Oldja meg a mátrixegyenletet a Gauss-módszerrel! Gauss-módszer mátrixok megoldására

Legyen a rendszer adott, ∆≠0. (egy)
Gauss módszer az ismeretlenek egymást követő megszüntetésének módszere.

A Gauss-módszer lényege, hogy az (1)-et egy háromszögmátrixú rendszerré alakítjuk, amelyből az összes ismeretlen értékeit szekvenciálisan (fordítva) kapjuk meg. Tekintsük az egyik számítási sémát. Ezt az áramkört egyosztásos áramkörnek nevezik. Tehát nézzük meg ezt a diagramot. Legyen egy 11 ≠0 (vezető elem) osztva 11-gyel az első egyenlet. Kap
(2)
A (2) egyenlet segítségével könnyen kizárható az ismeretlen x 1 a rendszer többi egyenlete közül (ehhez elegendő minden egyenletből kivonni a (2) egyenletet előzetesen megszorozva a megfelelő x 1-es együtthatóval), azaz , első lépésben megkapjuk
.
Más szóval, az 1. lépésben a következő sorok minden eleme a másodiktól kezdve egyenlő az eredeti elem és az első oszlopon és az első (átalakított) soron lévő „vetületének” szorzata közötti különbséggel.
Ezt követően az első egyenletet magára hagyva hasonló transzformációt végzünk a rendszer első lépésben kapott egyenletein: kiválasztunk közülük egy vezető elemet tartalmazó egyenletet, és ezzel kizárjuk x 2-t a többi egyenletből. (2. lépés).
N lépés után (1) helyett egy ekvivalens rendszert kapunk
(3)
Így az első szakaszban egy háromszögrendszert kapunk (3). Ezt a lépést hívják előre.
A második szakaszban (fordított mozgás) a (3)-ból egymás után megtaláljuk az x n , x n -1 , …, x 1 értékeket.
A kapott megoldást jelöljük x 0 -val. Ekkor a különbség ε=b-A x 0 reziduálisnak nevezzük.
Ha ε=0, akkor az x 0 talált megoldás helyes.

A Gauss-módszerrel végzett számításokat két szakaszban hajtják végre:

1. Az első szakaszt a módszer közvetlen lefolyásának nevezzük. Az első szakaszban az eredeti rendszert háromszög alakúra alakítják.
2. A második szakaszt fordítottnak nevezik. A második lépésben az eredetivel egyenértékű háromszögrendszert oldanak meg.

Az a 11 , a 22 , ... együtthatókat vezető elemeknek nevezzük.
Minden lépésnél azt feltételeztük, hogy a vezető elem nullától eltérő. Ha ez nem így van, akkor bármely más elem használható vezetőként, mintha átrendezné a rendszer egyenleteit.

A Gauss-módszer célja

A Gauss-módszer a rendszerek megoldására szolgál lineáris egyenletek. Közvetlen megoldási módszerekre utal.

A Gauss-módszer típusai

1. Klasszikus Gauss-módszer;
2. A Gauss-módszer módosításai. A Gauss-módszer egyik módosítása az áramkör a fő elem kiválasztásával. A Gauss-módszer jellemzője a főelem kiválasztásával az egyenletek olyan permutációja, hogy a k-adik lépésben a vezető elem a k-adik oszlop legnagyobb eleme.
3. Jordan-Gauss módszer;

A különbség a Jordan-Gauss módszer és a klasszikus között Gauss módszer a téglalapszabály alkalmazásából áll, amikor a megoldás keresésének iránya a főátló mentén van (transzformáció az azonosságmátrixba). A Gauss-módszerben a megoldáskeresés iránya az oszlopok mentén történik (transzformáció háromszögmátrixú rendszerré).
Illusztrálja a különbséget Jordan-Gauss módszer a Gauss-módszerből a példákon.

Gauss megoldási példa
Oldjuk meg a rendszert:

A számítások megkönnyítése érdekében felcseréljük a sorokat:

Szorozzuk meg a 2. sort (2-vel). Adja hozzá a 3. sort a 2. sorhoz

Szorozzuk meg a 2. sort (-1)-gyel. Adja hozzá a 2. sort az 1. sorhoz

Az 1. sorból x 3-at fejezünk ki:
A 2. sorból x 2-t fejezünk ki:
A 3. sorból x 1-et fejezünk ki:

Példa a Jordan-Gauss módszerrel történő megoldásra
Ugyanezt a SLAE-t a Jordano-Gauss módszerrel fogjuk megoldani.

Sorrendben kiválasztjuk az RE feloldó elemét, amely a mátrix főátlóján fekszik.
Az engedélyező elem egyenlő (1).



ÉK \u003d DK - (A * B) / RE
RE - engedélyező elem (1), A és B - mátrixelemek, amelyek téglalapot alkotnak STE és RE elemekkel.
Mutassuk be az egyes elemek számítását táblázat formájában:

x 1	x2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Az engedélyező elem egyenlő (3).
A feloldó elem helyére 1-et kapunk, magába az oszlopba pedig nullákat írunk.
A mátrix összes többi elemét, beleértve a B oszlop elemeit is, a téglalapszabály határozza meg.
Ehhez válasszon ki négy olyan számot, amelyek a téglalap csúcsaiban helyezkednek el, és mindig tartalmazzák az RE engedélyező elemét.

x 1	x2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Az engedélyező elem a (-4).
A feloldó elem helyére 1-et kapunk, magába az oszlopba pedig nullákat írunk.
A mátrix összes többi elemét, beleértve a B oszlop elemeit is, a téglalapszabály határozza meg.
Ehhez válasszon ki négy olyan számot, amelyek a téglalap csúcsaiban helyezkednek el, és mindig tartalmazzák az RE engedélyező elemét.
Mutassuk be az egyes elemek számítását táblázat formájában:

x 1	x2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Válasz: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

A Gauss-módszer megvalósítása

A Gauss-módszert számos programozási nyelven implementálják, különösen: Pascal, C ++, php, Delphi, és van a Gauss-módszer online megvalósítása is.

Gauss-módszer használata

A Gauss-módszer alkalmazása a játékelméletben

A játékelméletben a játékos maximális optimális stratégiájának megtalálásakor egy egyenletrendszert állítanak össze, amelyet Gauss módszerrel oldanak meg.

Gauss-módszer alkalmazása differenciálegyenletek megoldásában

Egy differenciálegyenlet egy adott megoldásának kereséséhez először keresse meg az írott konkrét megoldás (y=f(A,B,C,D)) megfelelő fokú deriváltjait, amelyeket behelyettesít az eredeti egyenletbe. Következő megtalálni A,B,C,D változók egyenletrendszert állítunk össze, amelyet Gauss-módszerrel oldunk meg.

A Jordano-Gauss módszer alkalmazása a lineáris programozásban

A lineáris programozásban, különösen a szimplex módszerben, egy szimplex tábla átalakításához minden iterációnál a téglalap szabályt használják, amely a Jordan-Gauss módszert használja.

