Formule de identități logaritmice. Definirea logaritmului și proprietățile acestuia: teorie și rezolvare de probleme

(din greacă λόγος - „cuvânt”, „relație” și ἀριθμός - „număr”) numere b bazat pe o(log α b) se numește un astfel de număr c, Și b= a c, adică înregistrează log α b=cŞi b=ac sunt echivalente. Logaritmul are sens dacă a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Cu alte cuvinte logaritm numere b bazat pe O formulat ca un exponent la care trebuie ridicat un număr o pentru a obține numărul b(logaritmul există doar pentru numerele pozitive).

Din această formulare rezultă că calculul x= log α b, este echivalent cu rezolvarea ecuației a x =b.

De exemplu:

log 2 8 = 3 deoarece 8 = 2 3 .

Să subliniem că formularea specificată a logaritmului face posibilă determinarea imediată valoarea logaritmului, când numărul de sub semnul logaritmului acționează ca o anumită putere a bazei. Într-adevăr, formularea logaritmului face posibilă justificarea că dacă b=a c, apoi logaritmul numărului b bazat pe o egal Cu. De asemenea, este clar că tema logaritmilor este strâns legată de subiect puterile unui număr.

Calcularea logaritmului se numește logaritm. Logaritmul este operația matematică de luare a unui logaritm. Atunci când se iau logaritmi, produsele factorilor sunt transformate în sume de termeni.

Potentarea este o operație matematică inversă logaritmului. În timpul potențarii, o bază dată este ridicată la gradul de expresie peste care se realizează potențarea. În acest caz, sumele de termeni sunt transformate într-un produs de factori.

Sunt destul de des folosiți logaritmi reali cu baze 2 (binare), e numărul Euler e ≈ 2,718 ( logaritmul natural) și 10 (zecimală).

În această etapă este indicat să luați în considerare probe de logaritm jurnal 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

Și intrările lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 nu au sens, deoarece în primul dintre ele este plasat un număr negativ sub semnul logaritmului, în al doilea există un număr negativ în bază, iar în a treia există un număr negativ sub semnul logaritmului și unitatea la bază.

Condiții pentru determinarea logaritmului.

Merită să luăm în considerare separat condițiile a > 0, a ≠ 1, b > 0. în care obținem definiția logaritmului. Să vedem de ce au fost luate aceste restricții. O egalitate de forma x = log α ne va ajuta în acest sens b, numită identitate logaritmică de bază, care decurge direct din definiția logaritmului dată mai sus.

Să luăm condiția a≠1. Deoarece unu la orice putere este egal cu unu, atunci egalitatea x=log α b poate exista doar atunci când b=1, dar log 1 1 va fi orice număr real. Pentru a elimina această ambiguitate, luăm a≠1.

Să dovedim necesitatea condiției a>0. La a=0 conform formulării logaritmului poate exista numai atunci când b=0. Și în consecință atunci log 0 0 poate fi orice număr real diferit de zero, deoarece de la zero la orice putere diferită de zero este zero. Această ambiguitate poate fi eliminată prin condiție a≠0. Și când o<0 ar trebui să respingem analiza valorilor raționale și iraționale ale logaritmului, deoarece un grad cu un exponent rațional și irațional este definit doar pentru baze nenegative. Din acest motiv este stipulată condiția a>0.

Și ultima condiție b>0 rezultă din inegalitate a>0, deoarece x=log α b, și valoarea gradului cu bază pozitivă oîntotdeauna pozitiv.

Caracteristicile logaritmilor.

Logaritmi caracterizat prin distinctiv Caracteristici, ceea ce a dus la utilizarea lor pe scară largă pentru a facilita în mod semnificativ calculele minuțioase. Când treceți „în lumea logaritmilor”, înmulțirea este transformată într-o adunare mult mai ușoară, împărțirea este transformată în scădere, iar exponențiația și extragerea rădăcinii sunt transformate, respectiv, în înmulțire și împărțire cu exponent.

Formularea logaritmilor și tabelul valorilor acestora (pentru funcții trigonometrice) a fost publicat pentru prima dată în 1614 de către matematicianul scoțian John Napier. Tabelele logaritmice, mărite și detaliate de alți oameni de știință, au fost utilizate pe scară largă în calculele științifice și de inginerie și au rămas relevante până la utilizarea calculatoarelor electronice și a calculatoarelor.

