Este posibil să adăugați rădăcini diferite? Reguli pentru scăderea rădăcinilor

Semne de sarcină după implantarea embrionului

Atenţie!
Există suplimentare
materiale în secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte. »
Și pentru cei care „foarte mult. ")

În lecția anterioară ne-am dat seama ce este o rădăcină pătrată. Este timpul să ne dăm seama care dintre ele există formule pentru rădăcini ce sunt proprietățile rădăcinilor, și ce se poate face cu toate acestea.

Formulele rădăcinilor, proprietățile rădăcinilor și regulile de lucru cu rădăcinile- acesta este în esență același lucru. Formule pentru rădăcini pătrate surprinzator de putin. Ceea ce cu siguranță mă face fericit! Sau, mai degrabă, puteți scrie o mulțime de formule diferite, dar pentru o muncă practică și sigură cu rădăcini, doar trei sunt suficiente. Orice altceva decurge din acești trei. Deși mulți oameni se încurcă în cele trei formule de rădăcină, da.

Să începem cu cel mai simplu. Iată-l:

Permiteți-mi să vă reamintesc (din lecția anterioară): a și b sunt numere nenegative! Altfel formula nu are sens.

Acest proprietatea rădăcinilor După cum puteți vedea, este simplu, scurt și inofensiv. Dar există atât de multe lucruri grozave pe care le poți face cu această formulă de rădăcină! Să ne uităm la exemple toate aceste lucruri utile.

Lucru util primul. Această formulă ne permite înmulțiți rădăcinile.

Cum să înmulțim rădăcinile?

Da, foarte simplu. Direct la formula. De exemplu:

S-ar părea că l-au înmulțit, deci ce? Există multă bucurie?! Sunt de acord, puțin. Cum îți place asta exemplu?

Rădăcinile nu sunt extrase tocmai din factori. Iar rezultatul este excelent! E mai bine, nu? Pentru orice eventualitate, permiteți-mi să vă spun că pot exista oricât de mulți multiplicatori doriți. Formula de înmulțire a rădăcinilor încă funcționează. De exemplu:

Deci, cu înmulțirea totul este clar, de ce este necesar acest lucru? proprietatea rădăcinilor- de asemenea de înțeles.

Al doilea lucru este util. Introducerea unui număr sub semnul rădăcină.

Cum se introduce un număr sub rădăcină?

Să presupunem că avem această expresie:

Este posibil să ascundeți deuce în interiorul rădăcinii? Uşor! Dacă faci o rădăcină din doi, formula de înmulțire a rădăcinilor va funcționa. Cum poți face o rădăcină din două? Da, nicio întrebare! Două este rădăcină pătrată de patru!

Apropo, o rădăcină poate fi făcută din orice număr nenegativ! Aceasta va fi rădăcina pătrată a pătratului acestui număr. 3 este rădăcina lui 9. 8 este rădăcina lui 64. 11 este rădăcina lui 121. Ei bine, și așa mai departe.

Desigur, nu este nevoie să descrieți atât de detaliat. Ei bine, pentru început. Este suficient să ne dăm seama că orice număr nenegativ înmulțit cu rădăcină poate fi adăugat sub rădăcină. Dar - nu uita! - sub rădăcină acest număr va deveni pătrat te. Această acțiune - introducerea unui număr sub rădăcină - poate fi numită și înmulțirea numărului cu rădăcină. În termeni generali putem scrie:

Procedura este simplă, după cum puteți vedea. De ce este nevoie?

Ca orice transformare, această procedură ne extinde capacitățile. Oportunități de a transforma o expresie crudă și incomodă într-una moale și pufoasă). Iată unul simplu pentru tine exemplu:

După cum puteți vedea, proprietatea rădăcinilor, care vă permite să introduceți un multiplicator sub semnul rădăcinii, este destul de potrivit pentru simplificare.

În plus, adăugarea unui factor la rădăcină facilitează compararea valorilor diferitelor rădăcini. Fără calcule sau calculator! Al treilea lucru util.

Cum se compară rădăcinile?

Această abilitate este foarte importantă în sarcini serioase, atunci când dezvăluiți module și alte lucruri interesante.

Comparați aceste expresii. Care este mai mare? Fara calculator! Fiecare cu un calculator. uh-uh. Pe scurt, toată lumea o poate face!)

Nu poți spune asta imediat. Ce se întâmplă dacă introduceți numere sub semnul rădăcină?

Să ne amintim (ce se întâmplă dacă nu știai?): dacă numărul de sub semnul rădăcinii este mai mare, atunci rădăcina în sine este mai mare! De aici răspunsul imediat corect, fără calcule și calcule complexe:

Grozav, nu? Dar asta nu este tot! Amintiți-vă că toate formulele funcționează atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga. Până acum am folosit formula pentru înmulțirea rădăcinilor de la stânga la dreapta. Să rulăm această proprietate a rădăcinilor în sens invers, de la dreapta la stânga. Ca aceasta:

Și care este diferența? Dă ceva asta? Cu siguranţă! Acum vei vedea singur.

Să presupunem că trebuie să extragem (fără un calculator!) rădăcina pătrată a numărului 6561. Unii oameni în această etapă vor cădea într-o luptă inegală cu sarcina. Dar suntem perseverenți, nu renunțăm! Al patrulea lucru util.

Cum să extragi rădăcini dintr-un număr mare?

Să ne amintim formula pentru extragerea rădăcinilor dintr-un produs. Cel pe care l-am scris chiar mai sus. Dar unde este munca noastră!? Avem un număr mare 6561 și atât. Da, munca nu este aici. Dar dacă avem nevoie, o vom face hai să o facem! Să factorizez acest număr. Avem dreptul.

În primul rând, să ne dăm seama cu ce exact acest număr este divizibil? Ce, nu știi!? Ai uitat semnele de divizibilitate!? Degeaba. Accesați Secțiunea Specială 555, subiectul „Fracțiuni”, acestea sunt acolo. Acest număr este divizibil cu 3 și 9. Deoarece suma numerelor (6+5+6+1=18) se împarte la aceste numere. Acesta este unul dintre semnele divizibilității. Nu trebuie să împărțim la trei (acum veți înțelege de ce), dar vom împărți la 9. Cel puțin într-un colț. Obținem 729. Deci am găsit doi factori! Primul este nouă (am ales-o noi înșine), iar al doilea este 729 (așa a ieșit). Deja poți scrie:

Înțelegi ideea? Vom face același lucru cu numărul 729. De asemenea, este divizibil cu 3 și 9. Nu împărțim din nou cu 3, împărțim cu 9. Obținem 81. Și știm acest număr! Scriem:

Totul a ieșit ușor și elegant! Rădăcina trebuia extrasă bucată cu bucată, dar ei bine. Poți face asta cu oricine numere mari. Înmulțiți-le și mergeți înainte!

Apropo, de ce nu ai trebuit să împărți la 3? Da, pentru că rădăcina lui trei nu poate fi extrasă exact! Este logic să o luați în considerare în astfel de factori încât rădăcina să poată fi extrasă bine din cel puțin unul. Acestea sunt 4, 9, 16 bine și așa mai departe. Împărțiți numărul dvs. uriaș la aceste numere unul câte unul și veți avea noroc!

Dar nu neapărat. Poate nu ai noroc. Să presupunem că numărul 432, atunci când este factorizat și utilizând formula rădăcină pentru produs, va da următorul rezultat:

Oh bine. Oricum, am simplificat expresia. La matematică, se obișnuiește să lași cel mai mult număr mic a posibilului. În procesul de rezolvare, totul depinde de exemplu (poate că totul poate fi scurtat fără simplificare), dar în răspuns trebuie să dați un rezultat care nu poate fi simplificat în continuare.

Apropo, știți ce am făcut cu rădăcina lui 432?

