Lecția „funcțiile trigonometrice ale argumentului unghiular”. Funcții trigonometrice ale argumentului numeric și unghiular Funcții trigonometrice ale unghiulare

Oricare ar fi număr real nu contează ce, poate fi atribuit fără ambiguitate un anumit număr sin t. Adevărat, regula de potrivire este destul de complexă, după cum am văzut mai sus, este după cum urmează.

Pentru a găsi valoarea lui sin t folosind numărul t, aveți nevoie de:

1) plasați cercul numeric plan de coordonate astfel încât centrul cercului să coincidă cu originea coordonatelor, iar punctul de plecare A al cercului se încadrează în punctul (1; 0);

2) găsiți un punct pe cerc corespunzător numărului t;

3) găsiți ordonata acestui punct.

Această ordonată este sin t.

De fapt, vorbim despre funcția u = sin t, unde t este orice număr real.

Toate aceste funcții sunt numite funcţiile trigonometrice ale argumentului numeric t.

Există o serie de relații care conectează valorile diferitelor funcții trigonometrice, am obținut deja unele dintre aceste relații:

sin 2 t+cos 2 t = 1

Din ultimele două formule este ușor de obținut o relație care leagă tg t și ctg t:

Toate aceste formule sunt utilizate în cazurile în care, cunoscând valoarea unei funcții trigonometrice, este necesar să se calculeze valorile altor funcții trigonometrice.

Termenii „sinus”, „cosinus”, „tangent” și „cotangent” erau de fapt familiari, totuși, ei erau încă utilizați într-o interpretare ușor diferită: în geometrie și în fizică ei considerau sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. la cap(nu

numere, așa cum a fost în paragrafele precedente).

Din geometrie se știe că sinus (cosinus) unghi ascuțit-- aceasta este relația cu picioarele triunghi dreptunghic la ipotenuza sa, iar tangenta (cotangenta) unghiului este raportul catetelor unui triunghi dreptunghic. O abordare diferită a conceptelor de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a fost dezvoltată în paragrafele precedente. De fapt, aceste abordări sunt interdependente.

Să luăm un unghi cu măsura gradului b o și să-l plasăm în modelul „cerc numeric într-un sistem de coordonate dreptunghiular”, așa cum se arată în Fig. 14

vârful unghiului este compatibil cu centrul

cercuri (cu originea sistemului de coordonate),

iar o parte a unghiului este compatibilă cu

raza pozitivă a axei x. Punct

intersecția celei de-a doua laturi a unghiului cu

notează prin cerc litera M. Ordina-

Fig. 14 b o, iar abscisa acestui punct este cosinusul unghiului b o.

Pentru a găsi sinusul sau cosinusul unui unghi b o nu este deloc necesar să faceți de fiecare dată aceste construcții foarte complexe.

Este suficient de remarcat că arcul AM alcătuiește aceeași parte din lungimea cercului numeric pe care o face unghiul b o din colțul de 360°. Dacă lungimea arcului AM este notată cu litera t, obținem:

Astfel,

De exemplu,

Se crede că 30° este o măsură de grad a unui unghi și o măsură în radian a aceluiași unghi: 30° = rad. Deloc:

În special, mă bucur de unde, la rândul nostru, îl obținem.

Deci, ce este 1 radian? Mânca diverse masuri lungimi ale segmentelor: centimetri, metri, yarzi etc. Există, de asemenea, diverse măsuri pentru a indica mărimea unghiurilor. Luăm în considerare unghiuri centrale cerc unitar. Un unghi de 1° este unghiul central subtins de un arc care face parte dintr-un cerc. Un unghi de 1 radian este unghiul central subîntins de un arc de lungime 1, i.e. pe un arc a cărui lungime este egală cu raza cercului. Din formulă, aflăm că 1 rad = 57,3°.

