Funcție exponențială – proprietăți, grafice, formule. Funcția exponențială

1.Funcția exponențială este o funcție de forma y(x) = a x, în funcție de exponentul x, cu o valoare constantă a bazei gradului a, unde a > 0, a ≠ 0, xϵR (R este mulțimea numerelor reale) .

Să luăm în considerare graficul functiei daca baza nu satisface conditia: a>0
a) a< 0
Dacă a< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2

Dacă a = 0, funcția y = este definită și are o valoare constantă de 0

c) a =1
Dacă a = 1, funcția y = este definită și are o valoare constantă de 1

2. Să aruncăm o privire mai atentă la funcția exponențială:

0

Domeniul funcției (DOF)

Gama de valori admisibile ale funcției (APV)

3. Zerurile funcției (y = 0)

4. Puncte de intersecție cu axa ordonatelor oy (x = 0)

5. Funcții în creștere, scădere

Dacă , atunci funcția f(x) crește
Dacă , atunci funcția f(x) scade
Funcția y= , la 0 Funcția y =, pentru a> 1, crește monoton
Aceasta rezultă din proprietățile de monotonitate ale unei puteri cu un exponent real.

6. Funcție pară, impară

Funcția y = nu este simetrică față de axa 0y și față de originea coordonatelor, prin urmare nu este nici pară, nici impară. (Funcția generală)

7. Funcția y = nu are extreme

8. Proprietăți ale unui grad cu exponent real:

Fie a > 0; a≠1
b> 0; b≠1

Atunci pentru xϵR; yϵR:

Proprietăți ale gradului de monotonitate:

dacă, atunci
De exemplu:

Dacă a> 0, atunci .
Funcția exponențială este continuă în orice punct ϵ R.

9. Poziția relativă a funcției

Cu cât baza a este mai mare, cu atât este mai aproape de axele x și oy

a > 1, a = 20

Dacă a0, atunci funcția exponențială ia o formă apropiată de y = 0.
Dacă a1, atunci mai departe de axele ox și oy și graficul ia o formă apropiată de funcția y = 1.

Exemplul 1.
Construiți un grafic al lui y =

Lecția nr.2

Subiect: Funcția exponențială, proprietățile și graficul acesteia.

Ţintă: Verificați calitatea stăpânirii conceptului de „funcție exponențială”; să dezvolte abilități de recunoaștere a funcției exponențiale, folosind proprietățile și graficele acesteia, învățând elevii să utilizeze forme analitice și grafice de înregistrare a funcției exponențiale; oferi un mediu de lucru în sala de clasă.

Echipament: tablă, postere

Formularul de lecție: lecție de clasă

Tipul de lecție: lectie practica

Tipul de lecție: lecție de deprinderi și abilități de predare

Planul de lecție

1. Moment organizatoric

2. Munca independentăși verificarea temelor

3. Rezolvarea problemelor

4. Rezumând

5. Tema pentru acasă

Progresul lecției.

1. Moment organizatoric :

Buna ziua. Deschideți caietele, notați data de astăzi și subiectul lecției „Funcția exponențială”. Astăzi vom continua să studiem funcția exponențială, proprietățile și graficul acesteia.

2. Munca independentă și verificarea temelor .

Ţintă: verificați calitatea stăpânirii conceptului de „funcție exponențială” și verificați finalizarea părții teoretice a temei

Metodă: sarcină de testare, sondaj frontal

Ca teme, vi s-au dat numere din cartea cu probleme și un paragraf din manual. Nu vă vom verifica acum execuția numerelor din manual, dar vă veți preda caietele la sfârșitul lecției. Acum teoria va fi testată sub forma unui mic test. Sarcina este aceeași pentru toată lumea: vi se oferă o listă de funcții, trebuie să aflați care dintre ele sunt orientative (subliniați-le). Și lângă funcția exponențială trebuie să scrieți dacă este în creștere sau în scădere.

Opțiunea 1 Răspuns B) D) - exponenţial, descrescător	Opțiunea 2 Răspuns D) - exponenţial, descrescător D) - exponenţial, crescător
Opțiunea 3 Răspuns O) - exponenţial, crescător B) - exponenţial, descrescător	Opțiunea 4 Răspuns O) - exponenţial, descrescător ÎN) - exponenţial, crescător

Acum să ne amintim împreună care funcție se numește exponențială?

