لگاریتم 25 تا پایه 2 است. خواص لگاریتم ها و مثال هایی از حل آنها

همانطور که می دانید، هنگام ضرب عبارات با توان، توان آنها همیشه با هم جمع می شوند (a b * a c = a b + c). این قانون ریاضی توسط ارشمیدس استخراج شد و بعدها، در قرن هشتم، ریاضیدان ویراسن جدولی از شاخص های اعداد صحیح ایجاد کرد. این آنها بودند که برای کشف بیشتر لگاریتم ها خدمت کردند. نمونه‌هایی از استفاده از این تابع را می‌توان تقریباً در همه جا که لازم است ضرب دست و پا گیر به جمع ساده ساده کرد، یافت. اگر 10 دقیقه برای خواندن این مقاله وقت بگذارید، ما به شما توضیح خواهیم داد که لگاریتم چیست و چگونه با آنها کار کنید. زبان ساده و در دسترس.

تعریف در ریاضیات

لگاریتم عبارتی از شکل زیر است: log a b=c، یعنی لگاریتم هر عدد غیر منفی (یعنی هر مثبت) "b" با توجه به پایه "a" آن توان "c" در نظر گرفته می شود. "، که لازم است پایه "a" را بالا ببریم، تا در پایان مقدار "b" را بدست آوریم. بیایید لگاریتم را با استفاده از مثال ها تجزیه و تحلیل کنیم، فرض کنید یک عبارت log وجود دارد 2 8. چگونه پاسخ را پیدا کنیم؟ خیلی ساده است، باید چنین مدرکی پیدا کنید که از 2 تا مدرک مورد نیاز، 8 بگیرید. با انجام محاسباتی در ذهن شما، عدد 3 را به دست می آوریم! و به درستی چون 2 به توان 3 عدد 8 را در جواب می دهد.

انواع لگاریتم ها

برای بسیاری از دانش آموزان و دانشجویان، این موضوع پیچیده و غیرقابل درک به نظر می رسد، اما در واقع، لگاریتم ها چندان ترسناک نیستند، نکته اصلی درک معنای کلی آنها و به خاطر سپردن ویژگی ها و برخی قوانین است. سه تا هستند انواع خاصیعبارات لگاریتمی:

1. لگاریتم طبیعی ln a، که در آن پایه عدد اویلر است (e = 2.7).
2. اعشاری a که پایه آن 10 است.
3. لگاریتم هر عدد b به پایه a>1.

هر یک از آنها به روشی استاندارد از جمله ساده سازی، کاهش و کاهش متعاقب آن به یک لگاریتم با استفاده از قضایای لگاریتمی حل می شوند. برای گرفتن مقادیر صحیحلگاریتم ها، شما باید ویژگی های آنها و دنباله اقدامات را در تصمیم گیری های آنها به خاطر بسپارید.

قوانین و برخی محدودیت ها

در ریاضیات چندین قاعده ـ محدودیت وجود دارد که به عنوان بدیهیات پذیرفته شده اند، یعنی قابل بحث نیستند و صادق هستند. به عنوان مثال، تقسیم اعداد بر صفر غیرممکن است و همچنین نمی توان ریشه یک درجه زوج را از اعداد منفی استخراج کرد. لگاریتم ها نیز قوانین خاص خود را دارند که به دنبال آن می توانید به راحتی نحوه کار با عبارات لگاریتمی طولانی و بزرگ را یاد بگیرید:

• پایه "a" باید همیشه بزرگتر از صفر باشد و در عین حال برابر با 1 نباشد، در غیر این صورت این عبارت معنای خود را از دست می دهد، زیرا "1" و "0" به هر درجه ای همیشه با مقادیر خود برابر هستند.
• اگر a > 0، سپس a b > 0، معلوم می شود که "c" باید بزرگتر از صفر باشد.

چگونه لگاریتم ها را حل کنیم؟

به عنوان مثال، وظیفه یافتن پاسخ معادله 10 x \u003d 100 داده شد. بسیار آسان است، شما باید چنین توانی را انتخاب کنید، عدد ده را بالا ببرید که به 100 می رسیم. البته این 10 است. 2 \u003d 100.

