Logaritmul natural al lui 4 este egal cu. Logaritm

Graficul unei funcții logaritmul natural. Funcția se apropie încet de infinitul pozitiv pe măsură ce crește xși se apropie rapid de infinitul negativ când x tinde spre 0 („lent” și „rapid” în comparație cu oricare functie de putere din x).

Logaritmul natural este logaritmul la bază , Unde e (\displaystyle e)- o constantă irațională egală cu aproximativ 2,72. Se notează ca ln ⁡ x (\displaystyle \ln x), log e ⁡ x (\displaystyle \log _(e)x) sau uneori doar log ⁡ x (\displaystyle \log x), dacă baza e (\displaystyle e) subînțeles . Cu alte cuvinte, logaritmul natural al unui număr x- acesta este un exponent la care trebuie ridicat un număr e a obține x. Această definiție poate fi extinsă la numerele complexe.

ln ⁡ e = 1 (\displaystyle \ln e=1), pentru că e 1 = e (\displaystyle e^(1)=e); ln ⁡ 1 = 0 (\displaystyle \ln 1=0), pentru că e 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).

Logaritmul natural poate fi definit și geometric pentru orice număr real pozitiv o ca aria de sub curbă y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x)))între ele [ 1 ; a ] (\displaystyle ). Simplitatea acestei definiții, care este în concordanță cu multe alte formule care folosesc acest logaritm, explică originea numelui „natural”.

Dacă considerăm logaritmul natural ca o funcție reală a unei variabile reale, atunci este funcția inversă a funcției exponențiale, care conduce la identitățile:

e ln ⁡ a = a (a > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln ⁡ e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

Ca toți logaritmii, logaritmul natural mapează înmulțirea cu adunarea:

ln ⁡ x y = ln ⁡ x + ln ⁡ y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)

1.1. Determinarea exponentului pentru un exponent întreg

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X — N ori

1.2. Grad zero.

Prin definiție, este în general acceptat că puterea zero a oricărui număr este 1:

1.3. Gradul negativ.

X -N = 1/X N

1.4. Putere fracționată, rădăcină.

X 1/N = N rădăcină a lui X.

De exemplu: X 1/2 = √X.

1.5. Formula de adunare a puterilor.

X (N+M) = X N *X M

1.6.Formulă pentru scăderea puterilor.

X (N-M) = X N /X M

1.7. Formula pentru multiplicarea puterilor.

X N*M = (X N) M

1.8. Formula pentru ridicarea unei fracții la o putere.

(X/Y) N = X N /Y N

2. Numărul e.

Valoarea numărului e este egală cu următoarea limită:

E = lim(1+1/N), ca N → ∞.

Cu o precizie de 17 cifre, numărul e este 2,71828182845904512.

3. Egalitatea lui Euler.

Această egalitate leagă cinci numere care joacă un rol deosebit în matematică: 0, 1, e, pi, unitate imaginară.

E (i*pi) + 1 = 0

4. Funcția exponențială exp(x)

exp(x) = e x

5. Derivata functiei exponentiale

Funcția exponențială are o proprietate remarcabilă: derivata funcției este egală cu funcția exponențială în sine:

(exp(x))" = exp(x)

6. Logaritm.

6.1. Definiția funcției logaritm

Dacă x = b y, atunci logaritmul este funcția

Y = Log b(x).

Logaritmul arată la ce putere trebuie ridicat un număr - baza logaritmului (b) - pentru a obține un număr dat (X). Funcția logaritm este definită pentru X mai mare decât zero.

De exemplu: Log 10 (100) = 2.

6.2. Logaritm zecimal

Acesta este logaritmul la baza 10:

Y = Log 10 (x) .

Notat cu Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Un exemplu de utilizare a logaritmului zecimal este decibelul.

6.3. Decibel

Elementul este evidențiat pe o pagină separată Decibel

6.4. Logaritm binar

Acesta este logaritmul de bază 2:

Y = Log 2 (x).

Notat cu Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Logaritmul natural

Acesta este logaritmul pentru baza e:

Y = Log e (x) .

Notat cu Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Logaritmul natural este funcția inversă a funcției exponențiale exp(X).

