Sau pe scurt - derivata unei funcții implicite. Ce este o funcție implicită? Deoarece lecțiile mele sunt practice, încerc să evit definițiile și teoremele, dar ar fi potrivit să o fac aici. Oricum, ce este o funcție?

O singură funcție variabilă este o regulă care prevede că pentru fiecare valoare a variabilei independente există una și o singură valoare a funcției.

Variabila este numită variabilă independentă sau argument.
Variabila este numită variabila dependenta sau funcţie.

În linii mari, litera „Y” în în acest caz,- și există o funcție.

Până acum ne-am uitat la funcțiile definite în explicit formă. Ce înseamnă? Să realizăm un debriefing folosind exemple specifice.

Luați în considerare funcția

Vedem că în stânga avem un singur „joc” (funcție), iar în dreapta - doar "X". Adică funcția explicit exprimată prin variabila independentă.

Să ne uităm la o altă funcție:

Aici sunt amestecate variabilele. În plus imposibil prin orice mijloace exprimă „Y” doar prin „X”. Care sunt aceste metode? Transferarea termenilor dintr-o parte în parte cu schimbarea semnului, mutarea lor din paranteze, aruncarea factorilor conform regulii proporției etc. Rescrieți egalitatea și încercați să exprimați „y” în mod explicit: . Puteți răsuci și întoarce ecuația ore întregi, dar nu veți reuși.

Permiteți-mi să vă prezint: - exemplu funcţie implicită.

În cursul analizei matematice s-a dovedit că funcţia implicită există(totuși, nu întotdeauna), are un grafic (la fel ca o funcție „normală”). Funcția implicită este exact aceeași există derivată întâi, derivată a doua etc. După cum se spune, toate drepturile minorităților sexuale sunt respectate.

Și în această lecție vom învăța cum să găsim derivata unei funcții specificate implicit. Nu este atât de greu! Toate regulile de diferențiere, tabelul derivatelor functii elementare rămâne în vigoare. Diferența constă într-un punct aparte, pe care îl vom analiza chiar acum.

Da, și vă voi spune veștile bune - sarcinile discutate mai jos sunt efectuate conform unui algoritm destul de strict și clar, fără o piatră în fața a trei piste.

Exemplul 1

1) În prima etapă, atașăm lovituri la ambele părți:

2) Folosim regulile de liniaritate ale derivatei (primele două reguli ale lecției Cum să găsesc derivatul? Exemple de soluții):

3) Diferențierea directă.
Cum să diferențiezi este complet clar. Ce să faci acolo unde există „jocuri” sub lovituri?

Doar până la rușine derivata unei funcții este egală cu derivata acesteia: .

Cum să diferențiezi

Aici avem functie complexa. De ce? Se pare că sub sinus există o singură literă „Y”. Dar adevărul este că există o singură literă „y” - ESTE ÎNȘI O FUNCȚIE(vezi definiția de la începutul lecției). Astfel, sinusul este o funcție externă și este o funcție internă. Folosim regula pentru diferențierea unei funcții complexe :

Diferențiem produsul după regula obișnuită :

Vă rugăm să rețineți că - este, de asemenea, o funcție complexă, orice „joc cu clopoței și fluiere” este o funcție complexă:

Soluția în sine ar trebui să arate cam așa:

Dacă există paranteze, extindeți-le:

4) În partea stângă colectăm termenii care conțin un „Y” cu un prim. ÎN partea dreaptă- transfera orice altceva:

5) În partea stângă scoatem derivata din paranteze:

6) Și conform regulii proporției, aruncăm aceste paranteze în numitorul părții drepte:

S-a găsit derivatul. Gata.

Este interesant de observat că orice funcție poate fi rescrisă implicit. De exemplu, funcția poate fi rescris astfel: . Și diferențiază-l folosind algoritmul tocmai discutat. De fapt, expresiile „funcție implicită” și „funcție implicită” diferă într-o singură nuanță semantică. Expresia „funcție specificată implicit” este mai generală și mai corectă, - această funcție este specificată implicit, dar aici puteți exprima „jocul” și prezenta funcția în mod explicit. Expresia „funcție implicită” se referă la funcția implicită „clasică” atunci când „y” nu poate fi exprimat.

A doua soluție

Atenţie! Vă puteți familiariza cu a doua metodă numai dacă știți să găsiți cu încredere derivate parțiale. Începători să studieze analiză matematicăși ceainice, vă rugăm să nu citiți și sări peste acest punct, altfel capul va fi o mizerie completă.

