Proprietățile geometrice ale elipsei. Linii de ordinul doi

11.1. Concepte de bază

Să luăm în considerare liniile definite prin ecuații de gradul doi în raport cu coordonatele curente

Coeficienții ecuației - numere reale, dar cel puțin unul dintre numerele A, B sau C este diferit de zero. Astfel de linii se numesc linii (curbe) de ordinul doi. Mai jos se va stabili că ecuația (11.1) definește un cerc, elipsă, hiperbolă sau parabolă pe plan. Înainte de a trece la această afirmație, să studiem proprietățile curbelor enumerate.

11.2. Cerc

Cea mai simplă curbă de ordinul doi este un cerc. Reamintim că un cerc de rază R cu centru într-un punct este mulțimea tuturor punctelor M ale planului care îndeplinesc condiția . Fie ca un punct dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular să aibă coordonatele x 0, y 0 și - un punct arbitrar pe cerc (vezi Fig. 48).

Apoi din condiție obținem ecuația

(11.2)

Ecuația (11.2) este satisfăcută de coordonatele oricărui punct dintr-un cerc dat și nu este satisfăcută de coordonatele oricărui punct care nu se află pe cerc.

Ecuația (11.2) se numește ecuația canonică a unui cerc

În special, stabilind și , obținem ecuația unui cerc cu centrul la origine .

Ecuația cercului (11.2) după transformări simple va lua forma . Când comparăm această ecuație cu ecuația generală (11.1) a unei curbe de ordinul doi, este ușor de observat că sunt îndeplinite două condiții pentru ecuația unui cerc:

1) coeficienții pentru x 2 și y 2 sunt egali între ei;

2) nu există niciun membru care să conţină produsul xy al coordonatelor curente.

Să luăm în considerare problema inversă. Punând valorile și în ecuația (11.1), obținem

Să transformăm această ecuație:

(11.4)

Rezultă că ecuația (11.3) definește un cerc sub condiția . Centrul său este în punct

.

, și raza Dacă

.

, atunci ecuația (11.3) are forma Este satisfăcut de coordonatele unui singur punct

. În acest caz, ei spun: „cercul a degenerat într-un punct” (are rază zero).

Dacă

, atunci ecuația (11.4) și, prin urmare, ecuația echivalentă (11.3), nu va defini nicio dreaptă, deoarece partea dreaptă a ecuației (11.4) este negativă, iar stânga nu este negativă (să spunem: „un cerc imaginar”).

11.3. Elipsă Ecuația canonică a elipsei Elipsă este mulțimea tuturor punctelor unui plan, suma distanțelor de la fiecare dintre acestea la două puncte date ale acestui plan, numite

trucuri , este o valoare constantă mai mare decât distanța dintre focare. Să notăm focusurile prin F 1Şi F 2, distanța dintre ele este 2 c, și suma distanțelor de la un punct arbitrar al elipsei la focare - în 2 c > 2F 2 o c > F 2.

(vezi Fig. 49). Prin definiție 2 , este o valoare constantă mai mare decât distanța dintre focare. Să notăm focusurile prin F 1, adică Pentru a deriva ecuația elipsei, alegem un sistem de coordonate astfel încât focarele așezat pe axă, iar originea a coincis cu mijlocul segmentului

F 1 F 2 . Atunci focarele vor avea următoarele coordonate: și .

Fie un punct arbitrar al elipsei. Apoi, conform

definiția unei elipse , , adică Aceasta, în esență, este ecuația unei elipse.

Să transformăm ecuația (11.5) în mai mult c>vedere simplă după cum urmează:

(11.6)

Deoarece

(11.7)

Cu , Asta . Să punem .

Apoi ultima ecuație va lua forma sau

Se poate dovedi că ecuația (11.7) este echivalentă cu ecuația inițială. Se numește

ecuația elipsei canonice

O elipsă este o curbă de ordinul doi.

Studiul formei unei elipse folosind ecuația acesteia Să stabilim forma elipsei folosind ecuația ei canonică. 1 , 1. Ecuația (11.7) conține x și y numai în puteri pare, deci dacă un punct aparține unei elipse, atunci îi aparțin și punctele ,,. , Rezultă că elipsa este simetrică față de axele și, precum și față de punctul, care se numește centrul elipsei., 2. Aflați punctele de intersecție ale elipsei cu axele de coordonate. Punând , găsim două puncte și , la care axa intersectează elipsa (vezi Fig. 50). Punând în ecuația (11.7) , găsim punctele de intersecție ale elipsei cu axa: și . Puncte O A 2 B 1 Să stabilim forma elipsei folosind ecuația ei canonică. 1 1. Ecuația (11.7) conține x și y numai în puteri pare, deci dacă un punct aparține unei elipse, atunci îi aparțin și punctele ,,. Să notăm focusurile prin B 2 sunt numite c vârfurile elipsei . Segmente B 1 B 2 , precum și lungimile acestora 2și 2 c Să notăm focusurile prin . Segmente b sunt numite în consecință axele majore și minore

3. Din ecuația (11.7) rezultă că fiecare termen din partea stângă nu depășește unul, i.e. au loc inegalitățile și sau și. În consecință, toate punctele elipsei se află în interiorul dreptunghiului format din liniile drepte.