Când luăm în considerare funcția u = sin t (sau orice altă funcție trigonometrică), putem considera variabila independentă t ca fiind un argument numeric, așa cum a fost cazul în paragrafele anterioare, dar putem considera și această variabilă ca fiind o măsură a unghiul, adică argument de colț. Prin urmare, când vorbim despre o funcție trigonometrică, într-un anumit sens, nu are nicio diferență să o consideri o funcție a unui argument numeric sau unghiular.

Lecție și prezentare pe tema: „Funcția trigonometrică a argumentului unghiular, măsura gradului de unghi și radiani”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările voastre. Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Manuale si simulatoare in magazinul online Integral pentru nota 10 din 1C
Rezolvăm probleme de geometrie. Sarcini interactive de construcție
Rezolvăm probleme de geometrie. Sarcini interactive pentru construirea în spațiu

Ce vom studia:
1. Să ne amintim geometria.
2. Definirea argumentului unghiular.
3. Măsura gradului de unghi.
4. Măsura radianilor unghiului.
5. Ce este un radian?
6. Exemple și sarcini pentru soluții independente.

Repetarea geometriei

Băieți, în funcțiile noastre:

y= sin(t), y= cos(t), y= tg(t), y= ctg(t)

Variabila t poate lua nu numai valori numerice, adică poate fi un argument numeric, ci poate fi considerată și o măsură a unui unghi - un argument unghiular.

Să ne amintim de geometrie!
Cum am definit acolo sinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta?

Sinusul unghiului - raportul dintre latura opusă și ipotenuză

Cosinusul unghiului – raport picior alăturat la ipotenuză

Tangenta unui unghi este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.

Cotangenta unui unghi este raportul dintre latura adiacentă și latura opusă.

Definiția funcției trigonometrice a argumentului unghiului

Să definim funcțiile trigonometrice ca funcții ale argumentului unghiular pe cercul numeric:
Folosind cercul numeric și sistemul de coordonate, putem găsi întotdeauna cu ușurință sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi:

Să plasăm vârful unghiului nostru α în centrul cercului, adică. la centrul axei de coordonate și poziționați una dintre laturi astfel încât să coincidă cu direcția pozitivă a axei absciselor (OA)
Apoi a doua latură intersectează cercul numeric în punctul M.

Ordonată punctul M: sinusul unghiului α
Abscisă punctul M: cosinusul unghiului α

Rețineți că lungimea arcului AM este aceeași parte a cercului unitar cu unghiul nostru α de la 360 de grade: unde t este lungimea arcului AM.

Măsura gradului de unghi

1) Băieți, avem o formulă pentru determinarea gradului de măsură a unui unghi prin lungimea arcului unui cerc numeric, să aruncăm o privire mai atentă:

Apoi scriem funcțiile trigonometrice sub forma:

De exemplu:

Măsura radianilor unghiurilor

Când calculați gradul sau măsura în radian a unui unghi, amintiți-vă! :
De exemplu:

Apropo! Denumirea rad. îl poți coborî!

Ce este un radian?

Dragi prieteni, ne confruntăm cu un nou concept - Radian. Deci ce este?

Există diverse măsuri de lungime, timp, greutate, de exemplu: metru, kilometru, secundă, oră, gram, kilogram și altele. Deci radianul este una dintre măsurile unghiului. Merită să luăm în considerare unghiurile centrale, adică cele situate în centrul cercului numeric.
Un unghi de 1 grad este unghiul central subtins de un arc egal cu 1/360 din circumferință.

Un unghi de 1 radian este unghiul central subtins de un arc egal cu 1 într-un cerc unitar, iar într-un cerc arbitrar de un arc egal cu raza cercului.

Exemple:

Exemple de conversie de la o măsură de grad a unui unghi la o măsură de radian și invers

Probleme de rezolvat independent

1. Găsiți măsura în radiani a unghiurilor:
a) 55° b) 450° c) 15° d) 302°

2. Găsiți:
a) sin(150°) b) cos(45°) c) tg(120°)

3. Găsiți măsura gradului unghiurilor:

Tutorial video " Funcții trigonometrice argumentul unghiului” reprezintă material vizual să conducă o lecție de matematică pe o temă relevantă. Videoclipul este conceput astfel încât materialul studiat să fie prezentat cât mai convenabil pentru ca elevii să-l înțeleagă, să fie ușor de reținut și să dezvăluie bine legătura dintre informațiile disponibile despre funcțiile trigonometrice din secțiunea privind studierea triunghiurilor și definirea lor folosind unitatea cerc. Poate deveni parte independentă lecție, deoarece acoperă complet acest subiect, completat cu comentarii importante în timpul dublării.