6.6. Puncte caracteristice

Loga(1) = 0
Log a (a) = 1

6.7. Formula logaritmului produsului

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Formula pentru logaritmul coeficientului

Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)

6.9. Formula logaritmului puterii

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Formula pentru conversia într-un logaritm cu o bază diferită

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

Exemplu:

Bușten 2 (8) = Bușten 10 (8)/Bușten 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Formule utile în viață

Adesea există probleme de conversie a volumului în zonă sau lungime și problema inversă - conversia ariei în volum. De exemplu, plăcile sunt vândute în cuburi (metri cubi) și trebuie să calculăm câtă suprafață a peretelui poate fi acoperită cu plăci conținute într-un anumit volum, vezi calculul plăcilor, câte plăci sunt într-un cub. Sau, dacă dimensiunile peretelui sunt cunoscute, trebuie să calculați numărul de cărămizi, consultați calculul cărămizii.

Este permisă utilizarea materialelor site-ului cu condiția să fie instalată un link activ către sursă.

După cum știți, atunci când înmulțiți expresii cu puteri, exponenții lor se adună întotdeauna (a b *a c = a b+c). Această lege matematică a fost derivată de Arhimede, iar mai târziu, în secolul al VIII-lea, matematicianul Virasen a creat un tabel cu exponenți întregi. Ei au fost cei care au servit pentru descoperirea ulterioară a logaritmilor. Exemple de utilizare a acestei funcții pot fi găsite aproape peste tot acolo unde este necesar să se simplifice înmulțirea greoaie prin simplă adunare. Dacă petreceți 10 minute citind acest articol, vă vom explica ce sunt logaritmii și cum să lucrați cu ei. Într-un limbaj simplu și accesibil.

Definiție în matematică

Un logaritm este o expresie de următoarea formă: log a b=c, adică logaritmul oricărui număr nenegativ (adică orice pozitiv) „b” la baza sa „a” este considerat a fi puterea „c ” la care este necesar să se ridice baza „a” pentru a obține în final valoarea „b”. Să analizăm logaritmul folosind exemple, să presupunem că există o expresie log 2 8. Cum să găsim răspunsul? Este foarte simplu, trebuie să găsești o putere astfel încât de la 2 la puterea necesară să obții 8. După ce faci niște calcule în capul tău, obținem numărul 3! Și asta este adevărat, pentru că 2 la puterea lui 3 dă răspunsul ca 8.

Tipuri de logaritmi

Pentru mulți elevi și studenți, acest subiect pare complicat și de neînțeles, dar de fapt logaritmii nu sunt atât de înfricoșători, principalul lucru este să le înțelegeți sensul general și să vă amintiți proprietățile și unele reguli. Sunt trei specii individuale expresii logaritmice:

1. Logaritmul natural ln a, unde baza este numărul Euler (e = 2,7).
2. Decimală a, unde baza este 10.
3. Logaritmul oricărui număr b la baza a>1.

Fiecare dintre ele este rezolvată într-un mod standard, incluzând simplificarea, reducerea și reducerea ulterioară la un singur logaritm folosind teoreme logaritmice. A primi valori corecte logaritmi, ar trebui să vă amintiți proprietățile lor și succesiunea acțiunilor atunci când le rezolvați.

Reguli și unele restricții

În matematică, există mai multe reguli-constrângeri care sunt acceptate ca axiomă, adică nu sunt supuse discuției și sunt adevărul. De exemplu, este imposibil să împărțiți numerele la zero și, de asemenea, este imposibil să extrageți rădăcina pare a numerelor negative. Logaritmii au, de asemenea, propriile reguli, după care puteți învăța cu ușurință să lucrați chiar și cu expresii logaritmice lungi și încăpătoare:

• Baza „a” trebuie să fie întotdeauna mai mare decât zero și nu egală cu 1, altfel expresia își va pierde sensul, deoarece „1” și „0” în orice grad sunt întotdeauna egale cu valorile lor;
• dacă a > 0, atunci a b >0, se dovedește că și „c” trebuie să fie mai mare decât zero.

Cum se rezolvă logaritmii?

De exemplu, sarcina este de a găsi răspunsul la ecuația 10 x = 100. Acest lucru este foarte ușor, trebuie să alegeți o putere prin ridicarea numărului zece la care obținem 100. Acesta, desigur, este 10 2 = 100.

Acum să reprezentăm această expresie în formă logaritmică. Obținem log 10 100 = 2. La rezolvarea logaritmilor, toate acțiunile practic converg pentru a găsi puterea la care este necesar să se introducă baza logaritmului pentru a obține un număr dat.

