Trasarea graficelor de funcții care conțin semnul modulului.

Sper că ați studiat cu atenție paragraful 23 și ați înțeles cum diferă funcția de vizualizare de funcție. Acum să ne uităm la câteva exemple care ar trebui să vă ajute atunci când construiți grafice.

Exemplul 1. Reprezentați grafic o funcție

Avem o funcție de forma , unde .

1. Mai întâi, să construim un grafic al funcției submodulare, adică funcția . Pentru a face acest lucru, selectați partea întreagă a acestei fracții. Permiteți-mi să vă reamintesc că acest lucru se poate face în două moduri: prin împărțirea numărătorului la numitor „în coloană” sau prin scrierea numărătorului astfel încât să conțină o expresie care să fie multiplu al numitorului. Să selectăm întreaga parte folosind a doua metodă.

Aceasta înseamnă că funcția submodulară are forma . Aceasta înseamnă că graficul său este o hiperbolă de forma , deplasată cu 1 unitate la dreapta și cu 3 unități în sus.

Să construim acest grafic.

2. Pentru a obține graficul funcției dorite, este necesar să lăsați neschimbată partea din graficul construit al funcției de deasupra axei Ox și să afișați partea graficului de sub axa Ox simetric în semiplanul superior. Să efectuăm aceste transformări.

Programul a fost creat.

Abscisa punctului de intersecție al graficului cu axa Ox poate fi calculată prin rezolvarea ecuației

y = 0, adică Înțelegem asta.

Acum, folosind graficul, puteți determina toate proprietățile funcției, găsiți cel mai mic și cea mai mare valoare funcţionează pe un interval, rezolvă probleme cu un parametru.

De exemplu, puteți răspunde la următoarea întrebare. „La ce valori ale parametrului O are ecuația exact o soluție?

Să desenăm linii drepte y =o la sensuri diferite parametru O. (Linii drepte subțiri roșii în imaginea următoare)

Este clar că dacă o<0 , atunci graficul funcției construite și dreapta nu au puncte comune, ceea ce înseamnă că ecuația nu are o singură soluție.

Dacă 0< o<3 sau a>3, apoi drept y =o iar graficul construit are două puncte comune, adică ecuația are două soluții.

Dacă a = 0 sau a = 3, atunci ecuația are exact o soluție, deoarece pentru aceste valori O linia dreaptă și graficul funcției au exact un punct comun.

Exemplul 2. Reprezentați grafic funcția

Soluţie

Să construim mai întâi un grafic al funcției pentru valorile nenegative ale lui x. Dacă , atunci și atunci funcția noastră ia forma , iar funcția dorită este o funcție a formei .

Graficul funcției este ramura parabolei „îndreptată” spre stânga, deplasată cu 4 unități corect. (Pentru că ne putem imagina ).

Să diagramăm această funcție

și vom lua în considerare doar acea parte a acesteia care se află în dreapta axei Oy. Vom șterge restul.

Vă rugăm să rețineți că am calculat valoarea ordonatei punctului grafic situat pe axa ordonatelor. Pentru a face acest lucru, este suficient să calculăm valoarea funcției la x = 0. În cazul nostru, la x = 0 primit y=2.

Acum să reprezentăm funcția la X< 0 . Pentru a face acest lucru, vom construi o linie simetrică cu cea pe care am construit-o deja în raport cu axa Oy.

Astfel, am trasat funcția dorită.

Exemplul 3. Reprezentați grafic o funcție

Aceasta nu mai este o sarcină ușoară. Vedem că există ambele tipuri de funcții cu un modul: și , și . Vom construi în ordine:

Mai întâi, să construim un grafic al funcției fără toate modulele: Apoi vom adăuga un modul la fiecare argument. Obținem o funcție de forma , i.e. Pentru a construi un astfel de grafic, trebuie să aplicați simetria în jurul axei Oy. Să adăugăm și un modul extern. Obținem în sfârșit funcția dorită. Deoarece această funcție a fost obținută din cea anterioară folosind un modul extern, avem o funcție de forma , ceea ce înseamnă că este necesar să se aplice simetria față de Ox.

Acum mai multe detalii.

Aceasta este o funcție liniară fracțională pentru a construi un grafic trebuie să selectați o parte întreagă, ceea ce vom face.

Aceasta înseamnă că graficul acestei funcții este o hiperbolă de forma , deplasată cu 2 la dreapta și 4 în jos.

Să calculăm coordonatele punctelor de intersecție cu axele de coordonate.

y = 0 la x = 0, ceea ce înseamnă că graficul va trece prin origine.

2. Acum să construim un grafic al funcției.

Pentru a face acest lucru, în graficul original, ștergeți mai întâi acea parte a acestuia care este situată în stânga axei Oy:

, apoi afișați-l simetric față de axa Oy. Vă rugăm să rețineți că asimptotele sunt și ele afișate simetric!

Acum să construim graficul final al funcției: . Pentru a face acest lucru, vom lăsa neschimbată partea din graficul anterior situată deasupra axei Ox și vom afișa simetric ceea ce este sub axa Ox în semiplanul superior. Din nou, nu uitați că asimptotele sunt afișate împreună cu graficul!

Programul a fost creat.

Exemplul 4. Folosind diferite transformări grafice, reprezentați grafic funcția

Ceva complet sucit și complicat! O mulțime de module! Dar pătratul X nu are modul!!! Este imposibil de construit!

Un elev mediu de clasa a VIII-a care nu este familiarizat cu tehnica trasării graficelor ar putea gândi în acest fel sau ceva de genul acesta.

Dar nu noi! Pentru că cunoaștem DIFERITE moduri de a transforma graficele funcțiilor și, de asemenea, cunoaștem diferite proprietăți ale modulului.

Deci, să începem în ordine.

Prima problemă este lipsa unui modul pentru X pătrat. Nici o problemă. Știm asta. Amenda. Aceasta înseamnă că funcția noastră poate fi scrisă ca . Acest lucru este deja mai bine pentru că arată ca.

Mai departe. Funcția are un modul extern, așa că se pare că va trebui să utilizați regulile pentru reprezentarea grafică a unei funcții. Să vedem atunci ce este o expresie submodulară. Aceasta este o funcție a formei . Dacă nu ar fi -2, atunci funcția ar conține din nou un modul extern și știm cum să graficăm funcția folosind simetrii. Da! Dar dacă îl construim, atunci deplasându-l cu 2 unități în jos, vom obține ceea ce căutăm!

Deci, ceva începe să apară. Să încercăm să creăm un algoritm pentru construirea unui grafic.

1.

5. Și în sfârșit . Vom mapa tot ceea ce se află sub axa Ox simetric în semiplanul superior.

Ura! Programul este gata!

Mult succes cu sarcina dificilă de a crea diagrame!

Grafice de linie dreaptă, parabolă, hiperbolă, cu modul

Complot pas cu pas.

