Suma rădăcinilor iraționale ale unei ecuații. Curs opțional „Metode de rezolvare a ecuațiilor iraționale

Răspuns: x = 3.

8 metoda. Aplicarea derivatei în rezolvarea ecuațiilor iraționale

Cea mai comună metodă folosită pentru rezolvarea ecuațiilor folosind metoda derivată este metoda estimării.

EXEMPLUL 15:

Rezolvați ecuația: (1)

Soluție: Deoarece https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, sau (2). Luați în considerare funcția ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> deloc și, prin urmare, crește. Prin urmare, ecuația este echivalent cu o ecuație având o rădăcină care este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns:

EXEMPLUL 16:

Rezolvați ecuația irațională:

Domeniul unei funcții este un segment. Să găsim cel mai mare și cea mai mică valoare valorile acestei funcții pe interval. Pentru a face acest lucru, găsim derivata funcției f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Să găsim valorile funcției f(x) la capetele segmentului și la punctul: Deci, Dar și, prin urmare, egalitatea este posibilă numai dacă https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height= „19 src=" > Verificarea arată că numărul 3 este rădăcina acestei ecuații.

Răspuns: x = 3.

9 metoda. Funcţional

La examene, uneori îți cer să rezolvi ecuații care pot fi scrise sub forma , unde este o funcție.

De exemplu, unele ecuații: 1) 2) . Într-adevăr, în primul caz , în al doilea caz . Prin urmare, rezolvați ecuații iraționale folosind următoarea afirmație: dacă o funcție este strict crescătoare pe mulțime X iar pentru orice , atunci ecuațiile etc. sunt echivalente pe mulțime X .

Rezolvați ecuația irațională: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> crește strict pe platou R,și https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > care are o singură rădăcină Prin urmare, ecuația (1) echivalentă are și o singură rădăcină

Răspuns: x = 3.

EXEMPLUL 18:

Rezolvați ecuația irațională: (1)

În virtutea definiției rădăcinii pătrate, obținem că dacă ecuația (1) are rădăcini, atunci acestea aparțin mulțimii https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width=" 163" înălțime="47" >.(2)

Luați în considerare funcția https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> care crește strict pe acest set pentru orice ..gif" width="100" înălțime ="41"> care are o singură rădăcină Prin urmare, și echivalentul său pe set X ecuația (1) are o singură rădăcină

Răspuns: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Rezolvare: Această ecuație este echivalentă cu un sistem mixt

Ecuațiile în care o variabilă este conținută sub semnul rădăcinii se numesc iraționale.

Metodele de rezolvare a ecuațiilor iraționale se bazează de obicei pe posibilitatea înlocuirii (cu ajutorul unor transformări) a unei ecuații iraționale cu o ecuație rațională care fie este echivalentă cu ecuația irațională inițială, fie este o consecință a acesteia. Cel mai adesea, ambele părți ale ecuației sunt ridicate la aceeași putere. Aceasta produce o ecuație care este o consecință a celei originale.

La rezolvarea ecuațiilor iraționale trebuie luate în considerare următoarele:

1) dacă indicatorul rădăcină este număr par, atunci expresia radicală trebuie să fie nenegativă; în acest caz, valoarea rădăcinii este de asemenea nenegativă (definiția unei rădăcini cu exponent par);

2) dacă exponentul rădăcinii este un număr impar, atunci expresia radicalului poate fi oricare număr real; în acest caz, semnul rădăcinii coincide cu semnul expresiei radicale.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația

Să punem la pătrat ambele părți ale ecuației.
x 2 - 3 = 1;
Să mutăm -3 din partea stângă a ecuației la dreapta și să efectuăm o reducere a termenilor similari.
x 2 = 4;
Ecuația pătratică incompletă rezultată are două rădăcini -2 și 2.