Accentul acestui articol este logaritm. Aici vom da o definiție a unui logaritm, vom arăta notația acceptată, vom da exemple de logaritmi și vom vorbi despre logaritmi naturali și zecimali. După aceasta vom lua în considerare identitatea logaritmică de bază.

Navigare în pagină.

Definiţia logarithm

Conceptul de logaritm apare atunci când rezolvați o problemă într-un anumit sens invers, atunci când trebuie să găsiți un exponent dintr-o valoare cunoscută a exponentului și o bază cunoscută.

Dar destule prefațe, este timpul să răspundem la întrebarea „ce este un logaritm”? Să dăm definiția corespunzătoare.

Definiţie.

Logaritmul lui b la baza a, unde a>0, a≠1 și b>0 este exponentul la care trebuie să creșteți numărul a pentru a obține b ca rezultat.

În această etapă, observăm că cuvântul rostit „logaritm” ar trebui să ridice imediat două întrebări ulterioare: „ce număr” și „pe ce bază”. Cu alte cuvinte, pur și simplu nu există logaritm, ci doar logaritmul unui număr la o anumită bază.

Să intrăm imediat notație logaritmică: logaritmul unui număr b la baza a este de obicei notat ca log a b. Logaritmul unui număr b în baza e și logaritmul în baza 10 au propriile denumiri speciale lnb și, respectiv, logb, adică nu scriu log e b, ci lnb și nu log 10 b, ci lgb.

Acum putem da: .
Și înregistrările nu au sens, deoarece în primul dintre ele există un număr negativ sub semnul logaritmului, în al doilea există un număr negativ în bază, iar în al treilea există un număr negativ sub semnul logaritmului și o unitate în baza.

Acum să vorbim despre reguli pentru citirea logaritmilor. Log a b este citit ca „logaritmul lui b la baza a”. De exemplu, log 2 3 este logaritmul de trei la baza 2 și este logaritmul de două virgulă două treimi la baza 2 rădăcină pătrată din cinci. Se numește logaritmul la baza e logaritmul natural, iar notația lnb citește „logaritmul natural al lui b”. De exemplu, ln7 este logaritmul natural al lui șapte și îl vom citi ca logaritmul natural al lui pi. Logaritmul de bază 10 are, de asemenea, un nume special - logaritm zecimal, iar lgb este citit ca „logaritm zecimal al lui b”. De exemplu, lg1 este logaritmul zecimal de unu, iar lg2.75 este logaritmul zecimal de două virgulă șapte cinci sutimi.

Merită să ne oprim separat asupra condițiilor a>0, a≠1 și b>0, în care este dată definiția logaritmului. Să explicăm de unde provin aceste restricții. O egalitate a formei numită , care decurge direct din definiția logaritmului dată mai sus, ne va ajuta să facem acest lucru.

Să începem cu a≠1. Deoarece unu la orice putere este egal cu unu, egalitatea poate fi adevărată numai când b=1, dar log 1 1 poate fi orice număr real. Pentru a evita această ambiguitate, se presupune a≠1.

Să justificăm oportunitatea condiției a>0. Cu a=0, prin definiția unui logaritm, am avea egalitate, ceea ce este posibil doar cu b=0. Dar atunci log 0 0 poate fi orice număr real diferit de zero, deoarece de la zero la orice putere diferită de zero este zero. Condiția a≠0 ne permite să evităm această ambiguitate. Și când a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

În sfârșit, din inegalitatea a>0 rezultă condiția b>0, deoarece , iar valoarea unei puteri cu o bază pozitivă a este întotdeauna pozitivă.

Pentru a încheia acest punct, să presupunem că definiția declarată a logaritmului vă permite să indicați imediat valoarea logaritmului atunci când numărul de sub semnul logaritmului este o anumită putere a bazei. Într-adevăr, definiția unui logaritm ne permite să afirmăm că dacă b=a p, atunci logaritmul numărului b la baza a este egal cu p. Adică, logul de egalitate a a p =p este adevărat. De exemplu, știm că 2 3 =8, atunci log 2 8=3. Vom vorbi mai multe despre asta în articol.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Ele decurg din definiția sa. Și astfel logaritmul numărului b bazat pe O este definit ca exponentul la care trebuie ridicat un numar o pentru a obține numărul b(logaritmul există doar pentru numerele pozitive).