Noi a scos factorii de sub semnul rădăcinii ! Așa se numește această operațiune. În caz contrar, vei primi o sarcină - „ eliminați factorul de sub semnul rădăcinii„Dar bărbații nici măcar nu știu.) Iată o altă aplicație pentru tine proprietățile rădăcinilor. Lucru util al cincilea.

Cum să eliminați multiplicatorul de sub rădăcină?

Uşor. Factorizați expresia radicală și extrageți rădăcinile care sunt extrase. Să ne uităm:

Nimic supranatural. Este important să alegeți multiplicatorii potriviți. Aici am extins 72 ca 36·2. Și totul a ieșit bine. Sau l-ar fi putut extinde altfel: 72 = 6·12. Si ce!? Rădăcina nu poate fi extrasă nici din 6, nici din 12. Ce să fac?!

E bine. Fie căutați alte opțiuni de descompunere, fie continuați să descompuneți totul până când se oprește! Ca aceasta:

După cum puteți vedea, totul a funcționat. Acesta, apropo, nu este cel mai rapid, ci cel mai fiabil mod. Împărțiți numărul în cei mai mici factori, apoi adunați-i pe aceiași în grămezi. Metoda este, de asemenea, utilizată cu succes la înmulțirea rădăcinilor incomode. De exemplu, trebuie să calculați:

Înmulțiți totul - obțineți un număr nebun! Și atunci cum să extragi rădăcina din ea?! Luați în considerare din nou? Nu, nu avem nevoie de muncă suplimentară. Îl includem imediat în factori și îi colectăm pe cei identici în grupuri:

Asta este. Desigur, nu este necesar să-l extinzi până la capăt. Totul este determinat de abilitățile tale personale. Am adus exemplul în punctul în care totul este clar pentru tine Asta înseamnă că deja putem număra. Principalul lucru este să nu faci greșeli. Nu om pentru matematică, ci matematică pentru om!)

Să aplicăm cunoștințele în practică? Să începem cu ceva simplu:

Regula pentru adăugarea rădăcinilor pătrate

Proprietățile rădăcinilor pătrate

Până acum am efectuat cinci operații aritmetice pe numere: adunarea, scăderea, multiplicare, împărțirea și exponențiarea, iar în calcule au fost utilizate în mod activ diverse proprietăți ale acestor operații, de exemplu a + b = b + a, a n -b n = (ab) n etc.

Acest capitol introduce o nouă operație - luarea rădăcinii pătrate a unui număr nenegativ. Pentru a-l folosi cu succes, trebuie să vă familiarizați cu proprietățile acestei operațiuni, pe care o vom face în această secțiune.

Dovada. Să introducem următoarea notație:
Trebuie să dovedim asta pentru nu numere negative x, y, z egalitatea x = yz este valabilă.

Deci, x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Atunci x 2 = y 2 z 2, adică x 2 = (yz) 2.

Dacă pătrate două numere nenegative sunt egale, atunci numerele în sine sunt egale, ceea ce înseamnă că din egalitatea x 2 = (yz) 2 rezultă că x = yz, și asta era ceea ce trebuia demonstrat.

Iată un scurt rezumat al demonstrației teoremei:

Nota 1. Teorema rămâne valabilă pentru cazul în care expresia radicală este produsul a mai mult de doi factori nenegativi.

Nota 2. Teorema 1 poate fi scris folosind construcția „dacă”. , apoi” (cum se obișnuiește pentru teoremele din matematică). Să dăm formularea corespunzătoare: dacă a și b sunt numere nenegative, atunci egalitatea este adevărată .

Exact așa vom formula următoarea teoremă.

(O formulare scurtă care este mai convenabilă de utilizat în practică: rădăcina unei fracții este egală cu fracția rădăcinilor sau rădăcina coeficientului este egală cu coeficientul rădăcinilor.)

De data aceasta vom oferi doar un scurt rezumat al demonstrației, iar tu încercați să faceți comentarii adecvate, similare cu cele care au format esența demonstrației teoremei 1.

Exemplul 1. Calculați .
Soluţie. Folosind prima proprietate rădăcini pătrate(Teorema 1), obținem

Nota 3. Desigur, acest exemplu poate fi rezolvat diferit, mai ales dacă aveți la îndemână un microcalculator: înmulțiți numerele 36, 64, 9 și apoi luați rădăcina pătrată a produsului rezultat. Cu toate acestea, veți fi de acord că soluția propusă mai sus arată mai culturală.

Nota 4. În prima metodă, am efectuat calcule „direct”. A doua modalitate este mai elegantă:
am aplicat formula a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) și a folosit proprietatea rădăcinilor pătrate.

Nota 5. Unele „capete fierbinți” oferă uneori această „soluție” pentru exemplul 3:

Acest lucru, desigur, nu este adevărat: vedeți - rezultatul nu este același ca în exemplul 3. Faptul este că nu există nicio proprietate , deoarece nu există proprietăți Există doar proprietăți legate de înmulțirea și împărțirea rădăcinilor pătrate. Fii atent și atent, nu accepta iluzii.

Exemplul 4. Calculați: a)
Soluţie. Orice formulă în algebră este folosită nu numai „de la dreapta la stânga”, ci și „de la stânga la dreapta”. Astfel, prima proprietate a rădăcinilor pătrate înseamnă că, dacă este necesar, poate fi reprezentată sub forma , și invers, care poate fi înlocuită cu expresia Același lucru este valabil și pentru a doua proprietate a rădăcinilor pătrate. Ținând cont de acest lucru, să rezolvăm exemplul propus.

Pentru a încheia această secțiune, să remarcăm încă o proprietate destul de simplă și în același timp importantă:
dacă a > 0 și n - număr natural , Asta



Exemplul 5. Calcula fără a folosi un tabel de pătrate de numere și un microcalculator.

Soluţie. Să factorăm numărul radical în factori primi:



Nota 6. Acest exemplu ar putea fi rezolvat în același mod ca exemplul similar din § 15. Nu este greu de ghicit că răspunsul va fi „80 cu coadă”, deoarece 80 2 2 . Să găsim „coada”, adică ultima cifră a numărului dorit. Până acum știm că, dacă se ia rădăcina, atunci răspunsul poate fi 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 sau 89. Trebuie doar să verificăm două numere: 84 și 86, deoarece doar ele, la pătrat, va da ca rezultat patru cifre un număr care se termină cu 6, adică același număr care se termină cu numărul 7056. Avem 84 2 = 7056 - asta ne trebuie. Mijloace,

Mordkovich A. G., Algebră. Clasa a VIII-a: Manual. pentru învăţământul general instituţii - ed. a 3-a, revizuită. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 p.: ill.

Cărți, manuale de matematică descărcate, note pentru a ajuta profesorul și elevii, studiază online

Dacă aveți corecturi sau sugestii pentru această lecție, scrie-ne.

Dacă doriți să vedeți alte ajustări și sugestii pentru lecții, uitați-vă aici - Forum educațional.

Cum să adăugați rădăcini pătrate

Rădăcina pătrată a unui număr X număr numit O, care în procesul de înmulțire de la sine ( A*A) poate da un număr X.
Aceste. A * A = A 2 = X, Și √X = A.

Deasupra rădăcinilor pătrate ( √x), ca și alte numere, puteți efectua operații aritmetice precum scăderea și adunarea. Pentru a scădea și a adăuga rădăcini, acestea trebuie conectate folosind semne corespunzătoare acestor acțiuni (de exemplu √x — √y ).
Și apoi aduceți rădăcinile la forma lor cea mai simplă - dacă există altele similare între ele, este necesar să faceți o reducere. Constă în luarea coeficienților termenilor similari cu semnele termenilor corespunzători, apoi punerea lor între paranteze și deducerea rădăcinii comune în afara parantezelor factorului. Coeficientul pe care l-am obținut este simplificat conform regulilor uzuale.