حال بیایید این عبارت را به صورت لگاریتمی نشان دهیم. ما log 10 100 = 2 را دریافت می کنیم. هنگام حل لگاریتم ها، همه اقدامات عملاً با یافتن درجه ای که پایه لگاریتم باید وارد شود تا عدد معینی را وارد کنیم، همگرا می شوند.

برای تعیین دقیق مقدار یک درجه مجهول، باید نحوه کار با جدول درجات را یاد بگیرید. به نظر می رسد این است:

همانطور که می بینید، اگر شما ذهنیت فنی و دانش جدول ضرب داشته باشید، می توان برخی از توان ها را به طور مستقیم حدس زد. با این حال، مقادیر بزرگتر به میز برق نیاز دارند. حتی برای کسانی که هیچ چیز را به صورت پیچیده نمی فهمند می تواند استفاده شود مباحث ریاضی. ستون سمت چپ شامل اعداد است (مبنای a)، ردیف بالای اعداد مقدار توان c است که عدد a به آن افزایش می‌یابد. در محل تقاطع سلول ها، مقادیر اعداد تعیین می شود که پاسخ (a c =b) است. به عنوان مثال، اولین خانه را با عدد 10 در نظر می گیریم و مربع آن را مربع می کنیم، مقدار 100 را می گیریم که در محل تقاطع دو خانه ما نشان داده شده است. همه چیز به قدری ساده و آسان است که حتی واقعی ترین انسان گرایان نیز متوجه خواهند شد!

معادلات و نابرابری ها

معلوم می شود که تحت شرایط خاص، توان لگاریتم است. بنابراین، هر عبارت عددی ریاضی را می توان به عنوان یک معادله لگاریتمی نوشت. به عنوان مثال، 3 4 = 81 را می توان به عنوان لگاریتم 81 تا پایه 3 نوشت که چهار است (log 3 81 = 4). برای قدرت های منفیقوانین یکسان است: 2 -5 \u003d 1/32 به شکل لگاریتم می نویسیم ، log 2 (1/32) \u003d -5 می گیریم. یکی از جذاب ترین بخش های ریاضیات، مبحث "لگاریتم" است. ما بلافاصله پس از مطالعه خواص معادلات، نمونه ها و راه حل های معادلات را کمی پایین تر در نظر خواهیم گرفت. حال بیایید ببینیم که نابرابری ها چگونه هستند و چگونه آنها را از معادلات متمایز کنیم.

عبارتی از شکل زیر داده می شود: log 2 (x-1) > 3 - it is نابرابری لگاریتمی، زیرا مقدار مجهول "x" زیر علامت لگاریتم است. و همچنین در عبارت دو کمیت با هم مقایسه می شوند: لگاریتم عدد مورد نظر در پایه دو بزرگتر از عدد سه است.

مهمترین تفاوت بین معادلات لگاریتمی و نابرابری ها این است که معادلات با لگاریتم (مثلا لگاریتم 2 x = √9) دلالت بر یک یا چند مقدار عددی خاص در پاسخ دارند، در حالی که هنگام حل نابرابری، هر دو محدوده مقادیر قابل قبول و نقاط شکستن این تابع. در نتیجه، پاسخ یک مجموعه ساده از اعداد منفرد نیست، مانند پاسخ معادله، بلکه یک سری یا مجموعه ای از اعداد پیوسته است.

قضایای اساسی در مورد لگاریتم

هنگام حل وظایف اولیه برای یافتن مقادیر لگاریتم، ممکن است ویژگی های آن مشخص نباشد. با این حال، هنگامی که صحبت از معادلات لگاریتمی یا نابرابری ها می شود، قبل از هر چیز، لازم است که به وضوح تمام ویژگی های اصلی لگاریتم ها را درک کرده و در عمل اعمال کنیم. در ادامه با مثال هایی از معادلات آشنا می شویم، اجازه دهید ابتدا هر ویژگی را با جزئیات بیشتری تحلیل کنیم.

1. هویت اصلی به این صورت است: alogaB =B. فقط در صورتی اعمال می شود که a بزرگتر از 0 باشد نه برابر یک و B بزرگتر از صفر باشد.
2. لگاریتم محصول را می توان با فرمول زیر نشان داد: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. در این مورد، پیش نیاز این است: d، s 1 و s 2 > 0; a≠1. شما می توانید برای این فرمول لگاریتم، با مثال و یک راه حل، اثبات کنید. اجازه دهید log a s 1 = f 1 و log a s 2 = f 2 ، سپس a f1 = s 1 , a f2 = s 2. دریافت می کنیم که s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (خواص درجه) و در ادامه بر اساس تعریف: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 که قرار بود ثابت شود.
3. لگاریتم ضریب به این صورت است: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. قضیه به شکل فرمول به شکل زیر است: log a q b n = n/q log a b.