4. În ecuația (11.7), suma termenilor nenegativi și este egală cu unu. În consecință, pe măsură ce un termen crește, celălalt va scădea, adică dacă crește, scade și invers.

Din cele de mai sus rezultă că elipsa are forma prezentată în Fig. 50 (curbă ovală închisă).

Mai multe informații despre elipsă

Forma elipsei depinde de raport.

Când elipsa se transformă într-un cerc, ecuația elipsei (11.7) ia forma . Raportul este adesea folosit pentru a caracteriza forma unei elipse.<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Raportul dintre jumătate din distanța dintre focare și semiaxa majoră a elipsei se numește excentricitatea elipsei și o6o este notat cu litera ε ("epsilon"):

cu 0

Aceasta arată că cu cât excentricitatea elipsei este mai mică, cu atât elipsa va fi mai puțin aplatizată; dacă setăm ε = 0, atunci elipsa se transformă într-un cerc.

Fie M(x;y) un punct arbitrar al elipsei cu focare F 1 și F 2 (vezi Fig. 51). Lungimile segmentelor F 1 M = r 1 și F 2 M = r 2 se numesc razele focale ale punctului M. Evident,

Formulele sunt valabile Se numesc linii directe

Teorema 11.1. .

Dacă este distanța de la un punct arbitrar al elipsei la un focar, d este distanța de la același punct la directrixa corespunzătoare acestui focar, atunci raportul este o valoare constantă egală cu excentricitatea elipsei:

Din egalitatea (11.6) rezultă că . Dacă, atunci ecuația (11.7) definește o elipsă, a cărei axă majoră se află pe axa Oy și axa minoră pe axa Ox (vezi Fig. 52). Focarele unei astfel de elipse sunt în punctele și , unde

11.4. Hiperbolă Ecuația canonică a hiperbolei Elipsă Hiperbolă

trucuri , este o valoare constantă mai mare decât distanța dintre focare. Să notăm focusurile prin F 1 este mulțimea tuturor punctelor planului, modulul diferenței de distanțe de la fiecare dintre ele la două puncte date ale acestui plan, numite , este o valoare constantă mai mică decât distanța dintre focare. distanța dintre ele este 2s, și modulul diferenței de distanțe de la fiecare punct al hiperbolei la focare prin 2s < , este o valoare constantă mai mică decât distanța dintre focare. 2a c < F 2.

. Prin definiție , este o valoare constantă mai mare decât distanța dintre focare. Să notăm focusurile prin , adică Pentru a deriva ecuația hiperbolei, alegem un sistem de coordonate astfel încât focarele Pentru a deriva ecuația elipsei, alegem un sistem de coordonate astfel încât focarele F 2

așezat pe axă, iar originea a coincis cu mijlocul segmentului (vezi Fig. 53). Apoi focarele vor avea coordonate și ecuația canonică a hiperbolei

(11.9)

(11.10)

O hiperbola este o linie de ordinul doi.

Studierea formei unei hiperbole folosind ecuația acesteia

Să stabilim forma hiperbolei folosind ecuația sa caconică.

1. Ecuația (11.9) conține x și y numai la puteri pare. În consecință, hiperbola este simetrică față de axele și, la fel ca și față de punct, care se numește

centrul hiperbolei.

2. Aflați punctele de intersecție ale hiperbolei cu axele de coordonate. Punând în ecuația (11.9), găsim două puncte de intersecție ale hiperbolei cu axa: și. Introducând (11.9), obținem , care nu poate fi. Prin urmare, hiperbola nu intersectează axa Oy. Punctele sunt numite culmi

hiperbole și segmentul axa reală , segment - semiaxă reală

hiperbolă. Se numește un segment care leagă punctele axa imaginară , numărul b - semiaxă imaginară 2s Să notăm focusurile prin . Dreptunghi cu laturi 2b .

numit

dreptunghi de bază al hiperbolei

3. Din ecuația (11.9) rezultă că minuendul nu este mai mic de unu, adică acel sau .

Aceasta înseamnă că punctele hiperbolei sunt situate la dreapta liniei (ramura dreaptă a hiperbolei) și la stânga liniei (ramura stângă a hiperbolei).

4. Din ecuația (11.9) a hiperbolei este clar că atunci când crește, crește. Aceasta rezultă din faptul că diferența menține o valoare constantă egală cu unu.

Din cele de mai sus rezultă că hiperbola are forma prezentată în Figura 54 (o curbă formată din două ramuri nelimitate).

(11.11)

Asimptotele unei hiperbole

Linia dreaptă L se numește asimptotă a unei curbe nemărginite K dacă distanța d de la punctul M al curbei K la această dreaptă tinde spre zero când distanța punctului M de-a lungul curbei K de la origine este nelimitată.

Figura 55 oferă o ilustrare a conceptului de asimptotă: linia dreaptă L este o asimptotă pentru curba K. Să arătăm că hiperbola are două asimptote:

Când construiți o hiperbolă (11.9), este recomandabil să construiți mai întâi dreptunghiul principal al hiperbolei (vezi Fig. 57), să trasați linii drepte care trec prin vârfurile opuse ale acestui dreptunghi - asimptotele hiperbolei și să marcați vârfurile și , a hiperbolei.