Să găsim derivata funcției implicite folosind a doua metodă.

Transferăm toți termenii către partea stângă:

Și luați în considerare o funcție a două variabile:

Apoi derivata noastră poate fi găsită folosind formula

Să găsim derivatele parțiale:

Astfel:

A doua soluție vă permite să efectuați o verificare. Dar nu este recomandabil ca ei să scrie versiunea finală a temei, deoarece derivatele parțiale sunt stăpânite mai târziu, iar un student care studiază subiectul „Derivată a unei funcții a unei variabile” nu ar trebui să cunoască încă derivate parțiale.

Să ne uităm la câteva exemple suplimentare.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Adăugați linii la ambele părți:

Folosim reguli de liniaritate:

Găsirea derivatelor:

Deschiderea tuturor parantezelor:

Mutăm toți termenii cu în partea stângă, restul - în partea dreaptă:

În partea stângă îl scoatem din paranteze:

Raspuns final:

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Soluția completă și proiectarea eșantionului la sfârșitul lecției.

Nu este neobișnuit ca fracțiile să apară după diferențiere. În astfel de cazuri, trebuie să scapi de fracții. Să ne uităm la încă două exemple.

Foarte des, la rezolvarea problemelor practice (de exemplu, în geodezie superioară sau fotogrammetrie analitică), apar funcții complexe ale mai multor variabile, adică argumente x, y, z o singură funcție f(x,y,z) ) sunt ele însele funcții ale unor noi variabile U, V, W ).

Acest lucru se întâmplă, de exemplu, când treceți dintr-un sistem de coordonate fix Oxyz în sistemul mobil O 0 UVW și înapoi. În acest caz, este important să cunoașteți toate derivatele parțiale cu privire la variabilele „fixe” - „vechi” și „în mișcare” - „noi”, deoarece aceste derivate parțiale caracterizează de obicei poziția unui obiect în aceste sisteme de coordonate, și, în special, afectează corespondența fotografiilor aeriene cu un obiect real. În astfel de cazuri, se aplică următoarele formule:

Adică, este dată o funcție complexă T trei variabile „noi”. U, V, W prin trei variabile „vechi”. x, y, z, Apoi:

Comentariu. Pot exista variații în numărul de variabile. De exemplu: dacă

În special, dacă z = f(xy), y = y(x) , atunci obținem așa-numita formulă „derivată totală”:

Aceeași formulă pentru „derivată totală” în cazul:

va lua forma:

Sunt posibile și alte variante ale formulelor (1.27) - (1.32).

Notă: formula „derivată totală” este utilizată la cursul de fizică, secțiunea „Hidrodinamică” la derivarea sistemului fundamental de ecuații ale mișcării fluidului.

Exemplul 1.10. Dat:

Conform (1.31):

§7 Derivate parţiale ale unei funcţii date implicit a mai multor variabile

După cum se știe, o funcție specificată implicit a unei variabile este definită astfel: funcția variabilei independente x se numeste implicit daca este data de o ecuatie care nu se rezolva fata de y :

Exemplul 1.11.

Ecuaţie

specifică implicit două funcții:

Și ecuația

nu specifica nicio functie.

Teorema 1.2 (existenţa unei funcţii implicite).

Lasă funcția z =f(x,y) și derivatele sale parțiale f" x Şi f" y definită şi continuă într-un anumit cartier U M0 puncte M 0 (x 0 y 0 ) . In plus, f(x 0 ,y 0 )=0 Şi f"(x 0 ,y 0 )≠0 , atunci ecuația (1.33) definește în vecinătate U M0 funcţie implicită y=y(x) , continuu si diferentiabil intr-un anumit interval D centrat într-un punct x 0 , și y(x 0 )=y 0 .

Nicio dovadă.

Din teorema 1.2 rezultă că pe acest interval D :

adică există o identitate în

unde derivata „total” se găsește conform (1.31)

Adică, (1.35) oferă implicit formula pentru găsirea derivatei funcţie dată o variabilă x .

O funcție implicită a două sau mai multe variabile este definită în mod similar.

De exemplu, dacă într-o anumită zonă V spaţiu Oxyz este valabilă următoarea ecuație:

apoi în anumite condiţii asupra funcţiei F defineşte implicit o funcţie

Mai mult, prin analogie cu (1.35), derivatele sale parțiale se găsesc după cum urmează.