Să verificăm rădăcinile obținute prin înlocuirea valorilor variabilei x în ecuația originală.
Examinare.
Când x 1 = -2 - adevărat:
Când x 2 = -2- adevărat.
Rezultă că ecuația irațională originală are două rădăcini -2 și 2.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația .

Această ecuație poate fi rezolvată folosind aceeași metodă ca în primul exemplu, dar o vom face diferit.

Să găsim ODZ a acestei ecuații. Din definiția rădăcinii pătrate rezultă că în această ecuație trebuie îndeplinite simultan două condiții:

ODZ al acestui uraniu: x.

Răspuns: fără rădăcini.

Exemplul 3. Rezolvați ecuația =+ 2.

Găsirea ODZ în această ecuație este o sarcină destul de dificilă. Să pătram ambele părți ale ecuației:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 =1; x 2 =0.
După verificare, stabilim că x 2 =0 este o rădăcină suplimentară.
Răspuns: x 1 =1.

Exemplul 4. Rezolvați ecuația x =.

În acest exemplu, ODZ este ușor de găsit. ODZ a acestei ecuații: x[-1;).

Să punem la pătrat ambele părți ale acestei ecuații și, ca rezultat, obținem ecuația x 2 = x + 1. Rădăcinile acestei ecuații sunt:

Este dificil de verificat rădăcinile găsite. Dar, în ciuda faptului că ambele rădăcini aparțin ODZ, este imposibil să se afirme că ambele rădăcini sunt rădăcini ale ecuației originale. Acest lucru va avea ca rezultat o eroare. ÎN în acest caz, O ecuație irațională este echivalentă cu o combinație de două inegalități și o ecuație:

x+10 Şi x0 Şi x 2 = x + 1, din care rezultă că rădăcina negativă pentru ecuația irațională este străină și trebuie aruncată.

Exemplul 5. Rezolvați ecuația += 7.

Să pătram ambele părți ale ecuației și să efectuăm reducerea termenilor similari, să transferăm termenii de pe o parte a ecuației în cealaltă și să înmulțim ambele părți cu 0,5. Ca rezultat, obținem ecuația
= 12, (*) care este o consecință a celui original. Să pătram din nou ambele părți ale ecuației. Obținem ecuația (x + 5)(20 - x) = 144, care este o consecință a celei inițiale. Ecuația rezultată se reduce la forma x 2 - 15x + 44 =0.

Această ecuație (de asemenea, o consecință a celei originale) are rădăcini x 1 = 4, x 2 = 11. Ambele rădăcini, după cum arată verificarea, satisfac ecuația inițială.

Reprezentant. x 1 = 4, x 2 = 11.

Comentariu. La pătratul ecuațiilor, elevii adesea înmulțesc expresii radicale în ecuații precum (*), adică, în loc de ecuația = 12, ei scriu ecuația = 12. Acest lucru nu duce la erori, deoarece ecuațiile sunt consecințe ale ecuațiilor. Trebuie totuși avut în vedere că, în cazul general, o astfel de multiplicare a expresiilor radicale dă ecuații inegale.

În exemplele discutate mai sus, se poate muta mai întâi unul dintre radicali în partea dreaptă a ecuației. Apoi va rămâne un radical în partea stângă a ecuației, iar după pătrarea ambelor părți ale ecuației, se va obține o funcție rațională în partea stângă a ecuației. Această tehnică (izolarea radicalului) este destul de des folosită la rezolvarea ecuațiilor iraționale.

Exemplul 6. Rezolvați ecuația-= 3.

Izolând primul radical, obținem ecuația
=+ 3, echivalent cu cel original.

Punând la pătrat ambele părți ale acestei ecuații, obținem ecuația

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, echivalent cu ecuația

4x - 5 = 3(*). Această ecuație este o consecință a ecuației originale. Punând la pătrat ambele părți ale ecuației, ajungem la ecuație
16x 2 - 40x + 25 = 9(x 2 - 3x + 3), sau

7x 2 - 13x - 2 = 0.