Ecuația unei hiperbole echilaterale.

ale căror asimptote sunt axele de coordonate

Hiperbola (11.9) se numește echilaterală dacă semiaxele sale sunt egale cu ().

(11.12)

Ecuația sa canonică

Asimptotele unei hiperbole echilaterale au ecuații și, prin urmare, sunt bisectoare ale unghiurilor de coordonate.

Să considerăm ecuația acestei hiperbole într-un nou sistem de coordonate (vezi Fig. 58), obținut din cel vechi prin rotirea axelor de coordonate cu un unghi.

Folosim formulele pentru rotirea axelor de coordonate:

Inlocuim valorile lui x si y in ecuatia (11.12):

Ecuația unei hiperbole echilaterale, pentru care axele Ox și Oy sunt asimptote, va avea forma . Mai multe informații despre hiperbolă

Excentricitate .

hiperbola (11.9) este raportul dintre distanța dintre focare și valoarea axei reale a hiperbolei, notat cu ε:

Deoarece pentru o hiperbolă , excentricitatea hiperbolei este mai mare decât unu: . Excentricitatea caracterizează forma unei hiperbole. Într-adevăr, din egalitate (11.10) rezultă că i.e.

Şi Din aceasta se poate observa că cu cât excentricitatea hiperbolei este mai mică, cu atât este mai mic raportul semi-axelor sale și, prin urmare, cu atât dreptunghiul său principal este mai alungit. Excentricitatea unei hiperbole echilaterale este egală cu . într-adevăr, Din aceasta se poate observa că cu cât excentricitatea hiperbolei este mai mică, cu atât este mai mic raportul semi-axelor sale și, prin urmare, cu atât dreptunghiul său principal este mai alungit. .

Raze focale

Şi

pentru punctele ramurii drepte hiperbolele au forma și , iar pentru ramura stângă - c Liniile directe se numesc directrice ale unei hiperbole. Deoarece pentru o hiperbolă ε > 1, atunci .

Aceasta înseamnă că directricea dreaptă este situată între centrul și vârful drept al hiperbolei, stânga - între centru și vârful stâng.

Direcricele unei hiperbole au aceeași proprietate ca și directricele unei elipse.

Curba definită de ecuație este, de asemenea, o hiperbolă, a cărei axă reală 2b este situată pe axa Oy, iar axa imaginară 2

- pe axa Bou. În Figura 59 este prezentat ca o linie punctată.

Pentru a deduce ecuația parabolei, alegem sistemul de coordonate Oxy astfel încât axa Ox să treacă prin focarul F perpendicular pe directrice în direcția de la directrice la F, iar originea coordonatelor O să fie situată la mijloc între focarul și directriza (vezi Fig. 60). În sistemul ales, focarul F are coordonatele , iar ecuația directrice are forma , sau .

1. În ecuația (11.13) variabila y apare în grad par, ceea ce înseamnă că parabola este simetrică față de axa Ox; Axa Ox este axa de simetrie a parabolei.

2. Deoarece ρ > 0, din (11.13) rezultă că . În consecință, parabola este situată în dreapta axei Oy.

3. Când avem y = 0. Prin urmare, parabola trece prin origine.

4. Pe măsură ce x crește la nesfârșit, modulul y crește și el la infinit. Parabola are forma (forma) prezentată în Figura 61. Punctul O(0; 0) se numește vârful parabolei, segmentul FM = r se numește raza focală a punctului M.

Ecuații , , ( p>0) definesc de asemenea parabole, acestea sunt prezentate în Figura 62

Este ușor de arătat că graficul unui trinom pătratic, unde , B și C sunt numere reale, este o parabolă în sensul definiției sale prezentate mai sus.

11.6. Ecuația generală a liniilor de ordinul doi

Ecuații ale curbelor de ordinul doi cu axe de simetrie paralele cu axele de coordonate

Să găsim mai întâi ecuația unei elipse cu un centru în punct, ale cărei axe de simetrie sunt paralele cu axele de coordonate Ox și Oy, iar semiaxele sunt, respectiv, egale. c Să notăm focusurile prin . Segmente. Să plasăm în centrul elipsei O 1 începutul unui nou sistem de coordonate, ale cărui axe și semiaxe o Să notăm focusurile prin . Segmente(vezi Fig. 64):

În cele din urmă, parabolele prezentate în Figura 65 au ecuații corespunzătoare.

Ecuaţie

Ecuațiile unei elipse, hiperbole, parabole și ecuația unui cerc după transformări (deschideți paranteze, mutați toți termenii ecuației într-o parte, aduceți termeni similari, introduceți noi notații pentru coeficienți) pot fi scrise folosind o singură ecuație a formă

unde coeficienții A și C nu sunt egali cu zero în același timp.

Se pune întrebarea: fiecare ecuație de forma (11.14) determină una dintre curbele (cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă) de ordinul doi? Răspunsul este dat de următoarea teoremă.

