Teoria limitelor- una dintre secțiuni analiză matematică, pe care unii îl pot stăpâni, alții au dificultăți în calcularea limitelor. Întrebarea găsirii limitelor este destul de generală, deoarece există zeci de tehnici limite de soluție diverse tipuri. Aceleași limite pot fi găsite atât folosind regula lui L'Hopital, cât și fără ea. Se întâmplă ca programarea unei serii de funcții infinitezimale vă permite să obțineți rapid rezultatul dorit. Există un set de tehnici și trucuri care vă permit să găsiți limita unei funcții de orice complexitate. În acest articol vom încerca să înțelegem principalele tipuri de limite care sunt cel mai des întâlnite în practică. Nu vom da aici teoria și definiția limitei, există multe resurse pe Internet unde se discută acest lucru. Prin urmare, să trecem la calcule practice, aici este „Nu știu, nu pot!”

Calcularea limitelor folosind metoda substituției

Exemplul 1. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Rezolvare: Exemple de acest fel pot fi calculate teoretic folosind substituția obișnuită

Limita este 18/11.
Nu este nimic complicat sau înțelept în legătură cu astfel de limite - am înlocuit valoarea, am calculat-o și am notat limita ca răspuns. Cu toate acestea, pe baza unor astfel de limite, toată lumea este învățată că în primul rând trebuie să înlocuiască valoarea în funcție. În plus, limitele devin mai complicate, introducând conceptul de infinit, incertitudine și altele asemenea.

O limită cu incertitudine ca infinitul împărțit la infinit. Tehnici de dezvăluire a incertitudinii

Exemplul 2. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=infinit).
Rezolvare: este dată o limită a formei polinom împărțită la un polinom, iar variabila tinde spre infinit

Pur și simplu înlocuirea valorii la care ar trebui găsită variabila pentru a găsi limitele nu va ajuta, obținem o incertitudine de forma infinit împărțită la infinit.
Conform teoriei limitelor, algoritmul de calcul al limitei este de a găsi cea mai mare putere a lui „x” în numărător sau numitor. În continuare, numărătorul și numitorul sunt simplificați la acesta și se găsește limita funcției

Deoarece valoarea tinde spre zero atunci când variabila se apropie de infinit, acestea sunt neglijate sau sunt scrise în expresia finală sub formă de zerouri.

Imediat din practică, puteți obține două concluzii care sunt un indiciu în calcule. Dacă o variabilă tinde spre infinit și gradul numărătorului este mai mare decât gradul numitorului, atunci limita este egală cu infinitul. În caz contrar, dacă polinomul din numitor este de ordin mai mare decât în ​​numărător, limita este zero.
Limita poate fi scrisă în formule ca aceasta:

Dacă avem o funcție de forma unui câmp obișnuit fără fracții, atunci limita sa este egală cu infinitul

Următorul tip de limite se referă la comportamentul funcțiilor aproape de zero.

Exemplul 3. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Soluție: Nu este nevoie să eliminați aici factorul conducător al polinomului. Exact invers, trebuie să găsești cel mai mic grad numărătorul și numitorul și calculați limita

valoarea x^2; x tinde spre zero atunci când variabila tinde spre zero. Prin urmare, ele sunt neglijate, deci obținem

că limita este 2,5.

Acum știi cum să găsiți limita unei funcții din formă, împărțiți un polinom la un polinom dacă variabila tinde spre infinit sau 0. Dar aceasta este doar o mică și ușoară parte a exemplelor. Din următorul material veți învăța cum să descoperiți incertitudinile în limitele unei funcții.

Limită cu incertitudine de tip 0/0 și metode de calcul a acesteia

Toată lumea își amintește imediat regula că nu poți împărți la zero. Totuși, teoria limitelor în acest context implică funcții infinitezimale.
Să ne uităm la câteva exemple pentru claritate.

Exemplul 4. Găsiți limita unei funcții
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Rezolvare: Când înlocuim valoarea variabilei x = -1 în numitor, obținem zero și obținem același lucru la numărător. Deci avem incertitudinea formei 0/0.
Abordarea unei astfel de incertitudini este simplă: trebuie să factorizați polinomul sau, mai degrabă, să selectați factorul care transformă funcția în zero.

După extindere, limita funcției poate fi scrisă ca

Aceasta este întreaga metodă de calcul a limitei unei funcții. Facem același lucru dacă există o limită a formei polinom împărțit la un polinom.

Exemplul 5. Găsiți limita unei funcții
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Soluție: Substituirea directă arată
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
ce avem incertitudine de tip 0/0.
Să împărțim polinoamele la factorul care introduce singularitatea


Există profesori care învață că polinoamele de ordinul 2, adică de tipul „ecuații pătratice”, trebuie rezolvate prin discriminant. Dar practica reală arată că acest lucru este mai lung și mai confuz, așa că scăpați de caracteristicile în limitele conform algoritmului specificat. Astfel, scriem funcția sub formă de factori simpli și o calculăm în limită

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în calcularea unor astfel de limite. Până când studiezi limitele, știi să împarți polinoamele, cel puțin conform programului pe care ar fi trebuit să-l fi trecut deja.
Printre sarcinile pe incertitudine de tip 0/0 Există unele în care trebuie să utilizați formule de înmulțire abreviate. Dar dacă nu le cunoașteți, atunci împărțind un polinom la un monom puteți obține formula dorită.

Exemplul 6. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Rezolvare: Avem o incertitudine de tip 0/0. La numărător folosim formula de înmulțire prescurtată

și calculați limita necesară

Metodă de dezvăluire a incertitudinii prin înmulțirea cu conjugatul său

Metoda se aplică la limitele în care incertitudinea este generată de funcțiile iraționale. Numătorul sau numitorul se transformă în zero în punctul de calcul și nu se știe cum să se găsească granița.