Module „atârnate” pe linii, parabole, hiperbole.

Graficele sunt subiectul cel mai vizual din algebră. Desenând grafice, poți crea, iar dacă poți seta și ecuațiile creativității tale, atunci și profesorul o va aprecia.

Pentru a ne înțelege unul pe celălalt, voi introduce o mică „apelare” a sistemului de coordonate:

Mai întâi, să trasăm linia y = 2x − 1.

Nu am nicio îndoială că îți amintești. Îmi voi aminti că prin 2 puncte poți trage o linie dreaptă. Prin urmare, luăm oricare două puncte A = (0; −1) și B = (1; 1) și desenăm o singură linie dreaptă.

Ce se întâmplă dacă acum adăugăm un modul? y = |2x − 1|.

Modulul este întotdeauna o valoare pozitivă, se dovedește că „y” trebuie să fie întotdeauna pozitiv.

Aceasta înseamnă că, dacă modulul este „atașat” la întreaga diagramă, ceea ce era în partea de jos a lui „−y” va fi reflectat în partea de sus(ca și cum ai îndoi o foaie de-a lungul axei x și ai tipări ceea ce era în partea de jos deasupra).

Frumuseţe! Dar cum va arăta graficul dacă puneți modulul doar pe „x”: y = 2|x| -1?

O linie de raționament și desenăm:

Modulul este „x”, atunci în acest caz x = −x, adică tot ce era în partea dreaptă este reflectat în stânga. Și eliminăm ceea ce era în planul „−x”.

Esența construcției este exact aceeași, doar aici reflectăm în raport cu axa „y”..

Număr mortal: y = |2|x| − 1|.

Mai întâi, să construim y = |2x − 1|, reflectând în raport cu axa „x”. Pe partea pozitivă va fi la fel ca y =|2|x| − 1|.

Și după aceea, reflectăm în raport cu axa „y” ceea ce am primit în dreapta:

Dacă ești o persoană ambițioasă, liniile drepte nu vor fi suficiente pentru tine! Dar ceea ce este descris mai sus funcționează pe toate celelalte diagrame.

Să despărțim parabola y bucată cu bucată= x² + x − 2. Obținem punctele de intersecție cu axa „x” folosind discriminantul: x₁ = 1 și x₂ = -2.

Puteți găsi vârful parabolei și luați câteva puncte pentru o construcție precisă.

O cum va arăta graficul: y= |x²| + x − 2? Aud: „Nu am trecut prin asta înainte”, dar dacă ne gândim la asta? Modulul lui x², care oricum este întotdeauna pozitiv,

Modulul nu este de nici un folos aici, așa cum o lumină de frână nu este de folos unui iepure de câmp. Când y = x² + |x| − 2 încă ștergem totul partea stângă

, și reflectați de la dreapta la stânga: Următorul număr mortal: |y| = x² + x −

2, gândiți-vă cu atenție sau, mai bine, încercați să o desenați singur.

Pentru valorile pozitive ale lui „y” modulul nu are sens - ecuația y = x² + x - 2, iar pentru „−y” nu se schimbă nimic, va fi și y = x² + x - 2!

Desenăm o parabolă în partea de sus a sistemului de coordonate (unde y > 0) și apoi reflectăm în jos.

Și profesioniștii adevărați își pot da seama de ce aceste grafice arată astfel: Nivelurile de lumină și medie s-au terminat și este timpul să împingeți concentrarea la maxim

, deoarece în continuare veți găsi hiperbole, care se găsesc adesea în a doua parte a examenului de stat unificat și a examenului de stat unificat.

y = 1/x este o hiperbolă simplă, care este cel mai ușor de construit prin puncte, 6-8 puncte ar trebui să fie suficiente:

Ce se întâmplă dacă adăugăm „+1” la numitor? Graficul se va deplasa la stânga cu unu: Ce se întâmplă dacă adăugăm la numitor „

-1"?

Graficul se va deplasa la dreapta cu unu.

Și dacă adăugați separat „+1” y = (1/x) + 1? Desigur, graficul va crește cu unu!

Întrebare stupidă: ce se întâmplă dacă adăugăm separat „−1” y = (1/x) − 1? Jos unul!

Poți veni cu o mulțime de opțiuni, dar principiu general rămâne pentru orice program. Vom repeta principiile în concluziile de la sfârșitul articolului.

Modulele nu sunt atât de înfricoșătoare dacă vă amintiți și că pot fi extinse prin definiție:

Și construiți un grafic, împărțindu-l în funcții specificate pe bucăți.

De exemplu, pentru o linie dreaptă:

Pentru o parabolă cu un singur modul, vor exista două grafice date pe bucăți:

Cu două module pe bucăți orare date vor fi patru:

În acest fel, puteți construi încet și migăl orice grafic!

Concluzii:

1. Un modul nu este doar două bețe, ci o valoare veselă, mereu pozitivă!
2. Nu are nicio diferență pentru modul dacă este în linie dreaptă, o parabolă sau în altă parte. Reflecțiile sunt aceleași.
3. Orice modul non-standard poate fi împărțit în funcții definite pe bucăți, condițiile sunt doar introduse pe modul.
4. Există număr mare module, dar merită reținute câteva opțiuni pentru a nu construi punct cu punct:

• Dacă modulul este „pus pe” întreaga expresie (de exemplu, y = |x² + x − 2|), atunci partea inferioară este reflectată în sus.
• Dacă modulul este „pus” numai pe x (de exemplu, y = x² + |x| − 2), atunci partea dreaptă Grafica este reflectată în partea stângă. Și partea stângă „veche” este ștearsă.
• Dacă modulul este „pus pe” atât x, cât și întreaga expresie (de exemplu, y = |x² + |x| − 2|), atunci mai întâi reflectăm graficul de jos în sus, apoi ștergem întreaga parte din stânga și reflectă-l de la dreapta la stânga.
• Dacă modulul este „pus pe” y (de exemplu, |y| = x² + x − 2), atunci părăsim partea superioară a graficului și ștergem partea inferioară. Și apoi reflectăm de sus în jos.

Introducere……………………………………………………………. 3

I. Program funcţie pătratică conţinând o variabilă
sub semnul valorii absolute
1.1. Definiții și proprietăți de bază………………………… 4
1.2. Trasarea unui grafic al unei funcții pătratice care conține
variabilă sub semnul modulului…………………………… 5
II. Trasarea unui grafic al unei funcții pătratice care conține
variabilă sub semnul modulului din program
Microsoft Excel…………………………………………………. 12
Concluzie…………………………………………………. …. 15
Lista literaturii utilizate………………………………….. 16

Introducere

A trebuit să-mi împart timpul între politică și ecuații. Cu toate acestea, ecuațiile, după părerea mea, sunt mult mai importante, pentru că politica există doar pentru acest moment, iar ecuațiile vor exista pentru totdeauna.