Teorema 11.2. Ecuația (11.14) definește întotdeauna: fie un cerc (pentru A = C), fie o elipsă (pentru A C > 0), fie o hiperbolă (pentru A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Ecuație generală de ordinul doi

Să luăm în considerare acum ecuație generală gradul doi cu două necunoscute:

Diferă de ecuația (11.14) prin prezența unui termen cu produsul coordonatelor (B¹ 0). Este posibil, prin rotirea axelor de coordonate cu un unghi a, să se transforme această ecuație astfel încât termenul cu produsul coordonatelor să fie absent.

Utilizarea formulelor de rotație a axei

Să exprimăm coordonatele vechi în termenii celor noi:

Să alegem unghiul a astfel încât coeficientul pentru x" · y" să devină zero, adică astfel încât egalitatea

Astfel, atunci când axele sunt rotite cu un unghi a care îndeplinește condiția (11.17), ecuația (11.15) se reduce la ecuația (11.14).

Concluzie: ecuația generală de ordinul doi (11.15) definește pe plan (cu excepția cazurilor de degenerare și dezintegrare) următoarele curbe: cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă.

Notă: Dacă A = C, atunci ecuația (11.17) devine lipsită de sens. În acest caz, cos2α = 0 (vezi (11.16)), apoi 2α = 90°, adică α = 45°. Deci, când A = C, sistemul de coordonate ar trebui rotit cu 45°.

Definiție 7.1. Se numește mulțimea tuturor punctelor din plan pentru care suma distanțelor la două puncte fixe F 1 și F 2 este o valoare constantă dată. elipsă.

Definiția unei elipse dă calea următoare structura sa geometrică. Fixăm două puncte F 1 și F 2 pe plan și notăm o valoare constantă nenegativă cu 2a. Fie distanța dintre punctele F 1 și F 2 2c. Să ne imaginăm că un fir inextensibil de lungime 2a este fixat în punctele F 1 și F 2, de exemplu, folosind două ace. Este clar că acest lucru este posibil numai pentru a ≥ c. După ce a tras firul cu un creion, trageți o linie, care va fi o elipsă (Fig. 7.1).

Deci, mulțimea descrisă nu este goală dacă a ≥ c. Când a = c, elipsa este un segment cu capete F 1 și F 2, iar când c = 0, adică. Dacă punctele fixe specificate în definiția unei elipse coincid, acesta este un cerc cu raza a. Înlăturând aceste cazuri degenerate, vom presupune în continuare, de regulă, că a > c > 0.

Punctele fixe F 1 și F 2 din definiția 7.1 ale elipsei (vezi Fig. 7.1) se numesc focare de elipsă, distanța dintre ele, indicată cu 2c, - distanta focala, iar segmentele F 1 M și F 2 M care leagă un punct arbitrar M de pe elipsă cu focarele sale sunt raze focale.

Forma elipsei este complet determinată de distanța focală |F 1 F 2 | = 2c și parametrul a și poziția sa pe plan - o pereche de puncte F 1 și F 2.

Din definiția unei elipse rezultă că aceasta este simetrică față de linia care trece prin focarele F 1 și F 2, precum și față de dreapta care împarte segmentul F 1 F 2 în jumătate și este perpendiculară pe acesta. (Fig. 7.2, a). Aceste linii sunt numite axele elipsei. Punctul O al intersecției lor este centrul de simetrie al elipsei și se numește centrul elipsei, și punctele de intersecție ale elipsei cu axele de simetrie (punctele A, B, C și D din Fig. 7.2, a) - vârfurile elipsei.

Se numește numărul a semiaxa mare a elipsei, și b = √(a 2 - c 2) - sa axa minoră. Este ușor de observat că pentru c > 0, semiaxa majoră a este egală cu distanța de la centrul elipsei la cele ale vârfurilor acesteia care se află pe aceeași axă cu focarele elipsei (vârfurile A și B). în Fig. 7.2, a), iar semiaxa minoră b este egală cu distanța de la elipsa centrală la celelalte două vârfuri ale sale (vârfurile C și D în Fig. 7.2, a).

Ecuația elipsei. Să considerăm o elipsă pe planul cu focus în punctele F 1 și F 2, axa majoră 2a. Fie 2c distanța focală, 2c = |F 1 F 2 |

Să alegem un sistem de coordonate dreptunghiular Oxy pe plan, astfel încât originea lui să coincidă cu centrul elipsei, iar focarele sale să fie pe axa x(Fig. 7.2, b). Un astfel de sistem de coordonate se numește canonic pentru elipsa în cauză, iar variabilele corespunzătoare sunt canonic.

În sistemul de coordonate selectat, focarele au coordonatele F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Folosind formula pentru distanța dintre puncte, scriem condiția |F 1 M| + |F 2 M| = 2a în coordonate:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7,2)

Această ecuație este incomodă deoarece conține doi radicali pătrați. Așa că hai să-l transformăm. Să mutăm al doilea radical din ecuația (7.2) la partea dreaptăși pătratează:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

După ce deschidem parantezele și aducem termeni similari, obținem

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

unde ε = c/a. Repetăm ​​operația de pătrare pentru a elimina al doilea radical: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, sau, ținând cont de valoarea parametrului introdus ε, (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. Deoarece a 2 - c 2 = b 2 > 0, atunci

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Ecuația (7.4) este satisfăcută de coordonatele tuturor punctelor situate pe elipsă. Dar la derivarea acestei ecuații, au fost folosite transformări neechivalente ale ecuației inițiale (7.2) - două pătrate care îndepărtează radicalii pătrați. Punerea la pătrat a unei ecuații este o transformare echivalentă dacă ambele părți au cantități cu același semn, dar nu am verificat acest lucru în transformările noastre.

