O'lchamning standart og'ishi. Standart og'ish foiz

Tajriba natijasida olingan qiymatlar muqarrar ravishda turli sabablarga ko'ra xatolarni o'z ichiga oladi. Ular orasida tizimli va tasodifiy xatolarni ajratib ko'rsatish kerak. Tizimli xatolar juda o'ziga xos tarzda harakat qiladigan sabablarga bog'liq bo'lib, ularni har doim bartaraf etish yoki etarli aniqlik bilan hisobga olish mumkin. Tasodifiy xatolar juda ko'p sonli individual sabablar tufayli yuzaga keladi, ularni aniq hisoblab bo'lmaydi va har bir alohida o'lchovda boshqacha harakat qiladi. Bu xatolarni butunlay chiqarib bo'lmaydi; ular faqat o'rtacha hisobga olinishi mumkin, buning uchun tasodifiy xatolar bo'ysunadigan qonunlarni bilish kerak.

Biz o'lchangan qiymatni A bilan, o'lchovdagi tasodifiy xatoni x bilan belgilaymiz. X xatosi har qanday qiymatni qabul qilishi mumkinligi sababli, u uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, u o'zining taqsimot qonuni bilan to'liq tavsiflanadi.

Eng oddiy va eng to'g'ri aks ettiruvchi voqelik (ko'p hollarda) bu shunday deyiladi xatolarning normal taqsimlanishi:

Ushbu taqsimot qonunini turli xil nazariy asoslardan, xususan, to'g'ridan-to'g'ri o'lchash yo'li bilan bir xil aniqlik darajasiga ega bo'lgan bir qator qiymatlar olinadigan noma'lum miqdorning eng ehtimoliy qiymatini olish talabidan olinishi mumkin. o'rta arifmetik bu qadriyatlar. 2 qiymati chaqiriladi dispersiya bu oddiy qonun.

O'rta arifmetik

Tajriba ma'lumotlariga ko'ra dispersiyani aniqlash. Agar har qanday A miqdori uchun a i qiymatlari bir xil aniqlik bilan to'g'ridan-to'g'ri o'lchash yo'li bilan olingan bo'lsa va agar A miqdoridagi xatolar normal taqsimot qonuniga bo'ysunsa, u holda A ning eng ehtimolli qiymati bo'ladi. o'rta arifmetik:

a - o'rtacha arifmetik,

a i - i-bosqichda o'lchangan qiymat.

Kuzatilgan qiymatning (har bir kuzatish uchun) A qiymatining a i dan chetlanishi arifmetik o'rtacha: a i - a.

Bu holda xatolarning normal taqsimlanishining tarqalishini aniqlash uchun quyidagi formuladan foydalaning:

2 - dispersiya,
a - o'rtacha arifmetik,
n - parametr o'lchovlari soni,

standart og'ish

standart og'ish dan o'lchangan qiymatlarning mutlaq og'ishini ko'rsatadi arifmetik o'rtacha. Chiziqli birikmaning aniqligi o'lchovi uchun formulaga muvofiq ildiz o'rtacha kvadrat xatosi arifmetik o'rtacha quyidagi formula bilan aniqlanadi:

, qayerda

a - o'rtacha arifmetik,
n - parametr o'lchovlari soni,
a i - i-bosqichda o'lchangan qiymat.

O'zgaruvchanlik koeffitsienti

O'zgaruvchanlik koeffitsienti o'lchangan qiymatlarning nisbiy og'ish darajasini tavsiflaydi arifmetik o'rtacha:

, qayerda

V - o'zgaruvchanlik koeffitsienti,
- standart og'ish,
a - o'rtacha arifmetik.

Qiymat qanchalik katta o'zgaruvchanlik koeffitsienti, tarqoqlik nisbatan kattaroq va o'rganilayotgan qiymatlarning bir xilligi kamroq bo'ladi. Agar a o'zgaruvchanlik koeffitsienti 10% dan kam bo'lsa, variatsiya qatorining o'zgaruvchanligi ahamiyatsiz deb hisoblanadi, 10% dan 20% gacha o'rtacha, 20% dan ortiq va 33% dan kam bo'lsa - muhim va agar o'zgaruvchanlik koeffitsienti 33% dan oshadi, bu ma'lumotlarning heterojenligini va eng katta va eng kichik qiymatlarni chiqarib tashlash zarurligini ko'rsatadi.