Pentru a determina cu exactitate valoarea unui grad necunoscut, trebuie să învățați cum să lucrați cu un tabel de grade. Arata cam asa:

După cum puteți vedea, unii exponenți pot fi ghiciți intuitiv dacă aveți o minte tehnică și cunoștințe despre tabla înmulțirii. Cu toate acestea, pentru valori mai mari veți avea nevoie de o masă de putere. Poate fi folosit chiar și de cei care nu știu absolut nimic despre complex subiecte matematice. Coloana din stânga conține numere (baza a), rândul de sus de numere este valoarea puterii c la care este ridicat numărul a. La intersecție, celulele conțin valorile numerice care sunt răspunsul (a c =b). Să luăm, de exemplu, prima celulă cu numărul 10 și să o pătratăm, obținem valoarea 100, care este indicată la intersecția celor două celule ale noastre. Totul este atât de simplu și ușor încât până și cel mai adevărat umanist va înțelege!

Ecuații și inegalități

Rezultă că în anumite condiții exponentul este logaritmul. Prin urmare, orice expresii numerice matematice pot fi scrise ca o egalitate logaritmică. De exemplu, 3 4 =81 poate fi scris ca logaritmul de bază 3 al lui 81 egal cu patru (log 3 81 = 4). Pentru puteri negative regulile sunt aceleași: 2 -5 = 1/32 îl scriem ca logaritm, obținem log 2 (1/32) = -5. Una dintre cele mai fascinante secțiuni ale matematicii este subiectul „logaritmilor”. Vom privi mai jos exemple și soluții de ecuații, imediat după studierea proprietăților acestora. Acum să vedem cum arată inegalitățile și cum să le distingem de ecuații.

Dată o expresie de următoarea formă: log 2 (x-1) > 3 - este inegalitatea logaritmică, deoarece valoarea necunoscută „x” se află sub semnul logaritmului. Și, de asemenea, în expresie sunt comparate două mărimi: logaritmul numărului dorit la baza doi este mai mare decât numărul trei.

Cea mai importantă diferență dintre ecuațiile logaritmice și inegalități este că ecuațiile cu logaritmi (de exemplu, logaritmul 2 x = √9) implică una sau mai multe valori numerice specifice în răspuns, în timp ce la rezolvarea unei inegalități, atât domeniul acceptabil. valorile și punctele sunt determinate întrerupând această funcție. În consecință, răspunsul nu este un simplu set de numere individuale, ca în răspunsul la o ecuație, ci o serie continuă sau un set de numere.

Teoreme de bază despre logaritmi

La rezolvarea sarcinilor primitive de găsire a valorilor logaritmului, este posibil să nu fie cunoscute proprietățile acestuia. Cu toate acestea, atunci când vine vorba de ecuații sau inegalități logaritmice, în primul rând, este necesar să înțelegem clar și să aplici în practică toate proprietățile de bază ale logaritmilor. Ne vom uita la exemple de ecuații mai târziu, să ne uităm mai întâi la fiecare proprietate în detaliu.

1. Identitatea principală arată astfel: a logaB =B. Se aplică numai atunci când a este mai mare decât 0, nu este egal cu unu și B este mai mare decât zero.
2. Logaritmul produsului poate fi reprezentat în următoarea formulă: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. În acest caz, condiția obligatorie este: d, s 1 și s 2 > 0; a≠1. Puteți da o dovadă pentru această formulă logaritmică, cu exemple și soluție. Fie log a s 1 = f 1 și log a s 2 = f 2, apoi a f1 = s 1, a f2 = s 2. Obținem că s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (proprietățile lui grade ), și apoi prin definiție: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, care este ceea ce trebuia demonstrat.
3. Logaritmul coeficientului arată astfel: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema sub forma unei formule ia următoarea formă: log a q b n = n/q log a b.

Această formulă se numește „proprietatea gradului de logaritm”. Seamănă cu proprietățile gradelor obișnuite și nu este surprinzător, deoarece toată matematica se bazează pe postulate naturale. Să ne uităm la dovada.

Fie log a b = t, se dovedește a t =b. Dacă ridicăm ambele părți la puterea m: a tn = b n ;

dar deoarece a tn = (a q) nt/q = b n, prin urmare log a q b n = (n*t)/t, atunci log a q b n = n/q log a b. Teorema a fost demonstrată.

