Cum se găsește x1 x2 într-o ecuație pătratică. Ecuații cuadratice

Problemele cu ecuații cuadratice sunt studiate atât în ​​programa școlară, cât și în universități. Ele înseamnă ecuații de forma a*x^2 + b*x + c = 0, unde x- variabilă, a, b, c – constante; o<>0 . Sarcina este de a găsi rădăcinile ecuației.

Sensul geometric al ecuației pătratice

Graficul unei funcții care este reprezentată printr-o ecuație pătratică este o parabolă. Soluțiile (rădăcinile) unei ecuații pătratice sunt punctele de intersecție ale parabolei cu axa absciselor (x). Rezultă că există trei cazuri posibile:
1) parabola nu are puncte de intersecție cu axa absciselor. Aceasta înseamnă că se află în planul superior cu ramurile în sus sau în partea de jos cu ramurile în jos. În astfel de cazuri, ecuația pătratică nu are rădăcini reale (are două rădăcini complexe).

2) parabola are un punct de intersecție cu axa Ox. Un astfel de punct se numește vârful parabolei, iar ecuația pătratică de la el își capătă valoarea minimă sau maximă. În acest caz, ecuația pătratică are o rădăcină reală (sau două rădăcini identice).

3) Ultimul caz este mai interesant în practică - există două puncte de intersecție ale parabolei cu axa absciselor. Aceasta înseamnă că există două rădăcini reale ale ecuației.

Pe baza analizei coeficienților puterilor variabilelor se pot trage concluzii interesante despre amplasarea parabolei.

1) Dacă coeficientul a este mai mare decât zero, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, dacă este negativ, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în jos.

2) Dacă coeficientul b este mai mare decât zero, atunci vârful parabolei se află în semiplanul stâng, dacă ia o valoare negativă, atunci în dreapta.

Derivarea formulei de rezolvare a unei ecuații pătratice

Să transferăm constanta din ecuația pătratică

pentru semnul egal, obținem expresia

Înmulțiți ambele părți cu 4a

Pentru a ajunge la stânga pătrat perfect se adaugă b^2 pe ambele părți și se efectuează transformarea

De aici găsim

Formula pentru discriminantul și rădăcinile unei ecuații pătratice

Discriminantul este valoarea expresiei radicale Dacă este pozitivă, atunci ecuația are două rădăcini reale, calculate prin formula Când discriminantul este zero, ecuația pătratică are o soluție (două rădăcini coincidente), care poate fi obținută cu ușurință din formula de mai sus pentru D=0 Când discriminantul este negativ, ecuația nu are rădăcini reale. Cu toate acestea, soluțiile ecuației pătratice se găsesc în plan complex, iar valoarea lor este calculată folosind formula

teorema lui Vieta

Să luăm în considerare două rădăcini ale unei ecuații pătratice și să construim o ecuație pătratică pe baza lor teorema lui Vieta în sine decurge cu ușurință din notația: dacă avem o ecuație pătratică de forma atunci suma rădăcinilor sale este egală cu coeficientul p luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor ecuației este egal cu termenul liber q. Formula pentru cele de mai sus va arăta ca Dacă într-o ecuație clasică constanta a este diferită de zero, atunci trebuie să împărțiți întreaga ecuație cu ea și apoi să aplicați teorema lui Vieta.

Schema de factorizare a ecuației pătratice

Să fie stabilită sarcina: factorizați o ecuație pătratică. Pentru a face acest lucru, mai întâi rezolvăm ecuația (găsește rădăcinile). Apoi, înlocuim rădăcinile găsite în formula de expansiune pentru ecuația pătratică. Aceasta va rezolva problema.

Probleme cu ecuații cuadratice

Sarcina 1. Aflați rădăcinile unei ecuații pătratice

x^2-26x+120=0 .

Rezolvare: Notați coeficienții și înlocuiți-i în formula discriminantă

Rădăcina acestei valori este 14, este ușor de găsit cu un calculator sau de reținut cu o utilizare frecventă, totuși, pentru comoditate, la sfârșitul articolului, vă voi oferi o listă de pătrate de numere care pot fi întâlnite adesea în astfel de probleme.
Înlocuim valoarea găsită în formula rădăcină

și primim

Sarcina 2. Rezolvați ecuația

2x 2 +x-3=0.

Rezolvare: Avem o ecuație pătratică completă, scriem coeficienții și găsim discriminantul


Folosind formule cunoscute găsim rădăcinile ecuației pătratice

Sarcina 3. Rezolvați ecuația

9x 2 -12x+4=0.

Rezolvare: Avem o ecuație pătratică completă. Determinarea discriminantului

Avem un caz în care rădăcinile coincid. Găsiți valorile rădăcinilor folosind formula

Sarcina 4. Rezolvați ecuația

x^2+x-6=0 .

Soluție: În cazurile în care există coeficienți mici pentru x, este recomandabil să aplicați teorema lui Vieta. Prin condiția sa obținem două ecuații

Din a doua condiție constatăm că produsul trebuie să fie egal cu -6. Aceasta înseamnă că una dintre rădăcini este negativă. Avem următoarea pereche posibilă de soluții (-3;2), (3;-2) . Ținând cont de prima condiție, respingem a doua pereche de soluții.
Rădăcinile ecuației sunt egale

Problema 5. Aflați lungimile laturilor unui dreptunghi dacă perimetrul lui este de 18 cm și aria lui este de 77 cm 2.

Rezolvare: Jumătate din perimetrul unui dreptunghi este egal cu suma laturilor adiacente. Să notăm x ca latura mai mare, apoi 18-x este latura sa mai mică. Aria dreptunghiului este egală cu produsul acestor lungimi:
x(18-x)=77;
sau
x 2 -18x+77=0.
Să găsim discriminantul ecuației

Calcularea rădăcinilor ecuației

Dacă x=11, Că 18's=7, opusul este de asemenea adevărat (dacă x=7, atunci 21's=9).

Problema 6. Factorizați ecuația pătratică 10x 2 -11x+3=0.

Soluție: Să calculăm rădăcinile ecuației, pentru a face acest lucru găsim discriminantul

Înlocuim valoarea găsită în formula rădăcină și calculăm

Aplicam formula pentru descompunerea unei ecuatii patratice prin radacini

Deschizând paranteze obținem o identitate.

Ecuație pătratică cu parametru

Exemplul 1. La ce valori ale parametrilor A, ecuația (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 are o rădăcină?

Rezolvare: Prin înlocuirea directă a valorii a=3 vedem că nu are soluție. În continuare, vom folosi faptul că, cu un discriminant zero, ecuația are o rădăcină a multiplicității 2. Să scriem discriminantul

Să o simplificăm și să o echivalăm cu zero

Am obținut o ecuație pătratică în raport cu parametrul a, a cărei soluție poate fi obținută cu ușurință folosind teorema lui Vieta. Suma rădăcinilor este 7, iar produsul lor este 12. Prin simpla căutare stabilim că numerele 3.4 vor fi rădăcinile ecuației. Deoarece am respins deja soluția a=3 la începutul calculelor, singura corectă va fi - a=4. Astfel, pentru a=4 ecuația are o rădăcină.

Exemplul 2. La ce valori ale parametrilor A, ecuaţie a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 are mai multe rădăcini?