Putem evita verificarea echivalenței transformărilor dacă luăm în considerare următoarele. O pereche de puncte F 1 și F 2, |F 1 F 2 | = 2c, pe plan definește o familie de elipse cu focare în aceste puncte. Fiecare punct al planului, cu excepția punctelor segmentului F 1 F 2, aparține unei elipse din familia indicată. În acest caz, nu se intersectează două elipse, deoarece suma razelor focale determină în mod unic o elipsă specifică. Deci, familia descrisă de elipse fără intersecții acoperă întregul plan, cu excepția punctelor segmentului F 1 F 2. Să considerăm o mulțime de puncte ale căror coordonate satisfac ecuația (7.4) cu o valoare dată a parametrului a. Acest set poate fi distribuit între mai multe elipse? Unele puncte ale mulțimii aparțin unei elipse cu semiaxa mare a. Să existe un punct în această mulțime situat pe o elipsă cu semiaxa mare a. Atunci coordonatele acestui punct respectă ecuația

aceste. ecuațiile (7.4) și (7.5) au solutii generale. Cu toate acestea, este ușor să verificați dacă sistemul

căci ã ≠ a nu are soluții. Pentru a face acest lucru, este suficient să excludeți, de exemplu, x din prima ecuație:

care după transformări duce la ecuaţie

care nu are soluții pentru ã ≠ a, deoarece . Deci, (7.4) este ecuația unei elipse cu semi-axa majoră a > 0 și semi-axa minoră b =√(a 2 - c 2) > 0. Se numește ecuația elipsei canonice.

Vedere elipsă. Metoda geometrică de construire a unei elipse discutată mai sus oferă o idee suficientă despre aspect elipsă. Dar forma elipsei poate fi studiată și folosind ecuația sa canonică (7.4). De exemplu, puteți, presupunând y ≥ 0, să exprimați y prin x: y = b√(1 - x 2 /a 2) și, după ce ați studiat această funcție, să construiți graficul acesteia. Există o altă modalitate de a construi o elipsă. Un cerc cu raza a cu centrul la originea sistemului de coordonate canonic al elipsei (7.4) este descris de ecuația x 2 + y 2 = a 2. Dacă este comprimat cu un coeficient a/b > 1 de-a lungul axa y, atunci obțineți o curbă care este descrisă de ecuația x 2 + (ya/b) 2 = a 2, adică o elipsă.

Observația 7.1. Dacă același cerc este comprimat de un factor a/b

Excentricitatea elipsei. Raportul dintre distanța focală a unei elipse și axa sa majoră se numește excentricitatea elipseiși notat cu ε. Pentru o elipsă dată

ecuația canonică (7.4), ε = 2c/2a = c/a. Dacă în (7.4) parametrii a și b sunt legați prin inegalitatea a

Când c = 0, când elipsa se transformă într-un cerc, iar ε = 0. În alte cazuri, 0

Ecuația (7.3) este echivalentă cu ecuația (7.4), deoarece ecuațiile (7.4) și (7.2) sunt echivalente. Prin urmare, ecuația elipsei este de asemenea (7.3). În plus, relația (7.3) este interesantă deoarece oferă o formulă simplă, fără radicali, pentru lungimea |F 2 M| una dintre razele focale ale punctului M(x; y) al elipsei: |F 2 M| = a + εx.

O formulă similară pentru a doua rază focală poate fi obținută din considerente de simetrie sau prin repetarea calculelor în care, înainte de ecuația la pătrat (7.2), primul radical este transferat în partea dreaptă, și nu pe al doilea. Deci, pentru orice punct M(x; y) de pe elipsă (vezi Fig. 7.2)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7,6)

și fiecare dintre aceste ecuații este o ecuație a unei elipse.

Exemplul 7.1. Să găsim ecuația canonică a unei elipse cu semiaxa majoră 5 și excentricitatea 0,8 și să o construim.

Cunoscând semiaxa majoră a elipsei a = 5 și excentricitatea ε = 0,8, vom găsi semiaxa ei minoră b. Deoarece b = √(a 2 - c 2) și c = εa = 4, atunci b = √(5 2 - 4 2) = 3. Deci ecuația canonică are forma x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. Pentru a construi o elipsă, este convenabil să desenați un dreptunghi cu un centru la originea sistemului de coordonate canonic, ale cărui laturi sunt paralele cu axele de simetrie ale elipsei și egale cu axele corespunzătoare (Fig. 7.4). Acest dreptunghi se intersectează cu

axele elipsei la vârfurile sale A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), iar elipsa însăși este înscrisă în ea. În fig. 7.4 arată, de asemenea, focarele F 1.2 (±4; 0) ale elipsei.