A. Einstein.

Când semnul modulului este inclus în ecuațiile „standard” de linii, parabole și hiperbole, graficele lor devin neobișnuite și chiar frumoase. Pentru a învăța cum să construiți astfel de grafice, trebuie să stăpâniți tehnicile de construire a figurilor de bază, precum și să cunoașteți și să înțelegeți cu fermitate definiția modulului unui număr. La cursul de matematică din școală, graficele cu modulul nu sunt discutate suficient de aprofundat, motiv pentru care mi-am dorit să-mi extind cunoștințele pe această temă și să-mi fac propriile cercetări.
Scopul lucrării este de a lua în considerare construcția unui grafic al unei funcții pătratice care conține o variabilă sub semnul modulului.
Obiect de studiu: graficul unei funcții pătratice.
Obiectul cercetării: modificări ale graficului unei funcții pătratice în funcție de locația semnului valorii absolute.
Sarcini:
1) Studiați literatura de specialitate privind proprietățile valorii absolute și ale funcției pătratice.
2) Investigați modificările graficului unei funcții pătratice în funcție de locația semnului valorii absolute.
3) Învățați să reprezentați grafic ecuații folosind diferite programe de graficare, inclusiv Microsoft Excel.
Metode de cercetare:
1) teoretic (stadiul logic al cunoașterii);
2) empiric (cercetare, experiment);
3) modelare.
Semnificația practică a muncii mele este:
1) în utilizarea cunoștințelor dobândite pe această temă, precum și în aprofundarea și aplicarea acestora la alte funcții și ecuații;
2) în utilizarea deprinderilor munca de cercetareîn viitor activități educaționale.

I. Graficul unei funcții pătratice care conține o variabilă sub semnul valorii absolute

1.1. Definiții și proprietăți de bază.

Funcția este unul dintre cele mai importante concepte matematice. O funcție este o dependență a variabilei y de variabila x, astfel încât fiecare valoare a variabilei x să corespundă unei singure valori a variabilei y.
Metode pentru specificarea unei funcții:
1) metoda analitică (funcția este specificată folosind o formulă matematică);
2) metoda tabulară (funcția este specificată folosind un tabel);
3) metoda descriptivă (funcția este specificată prin descriere verbală);
4) metoda grafică (funcția este specificată folosind un grafic).
Graficul unei funcții este mulțimea tuturor punctelor plan de coordonate, ale căror abscise sunt egale cu valoarea argumentului, iar ordonatele sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției.
O funcție definită prin formula y=ax2+inx+c, unde x și y sunt variabile, iar parametrii a, b și c sunt oricare numere reale, iar un 0, se numește pătratic.
Graficul funcției y=ax2+inx+c este o parabolă; axa de simetrie a parabolei y=ax2+inx+c este o linie dreaptă, pentru a>0 „ramurile” parabolei sunt îndreptate în sus, pentru o<0 – вниз.
Pentru a reprezenta grafic o funcție pătratică, aveți nevoie de:
1) găsiți coordonatele vârfului parabolei și marcați-l în planul de coordonate;
2) construiți mai multe puncte aparținând parabolei;
3) conectați punctele marcate cu o linie netedă.
Coordonatele vârfului parabolei sunt determinate de formulele:
, .

Valoarea absolută a unui număr pozitiv este numărul pozitiv în sine; valoarea absolută a unui număr negativ este numărul pozitiv opus. Se presupune că valoarea absolută a lui zero este zero, adică.

.
Proprietăți:
1) Valoarea absolută a sumei numerelor nu este mai mare decât suma valorilor absolute ale termenilor săi, adică.
|a+b| |a|+|b|
2) Valoarea absolută a diferenței dintre două numere nu este mai mică decât diferența dintre valorile absolute ale acestor numere, adică.
|a-c| |a|-|b| sau |a-c| |v|-|a|
3) Valoarea absolută a produsului este egală cu produsul valorilor absolute ale factorilor, adică.
|a în|=|a| |in|
4) Valoarea absolută a coeficientului este egală cu câtul de împărțire a valorilor absolute ale dividendului și divizorului, adică.

5) Valoarea absolută a unui grad cu un exponent întreg pozitiv este egală cu același grad al valorii absolute a bazei, i.e.
|аn|=|a|n.

1.2. Trasarea unei funcții pătratice care conține o variabilă sub semnul modulului.

…Informațiile matematice pot fi folosite cu pricepere și util doar dacă sunt stăpânite în mod creativ, astfel încât elevul să vadă singur cum ar putea ajunge singur la ele.
UN. Kolmogorov.

Pentru a construi grafice ale funcțiilor care conțin semnul modulului, ca în rezolvarea ecuațiilor, mai întâi găsiți rădăcinile expresiilor sub semnul modulului. Ca urmare, axa Ox este împărțită în intervale. Îndepărtăm semnele de modul luând fiecare expresie din fiecare interval cu un anumit semn, pe care îl găsim folosind metoda intervalului.
În fiecare interval se obține o funcție fără semn de modul. Construim un grafic al fiecărei funcție în fiecare interval.

În cel mai simplu caz, când o singură expresie se află sub semnul modulului și nu există alți termeni fără semnul modulului, puteți reprezenta graficul funcției omițând semnul modulului și apoi afișați partea din grafic situată în regiunea lui valori y negative în raport cu axa Ox.

Să arătăm cu exemple câteva tehnici de construire a graficelor de funcții cu module.

Exemplul 1.
Mai întâi, să construim o parabolă y = x2 – 6x +5. Pentru a obține din acesta graficul funcției y = |x2 - 6x + 5|, trebuie să înlocuiți fiecare punct al parabolei cu o ordonată negativă cu un punct cu aceeași abscisă, dar cu ordonată opusă (pozitivă). Cu alte cuvinte, partea de parabolă situată sub axa Ox trebuie înlocuită cu o linie simetrică față de aceasta în raport cu axa Ox (Fig. 1).

Exemplul 2.
Se consideră graficul funcției y = |x|2– 6x +5.
Pentru că |x| este la pătrat, atunci indiferent de semnul numărului x după pătrat va fi pozitiv. Rezultă că graficul funcției y =|x|2 - 6x +5 va fi identic cu graficul funcției y = x2 - 6x +5, adică. graficul unei funcții care nu conține un semn de valoare absolută (Fig. 2).

Fig.2
Exemplul 3.
Se consideră graficul funcției y = x2 – 6|x| +5.
Folosind definiția modulului unui număr, înlocuim formula
y = x2 – 6|x| +5
Acum avem de-a face cu alocarea familiară a dependenței pe bucăți. Vom construi graficul astfel:
1) construiți o parabolă y = x2 - 6x +5 și încercuiți acea parte a acesteia care corespunde valorilor nenegative ale lui x, adică. partea situată în dreapta axei Oy.
2) în același plan de coordonate, construiți o parabolă y = x2 +6x +5 și încercuiți acea parte a acesteia care corespunde valorilor negative ale lui x, adică. partea situată în stânga axei Oy. Părțile încercuite ale parabolelor formează împreună graficul funcției y = x2 - 6|x| +5 (Fig. 3).