Soluție: Să luăm mai întâi în considerare punctele singulare, acestea vor fi valorile a=0 și a=-3. Când a=0, ecuația va fi simplificată la forma 6x-9=0; x=3/2 și va fi o singură rădăcină. Pentru a= -3 obținem identitatea 0=0.
Să calculăm discriminantul

și găsiți valoarea lui a la care este pozitivă

Din prima condiție obținem a>3. Pentru al doilea, găsim discriminantul și rădăcinile ecuației


Să definim intervalele în care ia funcția valori pozitive. Inlocuind punctul a=0 obtinem 3>0 . Deci, în afara intervalului (-3;1/3) funcția este negativă. Nu uitați ideea a=0, care ar trebui exclus deoarece ecuația originală are o rădăcină în ea.
Ca rezultat, obținem două intervale care satisfac condițiile problemei

Vor exista multe sarcini similare în practică, încercați să vă dați seama singur sarcinile și nu uitați să țineți cont de condițiile care se exclud reciproc. Studiați bine formulele pentru soluție ecuații pătratice, sunt destul de des necesare în calcule în diverse sarcini și științe.

ÎN societatea modernă capacitatea de a efectua operații cu ecuații care conțin o variabilă pătrată poate fi utilă în multe domenii de activitate și este utilizată pe scară largă în practică în dezvoltările științifice și tehnice. Dovada acestui lucru poate fi găsită în proiectarea navelor maritime și fluviale, avioanelor și rachetelor. Folosind astfel de calcule, se determină traiectoriile de mișcare ale unei game largi de corpuri, inclusiv obiecte spațiale. Exemplele cu rezolvarea ecuațiilor pătratice sunt folosite nu numai în prognoza economică, în proiectarea și construcția clădirilor, ci și în cele mai obișnuite circumstanțe cotidiene. Acestea pot fi necesare în drumeții, la evenimente sportive, în magazine la cumpărături și în alte situații foarte frecvente.

Să împărțim expresia în factorii ei componente

Se determină gradul ecuației valoarea maxima gradul variabilei pe care o conține această expresie. Dacă este egală cu 2, atunci o astfel de ecuație se numește pătratică.

Dacă vorbim în limbajul formulelor, atunci expresiile indicate, indiferent de cum arată, pot fi întotdeauna aduse la forma când partea stângă expresia constă din trei termeni. Printre acestea: ax 2 (adică o variabilă pătrat cu coeficientul său), bx (o necunoscută fără pătrat cu coeficientul său) și c (o componentă liberă, adică un număr obișnuit). Toate acestea din partea dreaptă sunt egale cu 0. În cazul în care unui astfel de polinom îi lipsește unul dintre termenii săi constitutivi, cu excepția axei 2, se numește ecuație pătratică incompletă. Exemple cu rezolvarea unor astfel de probleme, valorile variabilelor în care sunt ușor de găsit, ar trebui luate în considerare mai întâi.

Dacă expresia pare că are doi termeni în partea dreaptă, mai precis ax 2 și bx, cel mai simplu mod de a găsi x este prin scoaterea variabilei dintre paranteze. Acum ecuația noastră va arăta astfel: x(ax+b). În continuare, devine evident că fie x=0, fie problema se rezumă la găsirea unei variabile din următoarea expresie: ax+b=0. Acest lucru este dictat de una dintre proprietățile înmulțirii. Regula spune că produsul a doi factori are ca rezultat 0 numai dacă unul dintre ei este zero.

Exemplu

x=0 sau 8x - 3 = 0

Ca rezultat, obținem două rădăcini ale ecuației: 0 și 0,375.

Ecuațiile de acest fel pot descrie mișcarea corpurilor sub influența gravitației, care au început să se miște dintr-un anumit punct luat drept origine a coordonatelor. Aici notația matematică ia următoarea formă: y = v 0 t + gt 2 /2. Înlocuirea valorilor necesare, echivalarea partea dreaptă 0 și găsind posibile necunoscute, puteți afla timpul care trece din momentul în care corpul se ridică până în momentul în care acesta cade, precum și multe alte cantități. Dar despre asta vom vorbi mai târziu.

Factorizarea unei expresii

Regula descrisă mai sus face posibilă rezolvarea acestor probleme în cazuri mai complexe. Să ne uităm la exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice de acest tip.

X 2 - 33x + 200 = 0

Acest trinom pătratic este complet. Mai întâi, să transformăm expresia și să o factorizăm. Sunt două dintre ele: (x-8) și (x-25) = 0. Ca rezultat, avem două rădăcini 8 și 25.

Exemplele cu rezolvarea ecuațiilor pătratice din clasa a 9-a permit acestei metode să găsească o variabilă în expresii nu numai de ordinul doi, ci chiar de ordinul al treilea și al patrulea.

De exemplu: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. La factorizarea părții drepte în factori cu o variabilă, există trei dintre ei, adică (x+1), (x-3) și (x+). 3).

Ca urmare, devine evident că această ecuație are trei rădăcini: -3; -1; 3.

Rădăcină pătrată

Un alt caz ecuație incompletă al doilea ordin este o expresie reprezentată în limbajul literelor în așa fel încât partea dreaptă să fie construită din componentele ax 2 și c. Aici, pentru a obține valoarea variabilei, termenul liber este transferat în partea dreaptă, iar după aceea, este extras din ambele părți ale egalității rădăcină pătrată. Trebuie remarcat faptul că în în acest caz, Există de obicei două rădăcini ale ecuației. Singurele excepții pot fi egalitățile care nu conțin deloc un termen cu, unde variabila este egală cu zero, precum și variantele de expresii când partea dreaptă se dovedește a fi negativă. În acest din urmă caz, nu există deloc soluții, deoarece acțiunile de mai sus nu pot fi efectuate cu rădăcini. Ar trebui luate în considerare exemple de soluții la ecuații pătratice de acest tip.

În acest caz, rădăcinile ecuației vor fi numerele -4 și 4.

Calculul suprafeței de teren

Necesitatea acestui gen de calcule a apărut în antichitate, deoarece dezvoltarea matematicii în acele vremuri îndepărtate a fost determinată în mare măsură de necesitatea de a determina cu cea mai mare acuratețe suprafețele și perimetrele terenurilor.

De asemenea, ar trebui să luăm în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice bazate pe probleme de acest gen.

Deci, să presupunem că există un teren dreptunghiular, a cărui lungime este cu 16 metri mai mare decât lățimea. Ar trebui să găsiți lungimea, lățimea și perimetrul sitului dacă știți că suprafața acestuia este de 612 m2.

Pentru a începe, să creăm mai întâi ecuația necesară. Să notăm cu x lățimea zonei, atunci lungimea acesteia va fi (x+16). Din cele scrise rezultă că aria este determinată de expresia x(x+16), care, conform condițiilor problemei noastre, este 612. Aceasta înseamnă că x(x+16) = 612.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete, iar această expresie este exact aceea, nu se poate face în același mod. De ce? Deși partea stângă conține încă doi factori, produsul lor nu este deloc egal cu 0, așa că aici sunt folosite metode diferite.

Discriminant

În primul rând, să facem, atunci, transformările necesare aspect a acestei expresii va arăta astfel: x 2 + 16x - 612 = 0. Aceasta înseamnă că am primit o expresie într-o formă corespunzătoare standardului specificat anterior, unde a=1, b=16, c=-612.

Acesta ar putea fi un exemplu de rezolvare a ecuațiilor pătratice folosind un discriminant. Aici calculele necesare sunt produse după schema: D = b 2 - 4ac. Această mărime auxiliară nu numai că face posibilă găsirea cantităților necesare într-o ecuație de ordinul doi, ci determină cantitatea opțiuni posibile. Dacă D>0, sunt două dintre ele; pentru D=0 există o rădăcină. În cazul D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Despre rădăcini și formula lor

În cazul nostru, discriminantul este egal cu: 256 - 4(-612) = 2704. Acest lucru sugerează că problema noastră are un răspuns. Dacă cunoașteți k, soluția ecuațiilor pătratice trebuie continuată folosind formula de mai jos. Vă permite să calculați rădăcinile.