این فرمول "ویژگی درجه لگاریتم" نامیده می شود. این شبیه خواص درجات معمولی است و جای تعجب نیست، زیرا تمام ریاضیات بر فرضیه های منظم استوار است. بیایید به اثبات نگاه کنیم.

بگذارید a b \u003d t را وارد کنید، معلوم می شود t \u003d b. اگر هر دو قسمت را به توان m برسانید: a tn = b n ;

اما از آنجایی که a tn = (a q) nt/q = b n، بنابراین log a q b n = (n*t)/t، سپس log a q b n = n/q log a b. قضیه ثابت شده است.

نمونه هایی از مشکلات و نابرابری ها

رایج ترین انواع مسائل لگاریتمی مثال هایی از معادلات و نابرابری ها هستند. آنها تقریباً در تمام کتاب های مسئله یافت می شوند و همچنین در بخش اجباری امتحانات ریاضی گنجانده شده اند. برای پذیرش در دانشگاه یا قبولی امتحانات ورودیدر ریاضیات، شما باید بدانید که چگونه چنین مسائلی را به درستی حل کنید.

متأسفانه هیچ طرح یا طرح واحدی برای حل و تعیین مقدار مجهول لگاریتم وجود ندارد، با این حال، قوانین خاصی را می توان برای هر نابرابری ریاضی یا معادله لگاریتمی اعمال کرد. اول از همه، باید دریابید که آیا عبارت را می توان ساده یا کاهش داد نمای کلی. اگر از خصوصیات آنها به درستی استفاده کنید، می توانید عبارات لگاریتمی طولانی را ساده کنید. بیایید به زودی با آنها آشنا شویم.

هنگام تصمیم گیری معادلات لگاریتمی، باید مشخص کنیم که چه نوع لگاریتمی در پیش داریم: یک مثال از یک عبارت ممکن است حاوی یک لگاریتم طبیعی یا یک اعشاری باشد.

در اینجا نمونه هایی از ln100، ln1026 آورده شده است. راه حل آنها به این واقعیت خلاصه می شود که باید درجه ای را تعیین کنید که پایه 10 به ترتیب برابر با 100 و 1026 خواهد بود. برای حل لگاریتم های طبیعی، باید هویت لگاریتمی یا ویژگی های آنها را اعمال کرد. بیایید به نمونه هایی از حل مسائل لگاریتمی در انواع مختلف نگاه کنیم.

نحوه استفاده از فرمول های لگاریتمی: با مثال ها و راه حل ها

بنابراین، بیایید نمونه هایی از استفاده از قضایای اصلی در لگاریتم ها را بررسی کنیم.

1. از خاصیت لگاریتم محصول می توان در کارهایی که نیاز به گسترش است استفاده کرد پراهمیتاعداد b به عوامل ساده تر مثلاً log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. جواب 9 است.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - همانطور که می بینید، با استفاده از چهارمین خاصیت درجه لگاریتم، ما موفق شدیم در نگاه اول یک عبارت پیچیده و غیرقابل حل را حل کنیم. فقط باید پایه را فاکتورسازی کرد و سپس مقادیر توان را از علامت لگاریتم خارج کرد.

وظایف از امتحان

لگاریتم اغلب در امتحانات ورودی یافت می شود، به خصوص بسیاری از مشکلات لگاریتمی در آزمون یکپارچه دولتی (آزمون دولتی برای همه فارغ التحصیلان مدرسه). معمولاً این کارها نه تنها در بخش A (آسان ترین بخش آزمایشی امتحان) بلکه در قسمت C (سخت ترین و پرحجم ترین کارها) وجود دارد. این آزمون مستلزم آگاهی دقیق و کامل از مبحث "لگاریتم های طبیعی" است.

مثال ها و راه حل های مشکل از رسمی گرفته شده است از گزینه های استفاده کنید. بیایید ببینیم چنین وظایفی چگونه حل می شوند.