Vom învăța să găsim derivate ale funcțiilor specificate implicit, adică specificate prin anumite ecuații care leagă variabile xŞi y. Exemple de funcții specificate implicit:

,

,

Derivatele de funcții specificate implicit, sau derivatele de funcții implicite, se găsesc destul de simplu. Acum să ne uităm la regula și exemplul corespunzătoare și apoi să aflăm de ce este necesar acest lucru.

Pentru a găsi derivata unei funcții specificată implicit, trebuie să diferențiați ambele părți ale ecuației în raport cu x. Acei termeni în care este prezent doar X se vor transforma în derivata obișnuită a funcției din X. Și termenii cu jocul trebuie diferențiați folosind regula de diferențiere a unei funcții complexe, deoarece jocul este o funcție a lui X. Pentru a spune simplu, derivata rezultată a termenului cu x ar trebui să rezulte: derivata funcției din y înmulțită cu derivata din y. De exemplu, derivata unui termen va fi scrisă ca , derivata unui termen va fi scrisă ca . În continuare, din toate acestea, trebuie să exprimați această „lovitură de joc” și se va obține derivata dorită a funcției specificate implicit. Să ne uităm la asta cu un exemplu.

Exemplul 1.

Soluţie. Diferențiem ambele părți ale ecuației în raport cu x, presupunând că i este o funcție a lui x:

De aici obținem derivata care este necesară în sarcină:

Acum ceva despre proprietatea ambiguă a funcțiilor specificate implicit și de ce sunt necesare reguli speciale pentru diferențierea lor. În unele cazuri, vă puteți asigura că înlocuirea expresiei sale în termeni de x într-o ecuație dată (vezi exemplele de mai sus) în loc de y duce la faptul că această ecuație se transformă într-o identitate. Aşa. Ecuația de mai sus definește implicit următoarele funcții:

După înlocuirea expresiei jocului la pătrat prin x în ecuația originală, obținem identitatea:

.

Expresiile pe care le-am substituit au fost obținute prin rezolvarea ecuației pentru joc.

Dacă ar fi să diferențiem funcția explicită corespunzătoare

atunci vom obține răspunsul ca în exemplul 1 - de la o funcție specificată implicit:

Dar nu orice funcție specificată implicit poate fi reprezentată în formă y = f(x) . Deci, de exemplu, funcțiile specificate implicit

nu sunt exprimate prin funcții elementare, adică aceste ecuații nu pot fi rezolvate în raport cu jocul. Prin urmare, există o regulă de diferențiere a unei funcții specificată implicit, pe care am studiat-o deja și o vom aplica în continuare în mod consecvent în alte exemple.

Exemplul 2. Găsiți derivata unei funcții dată implicit:

.

Exprimăm primul și - la ieșire - derivata funcției specificate implicit:

Exemplul 3. Găsiți derivata unei funcții dată implicit:

.

Soluţie. Diferențiem ambele părți ale ecuației în raport cu x:

.

Exemplul 4. Găsiți derivata unei funcții dată implicit:

.

Soluţie. Diferențiem ambele părți ale ecuației în raport cu x:

.

Exprimăm și obținem derivata:

.

Exemplul 5. Găsiți derivata unei funcții dată implicit:

Soluţie. Mutăm termenii din partea dreaptă a ecuației în partea stângă și lăsăm zero în dreapta. Diferențiem ambele părți ale ecuației în raport cu x.

Fără îndoială, în mintea noastră imaginea unei funcții este asociată cu egalitatea și linia corespunzătoare - graficul funcției. De exemplu, - o dependență funcțională, al cărei grafic este parabolă pătratică cu un vârf la origine și ramuri îndreptate în sus; este o funcție sinusoidală cunoscută pentru undele sale.

În aceste exemple, partea stângă a egalității este y, iar partea dreaptă este o expresie în funcție de argumentul x. Cu alte cuvinte, avem o ecuație rezolvată pentru y. Reprezentarea unei dependențe funcționale sub forma unei astfel de expresii se numește prin specificarea explicită a funcției(sau funcţionează în mod explicit). Și acest tip de atribuire a funcției este cel mai familiar pentru noi. În majoritatea exemplelor și problemelor, ni se prezintă funcții explicite. Am vorbit deja în detaliu despre diferențierea funcțiilor unei variabile, specificată explicit.

