धनात्मक संख्याओं को घटाने का नियम। विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याओं का जोड़ - ज्ञान हाइपरमार्केट

इस पाठ में हम सीखेंगे कि ऋणात्मक संख्या क्या होती है और किन संख्याओं को विपरीत कहा जाता है। हम यह भी सीखेंगे कि ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं को कैसे जोड़ा जाता है (संख्याएँ . के साथ) विभिन्न संकेत) और विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने के कई उदाहरणों पर विचार करें।

इस गियर को देखें (चित्र 1 देखें)।

चावल। 1. घड़ी गियर

यह एक तीर नहीं है जो सीधे समय दिखाता है और डायल नहीं (चित्र 2 देखें)। लेकिन इस विवरण के बिना, घड़ी काम नहीं करती।

चावल। 2. घड़ी के अंदर गियर

Y अक्षर का क्या अर्थ है? ध्वनि Y के अलावा कुछ नहीं। लेकिन इसके बिना, कई शब्द "काम" नहीं करेंगे। उदाहरण के लिए, शब्द "माउस"। तो ऋणात्मक संख्याएँ हैं: वे कोई राशि नहीं दिखाती हैं, लेकिन उनके बिना गणना तंत्र बहुत अधिक कठिन होगा।

हम जानते हैं कि जोड़ और घटाव समान संचालन हैं, और उन्हें किसी भी क्रम में किया जा सकता है। रिकॉर्ड में सीधे क्रम में, हम गणना कर सकते हैं:, लेकिन घटाव के साथ शुरू करने का कोई तरीका नहीं है, क्योंकि हम अभी तक सहमत नहीं हैं, लेकिन क्या है।

यह स्पष्ट है कि संख्या को बढ़ाकर और फिर घटाकर, परिणामस्वरूप, तीन की कमी। क्यों न इस वस्तु को नामित करें और इसे इस तरह से गिनें: जोड़ना है घटाना है। फिर ।

संख्या का मतलब हो सकता है, उदाहरण के लिए, सेब। नई संख्या किसी वास्तविक मात्रा का प्रतिनिधित्व नहीं करती है। अपने आप में, इसका कोई मतलब नहीं है, जैसे Y अक्षर। यह आसान है नया उपकरणगणना को सरल बनाने के लिए।

आइए नए नंबरों के नाम दें नकारात्मक. अब हम छोटी संख्या से बड़ी संख्या घटा सकते हैं। तकनीकी रूप से, आपको अभी भी से घटाना होगा अधिककम, लेकिन उत्तर में ऋण चिह्न लगाएं: .

आइए एक और उदाहरण देखें: . आप सभी क्रियाओं को एक पंक्ति में कर सकते हैं:।

हालाँकि, पहली संख्या से तीसरी संख्या घटाना आसान है, और फिर दूसरी संख्या जोड़ें:

ऋणात्मक संख्याओं को दूसरे तरीके से परिभाषित किया जा सकता है।

प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए, उदाहरण के लिए, आइए एक नई संख्या का परिचय दें, जिसे हम निरूपित करते हैं, और यह निर्धारित करते हैं कि इसमें निम्नलिखित गुण हैं: संख्या का योग और इसके बराबर है:।

संख्या को ऋणात्मक कहा जाएगा, और संख्याएँ और - विपरीत। इस प्रकार, हमें अनंत संख्या में नई संख्याएँ मिलीं, उदाहरण के लिए:

संख्या के विपरीत;

उसका विपरीत ;

उसका विपरीत ;

उसका विपरीत ;

छोटी संख्या से बड़ी संख्या घटाएं: आइए इस अभिव्यक्ति में जोड़ें: . हमें शून्य मिला। हालांकि, संपत्ति के अनुसार: एक संख्या जो पांच तक जुड़ती है, शून्य देती है शून्य से पांच:। इसलिए, अभिव्यक्ति के रूप में निरूपित किया जा सकता है।

प्रत्येक धनात्मक संख्या में एक जुड़वां संख्या होती है, जो केवल इस मायने में भिन्न होती है कि उसके पहले एक ऋण चिह्न होता है।ऐसी संख्याएँ कहलाती हैं विलोम(चित्र 3 देखें)।

चावल। 3. विपरीत संख्याओं के उदाहरण

विपरीत संख्याओं के गुण

1. विपरीत संख्याओं का योग शून्य के बराबर होता है:।

2. यदि आप शून्य से एक धनात्मक संख्या घटाते हैं, तो परिणाम विपरीत ऋणात्मक संख्या होगी: .