با توجه به log 2 (2x-1) = 4. راه حل:
بیایید عبارت را بازنویسی کنیم، آن را کمی ساده کنیم log 2 (2x-1) = 2 2، با تعریف لگاریتم دریافت می کنیم که 2x-1 = 2 4، بنابراین 2x = 17. x = 8.5.

• همه لگاریتم ها بهتر است به یک پایه کاهش داده شوند تا راه حل دست و پا گیر و گیج کننده نباشد.
• تمام عبارات زیر علامت لگاریتم به عنوان مثبت نشان داده می شوند، بنابراین، هنگام خارج کردن توان نشان بیان، که زیر علامت لگاریتم و به عنوان پایه آن است، عبارت باقی مانده در زیر لگاریتم باید مثبت باشد.

\(a^(b)=c\) \(\فلش راست چپ\) \(\log_(a)(c)=b\)

بیایید آن را ساده تر توضیح دهیم. به عنوان مثال، \(\log_(2)(8)\) برابر با توانی است که \(2\) باید افزایش یابد تا \(8\) به دست آید. از اینجا مشخص است که \(\log_(2)(8)=3\).

برهان و پایه لگاریتم

هر لگاریتمی دارای "آناتومی" زیر است:

آرگومان لگاریتم معمولاً در سطح آن نوشته می‌شود و پایه به صورت زیرنویس نزدیک‌تر به علامت لگاریتم نوشته می‌شود. و این مدخل به این صورت خوانده می شود: «لگاریتم بیست و پنج تا پایه پنج».

چگونه لگاریتم را محاسبه کنیم؟

برای محاسبه لگاریتم، باید به این سوال پاسخ دهید: برای بدست آوردن آرگومان، پایه تا چه حد باید افزایش یابد؟

مثلا، لگاریتم را محاسبه کنید: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) د) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

الف) برای بدست آوردن \(16\) \(4\) باید به چه قدرتی برود؟ بدیهی است که دومی از همین رو:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

ج) برای بدست آوردن \(1\) \(\sqrt(5)\) باید به چه قدرتی افزایش یابد؟ و چه درجه ای هر عددی را واحد می کند؟ البته صفر!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

د) برای بدست آوردن \(\sqrt(7)\) باید \(\sqrt(7)\) را به چه قدرتی افزایش داد؟ در اول - هر عددی در درجه اول با خودش برابر است.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

ه) برای بدست آوردن \(\sqrt(3)\) \(3\) باید به چه قدرتی افزایش یابد؟ از ما می دانیم که یک توان کسری است، به این معنی ریشه دومدرجه \(\frac(1)(2)\) است.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

مثال : محاسبه لگاریتم \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

راه حل :

پاسخ : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

چرا لگاریتم اختراع شد؟

برای درک این موضوع، اجازه دهید معادله \(3^(x)=9\) را حل کنیم. فقط \(x\) را مطابقت دهید تا برابری عمل کند. البته \(x=2\).

حالا معادله \(3^(x)=8\) را حل کنید x برابر چیست؟ نکته همین است.

باهوش ترین خواهد گفت: "X کمی کمتر از دو است." این عدد دقیقاً چگونه باید نوشته شود؟ برای پاسخ به این سوال، آنها لگاریتم را ارائه کردند. با تشکر از او، پاسخ در اینجا می تواند به صورت \(x=\log_(3)(8)\) نوشته شود.

من می خواهم تأکید کنم که \(\log_(3)(8)\) و همچنین هر لگاریتمی فقط یک عدد است. بله، غیر معمول به نظر می رسد، اما کوتاه است. چون اگر بخواهیم آن را در فرم بنویسیم کسر اعشاری، پس به این شکل می شود: \(1.892789260714.....\)

مثال : حل معادله \(4^(5x-4)=10\)

راه حل :

پاسخ : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

لگاریتم های اعشاری و طبیعی

همانطور که در تعریف لگاریتم بیان شد، پایه آن می تواند هر کدام باشد عدد مثبت، به جز واحد \((a>0, a\neq1)\). و در بین همه پایه های ممکن، دو پایه وجود دارد که به قدری اتفاق می افتد که یک نماد کوتاه ویژه برای لگاریتم ها با آنها اختراع شده است:

لگاریتم طبیعی: لگاریتمی که پایه آن عدد اویلر \(e\) است (برابر تقریباً \(2.7182818…\)) و لگاریتم به صورت \(\ln(a)\ نوشته می شود.