Cu toate acestea, o funcție implică o corespondență între un set de valori ale lui x și un set de valori ale lui y, iar această corespondență NU este stabilită neapărat prin nicio formulă sau expresie analitică. Adică, există mai multe moduri de a specifica o funcție în afară de cea obișnuită.

În acest articol ne vom uita funcţii implicite şi metode de găsire a derivatelor lor. Exemplele de funcții care sunt specificate implicit includ sau .

După cum ați observat, funcția implicită este definită de relație. Dar nu toate astfel de relații dintre x și y definesc o funcție. De exemplu, nici un cuplu numere reale x și y nu satisfac egalitatea, prin urmare, această relație nu specifică o funcție implicită.

Se poate determina implicit legea corespondenței dintre mărimile x și y, iar fiecare valoare a argumentului x poate corespunde fie uneia (în acest caz avem o funcție cu o singură valoare) fie mai multor valori ale funcției (în acest caz funcţia se numeşte multivalorică). De exemplu, valoarea x = 1 corespunde a două valori reale y = 2 și y = -2 ale funcției specificate implicit.

Nu este întotdeauna posibil să aducem o funcție implicită într-o formă explicită, altfel nu ar fi nevoie să diferențiem funcțiile implicite în sine. De exemplu, - nu este convertit într-o formă explicită, dar - este convertit.

Acum la obiect.

Pentru a găsi derivata unei funcții implicite date, este necesar să diferențiem ambele părți ale egalității față de argumentul x, considerând y o funcție a lui x și apoi să exprimăm.

Diferențierea expresiilor care conțin x și y(x) se realizează folosind reguli de diferențiere și regula pentru găsirea derivatei unei funcții complexe. Să ne uităm imediat la câteva exemple în detaliu, astfel încât să nu mai apară întrebări.

Exemplu.

Diferențierea expresiilor în x, considerând y o funcție a lui x.

Soluţie.

Deoarece y este o funcție a lui x, atunci este o funcție complexă. Poate fi reprezentat convențional ca f(g(x)), unde f este funcția cubului și g(x) = y. Apoi, conform formulei pentru derivata unei funcții complexe, avem: .

La diferențierea celei de-a doua expresii, scoatem constanta din semnul derivat și procedăm ca în cazul precedent (aici f este funcția sinus, g(x) = y):

Pentru a treia expresie, aplicăm formula pentru derivata produsului:

Aplicând în mod consecvent regulile, diferențiem ultima expresie:

Acum puteți trece la găsirea derivatei unei funcții implicit specificate, pentru aceasta aveți toate cunoștințele.

Exemplu.

Aflați derivata unei funcții implicite.

Soluţie.

Derivata unei funcții implicit specificate este întotdeauna reprezentată ca o expresie care conține x și y: . Pentru a ajunge la acest rezultat, diferențiam ambele părți ale egalității:

Să rezolvăm ecuația rezultată în raport cu derivata:

Răspuns:

.

COMENTARIU.

Pentru a consolida materialul, să rezolvăm un alt exemplu.

Derivată a unei funcții specificată implicit.
Derivată a unei funcții definite parametric

În acest articol ne vom uita la alte două sarcini tipice care se găsesc adesea în teste la matematica superioară. Pentru a stăpâni cu succes materialul, trebuie să poți găsi derivate cel puțin la un nivel intermediar. Puteți învăța să găsiți derivate practic de la zero în două lecții de bază și Derivată a unei funcții complexe. Dacă abilitățile tale de diferențiere sunt în regulă, atunci hai să mergem.

Derivată a unei funcții specificată implicit

Sau, pe scurt, derivata unei funcții implicite. Ce este o funcție implicită? Să ne amintim mai întâi însăși definiția unei funcții a unei variabile:

Funcție cu o singură variabilă este o regulă conform căreia fiecărei valori a variabilei independente îi corespunde una și doar o singură valoare a funcției.

Variabila este numită variabilă independentă sau argument.
Variabila este numită variabila dependenta sau funcţie .

Până acum ne-am uitat la funcțiile definite în explicit formă. Ce înseamnă? Să realizăm un debriefing folosind exemple specifice.

Luați în considerare funcția

Vedem că în stânga avem un „jucător” singuratic, iar în dreapta - doar "X". Adică funcția explicit exprimată prin variabila independentă.