O'rtacha chiziqli og'ish

O'zgaruvchanlik diapazoni va intensivligi ko'rsatkichlaridan biri hisoblanadi o'rtacha chiziqli og'ish(o'rtacha og'ish moduli) o'rtacha arifmetik qiymatdan. O'rtacha chiziqli og'ish formula bo'yicha hisoblanadi:

, qayerda

_
a - o'rtacha chiziqli og'ish,
a - o'rtacha arifmetik,
n - parametr o'lchovlari soni,
a i - i-bosqichda o'lchangan qiymat.

O'rganilayotgan qiymatlarning normal taqsimot qonuniga muvofiqligini tekshirish uchun munosabat ishlatiladi assimetriya indeksi uning xatosi va munosabatiga kurtoz ko'rsatkichi uning xatosiga.

Asimmetriya indeksi

Asimmetriya indeksi(A) va uning xatosi (m a) quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:

, qayerda

A - assimetriya ko'rsatkichi,
- standart og'ish,
a - o'rtacha arifmetik,
n - parametr o'lchovlari soni,
a i - i-bosqichda o'lchangan qiymat.

Kurtoz ko'rsatkichi

Kurtoz ko'rsatkichi(E) va uning xatosi (m e) quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:

, qayerda

Variatsion qatorning tebranishini baholashning taxminiy usuli chegara va amplitudani aniqlashdir, ammo seriya ichidagi variantning qiymatlari hisobga olinmaydi. Miqdoriy belgining o'zgarishlar oralig'ida o'zgarishining umumiy qabul qilingan asosiy o'lchovi standart og'ish (s - sigma). Standart og'ish qanchalik katta bo'lsa, tebranish darajasi shunchalik katta bo'ladi bu seriya yuqorida.

Standart og'ishlarni hisoblash usuli quyidagi bosqichlarni o'z ichiga oladi:

1. O‘rtacha arifmetikni (M) toping.

2. Alohida variantlarning o‘rtacha arifmetik qiymatdan chetlanishlarini aniqlang (d=V-M). Tibbiy statistikada o'rtacha qiymatdan chetlanishlar d (deviate) sifatida belgilanadi. Barcha og'ishlarning yig'indisi nolga teng.

3. Har bir og'ishning kvadrati d 2 .

4. Kvadrat og'ishlarni mos keladigan chastotalar bilan ko'paytiring d 2 *p.

5. å(d 2 *p) ko‘paytmalar yig‘indisini toping.

6. Standart chetlanishni formula bo‘yicha hisoblang:

n 30 dan katta bo'lsa yoki n 30 dan kichik yoki teng bo'lsa, bu erda n barcha variantlar soni.

Standart og'ishning qiymati:

1. Standart og'ish variantning o'rtacha qiymatga nisbatan tarqalishini (ya'ni, variatsiya qatorining tebranishini) tavsiflaydi. Sigma qanchalik katta bo'lsa, ushbu seriyaning xilma-xillik darajasi shunchalik yuqori bo'ladi.

2. Standart og'ish o'rtacha arifmetik qiymatning u hisoblangan variatsion qatorga muvofiqlik darajasini qiyosiy baholash uchun ishlatiladi.

Ommaviy hodisalarning o'zgarishi normal taqsimot qonuniga bo'ysunadi. Ushbu taqsimotni ifodalovchi egri chiziq qo'ng'iroq shaklidagi silliq simmetrik egri (Gauss egri) shakliga ega. Oddiy taqsimot qonuniga bo'ysunadigan hodisalarda ehtimollik nazariyasiga ko'ra, o'rtacha arifmetik qiymat va standart og'ish o'rtasida qat'iy matematik bog'liqlik mavjud. Variantning bir jinsli variatsion qatordagi nazariy taqsimoti uch sigma qoidasiga bo‘ysunadi.

Agar abscissa o'qi bo'yicha to'rtburchaklar koordinatalar tizimida miqdoriy belgining qiymatlari (variantlari) chizilgan bo'lsa, ordinatalar o'qida - variatsiya qatorida variantning paydo bo'lish chastotasi, u holda kattaroq va kichikroq qiymatlarga ega variantlar. arifmetik o'rtachaning yon tomonlarida teng ravishda joylashgan.

