Построить 6 угольник с помощью циркуля. Правильный шестиугольник и его свойства

Есть ли поблизости от Вас карандаш? Взгляните-ка на его сечение - оно представляет собой правильный шестиугольник или, как его еще называют, гексагон. Такую форму имеет также сечение гайки, поле гексагональных шахмат, некоторых сложных молекул углерода (к примеру, графит), снежинка, пчелиные соты и другие объекты. Гигантский правильный шестиугольник был недавно обнаружен в Не кажется ли странным столь частое использование природой для своих творений конструкций именно этой формы? Давайте рассмотрим поподробнее.

Правильный шестиугольник представляет собой многоугольник с шестью одинаковыми сторонами и равными углами. Из школьного курса нам известно, что он обладает следующими свойствами:

• Длина его сторон соответствует радиусу описанной окружности. Из всех это свойство имеет лишь правильный шестиугольник.
• Углы равны между собой, и величина каждого составляет 120°.
• Периметр гексагона можно найти по формуле Р=6*R, если известен радиус описанной вокруг него окружности, или Р=4*√(3)*r, если окружность в него вписана. R и r - радиусы описанной и вписанной окружности.
• Площадь, которую занимает правильный шестиугольник, определяется следующим образом: S=(3*√(3)*R 2)/2. Если радиус неизвестен, вместо него подставляем длину одной из сторон - как известно, она соответствует длине радиуса описанной окружности.

У правильного шестиугольника есть одна интересная особенность, благодаря которой он получил в природе такое широкое распространение, - он способен заполнить любую поверхность плоскости без наложений и пробелов. Существует даже так называемая лемма Пала, согласно которой правильный гексагон, сторона которого равна 1/√(3), представляет собой универсальную покрышку, то есть может покрыть любое множество с диаметром в одну единицу.

Теперь рассмотрим построение правильного шестиугольника. Есть несколько способов, самый простой из которых предполагает использование циркуля, карандаша и линейки. Вначале рисуем циркулем произвольную окружность, затем в произвольном месте на этой окружности делаем точку. Не меняя раствора циркуля, ставим острие в эту точку, отмечаем на окружности следующую насечку, продолжаем так до тех пор, пока не получим все 6 точек. Теперь остается лишь соединить их между собой прямыми отрезками, и получится искомая фигура.

На практике бывают случаи, когда требуется нарисовать шестиугольник большого размера. Например, на двухуровневом гипсокартонном потолке, вокруг места крепления центральной люстры, нужно установить на нижнем уровне шесть небольших светильников. Циркуль таких размеров найти будет очень и очень сложно. Как поступить в этом случае? Как вообще нарисовать большую окружность? Очень просто. Нужно взять крепкую нить нужной длины и обвязать один из ее концов напротив карандаша. Теперь осталось лишь найти помощника, который бы прижал к потолку в нужной точке второй конец нити. Конечно, в этом случае возможны незначительные погрешности, но вряд ли они вообще будут заметны постороннему человеку.

Тему многоугольников проходят в школьной программе, но не уделяют ей достаточного внимания. А между тем она интересна, и особенно это касается правильного шестиугольника или гексагона - ведь эту форму имеют многие природные объекты. К ним относятся пчелиные соты и многое другое. Эта форма очень хорошо применяется на практике.

Определение и построение

Правильным шестиугольником называется плоскостная фигура, имеющая шесть равных по длине сторон и столько же равных углов.

Если вспомнить формулу суммы углов многоугольника

то получается, что в этой фигуре она равна 720°. Ну а поскольку все углы фигуры равны, нетрудно посчитать, что каждый из них равен 120°.

Начертить шестиугольник очень просто, для этого достаточно циркуля и линейки.

Пошаговая инструкция будет выглядеть так:

При желании можно обойтись и без линии, начертив пять равных по радиусу окружностей.

Полученная таким образом фигура будет правильным шестиугольником, и это можно доказать ниже.