Să ne uităm la o altă funcție:

Aici sunt amestecate variabilele. În plus imposibil prin orice mijloace exprimă „Y” doar prin „X”. Care sunt aceste metode? Transferarea termenilor dintr-o parte în parte cu schimbarea semnului, mutarea lor din paranteze, aruncarea factorilor conform regulii proporției etc. Rescrieți egalitatea și încercați să exprimați „y” în mod explicit: . Puteți răsuci și întoarce ecuația ore întregi, dar nu veți reuși.

Permiteți-mi să vă prezint: – exemplu funcţie implicită.

În cursul analizei matematice s-a dovedit că funcţia implicită există(totuși, nu întotdeauna), are un grafic (la fel ca o funcție „normală”). Funcția implicită este exact aceeași există derivată întâi, derivată a doua etc. După cum se spune, toate drepturile minorităților sexuale sunt respectate.

Și în această lecție vom învăța cum să găsim derivata unei funcții specificate implicit. Nu este atât de greu! Toate regulile de diferențiere și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare rămân în vigoare. Diferența constă într-un punct aparte, pe care îl vom analiza chiar acum.

Da, și vă voi spune veștile bune - sarcinile discutate mai jos sunt efectuate conform unui algoritm destul de strict și clar, fără o piatră în fața a trei piste.

Exemplul 1

1) În prima etapă, atașăm lovituri la ambele părți:

2) Folosim regulile de liniaritate ale derivatei (primele două reguli ale lecției Cum să găsesc derivatul? Exemple de soluții):

3) Diferențierea directă.
Cum să diferențiezi este complet clar. Ce să faci acolo unde există „jocuri” sub lovituri?

- până la rușine, derivata unei funcții este egală cu derivata acesteia: .

Cum să diferențiezi
Aici avem functie complexa. De ce? Se pare că sub sinus există o singură literă „Y”. Dar adevărul este că există o singură literă „y” - ESTE ÎNȘI O FUNCȚIE(vezi definiția de la începutul lecției). Astfel, sinusul este o funcție externă și este o funcție internă. Folosim regula pentru diferențierea unei funcții complexe :

Diferențiem produsul după regula obișnuită :

Vă rugăm să rețineți că – este, de asemenea, o funcție complexă, orice „joc cu clopoței și fluiere” este o funcție complexă:

Soluția în sine ar trebui să arate cam așa:


Dacă există paranteze, extindeți-le:

4) În partea stângă colectăm termenii care conțin un „Y” cu un prim. Mutați totul în partea dreaptă:

5) În partea stângă scoatem derivata din paranteze:

6) Și conform regulii proporției, aruncăm aceste paranteze în numitorul părții drepte:

S-a găsit derivatul. Gata.

Este interesant de observat că orice funcție poate fi rescrisă implicit. De exemplu, funcția poate fi rescris astfel: . Și diferențiază-l folosind algoritmul tocmai discutat. De fapt, expresiile „funcție implicită” și „funcție implicită” diferă într-o singură nuanță semantică. Expresia „funcție specificată implicit” este mai generală și mai corectă, – această funcție este specificată implicit, dar aici puteți exprima „jocul” și prezenta funcția în mod explicit. Expresia „funcție implicită” se referă la funcția implicită „clasică” atunci când „y” nu poate fi exprimat.

A doua soluție

Atenţie! Vă puteți familiariza cu a doua metodă numai dacă știți să găsiți cu încredere derivate parțiale. Începători de calcul și manechini, vă rog nu citi și sări peste acest punct, altfel capul tău va fi o mizerie completă.

Să găsim derivata funcției implicite folosind a doua metodă.

Mutăm toți termenii în partea stângă:

Și luați în considerare o funcție a două variabile:

Apoi derivata noastră poate fi găsită folosind formula
Să găsim derivatele parțiale:

Astfel:

A doua soluție vă permite să efectuați o verificare. Dar nu este recomandabil ca ei să scrie versiunea finală a temei, deoarece derivatele parțiale sunt stăpânite mai târziu, iar un student care studiază subiectul „Derivată a unei funcții a unei variabile” nu ar trebui să cunoască încă derivate parțiale.

Să ne uităm la câteva exemple suplimentare.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Adăugați linii la ambele părți:

Folosim reguli de liniaritate:

Găsirea derivatelor:

Deschiderea tuturor parantezelor:

Mutăm toți termenii cu în partea stângă, restul în partea dreaptă:

Raspuns final:

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Soluția completă și proiectarea eșantionului la sfârșitul lecției.

Nu este neobișnuit ca fracțiile să apară după diferențiere. În astfel de cazuri, trebuie să scapi de fracții. Să ne uităm la încă două exemple.