Această ecuație este o consecință a ecuației (*) (și, prin urmare, a ecuației originale) și are rădăcini. Prima rădăcină x 1 = 2 satisface ecuația inițială, dar a doua rădăcină x 2 = nu.

Răspuns: x = 2.

Rețineți că dacă imediat, fără a izola unul dintre radicali, punem la pătrat ambele părți ale ecuației inițiale, ar trebui să facem transformări destul de greoaie.

La rezolvarea ecuațiilor iraționale, pe lângă izolarea radicalilor, se folosesc și alte metode. Să luăm în considerare un exemplu de utilizare a metodei de înlocuire a necunoscutului (metoda de introducere a unei variabile auxiliare).

O ecuație irațională este orice ecuație care conține o funcție sub semnul rădăcinii. De exemplu:

Astfel de ecuații sunt întotdeauna rezolvate în 3 pași:

1. Izolați rădăcina. Cu alte cuvinte, dacă în stânga semnului egal, pe lângă rădăcină, există și alte numere sau funcții, toate acestea trebuie mutate spre dreapta, schimbând semnul. În acest caz, doar radicalul ar trebui să rămână în stânga - fără coeficienți.
2. 2. Pătrat ambele părți ale ecuației. În același timp, ne amintim că gama de valori ale rădăcinii este toate numerele nenegative. Prin urmare, funcția din dreapta ecuație irațională trebuie să fie, de asemenea, nenegativ: g(x) ≥ 0.
3. Al treilea pas urmează în mod logic din al doilea: trebuie să efectuați o verificare. Cert este că în a doua etapă am putea avea rădăcini suplimentare. Și pentru a le tăia, trebuie să înlocuiți numerele candidate rezultate în ecuația originală și să verificați: se obține într-adevăr egalitatea numerică corectă?

Rezolvarea unei ecuații iraționale

Să ne uităm la ecuația noastră irațională dată chiar la începutul lecției. Aici rădăcina este deja izolată: în stânga semnului egal nu există altceva decât rădăcina. Patrat ambele laturi:

2x 2 − 14x + 13 = (5 − x ) 2
2x 2 − 14x + 13 = 25 − 10x + x 2
x 2 − 4x − 12 = 0

Rezolvăm ecuația pătratică rezultată prin discriminantul:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 = −2

Tot ce rămâne este să înlocuiți aceste numere în ecuația originală, adică. efectuează verificarea. Dar chiar și aici puteți face ceea ce trebuie pentru a simplifica decizia finală.

Cum să simplificăm soluția

Să ne gândim: de ce facem chiar o verificare la sfârșitul rezolvării unei ecuații iraționale? Vrem să ne asigurăm că atunci când ne înlocuim rădăcinile, va exista un număr nenegativ la dreapta semnului egal. La urma urmei, știm deja cu siguranță că există un număr nenegativ în stânga, din cauza aritmeticii rădăcină pătrată(de aceea ecuația noastră se numește irațională) prin definiție nu poate fi mai mică de zero.

Prin urmare, tot ce trebuie să verificăm este că funcția g (x) = 5 − x, care se află în dreapta semnului egal, este nenegativă:

g(x) ≥ 0

Înlocuim rădăcinile noastre în această funcție și obținem:

g (x 1) = g (6) = 5 − 6 = −1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Din valorile obținute rezultă că rădăcina x 1 = 6 nu ni se potrivește, deoarece la înlocuirea în partea dreaptă a ecuației originale obținem un număr negativ. Dar rădăcina x 2 = −2 este destul de potrivită pentru noi, deoarece:

1. Această rădăcină este soluția ecuației pătratice obținute prin ridicarea ambelor părți ecuație iraționalăîntr-un pătrat.
2. Partea dreaptă a ecuației iraționale inițiale la înlocuirea rădăcinii x 2 = −2 se transformă în număr pozitiv, adică intervalul de valori al rădăcinii aritmetice nu este încălcat.