A Gauss módszer egyszerű! Miért? A híres német matematikus, Johann Carl Friedrich Gauss még életében kapott elismerést a legnagyobb matematikus minden idők zsenije, sőt a „matematika királyának” beceneve. És minden zseniális, mint tudod, egyszerű! A pénzbe egyébként nem csak balekok, hanem zsenik is esnek - Gauss portréja egy 10 német márkás bankjegyen pompázott (az euró bevezetése előtt), Gauss pedig még mindig rejtélyesen mosolyog a németekre a hétköznapi postai bélyegekről.

A Gauss-módszer annyiban egyszerű, hogy elsajátításához ELÉG EGY ÖTODIKOS TANULÓ TUDÁSA. Összeadni és szorozni kell tudni! Nem véletlen, hogy az ismeretlenek egymást követő kiküszöbölésének módszerét gyakran fontolgatják a tanárok az iskolai matematikai választható tárgyakon. Paradoxon, de a Gauss-módszer okozza a legtöbb nehézséget a hallgatóknak. Nincs semmi meglepő - minden a módszertanról szól, és megpróbálom hozzáférhető formában elmondani a módszer algoritmusát.

Először egy kicsit rendszerezzük a lineáris egyenletrendszerekkel kapcsolatos ismereteket. Egy lineáris egyenletrendszer:

1) Legyen egyedi megoldása.
2) Végtelen sok megoldásod legyen.
3) Nincsenek megoldásai (legyen összeegyeztethetetlen).

A Gauss-módszer a legerősebb és univerzális eszköz megoldást találni Bármi lineáris egyenletrendszerek. Ahogy emlékszünk Cramer-szabály és mátrix módszer nem alkalmasak olyan esetekben, amikor a rendszer végtelen sok megoldást tartalmaz, vagy inkonzisztens. Az ismeretlenek egymást követő kiküszöbölésének módszere akárhogyan is vezessen minket a válaszhoz! A ezt a leckét ismét figyelembe vesszük a Gauss-módszert az 1. esetre (a rendszer egyetlen megoldása), a cikk a 2-3. pontok helyzeteire van fenntartva. Megjegyzem, maga a metódus-algoritmus mindhárom esetben ugyanúgy működik.

Térjünk vissza a leckéből a legegyszerűbb rendszerhez Hogyan lehet lineáris egyenletrendszert megoldani?
és a Gauss-módszerrel oldja meg.

Az első lépés az írás kiterjesztett mátrix rendszer:
. Azt hiszem, mindenki láthatja, hogy milyen elv alapján rögzítik az együtthatókat. A mátrixon belüli függőleges vonalnak nincs matematikai jelentése – ez csak egy áthúzás a könnyebb tervezés érdekében.

Referencia :Javaslom, hogy emlékezzen feltételeket lineáris algebra. Rendszermátrix egy mátrix, amely csak ismeretlenek együtthatóiból áll, ebben a példában a rendszer mátrixa: . Kiterjesztett rendszermátrix a rendszer ugyanazon mátrixa plusz egy szabad tagok oszlopa, in ez az eset: . A mátrixok bármelyike ​​egyszerűen mátrixnak nevezhető a rövidség kedvéért.

A rendszer kibővített mátrixának felírása után végre kell hajtani vele néhány műveletet, amelyeket szintén hívunk elemi átalakulások.

A következő elemi átalakítások vannak:

1) Húrok mátrixok tud átrendezni helyeken. Például a vizsgált mátrixban biztonságosan átrendezheti az első és a második sort:

2) Ha a mátrix tartalmaz (vagy úgy tűnt) arányos (as különleges eset azonosak) karakterláncok, akkor ez következik töröl a mátrixból ezek a sorok egy kivételével. Vegyük például a mátrixot . Ebben a mátrixban az utolsó három sor arányos, így elég csak egyet hagyni belőlük: .

3) Ha az átalakítások során egy nulla sor jelent meg a mátrixban, akkor az is következik töröl. Természetesen nem fogok húzni, a nulla vonal az a vonal, amelyben csak nullák.

4) A mátrix sora lehet szorozni (osztani) bármilyen számhoz nem nulla. Vegyük például a mátrixot. Itt célszerű az első sort -3-mal elosztani, a második sort pedig 2-vel megszorozni: . Ez a művelet nagyon hasznos, mivel leegyszerűsíti a mátrix további átalakításait.

5) Ez az átalakítás okozza a legtöbb nehézséget, de valójában nincs is semmi bonyolult. A mátrix sorához megteheti adjunk hozzá egy másik karakterláncot egy számmal szorozva, nullától eltérő. Tekintsük a mátrixunkat esettanulmány: . Először is részletesen leírom az átalakulást. Szorozzuk meg az első sort -2-vel: , és a második sorhoz hozzáadjuk az első sort -2-vel szorozva: . Most az első sor "vissza" osztható -2-vel: . Mint látható, a sor, amely HOZZÁADVA LI – nem változott. Mindig a sor megváltozott, HOGY HOZZÁADVA UT.

A gyakorlatban persze nem festenek ilyen részletesen, de rövidebben írják:

Még egyszer: a második sorra hozzáadta az első sort -2-vel szorozva. A sort általában szóban vagy piszkozaton szorozzák, míg a számítások mentális menete a következő:

"Átírom a mátrixot és átírom az első sort: »

Először az első oszlop. Alul nullát kell kapnom. Ezért a fenti mértékegységet megszorzom -2:-vel, és az elsőt a második sorhoz adom: 2 + (-2) = 0. Az eredményt a második sorba írom: »

„Most a második oszlop. -1-szer felett -2: . Az elsőt hozzáadom a második sorhoz: 1 + 2 = 3. Az eredményt a második sorba írom: »

– És a harmadik oszlop. -5 alkalommal -2 felett: . Hozzáadom az első sort a másodikhoz: -7 + 10 = 3. Az eredményt a második sorba írom: »

Kérjük, alaposan gondolja át ezt a példát, és értse meg a szekvenciális számítási algoritmust, ha ezt megérti, akkor a Gauss módszer gyakorlatilag "a zsebében" van. De természetesen még dolgozunk ezen az átalakításon.

Az elemi transzformációk nem változtatják meg az egyenletrendszer megoldását

! FIGYELEM: megfontolt manipulációk nem használható, ha olyan feladatot ajánlanak fel, ahol a mátrixok „maguktól” vannak megadva. Például a "klasszikus" kifejezéssel mátrixok semmi esetre sem szabad átrendezni valamit a mátrixokon belül!

Térjünk vissza a rendszerünkhöz. Gyakorlatilag darabokra tört.

Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal redukáljuk vissza lépcsős nézet:

(1) Az első sort hozzáadtuk a második sorhoz, megszorozva -2-vel. És még egyszer: miért szorozzuk meg az első sort -2-vel? Annak érdekében, hogy nulla legyen az alján, ami azt jelenti, hogy megszabadulunk egy változótól a második sorban.

(2) Ossza el a második sort 3-mal.