به این معنا که، \(\ln(a)\) همان \(\log_(e)(a)\) است.

لگاریتم اعشاری: لگاریتمی که پایه آن 10 است \(\lg(a)\) نوشته می شود.

به این معنا که، \(\lg(a)\) یکسان است با \(\log_(10)(a)\)، جایی که \(a\) تعدادی عدد است.

هویت لگاریتمی پایه

لگاریتم ها خواص زیادی دارند. یکی از آنها "اصلی" نام دارد هویت لگاریتمی' و به شکل زیر است:

این ویژگی مستقیماً از تعریف پیروی می کند. بیایید ببینیم این فرمول دقیقا چگونه ظاهر شد.

تعریف کوتاه لگاریتم را به یاد بیاورید:

اگر \(a^(b)=c\)، سپس \(\log_(a)(c)=b\)

یعنی \(b\) همان \(\log_(a)(c)\) است. سپس می توانیم به جای \(b\) در فرمول \(a^(b)=c\) \(\log_(a)(c)\) بنویسیم. معلوم شد \(a^(\log_(a)(c))=c\) - هویت لگاریتمی اصلی.

بقیه خصوصیات لگاریتم را می توانید پیدا کنید. با کمک آنها می توانید مقادیر عبارات را با لگاریتم ساده و محاسبه کنید که محاسبه مستقیم آنها دشوار است.

مثال : مقدار عبارت \(36^(\log_(6)(5)) را پیدا کنید

راه حل :

پاسخ : \(25\)

چگونه یک عدد را به صورت لگاریتمی بنویسیم؟

همانطور که در بالا ذکر شد، هر لگاریتمی فقط یک عدد است. عکس آن نیز صادق است: هر عددی را می توان به صورت لگاریتم نوشت. به عنوان مثال، می دانیم که \(\log_(2)(4)\) برابر با دو است. سپس می توانید به جای دو، \(\log_(2)(4)\) بنویسید.

اما \(\log_(3)(9)\) نیز برابر با \(2\) است، بنابراین می توانید \(2=\log_(3)(9)\) را نیز بنویسید. به طور مشابه با \(\log_(5)(25)\)، و با \(\log_(9)(81)\) و غیره. یعنی معلوم می شود

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

بنابراین، در صورت نیاز، می‌توانیم این دو را به‌عنوان لگاریتم با هر پایه‌ای در هر جایی بنویسیم (حتی در یک معادله، حتی در یک عبارت، حتی در یک نابرابری) - ما فقط پایه مربع را به عنوان یک آرگومان می‌نویسیم.

در مورد سه گانه هم همینطور است - می توان آن را به صورت \(\log_(2)(8)\)، یا به صورت \(\log_(3)(27)\) یا به صورت \(\log_(4)( نوشت 64) \) ... در اینجا پایه را در مکعب به عنوان آرگومان می نویسیم:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

و با چهار:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

و با منفی یک:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

و با یک سوم:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

هر عدد \(a\) را می توان به عنوان یک لگاریتم با پایه \(b\) نشان داد: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

مثال : مقدار یک عبارت را بیابید \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

راه حل :

پاسخ : \(1\)

خصوصیات اصلی لگاریتم، نمودار لگاریتم، دامنه تعریف، مجموعه مقادیر، فرمول های اساسی، افزایش و کاهش آورده شده است. یافتن مشتق لگاریتم در نظر گرفته شده است. و همچنین انتگرال، بسط در سری پاورو نمایش با استفاده از اعداد مختلط.

تعریف لگاریتم

لگاریتم با پایه aتابع y است (x) = ورود x، معکوس تابع نمایی با پایه a: x (y) = a y.

لگاریتم اعشاریلگاریتم قاعده عدد است 10 : log x ≡ log 10 x.

لگاریتم طبیعیلگاریتم به پایه e است: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

نمودار لگاریتم از نمودار تابع نمایی با بازتاب آینه ای در مورد خط مستقیم y \u003d x به دست می آید. در سمت چپ نمودارهای تابع y وجود دارد (x) = ورود xبرای چهار مقدار پایه های لگاریتم:a= 2 ، a = 8 ، a = 1/2 و a = 1/8 . نمودار نشان می دهد که برای یک > 1 لگاریتم به طور یکنواخت در حال افزایش است. با افزایش x، رشد به میزان قابل توجهی کاهش می یابد. در 0 < a < 1 لگاریتم به طور یکنواخت در حال کاهش است.