Belgining normal taqsimlanishi bilan quyidagilar aniqlandi:

Variant qiymatlarining 68,3% M±1s ichida

Variant qiymatlarining 95,5% M±2s ichida

Variant qiymatlarining 99,7% M±3s ichida

3. Standart og'ish klinik va biologik ko'rsatkichlar uchun normal qiymatlarni o'rnatish imkonini beradi. Tibbiyotda M ± 1s oralig'i odatda o'rganilayotgan hodisa uchun normal diapazondan tashqarida olinadi. Hisoblangan qiymatning o'rtacha arifmetik qiymatdan 1 s dan ortiq og'ishi o'rganilayotgan parametrning normadan chetga chiqishini ko'rsatadi.

4. Tibbiyotda uch sigma qoidasi pediatriyada darajani individual baholash uchun qo'llaniladi jismoniy rivojlanish bolalar (sigma og'ish usuli), bolalar kiyimlari uchun standartlarni ishlab chiqish uchun

5. Standart og'ish o'rganilayotgan belgining xilma-xillik darajasini tavsiflash va o'rtacha arifmetik xatoni hisoblash uchun zarur.

Standart og'ishning qiymati odatda bir xil turdagi seriyalarning tebranishlarini solishtirish uchun ishlatiladi. Agar har xil xususiyatlarga ega bo'lgan ikkita qator taqqoslansa (bo'yi va vazni, kasalxonada qolishning o'rtacha davomiyligi va kasalxonada o'lim darajasi va boshqalar), sigma o'lchamlarini to'g'ridan-to'g'ri taqqoslash mumkin emas. , chunki standart og'ish - nomidagi qiymat, ifodalangan mutlaq raqamlar. Bunday hollarda murojaat qiling o'zgaruvchanlik koeffitsienti (Cv), bu nisbiy qiymat: standart og'ishning arifmetik o'rtachaga nisbatan foizi.

O'zgaruvchanlik koeffitsienti quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

O'zgaruvchanlik koeffitsienti qanchalik yuqori bo'lsa , bu seriyaning o'zgaruvchanligi qanchalik katta. 30% dan ortiq o'zgaruvchanlik koeffitsienti aholining sifat jihatidan heterojenligini ko'rsatadi, deb ishoniladi.

Oddiy geometrik o'rtachani hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalaniladi:

geometrik vaznli

Geometrik o'rtacha qiymatni aniqlash uchun quyidagi formuladan foydalaniladi:

G'ildiraklarning, quvurlarning o'rtacha diametrlari, kvadratlarning o'rtacha tomonlari o'rtacha kvadrat yordamida aniqlanadi.

RMS qiymatlari ba'zi ko'rsatkichlarni hisoblash uchun ishlatiladi, masalan, chiqish ritmini tavsiflovchi o'zgarish koeffitsienti. Bu erda ma'lum bir davr uchun rejalashtirilgan mahsulotdan standart og'ish quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Ushbu qiymatlar iqtisodiy ko'rsatkichlarning o'rtacha qiymatiga nisbatan o'zgarishini aniq tavsiflaydi.

Kvadrat oddiy

Oddiy kvadratning o'rtacha qiymati quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Kvadrat vaznli

O'rtacha og'irlikdagi ildiz kvadrati:

22. O‘zgaruvchanlikning mutlaq o‘lchovlariga quyidagilar kiradi:

o'zgaruvchanlik diapazoni

o'rtacha chiziqli og'ish

dispersiya

standart og'ish

Variatsiya diapazoni (r)

O'zgaruvchanlik atributning maksimal va minimal qiymatlari orasidagi farq

U o'rganilayotgan populyatsiyada atribut qiymatining o'zgarishi chegaralarini ko'rsatadi.

Besh nafar talabgorning oldingi ish joyidagi ish tajribasi: 2,3,4,7 va 9 yil. Yechish: o'zgaruvchanlik diapazoni = 9 - 2 = 7 yil.

Atribut qiymatlaridagi farqlarning umumlashtirilgan tavsifi uchun o'rtacha o'zgaruvchanlik ko'rsatkichlari o'rtacha arifmetikdan og'ishlar uchun ruxsatnoma asosida hisoblanadi. Farqi o'rtachadan og'ish sifatida qabul qilinadi.