O funcție de forma , unde și , se numește funcție exponențială.

Care este scopul acestei funcții?

Toate numerele reale.

Care este intervalul funcției exponențiale?

Toate numerele reale pozitive.

Descrește dacă baza puterii este mai mare decât zero, dar mai mică de unu.

În ce caz o funcție exponențială scade în domeniul ei de definiție?

Crește dacă baza puterii este mai mare de unu.

3. Rezolvarea problemelor

Ţintă: să dezvolte abilități în recunoașterea unei funcții exponențiale, folosind proprietățile și graficele acesteia, să învețe elevii să folosească forme analitice și grafice de scriere a unei funcții exponențiale

Metodă: demonstrație de către profesor de rezolvare a problemelor tipice, lucru oral, lucru la tablă, lucru în caiet, conversație între profesor și elevi.

Proprietățile funcției exponențiale pot fi utilizate atunci când se compară 2 sau mai multe numere. De exemplu: Nr. 000. Comparați valorile și dacă a) ..gif" width="37" height="20 src=">, atunci aceasta este o treabă destul de dificilă: ar trebui să extragem rădăcină cub de la 3 și de la 9 și comparați-le. Dar știm că crește, asta înseamnă, la rândul său, că pe măsură ce argumentul crește, valoarea funcției crește, adică trebuie doar să comparăm valorile argumentului și, este evident că (poate fi demonstrat pe un poster care arată o funcție exponențială crescândă). Și întotdeauna, atunci când rezolvați astfel de exemple, mai întâi determinați baza funcției exponențiale, o comparați cu 1, determinați monotonitatea și continuați să comparați argumentele. În cazul unei funcții descrescătoare: când argumentul crește, valoarea funcției scade, prin urmare, schimbăm semnul inegalității când trecem de la inegalitatea argumentelor la inegalitatea funcțiilor. În continuare, rezolvăm oral: b)

-

ÎN)

-

G)

-

- Nr 000. Compară numerele: a) şi

Prin urmare, funcția crește, atunci

De ce?

Creșterea funcției și

Prin urmare, funcția este în scădere

Ambele funcții cresc în întregul lor domeniu de definiție, deoarece sunt exponențiale cu o bază de putere mai mare de unu.

Care este sensul din spatele lui?

Construim grafice:

Ce funcție crește mai repede când te străduiești https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Ce funcție scade mai repede când te străduiești https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Pe interval, care dintre funcții are o valoare mai mare într-un anumit punct?

D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Mai întâi, să aflăm domeniul de aplicare al definiției acestor funcții. Ele coincid?

Da, domeniul acestor funcții este toate numerele reale.

Numiți domeniul de aplicare al fiecăreia dintre aceste funcții.

Domeniile acestor funcții coincid: toate numerele reale pozitive.

Determinați tipul de monotonitate al fiecărei funcții.

Toate cele trei funcții scad în întregul lor domeniu de definiție, deoarece sunt exponențiale cu o bază de puteri mai mică decât unu și mai mare decât zero.

Ce punct special există în graficul unei funcții exponențiale?

Care este sensul din spatele lui?

Indiferent de baza gradului unei funcții exponențiale, dacă exponentul conține 0, atunci valoarea acestei funcții este 1.

Construim grafice:

Să analizăm graficele. Câte puncte de intersecție au graficele funcțiilor?

Ce funcție scade mai repede când te străduiești https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

Ce funcție crește mai repede când te străduiești https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

Pe interval, care dintre funcții are o valoare mai mare într-un anumit punct?

Pe interval, care dintre funcții are o valoare mai mare într-un anumit punct?

De ce sunt funcțiile exponențiale cu din diferite motive au un singur punct de intersecție?

Funcțiile exponențiale sunt strict monotone în întregul lor domeniu de definiție, astfel încât se pot intersecta doar într-un punct.

Următoarea sarcină se va concentra pe utilizarea acestei proprietăți. Nr. 000. Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare funcţie dată pe un interval dat a) . Amintiți-vă că o funcție strict monotonă își ia valorile minime și maxime la capetele unui segment dat. Și dacă funcția crește, atunci este cea mai mare valoare va fi la capătul drept al segmentului, iar cel mai mic la capătul stâng al segmentului (demonstrație pe afiș, folosind exemplul unei funcții exponențiale). Dacă funcția este în scădere, atunci valoarea sa cea mai mare va fi la capătul din stânga al segmentului, iar cea mai mică la capătul din dreapta al segmentului (demonstrație pe poster, folosind exemplul unei funcții exponențiale). Funcția este în creștere, deoarece, prin urmare, cea mai mică valoare a funcției va fi în punctul https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" > Punctele b) , V) d) rezolvați singur caietele, le vom verifica oral.