Exemplul 7. Găsiți limita unei funcții
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Soluţie: Să reprezentăm variabila în formula limită

La substituire, obținem o incertitudine de tip 0/0.
Conform teoriei limitelor, modalitatea de a ocoli această caracteristică este de a multiplica expresia irațională cu conjugatul ei. Pentru a vă asigura că expresia nu se schimbă, numitorul trebuie împărțit la aceeași valoare

Folosind regula diferenței de pătrate, simplificăm numărătorul și calculăm limita funcției

Simplificam termenii care creeaza singularitatea in limita si efectuam substitutia

Exemplul 8. Găsiți limita unei funcții
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Rezolvare: Substituția directă arată că limita are o singularitate de forma 0/0.

Pentru a extinde, înmulțim și împărțim la conjugatul numărătorului

Notăm diferența de pătrate

Simplificam termenii care introduc singularitatea si gasim limita functiei

Exemplul 9. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Soluție: Înlocuiți două în formulă

Primim incertitudine 0/0.
Numitorul trebuie înmulțit cu expresia conjugată, iar numărătorul trebuie rezolvat ecuație pătratică sau factorizați, ținând cont de singularitate. Deoarece se știe că 2 este o rădăcină, găsim a doua rădăcină folosind teorema lui Vieta

Astfel, scriem numeratorul sub forma

și înlocuiți-l în limită

Prin reducerea diferenței de pătrate, scăpăm de singularitățile din numărător și numitor

În acest fel, puteți scăpa de singularități în multe exemple, iar aplicația trebuie remarcată oriunde o anumită diferență de rădăcini se transformă în zero în timpul înlocuirii. Alte tipuri de limite se referă funcții exponențiale, funcții infinitezimale, logaritmi, limite speciale și alte tehnici. Dar puteți citi despre acest lucru în articolele enumerate mai jos despre limite.

Acest calculator de matematică online vă va ajuta dacă aveți nevoie de el calculați limita unei funcții. Program limite de soluție nu numai că oferă răspunsul problemei, ci conduce solutie detaliata cu explicatii, adică afișează procesul de calcul al limitei.

Acest program poate fi util pentru elevii de liceu scoli mediiîn pregătire pentru testeși examene, la testarea cunoștințelor înainte de Examenul de stat unificat, pentru ca părinții să controleze rezolvarea multor probleme de matematică și algebră.

Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi noi manuale? Sau vrei doar să-ți faci temele de matematică sau algebră cât mai repede posibil? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu soluții detaliate. În acest fel, vă puteți conduce propriul antrenament și/sau antrenament al dvs. frati mai mici

sau surori, în timp ce nivelul de educație în domeniul problemelor în curs de rezolvare crește.

Introduceți o expresie de funcție

Calculați limita
S-a descoperit că unele scripturi necesare pentru a rezolva această problemă nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.

În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.
JavaScript este dezactivat în browserul dvs.
Pentru ca soluția să apară, trebuie să activați JavaScript.

Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browser.
Deoarece Există o mulțime de oameni dispuși să rezolve problema, cererea dvs. a fost pusă în coadă.
În câteva secunde, soluția va apărea mai jos. Va rugam asteptati

sec... Dacă tu observat o eroare în soluție
, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback. Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce.

intra in campuri

Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:

Puțină teorie.

Limita funcției la x->x 0

Fie ca funcția f(x) să fie definită pe o mulțime X și să fie punctul \(x_0 \in X\) sau \(x_0 \notin X\)
Să luăm de la X o secvență de puncte diferită de x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
convergând spre x*. Valorile funcției în punctele acestei secvențe formează, de asemenea, o secvență numerică
şi se poate pune problema existenţei limitei sale.

Definiţie. Numărul A se numește limita funcției f(x) în punctul x = x 0 (sau la x -> x 0), dacă pentru orice succesiune (1) de valori ale argumentului x diferă de x 0 convergând la x 0, funcția de succesiune corespunzătoare (2) de valori converge către numărul A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Funcția f(x) poate avea o singură limită în punctul x 0. Aceasta rezultă din faptul că secvența
(f(x n)) are o singură limită.

Există o altă definiție a limitei unei funcții.

Definiţie Numărul A se numește limita funcției f(x) în punctul x = x 0 dacă pentru orice număr \(\varepsilon > 0\) există un număr \(\delta > 0\) astfel încât pentru toate \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), satisfăcând inegalitatea \(|x-x_0| Folosind simboluri logice, această definiție poate fi scrisă ca
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Rețineți că inegalitățile \(x \neq x_0) , \; |x-x_0| Prima definiție se bazează pe conceptul de limită succesiune de numere, motiv pentru care este adesea numită o definiție „limbaj de secvență”. A doua definiție se numește definiția „în limba \(\varepsilon - \delta \)”.
Aceste două definiții ale limitei unei funcții sunt echivalente și puteți folosi oricare dintre ele în funcție de care este mai convenabil pentru rezolvarea unei anumite probleme.

Rețineți că definiția limitei unei funcții „în limbajul secvențelor” se mai numește și definiția limitei unei funcții conform Heine, iar definiția limitei unei funcții „în limbajul \(\varepsilon - \delta \)” se mai numește și definiția limitei unei funcții după Cauchy.

Limita funcției la x->x 0 - și la x->x 0 +

În cele ce urmează, vom folosi conceptele de limite unilaterale ale unei funcții, care sunt definite după cum urmează.

Definiţie Numărul A se numește limita din dreapta (stânga) a funcției f(x) în punctul x 0 dacă pentru orice succesiune (1) care converge către x 0, ale cărei elemente x n sunt mai mari (mai mici decât) x 0, secvența corespunzătoare (2) converge către A.