Az elemi transzformációk célja – konvertálja a mátrixot lépéses formává: . A feladat megtervezésekor egy egyszerű ceruzával közvetlenül kihúzzák a „létrát”, és bekarikázzák a „lépcsőkön” található számokat is. Maga a "lépcsős nézet" kifejezés nem teljesen elméleti, a tudományos és oktatási szakirodalomban gyakran ún. trapéz alakú nézet vagy háromszög nézet.

Az elemi átalakítások eredményeként azt kaptuk egyenértékű eredeti egyenletrendszer:

Most a rendszert az ellenkező irányba kell "kicsavarni" - alulról felfelé ezt a folyamatot hívják fordított Gauss-módszer.

Az alsó egyenletben már megvan a kész eredmény: .

Tekintsük a rendszer első egyenletét, és helyettesítsük bele a már ismert „y” értékét:

Tekintsük a leggyakoribb helyzetet, amikor a Gauss-módszerre van szükség egy három lineáris egyenletrendszer megoldásához három ismeretlennel.

1. példa

Oldja meg az egyenletrendszert Gauss módszerrel:

Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát:

Most azonnal lerajzolom az eredményt, amelyre a megoldás során eljutunk:

És ismétlem, az a célunk, hogy a mátrixot elemi transzformációk segítségével lépcsőzetes formába hozzuk. Hol kezdjem a cselekvést?

Először nézze meg a bal felső számot:

Szinte mindig itt kell lennie Mértékegység. Általánosságban elmondható, hogy a -1 (és néha más számok) is megfelelnek, de valahogy hagyományosan megtörtént, hogy egy egységet általában oda helyeznek. Hogyan szervezzünk egy egységet? Megnézzük az első oszlopot - kész egységünk van! Első átalakítás: cserélje fel az első és a harmadik sort:

Most az első sor változatlan marad a megoldás végéig. Most jól.

A bal felső sarokban lévő egység szervezett. Most nullákat kell kapnia ezeken a helyeken:

A nullákat csak egy "nehéz" transzformáció segítségével kapjuk meg. Először a második sorral (2, -1, 3, 13) foglalkozunk. Mit kell tenni, hogy nulla legyen az első pozícióban? Szükség a második sorhoz adjuk hozzá az első sort -2-vel szorozva. Mentálisan vagy piszkozaton az első sort megszorozzuk -2-vel: (-2, -4, 2, -18). És következetesen végrehajtjuk (ismét mentálisan vagy vázlatosan) kiegészítést, a második sorhoz hozzáadjuk az első sort, már -2-vel megszorozva:

Az eredményt a második sorba írjuk:

Hasonlóan foglalkozunk a harmadik sorral (3, 2, -5, -1). Ahhoz, hogy nulla legyen az első pozícióban, szüksége van a harmadik sorhoz adjuk hozzá az első sort -3-mal szorozva. Mentálisan vagy piszkozaton az első sort megszorozzuk -3-mal: (-3, -6, 3, -27). És a harmadik sorhoz hozzáadjuk az első sort -3-mal szorozva:

Az eredményt a harmadik sorba írjuk:

A gyakorlatban ezeket a műveleteket általában szóban hajtják végre, és egy lépésben írják le:

Nem kell mindent egyszerre és egyszerre számolni. A számítások sorrendje és az eredmények "beszúrása". következetesés általában így: először átírjuk az első sort, és csendesen pöffeszkedünk - KÖVETKEZTETESEN és GONDOSAN:


Magának a számításnak a mentális menetét pedig már fentebb megvizsgáltam.

Ebben a példában ez könnyen megtehető, a második sort elosztjuk -5-tel (mivel ott minden szám osztható 5-tel, maradék nélkül). Ugyanakkor a harmadik sort elosztjuk -2-vel, mert mi számnál kisebb, témák könnyebb megoldás:

Az elemi átalakítások végső szakaszában itt még egy nullát kell kapni:

Ezért a harmadik sorhoz hozzáadjuk a második sort, megszorozva -2-vel:


Próbálja meg saját maga elemezni ezt a műveletet - gondolatban szorozza meg a második sort -2-vel, és hajtsa végre az összeadást.

Az utolsó végrehajtott művelet az eredmény frizurája, a harmadik sort el kell osztani 3-mal.

Az elemi transzformációk eredményeként egy ekvivalens kezdeti lineáris egyenletrendszert kaptunk:

Menő.

Most a Gauss-módszer fordított lefolyása lép életbe. Az egyenletek alulról felfelé "feloldódnak".

A harmadik egyenletben már megvan a kész eredmény:

Nézzük a második egyenletet: . A "z" jelentése már ismert, így:

És végül az első egyenlet: . "Y" és "Z" ismert, a dolog kicsi:

Válasz:

Amint azt már többször elhangzott, bármely egyenletrendszernél lehetséges és szükséges ellenőrizni a megtalált megoldást, szerencsére ez nem nehéz és gyors.

2. példa

Ez egy példa erre önálló döntés, egy minta befejező simítás, és egy válasz a lecke végén.

Meg kell jegyezni, hogy az Ön teendők lehet, hogy nem esik egybe az én cselekedetemmel, és ez a Gauss-módszer sajátossága. De a válaszoknak ugyanazoknak kell lenniük!

3. példa

Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert Gauss módszerrel!

Felírjuk a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal lépésformára hozzuk:

Nézzük a bal felső "lépést". Ott kellene egy egységünk. A probléma az, hogy az első oszlopban egyáltalán nincs senki, így a sorok átrendezésével semmit nem lehet megoldani. Ilyen esetekben az egységet elemi transzformációval kell megszervezni. Ez általában többféleképpen is megtehető. Én csináltam:
(1) Az első sorhoz hozzáadjuk a második sort, megszorozva -1-gyel. Vagyis gondolatban a második sort megszoroztuk -1-gyel, és végrehajtottuk az első és a második sor összeadását, míg a második sor nem változott.

Most balra fent a "mínusz egy", ami nekünk tökéletesen megfelel. Aki +1-et szeretne kapni, végrehajthat egy további mozdulatot: szorozza meg az első sort -1-gyel (változtassa meg az előjelét).

(2) Az első sort 5-tel szorozva hozzáadtuk a másodikhoz, az első sort 3-mal szorozva a harmadikhoz.

(3) Az első sort -1-gyel szorozták, elvileg ez a szépség miatt van. A harmadik vonal jele is megváltozott és a második helyre került, így a második „lépésben meglett a kívánt egység.

(4) A második sort 2-vel szorozva hozzáadtuk a harmadikhoz.

(5) A harmadik sort 3-mal osztották.

A számítási hibára (ritkábban elírásra) utaló rossz jel a „rossz” lényeg. Vagyis ha kapunk valami olyasmit, mint lent, és ennek megfelelően , akkor nagy valószínűséggel állítható, hogy az elemi átalakítások során hiba történt.

A fordított mozgást számoljuk fel, a példák tervezésénél magát a rendszert sokszor nem írják át, az egyenleteket pedig „közvetlenül az adott mátrixból veszik”. Emlékeztetlek, a fordított lépés alulról felfelé működik. Igen, itt az ajándék:

Válasz: .

