Teoria funcțiilor unei variabile. Analiza matematică

A.V. Glasco

PRELEȚII DE ANALIZA MATEMATICĂ

"FUNCTII SI LIMITE ELEMENTARE"

Moscova, MSTU im. N.E. Bauman

§1. Simbolism logic.

Când scriem expresii matematice, vom folosi următoarele simboluri logice:

	Sens		Sens
			Pentru oricine, pentru toată lumea, pentru toată lumea (de la
			Există, există, există (există)
			Atrage, urmează (prin urmare)
			În mod echivalent, dacă și numai dacă,
			necesar si suficient
Deci, dacă A și B sunt afirmații, atunci

			Sens
			A sau B (sau A sau B, sau ambele A și B)
			Pentru orice x, A
			Există x pentru care A este valabil
			Din A urmează B (dacă A este adevărat, atunci B este adevărat)
(implicare)
			A este echivalent cu B, A apare dacă și numai dacă B apare,
			pentru B este necesar și suficient pentru A
	Comentariu. „A B” înseamnă că A este suficient pentru B și B este necesar pentru A.

Exemplu. (x=1) => (x2 -3x+2=0) => ((x=1) (x=2)).

Uneori vom folosi un alt simbol special: A =df B.

Înseamnă că A = B prin definiție.

§2. Mulțimi. Elemente și părți ale unui set.

Conceptul de mulțime este un concept primar, nedefinit prin altele mai simple. Cuvintele: colecție, familie, set sunt sinonimele sale.

Exemple de seturi: mulți elevi într-o sală de clasă, mulți profesori într-o catedră, multe mașini într-o parcare etc.

Conceptele primare sunt și conceptele element stabilitși relații

între elementele unei mulţimi.

Exemplu. N este o mulțime de numere naturale, elementele sale sunt numerele 1,2,3,... Dacă x și y sunt elemente ale lui N, atunci ele sunt în una din următoarele relații: x=y, x u.

Să fim de acord să notăm seturile cu majuscule: A, B, C, X, Y, …, iar elementele lor sunt litere mici: a, b, c, x, y, …

Relațiile dintre elemente sau mulțimi sunt indicate prin simboluri introduse între litere. De exemplu. Fie A oarecare set. Atunci relația a A înseamnă că a este un element al mulțimii A. Notația a A înseamnă că a nu este un element al lui A.

Setul poate fi specificat în diverse moduri. 1. Enumerarea elementelor sale.

De exemplu, A=(a, b, c, d), B=(1, 7, 10)

2. Indicarea proprietăților elementelor. Fie A mulțimea elementelor unui având proprietatea p. Aceasta poate fi scrisă ca: A=( a:p ) sau A=( ap ).

De exemplu, notația A= ( x: (x R ) (x2 -1>0) ) înseamnă că A este mulțimea numerelor reale care satisfac inegalitatea x2 -1>0.

Să introducem câteva definiții importante.

Def. O mulțime se numește finită dacă este formată dintr-un anumit număr finit de elemente. Altfel se numește infinit.

De exemplu, mulțimea elevilor din clasă este finită, dar mulțimea numerelor naturale sau mulțimea punctelor din interiorul unui segment este infinită.

Def. O mulțime care nu conține un singur element este numită goală și este desemnată.

Def. Se spune că două mulțimi sunt egale dacă sunt compuse din același

Aceste. conceptul de mulţime nu implică o anumită ordine a elementelor. Def. O mulțime X este numită submulțime a unei mulțimi Y dacă orice element al mulțimii X este un element al mulțimii Y (și, în general vorbind, nu orice

un element al mulţimii Y este un element al mulţimii X). Notația folosită este: X Y.

De exemplu, mulțimea de portocale O este o submulțime a setului de fructe F: O F, iar mulțimea de numere naturale N este o submulțime a mulțimii de numere reale R: N R.

Simbolurile „ ” și „ ” se numesc simboluri de includere. Fiecare set este considerat a fi un subset al lui însuși. Setul gol este un subset al oricărui set.

Def. Se numește orice submulțime nevide B a unei mulțimi A care nu este egală cu A

propriul subset.

§ 3. Diagramele Euler-Venn. Operații elementare pe platouri.

Este convenabil să reprezentați grafic mulțimi, sub formă de zone pe un plan. Se presupune că punctele ariei corespund elementelor mulţimii. Astfel de reprezentări grafice ale mulțimilor se numesc diagrame Euler-Venn.