Proprietățile geometrice ale elipsei. Să rescriem prima ecuație din (7.6) ca |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Rețineți că valoarea a/ε - x pentru a > c este pozitivă, deoarece focarul F 1 nu aparține elipsei. Această valoare reprezintă distanța până la linia verticală d: x = a/ε de la punctul M(x; y) aflat în stânga acestei linii. Ecuația elipsei poate fi scrisă ca

|F 1 M|/(a/ε - x) = ε

Înseamnă că această elipsă este formată din acele puncte M(x; y) ale planului pentru care raportul dintre lungimea razei focale F 1 M și distanța la dreapta d este o valoare constantă egală cu ε (Fig. 7.5).

Linia dreaptă d are un „dublu” - linia dreaptă verticală d, simetrică față de d față de centrul elipsei, care este dată de ecuația x = -a/ε În ceea ce privește d, elipsa este descrisă în la fel ca și în ceea ce privește d. Ambele linii d și d" sunt numite directricele elipsei. Directricele elipsei sunt perpendiculare pe axa de simetrie a elipsei pe care sunt situate focarele acesteia și sunt distanțate de centrul elipsei la o distanță a/ε = a 2 /c (vezi Fig. 7.5).

Se numește distanța p de la directrice până la focarul cel mai apropiat de acesta parametrul focal al elipsei. Acest parametru este egal cu

p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c

Elipsa are o altă proprietate geometrică importantă: razele focale F 1 M și F 2 M formează unghiuri egale cu tangenta la elipsă în punctul M (Fig. 7.6).

Această proprietate are o semnificație fizică clară. Dacă o sursă de lumină este plasată la focarul F 1, atunci raza care iese din acest focar, după reflectarea din elipsă, va merge de-a lungul celei de-a doua raze focale, deoarece după reflectare va fi la același unghi față de curbă ca înainte de reflexie. Astfel, toate razele care ies din focarul F 1 vor fi concentrate în al doilea focar F 2 și invers. Pe baza acestei interpretări, această proprietate se numește proprietatea optică a elipsei.

Ecuația canonică a elipsei are forma

unde a este semiaxa majoră; b – semiaxa minoră. Se numesc punctele F1(c,0) si F2(-c,0) − c

a, b - semiaxele elipsei.

Găsirea focarelor, excentricității, directricelor unei elipse, dacă se cunoaște ecuația canonică a acesteia.

Definiţia hyperbole. Trucuri hiperbole.

Definiţie. O hiperbolă este un set de puncte dintr-un plan pentru care modulul diferenței de distanțe de la două puncte date, numite focare, este o valoare constantă mai mică decât distanța dintre focare.

Prin definiție |r1 – r2|= 2a. F1, F2 – focarele hiperbolei. F1F2 = 2c.

Ecuația canonică a unei hiperbole. Semiaxele unei hiperbole. Construirea unei hiperbole dacă este cunoscută ecuația ei canonică.

Ecuația canonică:

Semiaxa majoră a unei hiperbole este jumătate din distanța minimă dintre două ramuri ale hiperbolei, pe pozițiile pozitive și laturi negative axele (stânga și dreapta față de origine). Pentru o sucursală situată pe pe partea pozitivă, semiaxa va fi egală cu:

Dacă o exprimăm prin secțiunea conică și excentricitate, atunci expresia va lua forma:

Găsirea focarelor, excentricității, directricelor unei hiperbole, dacă se cunoaște ecuația canonică a acesteia.

Excentricitatea hiperbolei

Definiţie. Raportul se numește excentricitatea hiperbolei, unde c –

jumătate din distanța dintre focare și este semiaxa reală.

Ținând cont de faptul că c2 – a2 = b2:

Dacă a = b, e = , atunci hiperbola se numește echilaterală (echilaterală).

Directricele unei hiperbole

Definiţie. Două drepte perpendiculare pe axa reală a hiperbolei și situate simetric față de centru la o distanță a/e ​​de acesta se numesc directrice ale hiperbolei. Ecuațiile lor sunt: ​​.

Teorema. Dacă r este distanța de la un punct arbitrar M al hiperbolei la orice focar, d este distanța de la același punct la directrixa corespunzătoare acestui focar, atunci raportul r/d este o valoare constantă egală cu excentricitatea.

Definiția unei parabole. Focalizarea și directricea unei parabole.

Parabolă. O parabolă este locul punctelor, fiecare dintre ele fiind la fel de îndepărtat de un punct fix dat și de o dreaptă fixă ​​dată. Punctul la care se face referire în definiție se numește focarul parabolei, iar linia dreaptă este directriza acesteia.

Ecuația canonică a unei parabole. Parametrul parabolei. Construcția unei parabole.

Ecuația canonică a unei parabole într-un sistem de coordonate dreptunghiular: (sau, dacă axele sunt schimbate).

Construcția unei parabole pentru o valoare dată a parametrului p se realizează în următoarea secvență:

Desenați axa de simetrie a parabolei și trasați pe ea segmentul KF=p;

Directricea DD1 este trasată prin punctul K perpendicular pe axa de simetrie;

Segmentul KF este împărțit în jumătate pentru a obține vârful 0 al parabolei;

O serie de puncte arbitrare 1, 2, 3, 5, 6 sunt măsurate de sus cu o distanță care crește treptat între ele;

Prin aceste puncte se trasează drepte auxiliare perpendiculare pe axa parabolei;

Pe liniile auxiliare, serifurile sunt realizate cu o rază egală cu distanța de la linia dreaptă la directrice;

Punctele rezultate sunt conectate printr-o curbă netedă.