1. दोनों संख्याएँ धनात्मक हो सकती हैं, और हम पहले से ही जानते हैं कि उन्हें कैसे जोड़ना है: .

2. दोनों संख्याएँ ऋणात्मक हो सकती हैं।

हम पिछले पाठ में ऐसी संख्याओं के योग को पहले ही कवर कर चुके हैं, लेकिन हम यह सुनिश्चित करेंगे कि हम समझें कि उनके साथ क्या करना है। उदाहरण के लिए: ।

इस राशि को खोजने के लिए, विपरीत सकारात्मक संख्याएं जोड़ें और ऋण चिह्न लगाएं।

3. एक संख्या धनात्मक और दूसरी ऋणात्मक हो सकती है।

हम एक ऋणात्मक संख्या के योग को बदल सकते हैं, यदि यह हमारे लिए सुविधाजनक है, तो सकारात्मक संख्या के घटाव के साथ:।

एक और उदाहरण:. फिर से, योग को अंतर के रूप में लिखें। आप छोटी संख्या में से बड़ी संख्या को बड़ी संख्या से घटाकर, लेकिन ऋण चिह्न लगाकर बड़ी संख्या को घटा सकते हैं।

शर्तों को आपस में बदला जा सकता है: .

इसी तरह का एक और उदाहरण: .

सभी मामलों में, परिणाम एक घटाव है।

इन नियमों को संक्षेप में तैयार करने के लिए, आइए एक और शब्द को याद करें। बेशक, विपरीत संख्याएं एक दूसरे के बराबर नहीं हैं। लेकिन यह अजीब नहीं होगा कि उनके पास कुछ समान है। इसे हम आम कहते हैं संख्या का मापांक. विपरीत संख्याओं का मॉड्यूल समान है: एक सकारात्मक संख्या के लिए यह संख्या के बराबर है, और एक नकारात्मक के लिए यह विपरीत, सकारात्मक है। उदाहरण के लिए: , ।

दो ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के लिए, उनका मापांक जोड़ें और ऋण चिह्न लगाएं:

एक ऋणात्मक और एक धनात्मक संख्या जोड़ने के लिए, आपको बड़े मॉड्यूल से छोटे मॉड्यूल को घटाना होगा और बड़े मॉड्यूल के साथ संख्या का चिह्न लगाना होगा:

दोनों संख्याएँ ऋणात्मक हैं, इसलिए, उनके मॉड्यूल जोड़ें और ऋण चिह्न लगाएं:

अलग-अलग संकेतों वाली दो संख्याएँ, इसलिए, संख्या के मापांक (बड़े मापांक) से हम संख्या के मापांक को घटाते हैं और एक ऋण चिह्न (एक बड़े मापांक के साथ संख्या का चिन्ह) लगाते हैं:

अलग-अलग संकेतों वाली दो संख्याएँ, इसलिए, संख्या के मापांक (बड़ा मापांक) से हम संख्या के मापांक को घटाते हैं और एक ऋण चिह्न (एक बड़े मापांक के साथ संख्या का चिह्न) डालते हैं: ।

अलग-अलग चिह्नों वाली दो संख्याएं, इसलिए संख्या के मॉड्यूल (बड़ा मॉड्यूल) से संख्या के मॉड्यूल को घटाएं और एक प्लस चिह्न (बड़े मॉड्यूल के साथ संख्या का चिह्न) लगाएं: ।

सकारात्मक और ऋणात्मक संख्याऐतिहासिक रूप से अलग भूमिका।

सबसे पहले, हमने वस्तुओं की गिनती के लिए प्राकृतिक संख्याएँ पेश कीं:

फिर हमने गैर-पूर्णांक मात्राओं, भागों की गणना के लिए अन्य धनात्मक संख्याएँ - भिन्न प्रस्तुत कीं: .

गणनाओं को सरल बनाने के लिए ऋणात्मक संख्याएँ एक उपकरण के रूप में दिखाई दीं। ऐसी कोई बात नहीं थी कि जीवन में कुछ मात्राएँ ऐसी थीं जिन्हें हम गिन नहीं सकते थे, और हमने ऋणात्मक संख्याओं का आविष्कार किया।

अर्थात् ऋणात्मक संख्याएँ से उत्पन्न नहीं हुई हैं असली दुनिया. वे बस इतने सुविधाजनक निकले कि कुछ जगहों पर उन्हें जीवन में इस्तेमाल किया गया। उदाहरण के लिए, हम अक्सर नकारात्मक तापमान के बारे में सुनते हैं। इस मामले में, हम कभी भी सेबों की ऋणात्मक संख्या का सामना नहीं करते हैं। क्या अंतर है?