Pentru a demonstra clar conexiunea definiții diferite se folosesc funcții trigonometrice, efecte de animație. Evidențierea textului cu un font colorat, construcții clare, ușor de înțeles și adăugarea de comentarii vă ajută să stăpâniți și să vă amintiți rapid materialul și să atingeți rapid obiectivele lecției. Legăturile dintre definițiile funcțiilor trigonometrice sunt clar demonstrate prin efecte de animație și evidențierea culorilor, promovând înțelegerea și reținerea materialului. Manualul are ca scop creșterea eficienței instruirii.

Lecția începe cu introducerea subiectului. Apoi se reamintesc definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic. Definiția evidențiată în cadru ne amintește că sinusul și cosinusul se formează pe măsură ce raportul catetei la ipotenuză, tangenta și cotangenta sunt formate din raportul catetelor. Elevilor li se reamintesc, de asemenea, de materialul învățat recent, că atunci când se ia în considerare un punct de pe cercul unității, abscisa punctului este cosinusul, iar ordonata este sinusul numărului corespunzător punctului respectiv. Legătura dintre aceste concepte este demonstrată folosind construcția. Ecranul afișează un cerc unitar plasat astfel încât centrul acestuia să coincidă cu originea. De la originea coordonatelor se construiește o rază care formează un unghi α cu axa pozitivă a semiabscisei. Această rază intersectează cercul unitar în punctul O. Din punct, perpendicularele coboară până la axa absciselor și ordonatelor, demonstrând că coordonatele acestui punct determină cosinusul și sinusul unghiului α. Se observă că lungimea arcului AO de la punctul de intersecție a cercului unitar cu direcția pozitivă a axei absciselor până la punctul O este aceeași parte a întregului arc ca și unghiul α de la 360°. Acest lucru vă permite să creați proporția α/360=t/2π, care este afișată imediat și evidențiată cu roșu pentru memorare. Din această proporție se deduce valoarea t=πα/180°. Ținând cont de acest lucru, se determină relația dintre definițiile sinusului și cosinusului: sinα°= sint= sinπα/180, cosα°=cost=cosπα/180. De exemplu, este dat găsirea sin60°. Înlocuind măsura gradului unghiului în formulă, obținem sin π·60°/180°. Reducând fracția cu 60, obținem sin π/3, care este egal cu √3/2. Se observă că, dacă 60° este o măsură de grad a unui unghi, atunci π/3 se numește măsura în radian a unui unghi. Există două notații posibile pentru raportul dintre măsura gradului unui unghi și măsura radianului: 60°=π/3 și 60°=π/3 rad.

Conceptul de unghi de un grad este definit ca unghiul central subîntins de un arc a cărui lungime 1/360 reprezintă o parte a circumferinței. Următoarea definiție dezvăluie conceptul de unghi de un radian - unghiul central bazat pe un arc de lungime unu, sau egală cu raza cercului. Definițiile sunt marcate ca importante și evidențiate pentru a fi reținute.

Pentru a converti măsura de un grad a unui unghi într-o măsură în radian și invers, utilizați formula α°=πα/180 rad. Această formulă este evidențiată într-un cadru de pe ecran. Din această formulă rezultă că 1° = π/180 rad. În acest caz, un radian corespunde unui unghi de 180°/π≈57,3°. Se observă că la găsirea valorilor funcțiilor trigonometrice ale variabilei independente t, aceasta poate fi considerată atât un argument numeric, cât și unul unghiular.