O elipsă este locul geometric al punctelor dintr-un plan, suma distanțelor de la fiecare dintre ele la două puncte date F_1, iar F_2 este o valoare constantă (2a) mai mare decât distanța (2c) dintre acestea. puncte date(Fig. 3.36, a). Această definiție geometrică exprimă proprietatea focală a unei elipse.

Proprietatea focală a unei elipse

Punctele F_1 și F_2 se numesc focarele elipsei, distanța dintre ele este 2c=F_1F_2 - distanta focala, mijlocul O al segmentului F_1F_2 este centrul elipsei, numărul 2a este lungimea axei majore a elipsei (în consecință, numărul a este semiaxa majoră a elipsei). Segmentele F_1M și F_2M care leagă un punct arbitrar M al elipsei cu focarele sale se numesc raze focale ale punctului M. Segmentul care leagă două puncte ale unei elipse se numește coardă a elipsei.

Raportul e=\frac(c)(a) se numește excentricitatea elipsei. Din definiția (2a>2c) rezultă că 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Definiția geometrică a elipsei, exprimându-și proprietatea focală, este echivalentă cu definiția sa analitică - linia dată de ecuația canonică a elipsei:

Într-adevăr, să introducem un sistem de coordonate dreptunghiular (Fig. 3.36c). Luăm centrul O al elipsei ca origine a sistemului de coordonate; luăm drept axa care trece prin focare (axa focală sau prima axă a elipsei) drept axă de abscisă (direcția pozitivă pe aceasta este de la punctul F_1 la punctul F_2); să luăm o dreaptă perpendiculară pe axa focală și care trece prin centrul elipsei (a doua axă a elipsei) ca axa ordonatelor (direcția pe axa ordonatelor este aleasă astfel încât sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy să fie corect) .

Să creăm o ecuație pentru elipsă folosind definiția sa geometrică, care exprimă proprietatea focală. În sistemul de coordonate selectat, determinăm coordonatele focarelor F_1(-c,0),~F_2(c,0). Pentru un punct arbitrar M(x,y) aparținând elipsei, avem:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Scriind această egalitate sub formă de coordonate, obținem:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Mutăm al doilea radical în partea dreaptă, pătram ambele părți ale ecuației și aducem termeni similari:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.

Împărțind la 4, pătratăm ambele părți ale ecuației:

a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

După ce a desemnat b=\sqrt(a^2-c^2)>0, primim b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Împărțind ambele părți la a^2b^2\ne0 , ajungem la ecuație canonică elipsă:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Prin urmare, sistemul de coordonate ales este canonic.

Dacă focarele elipsei coincid, atunci elipsa este un cerc (Fig. 3.36,6), deoarece a=b. În acest caz, orice sistem de coordonate dreptunghiular cu originea în punct va fi canonic O\equiv F_1\equiv F_2, iar ecuația x^2+y^2=a^2 este ecuația unui cerc cu centrul în punctul O și raza egală cu a.

Efectuând raționamentul în ordine inversă, se poate demonstra că toate punctele ale căror coordonate satisfac ecuația (3.49), și numai ele, aparțin locului punctelor numit elipsă. Cu alte cuvinte, definiția analitică a unei elipse este echivalentă cu definiția ei geometrică, care exprimă proprietatea focală a elipsei.

Proprietatea directorială a unei elipse

Directricele unei elipse sunt două drepte paralele cu axa ordonatelor sistemului de coordonate canonic la aceeași distanță \frac(a^2)(c) de acesta. La c=0, când elipsa este un cerc, nu există directrice (putem presupune că directricele sunt la infinit).

Elipsa cu excentricitate 0 locul punctelor din plan, pentru fiecare dintre care raportul dintre distanța la un punct dat F (focalizare) și distanța la o linie dreaptă dată d (directrice) care nu trece printr-un punct dat este constant și egal cu excentricitatea e ( proprietatea directorială a unei elipse). Aici F și d sunt unul dintre focarele elipsei și una dintre directricele sale, situate pe o parte a axei ordonatelor sistemului de coordonate canonice, i.e. F_1,d_1 sau F_2,d_2 .

De fapt, de exemplu, pentru focus F_2 și directrix d_2 (Fig. 3.37,6) condiția \frac(r_2)(\rho_2)=e poate fi scris sub formă de coordonate:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

A scăpa de iraționalitate și a înlocui e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, ajungem la ecuația canonică a elipsei (3.49). Raționament similar poate fi efectuat pentru focus F_1 și director d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Ecuația unei elipse într-un sistem de coordonate polare

Ecuația elipsei în sistemul de coordonate polar F_1r\varphi (Fig. 3.37, c și 3.37 (2)) are forma

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

unde p=\frac(b^2)(a) este parametrul focal al elipsei.