Exemplul 4.
Se consideră graficul funcției y = |x|2 - 6|x|+5.
Deoarece graficul ecuației y = |x|2 – 6x +5 este același cu graficul funcției fără semnul modulului (considerat în exemplul 2), rezultă că graficul funcției y = |x|2 – 6|x| +5 este identic cu graficul funcției y = x2 – 6|x| +5, considerat în exemplul 3 (Fig. 3).

Exemplul 5.
Pentru a face acest lucru, să construim un grafic al funcției y = x2 - 6x. Pentru a obține un grafic al funcției y = |x2 - 6x| din aceasta, trebuie să înlocuiți fiecare punct al parabolei cu o ordonată negativă cu un punct cu aceeași abscisă, dar cu ordonată opusă (pozitivă). Cu alte cuvinte, partea parabolei situată sub axa x trebuie înlocuită cu o linie simetrică față de aceasta în raport cu axa x. Deoarece trebuie să trasăm funcția y = |x2 - 6x| +5, atunci graficul funcției considerate y = |x2 - 6x| trebuie doar să-l mutați în sus de-a lungul axei y cu 5 unități (Fig. 4).

Exemplul 6.

Să construim un grafic al funcției y = x2 - |6x+5|. Pentru a face acest lucru, vom folosi binecunoscuta funcție pe bucăți. Să găsim zerourile funcției

y = 6x +5
6x + 5 = 0 la.
Să luăm în considerare două cazuri:
1) Dacă, atunci ecuația va lua forma y = x2 – 6x -5. Să construim această parabolă și să încercuim partea în care.
2) Dacă, atunci ecuația ia forma y = x2+ 6x +5. Să stăm această parabolă și să încercuim acea parte a ei care este situată în stânga punctului cu coordonate (Fig. 5).

Exemplul 7 .
Pentru a face acest lucru, vom reprezenta grafic funcția y =x2- 6|x| +5. Am construit acest grafic în Exemplul 3. Deoarece funcția noastră este complet sub semnul modulului, pentru a construi un grafic al funcției y = |x2 – 6|x| +5|, trebuie să înlocuiți fiecare punct de pe graficul funcției y = x2 – 6|x|+5 cu o ordonată negativă cu un punct cu aceeași abscisă, dar cu ordonată opusă (pozitivă), adică. partea de parabolă situată sub axa Ox trebuie înlocuită cu o linie simetrică față de aceasta în raport cu axa Ox (Fig. 6).


Fig.6
Exemplul 8.
Să considerăm construirea de grafice de forma = f (x).
Având în vedere că în formula = f (x), f (x) , și pe baza definiției modulului =
Să rescriem formula = f (x) sub forma y = f (x), unde f (x).
Pe baza acesteia, formulăm un algoritm-regula.
Pentru a construi grafice de forma = f (x), este suficient să construiți un grafic al funcției y = f (x) pentru acele x din domeniul de definiție pentru care f (x) și să reflectați partea rezultată a grafic simetric fata de axa absciselor.
Astfel, graficul de dependență = f (x) este format din grafice a două funcții: y = f (x) și y = - f (x).
Să construim un grafic al funcției.

Inserarea ulterioară a imaginilor și formulelor este imposibilă din punct de vedere tehnic
Fig.7

Exemplul 9.
Să luăm în considerare construirea de grafice de formă
Efectuând transformări deja cunoscute ale graficelor, vom construi mai întâi un grafic y = │f (x)│, iar apoi o mulțime de puncte ale căror coordonate satisfac condiția
Algoritm de construcție:
1) Construim un grafic al funcției.
2) Afișăm o parte a graficului simetric față de axa Ox.
3) Graficul rezultat este afișat simetric față de axa Ox (Fig. 8).
Fig.8

Concluzii:
1. Graficul funcției y = │f (x)│ poate fi obținut din graficul y = f (x), lăsând pe loc partea în care f (x) și reflectând simetric cealaltă parte în raport cu axa Ox, unde f (x)< 0. Это следует из равенства │ f (x)│=
2. Graficul funcției y = f (│x│) coincide cu graficul funcției y = f (x) pe mulțimea valorilor nenegative ale argumentului și este simetric față de acesta în raport cu Axa Oy pe setul de valori negative ale argumentului.
3. Graficul funcției = f (x) poate fi obținut prin construirea unui grafic al funcției y = f (x) pentru cei x din domeniul de definiție pentru care f (x) și reflectând partea rezultată a grafic simetric fata de abscisa.
4. Graficul unei funcții poate fi obținut prin reprezentarea graficului funcției
y = f (x) și afișarea simetrică a unei părți a graficului în raport cu axa Ox. Graficul rezultat este afișat simetric față de axa Ox.

II. Trasarea unui grafic al unei funcții pătratice care conține o variabilă sub semnul modulului, in programul Microsoft Excela.

Exemplul 1.
Să construim un grafic al funcției y = |x2 – 6x +5|.

Exemplul 2.
Să construim un grafic al funcției y = x2 – 6|x| +5.

Exemplul 3.
Să construim un grafic al funcției y = |x2 – 6x| +5.

Exemplul 4.
Să construim un grafic al funcției y = x2 - |6x+5|.

Exemplul 5.
Să reprezentăm grafic funcția y = |x2 – 6|x| +5|.

Exemplul 6.
Să construim un grafic al funcției.

Exemplul 7.
Să construim un grafic al funcției.

Concluzie

Cunoașterea este cunoaștere numai atunci când este dobândită prin eforturile gândurilor cuiva, și nu prin memorie.
L. N. Tolstoi.

Credem că în această lucrare de cercetare scopul a fost atins, întrucât toate sarcinile au fost rezolvate.
Am examinat construcția unui grafic al unei funcții pătratice care conține o variabilă sub semnul valorii absolute și am investigat modificările din graficul funcției pătratice în funcție de locația semnului valorii absolute. Am stăpânit tehnicile de construire a graficelor de funcții de forma: y = f (│x│), y = │f (x)│, y = │f (│x │)│,
Pentru a scrie această lucrare de cercetare
1) a fost studiată literatura privind proprietățile valorii absolute și ale funcției pătratice;
2) modificările au fost investigate și analizate la construirea unui grafic al unei funcții pătratice în care semnul modulului conține diverse variabile;
3) graficele ecuațiilor au fost construite folosind programele de graficare Graph Master v 1.1, Microsoft Excel și altele;
Când am scris lucrarea, am folosit literatură educațională, resurse de pe Internet și am lucrat în programe precum Microsoft Word, Paint, Formula Editor, Microsoft Excel.
Tema de cercetare s-a dovedit a fi foarte multifațetă, necesitând abilități complet noi atât la etapa de cercetare, cât și la redactarea și proiectarea lucrării.
Această experiență practică în lucrul cu programe pentru construirea de grafice, pentru scrierea formulelor matematice, precum și abilitățile de cercetare dobândite vor fi folosite de noi în activități educaționale ulterioare, inclusiv atunci când studiem alte funcții și ecuații cu modulul, când construim grafice ale acestor funcții .