Următoarele demonstrează exemple de utilizare a cunoștințelor dobândite în rezolvarea problemelor matematice. În exemplul 1, trebuie să convertiți valorile de la grade la radiani 135° și 905°. În partea dreaptă a ecranului există o formulă care arată relația dintre grade și radiani. După înlocuirea valorii în formulă, obținem (π/180)·135. După reducerea acestei fracțiuni cu 45, obținem valoarea 135° = 3π/4. Pentru a converti un unghi de 905° într-o măsură în radian, se folosește aceeași formulă. După înlocuirea valorii în ea, rezultă (π/180)·905=181π/36 rad.

În al doilea exemplu, se rezolvă problema inversă - se găsește măsura gradului unghiurilor exprimată în radiani π/12, -21π/20, 2,4π. În partea dreaptă a ecranului, amintim formula studiată pentru legătura dintre gradul și măsura în radian a unghiului 1 rad = 180°/π. Fiecare exemplu este rezolvat prin înlocuirea măsurii radianilor în formulă. Înlocuind π/12, obținem (180°/π)·(π/12)=15°. Valorile unghiurilor rămase se găsesc în mod similar -21π/20=-189° și 2,4π=432°.

Lecția video „Funcțiile trigonometrice ale argumentului unghiular” este recomandată pentru utilizare în lecțiile tradiționale de matematică pentru a crește eficiența învățării. Materialul va contribui la asigurarea vizibilității învățării în timpul învățământului la distanță pe această temă. O explicație detaliată și ușor de înțeles a subiectului și soluțiile la problemele pe care le are pe acesta îl pot ajuta pe student să stăpânească în mod independent materialul.

DECODIFICAREA TEXTULUI:

„Funcțiile trigonometrice ale argumentului unghiular”.

Știm deja din geometrie că sinusul (cosinusul) unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul catetei la ipotenuză, iar tangenta (cotangenta) este raportul catetelor. Și în algebră numim cosinus abscisa unui punct de pe cercul unitar, iar ordonata acestui punct sinus. Să ne asigurăm că toate acestea sunt strâns legate între ele.

Să plasăm un unghi cu măsura gradului α° (grade alfa), așa cum se arată în Figura 1: vârful unghiului este compatibil cu centrul cercului unitar (cu originea sistemului de coordonate) și cu o latură a unghiului este compatibil cu raza pozitivă a axei absciselor. A doua latură a unghiului intersectează cercul în punctul O. Ordonata punctului O este sinusul unghiului alfa, iar abscisa acestui punct este cosinusul alfa.

Rețineți că arcul AO este aceeași parte a lungimii cercului unitar ca și unghiul alfa din unghiul de trei sute șaizeci de grade. Să notăm lungimea arcului AO cu t(te), apoi vom compune proporția =

(alfa este la 60 de încredere, așa cum te este la doi pi, găsim te: t = = (te este egal cu pi alfa împărțit la o sută optzeci).

Astfel, pentru a găsi sinusul sau cosinusul gradelor alfa unghiului, puteți folosi formula:

sin α° = sint = sin (sinusul grade alfa este egal cu sine te și egal cu sinusul parțial pi alfa la o sută optzeci),

cosα° = cost = cos (cosinusul gradelor alfa este egal cu cosinusul lui te și este egal cu cosinusul parțial pi alfa la o sută optzeci).

De exemplu, sin 60° = sin = sin = (sinusul de șaizeci de grade este egal cu sinusul lui pi cu trei, conform tabelului cu valorile de bază ale sinusurilor, este egal cu rădăcina lui trei cu doi) .

Se crede că 60° este o măsură de grad a unui unghi și (pi cu trei) este o măsură în radian a aceluiași unghi, adică 60° = bucuros(Șaizeci de grade este egal cu pi ori trei radiani). Pentru concizie, am convenit asupra desemnării bucuros omiteți, adică următoarea intrare este acceptabilă: 60°= (afișați abrevierile măsura în radian = rad.)