4. példa

Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert Gauss módszerrel!

Ez egy példa egy független megoldásra, valamivel bonyolultabb. Nem baj, ha valaki összezavarodik. Teljes megoldás és tervminta az óra végén. Az Ön megoldása eltérhet az enyémtől.

Az utolsó részben megvizsgáljuk a Gauss-algoritmus néhány jellemzőjét.
Az első jellemző az, hogy néha néhány változó hiányzik a rendszer egyenleteiből, például:

Hogyan kell helyesen felírni a rendszer kiterjesztett mátrixát? Erről a pillanatról már beszéltem a leckében. Cramer szabálya. Mátrix módszer. A rendszer kiterjesztett mátrixában a hiányzó változók helyére nullákat teszünk:

Ez egyébként egy elég egyszerű példa, mivel az első oszlopban már van egy nulla, és kevesebb elemi transzformációt kell végrehajtani.

A második jellemző ez. Az összes vizsgált példában a „lépésekre” vagy –1-et vagy +1-et tettünk. Lehetnek más számok is? Bizonyos esetekben megtehetik. Fontolja meg a rendszert: .

Itt a bal felső "lépésben" van egy kettős. De észrevesszük azt a tényt, hogy az első oszlopban lévő összes szám maradék nélkül osztható 2-vel - és további kettővel és hattal. A bal felső sarokban lévő kettes pedig jó lesz nekünk! Az első lépésben a következő átalakításokat kell végrehajtania: a második sorhoz adja hozzá az első sort -1-gyel szorozva; a harmadik sorhoz adjuk hozzá az első sort -3-mal szorozva. Így az első oszlopban megkapjuk a kívánt nullákat.

Vagy egy másik hipotetikus példa: . Itt a második „fokozat” hármasa is megfelel nekünk, hiszen a 12 (az a hely, ahol nullát kell kapnunk) maradék nélkül osztható 3-mal. A következő átalakítást kell végrehajtani: a harmadik sorhoz adjuk hozzá a második sort -4-gyel megszorozva, aminek eredményeként megkapjuk a szükséges nullát.

A Gauss-módszer univerzális, de van egy sajátossága. Magabiztosan tanulj meg rendszereket más módszerekkel megoldani (Cramer módszer, mátrix módszer) szó szerint lehet az első alkalom – van egy nagyon szigorú algoritmus. De ahhoz, hogy magabiztosan érezze magát a Gauss-módszerben, „töltse meg a kezét”, és legalább 5-10 rendszert kell megoldania. Ezért eleinte zűrzavar, számítási hibák adódhatnak, és nincs ebben semmi szokatlan vagy tragikus.

Esős ​​őszi idő az ablakon kívül .... Ezért mindenkinek többet összetett példa független megoldáshoz:

5. példa

Oldjon meg egy négy lineáris egyenletrendszert négy ismeretlennel Gauss-módszerrel.

Egy ilyen feladat a gyakorlatban nem is olyan ritka. Úgy gondolom, hogy még egy teáskanna is, aki részletesen tanulmányozta ezt az oldalt, intuitív módon megérti egy ilyen rendszer megoldásának algoritmusát. Alapvetően ugyanaz – csak több akció.

Azokat az eseteket, amikor a rendszernek nincs megoldása (inkonzisztens), vagy végtelen sok megoldása van, az Inkompatibilis rendszerek és általános megoldással rendelkező rendszerek című leckében foglalkozunk. Itt rögzítheti a Gauss-módszer figyelembe vett algoritmusát.

Sok sikert kívánok!

Megoldások és válaszok:

2. példa: Megoldás : Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal hozzuk lépcsőzetes formába.


Elvégzett elemi átalakítások:
(1) Az első sort hozzáadtuk a második sorhoz, megszorozva -2-vel. Az első sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva -1-gyel. Figyelem! Itt csábító lehet az elsőt kivonni a harmadik sorból, határozottan nem javaslom a kivonást - a hibaveszély jelentősen megnő. Csak hajtogatjuk!
(2) A második sor előjele megváltozott (-1-gyel szorozva). A második és a harmadik sor felcserélődött. jegyzet hogy a „lépcsőkön” nem csak eggyel, hanem -1-gyel is elégedettek vagyunk, ami még kényelmesebb.
(3) A harmadik sorhoz adja hozzá a második sort 5-tel megszorozva.
(4) A második sor előjele megváltozott (-1-gyel szorozva). A harmadik sort 14-gyel osztották.

Fordított mozgás:

Válasz: .

4. példa: Megoldás : Felírjuk a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal lépésformára hozzuk:

Végrehajtott konverziók:
(1) A második sort hozzáadtuk az első sorhoz. Így a kívánt egység a bal felső „lépésben” van elrendezve.
(2) Az első sort 7-tel szorozva hozzáadtuk a másodikhoz, az első sort 6-tal szorozva a harmadikhoz.

A második "lépéssel" minden rosszabb , a "jelöltek" a 17-es és a 23-as számok, és vagy egy vagy -1 kell. A (3) és (4) átalakítások célja a kívánt egység elérése

(3) A második sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva -1-gyel.
(4) A harmadik sort -3-mal szorozva hozzáadtuk a második sorhoz.
(3) A második sor 4-gyel szorozva a harmadik sorba került, a második sor -1-gyel szorozva a negyedik sorba.
(4) A második sor jele megváltozott. A negyedik sort 3-mal osztották, és a harmadik sor helyett helyezték el.
(5) A harmadik sort hozzáadtuk a negyedikhez, megszorozva -5-tel.

Fordított mozgás:

A Gauss-módszer, amelyet az ismeretlenek egymást követő eliminálásának módszerének is neveznek, a következőkből áll. Elemi transzformációkkal a lineáris egyenletrendszert olyan formára hozzuk, hogy együtthatómátrixa a következő legyen. trapéz alakú (ugyanúgy, mint a háromszög vagy lépcsős) vagy közel a trapézhoz (a Gauss-módszer közvetlen lefolyása, akkor - csak egy közvetlen mozgás). Egy ilyen rendszerre és megoldására egy példa látható a fenti ábrán.

Egy ilyen rendszerben az utolsó egyenlet csak egy változót tartalmaz, és annak értéke egyedileg megtalálható. Ezután ennek a változónak az értékét behelyettesítjük az előző egyenletbe ( Gauss fordítottja , akkor - csak egy fordított mozdulat), amelyből az előző változó található, és így tovább.

Egy trapéz (háromszög alakú) rendszerben, mint látjuk, a harmadik egyenlet már nem tartalmaz változókat yés x, és a második egyenlet - változó x .

Miután a rendszer mátrixa trapéz alakot öltött, már nem nehéz megoldani a rendszer kompatibilitásának kérdését, meghatározni a megoldások számát és magukat a megoldásokat megtalálni.