अंतर यह है कि वास्तविक जीवन में नकारात्मक मूल्यों का उपयोग केवल तुलना के लिए किया जाता है, मात्राओं के लिए नहीं। यदि होटल में एक तहखाना सुसज्जित था और वहां एक लिफ्ट शुरू की गई थी, तो सामान्य मंजिलों की सामान्य संख्या को छोड़ने के लिए, पहली मंजिल एक माइनस दिखाई दे सकती है। इस माइनस वन का अर्थ है जमीनी स्तर से केवल एक मंजिल नीचे (चित्र 1 देखें)।

चावल। 4. पहली मंजिल घटाकर दूसरी मंजिल घटाएं

एक नकारात्मक तापमान केवल शून्य की तुलना में ऋणात्मक होता है, जिसे स्केल के लेखक एंडर्स सेल्सियस ने चुना था। अन्य पैमाने हैं, और वही तापमान अब नकारात्मक नहीं हो सकता है।

उसी समय, हम समझते हैं कि शुरुआती बिंदु को बदलना असंभव है ताकि पांच नहीं, बल्कि छह सेब हों। इस प्रकार, जीवन में, मात्राओं (सेब, केक) को निर्धारित करने के लिए धनात्मक संख्याओं का उपयोग किया जाता है।

हम नाम के बजाय उनका उपयोग भी करते हैं। प्रत्येक फोन को अपना नाम दिया जा सकता है, लेकिन नामों की संख्या सीमित है, और कोई संख्या नहीं है। इसलिए हम फोन नंबर का इस्तेमाल करते हैं। ऑर्डर करने के लिए भी (शताब्दी सदी के बाद)।

जीवन में ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग अंतिम अर्थ में किया जाता है (शून्य से नीचे की पहली मंजिल और पहली मंजिल को घटाकर)

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4. Allforchild.ru ()।

गृहकार्य

इस लेख में, हम निपटेंगे विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याओं को जोड़ना. यहां हम धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का नियम देते हैं, और विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ते समय इस नियम के लागू होने के उदाहरणों पर विचार करते हैं।

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विभिन्न चिन्हों वाली संख्याओं को जोड़ने का नियम

विभिन्न चिन्हों वाली संख्याओं को जोड़ने के उदाहरण

विचार करना विभिन्न चिन्हों वाली संख्याओं को जोड़ने के उदाहरणपिछले पैराग्राफ में चर्चा किए गए नियम के अनुसार। आइए एक साधारण उदाहरण से शुरू करते हैं।

उदाहरण।

संख्या −5 और 2 जोड़ें।

समाधान।

हमें विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने की आवश्यकता है। आइए सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम द्वारा निर्धारित सभी चरणों का पालन करें।

सबसे पहले, हम शर्तों के मॉड्यूल पाते हैं, वे क्रमशः 5 और 2 के बराबर हैं।

संख्या -5 का मापांक संख्या 2 के मापांक से बड़ा है, इसलिए ऋण चिह्न याद रखें।

परिणामी संख्या के सामने याद किए गए ऋण चिह्न को रखना बाकी है, हमें -3 ​​मिलता है। यह विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याओं के योग को पूरा करता है।

उत्तर:

(−5)+2=−3 .

विभिन्न चिह्नों के साथ परिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए जो पूर्णांक नहीं हैं, उन्हें साधारण अंशों के रूप में दर्शाया जाना चाहिए (यदि यह सुविधाजनक हो तो आप दशमलव अंशों के साथ काम कर सकते हैं)। आइए इस बिंदु को अगले उदाहरण में देखें।

उदाहरण।

एक धनात्मक संख्या और एक ऋणात्मक संख्या −1.25 जोड़ें।

समाधान।

आइए फॉर्म में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करें साधारण अंश, ऐसा करने के लिए, हम एक मिश्रित संख्या से एक अनुचित भिन्न में संक्रमण करेंगे: , और दशमलव भिन्न को एक साधारण में अनुवाद करेंगे: .