Simbolic este scris astfel:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Putem da o definiție echivalentă a limitelor unilaterale ale unei funcții „în limbajul \(\varepsilon - \delta \)”:

Definiţie un număr A se numește limita dreaptă (stânga) a funcției f(x) în punctul x 0 dacă pentru orice \(\varepsilon > 0\) există \(\delta > 0\) astfel încât pentru toate x care satisfac inegalitățile \(x_0 intrări simbolice:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Din articolul de mai sus puteți afla care este limita și cu ce se mănâncă - acest lucru este FOARTE important. De ce? Este posibil să nu înțelegeți ce sunt determinanții și să îi rezolvați cu succes este posibil să nu înțelegeți deloc ce este o derivată și să le găsiți cu un „A”. Dar dacă nu înțelegeți ce este o limită, atunci rezolvarea sarcinilor practice va fi dificilă. De asemenea, ar fi o idee bună să vă familiarizați cu soluțiile eșantionului și cu recomandările mele de proiectare. Toate informațiile sunt prezentate într-o formă simplă și accesibilă.

Și pentru scopuri această lecție Vom avea nevoie de următoarele materiale didactice: Limite minunateŞi Formule trigonometrice. Ele pot fi găsite pe pagină. Cel mai bine este să tipăriți manualele - este mult mai convenabil și, în plus, va trebui adesea să le consultați offline.

Ce este atât de special la limitele remarcabile? Lucrul remarcabil la aceste limite este că au fost dovedite de cele mai mari minți ale matematicienilor celebri, iar descendenții recunoscători nu trebuie să sufere de limite teribile cu o acumulare. funcții trigonometrice, logaritmi, puteri. Adică, atunci când găsim limitele, vom folosi rezultate gata făcute care au fost dovedite teoretic.

Există câteva limite minunate, dar în practică, în 95% din cazuri, studenții cu fracțiune de normă au două limite minunate: Prima limită minunată, A doua limită minunată. Trebuie remarcat faptul că acestea sunt nume consacrate istoric, iar când, de exemplu, se vorbește despre „prima limită remarcabilă”, ele înțeleg prin aceasta un lucru foarte specific, și nu o limită aleatorie luată din plafon.

Prima limită minunată

Luați în considerare următoarea limită: (în loc de litera nativă „el” voi folosi litera greacă „alfa”, acest lucru este mai convenabil din punctul de vedere al prezentării materialului).

Conform regulii noastre de găsire a limitelor (vezi articolul Limite. Exemple de soluții) încercăm să înlocuim zero în funcție: la numărător obținem zero (sinusul lui zero este zero), iar la numitor, evident, există și zero. Astfel, ne confruntăm cu o incertitudine a formei, care, din fericire, nu trebuie dezvăluită. Pe parcursul analizei matematice, se dovedește că:

Acest fapt matematic se numește Prima limită minunată. Nu voi da o dovadă analitică a limitei, dar ne vom uita la semnificația ei geometrică în lecția despre funcții infinitezimale.

Adesea, în sarcinile practice, funcțiile pot fi aranjate diferit, acest lucru nu schimbă nimic:

- aceeași primă limită minunată.

Dar nu poți rearanja numitorul și numitorul singur! Dacă o limită este dată în forma , atunci aceasta trebuie rezolvată în aceeași formă, fără a rearanja nimic.

În practică, nu doar o variabilă poate acționa ca parametru, ci și functie elementara, funcție complexă. Singurul lucru important este că tinde spre zero.

Exemple:
, , ,

Aici , , , , și totul este bine - se aplică prima limită minunată.

Dar următoarea intrare este erezie:

De ce? Deoarece polinomul nu tinde spre zero, tinde spre cinci.

Apropo, o întrebare rapidă: de ce? limită egală ? Răspunsul poate fi găsit la sfârșitul lecției.

În practică, nu totul este atât de simplu, aproape niciodată unui student nu i se oferă să rezolve o limită gratuită și să obțină un permis ușor. Hmmm... Scriu aceste rânduri și mi-a venit în minte un gând foarte important - la urma urmei, este mai bine să ne amintim definițiile și formulele matematice „libere” pe de rost, acest lucru poate oferi un ajutor neprețuit în test, când întrebarea va fi să fie decis între „doi” și „trei”, iar profesorul decide să pună elevului o întrebare simplă sau să ofere de rezolvat cel mai simplu exemplu(„poate el (e) mai știe ce?!”).

Să trecem la a lua în considerare exemple practice:

Exemplul 1

Găsiți limita

Dacă observăm un sinus în limită, atunci acest lucru ar trebui să ne conducă imediat să ne gândim la posibilitatea aplicării primei limite remarcabile.

În primul rând, încercăm să substituim 0 în expresia de sub semnul limită (facem acest lucru mental sau într-o schiță):

Deci avem o incertitudine a formei asigurați-vă că indicațiîn luarea unei decizii. Expresia sub semnul limită este asemănătoare cu prima limită minunată, dar nu este tocmai aceasta, este sub sinus, ci în numitor.

În astfel de cazuri, trebuie să organizăm singuri prima limită remarcabilă, folosind o tehnică artificială. Linia de raționament ar putea fi următoarea: „sub sinus avem , ceea ce înseamnă că trebuie să intrăm și în numitor”.
Și acest lucru se face foarte simplu:

Adică, numitorul este înmulțit artificial cu în acest caz, cu 7 și este divizibil cu același șapte. Acum, înregistrarea noastră a căpătat o formă familiară.
Când sarcina este întocmită manual, este recomandabil să marcați prima limită remarcabilă cu un creion simplu:

Ce s-a întâmplat? De fapt, expresia noastră încercuită s-a transformat într-o unitate și a dispărut în lucrare:

Acum tot ce rămâne este să scăpăm de fracția cu trei etaje:

Cine a uitat de simplificarea fracțiilor cu mai multe niveluri, vă rugăm să reîmprospătați materialul din cartea de referință Formule fierbinți pentru cursul școlar de matematică .