Lista literaturii folosite

1.Matematică. Algebră. Funcții. Analiza datelor. Clasa a IX-a: M.: Manual. pentru învăţământul general instituții / G.V Dorofeev, S.B Suvorova, E.A. Kuznetsova; Ed. G. V. Dorofeeva. – Ed. a 5-a, stereotip. – M.: Butarda, 2004. – 352 p.: ill.
2. Curs de matematică superioară pentru școlile tehnice. I. F. Suvorov, Moscova - 1967.
3. Matematică. Algebră și funcții elementare. M. I. Abramovici, M. T. Starodubtsev.
4. A.G. Carte Mordkovich pentru profesori. Convorbiri cu profesorii. Moscova - „Onyx secolul 21”, „Pace și educație”, 2005
5.Curs opțional. Faceți cunoștință cu modulul! Algebră. 8-9 clase./ Comp. Baukova T.T. - Volgograd: ITD „Corypheus - 96 p.

Resurse de internet

http://festival.1september.ru/articles/504401/
http://www.uztest.ru/abstracts/?idabstract=18
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc3p/45426
http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1128423553.html
http://www.sorobr1.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=8&Itemid=41
http://mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/sprav/function/kvfunc/kvfunct.htm
http://tvsh2004.narod.ru/alg02.html
http://info.territory.ru/univer/qvadro_func.htm
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0 %BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F

Transcriere

1 Conferință științifică și practică regională a lucrărilor educaționale și de cercetare ale elevilor din clasele 6-11 „Aspecte aplicate și fundamentale ale matematicii” Aspecte metodologice ale studierii matematicii Construirea graficelor de funcții care conțin modulul Gabova Angela Yurievna, clasa a X-a, MOBU „Gimnaziul 3 ” Kudymkar, Pikuleva Nadezhda Ivanovna, profesor de matematică al instituției de învățământ municipal „Gymnasium 3”, Kudymkar Perm, 2016

2 Cuprins: Introducere...3 pagini I. Partea principală...6 pagini 1.1 Context istoric..6 pagini 2.Definiții de bază și proprietăți ale funcțiilor pagina 2.1 Funcția pătratică..7 pagini 2.2 Funcția liniară.. .8 p. 2.3 Funcția fracțională-rațională 8 p. 3. Algoritmi pentru construirea de grafice cu modul 9 p. 3.1 Determinarea modulului.. 9 p. 3.2 Algoritmul de construcție a graficelor de funcții cu modul conținând în formula „module imbricate”.10 p. 3.4 Algoritm pentru construirea graficelor de funcții de forma y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x n + ax + b...13 p. 3.5 Algoritmul de construire a graficelor unei pătratice funcţie cu modul.14 p. 3.6 Algoritmul de reprezentare a unei funcţii raţionale fracţionale cu modul. 15 pp. 4. Modificări ale graficului unei funcții pătratice în funcție de locația semnului valorii absolute..17p. II. Concluzie...26 p. III. Lista referințelor și surselor...27 p. IV. Anexă....28pp. 2

3 Introducere Construcția graficelor de funcții este unul dintre cele mai interesante subiecte din matematica școlară. Cel mai mare matematician al timpului nostru, Israel Moiseevich Gelfand, a scris: „Procesul de construire a graficelor este o modalitate de a transforma formulele și descrierile în imagini geometrice. Această reprezentare grafică este un mijloc de a vedea formule și funcții și de a vedea cum se schimbă acele funcții. De exemplu, dacă se scrie y =x 2, atunci vedeți imediat o parabolă; dacă y = x 2-4, vedeți o parabolă coborâtă cu patru unități; dacă y = -(x 2 4), atunci vedeți parabola anterioară respinsă. Această capacitate de a vedea imediat o formulă și interpretarea ei geometrică este importantă nu numai pentru studiul matematicii, ci și pentru alte materii. Este o abilitate care îți rămâne toată viața, cum ar fi mersul pe bicicletă, tastarea sau conducerea unei mașini.” Bazele rezolvării ecuațiilor cu module au fost obținute în clasele a VI-a-7. Am ales acest subiect special pentru că cred că necesită o cercetare mai profundă și mai amănunțită. Vreau să obțin mai multe cunoștințe despre modulul numerelor, diferite moduri de a construi grafice care conțin semnul valorii absolute. Când semnul modulului este inclus în ecuațiile „standard” de linii, parabole și hiperbole, graficele lor devin neobișnuite și chiar frumoase. Pentru a învăța cum să construiți astfel de grafice, trebuie să stăpâniți tehnicile de construire a figurilor de bază, precum și să cunoașteți și să înțelegeți cu fermitate definiția modulului unui număr. La cursul de matematică din școală, graficele cu modulul nu sunt discutate suficient de aprofundat, motiv pentru care mi-am dorit să-mi extind cunoștințele pe această temă și să-mi fac propriile cercetări. Fără a cunoaște definiția unui modul, este imposibil să construim chiar și cel mai simplu grafic care conține o valoare absolută. O trăsătură caracteristică a graficelor de funcții care conțin expresii cu semnul modulului este 3

4 este prezența deformărilor în acele puncte în care expresia sub semnul modulului își schimbă semnul. Scopul lucrării: a lua în considerare construcția unui grafic de funcții liniare, pătratice și fracționale raționale care conțin o variabilă sub semnul modulului. Obiective: 1) Studierea literaturii de specialitate privind proprietățile valorii absolute ale funcțiilor raționale liniare, pătratice și fracționale. 2) Investigați modificările graficelor de funcții în funcție de locația semnului valorii absolute. 3) Învață să grafici ecuații. Obiect de studiu: grafice ale funcțiilor liniare, pătratice și raționale fracționale. Obiectul cercetării: modificări ale graficului funcțiilor liniare, pătratice și raționale fracționale în funcție de locația semnului valorii absolute. Semnificația practică a lucrării mele constă în: 1) folosirea cunoștințelor dobândite pe această temă, precum și aprofundarea acesteia și aplicarea altor funcții și ecuații; 2) în utilizarea abilităților de cercetare în activități educaționale ulterioare. Relevanță: Sarcinile de reprezentare grafică sunt în mod tradițional unul dintre cele mai dificile subiecte din matematică. Absolvenții noștri se confruntă cu problema promovării cu succes a examenului de stat și a examenului unificat de stat. Problemă de cercetare: construirea graficelor de funcții care conțin semnul modulului din partea a doua a GIA. Ipoteza cercetării: utilizarea unei metodologii de rezolvare a sarcinilor din partea a doua a GIA, elaborată pe baza unor metode generale de construire a graficelor de funcții care conțin un semn de modul, va permite elevilor să rezolve aceste sarcini 4