A módszer előnyei:

1. háromnál több egyenletet és ismeretleneket tartalmazó lineáris egyenletrendszerek megoldásánál a Gauss-módszer nem olyan nehézkes, mint a Cramer-módszer, mivel a Gauss-módszer megoldásához kevesebb számításra van szükség;
2. a Gauss-módszerrel határozatlan lineáris egyenletrendszereket oldhat meg, azaz közös megoldással (és ezeket ebben a leckében elemezzük), a Cramer módszerrel pedig csak azt állíthatja, hogy a rendszer bizonytalan;
3. meg tud oldani olyan lineáris egyenletrendszereket, amelyekben az ismeretlenek száma nem egyenlő az egyenletek számával (ebben a leckében ezeket is elemezzük);
4. a módszer elemi (iskolai) módszereken alapul - az ismeretlenek helyettesítésének módszerén és az egyenletek összeadásának módszerén, amelyeket a megfelelő cikkben érintettünk.

Annak érdekében, hogy mindenkit átitathasson az az egyszerűség, amellyel a trapéz (háromszög, lépcsős) lineáris egyenletrendszereket megoldják, bemutatjuk egy ilyen rendszer megoldását fordított ütemben. Ennek a rendszernek a gyors megoldását az óra elején lévő képen mutattuk be.

1. példa Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert fordított lépéssel:

Megoldás. Ebben a trapézrendszerben a változó z egyedülálló módon megtalálható a harmadik egyenletből. Az értékét behelyettesítjük a második egyenletbe, és megkapjuk a változó értékét y:

Most már tudjuk két változó értékét - zés y. Behelyettesítjük őket az első egyenletbe, és megkapjuk a változó értékét x:

Az előző lépésekből kiírjuk az egyenletrendszer megoldását:

Ahhoz, hogy egy ilyen trapéz alakú lineáris egyenletrendszert kapjunk, amelyet nagyon egyszerűen megoldottunk, a lineáris egyenletrendszer elemi transzformációihoz kapcsolódó közvetlen elmozdulást kell alkalmazni. Szintén nem túl nehéz.

Lineáris egyenletrendszer elemi transzformációi

A rendszer egyenleteinek algebrai összeadásának iskolai módszerét megismételve azt találtuk, hogy a rendszer egy másik egyenlete hozzáadható a rendszer egyenletéhez, és mindegyik egyenlet megszorozható néhány számmal. Ennek eredményeként az adott egyenletrendszerrel egyenértékű lineáris egyenletrendszert kapunk. Ebben egy egyenlet már csak egy változót tartalmazott, amelynek értékét más egyenletekkel helyettesítve jutunk el a megoldáshoz. Az ilyen kiegészítés a rendszer elemi átalakításának egyik fajtája. A Gauss-módszer alkalmazásakor többféle transzformációt alkalmazhatunk.

A fenti animáció azt mutatja be, hogyan válik az egyenletrendszer fokozatosan trapéz alakúvá. Vagyis az, amelyet a legelső animációnál látott, és megbizonyosodott arról, hogy könnyen megtalálhatja belőle az összes ismeretlen értékét. Az ilyen átalakítások végrehajtásának módját és természetesen a példákat a továbbiakban tárgyaljuk.

Tetszőleges számú egyenletből és ismeretlenből álló lineáris egyenletrendszerek megoldása során az egyenletrendszerben és a rendszer kiterjesztett mátrixában tud:

1. sorok felcserélése (erről a cikk elején volt szó);
2. ha más átalakítások eredményeként egyenlő vagy arányos vonalak jelentek meg, egy kivételével törölhetők;
3. törölje a "null" sorokat, ahol minden együttható nulla;
4. tetszőleges karakterláncot szorozni vagy osztani valamilyen számmal;
5. tetszőleges sorhoz adjunk még egy sort, megszorozva valamilyen számmal.

A transzformációk eredményeként az adottnak megfelelő lineáris egyenletrendszert kapunk.

Algoritmus és példák egy lineáris egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő megoldására a rendszer négyzetmátrixával

Tekintsük először azoknak a lineáris egyenletrendszereknek a megoldását, amelyekben az ismeretlenek száma egyenlő az egyenletek számával. Egy ilyen rendszer mátrixa négyzet, vagyis a benne lévő sorok száma megegyezik az oszlopok számával.

2. példa Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert Gauss módszerrel!

Lineáris egyenletrendszereket iskolai módszerekkel megoldva az egyik egyenletet tagonként megszoroztuk valamilyen számmal úgy, hogy a két egyenletben az első változó együtthatói ellentétes számok. Egyenletek összeadásakor ez a változó kimarad. A Gauss-módszer hasonló módon működik.

Egyszerűsíteni megjelenés megoldásokat összeállítjuk a rendszer kiterjesztett mátrixát:

Ebben a mátrixban az ismeretlenek együtthatói a függőleges sáv előtt a bal oldalon, a szabad tagok pedig a függőleges sáv után a jobb oldalon találhatók.

A változók együtthatóinak elosztásának kényelme érdekében (az eggyel való osztás érdekében) cserélje fel a rendszermátrix első és második sorát. Az adott rendszerrel egyenértékű rendszert kapunk, mivel a lineáris egyenletrendszerben átrendezhetjük az egyenleteket:

Az új első egyenlettel szüntesse meg a változót x a második és az összes azt követő egyenletből. Ehhez adjuk hozzá a mátrix második sorához az első sort (esetünkben -vel) szorozva, és az első sort (esetünkben -vel) szorozva a harmadikhoz.

Ez azért lehetséges, mert

Ha háromnál több egyenlet volt a rendszerünkben, akkor az első sort hozzá kell adni az összes következő egyenlethez, megszorozva a megfelelő együtthatók arányával, mínusz előjellel.

Ennek eredményeként az adott rendszerrel ekvivalens mátrixot kapunk új rendszer egyenletek, amelyekben minden egyenlet a másodiktól kezdve nem tartalmaznak változót x :

Az eredményül kapott rendszer második sorának egyszerűsítéséhez megszorozzuk, és ismét megkapjuk a rendszerrel egyenértékű egyenletrendszer mátrixát:

Most az eredményül kapott rendszer első egyenletét változatlanul hagyva, a második egyenlet segítségével kiküszöböljük a változót y minden további egyenletből. Ehhez adjuk hozzá a második sort szorozva (esetünkben -vel) a rendszermátrix harmadik sorához.

Ha háromnál több egyenlet volt a rendszerünkben, akkor a második sort hozzá kell adni az összes következő egyenlethez, megszorozva a megfelelő együtthatók arányával, mínusz előjellel.

Ennek eredményeként ismét megkapjuk az adott lineáris egyenletrendszerrel ekvivalens rendszer mátrixát:

Kaptunk egy trapéz alakú lineáris egyenletrendszert, amely ekvivalens a megadottal:

Ha az egyenletek és változók száma nagyobb, mint a példánkban, akkor a változók szekvenciális eliminálása addig folytatódik, amíg a rendszermátrix trapéz alakúvá nem válik, mint a demo példánkban.