Pasul 1: Extragerea rădăcinilor pătrate

În primul rând, pentru a adăuga rădăcini pătrate, mai întâi trebuie să extrageți aceste rădăcini. Acest lucru se poate face dacă numerele de sub semnul rădăcinii sunt pătrate perfecte. De exemplu, luați expresia dată √4 + √9 . Primul număr 4 este pătratul numărului 2 . Al doilea număr 9 este pătratul numărului 3 . Astfel, putem obține următoarea egalitate: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Gata, exemplul este rezolvat. Dar nu este întotdeauna atât de simplu.

Pasul 2. Extragerea multiplicatorului numărului de sub rădăcină

Dacă pătrate pline nu sub semnul rădăcinii, puteți încerca să eliminați multiplicatorul numărului de sub semnul rădăcinii. De exemplu, să luăm expresia √24 + √54 .

Factorizați numerele:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Printre 24 avem un multiplicator 4 , poate fi scos de sub semnul rădăcinii pătrate. Printre 54 avem un multiplicator 9 .

Obținem egalitate:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Luând în considerare acest exemplu, obținem eliminarea multiplicatorului de sub semnul rădăcinii, simplificând astfel expresia dată.

Pasul 3: Reducerea Numitorului

Luați în considerare următoarea situație: suma a două rădăcini pătrate este numitorul fracției, de exemplu, A/(√a + √b).
Acum ne confruntăm cu sarcina de a „scăpa de iraționalitatea din numitor”.
Să profităm în felul următor: înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu expresia √a - √b.

Acum obținem formula de înmulțire prescurtată la numitor:
(√a + √b) * (√a – √b) = a – b.

În mod similar, dacă numitorul are o diferență de rădăcină: √a - √b, numărătorul și numitorul fracției se înmulțesc cu expresia √a + √b.

Să luăm fracția ca exemplu:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Exemplu de reducere a numitorului complex

Acum să luăm în considerare suficient exemplu complex scăpând de iraționalitatea în numitor.

De exemplu, să luăm o fracție: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Trebuie să luați numărătorul și numitorul și să înmulțiți cu expresia √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Pasul 4. Calculați valoarea aproximativă pe calculator

Dacă aveți nevoie doar de o valoare aproximativă, aceasta se poate face pe un calculator calculând valoarea rădăcinilor pătrate. Valoarea se calculează separat pentru fiecare număr și se notează cu precizia necesară, care este determinată de numărul de zecimale. În continuare, sunt efectuate toate operațiunile necesare, ca în cazul numerelor obișnuite.

Exemplu de calcul al unei valori aproximative

Este necesar să se calculeze valoarea aproximativă a acestei expresii √7 + √5 .

Ca rezultat obținem:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Vă rugăm să rețineți: în niciun caz nu trebuie să adăugați rădăcini pătrate ca numere prime, acest lucru este complet inacceptabil. Adică, dacă adunăm rădăcina pătrată a lui cinci și rădăcina pătrată a lui trei, nu putem obține rădăcina pătrată a lui opt.

Sfat util: dacă decideți să factorizați un număr, pentru a deriva pătratul de sub semnul rădăcinii, trebuie să faceți verificare inversă, adică înmulțiți toți factorii care au rezultat din calcule, iar rezultatul final al acestui calcul matematic ar trebui să fie numărul care ne-a fost dat inițial.

Operația cu rădăcini: adunare și scădere

Extragerea rădăcinii cadranului unui număr nu este singura operație care poate fi efectuată cu acest fenomen matematic. La fel ca numerele obișnuite, rădăcinile pătrate adună și scad.

Reguli pentru adăugarea și scăderea rădăcinilor pătrate

Operații precum adunarea și scăderea rădăcinilor pătrate sunt posibile numai dacă expresia radicalului este aceeași.

Puteți adăuga sau scădea expresii 2 3 și 6 3, dar nu 5 6 Şi 9 4. Dacă este posibil să simplificați expresia și să o reduceți la rădăcini cu același radical, atunci simplificați și apoi adăugați sau scădeți.

Acțiuni cu rădăcini: baze

6 50 — 2 8 + 5 12

  1. Simplificați expresia radicală. Pentru a face acest lucru, este necesar să descompuneți expresia radicală în 2 factori, dintre care unul este un număr pătrat (numărul din care este extrasă întreaga rădăcină pătrată, de exemplu, 25 sau 9).
  2. Apoi trebuie să luați rădăcina numărului pătratși scrieți valoarea rezultată înainte de semnul rădăcină. Vă rugăm să rețineți că al doilea factor este introdus sub semnul rădăcinii.
  3. După procesul de simplificare, este necesar să se sublinieze rădăcinile cu aceleași expresii radicale - doar ele pot fi adăugate și scăzute.
  4. Pentru rădăcinile cu aceleași expresii radicale, este necesar să se adauge sau să scadă factorii care apar înaintea semnului rădăcinii. Expresia radicală rămâne neschimbată. Nu puteți adăuga sau scădea numere radicale!

Dacă aveți un exemplu cu un număr mare de expresii radicale identice, atunci subliniați astfel de expresii cu linii simple, duble și triple pentru a facilita procesul de calcul.

Să încercăm să rezolvăm acest exemplu:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. Mai întâi trebuie să descompuneți 50 în 2 factori 25 și 2, apoi luați rădăcina lui 25, care este egală cu 5, și scoateți 5 de sub rădăcină. După aceasta, trebuie să înmulțiți 5 cu 6 (factorul de la rădăcină) și să obțineți 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. Mai întâi, trebuie să descompuneți 8 în 2 factori: 4 și 2. Apoi, din 4, extrageți rădăcina, care este egală cu 2, și îndepărtați 2 de sub rădăcină. După aceasta, trebuie să înmulțiți 2 cu 2 (multiplicatorul de la rădăcină) și să obțineți 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. Mai întâi trebuie să descompuneți 12 în 2 factori: 4 și 3. Apoi extrageți rădăcina lui 4, care este egală cu 2, și îndepărtați-o de sub rădăcină. După aceasta, trebuie să înmulțiți 2 cu 5 (factorul de la rădăcină) și să obțineți 10 3.

Rezultat simplificare: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Ca rezultat, am văzut câte expresii radicale identice sunt conținute în acest exemplu. Acum să exersăm cu alte exemple.

  • Să simplificăm (45). Factorul 45: (45) = (9 × 5) ;
  • Scoatem 3 de sub rădăcină (9 = 3): 45 = 3 5;
  • Adăugați factorii de la rădăcini: 3 5 + 4 5 = 7 5.
  • Să simplificăm 6 40. Factorim 40: 6 40 = 6 (4 × 10) ;
  • Scoatem 2 de sub rădăcină (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
  • Înmulțim factorii care apar în fața rădăcinii: 12 10 ;
  • Scriem expresia într-o formă simplificată: 12 10 - 3 10 + 5 ;
  • Deoarece primii doi termeni au aceleași numere radicale, le putem scădea: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

    • După cum putem vedea, nu este posibil să simplificăm numerele radicale, așa că căutăm termeni cu aceleași numere radicale în exemplu, efectuăm operații matematice (adunare, scădere etc.) și scriem rezultatul:

    (9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

    Sfat:

  • Înainte de a adăuga sau scădea, este necesar să simplificați (dacă este posibil) expresiile radicale.
  • Adăugarea și scăderea rădăcinilor cu expresii radicale diferite este strict interzisă.
  • Nu trebuie să adăugați sau să scădeți un număr întreg sau rădăcină: 3 + (2 x) 1 / 2 .
  • Când efectuați operații cu fracții, trebuie să găsiți un număr care este divizibil cu fiecare numitor, apoi aduceți fracțiile la un numitor comun, apoi adăugați numărătorii și lăsați numitorii neschimbați.