Свойства простые и интересные

Чтобы понять свойства правильного шестиугольника, его имеет смысл разбить на шесть треугольников:

Это поможет в дальнейшем нагляднее отобразить его свойства, главные из которых:

1. диаметр описанной окружности;
2. диаметр вписанной окружности;
3. площадь;
4. периметр.

Описанная окружность и возможность построения

Вокруг гексагона можно описать окружность, и притом только одну. Поскольку фигура эта правильная, то можно поступить довольно просто: от двух соседних углов провести внутрь биссектрисы. Они пересекутся в точке О, и образуют вместе со стороной между ними треугольник.

Углы между стороной гексагона и биссектрисами будут по 60°, поэтому можно определенно сказать, что треугольник, к примеру, АОВ - равнобедренный. А поскольку третий угол тоже будет равен 60°, то он еще и равносторонний. Отсюда следует, что отрезки ОА и ОВ равны, значит, могут служить радиусом окружности.

После этого можно перейти к следующей стороне, и из угла при точке С тоже вывести биссектрису. Получится очередной равносторонний треугольник, причем сторона АВ будет общей сразу для двух, а ОС - очередным радиусом, через который идет та же окружность. Всего таких треугольников получится шесть, и у них будет общая вершина в точке О. Получается, что описать окружность будет можно, и она всего одна, а ее радиус равен стороне гексагона:

Именно поэтому и возможно построение этой фигуры с помощью циркуля и линейки.

Ну а площадь этой окружности будет стандартная:

Вписанная окружность

Центр описанной окружности совпадет с центром вписанной. Чтобы в этом убедиться, можно провести из точки О перпендикуляры к сторонам шестиугольника. Они будут являться высотами тех треугольников, из которых составлен гексагон. А в равнобедренном треугольнике высота является медианой по отношению к стороне, на которую она опирается. Таким образом, эта высота не что иное, как серединный перпендикуляр, являющийся радиусом вписанной окружности.

Высота равностороннего треугольника вычисляется просто:

h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2

А поскольку R=a и r=h, то получается, что

r=R(√3)/2 .

Таким образом, вписанная окружность проходит через центры сторон правильного шестиугольника.

Ее площадь будет составлять:

S=3πa²/4 ,

то есть три четверти от описанной.

Периметр и площадь

С периметром все ясно, это сумма длин сторон:

P=6а , или P=6R

А вот площадь будет равна сумме всех шести треугольников, на которые можно разбить гексагон. Поскольку площадь треугольника вычисляется как половина произведения основания на высоту, то:

S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2 или

S=3R²(√3)/2

Желающим вычислять эту площадь через радиус вписанной окружности можно сделать и так:

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Занимательные построения

В гексагон можно вписать треугольник, стороны которого будут соединять вершины через одну:

Всего их получится два, и их наложение друг на друга даст звезду Давида. Каждый из этих треугольников - равносторонний. В этом нетрудно убедиться. Если посмотреть на сторону АС, то она принадлежит сразу двум треугольникам - ВАС и АЕС. Если в первом из них АВ=ВС, а угол между ними 120°, то каждый из оставшихся будет 30°. Отсюда можно сделать закономерные выводы:

1. Высота АВС из вершины В будет равна половине стороны шестиугольника, поскольку sin30°=1/2. Желающим убедиться в этом можно посоветовать пересчитать по теореме Пифагора, она здесь подходит как нельзя лучше.
2. Сторона АС будет равна двум радиусам вписанной окружности, что опять-таки вычисляется по той же теореме. То есть АС=2(a(√3)/2)=а(√3).
3. Треугольники АВС, СДЕ и АЕF равны по двум сторонам и углу между ними, и отсюда вытекает равенство сторон АС, СЕ и ЕА.