Shu bilan birga, belgi variantlarining o'rtacha qiymatdan og'ishlari yig'indisini (o'rtachaning nol xususiyati) nolga aylantirmaslik uchun og'ish belgilariga e'tibor bermaslik kerak, ya'ni ushbu yig'indi modulini olish kerak. , yoki og'ish qiymatlarini kvadratga aylantiring

O'rtacha chiziqli va kvadrat og'ish

O'rtacha chiziqli og'ish atributning individual qiymatlarining o'rtacha qiymatdan mutlaq og'ishlarining arifmetik o'rtachasi.

O'rtacha chiziqli og'ish oddiy:

Besh nafar talabgorning oldingi ish joyidagi ish tajribasi: 2,3,4,7 va 9 yil.

Bizning misolimizda: yillar;

Javob: 2,4 yil.

O'rtacha chiziqli og'ish vaznli guruhlangan ma'lumotlarga nisbatan qo'llaniladi:

O'rtacha chiziqli og'ish, o'zining odatiyligi tufayli, amalda nisbatan kamdan-kam qo'llaniladi (xususan, etkazib berishning bir xilligi nuqtai nazaridan shartnoma majburiyatlarining bajarilishini tavsiflash uchun; ishlab chiqarishning texnologik xususiyatlarini hisobga olgan holda mahsulot sifatini tahlil qilishda). ).

Standart og'ish

Variatsiyaning eng mukammal xarakteristikasi standart og'ish bo'lib, u standart (yoki standart og'ish) deb ataladi. Standart og'ish() atributning individual qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatdan chetlanishining o'rtacha kvadratining kvadrat ildiziga teng:

Standart og'ish oddiy:

Og'irlangan standart og'ish guruhlangan ma'lumotlar uchun qo'llaniladi:

Oddiy taqsimlanish sharoitida o'rtacha kvadrat va o'rtacha chiziqli og'ishlar o'rtasida quyidagi bog'liqlik sodir bo'ladi: ~ 1,25.

Standart og'ish o'zgaruvchanlikning asosiy mutlaq o'lchovi bo'lib, normal taqsimot egri chizig'i ordinatalari qiymatlarini aniqlashda, namunaviy kuzatishni tashkil etish va namunaviy xarakteristikalar to'g'riligini aniqlash bilan bog'liq hisob-kitoblarda qo'llaniladi. bir jinsli populyatsiyadagi belgi o'zgaruvchanlik chegaralarini baholash.

Ushbu maqolada men bu haqda gaplashaman standart og'ish qanday topiladi. Ushbu material matematikani to'liq tushunish uchun juda muhimdir, shuning uchun matematika o'qituvchisi uni o'rganishga alohida yoki hatto bir nechta darsni bag'ishlashi kerak. Ushbu maqolada siz standart og'ish nima ekanligini va uni qanday topishni tushuntiradigan batafsil va tushunarli video darsiga havolani topasiz.

standart og'ish ma'lum bir parametrni o'lchash natijasida olingan qiymatlarning tarqalishini baholashga imkon beradi. U belgi bilan belgilanadi (yunoncha "sigma" harfi).

Hisoblash formulasi juda oddiy. Standart chetlanishni topish uchun dispersiyaning kvadrat ildizini olish kerak. Xo'sh, endi siz so'rashingiz kerak: "Variatsiya nima?"

Dispersiya nima

Dispersiyaning ta'rifi quyidagicha. Dispersiya - qiymatlarning o'rtacha qiymatdan kvadratik og'ishlarining o'rtacha arifmetik qiymati.

Farqni topish uchun quyidagi hisob-kitoblarni ketma-ket bajaring:

• O'rtachani aniqlang (qiymatlar qatorining oddiy arifmetik o'rtachasi).
• Keyin har bir qiymatdan o'rtachani ayirib, hosil bo'lgan farqni kvadratga aylantiring (biz farq kvadrat).
• Keyingi qadam, olingan farqlar kvadratlarining o'rtacha arifmetik qiymatini hisoblashdir (siz nima uchun aniq kvadratchalar ekanligini bilib olishingiz mumkin).

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Aytaylik, siz va do'stlaringiz itlaringizning balandligini (millimetrda) o'lchashga qaror qildingiz. O'lchovlar natijasida siz quyidagi balandlik o'lchovlarini oldingiz: 600 mm, 470 mm, 170 mm, 430 mm va 300 mm.