Proprietățile rădăcinii pătrate aritmetice. Puterea rădăcinii pătrate aritmetice

Conversia rădăcinilor pătrate aritmetice. Inversarea rădăcinilor pătrate aritmetice

A extrage rădăcina pătrată a unui polinom, trebuie să calculați polinomul și să extrageți rădăcina din numărul rezultat.

Atenţie! Nu puteți extrage rădăcina din fiecare termen (minuțiu și scăzut) separat.

Shchob vityagti rădăcina pătrată a unui polinom, trebuie să calculați termenul bogat și să luați rădăcina din numărul eliminat.

Respect! Nu se poate extrage rădăcina din anexul pielii (schimbat sau îndepărtat) okremo.

A lua rădăcina pătrată a unui produs (cot), puteți calcula rădăcina pătrată a fiecărui factor (dividend și divizor) și luați valorile rezultate ca produs (cot).

Pentru a scădea rădăcina pătrată din partea suplimentară (părți), puteți calcula rădăcina pătrată a multiplicatorului de piele (împărțit și împărțit) și să luați valoarea scăzută ca parte suplimentară (parte).

Pentru a extrage rădăcina pătrată a unei fracții, trebuie să extrageți separat rădăcina pătrată a numărătorului și numitorului și lăsați valorile rezultate ca o fracție sau să le calculați ca un coeficient (dacă acest lucru este posibil prin condiție).

Pentru a scădea rădăcina pătrată din fracție, trebuie să extrageți rădăcina pătrată din numărul și semnul semnului și să eliminați valoarea din fracție sau să o calculați ca parte (cum este posibil pentru creier).

Puteți scoate un multiplicator de sub semnul rădăcină și puteți pune un multiplicator sub semnul rădăcină. Când un factor este îndepărtat, rădăcina este extrasă din el și, atunci când este adăugată, este ridicată la puterea corespunzătoare.

Puteți introduce un multiplicator în spatele semnului rădăcină și puteți introduce un multiplicator sub semnul rădăcină. Când se adaugă un multiplicator, rădăcina este extrasă din acesta, iar când este adăugată, rădăcina este extrasă din acesta.

Exemple. Aplică-l

Pentru a converti suma (diferența) rădăcinilor pătrate, trebuie să reduceți expresiile radicale la aceeași bază a gradului, dacă este posibil, extrageți rădăcinile din puteri și scrieți-le în fața semnelor rădăcinilor, iar restul se pot adăuga rădăcini pătrate cu aceleași expresii radicale, la care coeficienții din fața semnului se adaugă rădăcină și se adaugă aceeași rădăcină pătrată.

Pentru a transforma suma (rezultatul) rădăcinilor pătrate, este necesar să aducem expresiile radicale la un singur pas de bază, ceea ce este posibil prin scăderea rădăcinilor treptelor și scriind-le în fața semnelor rădăcinilor, iar rădăcină pătrată cu aceleași Expresiile rădăcină pot fi folosite pentru pliere, pentru care se adaugă coeficienți înainte de semnul rădăcinii Și se adaugă aceeași rădăcină pătrată.

Să reducem toate expresiile radicale la baza 2.

De la un grad par, rădăcina este îndepărtată complet de la un grad impar, rădăcina bazei în puterea lui 1 este lăsată sub semnul rădăcinii.

Prezentăm numere întregi similare și adăugăm coeficienții cu aceleași rădăcini. Să scriem binomul ca produs al unui număr și al unui binom sumă.

Să aducem toate rădăcinile la baza 2.

Dintr-o treaptă pereche, rădăcina este trasă spre exterior dintr-o treaptă nepereche, rădăcina bazei în pasul 1 este îndepărtată sub semnul rădăcinii.

La aceleași rădăcini se adaugă numere și coeficienți similari. Să scriem binomul ca adunare a numărului și a sumei binomului.

Reducem expresiile radicale la cea mai mică bază sau produsul puterilor cu cele mai mici baze. Din puterile egale ale expresiilor radicale extragem rădăcina resturile sub forma bazei gradului cu exponentul 1 sau produsul unor astfel de baze se lasă sub semnul rădăcinii. Prezentăm termeni similari (adăugăm coeficienții rădăcinilor identice).

Efectuăm înrădăcinarea expresiei la cea mai mică bază sau crearea de pași de la cea mai mică bază. Rădăcina este extrasă din cele două trepte ale soiurilor de subînrădăcinare, excesul sub forma bazei treptei cu indicatorul 1 sau adăugarea unor astfel de baze se îndepărtează sub semnul rădăcinii. Introducem membri similari (se aduna coeficientul noilor radacini).

Să înlocuim împărțirea fracțiilor cu înmulțirea (cu înlocuirea celei de-a doua fracții cu reciproca ei). Să înmulțim separat numărătorii și numitorii fracțiilor. Sub fiecare semn de rădăcină evidențiem gradele. Să reducem aceiași factori în numărător și numitor. Să luăm rădăcinile puterilor egale.

Înlocuiți împărțirea fracțiilor cu înmulțirea (prin înlocuirea unei alte fracții cu o fracție). Să înmulțim împreună numerele și semnificanții fracțiilor. Pașii sunt vizibili sub semnul pielii rădăcinii. Rapid, însă, există noi multiplicatori în cartea numerelor și în cartea semnelor. Rădăcina Vinesemo de la pașii băieților.

Pentru a compara două rădăcini pătrate, expresiile lor radicale trebuie reduse la puteri cu aceeași bază, atunci cu cât se arată mai multe puteri ale expresiei radicale, cu atât valoarea rădăcinii pătrate este mai mare.

În acest exemplu, este imposibil să se reducă expresiile radicale la o singură bază, deoarece în prima baza este 3, iar în a doua - 3 și 7.

A doua modalitate de comparație este să introduceți coeficientul rădăcinii în expresia radicală și să comparați valorile numerice ale expresiilor radicale. Pentru o rădăcină pătrată, cu cât expresia radicalului este mai mare, cu atât valoarea rădăcinii este mai mare.

Pentru a egaliza două rădăcini pătrate, expresiile lor rădăcină trebuie aduse la un nivel cu aceeași bază, deci cu cât gradul de exprimare a rădăcinii este mai mare, cu atât valoarea rădăcinii pătrate este mai mare.

Într-un caz, nu este posibil să reduceți rădăcina expresiei la o bază, deoarece în primul baza este 3, iar în celălalt - 3 și 7.

O altă modalitate de a egaliza este introducerea coeficientului rădăcină în expresia rădăcină și egalizarea valorilor numerice ale expresiilor rădăcină. Într-o rădăcină pătrată, cu cât vârful sub-rădăcinii este mai mare, cu atât valoarea rădăcinii este mai mare.

Folosind legea distributivă a înmulțirii și regula înmulțirii rădăcinilor cu aceiași exponenți (în cazul nostru, rădăcini pătrate), am obținut suma a două rădăcini pătrate cu produsul sub semnul rădăcinii. Să descompunăm 91 în factori primi și să scoatem rădăcina dintre paranteze cu factori radicali comuni (13*5).

Am obținut produsul dintre o rădăcină și un binom, unul dintre monomiile căruia este un întreg (1).

Legea separată a înmulțirii a lui Vikorist și regula înmulțirii rădăcinilor cu aceiași indicatori (în cazul nostru - rădăcini pătrate), au scăzut suma a două rădăcini pătrate cu o adunare sub semnul rădăcinii. Așezăm 91 pe multiplicatori simpli și purtăm rădăcina de brațe de la multiplicatorii sub rădăcină (13*5).

Am luat adunarea unei rădăcini și a unui binom, în care unul dintre monomii are un număr întreg (1).

fundul 9:

În expresiile radicale, selectăm prin factori numerele din care poate fi extrasă întreaga rădăcină pătrată. Să extragem rădăcinile pătrate ale puterilor și să atribuim numerele coeficienților rădăcinilor pătrate.