Acesta este tot algoritmul! După cum puteți vedea, rezolvarea ecuațiilor cu radicali nu este atât de dificilă. Principalul lucru este să nu uitați să verificați rădăcinile primite, altfel există o probabilitate foarte mare de a primi răspunsuri inutile.

Rezolvarea ecuațiilor iraționale.

În acest articol vom vorbi despre soluții cele mai simple ecuații iraționale.

Ecuație irațională este o ecuație care conține o necunoscută sub semnul rădăcinii.

Să ne uităm la două tipuri ecuații iraționale, care sunt foarte asemănătoare la prima vedere, dar în esență sunt foarte diferite unele de altele.

(1)

(2)

În prima ecuație vedem că necunoscutul se află sub semnul rădăcinii gradului al treilea. Putem lua rădăcina ciudată a număr negativ, prin urmare, în această ecuație nu există restricții nici asupra expresiei de sub semnul rădăcinii, nici asupra expresiei din partea dreaptă a ecuației. Putem ridica ambele părți ale ecuației la a treia putere pentru a scăpa de rădăcină. Obținem o ecuație echivalentă:

Când ridicăm părțile din dreapta și din stânga ecuației la o putere impară, nu ne putem teme să obținem rădăcini străine.

Exemplul 1. Să rezolvăm ecuația

Să ridicăm ambele părți ale ecuației la a treia putere. Obținem o ecuație echivalentă:

Să mutăm toți termenii într-o parte și să punem x din paranteze:

Echivalând fiecare factor cu zero, obținem:

Răspuns: (0;1;2)

Să ne uităm îndeaproape la a doua ecuație: . În partea stângă a ecuației se află rădăcina pătrată, care ia doar valori nenegative. Prin urmare, pentru ca ecuația să aibă soluții, partea dreaptă trebuie să fie, de asemenea, nenegativ. Prin urmare, condiția este impusă în partea dreaptă a ecuației:

Titlu="g(x)>=0"> - это !} condiție pentru existența rădăcinilor.

Pentru a rezolva o ecuație de acest tip, trebuie să pătrați ambele părți ale ecuației:

(3)

Pătrarea poate duce la apariția rădăcinilor străine, așa că avem nevoie de ecuațiile:

Titlu="f(x)>=0"> (4)!}

Totuși, inegalitatea (4) rezultă din condiția (3): dacă partea dreaptă a egalității conține pătratul unei expresii, iar pătratul oricărei expresii poate lua numai valori nenegative, de aceea și partea stângă trebuie să fie non- negativ. Prin urmare, condiția (4) decurge automat din condiția (3) și a noastră ecuaţie este echivalent cu sistemul:

Title="delim(lbrace)(matrice(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}

Exemplul 2. Să rezolvăm ecuația:

.

Să trecem la un sistem echivalent:

Titlu="delim(lbrace)(matrice(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}

Să rezolvăm prima ecuație a sistemului și să verificăm care rădăcini satisfac inegalitatea.

Inequality title="1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

Răspuns: x=1

Atenţie! Dacă în procesul de rezolvare pătram ambele părți ale ecuației, atunci trebuie să ne amintim că pot apărea rădăcini străine. Prin urmare, fie trebuie să treceți la un sistem echivalent, fie la sfârșitul soluției, FACEȚI O VERIFICARE: găsiți rădăcinile și înlocuiți-le în ecuația originală.

Exemplul 3. Să rezolvăm ecuația:

Pentru a rezolva această ecuație, trebuie de asemenea să pătram ambele părți. Să nu ne deranjam cu ODZ și cu condiția existenței rădăcinilor în această ecuație, ci pur și simplu facem o verificare la sfârșitul soluției.

