = f(X, r).

Príklad. X 2 + r 2 za podmienky 3x + 2 roky = 11.

Riešenie. Premennú y vyjadríme z rovnice 3x + 2y \u003d 11 pomocou premennej x a dosadíme výslednú
do funkcie z. Získajte z= X 2 +2
alebo z =
. Táto funkcia má jediné minimum at = 3. Hodnota zodpovedajúcej funkcie
Teda (3; 1) je podmienený extrém (minimálny) bod.

V uvažovanom príklade obmedzujúca rovnica g(X, y) = C sa ukázalo byť lineárne, takže bolo ľahko vyriešené vzhľadom na jednu z premenných. V zložitejších prípadoch to však nie je možné.

Na nájdenie podmieneného extrému vo všeobecnom prípade používame metóda Lagrangeových multiplikátorov.

Zvážte funkciu troch premenných

Táto funkcia sa nazýva Lagrangeova funkcia, a - Lagrangeov multiplikátor. Nasledujúca veta je pravdivá.

Veta.Ak bod
je podmienený extrémny bod funkciez = f(X, r) za podmienkyg (X, r) = C, potom existuje hodnota taký, že bod
je extrémnym bodom funkcieL{ X, r, ).

Teda nájsť podmienený extrém funkcie z = f(x, y) za podmienky g(X, r) = C treba nájsť riešenie systému

Na obr. je znázornený geometrický význam Lagrangeových podmienok. Linka g(x, y)= C bodkovaná, rovná čiara g(X, r) = Q funkcie z = f(X, r) pevný.

Z obr. z toho vyplýva v podmienenom extrémnom bode, úrovňová čiara funkcie z= f(X, r) sa dotkne čiaryg(X, r) = C.

Príklad. Nájdite maximálny a minimálny bod funkcie z = X 2 + r 2 za podmienky 3x + 2 roky = 11 pomocou Lagrangeovej multiplikačnej metódy.

Riešenie. Vytvorte Lagrangeovu funkciu L= x 2 + 2r 2 +

Prirovnaním jeho parciálnych derivácií k nule dostaneme sústavu rovníc

Jeho jediné riešenie (x=3, y=1, =-2). Teda iba bod (3;1) môže byť podmieneným extrémnym bodom. Je ľahké overiť, že v tomto bode funguje z= f(X, r) má podmienené minimum.

Uvažuje sa o metóde riešenia diferenciálnych rovníc redukovanej na rovnice so separovateľnými premennými. Uvádza sa príklad podrobného riešenia diferenciálnej rovnice, ktorá sa redukuje na rovnicu so separovateľnými premennými.

Obsah

Formulácia problému

Zvážte diferenciálnu rovnicu
(i) ,
kde f je funkcia, a, b, c sú konštanty, b ≠ 0 .
Táto rovnica je redukovaná na rovnicu s oddeliteľnými premennými.

Metóda riešenia

Robíme náhradu:
u = ax + by + c
Tu je y funkciou x. Preto u je tiež funkciou x .
Diferencujte vzhľadom na x
u′ = (ax + by + c)′ = a + by′
Náhradník (i)
u′ = a + by′ = a + b f(ax + by + c) = a + b f (u)
alebo:
(ii)
Samostatné premenné. Vynásobte dx a vydeľte a + b f (u). Ak a + b f (u) ≠ 0, potom

Integráciou získame všeobecný integrál pôvodnej rovnice (i) v štvorcoch:
(iii) .

Nakoniec zvážte prípad
(iv) a + b f (u) = 0.
Predpokladajme, že táto rovnica má n koreňov u = r i, a + b f (ri) = 0, i = 1, 2, ...n. Keďže funkcia u = r i je konštantná, jej derivácia vzhľadom na x sa rovná nule. Preto u = r i je riešením rovnice (ii).
Avšak, rovnica (ii) nezodpovedá pôvodnej rovnici (i) a možno nie všetky riešenia u = r i vyjadrené v premenných x a y spĺňajú pôvodnú rovnicu (i).

Riešením pôvodnej rovnice je teda všeobecný integrál (iii) a niektoré korene rovnice (iv).

Príklad riešenia diferenciálnej rovnice, ktorá sa redukuje na rovnicu s oddeliteľnými premennými

vyriešiť rovnicu
(1)

Robíme náhradu:
u = x - y
Diferencujte vzhľadom na x a vykonajte transformácie:
;

Vynásobte dx a vydeľte u 2 .

Ak u ≠ 0, potom dostaneme:

Integrujeme:

Aplikujeme vzorec z tabuľky integrálov :

Vypočítame integrál

Potom
;
, alebo

Spoločné rozhodnutie:
.

Teraz zvážte prípad u = 0 alebo u = x - y = 0 , alebo
y=x.
Keďže y′ = (x)' = 1, potom y = x je riešením pôvodnej rovnice (1) .

;
.

Referencie:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbierka úloh z vyššej matematiky, Lan, 2003.