5 în mod conștient, alegeți cea mai rațională metodă de rezolvare, aplicați diferite metode de rezolvare și promovați cu mai mult succes examenul de stat. Metode de cercetare utilizate în lucrare: 1.Analiza literaturii matematice și a resurselor de pe Internet pe această temă. 2. Reproducerea reproductivă a materialului studiat. 3. Activități cognitive și de căutare. 4.Analiza si compararea datelor in cautarea solutiilor la probleme. 5. Enunţarea ipotezelor şi verificarea acestora. 6. Compararea și generalizarea faptelor matematice. 7. Analiza rezultatelor obtinute. La redactarea acestei lucrări s-au folosit următoarele surse: resurse de internet, teste OGE, literatură matematică. 5

6 I. Partea principală 1.1 Context istoric. În prima jumătate a secolului al XVII-lea, a început să apară ideea funcției ca dependență a unei variabile de alta. Astfel, matematicienii francezi Pierre Fermat () și Rene Descartes () și-au imaginat o funcție ca dependența ordonatei unui punct de o curbă de pe abscisa acestuia. Iar omul de știință englez Isaac Newton () a înțeles o funcție ca fiind coordonatele unui punct în mișcare care se schimbă în funcție de timp. Termenul „funcție” (din latinescul execuție a funcției, realizare) a fost introdus pentru prima dată de matematicianul german Gottfried Leibniz(). El a asociat o funcție cu o imagine geometrică (graficul unei funcții). Ulterior, matematicianul elvețian Johann Bernoulli() și membru al Academiei de Științe din Sankt Petersburg, celebrul matematician din secolul al XVIII-lea Leonard Euler(), au considerat funcția ca o expresie analitică. Euler are, de asemenea, o înțelegere generală a unei funcții ca dependență a unei variabile de alta. Cuvântul „modul” provine din cuvântul latin „modulus”, care înseamnă „măsură”. Acesta este un cuvânt polisemantic (omonim), care are multe semnificații și este folosit nu numai în matematică, ci și în arhitectură, fizică, tehnologie, programare și alte științe exacte. În arhitectură, aceasta este unitatea inițială de măsură stabilită pentru o anumită structură arhitecturală și utilizată pentru a exprima rapoarte multiple ale elementelor sale constitutive. În tehnologie, acesta este un termen folosit în diverse domenii ale tehnologiei, care nu are un sens universal și servește la desemnarea diferiților coeficienți și cantități, de exemplu, modulul de angajare, modulul de elasticitate etc. 6

7 Modulul de volum (în fizică) este raportul dintre efortul normal dintr-un material și alungirea relativă. 2. Definiții de bază și proprietăți ale funcțiilor Funcția este unul dintre cele mai importante concepte matematice. O funcție este o dependență a variabilei y de variabila x, astfel încât fiecare valoare a variabilei x să corespundă unei singure valori a variabilei y. Metode de specificare a unei funcții: 1) metodă analitică (funcția este specificată folosind o formulă matematică); 2) metoda tabulară (funcția este specificată folosind un tabel); 3) metoda descriptivă (funcția este specificată prin descriere verbală); 4) metoda grafică (funcția este specificată folosind un grafic). Graficul unei funcții este mulțimea tuturor punctelor planului de coordonate, ale căror abscise sunt egale cu valoarea argumentului, iar ordonatele sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției. 2.1 Funcția pătratică O funcție definită prin formula y = ax 2 + in + c, unde x și y sunt variabile, iar parametrii a, b și c sunt orice numere reale, iar a = 0, se numește pătratică. Graficul funcției y=ax 2 +in+c este o parabolă; axa de simetrie a parabolei y=ax 2 +in+c este o linie dreaptă, pentru a>0 „ramurile” parabolei sunt îndreptate în sus, pentru o<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7

8 (pentru funcțiile unei variabile). Proprietatea principală a funcțiilor liniare: incrementul funcției este proporțional cu incrementul argumentului. Adică, funcția este o generalizare a proporționalității directe. Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă, de unde provine numele acesteia. Aceasta se referă la o funcție reală a unei variabile reale. 1) Când, linia dreaptă formează un unghi ascuțit cu direcția pozitivă a axei absciselor. 2) Când, linia dreaptă formează un unghi obtuz cu direcția pozitivă a axei x. 3) este indicatorul de ordonate al punctului de intersecție a dreptei cu axa ordonatelor. 4) Când, linia dreaptă trece prin origine. , 2.3 O funcție fracționară-rațională este o fracție al cărei numărător și numitor sunt polinoame. Are forma unde, polinoame în orice număr de variabile. Un caz special sunt funcțiile raționale ale unei variabile:, unde și sunt polinoame. 1) Orice expresie care poate fi obținută din variabile folosind patru operații aritmetice este o funcție rațională. 8

9 2) Mulțimea funcțiilor raționale este închisă sub operațiile aritmetice și operația de compunere. 3) Orice funcție rațională poate fi reprezentată ca o sumă de fracții simple - aceasta este folosită în integrarea analitică.. , 3. Algoritmi pentru construirea de grafice cu modul 3.1 Definiția modulului Modulul unui număr real a este numărul a însuși, dacă este nenegativ, iar numărul opus a, dacă a este negativ. a = 3.2 Algoritm pentru construirea unui grafic al unei funcții liniare cu modul Pentru a construi grafice ale funcțiilor y = x trebuie să știți că pentru x pozitiv avem x = x. Aceasta înseamnă că pentru valorile pozitive ale argumentului, graficul y= x coincide cu graficul y=x, adică această parte a graficului este o rază care iese de la origine la un unghi de 45 de grade față de axa absciselor. . La x< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9

10 Pentru a construi, luăm punctele (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2). Acum să construim un grafic y= x-1 Dacă A este un punct pe graficul y= x cu coordonatele (a; a), atunci punctul de pe grafic y= x-1 cu aceeași valoare a ordonatei Y. fie punctul A1(a+1; a). Acest punct al celui de-al doilea grafic poate fi obținut din punctul A(a; a) al primului grafic prin deplasarea paralelă cu axa Ox la dreapta. Aceasta înseamnă că întregul grafic al funcției y= x-1 se obține din graficul funcției y= x prin deplasarea paralelă cu axa Ox la dreapta cu 1. Să construim graficele: y= x-1 Pentru a construi , luați punctele (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1). 3.3 Construirea graficelor de funcții care conțin „module imbricate” în formulă Să luăm în considerare algoritmul de construcție folosind un exemplu specific. Construiți un grafic al unei funcții: 10