Să pătram ambele părți ale ecuației:

Să mutăm termenul care conține rădăcina la stânga și toți ceilalți termeni la dreapta:

Să pătram din nou ambele părți ale ecuației:

Pe tema lui Vieta:

Hai să facem o verificare. Pentru a face acest lucru, înlocuim rădăcinile găsite în ecuația originală. Evident, la , partea dreaptă a ecuației inițiale este negativă, iar partea stângă este pozitivă.

La obținem egalitatea corectă.

Metode de rezolvare a ecuațiilor iraționale.

Pregătirea preliminară pentru lecție: Elevii ar trebui să fie capabili să rezolve ecuații iraționale într-o varietate de moduri.

Cu trei săptămâni înainte de această lecție, elevii primesc tema numărul 1: rezolvați diverse ecuații iraționale. (Elevii găsesc în mod independent 6 ecuații iraționale diferite și le rezolvă în perechi.)

Cu o săptămână înainte de această lecție, elevii primesc tema nr. 2, pe care o completează individual.

1. Rezolvați ecuațiaîn diverse moduri.

2. Evaluați avantajele și dezavantajele fiecărei metode.

3. Înregistrați constatările sub forma unui tabel.

Obiectivele lecției:

Educațional:generalizarea cunoștințelor elevilor pe această temă, demonstrație diverse metode rezolvarea ecuațiilor iraționale, capacitatea elevilor de a aborda rezolvarea ecuațiilor din perspectiva cercetării.

Educațional:promovarea independenței, a capacității de a-i asculta pe ceilalți și de a comunica în grupuri, creșterea interesului pentru subiect.

Dezvoltare:dezvoltare gândire logică, cultură algoritmică, abilități de autoeducare, auto-organizare, lucru în perechi atunci când faceți temele, abilități de a analiza, compara, generaliza și trage concluzii.

Echipament: calculator, proiector, ecran, tabel „Reguli pentru rezolvarea ecuațiilor iraționale”, poster cu citat din M.V. Lomonosov „Matematica ar trebui predată numai atunci pentru că pune mintea în ordine”, cărți.

Reguli pentru rezolvarea ecuațiilor iraționale.

Tip de lecție: lecție-seminar (se lucrează în grupe de 5-6 persoane, fiecare grupă trebuie să aibă elevi puternici).

Progresul lecției

eu . Moment organizatoric

(Comunicarea temei și a obiectivelor lecției)

II . Prezentare munca de cercetare„Metode pentru rezolvarea ecuațiilor iraționale”

(Lucrarea este prezentată de studentul care a făcut-o.)

III . Analiza metodelor de rezolvare a temelor

(Un elev din fiecare grupă își notează pe tablă metodele de soluționare propuse. Fiecare grupă analizează una dintre metodele de rezolvare, evaluează avantajele și dezavantajele și trag concluzii. Elevii din grupuri adaugă dacă este necesar. Analiza și concluziile grupului sunt evaluate. Răspunsurile trebuie să fie clare și complete.)

Prima metodă: ridicarea ambelor părți ale ecuației la aceeași putere și apoi verificarea.

Soluţie.

Să pătram din nou ambele părți ale ecuației:

De aici

Examinare:

1. Dacăx=42 atunci, ceea ce înseamnă numărul42 nu este rădăcina ecuației.

2. Dacăx=2, atunci, ceea ce înseamnă numărul2 este rădăcina ecuației.

Răspuns:2.

Concluzie. La rezolvarea ecuațiilor iraționale prin ridicarea ambelor părți ale ecuației la aceeași putere, este necesar să se țină o înregistrare verbală, care să facă soluția de înțeles și accesibilă. Cu toate acestea, verificarea obligatorie este uneori complexă și necesită timp. Această metodă poate fi folosită pentru a rezolva ecuații iraționale simple care conțin 1-2 radicali.

A doua metodă: transformări echivalente.

Soluţie:Să pătram ambele părți ale ecuației:

Răspuns:2.