Aceasta înseamnă că în cazul prezentat: x 1 =18, x 2 =-34. A doua opțiune în această dilemă nu poate fi o soluție, deoarece dimensiunile terenului nu pot fi măsurate în cantități negative, ceea ce înseamnă că x (adică lățimea parcelei) este de 18 m. De aici calculăm lungimea: 18 +16=34, iar perimetrul 2(34+ 18)=104(m2).

Exemple și sarcini

Continuăm studiul ecuațiilor pătratice. Exemple și soluții detaliate ale mai multor dintre ele vor fi date mai jos.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Să mutam totul în partea stângă a egalității, să facem o transformare, adică vom obține tipul de ecuație care se numește de obicei standard și o vom echivala cu zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Adăugând altele similare, determinăm discriminantul: D = 49 - 48 = 1. Aceasta înseamnă că ecuația noastră va avea două rădăcini. Să le calculăm conform formulei de mai sus, ceea ce înseamnă că primul dintre ele va fi egal cu 4/3, iar al doilea cu 1.

2) Acum să rezolvăm mistere de alt fel.

Să aflăm dacă există rădăcini aici x 2 - 4x + 5 = 1? Pentru a obține un răspuns cuprinzător, să reducem polinomul la forma obișnuită corespunzătoare și să calculăm discriminantul. În exemplul de mai sus, nu este necesar să se rezolve ecuația pătratică, deoarece aceasta nu este deloc esența problemei. În acest caz, D = 16 - 20 = -4, ceea ce înseamnă că într-adevăr nu există rădăcini.

teorema lui Vieta

Este convenabil să se rezolve ecuații pătratice folosind formulele de mai sus și discriminantul, atunci când rădăcina pătrată este luată din valoarea acestuia din urmă. Dar acest lucru nu se întâmplă întotdeauna. Cu toate acestea, există multe modalități de a obține valorile variabilelor în acest caz. Exemplu: rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta. Ea poartă numele unei persoane care a trăit în Franța din secolul al XVI-lea și a făcut o carieră strălucitoare datorită talentului său matematic și a legăturilor sale la curte. Portretul lui poate fi văzut în articol.

Modelul pe care l-a observat celebrul francez a fost următorul. El a demonstrat că rădăcinile ecuației se adună numeric la -p=b/a, iar produsul lor corespunde cu q=c/a.

Acum să ne uităm la sarcini specifice.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Pentru simplitate, să transformăm expresia:

x 2 + 7x - 18 = 0

Să folosim teorema lui Vieta, aceasta ne va da următoarele: suma rădăcinilor este -7, iar produsul lor este -18. De aici obținem că rădăcinile ecuației sunt numerele -9 și 2. După verificare, ne vom asigura că aceste valori variabile se potrivesc cu adevărat în expresie.

Graficul parabolei și ecuația

Conceptele de funcție pătratică și ecuații pătratice sunt strâns legate. Exemple în acest sens au fost deja date mai devreme. Acum să ne uităm la câteva ghicitori matematice mai detaliat. Orice ecuație de tipul descris poate fi reprezentată vizual. O astfel de relație, desenată sub formă de grafic, se numește parabolă. Diferitele sale tipuri sunt prezentate în figura de mai jos.

Orice parabolă are un vârf, adică un punct din care ies ramurile sale. Dacă a>0, ele cresc la infinit, iar când a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Reprezentările vizuale ale funcțiilor ajută la rezolvarea oricăror ecuații, inclusiv a celor pătratice. Această metodă se numește grafică. Iar valoarea variabilei x este coordonata abscisă în punctele în care linia graficului se intersectează cu 0x. Coordonatele vârfului pot fi găsite folosind formula tocmai dată x 0 = -b/2a. Și înlocuind valoarea rezultată în ecuația inițială a funcției, puteți afla y 0, adică a doua coordonată a vârfului parabolei, care aparține axei ordonatelor.

Intersecția ramurilor unei parabole cu axa absciselor

Există o mulțime de exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice, dar există și modele generale. Să ne uităm la ele. Este clar că intersecția graficului cu axa 0x pentru a>0 este posibilă numai dacă 0 ia valori negative. Și pentru a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Altfel D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Din graficul parabolei puteți determina și rădăcinile. Este adevărat și contrariul. Adică dacă obțineți o imagine vizuală funcţie pătratică Nu este ușor, puteți echivala partea dreaptă a expresiei cu 0 și puteți rezolva ecuația rezultată. Și cunoscând punctele de intersecție cu axa 0x, este mai ușor să construiești un grafic.

Din istorie

Folosind ecuații care conțin o variabilă pătrată, pe vremuri nu numai că făceau calcule matematice și determinau ariile figurilor geometrice. Anticii aveau nevoie de astfel de calcule pentru marile descoperiri în domeniul fizicii și astronomiei, precum și pentru a face prognoze astrologice.

După cum sugerează oamenii de știință moderni, locuitorii Babilonului au fost printre primii care au rezolvat ecuații patratice. Acest lucru s-a întâmplat cu patru secole înaintea erei noastre. Desigur, calculele lor erau radical diferite de cele acceptate în prezent și s-au dovedit a fi mult mai primitive. De exemplu, matematicienii mesopotamieni nu aveau idee despre existența numerelor negative. De asemenea, nu erau familiarizați cu alte subtilități pe care orice școlar modern le cunoaște.

Poate chiar mai devreme decât oamenii de știință din Babilon, înțeleptul din India Baudhayama a început să rezolve ecuații patratice. Acest lucru s-a întâmplat cu aproximativ opt secole înainte de era lui Hristos. Adevărat, ecuațiile de ordinul doi, metodele de rezolvare pe care le-a dat, erau cele mai simple. Pe lângă el, matematicienii chinezi erau și ei interesați de întrebări similare pe vremuri. În Europa, ecuațiile pătratice au început să fie rezolvate abia la începutul secolului al XIII-lea, dar mai târziu au fost folosite în lucrările lor de oameni de știință atât de mari precum Newton, Descartes și mulți alții.

Continuăm să studiem subiectul „ rezolvarea ecuatiilor" Ne-am familiarizat deja cu ecuațiile liniare și trecem la cunoștință ecuații pătratice.

În primul rând, ne vom uita la ce este o ecuație pătratică, cum este scrisă în formă generală și vom da definiții înrudite. După aceasta, vom folosi exemple pentru a examina în detaliu modul în care sunt rezolvate ecuațiile pătratice incomplete. În continuare, vom trece la rezolvarea ecuațiilor complete, vom obține formula rădăcinii, vom face cunoștință cu discriminantul unei ecuații pătratice și vom analiza soluții la exemple tipice. În cele din urmă, să urmărim conexiunile dintre rădăcini și coeficienți.

Navigare în pagină.

Ce este o ecuație pătratică? Tipurile lor

Mai întâi trebuie să înțelegeți clar ce este o ecuație pătratică. Prin urmare, este logic să începem o conversație despre ecuațiile pătratice cu definiția unei ecuații pătratice, precum și definițiile aferente. După aceasta, puteți lua în considerare principalele tipuri de ecuații pătratice: reduse și nereduse, precum și ecuații complete și incomplete.

Definiție și exemple de ecuații pătratice

Definiţie.

Ecuație cuadratică este o ecuație a formei a x 2 +b x+c=0, unde x este o variabilă, a, b și c sunt unele numere, iar a este diferit de zero.

Să spunem imediat că ecuațiile pătratice sunt adesea numite ecuații de gradul doi. Acest lucru se datorează faptului că ecuația pătratică este ecuație algebrică gradul doi.

Definiția menționată ne permite să dăm exemple de ecuații pătratice. Deci 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 etc. Acestea sunt ecuații pătratice.

Definiţie.