Din această formulare rezultă că calculul x=log a b, este echivalent cu rezolvarea ecuației a x =b. De exemplu, log 2 8 = 3 deoarece 8 = 2 3 . Formularea logaritmului face posibilă justificarea că dacă b=a c, apoi logaritmul numărului b bazat pe o egal Cu. De asemenea, este clar că subiectul logaritmilor este strâns legat de subiectul puterilor unui număr.

Cu logaritmi, ca și cu orice numere, poți face operații de adunare, scădereși se transformă în toate modurile posibile. Dar datorită faptului că logaritmii nu sunt numere în întregime obișnuite, aici se aplică propriile reguli speciale, care se numesc proprietăți principale.

Adunarea și scăderea logaritmilor.

Să luăm doi logaritmi cu aceleași baze: log un xŞi log a y. Apoi, este posibil să efectuați operații de adunare și scădere:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log un x 1 + log un x 2 + log un x 3 + ... + log a x k.

Din teorema coeficientului de logaritm mai poate fi obținută o proprietate a logaritmului. Este cunoscut faptul că log o 1= 0, prin urmare

jurnal o 1 /b= jurnal o 1 - jurnal a b= - jurnal a b.

Aceasta înseamnă că există o egalitate:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmi a două numere reciproce din același motiv vor diferi unul de celălalt numai prin semn. Aşa:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

1. Verificați dacă există numere negative sau unul sub semnul logaritmului. Această metodă este aplicabilă expresiilor formei jurnal b ⁡ (x) jurnal b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Cu toate acestea, nu este potrivit pentru unele cazuri speciale:

   • Logaritm număr negativ nedeterminat pe nicio bază (de exemplu, log ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3)) sau log 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4)(-5))). În acest caz scrieți „nicio soluție”.
   • Logaritmul de la zero la orice bază este, de asemenea, nedefinit. Dacă ești prins ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), notează „nicio soluție”.
   • Logaritmul unu la orice bază ( log ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) este întotdeauna zero, deoarece x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1) pentru toate valorile x. Scrieți 1 în locul acestui logaritm și nu folosiți metoda de mai jos.
   • Dacă logaritmii au diferite motive, De exemplu l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), și nu sunt reduse la numere întregi, valoarea expresiei nu poate fi găsită manual.

2. Convertiți expresia într-un logaritm. Dacă expresia nu este una dintre cele de mai sus ocazii speciale, poate fi reprezentat ca un singur logaritm. Utilizați următoarea formulă pentru aceasta: jurnal b ⁡ (x) jurnal b ⁡ (a) = jurnal a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).

   • Exemplul 1: Luați în considerare expresia log ⁡ 16 log ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
     Mai întâi, să reprezentăm expresia ca un singur logaritm folosind formula de mai sus: bus ⁡ 16 bus ⁡ 2 = bus 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
   • Această formulă pentru „înlocuirea bazei” unui logaritm este derivată din proprietățile de bază ale logaritmilor.

3. Dacă este posibil, evaluați manual valoarea expresiei. Pentru a găsi log a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), imaginați-vă expresia " o? = x (\displaystyle a^(?)=x)„, adică pune următoarea întrebare: „La ce putere să ridici o a obține x?. Răspunsul la această întrebare poate necesita un calculator, dar dacă ai noroc, s-ar putea să-l găsești manual.

   • Exemplul 1 (continuare): Rescrie ca 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Trebuie să găsiți ce număr ar trebui să stea în locul semnului "?" Acest lucru se poate face prin încercare și eroare:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
     Deci numărul pe care îl căutăm este 4: log 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .

4. Lăsați răspunsul în formă logaritmică dacă nu îl puteți simplifica. Mulți logaritmi sunt foarte greu de calculat manual. În acest caz, pentru a obține un răspuns corect, veți avea nevoie de un calculator. Cu toate acestea, dacă rezolvați o problemă în clasă, profesorul va fi cel mai probabil mulțumit de răspunsul în formă logaritmică. Metoda discutată mai jos este folosită pentru a rezolva un exemplu mai complex:

   • exemplu 2: ceea ce este egal cu jurnal 3 ⁡ (58) jurnal 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
   • Să convertim această expresie într-un logaritm: busteni 3 ⁡ (58) busteni 3 ⁡ (7) = busteni 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). Rețineți că baza 3 comună ambilor logaritmi dispare; acest lucru este adevărat din orice motiv.
   • Să rescriem expresia în formă 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58)și să încercăm să găsim valoarea?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
     Deoarece 58 este între aceste două numere, nu este exprimat ca număr întreg.
   • Lăsăm răspunsul în formă logaritmică: log 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).