Concluzie. Când rezolvați ecuații iraționale folosind metoda tranzițiilor echivalente, trebuie să știți clar când să puneți semnul sistemului și când să puneți semnul agregatului. Greutatea înregistrării și diferitele combinații de simboluri de sistem și combinații conduc adesea la erori. Cu toate acestea, succesiunea tranzițiilor echivalente, o notație logică clară, fără descriere verbală, care nu necesită verificare, sunt avantajele incontestabile ale acestei metode.

A treia metodă: funcțional-grafic.

Soluţie.

Să ne uităm la funcțiiŞi.

1. Funcțiepotolit; este în creștere, pentru că exponentul este un număr pozitiv (nu întreg).

D(f).

Să creăm un tabel de valorixŞif( x).

2. Funcțiapotolit; este în scădere.

Să găsim domeniul de definire al funcțieiD( g).

Să creăm un tabel de valorixŞig( x).

Să construim aceste grafice de funcții într-un singur sistem de coordonate.

Graficele funcțiilor se intersectează în punctul de abscisăDeoarece funcţief( x) crește, iar funcțiag( x) scade, atunci va exista o singură soluție a ecuației.

Răspuns: 2.

Concluzie. Metoda funcțional-grafică este vizuală și vă permite să găsiți numărul de soluții, dar este mai bine să o utilizați atunci când puteți construi cu ușurință grafice ale funcțiilor luate în considerare și puteți obține un răspuns precis. Dacă răspunsul este aproximativ, atunci este mai bine să folosiți o altă metodă.

A patra metodă: introducerea unei noi variabile.

Soluţie.Să introducem noi variabile, denotândObținem prima ecuație a sistemului

Să creăm a doua ecuație a sistemului.

Pentru o variabilă:

Pentru o variabilă

De aceea

Obținem un sistem de două ecuații raționale, în raport cuŞi

Revenind la variabilă, primim

Simplificare - obținerea unui sistem de ecuații care nu conține radicali

1. Necesitatea de a urmări DID-ul noilor variabile

2. Necesitatea revenirii la variabila originală

Concluzie. Această metodă este utilizată cel mai bine pentru ecuații iraționale care conțin radicali de diferite grade sau polinoame identice sub semnul rădăcinii și în spatele semnului rădăcinii sau expresii reciproce sub semnul rădăcinii.

- Deci, băieți, pentru fiecare ecuație irațională trebuie să alegeți cel mai mult mod convenabil solutii: clare. Accesibil, proiectat logic și competent. Ridicați mâna care dintre voi ar prefera:

1) metoda de ridicare a ambelor părți ale ecuației la aceeași putere cu verificare;

2) metoda transformărilor echivalente;

3) metoda functional-grafica;

4) metoda de introducere a unei noi variabile.

IV . Partea practică

(Se lucrează în grupuri. Fiecare grupă de elevi primește un cartonaș cu o ecuație și o rezolvă în caiete. În acest moment, un reprezentant al grupei rezolvă un exemplu pe tablă. Elevii fiecărei grupe rezolvă același exemplu ca un membru al grupul lor și monitorizează sarcinile de execuție corectă pe tablă Dacă persoana care răspunde la tablă face greșeli, atunci cel care le observă ridică mâna și ajută la corectarea lor în timpul lecției, pe lângă exemplul rezolvat de grupul său, trebuie să noteze celelalte propuse grupelor într-un caiet și să le rezolve acasă.)

Grupa 1.

Grupa 2.

Grupa 3.

V . Munca independentă

(În grupuri, există mai întâi o discuție, apoi elevii încep să finalizeze sarcina. Decizia corectă pregătit de profesor este afișat pe ecran.)

VI . Rezumând lecția

Acum știi că rezolvarea ecuațiilor iraționale necesită să fii bun cunoștințe teoretice, capacitatea de a le aplica în practică, atenție, muncă asiduă, inteligență.

Teme pentru acasă

Rezolvați ecuațiile date grupelor în timpul lecției.