Numerele a, b și c sunt numite coeficienții ecuației pătratice a·x 2 +b·x+c=0, iar coeficientul a se numește primul, sau cel mai mare, sau coeficientul lui x 2, b este al doilea coeficient sau coeficientul lui x și c este termenul liber .

De exemplu, să luăm o ecuație pătratică de forma 5 x 2 −2 x −3=0, aici coeficientul principal este 5, al doilea coeficient este egal cu −2, iar termenul liber este egal cu −3. Vă rugăm să rețineți că atunci când coeficienții b și/sau c sunt negativi, ca în exemplul dat, forma scurtă a ecuației pătratice este 5 x 2 −2 x−3=0 , mai degrabă decât 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

Este demn de remarcat faptul că, atunci când coeficienții a și/sau b sunt egali cu 1 sau −1, atunci ei nu sunt de obicei prezenți în mod explicit în ecuația pătratică, ceea ce se datorează particularităților scrierii astfel de. De exemplu, în ecuația pătratică y 2 −y+3=0 coeficientul principal este unu, iar coeficientul lui y este egal cu −1.

Ecuații patratice reduse și nereduse

În funcție de valoarea coeficientului conducător, se disting ecuațiile pătratice reduse și nereduse. Să dăm definițiile corespunzătoare.

Definiţie.

Se numește o ecuație pătratică în care coeficientul principal este 1 ecuație pătratică dată. În caz contrar, ecuația pătratică este neatins.

Conform acestei definiții, ecuațiile pătratice x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 etc. – dat, în fiecare dintre ele primul coeficient este egal cu unu. A 5 x 2 −x−1=0 etc. - ecuații pătratice nereduse, coeficienții lor conducători sunt diferiți de 1.

Din orice ecuație pătratică neredusă, împărțind ambele părți la coeficientul principal, se poate trece la cea redusă. Această acțiune este o transformare echivalentă, adică ecuația pătratică redusă obținută în acest fel are aceleași rădăcini ca și ecuația pătratică neredusă inițială sau, asemenea acesteia, nu are rădăcini.

Să ne uităm la un exemplu despre cum se realizează tranziția de la o ecuație pătratică neredusă la una redusă.

Exemplu.

Din ecuația 3 x 2 +12 x−7=0, mergeți la ecuația pătratică redusă corespunzătoare.

Soluţie.

Trebuie doar să împărțim ambele părți ale ecuației inițiale la coeficientul principal 3, acesta este diferit de zero, astfel încât să putem efectua această acțiune. Avem (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, care este același, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 și apoi (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, de unde . Așa am obținut ecuația pătratică redusă, care este echivalentă cu cea inițială.

Răspuns:

Ecuații pătratice complete și incomplete

Definiția unei ecuații pătratice conține condiția a≠0. Această condiție este necesară pentru ca ecuația a x 2 + b x + c = 0 să fie pătratică, deoarece atunci când a = 0 devine de fapt o ecuație liniară de forma b x + c = 0.

În ceea ce privește coeficienții b și c, aceștia pot fi egali cu zero, atât individual, cât și împreună. În aceste cazuri, ecuația pătratică se numește incompletă.

Definiţie.

Ecuația pătratică a x 2 +b x+c=0 se numește incomplet, dacă cel puțin unul dintre coeficienții b, c este egal cu zero.

La rândul său

Definiţie.

Ecuație pătratică completă este o ecuație în care toți coeficienții sunt diferiți de zero.

Asemenea nume nu au fost date întâmplător. Acest lucru va deveni clar din discuțiile următoare.

Dacă coeficientul b este zero, atunci ecuația pătratică ia forma a·x 2 +0·x+c=0 și este echivalentă cu ecuația a·x 2 +c=0. Dacă c=0, adică ecuația pătratică are forma a·x 2 +b·x+0=0, atunci poate fi rescrisă ca a·x 2 +b·x=0. Și cu b=0 și c=0 obținem ecuația pătratică a·x 2 =0. Ecuațiile rezultate diferă de ecuația pătratică completă prin aceea că părțile lor din stânga nu conțin nici un termen cu variabila x, nici un termen liber sau ambele. De aici și numele lor - ecuații patratice incomplete.

Deci ecuațiile x 2 +x+1=0 și −2 x 2 −5 x+0,2=0 sunt exemple de ecuații patratice complete, iar x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 sunt ecuații pătratice incomplete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

Din informațiile din paragraful anterior rezultă că există trei tipuri de ecuații pătratice incomplete:

• a·x 2 =0, îi corespund coeficienții b=0 și c=0;
• a x 2 +c=0 când b=0;
• şi a·x 2 +b·x=0 când c=0.

Să examinăm în ordine modul în care sunt rezolvate ecuațiile pătratice incomplete ale fiecăruia dintre aceste tipuri.

a x 2 =0

Să începem cu rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete în care coeficienții b și c sunt egali cu zero, adică cu ecuații de forma a x 2 =0. Ecuația a·x 2 =0 este echivalentă cu ecuația x 2 =0, care se obține din original prin împărțirea ambelor părți la un număr diferit de zero a. Evident, rădăcina ecuației x 2 =0 este zero, deoarece 0 2 =0. Această ecuație nu are alte rădăcini, ceea ce se explică prin faptul că pentru orice număr p diferit de zero este valabilă inegalitatea p 2 >0, ceea ce înseamnă că pentru p≠0 egalitatea p 2 =0 nu este niciodată atinsă.

Deci, ecuația pătratică incompletă a·x 2 =0 are o singură rădăcină x=0.

Ca exemplu, dăm soluția ecuației pătratice incomplete −4 x 2 =0. Este echivalentă cu ecuația x 2 =0, singura sa rădăcină este x=0, prin urmare, ecuația originală are o singură rădăcină zero.

O soluție scurtă în acest caz poate fi scrisă după cum urmează:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0.

a x 2 +c=0

Acum să vedem cum se rezolvă ecuațiile pătratice incomplete în care coeficientul b este zero și c≠0, adică ecuații de forma a x 2 +c=0. Știm că mutarea unui termen dintr-o parte a ecuației în cealaltă cu semnul opus, precum și împărțirea ambelor părți ale ecuației la un număr diferit de zero, dă o ecuație echivalentă. Prin urmare, putem efectua următoarele transformări echivalente ale ecuației pătratice incomplete a x 2 +c=0:

• mutați c în partea dreaptă, ceea ce dă ecuația a x 2 =−c,
• și împărțim ambele părți cu a, obținem .

Ecuația rezultată ne permite să tragem concluzii despre rădăcinile sale. În funcție de valorile lui a și c, valoarea expresiei poate fi negativă (de exemplu, dacă a=1 și c=2, atunci) sau pozitivă (de exemplu, dacă a=−2 și c=6, atunci ), nu este zero , deoarece prin condiția c≠0. Să ne uităm la cazuri separat.

Dacă , atunci ecuația nu are rădăcini. Această afirmație rezultă din faptul că pătratul oricărui număr este un număr nenegativ. De aici rezultă că atunci când , atunci pentru orice număr p egalitatea nu poate fi adevărată.

Dacă , atunci situația cu rădăcinile ecuației este diferită. În acest caz, dacă ne amintim despre , atunci rădăcina ecuației devine imediat evidentă, deoarece . Este ușor de ghicit că numărul este și rădăcina ecuației, într-adevăr, . Această ecuație nu are alte rădăcini, care pot fi arătate, de exemplu, prin contradicție. Să facem asta.