Пересекаясь друг с другом, треугольники образуют новый гексагон, и он тоже правильный. Доказывается это просто:

Таким образом, фигура отвечает признакам правильного шестиугольника - у нее шесть равных сторон и углов. Из равенства треугольников при вершинах легко вывести длину стороны нового гексагона:

d=а(√3)/3

Она же будет радиусом описанной вокруг него окружности. Радиус вписанной будет вдвое меньше стороны большого шестиугольника, что было доказано при рассмотрении треугольника АВС. Его высота составляет как раз половину стороны, следовательно, вторая половина - это радиус вписанной в маленький гексагон окружности:

r₂=а/2

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2

Получается, что площадь гексагона внутри звезды Давида в три раза меньше, чем у большого, в который вписана звезда.

От теории к практике

Свойства шестиугольника очень активно используются как в природе, так и в различных областях деятельности человека. В первую очередь это касается болтов и гаек - шляпки первых и вторые представляют собой ничто иное, как правильный шестигранник, если не брать в расчет фаски. Размер гаечных ключей соответствует диаметру вписанной окружности - то есть расстоянию между противоположными гранями.

Нашла свое применение и гексагональная плитка. Она распространена куда меньше четырехугольной, но класть ее удобнее: в одной точке смыкаются три плитки, а не четыре. Композиции могут получаться очень интересные:

Выпускается и бетонная плитка для мощения.

Распространенность гексагона в природе объясняется просто. Таким образом, проще всего плотно уместить круги и шары на плоскости, если у них одинаковый диаметр. Из-за этого у пчелиных сот такая форма.

Геометрические узоры весьма популярны в последнее время. В сегодняшнем уроке мы научимся создавать один из таких узоров. Используя переход, оформление и модные цвета мы создадим паттерн, который вы сможете использовать в веб и полиграфическом дизайне.

Результат

Шаг 2
Нарисуйте еще один шестиугольник, на этот раз меньше — выберите радиус в 20pt .

2. Переход между шестиугольниками

Шаг 1
Выделите оба шестиугольника и выровняйте их по центру (вертикально и горизонтально). Используя инструмент Blend/Переход (W) , выделите оба шестиугольника и укажите им переход в 6 шагов (Steps) . Чтобы было лучше видно, измените перед переходом цвет фигур.

3. Делим на секции

Шаг 1
Инструментом Line Segment/Отрезок линии (\) нарисуйте линию, пересекающую шестиугольники по центру от самого левого угла к самому правому. Нарисуйте еще две линии, пересекающие шестиугольники по центру от противоположных углов.

4. Закрашиваем секции

Шаг 1
Перед тем как начать закрашивать секции, давайте определимся с палитрой. Вот какова палитра из примера:

• Синий: C 65 M 23 Y 35 K 0
• Бежевый: C 13 M 13 Y 30 K 0
• Персиковый: C 0 M 32 Y 54 K 0
• Светло-розовый: C 0 M 64 Y 42 K 0
• Темно-розовый: C 30 M 79 Y 36 K 4

В примере сразу использовался режим CMYK, чтобы можно было распечатать узор без изменений.

5. Последние штрихи и узор

Шаг 1
Сгруппируйте (Control-G) все секции и шестиугольники, после того как закончите с их окраской. Копируйте (Control-C) и Вставьте (Control-V) группу из шестиугольников. Назовем оригинальную группу Hexagon A, а ее копию Hexagon B . Выровняйте группы.

Шаг 2
Примените Linear Gradient/Линейный градиент к группе Hexagon B. В палитре Gradient/Градиент укажите заливку от фиолетового (C60 M86 Y45 K42 ) к кремовому цвету (C0 M13 Y57 K0 ).

Научимся изображать шестигранную призму в различных положениях.

Изучите различные способы построения правильного шестиугольника, сделайте рисунки шестиугольников, проверьте правильность их построения. На основе шестиугольников постройте шестигранные призмы.