Exemple de probleme și inegalități

Cele mai comune tipuri de probleme pe logaritmi sunt exemple de ecuații și inegalități. Ele se găsesc în aproape toate cărțile de probleme și sunt, de asemenea, o parte obligatorie a examenelor de matematică. Pentru admitere la universitate sau promovare examenele de admitere la matematică trebuie să știi să rezolvi corect astfel de probleme.

Din păcate, nu există un plan sau o schemă unică pentru rezolvarea și determinarea valorii necunoscute a logaritmului, dar anumite reguli pot fi aplicate fiecărei inegalități matematice sau ecuații logaritmice. În primul rând, ar trebui să aflați dacă expresia poate fi simplificată sau duce la aspectul general. Puteți simplifica expresiile logaritmice lungi dacă le folosiți corect proprietățile. Să-i cunoaștem repede.

La hotărâre ecuații logaritmice, trebuie să stabilim ce tip de logaritm avem: un exemplu de expresie poate conține un logaritm natural sau unul zecimal.

Iată exemple ln100, ln1026. Soluția lor se rezumă la faptul că trebuie să determine puterea la care baza 10 va fi egală cu 100, respectiv 1026. Pentru soluții de logaritmi naturali, trebuie să aplicați identități logaritmice sau proprietățile lor. Să ne uităm la exemple de rezolvare a problemelor logaritmice de diferite tipuri.

Cum să utilizați formulele logaritmice: cu exemple și soluții

Deci, să ne uităm la exemple de utilizare a teoremelor de bază despre logaritmi.

1. Proprietatea logaritmului unui produs poate fi utilizată în sarcini în care este necesară extinderea mare valoare numerele b în factori mai simpli. De exemplu, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Răspunsul este 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - după cum puteți vedea, folosind a patra proprietate a puterii logaritmului, am reușit să rezolvăm o expresie aparent complexă și de nerezolvat. Trebuie doar să factorizați baza și apoi să scoateți valorile exponentului din semnul logaritmului.

Teme de la examenul de stat unificat

Logaritmii se găsesc adesea la examenele de admitere, în special multe probleme logaritmice la examenul de stat unificat (examen de stat pentru toți absolvenții de școală). De obicei, aceste sarcini sunt prezente nu numai în partea A (cea mai ușoară parte a testului a examenului), ci și în partea C (cele mai complexe și mai voluminoase sarcini). Examenul necesită cunoașterea exactă și perfectă a subiectului „Logaritmi naturali”.

Exemplele și soluțiile la probleme sunt preluate din oficial Opțiuni pentru examenul de stat unificat. Să vedem cum se rezolvă astfel de sarcini.

Dat log 2 (2x-1) = 4. Rezolvare:
să rescriem expresia, simplificând-o puțin log 2 (2x-1) = 2 2, prin definiția logaritmului obținem că 2x-1 = 2 4, deci 2x = 17; x = 8,5.

• Cel mai bine este să reduceți toți logaritmii la aceeași bază, astfel încât soluția să nu fie greoaie și confuză.
• Toate expresiile de sub semnul logaritmului sunt indicate ca pozitive, prin urmare, atunci când exponentul unei expresii care se află sub semnul logaritmului și ca bază a acesteia este scos ca multiplicator, expresia rămasă sub logaritm trebuie să fie pozitivă.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Funcția LN din Excel este concepută pentru a calcula logaritmul natural al unui număr și returnează valoarea numerică corespunzătoare. Logaritmul natural este logaritmul cu baza e (numărul lui Euler de aproximativ 2,718).

Funcția LOG din Excel este utilizată pentru a calcula logaritmul unui număr, iar baza logaritmului poate fi specificată în mod explicit ca al doilea argument al funcției.

Funcția LOG10 din Excel este concepută pentru a calcula logaritmul unui număr în baza 10 (logaritm zecimal).

Exemple de utilizare a funcțiilor LN, LOG și LOG10 în Excel

Arheologii au găsit rămășițele unui animal antic. Pentru a le determina vârsta, s-a decis să se folosească metoda de datare cu radiocarbon. În urma măsurătorilor, s-a dovedit că conținutul de izotop radioactiv C 14 a fost de 17% din cantitatea găsită de obicei în organismele vii. Calculați vârsta resturilor dacă timpul de înjumătățire al izotopului de carbon 14 este de 5760 de ani.