Gata. Raspuns final:

Dacă nu doriți să utilizați semne de creion, atunci soluția poate fi scrisă astfel:

“

Să folosim prima limită minunată

“

Exemplul 2

Găsiți limita

Din nou vedem o fracție și un sinus în limită. Să încercăm să înlocuim zero în numărător și numitor:

Într-adevăr, avem incertitudine și, prin urmare, trebuie să încercăm să organizăm prima limită minunată. În clasă Limite. Exemple de soluții am considerat regula că atunci când avem incertitudine, trebuie să factorizăm numărătorul și numitorul. Aici este același lucru, vom reprezenta gradele ca produs (multiplicatori):

Similar cu exemplul anterior, desenăm un creion în jurul limitelor remarcabile (aici sunt două dintre ele) și indicăm că acestea tind spre unitate:

De fapt, răspunsul este gata:

În următoarele exemple, nu voi face artă în Paint, mă gândesc cum să elaborez corect o soluție într-un caiet - ați înțeles deja.

Exemplul 3

Găsiți limita

Inlocuim zero in expresia sub semnul limita:

S-a obținut o incertitudine care trebuie dezvăluită. Dacă există o tangentă în limită, atunci aceasta este aproape întotdeauna convertită în sinus și cosinus folosind binecunoscuta formulă trigonometrică (apropo, ei fac aproximativ același lucru cu cotangente, vezi Fig. material metodologic Formule trigonometrice fierbinți pe pagina Formule matematice, tabele și materiale de referință).

În acest caz:

Cosinusul lui zero este egal cu unu și este ușor să scapi de el (nu uitați să marcați că tinde spre unu):

Astfel, dacă în limită cosinusul este un MULTIPLICATOR, atunci, în linii mari, trebuie transformat într-o unitate, care dispare în produs.

Aici totul a ieșit mai simplu, fără înmulțiri și împărțiri. Prima limită remarcabilă se transformă și ea într-una și dispare în produs:

Ca rezultat, se obține infinitul și se întâmplă acest lucru.

Exemplul 4

Găsiți limita

Să încercăm să înlocuim zero în numărător și numitor:

Se obține incertitudinea (cosinusul lui zero, după cum ne amintim, este egal cu unu)

Noi folosim formula trigonometrică. Ia notă! Din anumite motive, limitele care utilizează această formulă sunt foarte frecvente.

Să mutăm factorii constanți dincolo de pictograma limită:

Să organizăm prima limită minunată:

Aici avem o singură limită remarcabilă, care se transformă într-una și dispare în produs:

Să scăpăm de structura cu trei etaje:

Limita este de fapt rezolvată, indicăm că sinusul rămas tinde spre zero:

Exemplul 5

Găsiți limita

Acest exemplu este mai complicat, încercați să vă dați seama singur:

Unele limite pot fi reduse la prima limită remarcabilă prin schimbarea unei variabile, puteți citi despre asta puțin mai târziu în articol Metode de rezolvare a limitelor.

A doua limită minunată

În teoria analizei matematice s-a dovedit că:

Acest fapt se numește a doua limită minunată.

Referinţă: este un număr irațional.

Parametrul poate fi nu numai o variabilă, ci și o funcție complexă. Singurul lucru important este că tinde spre infinit.

Exemplul 6

Găsiți limita

Când expresia de sub semnul limită este într-un grad, acesta este primul semn că trebuie să încercați să aplicați a doua limită minunată.

Dar mai întâi, ca întotdeauna, încercăm să substituim un număr infinit de mare în expresie, principiul după care se face acest lucru este discutat în lecție Limite. Exemple de soluții.

Este ușor de observat că atunci când baza gradului este , iar exponentul este , adică există incertitudinea formei:

Această incertitudine este dezvăluită tocmai cu ajutorul celei de-a doua limite remarcabile. Dar, așa cum se întâmplă adesea, a doua limită minunată nu stă pe un platou de argint și trebuie să fie organizată artificial. Puteți raționa astfel: în acest exemplu parametrul este , ceea ce înseamnă că trebuie să ne organizăm și în indicator. Pentru a face acest lucru, ridicăm baza la putere și, pentru ca expresia să nu se schimbe, o ridicăm la putere:

Când sarcina este finalizată manual, notăm cu un creion:

Aproape totul este gata, gradul teribil s-a transformat într-o scrisoare frumoasă:

În acest caz, mutăm pictograma limită în sine la indicator:

Exemplul 7

Găsiți limita

Atenţie! Acest tip de limită apare foarte des, vă rugăm să studiați acest exemplu cu atenție.

Să încercăm să substituim un număr infinit de mare în expresia de sub semnul limită:

Rezultatul este incertitudinea. Dar a doua limită remarcabilă se aplică incertitudinii formei. Ce să fac? Trebuie să convertim baza gradului. Raționăm astfel: la numitor avem , ceea ce înseamnă că la numărător trebuie să organizăm și .

Număr constant O numit limită secvente(x n ), dacă pentru orice număr pozitiv arbitrar micε > 0 există un număr N care are toate valorile x n, pentru care n>N, satisface inegalitatea

|x n - a|< ε. (6.1)

Notează-l după cum urmează: sau x n → o.

Inegalitatea (6.1) este echivalentă cu inegalitatea dublă

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

ceea ce înseamnă că punctele x n, pornind de la un număr n>N, se află în interiorul intervalului (a-ε, a+ ε ), adică cad în orice micε -vecinatatea unui punct O.