अब आप विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने के लिए नियम का उपयोग कर सकते हैं।

जोड़े गए नंबरों के मॉड्यूल 17/8 और 5/4 हैं। आगे की क्रियाओं को करने की सुविधा के लिए, हम भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करते हैं, परिणामस्वरूप हमारे पास 17/8 और 10/8 हैं।

अब हमें सार्व भिन्नों 17/8 और 10/8 की तुलना करने की आवश्यकता है। 17>10 के बाद से . इस प्रकार, धन चिह्न वाले पद का मापांक बड़ा होता है, इसलिए, धन चिह्न को याद रखें।

अब हम छोटे वाले को बड़े मॉड्यूल से घटाते हैं, यानी हम समान हर वाले भिन्नों को घटाते हैं: .

परिणामी संख्या के सामने एक याद किया हुआ प्लस चिन्ह लगाना बाकी है, लेकिन - यह संख्या 7/8 है।

व्यावहारिक रूप से गणित का संपूर्ण पाठ्यक्रम धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं वाले संक्रियाओं पर आधारित होता है। आखिरकार, जैसे ही हम समन्वय रेखा का अध्ययन करना शुरू करते हैं, प्लस और माइनस संकेतों वाली संख्याएं हमें हर जगह, हर नए विषय में मिलने लगती हैं। साधारण सकारात्मक संख्याओं को एक साथ जोड़ने से आसान कुछ नहीं है, एक को दूसरे से घटाना मुश्किल नहीं है। यहां तक ​​कि दो ऋणात्मक संख्याओं वाला अंकगणित भी शायद ही कभी एक समस्या है।

हालांकि, कई लोग अलग-अलग संकेतों वाली संख्याओं को जोड़ने और घटाने में भ्रमित हो जाते हैं। उन नियमों को याद करें जिनके द्वारा ये क्रियाएं होती हैं।

विभिन्न चिन्हों वाली संख्याओं का योग

यदि समस्या को हल करने के लिए हमें एक निश्चित संख्या "ए" में एक ऋणात्मक संख्या "-बी" जोड़ने की आवश्यकता है, तो हमें निम्नानुसार कार्य करने की आवश्यकता है।

• आइए दोनों संख्याओं के मॉड्यूल लें - |a| और |बी| - और इन निरपेक्ष मूल्यों की एक दूसरे से तुलना करें।
• ध्यान दें कि कौन सा मॉड्यूल बड़ा है और कौन सा छोटा है, और छोटे मान को बड़े मान से घटाएं।
• हम परिणामी संख्या से पहले उस संख्या का चिह्न लगाते हैं जिसका मापांक अधिक होता है।

यही उत्तर होगा। इसे और अधिक सरलता से रखा जा सकता है: यदि अभिव्यक्ति में ए + (-बी) संख्या "बी" का मॉड्यूलस "ए" के मॉड्यूलस से अधिक है, तो हम "ए" को "बी" से घटाते हैं और "माइनस" डालते हैं "परिणाम के सामने। यदि मापांक "ए" बड़ा है, तो "बी" को "ए" से घटाया जाता है - और समाधान "प्लस" चिह्न के साथ प्राप्त होता है।

ऐसा भी होता है कि मॉड्यूल बराबर होते हैं। अगर ऐसा है, तो आप इस जगह पर रुक सकते हैं - हम बात कर रहे हैं विपरीत संख्या, और उनका योग हमेशा शून्य रहेगा।

विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं का घटाव

हमने जोड़ का पता लगा लिया, अब घटाव के नियम पर विचार करें। यह काफी सरल भी है - और इसके अलावा, यह दो ऋणात्मक संख्याओं को घटाने के लिए एक समान नियम को पूरी तरह से दोहराता है।

एक निश्चित संख्या "ए" से घटाने के लिए - मनमाना, यानी किसी भी संकेत के साथ - एक नकारात्मक संख्या "सी", आपको हमारी मनमानी संख्या "ए" में "सी" के विपरीत संख्या जोड़ने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए:

• यदि "ए" एक सकारात्मक संख्या है, और "सी" नकारात्मक है, और "सी" को "ए" से घटाया जाना चाहिए, तो हम इसे इस तरह लिखते हैं: ए - (-सी) \u003d ए + सी।
• यदि "ए" एक ऋणात्मक संख्या है, और "सी" सकारात्मक है, और "सी" को "ए" से घटाया जाना चाहिए, तो हम निम्नानुसार लिखते हैं: (- ए) - सी \u003d - ए + (-सी)।