Să notăm rădăcinile ecuației tocmai anunțate ca x 1 și −x 1 . Să presupunem că ecuația are încă o rădăcină x 2, diferită de rădăcinile indicate x 1 și −x 1. Se știe că înlocuirea rădăcinilor sale într-o ecuație în loc de x transformă ecuația într-o egalitate numerică corectă. Pentru x 1 și −x 1 avem , iar pentru x 2 avem . Proprietățile egalităților numerice ne permit să efectuăm scăderea termen cu termen a egalităților numerice corecte, astfel încât scăderea părților corespunzătoare ale egalităților dă x 1 2 −x 2 2 =0. Proprietățile operațiilor cu numere ne permit să rescriem egalitatea rezultată ca (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Știm că produsul a două numere este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre ele este egal cu zero. Prin urmare, din egalitatea rezultată rezultă că x 1 −x 2 =0 și/sau x 1 +x 2 =0, care este același, x 2 =x 1 și/sau x 2 =−x 1. Deci am ajuns la o contradicție, deoarece la început am spus că rădăcina ecuației x 2 este diferită de x 1 și −x 1. Aceasta demonstrează că ecuația nu are alte rădăcini decât și .

Să rezumam informațiile din acest paragraf. Ecuația pătratică incompletă a x 2 +c=0 este echivalentă cu ecuația care

• nu are rădăcini dacă,
• are două rădăcini și , dacă .

Să luăm în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete de forma a·x 2 +c=0.

Să începem cu ecuația pătratică 9 x 2 +7=0. După mutarea termenului liber în partea dreaptă a ecuației, acesta va lua forma 9 x 2 =−7. Împărțind ambele părți ale ecuației rezultate la 9, ajungem la . Deoarece partea dreaptă are un număr negativ, această ecuație nu are rădăcini, prin urmare, ecuația pătratică incompletă inițială 9 x 2 +7 = 0 nu are rădăcini.

Să rezolvăm o altă ecuație pătratică incompletă −x 2 +9=0. Mutăm cele nouă în partea dreaptă: −x 2 =−9. Acum împărțim ambele părți la −1, obținem x 2 =9. Pe partea dreaptă este număr pozitiv, din care tragem concluzia că sau . Apoi notăm răspunsul final: ecuația pătratică incompletă −x 2 +9=0 are două rădăcini x=3 sau x=−3.

a x 2 +b x=0

Rămâne să ne ocupăm de soluția ultimului tip de ecuații pătratice incomplete pentru c=0. Ecuațiile pătratice incomplete de forma a x 2 + b x = 0 vă permit să rezolvați metoda factorizării. Evident, putem, situat în partea stângă a ecuației, pentru care este suficient să scoatem factorul comun x din paranteze. Acest lucru ne permite să trecem de la ecuația pătratică incompletă inițială la o ecuație echivalentă de forma x·(a·x+b)=0. Și această ecuație este echivalentă cu o mulțime de două ecuații x=0 și a·x+b=0, cea din urmă fiind liniară și având rădăcina x=−b/a.

Deci, ecuația pătratică incompletă a·x 2 +b·x=0 are două rădăcini x=0 și x=−b/a.

Pentru a consolida materialul, vom analiza soluția la un exemplu concret.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Soluţie.

Scotând x din paranteze rezultă ecuația . Este echivalentă cu două ecuații x=0 și . Rezolvând ceea ce avem ecuație liniară: , și efectuând împărțirea număr mixt pe fracție comună, găsim . Prin urmare, rădăcinile ecuației originale sunt x=0 și .

După dobândirea practicii necesare, soluțiile la astfel de ecuații pot fi scrise pe scurt:

Răspuns:

x=0, .

Discriminant, formulă pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Pentru a rezolva ecuații pătratice, există o formulă rădăcină. Să-l notăm formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice: , Unde D=b 2 −4 a c- așa-zis discriminant al unei ecuații pătratice. Intrarea înseamnă în esență că .

Este util să știm cum a fost obținută formula rădăcinii și cum este utilizată în găsirea rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Să ne dăm seama.

Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Trebuie să rezolvăm ecuația pătratică a·x 2 +b·x+c=0. Să efectuăm câteva transformări echivalente:

• Putem împărți ambele părți ale acestei ecuații la un număr diferit de zero a, rezultând următoarea ecuație pătratică.
• Acum selectați un pătrat complet pe partea stângă: . După aceasta, ecuația va lua forma .
• În această etapă, este posibil să transferăm ultimii doi termeni în partea dreaptă cu semnul opus, avem .
• Și să transformăm și expresia din partea dreaptă: .

Ca rezultat, ajungem la o ecuație care este echivalentă cu ecuația pătratică inițială a·x 2 +b·x+c=0.

Am rezolvat deja ecuații similare ca formă în paragrafele precedente, când am examinat. Acest lucru ne permite să tragem următoarele concluzii cu privire la rădăcinile ecuației:

• dacă , atunci ecuația nu are soluții reale;
• dacă , atunci ecuația are forma , prin urmare, , din care este vizibilă singura sa rădăcină;
• dacă , atunci sau , care este același cu sau , adică ecuația are două rădăcini.

Astfel, prezența sau absența rădăcinilor ecuației și, prin urmare, a ecuației pătratice originale, depinde de semnul expresiei din partea dreaptă. La rândul său, semnul acestei expresii este determinat de semnul numărătorului, întrucât numitorul 4·a 2 este întotdeauna pozitiv, adică de semnul expresiei b 2 −4·a·c. Această expresie b 2 −4 a c a fost numită discriminant al unei ecuații pătraticeși desemnat prin scrisoare D. De aici, esența discriminantului este clară - pe baza valorii și semnului său, ei ajung la concluzia dacă ecuația pătratică are rădăcini reale și, dacă da, care este numărul lor - unul sau doi.

Să revenim la ecuație și să o rescriem folosind notația discriminantă: . Și tragem concluzii:

• daca D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• dacă D=0, atunci această ecuație are o singură rădăcină;
• în sfârșit, dacă D>0, atunci ecuația are două rădăcini sau, care pot fi rescrise sub forma sau, iar după extinderea și aducerea fracțiilor la un numitor comun obținem.

Deci am derivat formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice, ele arată ca , unde discriminantul D este calculat prin formula D=b 2 −4·a·c.

Cu ajutorul lor, cu un discriminant pozitiv, puteți calcula ambele rădăcini reale ale unei ecuații pătratice. Când discriminantul este zero, ambele formule dau aceeași valoare a rădăcinii, corespunzătoare unei soluții unice a ecuației pătratice. Și cu un discriminant negativ, atunci când încercăm să folosim formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, ne confruntăm cu extragerea rădăcinii pătrate a număr negativ, care ne duce dincolo și programa școlară. Cu un discriminant negativ, ecuația pătratică nu are rădăcini reale, ci are o pereche conjugat complex rădăcini, care pot fi găsite folosind aceleași formule de rădăcină pe care le-am obținut.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice cu ajutorul formulelor rădăcinilor

În practică, atunci când rezolvați ecuații pătratice, puteți utiliza imediat formula rădăcinii pentru a calcula valorile acestora. Dar acest lucru este mai mult legat de găsirea rădăcinilor complexe.

Cu toate acestea, într-un curs de algebră școlară vorbim de obicei nu despre complex, ci despre rădăcinile reale ale unei ecuații pătratice. În acest caz, este recomandabil, înainte de a folosi formulele pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, să găsiți mai întâi discriminantul, să vă asigurați că acesta este nenegativ (în caz contrar, putem concluziona că ecuația nu are rădăcini reale), și abia apoi calculați valorile rădăcinilor.

Raționamentul de mai sus ne permite să scriem algoritm pentru rezolvarea unei ecuații pătratice. Pentru a rezolva ecuația pătratică a x 2 +b x+c=0, trebuie să:

• folosind formula discriminantă D=b 2 −4·a·c, calculați valoarea acesteia;
• concluzionați că o ecuație pătratică nu are rădăcini reale dacă discriminantul este negativ;
• calculați singura rădăcină a ecuației folosind formula dacă D=0;
• găsiți două rădăcini reale ale unei ecuații pătratice folosind formula rădăcinii dacă discriminantul este pozitiv.