Termenii acestui polinom au un factor comun √3, care poate fi scos din paranteze. Să prezentăm termeni similari.

În expresiile rădăcinilor, numerele sunt văzute ca multiplicatori, din care se poate scădea întreaga rădăcină pătrată. Luăm rădăcinile pătrate din trepte și punem numerele ca coeficienți ai rădăcinilor pătrate.

Termenii acestui polinom au un multiplicator multiplu √3, care poate fi purtat de brațe. Facem completări similare.

Produsul sumei și diferența a două baze identice (3 și √5) folosind formula de înmulțire prescurtată poate fi scris ca diferența pătratelor bazelor.

Rădăcina pătrată pătrată este întotdeauna egală cu expresia radicalului, așa că vom scăpa de radicalul (semnul rădăcinii) din expresie.

Adunarea sumei și diferența a două baze noi (3 și √5) folosind formula scurtă de înmulțire poate fi scrisă ca diferența pătratelor bazelor.

Rădăcina pătrată a pătratului este întotdeauna mai veche decât rădăcina virusului, așa că ne vom aminti radicalul (semnul rădăcinii) virusului.

Înapoi la școală. Adăugarea de rădăcini

În timpul nostru, cu computerele electronice moderne, calcularea rădăcinii unui număr nu pare a fi o sarcină dificilă. De exemplu, √2704=52, orice calculator va calcula acest lucru pentru tine. Din fericire, calculatorul este disponibil nu numai în Windows, ci și într-un telefon obișnuit, chiar și cel mai simplu. Adevărat, dacă brusc (cu un grad scăzut de probabilitate, al cărui calcul, apropo, include adăugarea rădăcinilor) te trezești fără fonduri disponibile, atunci, din păcate, va trebui să te bazezi doar pe creierul tău.

Antrenamentul minții nu eșuează niciodată. Mai ales pentru cei care nu lucrează cu numere atât de des, cu atât mai puțin cu rădăcini. Adăugarea și scăderea rădăcinilor este un antrenament bun pentru o minte plictisită. De asemenea, vă voi arăta cum să adăugați rădăcini pas cu pas. Exemple de expresii pot fi următoarele.

Ecuația de simplificare:

Aceasta este o expresie irațională. Pentru a o simplifica, trebuie să reduceți toate expresiile radicale la aspectul general. O facem pas cu pas:

Primul număr nu mai poate fi simplificat. Să trecem la al doilea termen.

3√48 factor 48: 48=2×24 sau 48=3×16. Rădăcina pătrată a lui 24 nu este un număr întreg, adică are un rest fracționar. Pentru că avem nevoie valoarea exacta, atunci rădăcinile aproximative nu sunt potrivite pentru noi. Rădăcina pătrată a lui 16 este 4, scoate-o de sub semnul rădăcinii. Se obține: 3×4×√3=12×√3

Următoarea noastră expresie este negativă, adică. scris cu semnul minus -4×√(27.) Factorim 27. Obținem 27=3×9. Nu folosim factori fracționali deoarece este mai dificil de calculat rădăcina pătrată a fracțiilor. Scoatem 9 de sub semn, adică. calculați rădăcina pătrată. Obținem următoarea expresie: -4×3×√3 = -12×√3

Următorul termen √128 calculează partea care poate fi scoasă de sub rădăcină. 128=64×2, unde √64=8. Dacă vă este mai ușor, vă puteți imagina această expresie astfel: √128=√(8^2×2)

Rescriem expresia cu termeni simplificați:

Acum adunăm numerele folosind aceeași expresie radicală. Nu puteți adăuga sau scădea expresii cu expresii radicale diferite. Adăugarea de rădăcini necesită respectarea acestei reguli.

Obținem următorul răspuns:

√2=1×√2 - Sper că faptul că în algebră se obișnuiește să se omite astfel de elemente să nu fie o noutate pentru tine.

Expresiile pot fi reprezentate nu numai prin rădăcina pătrată, ci și prin rădăcina cubică sau a n-a.

Adunarea și scăderea rădăcinilor cu exponenți diferiți, dar cu o expresie radicală echivalentă, are loc după cum urmează:

Dacă avem o expresie de forma √a+∛b+∜b, atunci putem simplifica această expresie după cum urmează:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Am redus doi termeni similari la un exponent comun de rădăcină. Aici a fost folosită proprietatea rădăcinilor, care spune: dacă numărul gradului expresiei radicalului și numărul exponentului rădăcinii sunt înmulțite cu același număr, atunci calculul acestuia va rămâne neschimbat.

Notă: exponenții se adună numai atunci când se înmulțesc.

Să luăm în considerare un exemplu când expresia conține fracții.

Vom decide în etape:

5√8=5*2√2 - scoatem partea extrasă de sub rădăcină.

Dacă corpul rădăcinii este reprezentat de o fracție, atunci de multe ori această fracție nu se va schimba dacă luați rădăcina pătrată a dividendului și a divizorului. Drept urmare, am primit egalitatea descrisă mai sus.

Iată răspunsul.

Principalul lucru de reținut este că o rădăcină cu exponent par nu poate fi extrasă din numere negative. Dacă expresia radicală de grad par este negativă, atunci expresia este de nerezolvat.

Adăugarea rădăcinilor este posibilă numai dacă expresiile radicale coincid, deoarece sunt termeni similari. Același lucru este valabil și pentru diferență.

Adăugarea rădăcinilor cu exponenți numerici diferiți se realizează prin reducerea ambilor termeni la un grad comun de rădăcină. Această lege funcționează în același mod ca și reducerea la un numitor comun atunci când se adună sau se scad fracții.

Dacă o expresie radicală conține un număr ridicat la o putere, atunci această expresie poate fi simplificată cu condiția să existe un numitor comun între exponentul rădăcinii și putere.

Rădăcina pătrată a unui produs și a unei fracții

Rădăcina pătrată a unui număr este un număr al cărui pătrat este egal cu a. De exemplu, numerele -5 și 5 sunt rădăcini pătrate ale numărului 25. Adică rădăcinile ecuației x^2=25 sunt rădăcini pătrate ale numărului 25. Acum trebuie să învățați cum să lucrați cu rădăcina pătrată. operațiune: studiați proprietățile sale de bază.

Rădăcina pătrată a produsului

√(a*b) =√a*√b

Rădăcina pătrată a produsului a două numere nenegative este egală cu produsul rădăcinilor pătrate ale acestor numere. De exemplu, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Este important de înțeles că această proprietate se aplică și în cazul în care expresia radicală este produsul lui trei, patru etc. factori nenegativi.

Uneori există o altă formulare a acestei proprietăți. Dacă a și b sunt numere nenegative, atunci următoarea egalitate este adevărată: √(a*b) =√a*√b. Nu există absolut nicio diferență între ele, puteți folosi una sau alta formulare (care este mai convenabil să vă amintiți).

Rădăcina pătrată a unei fracții

Dacă a>=0 și b>0, atunci următoarea egalitate este adevărată:

√(a/b) =√a/√b.

De exemplu, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Această proprietate are și o formulare diferită, care, după părerea mea, este mai convenabilă pentru memorare.
Rădăcina pătrată a câtului este egală cu câtul rădăcinilor.

Este de remarcat faptul că aceste formule funcționează atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga. Adică, dacă este necesar, putem reprezenta produsul rădăcinilor ca rădăcină a unui produs. Același lucru este valabil și pentru a doua proprietate.

După cum probabil ați observat, aceste proprietăți sunt foarte convenabile și aș dori să am aceleași proprietăți pentru adunare și scădere:

√(a+b) =√a+√b;

√(a-b) =√a-√b;

Dar, din păcate, astfel de proprietăți sunt pătrate nu au rădăcini, și de aceea este așa nu se poate face în calcule.