Megtaláljuk a megoldást "a végétől" - fordítva. Ezért az utolsó egyenletből határozzuk meg z:
.
Ezt az értéket behelyettesítve az előző egyenletbe, megtalálja y:

Az első egyenletből megtalálja x:

Válasz: ennek az egyenletrendszernek a megoldása - .

: ebben az esetben ugyanaz a válasz lesz, ha a rendszer egyedi megoldással rendelkezik. Ha a rendszernek végtelen sok megoldása van, akkor a válasz is, és ez a lecke ötödik részének témája.

Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert saját maga a Gauss-módszerrel, majd nézze meg a megoldást

Előttünk ismét egy példa a közös és bizonyos rendszer lineáris egyenletek, amelyekben az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával. A különbség a demópéldánktól az algoritmustól az, hogy már négy egyenlet és négy ismeretlen.

4. példa Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert Gauss módszerrel:

Most a második egyenletet kell használnia, hogy kizárja a változót a következő egyenletekből. Töltsük előkészítő munka. Az együtthatók arányának kényelmesebbé tétele érdekében egy egységet kell beszereznie a második sor második oszlopában. Ehhez vonja ki a harmadik sort a második sorból, és a kapott második sort szorozza meg -1-gyel.

Végezzük el most a változó tényleges eltávolítását a harmadik és a negyedik egyenletből. Ehhez adja hozzá a másodikat, szorozva -val, a harmadik sorhoz, a másodikat pedig -val szorozva a negyedikhez.

Most a harmadik egyenlet felhasználásával kivesszük a változót a negyedik egyenletből. Ehhez a negyedik sorhoz adja hozzá a harmadikat, megszorozva ezzel. Egy trapéz alakú kiterjesztett mátrixot kapunk.

Kaptunk egy egyenletrendszert, amely ekvivalens ezt a rendszert:

Ezért a kapott és adott rendszerek konzisztensek és határozottak. Megtaláljuk a végső megoldást "a végétől". A negyedik egyenletből közvetlenül kifejezhetjük az "x negyedik" változó értékét:

Ezt az értéket behelyettesítjük a rendszer harmadik egyenletébe, és megkapjuk

,

,

Végül értékhelyettesítés

Az első egyenletben megadja

,

ahol először "x"-et találunk:

Válasz: Ennek az egyenletrendszernek egyedi megoldása van. .

A rendszer megoldását egy Cramer-féle módszerrel megoldó számológépen is ellenőrizheti: ebben az esetben ugyanaz a válasz lesz, ha a rendszer egyedi megoldással rendelkezik.

Alkalmazott feladatok megoldása Gauss-módszerrel ötvözetek feladatának példáján

Lineáris egyenletrendszereket használnak a fizikai világ valós objektumainak modellezésére. Oldjuk meg az egyik ilyen problémát – az ötvözetek esetében. Hasonló feladatok - feladatok keveréken, költség ill fajsúly egyedi árukárucsoportban és hasonlókban.

5. példa Három ötvözetdarab össztömege 150 kg. Az első ötvözet 60% rezet tartalmaz, a második - 30%, a harmadik - 10%. Ugyanakkor a második és a harmadik ötvözetben együttvéve a réz 28,4 kg-mal kevesebb, mint az első ötvözetben, a harmadik ötvözetben pedig 6,2 kg-mal kevesebb, mint a másodikban. Keresse meg az egyes ötvözetdarabok tömegét.

Megoldás. Összeállítunk egy lineáris egyenletrendszert:

A második és harmadik egyenletet 10-zel megszorozva egy ekvivalens lineáris egyenletrendszert kapunk:

Összeállítjuk a rendszer kiterjesztett mátrixát:

Figyelem, közvetlen mozdulat. Egy sor összeadásával (esetünkben kivonva) egy számmal megszorozva (kétszer alkalmazzuk), a rendszer kibővített mátrixával a következő transzformációk történnek:

Az egyenes futásnak vége. Egy trapéz alakú kiterjesztett mátrixot kaptunk.

Használjuk a fordítottját. A végére találunk megoldást. Ezt látjuk.

A második egyenletből azt találjuk

A harmadik egyenletből -

A rendszer megoldását egy Cramer-féle módszerrel megoldó számológépen is ellenőrizheti: ebben az esetben ugyanaz a válasz lesz, ha a rendszer egyedi megoldással rendelkezik.

A Gauss-módszer egyszerűségét bizonyítja, hogy Carl Friedrich Gauss német matematikusnak mindössze 15 perce volt kitalálnia. A nevéhez fűződő módszer mellett Gauss művéből kiolvasható mondás: „Nem szabad összekeverni azt, ami számunkra hihetetlennek és természetellenesnek tűnik az abszolút lehetetlennel” rövid utasítás a felfedezésekért.

Sok alkalmazott feladatban előfordulhat, hogy nincs harmadik megszorítás, azaz harmadik egyenlet, akkor egy két egyenletrendszert kell megoldani három ismeretlennel Gauss módszerrel, vagy fordítva, kevesebb az ismeretlen, mint az egyenlet. Most kezdjük el megoldani az ilyen egyenletrendszereket.

A Gauss-módszer segítségével meghatározhatja, hogy bármely rendszer konzisztens vagy inkonzisztens n lineáris egyenletek -val n változók.

Gauss-módszer és lineáris egyenletrendszerek végtelen számú megoldással

A következő példa egy konzisztens, de határozatlan lineáris egyenletrendszer, vagyis végtelen számú megoldása van.

A rendszer kibővített mátrixában végrehajtott átalakítások (sorok permutálása, sorok szorzása és osztása egy bizonyos számmal, egy sor hozzáadása a másikhoz) után az űrlap sorai

Ha minden olyan egyenletben, amelynek alakja

A szabad tagok egyenlőek nullával, ez azt jelenti, hogy a rendszer határozatlan, azaz végtelen számú megoldása van, és az ilyen típusú egyenletek „feleslegesek”, és ki vannak zárva a rendszerből.

6. példa

Megoldás. Állítsuk össze a rendszer kiterjesztett mátrixát. Ezután az első egyenlet felhasználásával a változót kivesszük a következő egyenletekből. Ehhez a második, harmadik és negyedik sorhoz adja hozzá az elsőt, szorozva -val:

Most adjuk hozzá a második sort a harmadikhoz és a negyedikhez.

Ennek eredményeként eljutunk a rendszerhez

Az utolsó két egyenlet alak egyenletévé vált. Ezek az egyenletek az ismeretlenek bármely értékére teljesülnek, és elvethetők.

A második egyenlet teljesítéséhez tetszőleges értéket választhatunk és -hoz, ekkor a for érték egyértelműen meghatározásra kerül: . Az első egyenletből a for értéke is egyedileg megtalálható: .

Mindkettő adott és legújabb rendszer következetesek, de határozatlanok, és a képletek

tetszőlegesre, és adja meg az adott rendszer összes megoldását.

Gauss-módszer és megoldás nélküli lineáris egyenletrendszerek

A következő példa egy inkonzisztens lineáris egyenletrendszer, vagyis nincs megoldása. Az ilyen problémákra a válasz a következőképpen fogalmazódik meg: a rendszernek nincs megoldása.