Exemplu. A – mulți studenți MSTU, B – mulți studenți în audiență. Orez. 1 demonstrează clar că A B .

Diagramele Euler-Venn sunt convenabile de utilizat pentru reprezentarea vizuală a elementului setați operațiuni. Operațiunile principale includ următoarele.

Orez. 1. Exemplu de diagramă Euler-Venn.

1. Intersecția A B a mulțimilor A și B este o mulțime C formată din toate elementele care aparțin simultan ambelor mulțimi A și B:

C=A B =df ( z: (z A) (z B) )

(în Fig. 2, setul C este reprezentat de zona umbrită).

Orez. 2. Intersecția mulțimilor.

2. Unirea A B a multimilor A si B este o multime C formata din toate elementele apartinand cel putin uneia dintre multimile A sau B.

C=A B =df ( z: (z A) (z B) )

(în Fig. 3, setul C este reprezentat de zona umbrită).

Orez. 3. Unirea seturilor.

Orez. 4. Diferența de seturi.

3. Diferența A\B a mulțimilor A și B se numește mulțime C, constând din toate elementele aparținând mulțimii A, dar care nu aparțin mulțimii B:

A\B =( z: (z A) (z B) )

(în Fig. 4, setul C este reprezentat prin umbrire galben regiune).

§4 numere reale.

Să construim o mulțime de numere reale R. Pentru a face acest lucru, luați în considerare, în primul rând, set de numere naturale, pe care îl definim după cum urmează. Să luăm ca prim element numărul n=1. Fiecare element ulterior va fi obținut din cel anterior prin adăugarea unuia:

N = (1, 1+1, (1+1)+1, …) = ( 1, 2, 3, …, n, … ).

N = (-1, -2, -3, …, -n, …).

Mulțimea numerelor întregi Zîl definim ca unirea a trei mulțimi: N, -N și o mulțime formată dintr-un singur element – ​​​​zero:

Definim mulțimea numerelor raționale ca mulțimea tuturor relațiilor posibile de numere întregi:

Q = (xx = m/n; m, nZ, n0).

Evident N Z Q.

Se știe că orice număr rațional poate fi scris ca număr real finit sau ca număr infinit fracție periodică. Sunt numerele raționale suficiente pentru a măsura toate cantitățile pe care le putem întâlni când studiem lumea din jurul nostru? Deja in Grecia antică s-a demonstrat că nu: dacă considerăm un isoscel triunghi dreptunghic cu catete de lungime unu, lungimea ipotenuzei nu poate fi reprezentată ca număr rațional. Astfel, nu ne putem limita la mulțimea numerelor raționale. Este necesar să se extindă conceptul de număr. Această extindere se realizează prin introducere seturi numere iraționale J, care este cel mai ușor considerat ca fiind mulțimea tuturor fracțiilor zecimale infinite neperiodice.

Se numește unirea mulțimilor de numere raționale și iraționale

mulţime de numere reale R: R =Q Y.

Uneori luăm în considerare și un set extins de numere reale R, înțelegând

Este convenabil să reprezentați numerele reale ca puncte pe linia numerică.

Def. O axă numerică este o linie pe care sunt indicate originea, scara și direcția de referință.

Se stabilește o corespondență unu-la-unu între numerele reale și punctele de pe axa numerelor: orice număr real corespunde unui singur punct de pe axa numerelor și invers.

Axioma completității (continuității) a mulțimii numerelor reale. Oricare ar fi mulțimile nevide A= (a) R și B= (b) R sunt astfel încât pentru orice a și b este valabilă inegalitatea a ≤ b, există un număr cR astfel încât a ≤ c ≤ b (Fig. 5).

Fig.5. Ilustrarea axiomei de completitudine a mulțimii numerelor reale.

§5. Seturi numerice. Cartier.

Def. Set numeric se numește orice submulțime a mulțimii R Cele mai importante mulțimi numerice: N, Z, Q, J, precum și

segment: (x R |a x b ),

interval: (a ,b ) (x R |a x b ), (,)=R

semiintervale: ( x R| a x b),

(x R | x b).

Cel mai important rol în analiza matematică îl joacă conceptul de vecinătate a unui punct de pe axa numerelor.