  • 13. Conducerea prin intersecțiile regulilor de circulație 2018 cu comentarii online 13.1. La virarea la dreapta sau la stânga, șoferul trebuie să cedeze trecerea pietonilor și bicicliștilor carosabil drumul pe care o întoarce. Această instrucțiune se aplică tuturor [...]
  • Întâlnirea părinților„Drepturile, îndatoririle și responsabilitățile părinților” Prezentare pentru lecție Descarcă prezentarea (536.6 kB) Atenție! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate […]
  • Capitala maternității regionale din regiunea Oryol Capitala maternității regionale (MK) din Oryol și regiunea Oryol a fost înființată în 2011. Acum reprezintă o măsură suplimentară de sprijin social pentru familiile numeroase sub forma unei […]
  • Valoarea unui beneficiu unic la înregistrare în întâlniri timpuriiîn 2018 Pagina pe care ați solicitat-o ​​nu a fost găsită. Este posibil să fi introdus o adresă greșită sau pagina a fost ștearsă. Pentru a naviga, utilizați [...]
  • Avocat cauze economice Infracțiuni în sfera economică– un concept destul de larg. Astfel de acte includ frauda, ​​antreprenoriatul ilegal, legalizarea numerar, obținut ilegal, bancar ilegal […]
  • Serviciul de presă al Băncii Centrale Federația Rusă(Banca Rusiei) Serviciul de presă 107016, Moscova, st. Neglinnaya, 12www.cbr.ru Cu privire la numirea unei administrații temporare, Departamentul de Relații Externe și Publice al Băncii Rusiei raportează că, în conformitate cu paragraful 2 […]
  • Caracteristici generaleŞi scurtă prezentare generală căi navigabile Clasificarea bazinelor de apă Clasificarea bazinelor de apă pentru navigarea navelor de agrement (mici) supravegheate de GIMS din Rusia se realizează în funcție de […]
  • Kucherena = avocatul lui Viktor Tsoi Și aceasta este exclusivă: scrisoarea de astăzi a lui Anatoly Kucherena. Continuând subiectul. Nimeni nu a publicat încă această scrisoare. Și este necesar, cred. Partea 1 pentru moment. Voi publica în curând partea a doua, semnată de celebrul avocat. De ce este acest lucru important? […]

În matematică, rădăcinile pot fi pătrate, cubice sau pot avea orice alt exponent (putere), care este scris în stânga deasupra semnului rădăcinii. O expresie sub semnul rădăcinii se numește expresie radicală. Adăugarea de rădăcini este ca și cum ați adăuga membre expresie algebrică, adică necesită determinarea rădăcinilor similare.

Pași

Partea 1 din 2: Identificarea rădăcinilor

Denumirea rădăcinilor. O expresie sub semnul rădăcină () înseamnă că este necesar să se extragă rădăcina de un anumit grad din această expresie.

  • Rădăcina este indicată printr-un semn.
  • Exponentul (gradul) rădăcinii este scris în stânga deasupra semnului rădăcinii. De exemplu, rădăcina cubă a lui 27 se scrie ca: (27)
  • Dacă indicele (gradul) rădăcinii lipsește, atunci exponentul este considerat egal cu 2, adică este o rădăcină pătrată (sau rădăcină de gradul doi).
  • Numărul scris înainte de semnul rădăcinii se numește multiplicator (adică acest număr este înmulțit cu rădăcina), de exemplu 5 (2)
  • Dacă nu există niciun factor în fața rădăcinii, atunci acesta este egal cu 1 (rețineți că orice număr înmulțit cu 1 este egal cu el însuși).
  • Dacă este prima dată când lucrați cu rădăcini, faceți notele adecvate despre multiplicator și exponent rădăcină pentru a evita confuzia și pentru a înțelege mai bine scopul acestora.

Amintiți-vă ce rădăcini pot fi pliate și care nu. La fel cum nu poți plia membri diferiți expresii precum 2a + 2b 4ab, nu puteți adăuga rădăcini diferite.

  • Nu puteți adăuga rădăcini cu expresii radicale diferite, de exemplu, (2) + (3) (5). Dar puteți adăuga numere sub aceeași rădăcină, de exemplu, (2 + 3) = (5) (rădăcina pătrată a lui 2 este aproximativ 1,414, rădăcina pătrată a lui 3 este aproximativ 1,732 și rădăcina pătrată a lui 5 este aproximativ 2,236 ).
  • Nu puteți adăuga rădăcini cu aceleași expresii radicale, ci exponenți diferiți, de exemplu, (64) + (64) (această sumă nu este egală cu (64), deoarece rădăcina pătrată a lui 64 este 8, rădăcina cubă a lui 64 este 4, 8 + 4 = 12, care este mult mai mare decât a cincea rădăcină a lui 64, care este aproximativ 2,297).
    • Partea 2 din 2: Simplificarea și adăugarea rădăcinilor

    Identificați și grupați rădăcini similare. Rădăcinile similare sunt rădăcini care au aceiași indicatori și aceleași expresii radicale. De exemplu, luați în considerare expresia:
    2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

    • Mai întâi, rescrieți expresia astfel încât rădăcinile cu același indice să fie localizate secvenţial.
      2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
    • Apoi rescrieți expresia astfel încât rădăcinile cu același exponent și cu aceeași expresie radicală să fie localizate secvenţial.
      2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

    Simplificați rădăcinile. Pentru a face acest lucru, descompuneți (acolo unde este posibil) expresiile radicale în doi factori, dintre care unul este scos de sub rădăcină. În acest caz, numărul eliminat și factorul rădăcină sunt înmulțite.

  • În exemplul de mai sus, factorizează numărul 50 în 2*25, iar numărul 32 în 2*16. Din 25 și 16 puteți lua rădăcinile pătrate (5 și respectiv 4) și eliminați 5 și 4 de sub rădăcină, înmulțindu-le cu factorii 2 și respectiv 1. Astfel, obțineți o expresie simplificată: 10 (2). + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)
  • Numărul 81 poate fi factorizat 3*27, iar din numărul 27 poți lua rădăcina cubă a lui 3. Acest număr 3 poate fi scos de sub rădăcină. Astfel, obțineți o expresie și mai simplificată: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

    • Adăugați factorii rădăcinilor similare.În exemplul nostru, există rădăcini pătrate similare de 2 (pot fi adăugate) și rădăcini pătrate similare de 3 (pot fi, de asemenea, adăugate). U rădăcină cub din 3 nu există astfel de rădăcini.

  • 10 (2) + 4 (2) = 14 (2).
  • 2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).
  • Expresie simplificată finală: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)
    • Nu există reguli general acceptate pentru ordinea în care rădăcinile sunt scrise într-o expresie. Prin urmare, puteți scrie rădăcinile în ordinea crescătoare a indicatorilor lor și în ordinea crescătoare a expresiilor radicale.

    Atentie, doar AZI!

    Totul interesant

    Numărul care se află sub semnul rădăcinii interferează adesea cu rezolvarea ecuației și este incomod de a lucra cu el. Chiar dacă este ridicată la o putere, fracționară sau nu poate fi reprezentată ca număr întreg la o anumită putere, puteți încerca să o derivați din...

    O rădăcină a unui număr x este un număr care, atunci când este ridicat la puterea rădăcinii, este egal cu x. Un multiplicator este numărul înmulțit. Adică, într-o expresie de forma x*ª-&radic-y trebuie să introduceți x sub rădăcină. Instrucțiuni 1 Determinați gradul...

    Dacă o expresie radicală conține un set de operații matematice cu variabile, atunci uneori, ca urmare a simplificării sale, este posibil să se obțină o valoare relativ simplă, din care o parte poate fi scoasă de sub rădăcină. Această simplificare poate fi utilă...

    Operațiile aritmetice cu rădăcini de diferite grade pot simplifica semnificativ calculele în fizică și tehnologie și le pot face mai precise. Când înmulțiți și împărțiți, este mai convenabil să nu extrageți rădăcina fiecărui factor sau dividend și divizor, dar mai întâi...