Un unghi de un grad este un unghi central care subtinde un arc care este (una trei sute șaizeci) parte a arcului. Un unghi de un radian este unghiul central care se sprijină pe un arc de lungime unu, adică un arc a cărui lungime este egală cu raza cercului (considerăm că unghiurile centrale ale unui cerc unitar arată un unghi în pi radiani pe un cerc).

Să ne amintim formula importantă pentru transformarea gradelor în radiani:

α° = bucuros. (alfa este egal cu pi alfa împărțit la o sută optzeci, radiani) Mai exact, 1° = bucuros(un grad este egal cu pi împărțit la o sută optzeci, radiani).

Din aceasta putem constata că un radian este egal cu raportul dintre o sută optzeci de grade la pi și este aproximativ egal cu cincizeci și șapte virgulă trei grade: 1 bucuros= ≈ 57,3°.

Din cele de mai sus: când vorbim despre orice funcție trigonometrică, de exemplu despre funcția s = sint (es este egal cu sine te), variabila independentă t(te) poate fi considerată atât un argument numeric, cât și un argument unghiular.

Să ne uităm la exemple.

EXEMPLUL 1. Convertiți din grade în radiani: a) 135°; b) 905°.

Soluţie. Să folosim formula pentru a converti grade în radiani:

a) 135° = 1° ∙ 135 = bucuros ∙ 135 = bucuros

(o sută treizeci și cinci de grade este egal cu pi ori o sută optzeci de radiani înmulțit cu o sută treizeci și cinci, iar după reducere este egal cu trei pi ori patru radiani)

b) În mod similar, folosind formula de conversie a unei măsuri de grad într-o măsură în radian, obținem

905° = bucuros ∙ 905 = bucuros.

(nouă sute cinci grade este egal cu o sută optzeci și unu pi ori treizeci și șase de radiani).

EXEMPLU 2. Exprimați în grade: a) ; b) - ; c) 2,4π

(pi peste doisprezece; minus douăzeci și unu pi peste douăzeci; două virgulă patru pi).

Soluţie. a) Să exprimăm pi cu doisprezece în grade, folosiți formula pentru conversia mărimii radianilor unui unghi într-un grad în 1 bucuros=, primim

bucuros = 1 bucuros∙ = ∙ = 15° (pi cu doisprezece radiani este egal cu produsul dintre un radian și pi cu doisprezece. Înlocuind o sută optzeci cu pi în loc de un radian și reducând, obținem cincisprezece grade)

Similar cu b) - = 1 bucuros∙ (-) = ∙ (-)= - 189° (minus douăzeci și unu pi ori douăzeci egal cu minus o sută optzeci și nouă de grade),

c) 2,4π = 1 bucuros∙ 2,4π = ∙ 2,4π = 432° (două virgulă patru pi este egal cu patru sute treizeci și două de grade).

Funcții trigonometrice ale argumentului numeric am rezolvat-o. Am luat punctul A de pe cerc și am căutat sinusurile și cosinusurile unghiului β rezultat.

Am desemnat punctul ca A, dar în algebră este adesea desemnat ca t și sunt date toate formulele/funcțiile cu acesta. De asemenea, nu ne vom abate de la canoane. Aceste. t - acesta va fi, prin urmare, un anumit număr functie numerica(de exemplu sint)

Este logic ca, din moment ce avem un cerc cu raza de unu, atunci

Funcții trigonometrice ale argumentului unghiului Am analizat-o și cu succes - conform canoanelor, vom scrie pentru astfel de funcții: sin α°, adică prin α° orice unghi cu numărul de grade de care avem nevoie.

Raza acestui unghi ne va oferi al doilea punct de pe cerc (OA - punctul A) și punctele corespunzătoare C și B pentru funcția de argument numeric, dacă avem nevoie de ea: sin t = sin α°

Linii de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente

Nu uita niciodată asta Axa Y este linia sinusurilor, Axa X este linia cosinusurilor! Punctele obținute din cerc sunt marcate pe aceste axe.

O liniile tangentelor și cotangentelor sunt paralele cu acestea și trec prin punctele (1; 0) și (0; 1) respectiv.