Def. -vecinatatea punctului x 0 este un interval de lungime 2 cu centru in punctul x 0 (Fig. 6):

u (x 0 ) (x 0 ,x 0 ).

Orez. 6. Vecinătatea unui punct.

Def. O vecinătate perforată a unui punct este o vecinătate a acestui punct,

din care punctul x0 însuși este exclus (Fig. 7):

u (x 0 ) u (x 0 )\(x 0 ) (x 0 ,x 0 ) (x 0 ,x 0 ).

Orez. 7. Vecinătatea perforată a unui punct.

Def. Pe partea dreaptă - vecinătatea punctului x0 numit semi-interval

u (x 0 ), interval de valori: E= [-π/2,π/2 ].

Orez. 11. Graficul funcției y arcsin x.

Să introducem acum conceptul functie complexa (compoziții de cartografii). Să fie date trei mulțimi D, E, M și să fie f: D→E, g: E→M. În mod evident, este posibil să se construiască o nouă mapare h: D→M, numită o compoziție de mapări f și g sau o funcție complexă (Fig. 12).

O funcție complexă se notează astfel: z =h(x)=g(f(x)) sau h = f o g.

Orez. 12. Ilustrarea conceptului de funcție complexă.

Se numește funcția f (x). funcție internă, iar funcția g (y)- functie externa.

1. Funcția internă f(x)= x², funcția externă g (y) sin y. Funcția complexă z= g(f(x))=sin(x²)

2. Acum e invers. Funcția internă f (x)= sinx, funcția externă g (y) y 2. u=f(g(x))=sin²(x)

Cursul se adresează licențelor și masteranzilor cu specializare în discipline matematice, economice sau științe ale naturii, precum și profesorilor de matematică din gimnaziu și profesorilor universitari. De asemenea, va fi util pentru școlari care studiază matematica în profunzime.

Structura cursului este tradițională. Cursul acoperă material clasic de analiză matematică, studiat în primul an de universitate în primul semestru. Vor fi prezentate secțiunile „Elemente de teoria mulțimilor și numere reale”, „Teoria secvențelor de numere”, „Limita și continuitatea unei funcții”, „Diferențiabilitatea unei funcții”, „Aplicații ale diferențiabilității”. Ne vom familiariza cu conceptul de mulțime, vom oferi o definiție strictă a unui număr real și vom studia proprietățile numerelor reale. Apoi vom vorbi despre secvențele de numere și proprietățile lor. Acest lucru ne va permite să luăm în considerare conceptul functie numerica, bine cunoscut școlarilor, la un nivel nou, mai riguros. Vom introduce conceptul de limită și continuitate a unei funcții, vom discuta proprietățile funcțiilor continue și aplicarea lor pentru rezolvarea problemelor.

În a doua parte a cursului, vom defini derivata și diferențiabilitatea unei funcții a unei variabile și vom studia proprietățile funcțiilor diferențiabile. Acest lucru vă va permite să învățați cum să rezolvați probleme aplicate atât de importante, cum ar fi calculul aproximativ al valorilor funcției și rezolvarea ecuațiilor, calcularea limitelor, studierea proprietăților unei funcții și construirea graficului acesteia.

Format

Forma de studiu este corespondența (distanța).
Cursurile săptămânale vor include vizionarea prelegerilor video tematice și completarea sarcini de testare cu verificarea automată a rezultatelor.
Un element important al studierii disciplinei este decizie independentă probleme de calcul și dovezi. Soluția va trebui să conțină raționament riguros și corect din punct de vedere logic care să conducă la răspunsul corect (în cazul unei probleme de calcul) sau să dovedească complet afirmația cerută (pentru probleme teoretice).

Cerințe

Cursul este destinat absolvenților de anul I de licență. Sunt necesare cunoștințe de bază de matematică liceu(11 clase).

Programul cursului

Cursul 1. Elemente de teoria multimilor.
Cursul 2. Conceptul de număr real. Fețele exacte ale mulțimilor numerice.
Cursul 3. Operații aritmetice pe numere reale. Proprietățile numerelor reale.
Cursul 4. Secvențe de numereși proprietățile lor.
Cursul 5. Secvențe monotone. Criteriul Cauchy pentru convergența secvenței.
Cursul 6. Conceptul de funcție a unei variabile. Limita functiei. Funcții infinit de mici și infinit de mari.
Cursul 7. Continuitatea funcției. Clasificarea punctelor de întrerupere. Proprietățile locale și globale ale funcțiilor continue.
Cursul 8. Funcții monotone. Funcția inversă.
Cursul 9. Cele mai simple funcții elementare și proprietățile lor: funcții exponențiale, logaritmice și de putere.
Cursul 10. Trigonometric și invers funcții trigonometrice. Limite minunate. Continuitate uniformă a funcției.
Cursul 11. Conceptul de derivată și diferențială. Sensul geometric al derivatului. Reguli de diferențiere.
Cursul 12. Derivate de bază functii elementare. Diferenţial de funcţie.
Cursul 13. Derivate și diferențiale de ordin superior. formula lui Leibniz. Derivate ale funcţiilor definite parametric.
Cursul 14. Proprietățile de bază ale funcțiilor diferențiabile. teoremele lui Rolle și Lagrange.
Cursul 15. teorema lui Cauchy. Prima regulă a L'Hopital de a dezvălui incertitudinea.
Cursul 16. A doua regulă a lui L'Hopital pentru dezvăluirea incertitudinilor. Formula lui Taylor cu un termen de rest în forma Peano.
Cursul 17. Formula lui Taylor cu un termen rest în formă generală, în forma Lagrange și Cauchy. Extinderea după formula Maclaurin a principalelor funcții elementare. Aplicații ale formulei lui Taylor.
Cursul 18. Condiții suficiente pentru un extremum. Asimptotele graficului unei funcții. Convex.
Cursul 19. Puncte de inflexiune. Schema generala studii functionale. Exemple de trasare grafice.

Rezultatele învățării

Ca urmare a parcurgerii cursului, studentul va dobândi o înțelegere a concepte de bază analiză matematică: mulțime, număr, succesiune și funcție, familiarizează-te cu proprietățile lor și învață să aplice aceste proprietăți la rezolvarea problemelor.

Întrebări pentru examenul la „Analiza matematică”, anul I, semestrul I.

1. Mulțimi. Operații de bază pe platouri. Spații metrice și aritmetice.

2. Seturi numerice. Seturi pe linia numerică: segmente, intervale, semi-axe, vecinătăți.

3. Definiția unei mulțimi mărginite. Limitele superioare și inferioare ale seturilor de numere. Postulate despre limitele superioare și inferioare ale mulțimilor numerice.

4. Metoda inducției matematice. inegalitățile Bernoulli și Cauchy.

5. Definiția unei funcții. Graficul funcției. Chiar și funcții ciudate. Funcții periodice. Metode pentru specificarea unei funcții.

6. Limită de consistență. Proprietățile secvențelor convergente.

7. Secvențe limitate. Teoremă cu o condiție suficientă pentru divergența unei secvențe.

8. Definiția unei secvențe monotone. Teorema lui Weierstrass pe o secvență monotonă.

9. Numărul e.

10. Limita unei funcții într-un punct. Limita unei funcții la infinit. Limite unilaterale.

11. Funcții infinitezimale. Limita sumei, produsului și coeficientului de funcții.

12. Teoreme privind stabilitatea inegalităţilor. Trecerea la limită în inegalități. Teoremă despre trei funcții.

13. Prima și a doua sunt limite minunate.

14. Funcții infinit de mari și legătura lor cu funcții infinitezimale.

15. Comparația funcțiilor infinitezimale. Proprietățile infinitezimale echivalente. Teoremă privind înlocuirea infinitezimalelor cu altele echivalente. Echivalențe de bază.

16. Continuitatea unei funcții într-un punct. Acțiuni cu funcții continue. Continuitatea funcțiilor elementare de bază.

17. Clasificarea punctelor de discontinuitate a funcţiilor. Definitie prin continuitate

18. Definiția unei funcții complexe. Limita unei funcții complexe. Continuitatea unei funcții complexe. Funcții hiperbolice

19. Continuitatea unei funcții pe un segment. Teoremele lui Cauchy asupra dispariției unei funcții continue pe un interval și asupra valorii intermediare a funcției.

20. Proprietățile funcțiilor continue pe un interval. Teorema de mărginire a lui Weierstrass functie continua. Teorema lui Weierstrass asupra celui mai mare și cea mai mică valoare funcții.

21. Definiția unei funcții monotone. Teorema lui Weierstrass asupra limitei unei funcții monotone. Teoremă asupra mulțimii valorilor unei funcții care este monotonă și continuă pe un interval.