इस प्रकार, विभिन्न संकेतों के साथ संख्याओं को घटाते समय, हम अंततः जोड़ के नियमों पर लौटते हैं, और विभिन्न संकेतों के साथ संख्याओं को जोड़ते समय, हम घटाव के नियमों पर लौटते हैं। इन नियमों को याद रखने से आप समस्याओं को जल्दी और आसानी से हल कर सकते हैं।

अनुदेश

गणितीय संक्रियाएँ चार प्रकार की होती हैं: जोड़, घटाव, गुणा और भाग। इसलिए, चार प्रकार के उदाहरण होंगे। उदाहरण के भीतर ऋणात्मक संख्याओं को हाइलाइट किया गया है ताकि गणितीय संक्रिया को भ्रमित न किया जा सके। उदाहरण के लिए, 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) या 34:(-17)।

योग। यह क्रिया इस तरह दिख सकती है: 1) 3+(-6)=3-6=-3। क्रिया को बदलना: सबसे पहले, कोष्ठक खोले जाते हैं, "+" चिन्ह को उलट दिया जाता है, फिर छोटे "3" को बड़ी (मॉड्यूलो) संख्या "6" से घटा दिया जाता है, जिसके बाद उत्तर को बड़ा चिन्ह दिया जाता है, अर्थात् , "-"।
2) -3+6=3। इसे इस रूप में लिखा जा सकता है - ("6-3") या सिद्धांत के अनुसार "छोटे को बड़े से घटाएं और उत्तर के लिए बड़े का चिह्न असाइन करें।"
3) -3+(-6)=-3-6=-9. खोलते समय, घटाव द्वारा जोड़ की क्रिया के प्रतिस्थापन, फिर मॉड्यूल को सारांशित किया जाता है और परिणाम को ऋण चिह्न दिया जाता है।

घटाव.1) 8-(-5)=8+5=13. कोष्ठक खोले जाते हैं, क्रिया का चिह्न उलट दिया जाता है, और एक अतिरिक्त उदाहरण प्राप्त होता है।
2) -9-3=-12. उदाहरण के तत्वों को एक साथ जोड़ा जाता है और प्राप्त होता है सामान्य चिन्ह "-".
3) -10-(-5)=-10+5=-5. जब कोष्ठक खोले जाते हैं, तो चिन्ह फिर से "+" में बदल जाता है, फिर छोटी संख्या को बड़ी संख्या से घटा दिया जाता है और बड़ी संख्या का चिन्ह उत्तर से लिया जाता है।

गुणन और भाग। गुणा या भाग करते समय, संकेत स्वयं ऑपरेशन को प्रभावित नहीं करता है। संख्याओं को गुणा या विभाजित करते समय, उत्तर को एक ऋण चिह्न दिया जाता है, यदि समान चिह्नों वाली संख्याएँ, परिणाम में हमेशा एक धन चिह्न होता है। 1)-4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.

स्रोत:

• विपक्ष के साथ तालिका

कैसे तय करें उदाहरण? बच्चे अक्सर इस सवाल के साथ अपने माता-पिता की ओर रुख करते हैं कि क्या होमवर्क करने की जरूरत है। एक बच्चे को बहु-अंकीय संख्याओं के जोड़ और घटाव के उदाहरणों का हल कैसे समझाएं? आइए इसका पता लगाने की कोशिश करते हैं।

आपको चाहिये होगा

• 1. गणित की पाठ्यपुस्तक।
• 2. कागज।
• 3. संभाल।

अनुदेश

उदाहरण पढ़ें। ऐसा करने के लिए, प्रत्येक बहुमान को वर्गों में विभाजित किया गया है। संख्या के अंत से शुरू करते हुए, तीन अंकों की गिनती करें और एक बिंदु (23.867.567) लगाएं। याद रखें कि पहले तीन अंक संख्या के अंत से इकाइयों तक, अगले तीन - वर्ग तक, फिर लाखों हैं। हम संख्या पढ़ते हैं: तेईस आठ सौ साठ-सात हजार साठ-सात।

एक उदाहरण लिखिए। कृपया ध्यान दें कि प्रत्येक अंक की इकाइयाँ एक दूसरे के नीचे सख्ती से लिखी जाती हैं: इकाइयों के तहत इकाइयाँ, दहाई के नीचे दहाई, सैकड़ों के तहत सैकड़ों, आदि।