De fapt, să alegem focarul din stânga F_1 al elipsei ca pol al sistemului de coordonate polare și raza F_1F_2 ca axă polară (Fig. 3.37, c). Atunci pentru un punct arbitrar M(r,\varphi), conform definiției geometrice (proprietatea focală) a unei elipse, avem r+MF_2=2a. Exprimăm distanța dintre punctele M(r,\varphi) și F_2(2c,0) (vezi):

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(aligned)

Prin urmare, sub formă de coordonate, ecuația elipsei F_1M+F_2M=2a are forma

r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Izolăm radicalul, pătram ambele părți ale ecuației, împărțim la 4 și prezentăm termeni similari:

r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Exprimați raza polară r și faceți înlocuirea e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Semnificația geometrică a coeficienților din ecuația elipsei

Să găsim punctele de intersecție ale elipsei (vezi Fig. 3.37, a) cu axele de coordonate (vârfurile elipsei). Substituind y=0 în ecuație, găsim punctele de intersecție ale elipsei cu axa absciselor (cu axa focală): x=\pm a. Prin urmare, lungimea segmentului axei focale conținut în interiorul elipsei este egală cu 2a. Acest segment, după cum s-a menționat mai sus, este numit axa majoră a elipsei, iar numărul a este semiaxa majoră a elipsei. Înlocuind x=0, obținem y=\pm b. Prin urmare, lungimea segmentului celei de-a doua axe a elipsei conținut în interiorul elipsei este egală cu 2b. Acest segment se numește axa minoră a elipsei, iar numărul b este semiaxa minoră a elipsei.

într-adevăr, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, iar egalitatea b=a se obține numai în cazul c=0, când elipsa este un cerc. Atitudine k=\frac(b)(a)\leqslant1 se numește raportul de compresie al elipsei.

Note 3.9

1. Dreptele x=\pm a,~y=\pm b limitează dreptunghiul principal pe planul de coordonate, în interiorul căruia se află o elipsă (vezi Fig. 3.37, a).

2. O elipsă poate fi definită ca locul punctelor obţinute prin comprimarea unui cerc până la diametrul acestuia.

Într-adevăr, fie ecuația unui cerc în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy x^2+y^2=a^2. Când este comprimat pe axa x cu un coeficient de 0

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

Înlocuind cercurile x=x" și y=\frac(1)(k)y" în ecuație, obținem ecuația pentru coordonatele imaginii M"(x",y") ale punctului M(x,y ) :

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

întrucât b=k\cdot a . Aceasta este ecuația canonică a elipsei.

3. Axele de coordonate (ale sistemului de coordonate canonic) sunt axele de simetrie ale elipsei (numite axele principale ale elipsei), iar centrul acesteia este centrul de simetrie.

Într-adevăr, dacă punctul M(x,y) aparține elipsei . atunci punctele M"(x,-y) și M""(-x,y), simetrice față de punctul M față de axele de coordonate, aparțin și ele aceleiași elipse.

4. Din ecuația elipsei din sistemul de coordonate polare r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(vezi Fig. 3.37, c), semnificația geometrică a parametrului focal este clarificat - aceasta este jumătate din lungimea coardei elipsei care trece prin focarul său perpendicular pe axa focală (r=p la \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Excentricitatea e caracterizează forma elipsei și anume diferența dintre elipsă și cerc. Cu cât e mai mare, cu atât elipsa este mai alungită și cu cât e mai aproape de zero, cu atât elipsa este mai aproape de un cerc (Fig. 3.38a). Într-adevăr, ținând cont de faptul că e=\frac(c)(a) și c^2=a^2-b^2 , obținem

e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

unde k este factorul de compresie al elipsei, 0

6. Ecuația \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 la a

7. Ecuația \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b definește o elipsă cu centru în punctul O"(x_0,y_0), ale cărei axe sunt paralele cu axele de coordonate (Fig. 3.38, c). Această ecuație se reduce la cea canonică folosind translația paralelă (3.36).

Când a=b=R ecuația (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 descrie un cerc de raza R cu centrul în punctul O"(x_0,y_0) .

Ecuația parametrică a elipsei

Ecuația parametrică a elipseiîn sistemul de coordonate canonic are forma

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

Într-adevăr, înlocuind aceste expresii în ecuația (3.49), ajungem la identitatea trigonometrică principală \cos^2t+\sin^2t=1.

Exemplul 3.20. Desenați o elipsă \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1în sistemul de coordonate canonic Oxy. Găsiți semiaxele, distanța focală, excentricitatea, raportul de compresie, parametrul focal, ecuațiile directrice.

Soluţie. Comparând ecuația dată cu cea canonică, determinăm semiaxele: a=2 - semiaxa majoră, b=1 - semiaxa minoră a elipsei. Construim dreptunghiul principal cu laturile 2a=4,~2b=2 cu centrul la origine (Fig. 3.39). Având în vedere simetria elipsei, o potrivim în dreptunghiul principal. Dacă este necesar, determinați coordonatele unor puncte ale elipsei. De exemplu, înlocuind x=1 în ecuația elipsei, obținem

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Prin urmare, puncte cu coordonate \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- aparțin elipsei.

Calcularea raportului de compresie k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); distanta focala 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); excentricitate e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); parametru focal p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Compunem ecuațiile directrice: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).