11 y=i-2-ix+5ii 1. Construiți un grafic al funcției. 2. Afișăm graficul semiplanului inferior în sus simetric față de axa OX și obținem graficul funcției. 11

12 3. Afișăm graficul funcției în jos simetric față de axa OX și obținem graficul funcției. 4. Afișăm graficul funcției în jos simetric față de axa OX și obținem un grafic al funcției 5. Afișăm graficul funcției în raport cu axa OX și obținem un grafic. 12

13 6. Drept urmare, graficul funcției arată astfel 3.4. Algoritm pentru construirea graficelor de funcții de forma y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b. În exemplul anterior, a fost destul de ușor să dezvăluiți semnele de modul. Dacă există mai multe sume de module, atunci este problematic să luăm în considerare toate combinațiile posibile de semne ale expresiilor submodulare. Cum, în acest caz, să construim un grafic al funcției? Rețineți că graficul este o linie întreruptă, cu vârfuri în puncte având abscisele -1 și 2. La x = -1 și x = 2, expresiile submodulare sunt egale cu zero. În practică, ne-am apropiat de regula pentru construirea unor astfel de grafice: Graficul unei funcții de forma y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b este o linie întreruptă cu legături extreme infinite. Pentru a construi o astfel de linie întreruptă, este suficient să cunoașteți toate vârfurile acesteia (abscisele vârfurilor sunt zerourile expresiilor submodulare) și un punct de control pe legăturile infinite stânga și dreapta. 13

14 Problemă. Reprezentați grafic funcția y = x + x 1 + x + 1 și găsiți cea mai mică valoare a acesteia. Rezolvare: 1. Zerourile expresiilor submodulare: 0; -1; Vârfurile poliliniei (0; 2); (-1; 3); (1; 3) (substituim zerourile expresiilor submodulare în ecuație) 3 Punct de control în dreapta (2; 6), în stânga (-2; 6). Construim un grafic (Fig. 7), cea mai mică valoare a funcției este Algoritmul pentru construirea unui grafic al unei funcții pătratice cu modulul Elaborarea algoritmilor de conversie a graficelor de funcții. 1. Trasarea unui grafic al funcției y= f(x). Prin definiția unui modul, această funcție este împărțită într-un set de două funcții. În consecință, graficul funcției y= f(x) este format din două grafice: y= f(x) în semiplanul drept, y= f(-x) în semiplanul stâng. Pe baza acesteia se poate formula o regulă (algoritm). Graficul funcției y= f(x) se obține din graficul funcției y= f(x) astfel: la x 0 se păstrează graficul, iar la x< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14

15 3. Pentru a construi un grafic al funcției y= f(x), trebuie mai întâi să construiți un grafic al funcției y= f(x) pentru x> 0, apoi pentru x< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15

16 Pentru a obține acest grafic, trebuie doar să mutați graficul obținut anterior cu trei unități la dreapta. Rețineți că dacă numitorul fracției conține expresia x + 3, atunci am deplasa graficul la stânga: Acum trebuie să înmulțim toate ordonatele cu două pentru a obține graficul funcției. În cele din urmă, deplasăm graficul în sus două unități: Ultimul lucru pe care trebuie să-l facem este , acesta este să trasăm un grafic al unei funcții date dacă este închisă sub semnul modulului. Pentru a face acest lucru, reflectăm simetric în sus întreaga parte a graficului ale cărei ordonate sunt negative (acea parte care se află sub axa x): Fig. 4 16

17 4.Modificări în graficul unei funcții pătratice în funcție de locația semnului valorii absolute. Construiți un grafic al funcției y = x 2 - x -3 1) Deoarece x = x pentru x 0, graficul necesar coincide cu parabola y = 0,25 x 2 - x - 3. Dacă x<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. b) Prin urmare, completez construcția pentru x<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17

18 Fig. 4 Graficul funcției y = f (x) coincide cu graficul funcției y = f (x) pe mulțimea valorilor nenegative ale argumentului și este simetric față de acesta față de axa OU pe setul de valori negative ale argumentului. Dovada: Dacă x 0, atunci f (x) = f (x), adică. pe setul de valori nenegative ale argumentului, graficele funcțiilor y = f (x) și y = f (x) coincid. Deoarece y = f (x) este o funcție pară, graficul său este simetric față de amplificatorul operațional. Astfel, graficul funcției y = f (x) poate fi obținut din graficul funcției y = f (x) astfel: 1. construiți un grafic al funcției y = f (x) pentru x>0; 2. Pentru x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. Pentru x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х

19 Dacă x 2 - x -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 și partea reflectată simetric y = f(x) la y<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, atunci f (x) = f (x), ceea ce înseamnă că în această parte graficul funcției y = f (x) coincide cu graficul funcției în sine y = f (x). Dacă f(x)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19

20 Fig.5 Concluzie: Pentru a construi un grafic al funcției y= f(x) 1. Construiți un grafic al funcției y=f(x) ; 2. În zonele în care graficul este situat în semiplanul inferior, adică unde f(x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20

21 Lucrări de cercetare privind construirea de grafice ale funcției y = f (x) Folosind definiția valorii absolute și exemplele discutate anterior, vom construi grafice ale funcției: y = 2 x - 3 y = x 2-5 x y = x 2 -2 și trageți concluzii. Pentru a construi un grafic al funcției y = f (x) trebuie să: 1. Construiți un grafic al funcției y = f (x) pentru x>0. 2. Construiți a doua parte a graficului, adică reflectați graficul construit simetric față de amplificatorul operațional, deoarece Această funcție este uniformă. 3. Convertiți secțiunile graficului rezultat situat în semiplanul inferior în semiplanul superior simetric față de axa OX. Construiți un grafic al funcției y = 2 x - 3 (prima metodă de determinare a modulului) 1. Construiți y = 2 x - 3, pentru 2 x - 3 > 0, x >1,5 adică. X< -1,5 и х>1.5 a) y = 2x - 3, pentru x>0 b) pentru x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 b) pentru x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) Construim o linie dreaptă, simetrică cu cea construită în raport cu axa op-amp-ului. 3) Afișez secțiuni ale graficului situate în semiplanul inferior simetric față de axa OX. Comparând ambele grafice, vedem că sunt aceleași. 21

22 Exemple de probleme Exemplul 1. Se consideră graficul funcției y = x 2 6x +5. Deoarece x este la pătrat, indiferent de semnul numărului x, după pătrat va fi pozitiv. Rezultă că graficul funcției y = x 2-6x +5 va fi identic cu graficul funcției y = x 2-6x +5, adică. graficul unei funcții care nu conține un semn de valoare absolută (Fig. 2). Fig.2 Exemplul 2. Se consideră graficul funcției y = x 2 6 x +5. Folosind definiția modulului unui număr, înlocuim formula y = x 2 6 x +5 Acum avem de-a face cu atribuirea de dependență pe bucăți care ne este familiară. Vom construi un grafic astfel: 1) construim o parabolă y = x 2-6x +5 și încercuim partea din ea care 22