जोड़ या घटाव करना। इकाइयों के साथ कार्रवाई करना शुरू करें। उस श्रेणी के तहत परिणाम लिखें जिसके साथ कार्रवाई की गई थी। यदि यह एक संख्या () निकला, तो हम उत्तर के स्थान पर इकाइयाँ लिखते हैं, और दसियों की संख्या को डिस्चार्ज की इकाइयों में जोड़ते हैं। यदि मिन्यूएंड में किसी अंक की इकाइयों की संख्या सबट्रेंड की तुलना में कम है, तो हम अगले अंक की 10 इकाइयाँ लेते हैं, क्रिया करते हैं।

उत्तर पढ़ें।

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टिप्पणी

अपने बच्चे को कैलकुलेटर का उपयोग करने से मना करें, यहां तक ​​कि उदाहरण के समाधान की जांच करने के लिए भी। जोड़ का परीक्षण घटाव द्वारा किया जाता है, और घटाव का परीक्षण जोड़ द्वारा किया जाता है।

उपयोगी सलाह

यदि कोई बच्चा 1000 के भीतर लिखित गणना की तकनीकों को अच्छी तरह से सीख लेता है, तो सादृश्य द्वारा किए गए बहु-अंकीय संख्याओं वाली क्रियाओं में कठिनाई नहीं होगी।
अपने बच्चे के लिए एक प्रतियोगिता की व्यवस्था करें: वह 10 मिनट में कितने उदाहरण हल कर सकता है। इस तरह के प्रशिक्षण से कम्प्यूटेशनल तकनीकों को स्वचालित करने में मदद मिलेगी।

गुणन चार बुनियादी गणितीय संक्रियाओं में से एक है जो कई और बातों पर आधारित है जटिल कार्य. इस मामले में, वास्तव में, गुणा जोड़ के संचालन पर आधारित है: इसका ज्ञान आपको किसी भी उदाहरण को सही ढंग से हल करने की अनुमति देता है।

गुणन संक्रिया के सार को समझने के लिए यह ध्यान रखना आवश्यक है कि इसमें तीन मुख्य घटक शामिल हैं। उनमें से एक को पहला कारक कहा जाता है और यह उस संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो गुणन संक्रिया के अधीन है। इस कारण से, इसका दूसरा, कुछ हद तक कम सामान्य नाम है - "गुणक"। गुणन संक्रिया के दूसरे घटक को दूसरा गुणनखंड कहा जाता है: यह वह संख्या है जिससे गुणक को गुणा किया जाता है। इस प्रकार, इन दोनों घटकों को गुणक कहा जाता है, जो उनकी समान स्थिति पर जोर देता है, साथ ही इस तथ्य पर भी जोर देता है कि उन्हें आपस में बदला जा सकता है: गुणा का परिणाम इससे नहीं बदलेगा। अंत में, गुणन संक्रिया का तीसरा घटक, जो इसके परिणामस्वरूप उत्पन्न होता है, उत्पाद कहलाता है।

गुणन संक्रिया का क्रम

गुणन संक्रिया का सार एक सरल अंकगणितीय संक्रिया पर आधारित है -। वास्तव में, गुणन पहले गुणनखंड या गुणन का योग है, ऐसे कई बार जो दूसरे गुणनखंड से मेल खाता है। उदाहरण के लिए, 8 को 4 से गुणा करने के लिए, आपको संख्या 8 को 4 बार जोड़ना होगा, जिसके परिणामस्वरूप 32 होगा। इस पद्धति का उपयोग गुणन संक्रिया के सार की समझ प्रदान करने के अलावा, प्राप्त परिणाम की जांच करने के लिए किया जा सकता है। वांछित उत्पाद की गणना करते समय। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि सत्यापन अनिवार्य रूप से मानता है कि योग में शामिल शर्तें समान हैं और पहले कारक के अनुरूप हैं।

गुणन उदाहरण हल करना

इस प्रकार, गुणा करने की आवश्यकता से जुड़े हल करने के लिए, पहले कारकों की आवश्यक संख्या को एक निश्चित संख्या में जोड़ने के लिए पर्याप्त हो सकता है। इस ऑपरेशन से जुड़ी लगभग किसी भी गणना को करने के लिए ऐसी विधि सुविधाजनक हो सकती है। इसी समय, गणित में अक्सर विशिष्ट होते हैं, जिसमें मानक एकल-अंकीय पूर्णांक भाग लेते हैं। उनकी गणना को सुविधाजनक बनाने के लिए, तथाकथित गुणन बनाया गया था, जिसमें सकारात्मक पूर्णांक के उत्पादों की पूरी सूची शामिल है। एकल अंक, यानी 1 से 9 तक की संख्याएँ। इस प्रकार, एक बार जब आप सीख लेते हैं, तो आप ऐसी संख्याओं के उपयोग के आधार पर गुणन उदाहरणों को हल करने की प्रक्रिया को काफी सरल बना सकते हैं। हालाँकि, अधिक के लिए जटिल विकल्पआपको यह गणितीय संक्रिया स्वयं करनी होगी।