Рассмотрите шестигранную призму на рис. 3.52 и ее ортогональные проекции на рис. 3.53. В основании шестигранной призмы (шестигранника) лежат правильные шестиугольники, боковые грани — одинаковые прямоугольники. Для того, чтобы правильно изобразить шестигранник в перспективе, необходимо сначала научиться грамотно изображать в перспективе его основание (рис. 3.54). В шестиугольнике на рис. 3.55 вершины обозначены цифрами от одного до шести. Если соединить точки 1 и 3, 4 и 6 вертикальными прямыми, можно заметить, что эти прямые вместе с точкой центра окружности делят диаметр 5 — 2 на четыре равных отрезка (эти отрезки обозначены дугами). Противоположные стороны шестиугольника параллельны друг другу и прямой, проходящей через его центр и соединяющей две вершины (например, стороны 6 — 1 и 4 — 3 параллельны прямой 5 — 2). Эти наблюдения помогут вам построить шестиугольник в перспективе, а также проверить правильность этого построения. Построить правильный шестиугольник по представлению можно двумя способами: на основе описанной окружности и на основе квадрата.

На основе описанной окружности. Рассмотрите рис. 3.56. Все вершины правильного шестиугольника принадлежат описанной окружности, радиус которой равен стороне шестиугольника.

Горизонтальный шестиугольник. Изобразите горизонтальный эллипс произвольного раскрытия, т. е. описанную окружность в перспективе. Теперь необходимо найти на ней шесть точек, являющихся вершинами шестиугольника. Проведите любой диаметр данной окружности через ее центр (рис. 3.57). Крайние точки диаметра — 5 и 2, лежащие на эллипсе, являются вершинами шестиугольника. Для нахождения остальных вершин необходимо разделить этот диаметр на четыре одинаковых отрезка. Диаметр уже разделен точкой центра окружности на два радиуса, остается разделить каждый радиус пополам. На перспективном рисунке все четыре отрезка равномерно сокращаются при удалении от зрителя (рис. 3.58). Теперь проведите через середины радиусов — точки А и В — прямые, перпендикулярные прямой 5 — 2. Найти их направление можно при помощи касательных к эллипсу в точках 5 и 2 (рис. 3.59). Эти касательные будут перпендикулярны диаметру 5 — 2, а прямые, проведенные через точки А и В параллельно этим касательным, будут также перпендикулярны прямой 5 — 2. Обозначьте точки, полученные на пересечении этих прямых с эллипсом, как 1, 3, 4, 6 (рис. 3.60). Соедините все шесть вершин прямыми линиями (рис. 3.61).

Проверьте правильность вашего построения разными способами. Если построение верно, то линии, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, пересекаются в центре окружности (рис. 3.62), а противоположные стороны шестиугольника параллельны соответствующим диаметрам (рис. 3.63). Еще один способ проверки показан на рис. 3.64.

Вертикальный шестиугольник. В таком шестиугольнике прямые, соединяющие точки 7 и 3, б и 4, а также касательные к описанной окружности в точках 5 и 2, имеют вертикальное направление и сохраняют его на перспективном рисунке. Таким образом, проведя две вертикальные касательные к эллипсу, найдем точки 5 и 2 (точки касания). Соедините их прямой линией, а затем разделите полученный диаметр 5 — 2 на 4 равных отрезка, учитывая их перспективные сокращения (рис. 3.65). Проведите вертикальные прямые через точки А и Б, а на их пересечении с эллипсом найдите точки 1,3,6л4. Затем последовательно соедините точки 1 — 6 прямыми (рис. 3.66). Правильность построения шестиугольника проверьте аналогично предыдущему примеру.

Описанный способ построения шестиугольника позволяет получить эту фигуру на основе окружности, изобразить которую в перспективе проще, чем квадрат заданных пропорций. Поэтому данный способ построения шестиугольника представляется наиболее точным и универсальным. Способ построения на основе квадрата позволяет легко изобразить шестигранник в том случае, когда на рисунке уже есть куб, иными словами, когда пропорции квадрата и направление его сторон определены.

На основе квадрата. Рассмотрите рис. 3.67. Вписанный в квадрат шестиугольник по горизонтальному направлению 5 — 2 равен стороне квадрата, а по вертикали — меньше ее длины.