Elevii rezolvă sarcina în caiete

Funcția descrescătoare

Funcția descrescătoare cea mai mare valoare a funcției pe segment cea mai mică valoare a unei funcții pe un segment

Funcția de creștere cea mai mică valoare a unei funcții pe un segment cea mai mare valoare a funcției pe segment

- Nr. 000. Aflați cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției date pe intervalul dat a) . Această sarcină este aproape aceeași cu cea anterioară. Dar ceea ce este dat aici nu este un segment, ci o rază. Știm că funcția este în creștere și nu are nici cea mai mare, nici cea mai mică valoare pe întreaga linie numerică https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = „20”>, și tinde spre la , adică pe rază funcția la tinde spre 0, dar nu are propria sa cea mai mică valoare, dar are cea mai mare valoare la punct . Punctele b) , V) , G) Rezolvați singur caietele, le vom verifica pe cale orală.

Să introducem mai întâi definiția unei funcții exponențiale.

Funcția exponențială $f\left(x\right)=a^x$, unde $a >1$.

Să introducem proprietățile funcției exponențiale pentru $a >1$.

\ \[fără rădăcini\] \

Intersecția cu axele de coordonate. Funcția nu intersectează axa $Ox$, ci intersectează axa $Oy$ în punctul $(0,1)$.

$f""\left(x\right)=(\left(a^xlna\right))"=a^x(ln)^2a$

\ \[fără rădăcini\] \

Grafic (Fig. 1).

Figura 1. Graficul funcției $f\left(x\right)=a^x,\ for\ a >1$.

Funcția exponențială $f\left(x\right)=a^x$, unde $0

Să introducem proprietățile funcției exponențiale, la $0

Domeniul definiției sunt toate numerele reale.

$f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- funcția nu este nici pară, nici impară.

$f(x)$ este continuu pe întregul domeniu de definiție.

Intervalul de valori este intervalul $(0,+\infty)$.

$f"(x)=\stanga(a^x\dreapta)"=a^xlna$

\ \[fără rădăcini\] \ \[fără rădăcini\] \

Funcția este convexă pe întregul domeniu de definiție.

Comportament la sfârșitul domeniului:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\]

Grafic (Fig. 2).

Un exemplu de problemă pentru a construi o funcție exponențială

Explorați și reprezentați grafic funcția $y=2^x+3$.

Soluţie.

Să realizăm un studiu folosind diagrama exemplu de mai sus:

Domeniul definiției sunt toate numerele reale.

$f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- funcția nu este nici pară, nici impară.

$f(x)$ este continuu pe întregul domeniu de definiție.

Intervalul de valori este intervalul $(3,+\infty)$.

$f"\left(x\right)=(\left(2^x+3\right))"=2^xln2>0$

Funcția crește pe întregul domeniu de definiție.

$f(x)\ge 0$ în întregul domeniu de definiție.

Intersecția cu axele de coordonate. Funcția nu intersectează axa $Ox$, ci intersectează axa $Oy$ în punctul ($0,4)$

$f""\left(x\right)=(\left(2^xln2\right))"=2^x(ln)^22>0$

Funcția este convexă pe întregul domeniu de definiție.

Comportament la sfârșitul domeniului:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\]

Grafic (Fig. 3).

Figura 3. Graficul funcției $f\left(x\right)=2^x+3$

Rezolvarea majorității problemelor matematice într-un fel sau altul implică transformarea expresiilor numerice, algebrice sau funcționale. Cele de mai sus se aplică în special deciziei. În versiunile examenului de stat unificat la matematică, acest tip de problemă include, în special, sarcina C3. Învățarea să rezolve sarcinile C3 este importantă nu numai pentru succes promovarea examenului de stat unificat, dar și pentru motivul că această abilitate va fi utilă atunci când studiezi un curs de matematică în liceu.