    Rădăcina pătrată a unui număr x este un număr a, care, înmulțit cu el însuși, dă numărul x: a * a = a^2 = x, x = a. Ca și în cazul oricăror numere, puteți efectua operațiile aritmetice de adunare și scădere cu rădăcini pătrate. Instrucţiuni...

    O rădăcină în matematică poate avea două semnificații: este o operație aritmetică și fiecare dintre soluțiile unei ecuații, algebrică, parametrică, diferențială sau oricare alta. Instrucțiuni 1 Rădăcina a n-a a lui a este un număr astfel încât...

    Atunci când se efectuează diverse operații aritmetice cu rădăcini, abilitatea de a transforma expresii radicale este adesea necesară. Pentru a simplifica calculele, poate fi necesar să mutați multiplicatorul în afara semnului radical sau să îl adăugați sub acesta. Această acțiune poate...

    O rădăcină este o pictogramă care denotă operația matematică de găsire a unui număr, a cărui creștere la puterea indicată în fața semnului rădăcină ar trebui să dea numărul indicat chiar sub acest semn. Adesea, pentru a rezolva probleme care implică...

    Semnul rădăcină în științele matematice se numește simbol pentru rădăcini. Numărul de sub semnul rădăcinii se numește expresie radicală. Dacă nu există exponent, rădăcina este o rădăcină pătrată, în caz contrar cifra indică...

    Rădăcina aritmetică gradul al n-lea din număr real a este un număr nenegativ x, gradul al n-lea care este egal cu numărul a. Aceste. (n) a = x, x^n = a. Sunt diverse moduri adunând o rădăcină aritmetică și un număr rațional...

    Rădăcina a n-a a unui număr real a este un număr b pentru care egalitatea b^n = a este valabilă. Există rădăcini ciudate pentru negativ și numere pozitive, iar rădăcinile gradelor par sunt doar pentru cele pozitive...

    Rădăcina pătrată a unui număr X număr numit O, care în procesul de înmulțire de la sine ( A*A) poate da un număr X.
    Aceste. A * A = A 2 = X, Și √X = A.

    Deasupra rădăcinilor pătrate ( √x), ca și alte numere, puteți efectua operații aritmetice precum scăderea și adunarea. Pentru a scădea și a adăuga rădăcini, acestea trebuie conectate folosind semne corespunzătoare acestor acțiuni (de exemplu √x - √y ).
    Și apoi aduceți rădăcinile la forma lor cea mai simplă - dacă există altele similare între ele, este necesar să faceți o reducere. Constă în luarea coeficienților termenilor similari cu semnele termenilor corespunzători, apoi punerea lor între paranteze și deducerea rădăcinii comune în afara parantezelor factorului. Coeficientul pe care l-am obținut este simplificat conform regulilor uzuale.

    Pasul 1: Extragerea rădăcinilor pătrate

    În primul rând, pentru a adăuga rădăcini pătrate, mai întâi trebuie să extrageți aceste rădăcini. Acest lucru se poate face dacă numerele de sub semnul rădăcinii sunt pătrate perfecte. De exemplu, luați expresia dată √4 + √9 . Primul număr 4 este pătratul numărului 2 . Al doilea număr 9 este pătratul numărului 3 . Astfel, putem obține următoarea egalitate: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
    Gata, exemplul este rezolvat. Dar nu este întotdeauna atât de simplu.

    Pasul 2. Extragerea multiplicatorului numărului de sub rădăcină

    Dacă nu există pătrate perfecte sub semnul rădăcinii, puteți încerca să eliminați multiplicatorul numărului de sub semnul rădăcinii. De exemplu, să luăm expresia √24 + √54 .

    Factorizați numerele:
    24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
    54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

    Printre 24 avem un multiplicator 4 , poate fi scos de sub semnul rădăcinii pătrate. Printre 54 avem un multiplicator 9 .

    Obținem egalitate:
    √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

    Luând în considerare acest exemplu, obținem eliminarea multiplicatorului de sub semnul rădăcinii, simplificând astfel expresia dată.

    Pasul 3: Reducerea Numitorului

    Luați în considerare următoarea situație: suma a două rădăcini pătrate este numitorul fracției, de exemplu, A/(√a + √b).
    Acum ne confruntăm cu sarcina de a „scăpa de iraționalitatea din numitor”.
    Să folosim următoarea metodă: înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu expresia √a - √b.

    Acum obținem formula de înmulțire prescurtată la numitor:
    (√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

    În mod similar, dacă numitorul are o diferență de rădăcină: √a - √b, numărătorul și numitorul fracției se înmulțesc cu expresia √a + √b.

    Să luăm fracția ca exemplu:
    4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

    Exemplu de reducere a numitorului complex

    Acum vom lua în considerare un exemplu destul de complex de a scăpa de iraționalitate în numitor.

    De exemplu, să luăm o fracție: 12 / (√2 + √3 + √5) .
    Trebuie să luați numărătorul și numitorul și să înmulțiți cu expresia √2 + √3 - √5 .

    Primim:

    12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

    Pasul 4. Calculați valoarea aproximativă pe calculator

    Dacă aveți nevoie doar de o valoare aproximativă, aceasta se poate face pe un calculator calculând valoarea rădăcinilor pătrate. Valoarea se calculează separat pentru fiecare număr și se notează cu precizia necesară, care este determinată de numărul de zecimale. În continuare, sunt efectuate toate operațiunile necesare, ca în cazul numerelor obișnuite.

    Exemplu de calcul al unei valori aproximative

    Este necesar să se calculeze valoarea aproximativă a acestei expresii √7 + √5 .

    Ca rezultat obținem:

    √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

    Vă rugăm să rețineți: în niciun caz nu trebuie să adăugați rădăcini pătrate ca numere prime, acest lucru este complet inacceptabil. Adică, dacă adunăm rădăcina pătrată a lui cinci și rădăcina pătrată a lui trei, nu putem obține rădăcina pătrată a lui opt.

    Sfat util: dacă decideți să factorizați un număr, pentru a deriva pătratul de sub semnul rădăcinii, trebuie să faceți o verificare inversă, adică să înmulțiți toți factorii care au rezultat din calcule și rezultatul final al acestuia. calculul matematic ar trebui să fie numărul care ne-a fost dat inițial.

    Rădăcina pătrată a unui număr x este un număr a, care, înmulțit cu el însuși, dă numărul x: a * a = a^2 = x, ?x = a. Ca și în cazul oricărui număr, puteți efectua operații aritmetice de adunare și scădere cu rădăcini pătrate.

    Instrucţiuni

    1. În primul rând, atunci când adăugați rădăcini pătrate, încercați să extrageți aceste rădăcini. Acest lucru va fi acceptabil dacă numerele de sub semnul rădăcinii sunt pătrate perfecte. Să presupunem că expresia dată este ?4 + ?9. Primul număr 4 este pătratul numărului 2. Al doilea număr 9 este pătratul numărului 3. Astfel, rezultă că: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

    2. Dacă nu există pătrate complete sub semnul rădăcinii, atunci încercați să mutați multiplicatorul numărului de sub semnul rădăcinii. Să spunem, să presupunem că este dată expresia?24 +?54. Factorizați numerele: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Numărul 24 are un factor de 4, cel care poate fi transferat de sub semnul rădăcinii pătrate. În numărul 54 există un factor de 9. Astfel, rezultă că: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) + ?(9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6. În acest exemplu, ca urmare a eliminării multiplicatorului de sub semnul rădăcinii, a fost posibilă simplificarea expresiei date.