Aici observăm doar că, dacă discriminantul este egal cu zero, puteți folosi și formula aceasta va da aceeași valoare ca .

Puteți trece la exemple de utilizare a algoritmului pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Să considerăm soluții la trei ecuații pătratice cu discriminant pozitiv, negativ și zero. După ce s-a ocupat de soluția lor, prin analogie va fi posibil să se rezolve orice altă ecuație pătratică. Să începem.

Exemplu.

Aflați rădăcinile ecuației x 2 +2·x−6=0.

Soluţie.

În acest caz, avem următorii coeficienți ai ecuației pătratice: a=1, b=2 și c=−6. Conform algoritmului, mai întâi trebuie să calculați discriminantul pentru a face acest lucru, înlocuim a, b și c indicate în formula discriminantă; D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Deoarece 28>0, adică discriminantul este mai mare decât zero, ecuația pătratică are două rădăcini reale. Să le găsim folosind formula rădăcină, obținem , aici puteți simplifica expresiile rezultate făcând deplasarea multiplicatorului dincolo de semnul rădăcinii urmată de reducerea fracției:

Răspuns:

Să trecem la următorul exemplu tipic.

Exemplu.

Rezolvați ecuația pătratică −4 x 2 +28 x−49=0 .

Soluţie.

Începem prin a găsi discriminantul: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Prin urmare, această ecuație pătratică are o singură rădăcină, pe care o găsim ca , adică

Răspuns:

x=3,5.

Rămâne de luat în considerare rezolvarea ecuațiilor pătratice cu un discriminant negativ.

Exemplu.

Rezolvați ecuația 5·y 2 +6·y+2=0.

Soluţie.

Iată coeficienții ecuației pătratice: a=5, b=6 și c=2. Substituim aceste valori în formula discriminantă, avem D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Discriminantul este negativ, prin urmare, această ecuație pătratică nu are rădăcini reale.

Dacă trebuie să indicați rădăcini complexe, atunci aplicăm formula binecunoscută pentru rădăcinile unei ecuații pătratice și efectuăm operatii cu numere complexe:

Răspuns:

nu există rădăcini reale, rădăcini complexe sunt: ​​.

Să remarcăm încă o dată că, dacă discriminantul unei ecuații pătratice este negativ, atunci la școală de obicei notează imediat un răspuns în care indică că nu există rădăcini reale și nu se găsesc rădăcini complexe.

Formula rădăcină pentru chiar al doilea coeficienți

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, unde D=b 2 −4·a·c vă permite să obțineți o formulă de formă mai compactă, permițându-vă să rezolvați ecuații pătratice cu un coeficient par pentru x (sau pur și simplu cu o coeficient de forma 2·n, de exemplu, sau 14· ln5=2·7·ln5). Hai să o scoatem afară.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm o ecuație pătratică de forma a x 2 +2 n x+c=0. Să-i găsim rădăcinile folosind formula pe care o cunoaștem. Pentru a face acest lucru, calculăm discriminantul D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), și apoi folosim formula rădăcină:

Să notăm expresia n 2 −a · c ca D 1 (uneori se notează D”). Atunci formula pentru rădăcinile ecuației pătratice luate în considerare cu al doilea coeficient 2 n ia forma , unde D 1 =n 2 −a·c.

Este ușor de observat că D=4·D 1, sau D 1 =D/4. Cu alte cuvinte, D 1 este a patra parte a discriminantului. Este clar că semnul lui D 1 este același cu semnul lui D . Adică, semnul D 1 este, de asemenea, un indicator al prezenței sau absenței rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Deci, pentru a rezolva o ecuație pătratică cu un al doilea coeficient 2·n, aveți nevoie

• Calculați D 1 =n 2 −a·c ;
• Dacă D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Dacă D 1 =0, atunci calculați singura rădăcină a ecuației folosind formula;
• Dacă D 1 >0, atunci găsiți două rădăcini reale folosind formula.

Să luăm în considerare rezolvarea exemplului folosind formula rădăcină obținută în acest paragraf.

Exemplu.

Rezolvați ecuația pătratică 5 x 2 −6 x −32=0 .

Soluţie.

Al doilea coeficient al acestei ecuații poate fi reprezentat ca 2·(−3) . Adică, puteți rescrie ecuația pătratică inițială sub forma 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, aici a=5, n=−3 și c=−32 și calculați a patra parte a discriminant: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Deoarece valoarea sa este pozitivă, ecuația are două rădăcini reale. Să le găsim folosind formula rădăcină adecvată:

Rețineți că a fost posibil să se folosească formula obișnuită pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, dar în acest caz ar trebui efectuată mai multă muncă de calcul.

Răspuns:

Simplificarea formei ecuațiilor pătratice

Uneori, înainte de a începe să calculați rădăcinile unei ecuații pătratice folosind formule, nu strică să puneți întrebarea: „Este posibil să simplificați forma acestei ecuații?” De acord că din punct de vedere al calculelor va fi mai ușor de rezolvat ecuația pătratică 11 x 2 −4 x−6=0 decât 1100 x 2 −400 x−600=0.

De obicei, simplificarea formei unei ecuații pătratice se realizează prin înmulțirea sau împărțirea ambelor părți cu un anumit număr. De exemplu, în paragraful anterior a fost posibilă simplificarea ecuației 1100 x 2 −400 x −600=0 împărțind ambele părți la 100.

O transformare similară este efectuată cu ecuații pătratice, ai căror coeficienți nu sunt . În acest caz, ambele părți ale ecuației sunt de obicei împărțite la valorile absolute ale coeficienților săi. De exemplu, să luăm ecuația pătratică 12 x 2 −42 x+48=0. valorile absolute ale coeficienților săi: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Împărțind ambele părți ale ecuației pătratice originale la 6, ajungem la ecuația pătratică echivalentă 2 x 2 −7 x+8=0.

Și înmulțirea ambelor părți ale unei ecuații pătratice se face de obicei pentru a scăpa de coeficienții fracționali. În acest caz, înmulțirea se realizează prin numitorii coeficienților săi. De exemplu, dacă ambele părți ale ecuației pătratice sunt înmulțite cu LCM(6, 3, 1)=6, atunci aceasta va lua forma mai simplă x 2 +4·x−18=0.

În concluzia acestui punct, observăm că ei scapă aproape întotdeauna de minus la cel mai mare coeficient al unei ecuații pătratice prin schimbarea semnelor tuturor termenilor, ceea ce corespunde înmulțirii (sau împărțirii) ambelor părți cu −1. De exemplu, de obicei se trece de la ecuația pătratică −2 x 2 −3 x+7=0 la soluția 2 x 2 +3 x−7=0 .

Relația dintre rădăcini și coeficienți ai unei ecuații pătratice

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice exprimă rădăcinile ecuației prin coeficienții săi. Pe baza formulei rădăcinii, puteți obține alte relații între rădăcini și coeficienți.

Cele mai cunoscute și aplicabile formule din teorema lui Vieta sunt de forma și . În special, pentru ecuația pătratică dată, suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber. De exemplu, prin forma ecuației pătratice 3 x 2 −7 x + 22 = 0 putem spune imediat că suma rădăcinilor sale este egală cu 7/3, iar produsul rădăcinilor este egal cu 22/3.

Folosind formulele deja scrise, puteți obține o serie de alte conexiuni între rădăcinile și coeficienții ecuației pătratice. De exemplu, puteți exprima suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice prin coeficienții ei: .