Când finalizați sarcinile C3, trebuie să decideți diverse tipuri ecuații și inegalități. Printre acestea se numără raționale, iraționale, exponențiale, logaritmice, trigonometrice, care conțin module (valori absolute), precum și combinate. Acest articol discută principalele tipuri de ecuații exponențiale și inegalități, precum și diverse metode deciziile lor. Citiți despre rezolvarea altor tipuri de ecuații și inegalități în secțiunea „” din articolele dedicate metodelor de rezolvare a problemelor C3 din Opțiuni pentru examenul de stat unificatîn matematică.

Înainte de a începe să analizăm specific ecuații exponențiale și inegalități, în calitate de tutore de matematică, vă sugerez să periați ceva material teoretic de care vom avea nevoie.

Funcția exponențială

Ce este o funcție exponențială?

Funcția formei y = un x, Unde o> 0 și o≠ 1 este numit functie exponentiala.

De bază proprietățile funcției exponențiale y = un x:

Graficul unei funcții exponențiale

Graficul funcției exponențiale este exponent:

Grafice ale funcțiilor exponențiale (exponenți)

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale

Indicativ se numesc ecuatii in care variabila necunoscuta se gaseste numai in exponenti ai unor puteri.

Pentru a rezolva ecuații exponențiale trebuie să cunoașteți și să fiți capabil să utilizați următoarea teoremă simplă:

Teorema 1. Ecuație exponențială o f(x) = o g(x) (Unde o > 0, o≠ 1) este echivalentă cu ecuația f(x) = g(x).

În plus, este util să ne amintim formulele și operațiile de bază cu grade:

Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

Exemplul 1. Rezolvați ecuația:

Soluţie: Folosim formulele de mai sus și înlocuirea:

Ecuația devine atunci:

Discriminant a primit ecuație pătratică pozitiv:

Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

Aceasta înseamnă că această ecuație are două rădăcini. Le gasim:

Trecând la înlocuirea inversă, obținem:

A doua ecuație nu are rădăcini, deoarece funcția exponențială este strict pozitivă în întregul domeniu de definiție. Să o rezolvăm pe a doua:

Ținând cont de cele spuse în teorema 1, trecem la ecuația echivalentă: x= 3. Acesta va fi răspunsul la sarcină.

Răspuns: x = 3.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația:

Soluţie: Ecuația nu are restricții în domeniul valorilor permise, deoarece expresia radicală are sens pentru orice valoare x(funcție exponențială y = 9 4 -x pozitiv și nu egal cu zero).

Rezolvăm ecuația prin transformări echivalente folosind regulile de înmulțire și împărțire a puterilor:

Ultima tranziție a fost efectuată în conformitate cu teorema 1.

Răspuns:x= 6.

Exemplul 3. Rezolvați ecuația:

Soluţie: ambele părți ale ecuației inițiale pot fi împărțite la 0,2 x. Această tranziție va fi echivalentă, deoarece această expresie este mai mare decât zero pentru orice valoare x(funcția exponențială este strict pozitivă în domeniul său de definire). Atunci ecuația ia forma:

Răspuns: x = 0.

Exemplul 4. Rezolvați ecuația:

Soluţie: simplificăm ecuația la una elementară prin transformări echivalente folosind regulile de împărțire și înmulțire a puterilor date la începutul articolului:

Împărțirea ambelor părți ale ecuației la 4 x, ca în exemplul anterior, este o transformare echivalentă, deoarece această expresie nu este egală cu zero pentru nicio valoare x.

Răspuns: x = 0.

Exemplul 5. Rezolvați ecuația:

Soluţie: funcţie y = 3x, aflat în partea stângă a ecuației, este în creștere. Funcţie y = —x-2/3 din partea dreaptă a ecuației este în scădere. Aceasta înseamnă că dacă graficele acestor funcții se intersectează, atunci cel mult un punct. ÎN în acest caz, nu este greu de ghicit că graficele se intersectează în punct x= -1. Nu vor exista alte rădăcini.

Răspuns: x = -1.

Exemplul 6. Rezolvați ecuația:

Soluţie: simplificăm ecuația prin transformări echivalente, ținând cont peste tot că funcția exponențială este strict mai mare decât zero pentru orice valoare xși folosind regulile de calcul a produsului și a coeficientului de puteri date la începutul articolului:

Răspuns: x = 2.

Rezolvarea inegalităților exponențiale

Indicativ se numesc inegalităţi în care variabila necunoscută este cuprinsă numai în exponenţii unor puteri.