Vedere a tabelului sursă:

Pentru rezolvare folosim următoarea formulă:

Această formulă a fost obținută pe baza formulei x=t*(lgB-lgq)/lgp, unde:

• q este cantitatea de izotop de carbon în momentul inițial (la momentul morții animalului), exprimată cu unu (sau 100%);
• B – cantitatea de izotop la momentul analizei resturilor;
• t este timpul de înjumătățire al izotopului;
• p – o valoare numerică care indică de câte ori se modifică cantitatea unei substanțe (izotop de carbon) într-o perioadă de timp t.

În urma calculelor obținem:

Rămășițele găsite au o vechime de aproape 15 mii de ani.



Calculator de depozit cu dobândă compusă în Excel

Un client bancar a făcut un depozit în valoare de 50.000 de ruble cu o rată a dobânzii de 14,5% (dobândă compusă). Stabiliți cât timp va dura dublarea sumei investite?

Fapt interesant! Pentru a rezolva rapid această problemă, puteți utiliza o metodă empirică pentru a estima aproximativ timpul (în ani) pentru dublarea investițiilor efectuate la o rată a dobânzii compusă. Așa-numita regulă 72 (sau 70 sau regula 69). Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați o formulă simplă - împărțiți numărul 72 la dobândă: 72/14,5 = 4,9655 ani. Principalul dezavantaj al regulii numărului „magic” 72 este eroarea. Cu cât rata dobânzii este mai mare, cu atât eroarea din regula 72 este mai mare. De exemplu, cu o rată a dobânzii de 100% pe an, eroarea în ani ajunge până la 0,72 (și în termeni procentuali aceasta este de până la 28%!).

Pentru a calcula cu exactitate timpul de dublare a investițiilor, vom folosi funcția LOG. În primul rând, să verificăm valoarea de eroare a regulii 72 la o rată a dobânzii de 14,5% pe an.

Vedere a tabelului sursă:

Pentru a calcula valoarea viitoare a unei investiții la o rată a dobânzii cunoscută, puteți utiliza următoarea formulă: S=A(100%+n%) t, unde:

• S – suma estimată la expirarea termenului;
• A – suma depozitului;
• n – rata dobânzii;
• t – perioada de păstrare a fondurilor de depozit în bancă.

Pentru acest exemplu, această formulă poate fi scrisă ca 100000=50000*(100%+14,5%) t sau 2=(100%+14,5%) t. Apoi, pentru a găsi t, puteți rescrie ecuația ca t=log (114,5%) 2 sau t=log 1,1452.

Pentru a găsi valoarea lui t, scriem următoarea formulă pentru dobânda compusă la un depozit în Excel:

Jurnal (B4/B2;1+B3)

Descrierea argumentelor:

• B4/B2 – raportul dintre sumele așteptate și inițiale, care este un indicator al logaritmului;
• 1+B3 – creștere procentuală (bază logaritmică).

În urma calculelor obținem:

Depozitul se va dubla în puțin peste 5 ani. Pentru a determina cu exactitate anii și lunile, folosim formula:

Funcția DROP elimină fracționat totul după punctul zecimal, similar cu funcția INTEGER. Diferența dintre funcțiile DROP și INTEGER este doar în calculele cu negativ numere fracționare. În plus, OTBR are un al doilea argument în care puteți specifica numărul de zecimale de lăsat. Prin urmare în în acest caz, Puteți utiliza oricare dintre aceste două funcții la discreția utilizatorului.

S-a dovedit a fi 5 ani, 1 lună și 12 zile. Acum comparăm rezultatele exacte cu regula 72 și determinăm magnitudinea erorii. Pentru acest exemplu, formula este următoarea:

Trebuie să înmulțim valoarea celulei B3 cu 100, deoarece valoarea sa actuală este 0,145, care este afișată în format procentual. Ca urmare:

Apoi copiați formula din celula B6 în celula B8 și în celula B9:

Să calculăm perioadele de eroare:

Apoi copiați din nou formula din celula B6 în celula B10. Ca rezultat, obținem diferența:

Și, în sfârșit, să calculăm diferența ca procent pentru a verifica cum se modifică dimensiunea abaterii și cât de semnificativ afectează creșterea ratei dobânzii nivelul de discrepanță dintre regula 72 și faptul:

Acum, pentru a ilustra relația proporțională dintre creșterea erorii și creșterea ratei dobânzii, să creștem rata dobânzii la 100% pe an:

La prima vedere, diferența de eroare nu este semnificativă față de 14,5% pe an - doar aproximativ 2 luni și 100% pe an - în decurs de 3 luni. Dar ponderea erorilor în perioada de rambursare este mai mare de ¼, sau mai precis 28%.