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Închidem ambele părți sub linii și folosim regula liniarității:

Diferențierea folosind regula de diferențiere a unei funcții complexe și regula diferențierii coeficientilor :

Extinderea parantezelor:

Acum trebuie să scăpăm de fracțiune. Acest lucru se poate face mai târziu, dar este mai rațional să o faceți imediat. Numitorul fracției conține . Multiplica pe . În detaliu, va arăta astfel:

Uneori după diferențiere apar 2-3 fracții. Dacă am avea o altă fracție, de exemplu, atunci operația ar trebui repetată - înmulțiți fiecare termen al fiecărei părți pe

În partea stângă îl scoatem din paranteze:

Raspuns final:

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă. Singurul lucru este că înainte de a scăpa de fracțiune, va trebui mai întâi să scăpați de structura cu trei etaje a fracției în sine. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Derivată a unei funcții definite parametric

Să nu ne stresăm, totul în acest paragraf este, de asemenea, destul de simplu. Puteți nota formula generală pentru o funcție definită parametric, dar pentru a fi clar, voi scrie imediat un exemplu specific. În formă parametrică, funcția este dată de două ecuații: . Adesea ecuațiile sunt scrise nu între paranteze, ci secvențial: , .

Variabila se numește parametruși poate lua valori de la „minus infinit” la „plus infinit”. Luați în considerare, de exemplu, valoarea și înlocuiți-o în ambele ecuații: . Sau în termeni umani: „dacă x este egal cu patru, atunci y este egal cu unu”. Pe plan de coordonate puteți marca un punct, iar acest punct va corespunde valorii parametrului. În mod similar, puteți găsi un punct pentru orice valoare a parametrului „te”. În ceea ce privește o funcție „obișnuită”, pentru indienii americani ai unei funcții definite parametric, toate drepturile sunt de asemenea respectate: puteți construi un grafic, puteți găsi derivate etc. Apropo, dacă trebuie să reprezentați un grafic al unei funcții definite parametric, puteți utiliza programul meu.

În cele mai simple cazuri, este posibil să se reprezinte funcția în mod explicit. Să exprimăm parametrul din prima ecuație: – și înlocuiți-l în a doua ecuație: . Rezultatul este o funcție cubică obișnuită.

În cazurile mai „grave”, acest truc nu funcționează. Dar nu contează, pentru că există o formulă pentru a găsi derivata unei funcții parametrice:

Găsim derivata „jocului față de variabila te”:

Toate regulile de diferențiere și tabelul de derivate sunt valabile, desigur, pentru litera , astfel, nu există noutate în procesul de găsire a derivatelor. Înlocuiți mental toate „X-urile” din tabel cu litera „Te”.

Găsim derivata lui „x față de variabila te”:

Acum tot ce rămâne este să înlocuim derivatele găsite în formula noastră:

Gata. Derivata, ca și funcția în sine, depinde și de parametru.

În ceea ce privește notația, în loc să o scrieți în formulă, s-ar putea scrie pur și simplu fără indice, deoarece aceasta este o derivată „regulată” „cu privire la X”. Dar în literatură există întotdeauna o opțiune, așa că nu mă voi abate de la standard.

Exemplul 6

Folosim formula

În acest caz:

Astfel:

O caracteristică specială a găsirii derivatei unei funcții parametrice este faptul că la fiecare pas este benefic să simplificăm cât mai mult rezultatul. Deci, în exemplul luat în considerare, când l-am găsit, am deschis parantezele de sub rădăcină (deși s-ar putea să nu fi făcut asta). Există șanse mari ca atunci când înlocuiți în formulă, multe lucruri să fie reduse bine. Deși, desigur, există exemple cu răspunsuri stângace.

Exemplul 7

Găsiți derivata unei funcții specificată parametric

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

În articol Cele mai simple probleme tipice cu derivate ne-am uitat la exemple în care trebuia să găsim derivata a doua a unei funcții. Pentru o funcție definită parametric, puteți găsi și derivata a doua și se găsește folosind următoarea formulă: . Este destul de evident că pentru a găsi derivata a doua, trebuie mai întâi să găsiți derivata întâi.

Exemplul 8

Găsiți prima și a doua derivată ale unei funcții date parametric

Mai întâi, să găsim prima derivată.
Folosim formula

În acest caz:

Inlocuim derivatele gasite in formula. Pentru simplificare, folosim formula trigonometrică: