Distanța de la punct la punct: formule, exemple, soluții. Cum să găsiți distanța pe planul de coordonate Distanța dreptei de coordonate zero

Lecția nr. /3

TEMA: Distanța dintre punctele de pe o linie de coordonate

Scopul activității profesorului: creați condiții pentru stăpânirea abilităților de a găsi distanța dintre punctele pe o linie de coordonate, calcularea modulului diferenței, coordonatele mijlocului segmentului.

Rezultatele planificate ale studierii subiectului:

Personal: manifestă interes cognitiv pentru studierea subiectului.

Subiect: sunt capabili să găsească distanța dintre punctele unei linii de coordonate, calculând modulul diferenței, coordonatele mijlocului segmentului.

Rezultate meta-subiecte ale studierii temei (activități de învățare universală):

educativ: concentrați-vă pe o varietate de moduri de a rezolva probleme; sunt capabili să rezuma și să sistematizeze informațiile;

de reglementare: ține cont de regula în planificarea și controlul metodei de soluționare;

comunicativ: luate în considerare opinii diferiteși să se străduiască să coordoneze diferite poziții în cooperare.

Scriptul lecției.

eu .Moment org.
Salut baieti. Astăzi avem oaspeți Să-i salutăm!

Aşezaţi-vă.

Lecția noastră nu este una obișnuită. Lecție despre generalizarea cunoștințelor. Trebuie să arătăm ce am învățat, ce am învățat.

La ce subiect am lucrat în ultima vreme (comparație, completare? numere raționale)

Am luat următoarele cuvinte ca epigrafă a lecției: : Vom pleca astăzi într-o călătorie pentru știință

Să folosim fantezia pentru a ajuta,

Nu vom opri drumul drept

Și astfel încât să ne putem atinge obiectivele mai repede

Trebuie să urcăm scările în sus!

2. Actualizarea cunoștințelor .

Sarcina „Scara”.

Lucrați la opțiuni, verificare și autoevaluare

3 Bravo, continuăm să mergem în sus pentru cunoaștere.Să vă verificăm temele.

1. Aflați distanța dintre punctele dreptei de coordonate: D/Z

a) A(-4) și B(-6); b) A(5) și B(-7); c) A(3) și B(-18).

SOLUŢIE: a) AB= |-6-(-4) |= |-2|=2

b) AB =|-7-5|=12

c) AB = |-18-3 |= 21

2. Găsiți coordonatele punctelor îndepărtate de punct:

a) A(-8) cu 5; b) B(6) cu -2,7; c) C(4) la -3,2

Soluţie: a) -8+5=-3 O 1 (-3) și -8-5=-13 O 2 (-13)

b)6+(-2,7) =3,3 ÎN 1 (3,3) şi 6-(-2,7) =8,7 ÎN 2 (8,7)

c) 4+(-3,2) =0,8 CU 1 (0,8) 4-(-3,2) = 7,2 CU 2 (7,2)

3) Aflați coordonatele punctului C, mijlocul segmentului, dacă:

a) A(-12) B (1) b) A(-7) și B(9) c) A(16) și B (-8)

SOLUŢIE:

12+1=-11 B) -7+9 =2 B) 16+(-8) =8

11: 2=-5,5 2:2=1 8:2 =4

С(-5,5) с(1) С(4)

Aveți un standard de teme pe birouri. Verificați și marcați fișa de autoevaluare.

4 . Sondaj Blitz :

1. Ce este o linie de coordonate?

2. Ce reguli de comparare a numerelor raționale cunoașteți?

3.Care este modulul unui număr?

4.Cum se adună două numere cu aceleași semne?

5.Cum se adună două numere cu semne diferite?

6. Cum se determină distanța dintre punctele unei linii de coordonate?

Ei bine, acum vă vom arăta cum putem aplica cunoștințele noastre în practică.

5. Corectează greșelile

12+4 =-16 -12+(-18) =6 9-14=5

16 +(-10)=6 30 +(-10) =-20 5 –(-3)=2

6 –(-5) =11 -20 -14 =-34 -2 +7=9

11-28 =-39 -34 -5 =-29 9 -13=22

Efectuați autotestul.

12+4 =--8 -12+(-18) =30 9-14= -5

16 +(-10)=-26 30 +(-10) =20 5 –(-3)=8

26 –(-5) =-21 -20 -14 =-34 -2 +7=5

11-28 =--17 -34 -5 =-41 9 -13=-4

6. Determinați distanța dintre puncte: și găsiți mijlocul segmentului (în funcție de opțiuni)

(schimb de caiete și verificare reciprocă.)

7. Ei bine, acum ne vom odihni. Ochii noștri trebuie să se odihnească

8. Notarea muncii independente (în caiet).

Opțiunea 1 Opțiunea 2

1,5-4,6 0,8 -1,2

-2,8 +3,8 4-9,4

0,45 -1 -4,3 +(-1,2) (Diapozitivul 9)

Ţintă: testați capacitatea de a aplica legile adunării pentru a transforma expresii; dezvoltarea interesului cognitiv și a independenței; cultivați perseverența și perseverența în atingerea obiectivelor.




Găsiți semnificația expresiei și colorați gnomul în funcție de rezultatul obținut conform tabelului. (cartea cu gnom rămâne la elevi ca un talisman)

Bravo baieti!

Ai finalizat sarcinile

Și și-au arătat cunoștințele.

Și cheia magică a învățării este

Perseverența și răbdarea ta!

Distanța dintre punctele de pe o linie de coordonate este de gradul 6.

Formula pentru găsirea distanței dintre punctele de pe o dreaptă de coordonate

Algoritm pentru găsirea coordonatelor unui punct - mijlocul unui segment

Mulțumesc colegilor mei de pe Internet al căror material l-am folosit în această prezentare!

Descărcați:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați-vă un cont ( cont) Google și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Distanța dintre punctele de pe dreapta de coordonate x 0 1 A B AB = ρ (A, B)

Distanța dintre punctele de pe o dreaptă de coordonate Scopul lecției: - Găsiți o metodă (formulă, regulă) pentru a afla distanța dintre punctele de pe o dreaptă de coordonate. - Învață să găsești distanța dintre punctele de pe o linie de coordonate folosind regula găsită.

1. Număr oral 15 -22 +8 -31 +43 -27 -14

2. Rezolvați oral problema folosind o dreaptă de coordonate: câte numere întregi sunt cuprinse între numerele: a) – 8,9 și 2 b) – 10,4 și – 3,7 c) – 1,2 și 4,6? a) 10 b) 8 c) 6

0 1 2 7 numere pozitive -1 -5 numere negative Distanța de la casă la stadion 6 Distanța de la casă la școală 6 Linia de coordonate

0 1 2 7 -1 -5 Distanța de la stadion la casă 6 Distanța de la școală la casă 6 Aflarea distanței dintre punctele de pe dreapta de coordonate ρ (-5 ; 1)=6 ρ (7 ; 1)=6 Distanța dintre puncte va fi notată cu litera ρ (rho)

0 1 2 7 -1 -5 Distanța de la stadion la casă 6 Distanța de la școală la casă 6 Aflarea distanței dintre punctele de pe dreapta de coordonate ρ (-5 ; 1)=6 ρ (7 ; 1)=6 ρ (a; b) = ? | a-b |

Distanța dintre punctele a și b este egală cu modulul diferenței în coordonatele acestor puncte. ρ (a; b)= | a-b | Distanța dintre punctele unei linii de coordonate

Sensul geometric al modulului număr real a b a a=b b x x x Distanța dintre două puncte

0 1 2 7 -1 -5 Aflați distanțele dintre punctele de pe linia de coordonate - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (-6 ; 2)= ρ (6 ; 3)= ρ (0 ; 7) = ρ (1 ; -4) = 8 3 7 5

0 1 2 7 -1 -5 Aflați distanțele dintre punctele de pe linia de coordonate - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (2 ; -6)= ρ (3 ; 6)= ρ (7 ; 0) = ρ (-4 ; 1) = 8 3 7 5

Ieșire: valori de expresie | a – b | și | b–a | egal pentru orice valori ale lui a și b =

–16 –2 0 –3 +8 0 +4 +17 0 ρ(–3; 8) = 11; |(–3) – (+8)| = 11; |(+8) – (–3)| = 11. ρ(–16; –2) = 14; |(–16) – (–2)| = 14; |(–2) – (–16)| = 14. ρ(4; 17) = 13; |(+4) – (+17)| = 13; |(+17) – (+4)| = 13. Distanța dintre punctele dreptei de coordonate

Aflați ρ(x; y) dacă: 1) x = – 14, y = – 23; ρ(x;y)=| x – y |=|–14–(– 23)|=|–14+23|=| 9 |=9 2) x = 5,9, y = –6,8; ρ(x; y)=|5, 9 –(– 6,8)|=|5,9+6,8|=| 12,7 |=12,7

Continuați propoziția 1. O linie de coordonate este o dreaptă cu ... indicată pe ea 2. Distanța dintre două puncte este ... 3. Numerele opuse sunt numere, ... 4. Modulul numărului X se numește ... 5. - Comparați semnificațiile expresiilor a – b V b – a trageți o concluzie ... - Comparați semnificațiile expresiilor | a – b | V | b–a | c trage o concluzie...

Vintik și Shpuntik merg de-a lungul fasciculului de coordonate. Vintik este situat în punctul B (236), Shpuntik este în punctul W (193) La ce distanță se află Vintik și Shpuntik? ρ (B, W) = 43

Aflați distanța dintre punctele A(0), B(1) A(2), B(5) A(0), B (- 3) A(- 10), B(1) AB = 1 AB = 3 AB = 3 AB = 11

Aflați distanța dintre punctele A(- 3,5), B(1,4) K(1,8), B(4,3) A(- 10), C(3)

Verificați AB = KB = AC =

С(– 5) С(– 3) Aflați coordonatele punctului - mijlocul segmentului BA

Punctele A (–3,25) și B (2,65) sunt marcate pe linia de coordonate. Aflați coordonatele punctului O - mijlocul segmentului AB. Rezolvare: 1) ρ(A;B)= |–3,25 – 2,65| = |–5,9| = 5,9 2) 5,9: 2 = 2,95 3) –3,25 + 2,95 = – 0,3 sau 2,65 – 2,95 = – 0,3 Răspuns: O(–0, 3)

Punctele C(–5.17) și D(2.33) sunt marcate pe linia de coordonate. Aflați coordonatele punctului A - mijlocul segmentului CD. Rezolvare: 1) ρ(C; D)= |– 5, 17 – 2, 33 | = |– 7, 5 | = 7, 5 2) 7, 5: 2 = 3, 7 5 3) – 5, 17 + 3, 7 5 = – 1, 42 sau 2, 33 – 3, 7 5 = – 1, 42 Răspuns: A ( – 1, 42)

Concluzie: Algoritm pentru aflarea coordonatelor unui punct - mijlocul unui segment dat: 1. Aflați distanța dintre puncte - capetele unui segment dat = 2. Împărțiți rezultatul-1 la 2 (jumătate din valoare) = c 3 . Adăugați rezultatul-2 la coordonata a sau scădeți rezultatul-2 din coordonata a + c sau - c 4. Rezultatul-3 este coordonata punctului - mijlocul acestui segment.

Lucrul cu manualul: §19, p.112, A. Nr. 573, 575 V. Nr. 578, 580 Teme pentru acasă: §19, p.112, A. Nr. 574, 576, V. Nr. 579, 581 pregătiți pentru CD-ul „ Adunarea și scăderea numerelor raționale. Distanța dintre punctele de pe o linie de coordonate"

Astăzi am aflat... A fost interesant... Mi-am dat seama că... Acum pot... Am învățat... Am făcut-o... O să încerc... Am fost surprins... Am voia...

În matematică, atât algebra, cât și geometria pun probleme de a găsi distanța până la un punct sau o linie de la un obiect dat. Este complet în moduri diferite, a cărui alegere depinde de datele inițiale. Să ne uităm la cum să găsim distanța dintre obiectele date în diferite condiții.

Pe stadiu inițial stăpânirea științei matematicii învață cum să folosești instrumente elementare (cum ar fi o riglă, raportor, busolă, triunghi și altele). Găsirea distanței dintre puncte sau linii folosindu-le nu este deloc dificilă. Tot ce trebuie să faci este să atașezi scara de împărțire și să notezi răspunsul. Trebuie doar să știi că distanța va fi egală cu lungimea dreptei care poate fi trasată între puncte, iar în cazul liniilor paralele, perpendiculara dintre ele.

Folosind teoreme și axiome de geometrie

Ei învață să măsoare distanțe fără ajutorul unor dispozitive speciale sau Acest lucru necesită numeroase teoreme, axiome și dovezile lor. Adesea, problemele de a găsi o distanță se reduc la formarea și găsirea laturilor acesteia. Pentru a rezolva astfel de probleme, este suficient să cunoaștem teorema lui Pitagora, proprietățile triunghiurilor și metodele de transformare a acestora.

Dacă există două puncte și este dată poziția lor pe axa de coordonate, atunci cum să găsiți distanța de la unul la altul? Soluția va cuprinde mai multe etape:

1. Conectăm punctele cu o linie dreaptă, a cărei lungime va fi distanța dintre ele.
2. Găsim diferența dintre valorile coordonatelor punctelor (k;p) ale fiecărei axe: |k 1 - k 2 |= d 1 și |p 1 - p 2 |= d 2 (luăm valorile modulo, deoarece distanța nu poate fi negativă) .
3. După aceasta, pătratăm numerele rezultate și aflăm suma lor: d 1 2 + d 2 2
4. Pasul final va fi extragerea numărului rezultat. Aceasta va fi distanța dintre punctele: d=V (d 1 2 + d 2 2).

Ca rezultat, întreaga soluție este efectuată conform unei formule, în care distanța este egală cu rădăcină pătrată din suma pătratelor diferenței de coordonate:

d =V(|k 1 - k 2 | 2 +|p 1 - p 2 | 2)

Dacă apare întrebarea despre cum să găsiți distanța de la un punct la altul, atunci căutarea unui răspuns la acesta nu va fi mult diferită de cea de mai sus. Soluția va fi efectuată după următoarea formulă:

d=V(|k 1 - k 2 | 2 +|r 1 - r 2 | 2 +|e 1 - e 2 | 2)

O perpendiculară trasată din orice punct situat pe aceeași linie dreaptă pe o paralelă va fi distanța. Când rezolvați probleme într-un plan, este necesar să găsiți coordonatele oricărui punct de pe una dintre drepte. Și apoi calculați distanța de la ea la a doua linie dreaptă. Pentru a face acest lucru, îi aducem la aspectul general Ah + Wu + C = 0. Din proprietățile dreptelor paralele se știe că coeficienții lor A și B vor fi egali. În acest caz, îl puteți găsi folosind formula:

d = |C 1 - C 2 |/V(A 2 + B 2)

Astfel, atunci când răspundeți la întrebarea cum să găsiți distanța față de un obiect dat, este necesar să vă ghidați de condițiile problemei și de instrumentele prevăzute pentru rezolvarea acesteia. Ele pot fi fie dispozitive de măsurare, fie teoreme și formule.

Distanța de la punct la punct este lungimea segmentului care leagă aceste puncte pe o scară dată. Astfel, atunci când vine vorba de măsurarea distanței, trebuie să cunoașteți scara (unitatea de lungime) în care vor fi făcute măsurătorile. Prin urmare, problema găsirii distanței de la punct la punct este de obicei considerată fie pe o linie de coordonate, fie în sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare pe un plan sau într-un spațiu tridimensional. Cu alte cuvinte, cel mai adesea trebuie să calculați distanța dintre puncte folosind coordonatele lor.