Referințe.

• Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. învăţământul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Ecuație cuadratică - ușor de rezolvat! *Denumit în continuare „KU”. Prieteni, s-ar părea că nu poate fi nimic mai simplu în matematică decât rezolvarea unei astfel de ecuații. Dar ceva mi-a spus că mulți oameni au probleme cu el. Am decis să văd câte impresii la cerere oferă Yandex pe lună. Iată ce s-a întâmplat, uite:

Ce înseamnă? Aceasta înseamnă că aproximativ 70.000 de oameni pe lună caută această informație, ce legătură are această vară cu ea și ce se va întâmpla printre an universitar— vor fi de două ori mai multe cereri. Acest lucru nu este surprinzător, deoarece băieții și fetele aceia care au absolvit școala cu mult timp în urmă și se pregătesc pentru Examenul Unificat de Stat caută aceste informații, iar școlarii se străduiesc și ei să-și împrospăteze memoria.

În ciuda faptului că există o mulțime de site-uri care vă spun cum să rezolvați această ecuație, am decis să contribui și să public materialul. În primul rând, aș dori ca vizitatorii să vină pe site-ul meu pe baza acestei solicitări; în al doilea rând, în alte articole, când apare subiectul „KU”, voi oferi un link către acest articol; în al treilea rând, vă voi spune puțin mai multe despre soluția lui decât se spune de obicei pe alte site-uri. Să începem! Conținutul articolului:

O ecuație pătratică este o ecuație de forma:

unde coeficienții a,bși c sunt numere arbitrare, cu a≠0.

În cursul școlar, materialul este dat în următoarea formă - ecuațiile sunt împărțite în trei clase:

1. Au două rădăcini.

2. *Ai o singură rădăcină.

3. Nu au rădăcini. Merită remarcat în special aici faptul că nu au rădăcini reale

Cum se calculează rădăcinile? Doar!

Calculăm discriminantul. Sub acest cuvânt „îngrozitor” se află o formulă foarte simplă:

Formulele rădăcinilor sunt următoarele:

*Trebuie să știi aceste formule pe de rost.

Puteți nota și rezolva imediat:

Exemplu:

1. Dacă D > 0, atunci ecuația are două rădăcini.

2. Dacă D = 0, atunci ecuația are o rădăcină.

3. Dacă D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Să ne uităm la ecuație:

În acest sens, când discriminantul este egal cu zero, cursul școlar spune că se obține o rădăcină, aici este egală cu nouă. Totul este corect, așa este, dar...

Această idee este oarecum incorectă. De fapt, există două rădăcini. Da, da, nu fi surprins, obții două rădăcini egale și, pentru a fi precis din punct de vedere matematic, atunci răspunsul ar trebui să scrie două rădăcini:

x 1 = 3 x 2 = 3

Dar așa este - o mică digresiune. La școală poți să-l notezi și să spui că există o singură rădăcină.

Acum următorul exemplu:

După cum știm, rădăcina unui număr negativ nu poate fi luată, așa că nu există o soluție în acest caz.

Acesta este tot procesul de decizie.

Funcția pătratică.

Aceasta arată cum arată soluția din punct de vedere geometric. Acest lucru este extrem de important de înțeles (în viitor, într-unul dintre articole vom analiza în detaliu soluția la inegalitatea pătratică).

Aceasta este o funcție a formei:

unde x și y sunt variabile

a, b, c – numere date, cu a ≠ 0

Graficul este o parabolă:

Adică, rezultă că rezolvând o ecuație pătratică cu „y” egal cu zero, găsim punctele de intersecție ale parabolei cu axa x. Pot exista două dintre aceste puncte (discriminantul este pozitiv), unul (discriminantul este zero) și niciunul (discriminantul este negativ). Detalii despre funcția pătratică poti sa te uiti articol de Inna Feldman.

Să ne uităm la exemple:

Exemplul 1: Rezolvați 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Răspuns: x 1 = 8 x 2 = –12

*A fost posibilă împărțirea imediată a părților stânga și dreaptă ale ecuației cu 2, adică simplificarea acesteia. Calculele vor fi mai ușoare.

Exemplul 2: Decide x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Am constatat că x 1 = 11 și x 2 = 11

Este permis să scrieți x = 11 în răspuns.

Răspuns: x = 11

Exemplul 3: Decide x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Discriminantul este negativ, nu există soluție în numerele reale.

Răspuns: nicio soluție

Discriminantul este negativ. Există o soluție!

Aici vom vorbi despre rezolvarea ecuației în cazul în care se obține un discriminant negativ. Știi ceva despre numere complexe? Nu voi intra în detaliu aici despre de ce și unde au apărut și care este rolul și necesitatea lor specifică în matematică, acesta este un subiect pentru un articol separat.

Conceptul de număr complex.

Puțină teorie.

Un număr complex z este un număr de formă

z = a + bi

unde a și b sunt numere reale, i este așa-numita unitate imaginară.

a+bi – acesta este un SINGUR NUMĂR, nu o adăugare.

Unitatea imaginară este egală cu rădăcina lui minus unu:

Acum luați în considerare ecuația:

Obținem două rădăcini conjugate.

Ecuație pătratică incompletă.

Să luăm în considerare cazurile speciale, atunci când coeficientul „b” sau „c” este egal cu zero (sau ambele sunt egale cu zero). Ele pot fi rezolvate cu ușurință, fără probleme discriminatorii.

Cazul 1. Coeficientul b = 0.

Ecuația devine:

Să transformăm:

Exemplu:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Cazul 2. Coeficientul c = 0.

Ecuația devine:

Să transformăm și să factorizăm:

*Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.

Exemplu:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 sau x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Cazul 3. Coeficienții b = 0 și c = 0.

Aici este clar că soluția ecuației va fi întotdeauna x = 0.

Proprietăți utile și modele de coeficienți.

Există proprietăți care vă permit să rezolvați ecuații cu coeficienți mari.

Ox 2 + bx+ c=0 egalitatea este valabilă

o + b+ c = 0, Că

- dacă pentru coeficienţii ecuaţiei Ox 2 + bx+ c=0 egalitatea este valabilă

o+ c =b, Că

Aceste proprietăți ajută la rezolvarea unui anumit tip de ecuație.

Exemplul 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Suma cotelor este 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, ceea ce înseamnă

Exemplul 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Egalitatea este valabilă o+ c =b, Mijloace

Regularități ale coeficienților.

1. Dacă în ecuația ax 2 + bx + c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 +1), iar coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul„a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Exemplu. Luați în considerare ecuația 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Dacă în ecuația ax 2 – bx + c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 +1), iar coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Exemplu. Se consideră ecuația 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Dacă în Ec. ax 2 + bx – c = 0 coeficient „b” este egal cu (a 2 – 1), și coeficientul „c” egal numeric cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Exemplu. Se consideră ecuația 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Dacă în ecuația ax 2 – bx – c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 – 1), iar coeficientul c este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Exemplu. Se consideră ecuația 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

teorema lui Vieta.

Teorema lui Vieta poartă numele celebrului matematician francez Francois Vieta. Folosind teorema lui Vieta, putem exprima suma și produsul rădăcinilor unui KU arbitrar în termeni de coeficienți.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

În total, numărul 14 dă doar 5 și 9. Acestea sunt rădăcinile. Cu o anumită îndemânare, folosind teorema prezentată, poți rezolva imediat multe ecuații pătratice pe cale orală.

Teorema lui Vieta, în plus. Este convenabil prin faptul că, după rezolvarea unei ecuații pătratice în mod obișnuit (printr-un discriminant), rădăcinile rezultate pot fi verificate. Recomand să faci asta mereu.