Pentru a rezolva inegalități exponențiale este necesară cunoașterea următoarei teoreme:

Teorema 2. Dacă o> 1, apoi inegalitatea o f(x) > o g(x) este echivalentă cu o inegalitate de același sens: f(x) > g(x). Daca 0< o < 1, то inegalitatea exponenţială o f(x) > o g(x) este echivalentă cu o inegalitate cu sens invers: f(x) < g(x).

Exemplul 7. Rezolvați inegalitatea:

Soluţie: Să prezentăm inegalitatea inițială sub forma:

Să împărțim ambele părți ale acestei inegalități la 3 2 x, în acest caz (datorită pozitivității funcției y= 3 2x) semnul inegalității nu se va schimba:

Să folosim înlocuirea:

Atunci inegalitatea va lua forma:

Deci, soluția inegalității este intervalul:

Trecând la substituția inversă, obținem:

Datorită pozitivității funcției exponențiale, inegalitatea din stânga este satisfăcută automat. Folosind proprietatea binecunoscută a logaritmului, trecem la inegalitatea echivalentă:

Deoarece baza gradului este un număr mai mare decât unu, echivalentul (prin teorema 2) este trecerea la următoarea inegalitate:

Deci, în sfârșit, obținem răspuns:

Exemplul 8. Rezolvați inegalitatea:

Soluţie: Folosind proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor, rescriem inegalitatea sub forma:

Să introducem o nouă variabilă:

Ținând cont de această substituție, inegalitatea ia forma:

Înmulțind numărătorul și numitorul fracției cu 7, obținem următoarea inegalitate echivalentă:

Deci, următoarele valori ale variabilei satisfac inegalitatea t:

Apoi, trecând la substituția inversă, obținem:

Deoarece baza gradului aici este mai mare decât unu, trecerea la inegalitate va fi echivalentă (prin teorema 2):

În sfârșit, obținem răspuns:

Exemplul 9. Rezolvați inegalitatea:

Soluţie:

Împărțim ambele părți ale inegalității prin expresia:

Este întotdeauna mai mare decât zero (datorită pozitivității funcției exponențiale), deci nu este nevoie să schimbați semnul de inegalitate. Primim:

t situat în intervalul:

Trecând la substituția inversă, constatăm că inegalitatea inițială se împarte în două cazuri:

Prima inegalitate nu are soluții datorită pozitivității funcției exponențiale. Să o rezolvăm pe a doua:

Exemplul 10. Rezolvați inegalitatea:

Soluţie:

Ramuri de parabolă y = 2x+2-x 2 sunt îndreptate în jos, de aceea este limitată de sus de valoarea pe care o atinge la vârful său:

Ramuri de parabolă y = x 2 -2x+2 din indicator sunt îndreptați în sus, ceea ce înseamnă că este limitat de jos de valoarea pe care o atinge la vârful său:

În același timp, funcția se dovedește a fi mărginită de jos y = 3 x 2 -2x+2, care se află în partea dreaptă a ecuației. Ea atinge cea mai mică valoare în același punct cu parabola din exponent, iar această valoare este 3 1 = 3. Deci, inegalitatea inițială poate fi adevărată numai dacă funcția din stânga și funcția din dreapta iau valoarea , egal cu 3 (intersecția intervalelor de valori ale acestor funcții este doar acest număr). Această condiție este îndeplinită într-un singur punct x = 1.

Răspuns: x= 1.

Pentru a învăța să decidă ecuații exponențialeși inegalități este necesar să ne antrenăm constant în rezolvarea lor. Diverse lucruri vă pot ajuta în această sarcină dificilă. manuale metodologice, cărți de probleme la matematică elementară, culegeri de probleme competitive, ore de matematică la școală, precum și lecții individuale cu un tutore profesionist. Vă doresc din suflet succes în pregătirea dumneavoastră și rezultate excelente la examen.

Serghei Valerievici

P.S. Dragi invitati! Vă rugăm să nu scrieți solicitări pentru a vă rezolva ecuațiile în comentarii. Din păcate, nu am absolut timp pentru asta. Astfel de mesaje vor fi șterse. Vă rugăm să citiți articolul. Poate că în ea veți găsi răspunsuri la întrebări care nu v-au permis să vă rezolvați singur sarcina.