22. Funcția inversă. Graficul funcției inverse. Teorema privind existența și continuitatea funcției inverse.

23. Funcții trigonometrice și hiperbolice inverse.

24. Determinarea derivatei unei funcții. Derivate ale funcţiilor elementare de bază.

25. Definiția unei funcții diferențiabile. Condiție necesară și suficientă pentru diferențiabilitatea unei funcții. Continuitatea unei funcții diferențiabile.

26. Sensul geometric al derivatului. Ecuația tangentei și a normalei la graficul unei funcții.

27. Derivată a sumei, produsului și câtului a două funcții

28. Derivată a unei funcții complexe și a funcției sale inverse.

29. Diferențierea logaritmică. Derivată a unei funcții dată parametric.

30. Partea principală a creșterii funcției. Formula de liniarizare a funcției. Sensul geometric al diferenţialului.

31. Diferenţialul unei funcţii complexe. Invarianța formei diferenţialului.

32. Teoreme ale lui Rolle, Lagrange și Cauchy privind proprietățile funcțiilor diferențiabile. Formula de increment finit.

33. Aplicarea derivatelor la dezvăluirea incertitudinilor în limite. Regula lui L'Hopital.

34. Definiţia derivative ordinea a n-a. Reguli pentru găsirea derivatei de ordinul al n-lea. formula lui Leibniz. Diferențiale de ordine superioare.

35. Formula lui Taylor cu un termen de rest în forma Peano. Termeni reziduali în formele Lagrange și Cauchy.

36. Funcții de creștere și scădere. Puncte extreme.

37. Convexitatea și concavitatea funcției. Puncte de inflexiune.

38. Funcții fără sfârșit. Asimptote.

39. Schema pentru construirea unui grafic al unei funcții.

40. Definiţia antiderivative. Proprietățile de bază ale antiderivatei. Cele mai simple reguli de integrare. Tabelul integralelor simple.

41. Integrarea prin schimbarea variabilei și formula de integrare prin părți în integrala nedefinită.

42. Integrarea expresiilor formei e ax cos bx și e ax sin bx folosind relații de recurență.

	43. Integrarea fracțiunilor			folosind relaţii de recurenţă.
			a 2 n

44. Integrală nedefinită dintr-o funcţie raţională. Integrarea fracțiilor simple.

45. Integrală nedefinită a unei funcții raționale. Descompunerea fracțiilor proprii în fracții simple.

46. Integrală nedefinită a unei funcții iraționale. Integrarea expresiilor

	Rx, m

47. Integrală nedefinită a unei funcții iraționale. Integrarea expresiilor de forma R x , ax 2 bx c . înlocuirile lui Euler.

48. Integrarea expresiilor formei

ax2 bx c

ax2 bx c

2 lăzi c

49. Integrală nedefinită a unei funcții iraționale. Integrarea diferenţialelor binomiale.

50. Integrarea expresiilor trigonometrice. Substituție trigonometrică universală.

51. Integrarea expresiilor trigonometrice raționale în cazul în care integrandul este impar față de sin x (sau cos x) sau chiar față de sin x și cos x.

52. Integrarea expresiilor sin n x cos m x și sin nx cos mx .

53. Integrarea expresiilor tg m x și ctg m x .

54. Integrarea expresiilor R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 și R x , x 2 a 2 folosind substituții trigonometrice.

55. Integrală definită. Problema calculării ariei unui trapez curbat.

56. Sume integrale. Darboux sume. Teoremă privind condiția existenței unei integrale definite. Clase de funcții integrabile.

57. Proprietățile unei integrale definite. Teoreme ale valorii medii.

58. Integrală definită în funcție de limita superioară. Formula Newton-Leibniz.

59. Formula pentru schimbarea unei variabile și formula pentru integrarea pe părți într-o integrală definită.

60. Aplicarea calculului integral la geometrie. Volumul figurii. Volumul cifrelor de rotație.

61. Aplicarea calculului integral la geometrie. Pătrat figură plată. Zona unui sector curbat. Lungimea curbei.

62. Definiția unei integrale improprie de primul fel. Formula Newton-Leibniz pentru integralele improprie de primul fel. Cele mai simple proprietăți.