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स्रोत:

• 2019 में गुणा

गुणन चार बुनियादी अंकगणितीय संक्रियाओं में से एक है, जिसका उपयोग अक्सर स्कूल और स्कूल दोनों में किया जाता है रोजमर्रा की जिंदगी. आप दो संख्याओं को जल्दी से कैसे गुणा कर सकते हैं?

सबसे जटिल गणितीय गणनाओं का आधार चार बुनियादी अंकगणितीय संचालन हैं: घटाव, जोड़, गुणा और भाग। साथ ही, अपनी स्वतंत्रता के बावजूद, ये ऑपरेशन, बारीकी से जांच करने पर, आपस में जुड़े हुए हैं। ऐसा संबंध मौजूद है, उदाहरण के लिए, जोड़ और गुणा के बीच।

संख्या गुणन संक्रिया

गुणन संक्रिया में तीन मुख्य तत्व शामिल होते हैं। इनमें से पहला, जिसे आमतौर पर पहले कारक या गुणक के रूप में जाना जाता है, वह संख्या है जो गुणन संक्रिया के अधीन होगी। दूसरा, जिसे दूसरा कारक कहा जाता है, वह संख्या है जिससे पहले कारक को गुणा किया जाएगा। अंत में, किए गए गुणन संक्रिया के परिणाम को अक्सर उत्पाद कहा जाता है।

यह याद रखना चाहिए कि गुणन ऑपरेशन का सार वास्तव में जोड़ पर आधारित है: इसके कार्यान्वयन के लिए, पहले कारकों की एक निश्चित संख्या को एक साथ जोड़ना आवश्यक है, और इस योग में शब्दों की संख्या दूसरे कारक के बराबर होनी चाहिए। विचाराधीन दो कारकों के उत्पाद की गणना के अलावा, इस एल्गोरिथ्म का उपयोग परिणामी परिणाम की जांच के लिए भी किया जा सकता है।

गुणन कार्य को हल करने का एक उदाहरण

गुणन समस्या के समाधान पर विचार करें। मान लीजिए, असाइनमेंट की शर्तों के अनुसार, दो संख्याओं के उत्पाद की गणना करना आवश्यक है, जिनमें से पहला कारक 8 है, और दूसरा 4 है। गुणा ऑपरेशन की परिभाषा के अनुसार, इसका वास्तव में मतलब है कि आप संख्या 8 4 बार जोड़ने की जरूरत है। परिणाम 32 है - यह उत्पाद माना जाता है, जो कि उनके गुणन का परिणाम है।

इसके अलावा, यह याद रखना चाहिए कि तथाकथित कम्यूटेटिव कानून गुणन ऑपरेशन पर लागू होता है, जो यह स्थापित करता है कि मूल उदाहरण में कारकों के स्थान बदलने से इसका परिणाम नहीं बदलेगा। इस प्रकार, आप संख्या 4 8 बार जोड़ सकते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक ही उत्पाद - 32 हो सकता है।

पहाड़ा

यह स्पष्ट है कि इस तरह हल करने के लिए एक बड़ी संख्या कीएक ही प्रकार के उदाहरण एक कठिन कार्य है। इस कार्य को सुविधाजनक बनाने के लिए, तथाकथित गुणन का आविष्कार किया गया था। वास्तव में, यह पूर्णांक धनात्मक एकल-अंकीय संख्याओं के गुणनफलों की एक सूची है। सीधे शब्दों में कहें, एक गुणन तालिका 1 से 9 तक एक दूसरे के बीच गुणा के परिणामों का एक संग्रह है। एक बार जब आप इस तालिका को सीख लेते हैं, तो जब भी आपको ऐसे उदाहरण को हल करने की आवश्यकता होती है, तो आप गुणा का सहारा नहीं ले सकते। अभाज्य सँख्या, लेकिन बस इसके परिणाम को याद करें।

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ऋणात्मक संख्याओं का जोड़।

ऋणात्मक संख्याओं का योग ऋणात्मक संख्या होती है। योग मापांक योग के बराबर हैशर्तों के मॉड्यूल.