Să facem un grafic simplu pentru analiza vizuală a modului în care dependența modificărilor ratei dobânzii și procentul de eroare din Regula 72 se corelează cu faptul:

Cu cât este mai mare rata dobânzii, cu atât mai rău funcționează regula 72. Prin urmare, putem trage următoarea concluzie: până la 32,2% pe an, puteți utiliza în siguranță regula 72. Atunci eroarea este mai mică de 10%. Se va descurca bine dacă nu aveți nevoie de calcule precise, dar complexe privind perioada de rambursare a investițiilor de 2 ori.

Calculator de investiții de dobândă compusă cu capitalizare în Excel

Clientului băncii i s-a propus să facă un depozit cu o creștere continuă a sumei totale (capitalizare cu dobândă compusă). Rata dobânzii este de 13% pe an. Determinați cât timp va dura pentru a tripla suma inițială (250.000 de ruble). Cât de mult ar trebui crescută rata dobânzii pentru a reduce timpul de așteptare la jumătate?

Notă: deoarece în acest exemplu triplăm suma investiției, regula 72 nu mai funcționează aici.

Vedere a tabelului de date original:

Creșterea continuă poate fi descrisă prin formula ln(N)=p*t, unde:

• N – raportul dintre suma finală a depozitului și cea inițială;
• p – rata dobânzii;
• t – numărul de ani care au trecut de la efectuarea depozitului.

Atunci t=ln(N)/p. Pe baza acestei egalități, scriem formula în Excel:

Descrierea argumentelor:

• B3/B2 – raportul dintre sumele depozitului final și inițial;
• B4 – rata dobânzii.

Va dura aproape 8,5 ani pentru a tripla suma inițială a depozitului. Pentru a calcula rata care va reduce timpul de așteptare la jumătate, folosim formula:

LN(B3/B2)/(0,5*B5)

Rezultat:

Adică trebuie să dublezi rata inițială a dobânzii.

Caracteristici de utilizare a funcțiilor LN, LOG și LOG10 în Excel

Funcția LN are următoarea sintaxă:

LN(număr)

• numărul este singurul argument obligatoriu care ia numere reale din gama valori pozitive.

Note:

1. Funcția LN este functie inversa EXP. Acesta din urmă returnează valoarea obținută prin ridicarea numărului e la puterea specificată. Funcția LN specifică la ce putere trebuie ridicat numărul e (baza) pentru a obține exponentul logaritm (argumentul numărului).
2. Dacă argumentul numărului este un număr în intervalul negativ sau zero, funcția LN returnează codul de eroare #NUM!.

Sintaxa funcției LOG este următoarea:

LOG(număr ;[bază])

Descrierea argumentelor:

• număr – un argument necesar care caracterizează valoarea numerică a exponentului logaritm, adică numărul obţinut prin ridicarea bazei logaritmului la o anumită putere, care va fi calculată de funcţia LOG;
• [bază] – un argument opțional care caracterizează valoarea numerică a bazei logaritmului. Dacă argumentul nu este specificat în mod explicit, se presupune că logaritmul este o zecimală (adică baza este 10).

Note:

1. Deși rezultatul funcției LOG poate fi un număr negativ (de exemplu, =LOG(2;0,25) va returna -0,5), argumentele funcției trebuie luate dintr-un interval de valori pozitive. Dacă cel puțin unul dintre argumente este un număr negativ, funcția LOG va returna codul de eroare #NUM!
2. Dacă valoarea 1 a fost transmisă ca argument [radix], funcția LOG va returna codul de eroare #DIV/0!, deoarece rezultatul ridicării 1 la orice putere va fi întotdeauna același și egal cu 1.

Funcția LOG10 are următoarea sintaxă:

LOG10(număr)

• numărul este un argument unic și obligatoriu, al cărui sens este identic cu argumentul cu același nume în funcțiile LN și LOG.

Notă: Dacă a fost transmis un număr negativ sau 0 ca argument al numărului, funcția LOG10 va returna codul de eroare #NUM!.