Ahogy az első példa kapcsán már említettük, a rendszer kibővített mátrixában végrehajtott transzformációk után az űrlap sorai

forma egyenletének felel meg

Ha van köztük legalább egy egyenlet nullától eltérő szabad taggal (azaz ), akkor ez az egyenletrendszer inkonzisztens, azaz nincs megoldása, és ezzel teljes a megoldása.

7. példa Oldja meg a lineáris egyenletrendszert Gauss módszerrel:

Megoldás. Összeállítjuk a rendszer kiterjesztett mátrixát. Az első egyenlet felhasználásával kizárjuk a változót a következő egyenletekből. Ehhez adjuk hozzá az elsőt szorozva a második sorhoz, az elsőt a harmadik sorhoz, és az elsőt szorozva a negyedik sorhoz.

Most a második egyenletet kell használnia, hogy kizárja a változót a következő egyenletekből. Az együtthatók egész arányának meghatározásához felcseréljük a rendszer kiterjesztett mátrixának második és harmadik sorát.

A harmadik és a negyedik egyenletből való kizáráshoz adja hozzá a másodikat, szorozva -val, a harmadik sorhoz, és a másodikat, szorozva -val, a negyedikhez.

Most a harmadik egyenlet felhasználásával kivesszük a változót a negyedik egyenletből. Ehhez a negyedik sorhoz adja hozzá a harmadikat, megszorozva ezzel.

Az adott rendszer tehát egyenértékű a következővel:

A kapott rendszer inkonzisztens, mivel utolsó egyenlete nem teljesíthető az ismeretlenek egyetlen értékével sem. Ezért ennek a rendszernek nincsenek megoldásai.

Legyen egy lineáris rendszer algebrai egyenletek, amelyet meg kell oldani (keresse meg az ismeretlen хi olyan értékeit, amelyek a rendszer minden egyenletét egyenlőséggé alakítják).

Tudjuk, hogy egy lineáris algebrai egyenletrendszer képes:

1) Nincsenek megoldásai (legyen összeegyeztethetetlen).
2) Végtelen sok megoldásod legyen.
3) Legyen egyedi megoldása.

Emlékszünk rá, hogy a Cramer-szabály és a mátrix módszer nem alkalmas olyan esetekben, amikor a rendszer végtelen sok megoldást tartalmaz, vagy inkonzisztens. Gauss módszer – a leghatékonyabb és legsokoldalúbb eszköz bármilyen lineáris egyenletrendszer megoldására, amely a minden esetben vezessen minket a válaszhoz! A módszer algoritmusa mindhárom esetben ugyanúgy működik. Ha a Cramer- és a mátrix-módszer determinánsok ismeretét igényli, akkor a Gauss-módszer alkalmazása csak az aritmetikai műveletek ismeretét igényli, így az általános iskolások számára is elérhető.

Kiterjesztett mátrix transzformációk ( ez a rendszer mátrixa - egy mátrix, amely csak az ismeretlenek együtthatóiból, plusz egy szabad kifejezések oszlopából áll) Lineáris algebrai egyenletrendszerek a Gauss-módszerben:

1) Val vel troky mátrixok tud átrendezni helyeken.

2) ha vannak (vagy vannak) arányos (speciális esetben - azonos) sorok a mátrixban, akkor ebből következik töröl a mátrixból ezek a sorok egy kivételével.

3) ha a transzformációk során egy nulla sor jelent meg a mátrixban, akkor az is következik töröl.

4) a mátrix sora lehet szorozni (osztani) nullától eltérő számra.

5) a mátrix sorába, megteheti adjunk hozzá egy másik karakterláncot egy számmal szorozva, nullától eltérő.

A Gauss-módszerben az elemi transzformációk nem változtatják meg az egyenletrendszer megoldását.

A Gauss-módszer két szakaszból áll:

1. "Közvetlen mozgás" - elemi transzformációk segítségével hozza a lineáris algebrai egyenletrendszer kiterjesztett mátrixát "háromszög" lépcsős formába: a kiterjesztett mátrix főátló alatti elemei nullával egyenlőek (felülről lefelé mozgás ). Például ehhez a fajtához:

Ehhez hajtsa végre a következő lépéseket:

1) Tekintsük egy lineáris algebrai egyenletrendszer első egyenletét, és az együttható x 1-nél egyenlő K-val. A második, harmadik stb. az egyenleteket a következőképpen alakítjuk át: minden egyenletet (az ismeretlenek együtthatói, beleértve a szabad tagokat is) elosztjuk az egyes egyenletekben szereplő ismeretlen x 1 együtthatóval, és megszorozzuk K-val. Ezt követően vonjuk ki az elsőt a második egyenletből ( az ismeretlenek és a szabad kifejezések együtthatói). A második egyenletben x 1-nél megkapjuk a 0 együtthatót. A harmadik transzformált egyenletből kivonjuk az első egyenletet, így amíg az első kivételével az összes egyenletnek nem lesz 0 együtthatója, az ismeretlen x 1-gyel.

2) Lépjen tovább a következő egyenletre. Legyen ez a második egyenlet, és az együttható x 2-nél egyenlő M-mel. Az összes "alárendelt" egyenlettel a fent leírtak szerint járunk el. Így az ismeretlen x 2 "alatt" minden egyenletben nullák lesznek.

3) Átmegyünk a következő egyenletre, és így tovább, amíg egy utolsó ismeretlen és transzformált szabad tag marad.

1. A Gauss-módszer "fordított mozgása" egy lineáris algebrai egyenletrendszer megoldása (az "alulról felfelé"). Az utolsó "alsó" egyenletből egy első megoldást kapunk - az ismeretlen x n-t. Ehhez megoldjuk az A * x n \u003d B elemi egyenletet. A fenti példában x 3 \u003d 4. A talált értéket behelyettesítjük a következő „felső” egyenletbe, és a következő ismeretlenre vonatkoztatva oldjuk meg. Például x 2 - 4 \u003d 1, azaz. x 2 \u003d 5. És így tovább, amíg meg nem találjuk az összes ismeretlent.

Példa.

A lineáris egyenletrendszert Gauss-módszerrel oldjuk meg, ahogy egyes szerzők tanácsolják:

Felírjuk a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal lépésformára hozzuk:

Nézzük a bal felső "lépést". Ott kellene egy egységünk. A probléma az, hogy az első oszlopban egyáltalán nincs senki, így a sorok átrendezésével semmit nem lehet megoldani. Ilyen esetekben az egységet elemi transzformációval kell megszervezni. Ez általában többféleképpen is megtehető. Csináljuk így:
1 lépés . Az első sorhoz hozzáadjuk a második sort, megszorozva -1-gyel. Vagyis gondolatban a második sort megszoroztuk -1-gyel, és végrehajtottuk az első és a második sor összeadását, míg a második sor nem változott.