În acest articol, ne vom aminti mai întâi cum este determinată distanța de la un punct la altul pe o linie de coordonate. În continuare, vom obține formule pentru calcularea distanței dintre două puncte ale unui plan sau spațiu în funcție de coordonatele date. În concluzie, vom analiza în detaliu soluțiile la exemplele și problemele tipice.

Navigare în pagină.

Distanța dintre două puncte de pe o dreaptă de coordonate.

Să definim mai întâi notația. Vom nota distanța de la punctul A la punctul B ca .

De aici putem concluziona că distanta de la punctul A cu coordonata la punctul B cu coordonata este egala cu modulul diferentei de coordonate, adică pentru orice locație a punctelor pe linia de coordonate.

Distanța de la punct la punct pe un plan, formulă.

Obținem o formulă de calcul a distanței dintre puncte și dată într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare pe un plan.

În funcție de locația punctelor A și B, sunt posibile următoarele opțiuni.

Dacă punctele A și B coincid, atunci distanța dintre ele este zero.

Dacă punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa absciselor, atunci punctele coincid, iar distanța este egală cu distanța . În paragraful anterior, am aflat că distanța dintre două puncte de pe o linie de coordonate este egală cu modulul diferenței dintre coordonatele lor, prin urmare, . Prin urmare, .

În mod similar, dacă punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa ordonatelor, atunci distanța de la punctul A la punctul B se găsește ca .

În acest caz, triunghiul ABC este dreptunghiular în construcție și Și . De Teorema lui Pitagora putem nota egalitatea, de unde .

Să rezumam toate rezultatele obținute: distanța de la un punct la un punct dintr-un plan se găsește prin coordonatele punctelor folosind formula .

Formula rezultată pentru găsirea distanței dintre puncte poate fi utilizată atunci când punctele A și B coincid sau se află pe o dreaptă perpendiculară pe una dintre axele de coordonate. Într-adevăr, dacă A și B coincid, atunci . Dacă punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa Ox, atunci. Dacă A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa Oy, atunci .

Distanța dintre punctele din spațiu, formulă.

Să introducem un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiu. Să obținem o formulă pentru a găsi distanța de la un punct la obiect .

În general, punctele A și B nu se află într-un plan paralel cu unul dintre planurile de coordonate. Să desenăm prin punctele A și B plane perpendiculare pe axele de coordonate Ox, Oy și Oz. Punctele de intersecție ale acestor plane cu axele de coordonate ne vor oferi proiecții ale punctelor A și B pe aceste axe. Notăm proiecțiile .

Distanța necesară dintre punctele A și B este diagonala paralelipipedului dreptunghiular prezentat în figură. Prin construcție, dimensiunile acestui paralelipiped sunt egale Și . În cursul geometriei liceu s-a dovedit că pătratul diagonalei unui cuboid egal cu suma pătrate ale celor trei dimensiuni ale sale, prin urmare, . Pe baza informațiilor din prima secțiune a acestui articol, putem scrie următoarele egalități, prin urmare,

de unde o luăm formula pentru aflarea distantei dintre punctele din spatiu .

Această formulă este valabilă și dacă punctele A și B

• meci;
• aparțin uneia dintre axele de coordonate sau unei linii paralele cu una dintre axele de coordonate;
• aparțin unuia dintre planurile de coordonate sau unui plan paralel cu unul dintre planurile de coordonate.

Găsirea distanței de la punct la punct, exemple și soluții.

Deci, am obținut formule pentru găsirea distanței dintre două puncte de pe o dreaptă de coordonate, plan și spațiu tridimensional. Este timpul să privim soluții pentru exemplele tipice.

Numărul de probleme în care pasul final este găsirea distanței dintre două puncte în funcție de coordonatele lor este cu adevărat enorm. Revizuire completă Astfel de exemple depășesc scopul acestui articol. Aici ne vom limita la exemple în care sunt cunoscute coordonatele a două puncte și este necesar să se calculeze distanța dintre ele.