ویژگی های لگاریتم

دامنه، مجموعه مقادیر، صعودی، نزولی

لگاریتم یک تابع یکنواخت است، بنابراین هیچ اکسترومومی ندارد. ویژگی های اصلی لگاریتم در جدول ارائه شده است.

ارزش های خصوصی

لگاریتم پایه 10 نامیده می شود لگاریتم اعشاریو به این صورت مشخص شده است:

لگاریتم پایه هتماس گرفت لگاریتم طبیعی :

فرمول های لگاریتمی پایه

خواص لگاریتم که از تعریف تابع معکوس به دست می آید:

ویژگی اصلی لگاریتم ها و پیامدهای آن

فرمول جایگزینی پایه

لگاریتمعملیات ریاضی گرفتن لگاریتم است. هنگام گرفتن لگاریتم، حاصلضرب عوامل به مجموع ترم ها تبدیل می شود.

تقویتعملیات ریاضی معکوس لگاریتم است. هنگام تقویت، پایه داده شده به قدرت عبارتی که تقویت بر روی آن انجام می شود، افزایش می یابد. در این حالت، مجموع عبارت ها به محصول عوامل تبدیل می شود.

اثبات فرمول های پایه لگاریتم

فرمول های مربوط به لگاریتم از فرمول های توابع نمایی و از تعریف تابع معکوس به دست می آیند.

ویژگی تابع نمایی را در نظر بگیرید
.
سپس
.
خاصیت تابع نمایی را اعمال کنید
:
.

اجازه دهید فرمول تغییر پایه را ثابت کنیم.
;
.
با تنظیم c = b، داریم:

تابع معکوس

متقابل پایه یک لگاریتم است تابع نماییبا توان A.

اگر پس از آن

اگر پس از آن

مشتق لگاریتم

مشتق مدول لگاریتم x :
.
مشتق از مرتبه n:
.
اشتقاق فرمول ها > > >

برای یافتن مشتق لگاریتم، باید آن را به پایه تقلیل داد ه.
;
.

انتگرال

انتگرال لگاریتم با انتگرال گیری توسط قطعات محاسبه می شود: .
بنابراین،

عبارات بر حسب اعداد مختلط

تابع اعداد مختلط را در نظر بگیرید z:
.
بیان عدد مختلط zاز طریق ماژول rو استدلال φ :
.
سپس با استفاده از خواص لگاریتم داریم:
.
یا

با این حال، استدلال φ به وضوح تعریف نشده است. اگر قرار دهیم
، جایی که n یک عدد صحیح است،
سپس برای متفاوت همان عدد خواهد بود n.

بنابراین، لگاریتم، به عنوان تابعی از یک متغیر مختلط، یک تابع تک مقداری نیست.

گسترش سری پاور

برای ، بسط صورت می گیرد:

منابع:
که در. برونشتاین، ک.ا. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسان و دانشجویان مؤسسات آموزش عالی، لان، 2009.

لگاریتم چیست؟

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که به شدت "نه خیلی..."
و برای کسانی که "خیلی...")

لگاریتم چیست؟ چگونه لگاریتم ها را حل کنیم؟ این سوالات بسیاری از فارغ التحصیلان را سردرگم می کند. به طور سنتی، موضوع لگاریتم پیچیده، غیرقابل درک و ترسناک در نظر گرفته می شود. بخصوص - معادلات با لگاریتم

این کاملا درست نیست. کاملا! باور نمی کنی؟ خوب. اکنون برای حدود 10 تا 20 دقیقه شما:

1. درک کنید لگاریتم چیست.

2. حل یک کلاس کامل را یاد بگیرید معادلات نمایی. حتی اگر نام آنها را نشنیده باشید.

3. محاسبه لگاریتم های ساده را یاد بگیرید.

علاوه بر این، برای این کار فقط باید جدول ضرب را بدانید و بدانید که چگونه یک عدد به توان می رسد ...

من احساس می کنم شما شک دارید ... خوب، زمان را نگه دارید! برو!

ابتدا معادله زیر را در ذهن خود حل کنید:

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.