METODA DE TRANSPORT

Cu această metodă, coeficientul „a” este înmulțit cu termenul liber, ca și cum ar fi „aruncat” acestuia, motiv pentru care se numește metoda „transferului”. Această metodă este folosită atunci când rădăcinile ecuației pot fi găsite cu ușurință folosind teorema lui Vieta și, cel mai important, când discriminantul este un pătrat exact.

Dacă O± b+c≠ 0, atunci se utilizează tehnica de transfer, de exemplu:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Folosind teorema lui Vieta din ecuația (2), este ușor de determinat că x 1 = 10 x 2 = 1

Rădăcinile rezultate ale ecuației trebuie împărțite la 2 (deoarece cele două au fost „aruncate” din x 2), obținem

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Care este rațiunea? Uite ce se întâmplă.

Discriminanții ecuațiilor (1) și (2) sunt egali:

Dacă te uiți la rădăcinile ecuațiilor, obții doar numitori diferiți, iar rezultatul depinde tocmai de coeficientul lui x 2:

Al doilea (modificat) are rădăcini de 2 ori mai mari.

Prin urmare, împărțim rezultatul la 2.

*Dacă reluăm cele trei, vom împărți rezultatul la 3 etc.

Răspuns: x 1 = 5 x 2 = 0,5

mp. ur-ie și examenul de stat unificat.

Vă voi spune pe scurt despre importanța sa - TREBUIE SĂ POȚI DECIDE rapid și fără să stai pe gânduri, trebuie să cunoști pe de rost formulele rădăcinilor și discriminanților. Multe dintre problemele incluse în sarcinile de examinare unificată de stat se rezumă la rezolvarea unei ecuații pătratice (inclusiv cele geometrice).

Ceva demn de remarcat!

1. Forma de scriere a unei ecuații poate fi „implicita”. De exemplu, următoarea intrare este posibilă:

15+ 9x 2 - 45x = 0 sau 15x+42+9x 2 - 45x=0 sau 15 -5x+10x 2 = 0.

Trebuie să îl aduceți într-o formă standard (pentru a nu vă încurca atunci când rezolvați).

2. Amintiți-vă că x este o cantitate necunoscută și poate fi notat cu orice altă literă - t, q, p, h și altele.

Ecuațiile cuadratice sunt studiate în clasa a VIII-a, așa că nu este nimic complicat aici. Capacitatea de a le rezolva este absolut necesară.

O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde coeficienții a, b și c sunt numere arbitrare și a ≠ 0.

Înainte de a studia metode specifice soluții, rețineți că toate ecuațiile pătratice pot fi împărțite în trei clase:

1. Nu au rădăcini;
2. Au exact o rădăcină;
3. Au două rădăcini diferite.

Aceasta este o diferență importantă între ecuațiile pătratice și cele liniare, unde rădăcina există întotdeauna și este unică. Cum se determină câte rădăcini are o ecuație? Există un lucru minunat pentru asta - discriminant.

Discriminant

Să fie dată ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0 Atunci discriminantul este pur și simplu numărul D = b 2 − 4ac.

Trebuie să știi această formulă pe de rost. De unde vine nu este important acum. Un alt lucru este important: prin semnul discriminantului poți determina câte rădăcini are o ecuație pătratică. Anume:

1. Daca D< 0, корней нет;
2. Dacă D = 0, există exact o rădăcină;
3. Dacă D > 0, vor exista două rădăcini.

Vă rugăm să rețineți: discriminantul indică numărul de rădăcini și deloc semnele acestora, așa cum cred din anumite motive mulți oameni. Aruncă o privire la exemple și vei înțelege totul singur:

Sarcină. Câte rădăcini au ecuațiile pătratice:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Să scriem coeficienții pentru prima ecuație și să găsim discriminantul:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Deci discriminantul este pozitiv, deci ecuația are două rădăcini diferite. Analizăm a doua ecuație într-un mod similar:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Ultima ecuație rămasă este:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Discriminantul este zero - rădăcina va fi una.

Vă rugăm să rețineți că au fost notați coeficienți pentru fiecare ecuație. Da, este lung, da, este plictisitor, dar nu vei amesteca șansele și nu vei face greșeli stupide. Alege pentru tine: viteza sau calitate.

Apropo, dacă înțelegi, după un timp nu va mai fi nevoie să notezi toți coeficienții. Vei efectua astfel de operații în capul tău. Majoritatea oamenilor încep să facă asta undeva după 50-70 de ecuații rezolvate - în general, nu atât de mult.

Rădăcinile unei ecuații pătratice

Acum să trecem la soluția în sine. Dacă discriminantul D > 0, rădăcinile pot fi găsite folosind formulele:

Formula de bază pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Când D = 0, puteți folosi oricare dintre aceste formule - veți obține același număr, care va fi răspunsul. În sfârșit, dacă D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Prima ecuație:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ecuația are două rădăcini. Să le găsim:

A doua ecuație:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ecuația are din nou două rădăcini. Să le găsim

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

În sfârșit, a treia ecuație:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ecuația are o rădăcină. Se poate folosi orice formulă. De exemplu, primul:

După cum puteți vedea din exemple, totul este foarte simplu. Dacă știi formulele și poți număra, nu vor fi probleme. Cel mai adesea, erorile apar la înlocuirea coeficienților negativi în formulă. Iată, din nou, tehnica descrisă mai sus vă va ajuta: uitați-vă la formula literal, notați fiecare pas - și foarte curând veți scăpa de greșeli.

Ecuații patratice incomplete

Se întâmplă ca o ecuație pătratică să fie ușor diferită de ceea ce este dat în definiție. De exemplu:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Este ușor de observat că acestor ecuații lipsește unul dintre termeni. Astfel de ecuații pătratice sunt chiar mai ușor de rezolvat decât cele standard: nici măcar nu necesită calcularea discriminantului. Deci, să introducem un nou concept:

Ecuația ax 2 + bx + c = 0 se numește ecuație pătratică incompletă dacă b = 0 sau c = 0, adică. coeficientul variabilei x sau al elementului liber este egal cu zero.

Desigur, un caz foarte dificil este posibil când ambii acești coeficienți sunt egali cu zero: b = c = 0. În acest caz, ecuația ia forma ax 2 = 0. Evident, o astfel de ecuație are o singură rădăcină: x = 0.

Să luăm în considerare cazurile rămase. Fie b = 0, atunci obținem o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0. Să o transformăm puțin:

Deoarece rădăcina pătrată aritmetică există doar dintr-un număr nenegativ, ultima egalitate are sens doar pentru (−c /a) ≥ 0. Concluzie:

1. Dacă într-o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0 este satisfăcută inegalitatea (−c /a) ≥ 0, vor exista două rădăcini. Formula este dată mai sus;
2. Dacă (−c /a)< 0, корней нет.

După cum puteți vedea, nu a fost necesar un discriminant - nu există deloc calcule complexe în ecuațiile pătratice incomplete. De fapt, nici nu este necesar să ne amintim inegalitatea (−c /a) ≥ 0. Este suficient să exprimăm valoarea x 2 și să vedem ce este de cealaltă parte a semnului egal. Dacă există un număr pozitiv, vor exista două rădăcini. Dacă este negativ, nu vor exista deloc rădăcini.

Acum să ne uităm la ecuații de forma ax 2 + bx = 0, în care elementul liber este egal cu zero. Totul este simplu aici: vor exista întotdeauna două rădăcini. Este suficient să factorizezi polinomul:

Scoaterea factorului comun din paranteze

Produsul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. De aici vin rădăcinile. În concluzie, să ne uităm la câteva dintre aceste ecuații:

Sarcină. Rezolvarea ecuațiilor pătratice:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nu există rădăcini, pentru că un pătrat nu poate fi egal cu un număr negativ.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.