Se numește o secvență care are o limită convergent, altfel - divergente.

Conceptul de limită a funcției este o generalizare a conceptului de limită a secvenței, deoarece limita unei secvențe poate fi considerată ca limita unei funcții x n = f(n) a unui argument întreg n.

Fie dată funcția f(x) și fie o - punct limită domeniul de definitie al acestei functii D(f), i.e. un astfel de punct, a cărui vecinătate conține puncte ale mulțimii D(f) altele decât o. Punct o poate aparține sau nu mulțimii D(f).

Definiția 1.Numărul constant A se numește limită funcții f(x) la x→a, dacă pentru orice succesiune (x n ) de valori ale argumentelor care tind la O, secvențele corespunzătoare (f(x n)) au aceeași limită A.

Această definiție se numește prin definirea limitei unei funcții după Heine, sau " în limbajul succesiv”.

Definiția 2. Numărul constant A se numește limită funcții f(x) la x→a, dacă, prin specificarea unui arbitrar arbitrar mic număr pozitiv ε , se poate găsi astfel de δ>0 (în funcție de ε), care este pentru toată lumea x, întins înăuntruε-vecinătăți ale numărului O, adică Pentru x, satisfacerea inegalitatii
0 < x-a< ε , se vor afla valorile funcției f(x).ε-vecinatatea numarului A, i.e.|f(x)-A|< ε.

Această definiție se numește prin definirea limitei unei funcții după Cauchy, sau „în limbajul ε - δ “.

Definițiile 1 și 2 sunt echivalente. Dacă funcția f(x) ca x →a are limită, egal cu A, aceasta se scrie sub forma

. (6.3)

În cazul în care șirul (f(x n)) crește (sau scade) fără limită pentru orice metodă de aproximare x la limita ta O, atunci vom spune că funcția f(x) are limita infinita, si scrie-l sub forma:

Se numește o variabilă (adică o secvență sau o funcție) a cărei limită este zero infinit de mici.

Se numește o variabilă a cărei limită este egală cu infinitul infinit de mare.

Pentru a găsi limita în practică, se folosesc următoarele teoreme.

Teorema 1 . Dacă există orice limită

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Comentariu. Expresii ca 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - sunt incerte, de exemplu, raportul a două cantități infinit de mici sau infinit de mari, iar găsirea unei limite de acest tip se numește „descoperirea incertitudinilor”.

Teorema 2. (6.7)

aceste. se poate ajunge la limita pe baza puterii cu un exponent constant, în special, ;

(6.8)

(6.9)

Teorema 3.

(6.10)

(6.11)

Unde e » 2.7 - baza logaritmului natural. Formulele (6.10) și (6.11) se numesc primele limita minunata iar a doua limită remarcabilă.

Consecințele formulei (6.11) sunt de asemenea utilizate în practică:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

în special limita,

Dacă x → a și în același timp x > a, apoi scrieți x→a + 0. Dacă, în special, a = 0, atunci în locul simbolului 0+0 scrieți +0. În mod similar, dacă x→a și în același timp x a-0. Numerele și sunt chemați în consecință limita dreaptaŞi limita stângă funcții f(x) la punct O. Pentru ca să existe o limită a funcției f(x) ca x→a este necesar şi suficient pentru ca . Se numește funcția f(x). continuu la punct x 0 dacă limită

. (6.15)

Condiția (6.15) poate fi rescrisă ca:

,

adică trecerea la limita sub semnul unei funcţii este posibilă dacă aceasta este continuă într-un punct dat.

Dacă egalitatea (6.15) este încălcată, atunci spunem că la x = x o funcţie f(x) are decalaj Se consideră funcția y = 1/x. Domeniul de definire al acestei funcții este mulțimea R, cu excepția x = 0. Punctul x = 0 este un punct limită al mulțimii D(f), deoarece în orice vecinătate a acesteia, i.e. în orice interval deschis care conține punctul 0, există puncte din D(f), dar el însuși nu aparține acestei mulțimi. Valoarea f(x o)= f(0) este nedefinită, deci în punctul x o = 0 funcția are o discontinuitate.

Se numește funcția f(x). continuă pe dreapta la punct x o dacă limita

,

Şi continuu pe stanga la punct x o, dacă limita

Continuitatea unei funcții într-un punct x o este echivalentă cu continuitatea sa în acest punct atât la dreapta cât și la stânga.

Pentru ca funcția să fie continuă la punct x o, de exemplu, în dreapta, este necesar, în primul rând, să existe o limită finită, iar în al doilea rând, ca această limită să fie egală cu f(x o). Prin urmare, dacă cel puțin una dintre aceste două condiții nu este îndeplinită, atunci funcția va avea o discontinuitate.

1. Dacă limita există și nu este egală cu f(x o), atunci ei spun că funcţie f(x) la punct x o are ruptura de primul fel, sau salt.

2. Dacă limita este+∞ sau -∞ sau nu există, atunci ei spun că în punct x o funcţia are o discontinuitate al doilea fel.

De exemplu, funcția y = cot x la x→ +0 are o limită egală cu +∞, ceea ce înseamnă că în punctul x=0 are o discontinuitate de al doilea fel. Funcția y = E(x) (parte întreagă a x) în puncte cu abscise întregi are discontinuități de primul fel, sau salturi.

Se numește o funcție care este continuă în fiecare punct al intervalului continuu V . O funcție continuă este reprezentată printr-o curbă solidă.

Multe probleme asociate cu creșterea continuă a unei cantități conduc la a doua limită remarcabilă. Astfel de sarcini, de exemplu, includ: creșterea zăcămintelor conform legii interesului compus, creșterea populației țării, degradarea substanțelor radioactive, proliferarea bacteriilor etc.