Вертикальный шестиугольник. Нарисуйте вертикальный квадрат в перспективе. Проведите через пересечение диагоналей прямую, параллельную его горизонтальным сторонам. Разделите полученный отрезок 5 — 2 на четыре равные части и проведите через точки А и В вертикальные прямые (рис. 3.68). Линии, ограничивающие шестиугольник сверху и снизу, не совпадают со сторонами квадрата. Изобразите их на некотором расстоянии (1114 а) от горизонтальных сторон квадрата и параллельно им. Соединив найденные таким образом точки 1 и 3 с точкой 2, а точки 6 и 4 — с точкой 5, получим шестиугольник (рис. 3.69).

Горизонтальный шестиугольник строится в той же последовательности (рис. 3.70 и 3.71).

Этот способ построения уместен только для шестиугольников с достаточным раскрытием. В случае, если раскрытие шестиугольника незначительно, лучше воспользоваться способом на основе описанной окружности. Для проверки шестиугольника, построенного через квадрат, можно использовать уже известные вам методы.

Кроме того существует еще один — описать вокруг полученного шестиугольника окружность (на вашем рисунке — эллипс). Все вершины шестиугольника должны принадлежать этому эллипсу.

Овладев навыками изображения шестиугольника, вы свободно перейдете к изображению шестигранной призмы. Внимательно рассмотрите схему на рис. 3.72, а также схемы построения шестигранных призм на основе описанной окружности (рис. 3.73; 3.74 и 3.75) и на основе квадрата (рис. 3.76; 3.77 и 3.78). Изобразите вертикальные и горизонтальные шестигранники различными способами. На рисунке вертикального шестигранника длинные стороны боковых граней будут параллельными друг другу вертикальными прямыми, а шестиугольник основания будет тем больше раскрыт, чем дальше он находится от линии горизонта. На рисунке горизонтального шестигранника длинные стороны боковых граней будут сходиться в точке схода на горизонте, а раскрытие шестиугольника основания будет тем больше, чем дальше от зрителя он находится. Изображая шестигранник, следите также за тем, чтобы параллельные грани обоих оснований сходились в перспективе (рис. 3.79; 3.80).

Содержимое:

Обычный шестиугольник, также называемый идеальным шестиугольником, имеет шесть равных сторон и шесть равных углов. Вы можете нарисовать шестиугольник при помощи рулетки и транспортира, грубый шестиугольник – при помощи круглого предмета и линейки или еще более грубый шестиугольник - при помощи только карандаша и немного интуиции. Если вы хотите знать, как нарисовать шестиугольник различными способами – просто читайте далее.

Шаги

1 Рисуем идеальный шестиугольник при помощи циркуля

1. 1 При помощи циркуля рисуем круг. Вставьте карандаш в циркуль. Расширьте циркуль на желаемую ширину радиуса вашего круга. Радиус может быть от пары до десятка сантиметров шириной. Далее поставьте циркуль с карандашом на бумагу и нарисуйте круг.
   • Иногда легче сначала нарисовать пол круга, а затем вторую половину.
2. 2 Передвиньте иглу циркуля к краю круга. Поставьте его на вершину круга. Не меняйте угол и расположение циркуля.
3. 3 Сделайте небольшую отметку карандашом на краю круга. Сделайте ее отчетливой, но не слишком темной, так как позже вы ее сотрете. Не забудьте сохранять угол, который вы установили для циркуля.
4. 4 Передвиньте иглу циркуля на ту отметку, которую вы только что сделали. Поставьте иглу прямо на отметку.
5. 5 Сделайте еще одну отметку карандашом на краю круга. Таким образом, вы сделаете вторую отметку на определенной дистанции от первой отметки. Продолжайте двигаться в одном направлении.
6. 6 Тем же способом сделайте еще четыре отметки. Вы должны вернуться назад на первоначальную отметку. Если нет, тогда, скорее всего, угол, под которым вы держали циркуль и делали отметки, изменился. Возможно, это случилось из-за того, что вы сжали его слишком сильно или наоборот, немного ослабили.
7. 7 Соедините отметки при помощи линейки. Шесть мест, где ваши отметки пересекаются с краем круга, - это шесть вершин шестиугольника. При помощи линейки и карандаша нарисуйте прямые линии, соединяя соседние отметки.
8. 8 Сотрите и круг, и отметки на краях круга, и другие метки, которые вы сделали. После того, как вы стерли все свои вспомогательные линии, ваш идеальный шестиугольник должен быть готов.