Keling, o'rtacha, dispersiya va standart og'ishni hisoblaylik.

Avval o'rtachani topamiz. Ma'lumki, buning uchun siz barcha o'lchangan qiymatlarni qo'shishingiz va o'lchovlar soniga bo'lishingiz kerak. Hisoblash jarayoni:

O'rtacha mm.

Shunday qilib, o'rtacha (o'rtacha arifmetik) 394 mm.

Endi biz aniqlashimiz kerak itlarning har birining balandligining o'rtacha qiymatdan og'ishi:

Nihoyat, dispersiyani hisoblash uchun, olingan farqlarning har biri kvadratga aylanadi va keyin olingan natijalarning o'rtacha arifmetik qiymatini topamiz:

Dispersiya mm 2 .

Shunday qilib, dispersiya 21704 mm 2 ni tashkil qiladi.

Standart og'ish qanday topiladi

Xo'sh, endi dispersiyani bilib, standart og'ishni qanday hisoblash mumkin? Biz eslaganimizdek, uning kvadrat ildizini oling. Ya'ni, standart og'ish:

mm (mm dagi eng yaqin butun songa yaxlitlangan).

Ushbu usuldan foydalanib, biz ba'zi itlar (masalan, Rottweilers) juda zo'r ekanligini aniqladik katta itlar. Ammo juda kichik itlar ham bor (masalan, dachshundlar, lekin ularga buni aytmaslik kerak).

Eng qizig'i shundaki, standart og'ish ko'tariladi foydali ma'lumotlar. Endi biz o'sishni o'lchash natijalaridan qaysi biri o'rtacha (uning har ikki tomonida) standart og'ishni ajratib qo'ysak, biz oladigan intervalda ekanligini ko'rsatishimiz mumkin.

Ya'ni, standart og'ishdan foydalanib, biz qiymatlarning qaysi biri normal (statistik o'rtacha) va qaysi biri juda katta yoki aksincha, kichik ekanligini aniqlashga imkon beradigan "standart" usulni olamiz.

Standart og'ish nima

Ammo... tahlil qilsak, vaziyat biroz boshqacha bo'ladi namuna olish ma'lumotlar. Bizning misolimizda biz ko'rib chiqdik umumiy aholi. Ya'ni, bizning 5 itimiz bizni qiziqtirgan dunyodagi yagona itlar edi.

Ammo agar ma'lumotlar namuna bo'lsa (katta populyatsiyadan tanlangan qiymatlar), unda hisob-kitoblarni boshqacha qilish kerak.

Agar qiymatlar mavjud bo'lsa, unda:

Boshqa barcha hisob-kitoblar xuddi shu tarzda amalga oshiriladi, shu jumladan o'rtacha qiymatni aniqlash.

Misol uchun, agar bizning beshta itimiz itlar populyatsiyasining namunasi bo'lsa (sayyoradagi barcha itlar), biz quyidagilarga bo'lishimiz kerak. 5 o'rniga 4 aynan:

Namuna dispersiyasi = mm 2.

Qayerda standart og'ish namunaga teng mm (eng yaqin butun songa yaxlitlangan).

Bizning qadriyatlarimiz kichik namuna bo'lsa, biz ba'zi "tuzatishlar" qildik, deb aytishimiz mumkin.

Eslatma. Nega aynan farqlarning kvadratlari?

Lekin nega biz dispersiyani hisoblashda farqlarning kvadratlarini olamiz? Qani, ba'zi parametrlarni o'lchashda siz quyidagi qiymatlar to'plamini oldingiz: 4; to'rtta; - to'rtta; -to'rt. Agar biz bir-birimiz orasidagi o'rtacha (farq) dan mutlaq og'ishlarni qo'shsak ... salbiy qiymatlar ijobiy bilan bir-biringizni bekor qiling:

.

Ma'lum bo'lishicha, bu variant foydasiz. Ehtimol, og'ishlarning mutlaq qiymatlarini (ya'ni, ushbu qiymatlarning modullari) sinab ko'rishga arziydimi?