Să luăm în considerare exemplu de Ya. I. Perelman, oferind o interpretare a numărului eîn problema dobânzii compuse. Număr e există o limită . În băncile de economii, la capitalul fix se adaugă anual bani din dobânzi. Dacă aderarea se face mai des, atunci capitalul crește mai repede, deoarece o sumă mai mare este implicată în formarea dobânzii. Să luăm un exemplu pur teoretic, foarte simplificat. Să fie depuși 100 de denari în bancă. unitati bazat pe 100% pe an. Dacă banii de dobândă se adaugă la capitalul fix numai după un an, atunci până în această perioadă 100 den. unitati se va transforma in 200 de unitati monetare. Acum să vedem în ce se vor transforma 100 denize. unități, dacă banii de dobândă se adaugă la capitalul fix la fiecare șase luni. După șase luni, 100 den. unitati va crește la 100× 1,5 = 150, iar după alte șase luni - 150× 1,5 = 225 (unități den.). Daca aderarea se face la fiecare 1/3 din an, atunci dupa un an 100 den. unitati se va transforma in 100× (1 +1/3) 3 " 237 (den. unităţi). Vom mări termenii pentru adăugarea banilor de dobândă la 0,1 an, la 0,01 an, la 0,001 an etc. Apoi din 100 den. unitati dupa un an va fi:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unități den.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unități den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unități den.).

Cu o reducere nelimitată a termenelor de adunare a dobânzii, capitalul acumulat nu crește la nesfârșit, ci se apropie de o anumită limită egală cu aproximativ 271. Capitalul depus la 100% pe an nu poate crește de mai mult de 2,71 ori, chiar dacă dobânda acumulată. au fost adăugate la capital în fiecare secundă deoarece limita

Exemplul 3.1.Folosind definiția limitei unei secvențe de numere, demonstrați că șirul x n =(n-1)/n are o limită egală cu 1.

Soluţie.Trebuie să dovedim asta, orice ar fiε > 0, indiferent ce luăm, pentru el există un număr natural N astfel încât pentru toți n N inegalitatea este valabilă|x n -1|< ε.

Să luăm orice e > 0. Deoarece ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, atunci pentru a găsi N este suficient să rezolvi inegalitatea 1/n< e. Prin urmare n>1/ e și, prin urmare, N poate fi luat ca o parte întreagă a lui 1/ e, N = E(1/ e ). Am demonstrat astfel că limita .

Exemplul 3.2 . Aflați limita unei șiruri date de un termen comun .

Soluţie.Să aplicăm limita teoremei sumei și să găsim limita fiecărui termen. Când n→ ∞ numărătorul și numitorul fiecărui termen tind spre infinit și nu putem aplica direct teorema limitei coeficientului. Prin urmare, mai întâi ne transformăm x n, împărțind numărătorul și numitorul primului termen la n 2, iar al doilea pe n. Apoi, aplicând limita coeficientului și limita teoremei sumei, găsim:

.

Exemplul 3.3. . Găsiți .

Soluţie. .

Aici am folosit teorema limitei gradului: limita unui grad este egală cu gradul limitei bazei.

Exemplul 3.4 . Găsiți ( ).

Soluţie.Este imposibil de aplicat teorema limitei diferenței, deoarece avem o incertitudine a formei ∞-∞ . Să transformăm formula generală a termenului:

.

Exemplul 3.5 . Este dată funcția f(x)=2 1/x. Demonstrează că nu există limită.

Soluţie.Să folosim definiția 1 a limitei unei funcții printr-o secvență. Să luăm o secvență ( x n ) convergentă la 0, adică. Să arătăm că valoarea f(x n)= se comportă diferit pentru secvențe diferite. Fie x n = 1/n. Evident, atunci limita Să alegem acum ca x n o secvență cu un termen comun x n = -1/n, de asemenea, tinde spre zero. Prin urmare, nu există limită.

Exemplul 3.6 . Demonstrează că nu există limită.

Soluţie.Fie x 1 , x 2 ,..., x n ,... o succesiune pentru care
. Cum se comportă șirul (f(x n)) = (sin x n) pentru diferite x n → ∞

Dacă x n = p n, atunci sin x n = sin p n = 0 pentru toate n iar limita Dacă
x n =2 p n+ p /2, atunci sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 pentru toate n si deci limita. Deci nu există.

Widget pentru calcularea limitelor on-line

În fereastra de sus, în loc de sin(x)/x, introduceți funcția a cărei limită doriți să găsiți. În fereastra de jos, introduceți numărul la care tinde x și faceți clic pe butonul Calculator, obțineți limita dorită. Și dacă în fereastra de rezultate dați clic pe Afișare pași în colțul din dreapta sus, veți obține o soluție detaliată.

Reguli pentru introducerea funcțiilor: sqrt(x) - rădăcină pătrată, cbrt(x) - rădăcină cubă, exp(x) - exponent, ln(x) - logaritm natural, sin(x) - sinus, cos(x) - cosinus, tan (x) - tangentă, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsinus, arccos(x) - arccosinus, arctan(x) - arctangent. Semne: * înmulțire, / împărțire, ^ exponențiere, în schimb infinit Infinit. Exemplu: funcția este introdusă ca sqrt(tan(x/2)).

Funcţie y = f (x) este o lege (regulă) conform căreia fiecare element x al mulțimii X este asociat cu unul și un singur element y al mulțimii Y.

Elementul x ∈ X numit argumentul funcției sau variabilă independentă.
Elementul y ∈ Y numit valoarea functiei sau variabilă dependentă.

Se numește mulțimea X domeniul functiei.
Set de elemente y ∈ Y, care au preimagini în setul X, se numește zonă sau set de valori ale funcției.