आइए देखें कि ऋणात्मक संख्याओं का योग भी ऋणात्मक संख्या क्यों होगी। निर्देशांक रेखा इसमें हमारी सहायता करेगी, जिस पर हम -3 और -5 संख्याओं का योग करेंगे। आइए संख्या -3 के अनुरूप समन्वय रेखा पर एक बिंदु को चिह्नित करें।

नंबर -3 में हमें नंबर -5 जोड़ना होगा। संख्या -3 के संगत बिंदु से हम कहाँ जाते हैं? यह सही है, बाईं ओर! 5 एकल खंडों के लिए। हम बिंदु को चिह्नित करते हैं और उसके अनुरूप संख्या लिखते हैं। यह संख्या -8 है।

इसलिए, समन्वय रेखा का उपयोग करके ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ते समय, हम हमेशा संदर्भ बिंदु के बाईं ओर होते हैं, इसलिए, यह स्पष्ट है कि ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का परिणाम भी एक ऋणात्मक संख्या है।

टिप्पणी।हमने संख्याओं -3 और -5 को जोड़ा, अर्थात्। व्यंजक -3+(-5) का मान ज्ञात किया। आमतौर पर जब जोड़ा जाता है परिमेय संख्यावे बस इन संख्याओं को उनके चिह्नों के साथ लिखते हैं, मानो उन सभी संख्याओं को सूचीबद्ध कर रहे हों जिन्हें जोड़ने की आवश्यकता है। इस तरह के अंकन को बीजगणितीय योग कहा जाता है। लागू करें (हमारे उदाहरण में) रिकॉर्ड: -3-5=-8।

उदाहरण।ऋणात्मक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए: -23-42-54। (सहमत हैं कि यह प्रविष्टि इस तरह छोटी और अधिक सुविधाजनक है: -23+(-42)+(-54))?

हमने निर्णय कियाऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम के अनुसार: हम शर्तों के मॉड्यूल जोड़ते हैं: 23+42+54=119। परिणाम माइनस साइन के साथ होगा।

वे आमतौर पर इसे इस तरह लिखते हैं: -23-42-54 \u003d -119।

विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याओं का जोड़।

अलग-अलग चिह्नों वाली दो संख्याओं के योग में एक बड़े मापांक के साथ जोड़ का चिह्न होता है। योग के मापांक को खोजने के लिए, आपको छोटे मापांक को बड़े मापांक से घटाना होगा.

आइए निर्देशांक रेखा का उपयोग करके विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याओं का योग करें।

1) -4+6. संख्या -4 को संख्या 6 में जोड़ना आवश्यक है। हम समन्वय रेखा पर एक बिंदु के साथ संख्या -4 को चिह्नित करते हैं। संख्या 6 धनात्मक है, जिसका अर्थ है कि निर्देशांक -4 वाले बिंदु से हमें 6 इकाई खंडों से दाईं ओर जाने की आवश्यकता है। हम 2 इकाई खंडों द्वारा मूल (शून्य से) के दाईं ओर समाप्त हुए।

संख्याओं -4 और 6 के योग का परिणाम धनात्मक संख्या 2 है:

- 4+6=2। आप नंबर 2 कैसे प्राप्त कर सकते हैं? 6 में से 4 घटाएं, अर्थात। छोटे वाले को बड़े से घटाएं। परिणाम में बड़े मापांक वाले पद के समान चिह्न होता है।

2) आइए गणना करें: -7+3 निर्देशांक रेखा का उपयोग करके। हम संख्या -7 के अनुरूप बिंदु को चिह्नित करते हैं। हम 3 इकाई खंडों से दाईं ओर जाते हैं और निर्देशांक -4 के साथ एक बिंदु प्राप्त करते हैं। हम मूल के बाईं ओर थे और बने रहे: उत्तर एक ऋणात्मक संख्या है।

— 7+3=-4. हम इस परिणाम को इस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं: हमने छोटे को बड़े मॉड्यूल से घटाया, अर्थात। 7-3 = 4। नतीजतन, एक बड़े मॉड्यूल के साथ शब्द का संकेत सेट किया गया था: |-7|>|3|।

उदाहरण।गणना करें: एक) -4+5-9+2-6-3; बी) -10-20+15-25.