    3. Fie suma a 2 rădăcini pătrate să fie numitorul unei fracții, de exemplu, A / (?a + ?b). Și lasă ca sarcina ta să fie „să scapi de iraționalitatea din numitor”. Apoi puteți utiliza următoarea metodă. Înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu expresia ?a – ?b. Astfel, numitorul va conține formula de înmulțire prescurtată: (?a + ?b) * (?a – ?b) = a – b. Prin analogie, dacă numitorul conține diferența dintre rădăcini: ?a – ?b, atunci numărătorul și numitorul fracției trebuie înmulțite cu expresia ?a + ?b. De exemplu, fie fracția 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 – ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 – ?5)) = 4 * (?3 – ?5) / (-2) = 2 * (?5 – ?3).

    4. Luați în considerare un exemplu mai complex de a scăpa de iraționalitate în numitor. Să fie dată fracția 12 / (?2 + ?3 + ?5). Trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu expresia?2 + ?3 – ?5:12 / (?2 + ?3 + ?5) = 12 * (?2 + ?3 – ?5) / ( (?2 + ?3 + ?5) * (?2 + ?3 – ?5)) = 12 * (?2 + ?3 – ?5) / (2 * ?6) = ?6 * (?2 + ?3 – ?5) = 2 * ?3 + 3 * ?2 – ?30.

    5. Și, în sfârșit, dacă aveți nevoie doar de o valoare aproximativă, puteți calcula rădăcinile pătrate folosind un calculator. Calculați separat valorile pentru întregul număr și scrieți-l cu precizia necesară (să zicem, două zecimale). Și după aceea, efectuați operațiile aritmetice necesare, ca și cu numere obișnuite. Să spunem, să presupunem că trebuie să aflați valoarea aproximativă a expresiei?7 + ?5? 2,65 + 2,24 = 4,89.

    Video pe tema

    Fiţi atenți!
    În niciun caz nu pot fi adăugate rădăcini pătrate ca numere primitive, adică. ?3 + ?2 ? ?5!!!

    Sfaturi utile
    Dacă factorizați un număr pentru a muta pătratul de sub semnul rădăcinii, atunci efectuați verificarea inversă - înmulțiți toți factorii rezultați și obțineți numărul inițial.

    Adunarea și scăderea rădăcinilor- una dintre cele mai comune „pietre de poticnire” pentru cei care urmează cursuri de matematică (algebră) în liceu. Cu toate acestea, învățarea corectă a adunării și scăderii acestora este foarte importantă, deoarece exemplele despre suma sau diferența de rădăcini sunt incluse în programul examenului de stat unificat de bază la disciplina „matematică”.

    Pentru a stăpâni rezolvarea unor astfel de exemple, aveți nevoie de două lucruri - să înțelegeți regulile și, de asemenea, să obțineți practică. După ce a rezolvat una sau două duzini de exemple tipice, studentul va aduce această abilitate la automatism, iar apoi nu va mai avea de ce să se teamă la examenul de stat unificat. Este recomandat să începeți să stăpâniți operațiile aritmetice cu adunare, deoarece adăugarea lor este puțin mai ușoară decât scăderea lor.

    Cel mai simplu mod de a explica acest lucru este folosirea rădăcinii pătrate ca exemplu. În matematică există un termen bine stabilit „pătrat”. „Pătrat” înseamnă înmulțirea unui anumit număr cu el însuși o dată.. De exemplu, dacă pătrați 2, obțineți 4. Dacă pătrați 7, obțineți 49. Pătratul lui 9 este 81. Deci rădăcina pătrată a lui 4 este 2, a lui 49 este 7 și a lui 81 este 9.

    De regulă, predarea acestei teme în matematică începe cu rădăcini pătrate. Pentru a o determina imediat, studentul liceu trebuie să cunoască tabla înmulțirii pe de rost. Cei care nu cunosc cu fermitate acest tabel trebuie să folosească indicii. De obicei, procesul de extragere a pătratului rădăcină dintr-un număr este prezentat sub forma unui tabel pe coperțile multor caiete școlare de matematică.

    Rădăcinile sunt de următoarele tipuri:

    • pătrat;
    • cubic (sau așa-numitul grad al treilea);
    • gradul al patrulea;
    • gradul al cincilea.

    Reguli de adăugare

    Pentru a rezolva cu succes un exemplu tipic, este necesar să rețineți că nu toate numerele de rădăcină pot fi stivuite unele cu altele. Pentru ca acestea să fie adunate, trebuie aduse la un singur model. Dacă acest lucru este imposibil, atunci problema nu are soluție. Astfel de probleme se găsesc adesea și în manualele de matematică ca un fel de capcană pentru elevi.

    Adăugarea nu este permisă în sarcini când expresiile radicale diferă unele de altele. Acest lucru poate fi ilustrat cu un exemplu clar:

    • Elevul se confruntă cu sarcina: adăugați rădăcina pătrată a lui 4 și 9;
    • un elev neexperimentat care nu cunoaște regula scrie de obicei: „rădăcina lui 4 + rădăcina lui 9 = rădăcina lui 13”.
    • Este foarte ușor de demonstrat că această soluție este incorectă. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți rădăcina pătrată a lui 13 și să verificați dacă exemplul este rezolvat corect;
    • folosind un microcalculator puteți determina că este de aproximativ 3,6. Acum nu mai rămâne decât să verificăm soluția;
    • rădăcina lui 4=2 și rădăcina lui 9=3;
    • Suma numerelor „doi” și „trei” este egală cu cinci. Astfel, acest algoritm de soluție poate fi considerat incorect.

    Dacă rădăcinile au același grad, dar expresii numerice diferite, se scoate din paranteze și se pune între paranteze suma a două expresii radicale. Astfel, este deja extras din această sumă.

    Algoritm de adunare

    Pentru a decide corect cea mai simplă sarcină, necesar:

    1. Determinați exact ce necesită adăugare.
    2. Aflați dacă este posibil să adăugați valori unul altuia, ghidați de regulile existente în matematică.
    3. Dacă nu sunt pliabile, trebuie să le transformați astfel încât să poată fi pliate.
    4. După ce ați efectuat toate transformările necesare, trebuie să efectuați adăugarea și să notați răspunsul final. Puteți efectua adăugarea în cap sau folosind un microcalculator, în funcție de complexitatea exemplului.

    Care sunt rădăcini asemănătoare

    Pentru a rezolva corect un exemplu de adăugare, trebuie mai întâi să vă gândiți cum îl puteți simplifica. Pentru a face acest lucru, trebuie să aveți cunoștințe de bază despre ce este asemănarea.

    Capacitatea de a le identifica pe cele similare ajută la rezolvarea rapidă a exemplelor de adăugare similare, aducându-le într-o formă simplificată. Pentru a simplifica un exemplu tipic de adăugare, trebuie să:

    1. Găsiți unele similare și separați-le într-un singur grup (sau mai multe grupuri).
    2. Rescrieți exemplul existent în așa fel încât rădăcinile care au același indicator să se succedă clar (aceasta se numește „grupare”).
    3. În continuare, ar trebui să scrieți din nou expresia, de data aceasta în așa fel încât altele asemănătoare (care au același indicator și aceeași cifră radicală) să se sucească și ele.

    După aceasta, exemplul simplificat este de obicei ușor de rezolvat.

    Pentru a rezolva corect orice exemplu de adăugare, trebuie să înțelegeți clar regulile de bază ale adăugării, precum și să știți ce este o rădăcină și ce poate fi.

    Uneori, astfel de probleme par foarte dificile la prima vedere, dar de obicei sunt rezolvate cu ușurință prin gruparea unora similare. Cel mai important lucru este exersarea, iar apoi studentul va începe să „sparge probleme precum nucile”. Adăugarea de rădăcini este una dintre cele mai importante părți ale matematicii, așa că profesorii ar trebui să petreacă suficient timp studiind-o.

    Video

    Acest videoclip vă va ajuta să înțelegeți ecuațiile cu rădăcini pătrate.

    Publicații pe această temă