Funcția reală este numită limitat de sus (de jos), dacă există un număr M astfel încât inegalitatea să fie valabilă pentru toți:
.
Se apelează funcția de număr limitat, dacă există un număr M astfel încât pentru toate:
.

Marginea de sus sau limita superioară exactă O funcție reală se numește cel mai mic număr care își limitează intervalul de valori de sus. Adică acesta este un număr s pentru care, pentru toată lumea și pentru oricare, există un argument a cărui valoare a funcției depășește s′: .
Limita superioară a unei funcții poate fi notată după cum urmează:
.

Respectiv marginea de jos sau limita inferioară exactă O funcție reală se numește cel mai mare număr care își limitează intervalul de valori de jos. Adică acesta este un număr i pentru care, pentru toată lumea și pentru oricare, există un argument a cărui valoare a funcției este mai mică decât i′: .
Infimul unei funcții poate fi notat astfel:
.

Determinarea limitei unei funcții

Determinarea limitei unei funcţii după Cauchy

Limite finite ale funcției la punctele finale

Fie ca funcția să fie definită într-o vecinătate a punctului final, cu posibila excepție a punctului însuși.
.
la un moment dat, dacă pentru oricare există așa ceva, în funcție de , că pentru tot x pentru care , inegalitatea este valabilă
.
Limita unei funcții se notează după cum urmează:

Sau la .
.

Folosind simbolurile logice ale existenței și universalității, definiția limitei unei funcții poate fi scrisă după cum urmează:
Limite unilaterale.
.
Limită din stânga într-un punct (limită din stânga):
.
Limită dreaptă într-un punct (limită dreaptă):
; .

Limitele din stânga și din dreapta sunt adesea indicate după cum urmează:

Limitele finite ale unei funcții în puncte la infinit
.
.
.
Limitele în puncte la infinit sunt determinate într-un mod similar.
; ; .

Ele sunt adesea denumite ca:

Folosind conceptul de vecinătate a unui punct
.
Dacă introducem conceptul de vecinătate perforată a unui punct, atunci putem da o definiție unificată a limitei finite a unei funcții în puncte finite și infinit îndepărtate:
; ;
.
Aici pentru puncte finale
; ; .

Orice vecinătate de puncte la infinit este perforată:

Definiţie
Limite infinite ale funcției Fie definită funcția într-o vecinătate perforată a unui punct (finit sau la infinit). (x) Limita funcției f 0 ca x → x este egal cu infinitul > 0 , dacă pentru orice număr arbitrar de mare M > 0 , există un număr δ M
.
, în funcție de M, că pentru tot x aparținând δ M perforat - vecinătatea punctului: , se respectă următoarea inegalitate:
.
Limita unei funcții se notează după cum urmează:

Limita infinită se notează după cum urmează:
.

Folosind simbolurile logice ale existenței și universalității, definiția limitei infinite a unei funcții poate fi scrisă astfel:
.
.

De asemenea, puteți introduce definiții ale limitelor infinite ale anumitor semne egale cu și:

Folosind conceptul de vecinătate a unui punct, putem da o definiție universală a limitei finite și infinite a unei funcții, aplicabilă atât pentru puncte finite (bilaterale și unilaterale) cât și infinit îndepărtate:
.

Determinarea limitei unei funcţii după Heine

Să fie definită funcția pe o mulțime X:.
Numărul a se numește limita funcției la un moment dat:
,
dacă pentru orice succesiune convergentă spre x 0 :
,
ale căror elemente aparțin mulțimii X: ,
.

Să scriem această definiție folosind simbolurile logice ale existenței și universalității:
.

Dacă luăm vecinătatea din stânga a punctului x ca o mulțime X 0 , apoi obținem definiția limitei stângi. Dacă este dreptaci, atunci obținem definiția limitei drepte. Dacă luăm vecinătatea unui punct la infinit ca mulțime X, obținem definiția limitei unei funcții la infinit.

Teorema
Definițiile Cauchy și Heine ale limitei unei funcții sunt echivalente.
Dovada

Proprietăţi şi teoreme ale limitei unei funcţii

În plus, presupunem că funcțiile luate în considerare sunt definite în vecinătatea corespunzătoare a punctului, care este un număr finit sau unul dintre simbolurile: .

Poate fi, de asemenea, un punct limită unilateral, adică să aibă forma sau .

Cartierul este bilateral pentru o limită cu două laturi și unilateral pentru o limită unilaterală. (x) Proprietăți de bază Dacă valorile funcției f schimbați (sau faceți nedefinit) un număr finit de puncte x 0 .

1, x 2, x 3, ... x n 0 , atunci această modificare nu va afecta existența și valoarea limitei funcției la un punct arbitrar x (x) Dacă există o limită finită, atunci există o vecinătate perforată a punctului x
.

, pe care funcția f 0 limitat:
.
Fie funcția să aibă în punctul x 0 limită finită diferită de zero:
Atunci, pentru orice număr c din intervalul , există o astfel de vecinătate perforată a punctului x
Pentru ce,

, Dacă ;

, Dacă . 0
,
Dacă, pe o vecinătate perforată a punctului, , este o constantă, atunci .

Dacă există limite finite și și pe o vecinătate perforată a punctului x
,
Dacă, pe o vecinătate perforată a punctului, , este o constantă, atunci .
Asta .
,
Dacă , și pe o anumită vecinătate a punctului
În special, dacă se află într-o vecinătate a unui punct

atunci dacă , atunci și ; 0 :
,
dacă , atunci și .
Dacă pe o vecinătate perforată a unui punct x
.