63. Convergența integralelor improprie de primul fel pentru o funcție pozitivă. Teoremele de comparație 1 și 2.

64. Convergența absolută și condiționată a integralelor improprie de primul fel dintr-o funcție alternativă. Teste pentru convergența Abel și Dirichlet.

65. Definiția unei integrale improprie de al doilea fel. Formula Newton-Leibniz pentru integrale improprie de al doilea fel.

66. Conectarea integralelor necorespunzătoare 1 și 2 fel. Integrale improprii în sensul valorii principale.

Lasă variabila x n ia o succesiune infinită de valori

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

iar legea schimbării variabilei este cunoscută x n, adică pentru toată lumea număr natural n puteți specifica valoarea corespunzătoare x n. Prin urmare, se presupune că variabila x n este o functie a n:

x n = f(n)

Să definim unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice - limita unei secvențe sau, ceea ce este același, limita unei variabile x n, parcurgând secvența x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Definiţie. Număr constant o numit limita secvenței x 1 , x 2 , ..., x n , ... . sau limita unei variabile x n, dacă pentru un număr pozitiv arbitrar mic e există un astfel de număr natural N(adică numărul N) că toate valorile variabilei x n, incepand de la x N, diferă de oîn valoare absolută mai mică decât cu e. Această definiție scris pe scurt astfel:

| x n - a |< (2)

în fața tuturor n  N, sau, ce este la fel,

Determinarea limitei Cauchy. Un număr A se numește limita unei funcții f (x) într-un punct a dacă această funcție este definită într-o vecinătate a punctului a, cu posibila excepție a punctului a însuși, și pentru fiecare ε > 0 există δ > 0 astfel încât pentru toate x satisface condiția |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Determinarea limitei Heine. Un număr A se numește limita unei funcții f (x) într-un punct a dacă această funcție este definită într-o vecinătate a punctului a, cu posibila excepție a punctului a însuși și pentru orice succesiune astfel încât convergând către numărul a, succesiunea corespunzătoare de valori ale funcției converge către numărul A.

Dacă o funcție f (x) are o limită în punctul a, atunci această limită este unică.

Numărul A 1 se numește limita funcției f (x) din stânga în punctul a dacă pentru fiecare ε > 0 există δ >

Numărul A 2 se numește limita funcției f (x) din dreapta în punctul a dacă pentru fiecare ε > 0 există δ > 0 astfel încât inegalitatea să fie valabilă pentru toate

Limita din stânga se notează cu limita din dreapta - Aceste limite caracterizează comportamentul funcției la stânga și la dreapta punctului a. Acestea sunt adesea numite limite unidirecționale. În desemnarea limitelor unilaterale pentru x → 0, primul zero este de obicei omis: și . Deci, pentru funcție

Dacă pentru fiecare ε > 0 există o δ-vecinătate a unui punct astfel încât pentru tot x care îndeplinește condiția |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, atunci se spune că funcția f (x) are o limită infinită în punctul a:

Astfel, funcția are o limită infinită în punctul x = 0. Limitele egale cu +∞ și –∞ se disting adesea. Aşa,

Dacă pentru fiecare ε > 0 există un δ > 0 astfel încât pentru fiecare x > δ inegalitatea |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Teorema existenței pentru un supremum exact

Definiţie:АR mR, m este fața superioară (inferioară) a lui А, dacă аА аm (аm).

Definiţie: O mulțime A este mărginită de sus (de jos), dacă există un m astfel încât aA, am (am) să aibă loc.

Definiţie: SupA=m, dacă 1) m este supremul lui A

2) m’: m’ m’ nu este suprema lui A

InfA = n, dacă 1) n este infimul lui A

2) n’: n’>n => n’ nu este infimul lui A

Definiţie: SupA=m este un număr astfel încât: 1)  aA am

2) >0 a  A, astfel încât a  a-

InfA = n este un număr astfel încât: 1) 1)  aA an

2) >0 a  A, astfel încât a E a+

Teorema: Orice mulțime nevidă AR mărginită de sus are un supremum exact și unul unic.

Dovada:

Să construim numărul m pe dreapta numerică și să demonstrăm că acesta este supremul lui A.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - limita superioară a lui A

Segmentul [[m],[m]+1] - împărțit în 10 părți

m 1 =max:aA)]

m 2 =max,m 1:aA)]

m k =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - marginea superioară A

Să demonstrăm că m=[m],m 1 ...m K este supremul și că este unic:

k: )