23 corespunde valorilor nenegative ale lui x, adică partea situată în dreapta axei Oy. 2) în același plan de coordonate, construiți o parabolă y = x 2 +6x +5 și încercuiți partea care corespunde valorilor negative ale lui x, adică. partea situată în stânga axei Oy. Părțile încercuite ale parabolelor formează împreună un grafic al funcției y = x 2-6 x +5 (Fig. 3). Fig.3 Exemplul 3. Se consideră graficul funcției y = x 2-6 x +5. Deoarece graficul ecuației y = x 2 6x +5 este același cu graficul funcției fără semnul modulului (discutat în exemplul 2), rezultă că graficul funcției y = x 2 6 x +5 este identic la graficul funcției y = x 2 6 x +5 , considerată în exemplul 2 (Fig. 3). Exemplul 4. Să construim un grafic al funcției y = x 2 6x +5. Pentru a face acest lucru, să construim un grafic al funcției y = x 2-6x. Pentru a obține un grafic al funcției y = x 2-6x din aceasta, trebuie să înlocuiți fiecare punct al parabolei cu o ordonată negativă cu un punct cu aceeași abscisă, dar cu ordonată opusă (pozitivă). Cu alte cuvinte, partea parabolei situată sub axa x trebuie înlocuită cu o linie simetrică față de aceasta în raport cu axa x. Deoarece trebuie să construim un grafic al funcției y = x 2-6x +5, apoi graficul funcției pe care am considerat-o y = x 2-6x trebuie doar să fie ridicat de-a lungul axei y cu 5 unități în sus (Fig. 4). ). 23

24 Fig.4 Exemplul 5. Să construim un grafic al funcției y = x 2-6x+5. Pentru a face acest lucru, vom folosi binecunoscuta funcție pe bucăți. Să găsim zerourile funcției y = 6x +5 6x + 5 = 0 la. Să luăm în considerare două cazuri: 1) Dacă, atunci ecuația va lua forma y = x 2 6x -5. Să construim această parabolă și să încercuim partea în care. 2) Dacă, atunci ecuația ia forma y = x 2 + 6x +5. Să stăm această parabolă și să încercuim acea parte a ei care este situată în stânga punctului cu coordonate (Fig. 5). 24

25 Fig.5 Exemplul6. Să construim un grafic al funcției y = x 2 6 x +5. Pentru a face acest lucru, vom construi un grafic al funcției y = x 2-6 x +5. Am construit acest grafic în Exemplul 3. Deoarece funcția noastră este complet sub semnul modulului, pentru a construi un grafic al funcției y = x 2 6 x +5, avem nevoie de fiecare punct al graficului funcției y = x 2 6 x + 5 cu ordonată negativă trebuie înlocuite cu un punct cu aceeași abscisă, dar cu ordonată opusă (pozitivă), adică. partea de parabolă situată sub axa Ox trebuie înlocuită cu o linie simetrică față de aceasta în raport cu axa Ox (Fig. 6). Fig.6 25

26 II. Concluzie „Informația matematică poate fi folosită cu pricepere și cu folos numai dacă este stăpânită în mod creativ, astfel încât elevul să vadă singur cum ar putea ajunge la ea singur.” UN. Kolmogorov. Aceste probleme sunt de mare interes pentru elevii de clasa a IX-a, deoarece sunt foarte frecvente la testele OGE. Abilitatea de a construi grafice de date ale funcțiilor vă va permite să promovați examenul cu mai mult succes. Matematicienii francezi Pierre Fermat () și Rene Descartes () au imaginat o funcție ca dependența ordonatei unui punct de o curbă de pe abscisa acestuia. Iar omul de știință englez Isaac Newton () a înțeles o funcție ca fiind coordonatele unui punct în mișcare care se schimbă în funcție de timp. 26

27 III. Lista referințelor și surselor 1. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Culegere de probleme de algebră pentru clasele 8-9: Manual. manual pentru elevii școlii. si clase avansate studiat Matematică ed. a II-a. M.: Iluminarea, Dorofeev G.V. Matematică. Algebră. Funcții. Analiza datelor. Clasa a IX-a: m34 Educativ. pentru studii de învăţământ general. stabilire ed. a 2-a, stereotip. M.: Bustard, Solomonik V.S. Culegere de întrebări și probleme de matematică M.: „Școala superioară”, Yashchenko I.V. GIA. Matematică: opțiuni standard de examen: Despre opțiuni.m.: „Educația Națională”, p. 5. Iascenko I.V. OGE. Matematică: opțiuni standard de examen: Despre opțiuni.m.: „Educația Națională”, p. 6. Iascenko I.V. OGE. Matematică: opțiuni standard de examen: Despre opțiuni.m.: „Educația Națională”, cu

28 Anexa 28

29 Exemplul 1. Reprezentați grafic funcția y = x 2 8 x Soluție. Să determinăm paritatea funcției. Valoarea pentru y(-x) este aceeași cu valoarea pentru y(x), deci această funcție este pară. Apoi graficul său este simetric față de axa Oy. Reprezentăm grafic funcția y = x 2 8x + 12 pentru x 0 și afișăm simetric graficul față de Oy pentru negativ x (Fig. 1). Exemplul 2. Următorul grafic de forma y = x 2 8x Aceasta înseamnă că graficul funcției se obține astfel: construiți un grafic al funcției y = x 2 8x + 12, lăsați partea din grafic care se află deasupra axa Ox neschimbată și partea graficului care se află sub axa absciselor și este afișată simetric față de axa Ox (Fig. 2). Exemplul 3. Pentru a reprezenta un grafic al funcției y = x 2 8 x + 12, se efectuează o combinație de transformări: y = x 2 8x + 12 y = x 2 8 x + 12 y = x 2 8 x Răspuns: Figura 3. Exemplul 4 Expresia sub semnul modulului, semnul schimbă în punctul x=2/3. La x<2/3 функция запишется так: 29

30 Pentru x>2/3 funcția se va scrie astfel: Adică punctul x=2/3 împarte planul nostru de coordonate în două zone, în una dintre care (în dreapta) construim o funcție și în cealaltă (la stânga) construim un grafic al funcției: Exemplul 5 În continuare graficul este și el spart, dar are două puncte de întrerupere, deoarece conține două expresii sub semnele modulului: Să vedem în ce puncte expresiile submodulare își schimbă semnul: aranjați semnele pentru expresiile submodulare pe linia de coordonate: 30

31 Extindem modulele pe primul interval: Pe al doilea interval: Pe al treilea interval: Astfel, pe intervalul (- ; 1.5] avem un grafic scris de prima ecuație, pe interval un grafic scris de a doua ecuație , și pe interval)