Most balra fent a "mínusz egy", ami nekünk tökéletesen megfelel. Aki szeretne +1-et kapni, megteheti kiegészítő művelet: szorozza meg az első sort -1-gyel (változtassa meg az előjelét).

2 lépés . Az első sort 5-tel szorozva hozzáadtuk a másodikhoz, az első sort 3-mal szorozva a harmadikhoz.

3 lépés . Az első sort -1-gyel szorozták, ez elvileg a szépség miatt van. A harmadik vonal jele is megváltozott és a második helyre került, így a második „lépésben meglett a kívánt egység.

4 lépés . A harmadik sorhoz adja hozzá a második sort 2-vel megszorozva.

5 lépés . A harmadik sort 3-mal osztjuk.

A számítási hibára (ritkábban elírásra) utaló jel „rossz” lényeg. Vagyis ha valami olyasmit kapunk, hogy (0 0 11 | 23) alább, és ennek megfelelően 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, akkor nagy valószínűséggel azt mondhatjuk, hogy elemi óra közben hiba történt. átalakulások.

Fordított mozgást végzünk, a példák tervezésénél magát a rendszert sokszor nem írják át, az egyenleteket pedig „közvetlenül az adott mátrixból veszik”. Emlékeztetlek, a fordított lépés „alulról felfelé” működik. Ebben a példában az ajándék így alakult:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, tehát x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Válasz:x 1 \u003d -1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Oldjuk meg ugyanezt a rendszert a javasolt algoritmussal. Kapunk

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

A második egyenletet elosztjuk 5-tel, a harmadikat 3-mal.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

A második és a harmadik egyenletet megszorozzuk 4-gyel, így kapjuk:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Vonjuk ki az első egyenletet a második és a harmadik egyenletből, így kapjuk:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Osszuk el a harmadik egyenletet 0,64-gyel:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Szorozzuk meg a harmadik egyenletet 0,4-gyel

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Ha kivonjuk a második egyenletet a harmadik egyenletből, megkapjuk a „lépcsős” kiterjesztett mátrixot:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Így, mivel a számítási folyamat során hiba halmozódott fel, x 3 \u003d 0,96, vagyis körülbelül 1 kapunk.

x 2 \u003d 3 és x 1 \u003d -1.

Így megoldva soha nem fog megzavarodni a számításokban, és a számítási hibák ellenére megkapja az eredményt.

Ez a lineáris algebrai egyenletrendszer megoldási módja könnyen programozható, és nem veszi figyelembe az ismeretlenek együtthatóinak sajátosságait, mert a gyakorlatban (közgazdasági és műszaki számításokban) nem egész együtthatókkal kell számolni.

Sok sikert kívánok! Találkozunk az osztályban! Oktató.

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Az online számológép megoldást talál a lineáris egyenletrendszerre (SLE) a Gauss-módszerrel. adott részletes megoldás. A kiszámításhoz válassza ki a változók számát és az egyenletek számát. Ezután írja be az adatokat a cellákba, és kattintson a "Számítás" gombra.

x 1 +x2 +x 3 x 1 +x2 +x 3 x 1 +x2 +x 3 = = =

Számábrázolás:

Egész számok és (vagy) Közönséges törtek
Egész számok és/vagy tizedesek

A decimális elválasztó utáni számjegyek száma

×

Figyelem

Törli az összes cellát?

Bezárás Törlés

Adatbeviteli utasítás. A számokat egész számokként (például 487, 5, -7623 stb.), decimális számokként (pl. 67., 102,54 stb.) vagy törtként kell megadni. A törtet a/b formában kell beírni, ahol a és b (b>0) egész szám, ill. decimális számok. Példák 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 stb.

Gauss módszer

A Gauss-módszer az eredeti lineáris egyenletrendszerből (ekvivalens transzformációt használva) egy olyan rendszerbe való átmenet módszere, amely könnyebben megoldható, mint az eredeti rendszer.

A lineáris egyenletrendszer ekvivalens transzformációi a következők:

• két egyenlet felcserélése a rendszerben,
• a rendszer bármely egyenletének szorzata nullától eltérő valós számmal,
• egy egyenlethez hozzáadva egy másik egyenletet, megszorozva egy tetszőleges számmal.

Tekintsünk egy lineáris egyenletrendszert:

(1)

Az (1) rendszert mátrix formában írjuk:

ax=b

(2)

(3)

A a rendszer együtthatómátrixának nevezzük, b − jobb rész korlátozásokat x− a keresendő változók vektora. Legyen rangsor( A)=p.

Az ekvivalens transzformációk nem változtatják meg a rendszer együtthatómátrixának és kiterjesztett mátrixának rangját. A rendszer megoldásainak halmaza sem változik ekvivalens transzformációk esetén. A Gauss-módszer lényege, hogy az együtthatók mátrixát hozza Aátlósra vagy lépcsősre.

Építsük fel a rendszer kiterjesztett mátrixát:

A következő lépésben visszaállítjuk az elem alatti 2. oszlop összes elemét. Ha az adott elem nulla, akkor ez a sor felcserélődik azzal a sorral, amely az adott sor alatt van, és a második oszlopban van egy nem nulla elem. Ezután nullázzuk a 2. oszlop összes elemét a vezető elem alatt a 22. Ehhez adja hozzá a 3. sort,... m a 2. sor szorzatával − a 32 /a 22 , ..., −a m2 / a 22, ill. Az eljárást folytatva egy átlós vagy lépcsős alakú mátrixot kapunk. A kapott kiterjesztett mátrix így nézzen ki:

(7)

Mert rangA=rang(A|b), akkor a (7) megoldások halmaza ( n-p) egy fajta. Következésképpen n-p az ismeretlenek tetszőlegesen választhatók. A (7) rendszerből fennmaradó ismeretleneket a következőképpen számítjuk ki. Az utolsó egyenletből fejezzük ki x p át a többi változón, és illessze be az előző kifejezésekbe. Ezután az utolsó előtti egyenletből fejezzük ki x p−1 át a többi változón, és beszúrja az előző kifejezésekbe stb. Tekintsük a Gauss-módszert konkrét példákon.

Példák lineáris egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő megoldására

1. példa Keresse meg egy lineáris egyenletrendszer általános megoldását Gauss módszerrel:

Jelölje a ij elemek én-edik sor és j-adik oszlop.

a tizenegy . Ehhez adja hozzá a 2,3 sorokat az 1. sorral, szorozva -2/3, -1/2:

Mátrix rekord típusa: ax=b, ahol

Jelölje a ij elemek én-edik sor és j-adik oszlop.

Zárja ki a mátrix 1. oszlopának elemeit az elem alatt a tizenegy . Ehhez adja hozzá a 2,3 sorokat az 1. sorral, szorozva -1/5-tel, -6/5-tel:

A mátrix minden sorát elosztjuk a megfelelő vezető elemmel (ha létezik vezető elem):

ahol x 3 , x

A felső kifejezéseket az alsókkal helyettesítve megkapjuk a megoldást.

Ekkor a vektoros megoldás a következőképpen ábrázolható:

ahol x 3 , x 4 tetszőleges valós számok.