2 Рисуем грубый шестиугольник при помощи круглого предмета и линейки

1. 1 Обведите ободок стакана карандашом. Таким образом, вы нарисуете круг. Очень важно рисовать именно карандашом, так как позже вам нужно будет стереть все вспомогательные линии. Вы также можете обвести перевернутый стакан, банку или что-то еще, что имеет круглую основу.
2. 2 Нарисуйте горизонтальные линии через центр вашего круга. Можете воспользоваться линейкой, книгой - чем угодно с прямым краем. Если у вас все же есть линейка, вы можете отметить середину, рассчитав вертикальную длину круга и разделив его пополам.
3. 3 Нарисуйте "Х" над половиной круга, разделяя его на шесть равных секций. Так как вы уже провели линию через середину круга, Х должен быть больше в ширину, чем в высоту, чтобы части были равны. Представьте, что вы делите пиццу на шесть частей.
4. 4 Сделайте из каждой секции треугольники. Чтобы это сделать, при помощи линейки нарисуйте прямую линию под изогнутой частью каждой секции, соединяя ее с другими двумя линиями, образовывая треугольник. Сделайте это с оставшимися пятью секциями. Думайте об этом, как об изготовлении корочки вокруг ваших кусков пиццы.
5. 5 Сотрите все вспомогательные линии. К вспомогательным линиям относятся ваш круг, три линии, которые разделили ваш круг на секции и другие отметки, которые вы делали в процессе.

3 Рисуем грубый шестиугольник при помощи одного карандаша

1. 1 Нарисуйте горизонтальную линию. Чтобы нарисовать прямую линию без линейки, просто нарисуйте начальную и конечную точку вашей горизонтальной линии. Затем поместите карандаш в начальную точку и протягивайте линию к концу. Длина этой линии может быть всего пара сантиметров.
2. 2 Нарисуйте две диагональные линии с концов горизонтальной. Диагональная линия с левой стороны должна быть направлена наружу так же, как и диагональная линия справа. Вы можете представить, что эти линии формируют угол в 120 градусов по отношению к горизонтальной линии.
3. 3 Нарисуйте еще две горизонтальные линии, исходящие из первых горизонтальных прямых, нарисованных вовнутрь. Таким образом, будет создано зеркальное отображение первых двух диагональных линий. Нижняя левая линия должна быть отражением верхней левой линии, а нижняя правая - отражением верхней правой линии. В то время как верхние горизонтальные линии должны смотреть наружу, нижние должны смотреть вовнутрь основания.
4. 4 Нарисуйте еще одну горизонтальную линию, соединяя нижние две диагональные линии. Таким образом, вы нарисуете основу для своего шестиугольника. В идеале эта линия должна быть параллельной к верхней горизонтальной линии. Вот вы и завершили свой шестиугольник.

• Карандаш и циркуль должны быть острыми, чтобы минимизировать ошибки от слишком широких отметок.
• Если при использовании метода с циркулем вы соединили каждую отметку вместо всех шести, то получите равносторонний треугольник.

Предупреждения

• Циркуль - довольно острый предмет, будьте с ним очень аккуратны.

Принцип работы

• Каждый метод поможет нарисовать шестиугольник, образованный шестью равносторонними треугольниками с радиусом, равным длине всех сторон. Шесть нарисованных радиусов одинаковой длины и все линии для создания шестиугольника тоже одной длины, так как ширина циркуля не менялась. Благодаря тому, что шесть треугольников равносторонние, углы между их вершинами равны 60 градусов.

Что вам понадобится

• Бумага
• Карандаш
• Линейка
• Пара циркулей
• Что-то, что можно подложить под бумагу, чтобы игла циркуля не соскальзывала.
• Ластик