și există limite egale finite (sau infinite ale unui anumit semn):
, Asta

Dovezile principalelor proprietăți sunt date pe pagină

„Proprietățile de bază ale limitelor unei funcții”.
Proprietăți aritmetice ale limitei unei funcții
Și să fie C o constantă, adică un număr dat. Apoi
;
;
;
Pentru ce,

Dacă, atunci.

Pe pagină sunt date dovezi ale proprietăților aritmetice
„Proprietăți aritmetice ale limitelor unei funcții”.

Criteriul Cauchy pentru existența unei limite a unei funcții

Teorema
Pentru o funcție definită pe o vecinătate perforată a unui punct finit sau infinit x 0 , a avut o limită finită în acest punct, este necesar și suficient ca pentru orice ε > 0 exista o astfel de vecinătate perforată a punctului x 0 , că pentru orice puncte și din această vecinătate este valabilă următoarea inegalitate:
.

Limita unei funcții complexe

Teorema limitei functie complexa
Fie ca funcția să aibă o limită și mapați o vecinătate perforată a unui punct pe o vecinătate perforată a unui punct.
Lăsați funcția să fie definită pe această vecinătate și aveți o limită asupra acesteia.
Iată punctele finale sau infinit îndepărtate: .
.

Vecinătățile și limitele lor corespunzătoare pot fi fie cu două laturi, fie unilaterale.
.

Atunci există o limită a unei funcții complexe și este egală cu: Teorema limită a unei funcții complexe se aplică atunci când funcția nu este definită într-un punct sau are o valoare diferită de limită.:
.
Pentru a aplica această teoremă, trebuie să existe o vecinătate perforată a punctului în care mulțimea de valori a funcției nu conține punctul:

Dacă funcția este continuă în punctul , atunci semnul limită poate fi aplicat argumentului
funcție continuă Următoarea este o teoremă corespunzătoare acestui caz. Teoremă asupra limitei unei funcții continue a unei funcții 0 Să existe o limită a funcției g 0 :
.
(t) 0 ca t → t
, și este egal cu x (x) Aici este punctul t 0 .
poate fi finit sau infinit distant: . Și fie funcția f este continuă în punctul x Atunci există o limită a funcției complexe f:
.

(g(t))
, și este egal cu f

(x0)

Demonstrațiile teoremelor sunt date pe pagină

Definiţie
„Limita și continuitatea unei funcții complexe”.
.

Funcții infinitezimale și infinit de mari Funcții infinitezimale

Se spune că o funcție este infinitezimală dacă Sumă, diferență și produs

a unui număr finit de funcții infinitezimale la este o funcție infinitezimală la .
,
Produsul unei funcții mărginit

pe o vecinătate perforată a punctului , la o infinitezimală la este o funcție infinitezimală la .

Pentru ca o funcție să aibă o limită finită, este necesar și suficient ca

Definiţie
unde este o funcție infinitezimală la .
.

„Proprietăți ale funcțiilor infinitezimale”. Funcții infinit de mari, pe o vecinătate perforată a punctului , și o funcție infinit de mare la este infinit mare functie la .

Dacă funcția este infinit de mare pentru , și funcția este mărginită pe o vecinătate perforată a punctului , atunci
.

Dacă funcția , pe o vecinătate perforată a punctului , satisface inegalitatea:
,
iar funcția este infinitezimală la:
, și (pe vreo vecinătate perforată a punctului), apoi
.

Dovezile proprietăților sunt prezentate în secțiune
„Proprietăți ale funcțiilor infinit de mari”.

Relația dintre funcțiile infinit de mari și infinitezimale

Din cele două proprietăți anterioare rezultă legătura dintre funcțiile infinit de mari și infinitezimale.

Dacă o funcție este infinit de mare la , atunci funcția este infinitezimală la .

Dacă o funcție este infinitezimală pentru , și , atunci funcția este infinit mare pentru .

Relația dintre o funcție infinitezimală și o funcție infinit de mare poate fi exprimată simbolic:
, .

Dacă o funcție infinitezimală are un anumit semn la , adică este pozitivă (sau negativă) pe o vecinătate perforată a punctului , atunci acest fapt poate fi exprimat astfel:
.
În același mod, dacă o funcție infinit de mare are un anumit semn la , atunci ei scriu:
.

Apoi legătura simbolică dintre funcțiile infinitezimale și infinit de mari poate fi completată cu următoarele relații:
, ,
, .

Formule suplimentare referitoare la simbolurile infinitului pot fi găsite pe pagină
„Punctează la infinit și proprietățile lor”.

Limitele funcţiilor monotone

Definiţie
Funcție definită pe un set numere reale X este numit crescând strict, dacă pentru toate acestea sunt valabile următoarea inegalitate:
.
În consecință, pentru strict în scădere Funcționează următoarea inegalitate:
.
Pentru nedescrescătoare:
.
Pentru necrescătoare:
.

Rezultă că o funcție strict crescătoare este, de asemenea, nedescrescătoare. O funcție strict descrescătoare este, de asemenea, necreștetoare.

Funcția este numită monoton, dacă nu este în scădere sau în creștere.

Teorema
Fie ca funcția să nu scadă pe intervalul în care .
Dacă este mărginită mai sus de numărul M: atunci există o limită finită.
Dacă nu este limitat de sus, atunci.

Dacă este limitată de jos de numărul m: atunci există o limită finită.
Dacă nu este limitat de jos, atunci.

Dacă punctele a și b sunt la infinit, atunci în expresii semnele limită înseamnă că .
;
.

O teoremă similară pentru o funcție care nu crește.

Fie ca funcția să nu crească pe intervalul în care .
;
.

Apoi există limite unilaterale:
Dovada teoremei este prezentată pe pagină

„Limitele funcțiilor monotone”.
Literatura folosita:
L.D. Kudryavtsev. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 2003.