Bir qarashda, bu yomon emas (natijadagi qiymat, aytmoqchi, o'rtacha mutlaq og'ish deb ataladi), lekin hamma hollarda emas. Keling, boshqa misolni ko'rib chiqaylik. O'lchov natijasida quyidagi qiymatlar to'plami paydo bo'lsin: 7; bitta; -6; -2. Keyin o'rtacha mutlaq og'ish:

Qoyil! Biz yana 4 natijaga erishdik, garchi farqlar ancha kengroq tarqaldi.

Keling, agar farqlarni kvadratga aylantirsak (va keyin ularning yig'indisining kvadrat ildizini olsak) nima bo'lishini ko'rib chiqamiz.

Birinchi misol uchun siz quyidagilarni olasiz:

.

Ikkinchi misol uchun siz quyidagilarni olasiz:

Endi bu butunlay boshqa masala! Ildiz-o'rtacha kvadrat og'ish qanchalik katta bo'lsa, farqlar shunchalik ko'p tarqaldi ... biz bunga intilayotgan edik.

Aslida, bu usul nuqtalar orasidagi masofani hisoblashda bir xil fikrdan foydalanadi, faqat boshqa usulda qo'llaniladi.

Va matematik nuqtai nazardan, kvadratlardan foydalanish va kvadrat ildizlar beradi ko'proq foyda, biz og'ishlarning mutlaq qiymatlariga asoslanib olishimiz mumkin edi, buning natijasida standart og'ish boshqa matematik muammolar uchun qo'llaniladi.

Sergey Valerievich sizga standart og'ishni qanday topishni aytdi

Variatsiyaning eng mukammal xarakteristikasi standart og'ish bo'lib, u standart (yoki standart og'ish) deb ataladi. Standart og'ish() individual xususiyat qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatdan chetlanishining o'rtacha kvadratining kvadrat ildiziga teng:

Standart og'ish oddiy:

Og'irlangan standart og'ish guruhlangan ma'lumotlar uchun qo'llaniladi:

Oddiy taqsimlanish sharoitida o'rtacha kvadrat va o'rtacha chiziqli og'ishlar o'rtasida quyidagi bog'liqlik sodir bo'ladi: ~ 1,25.

Standart og'ish o'zgaruvchanlikning asosiy mutlaq o'lchovi bo'lib, normal taqsimot egri chizig'i ordinatalari qiymatlarini aniqlashda, namunaviy kuzatishni tashkil etish va namunaviy xarakteristikalar to'g'riligini aniqlash bilan bog'liq hisob-kitoblarda qo'llaniladi. bir jinsli populyatsiyadagi belgi o'zgaruvchanlik chegaralarini baholash.

Dispersiya, uning turlari, standart og'ish.

Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi- berilgan tasodifiy miqdorning tarqalishining o'lchovi, ya'ni uning matematik kutilganidan chetga chiqishi. Statistikada ko'pincha belgilash yoki ishlatiladi. Dispersiyaning kvadrat ildizi standart og'ish, standart og'ish yoki standart tarqalish deb ataladi.

Jami farq (s2) bu o'zgarishga sabab bo'lgan barcha omillar ta'sirida butun populyatsiyadagi xususiyatning o'zgarishini o'lchaydi. Shu bilan birga, guruhlash usuli tufayli guruhlash xususiyatidan kelib chiqadigan o'zgaruvchanlikni va hisobga olinmagan omillar ta'sirida yuzaga keladigan o'zgarishlarni ajratish va o'lchash mumkin.

Guruhlararo tafovut (s 2 m.gr) tizimli oʻzgaruvchanlikni, yaʼni oʻrganilayotgan belgining kattaligidagi belgi taʼsirida vujudga keladigan farqlarni xarakterlaydi - guruhlash asosida yotgan omil.

standart og'ish(sinonimlar: standart og'ish, standart og'ish, standart og'ish; shunga o'xshash atamalar: standart og'ish, standart tarqalish) - ehtimollik nazariyasi va statistikada tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining uning matematik kutilishiga nisbatan tarqalishining eng keng tarqalgan ko'rsatkichi. Qiymatlar namunalarining cheklangan massivlarida matematik kutish o'rniga namunalar to'plamining o'rtacha arifmetik qiymati qo'llaniladi.

Standart og'ish tasodifiy o'zgaruvchining birliklarida o'lchanadi va o'rtacha arifmetik xatoni hisoblashda, ishonch oraliqlari, gipotezalarni statistik tekshirishda, orasidagi chiziqli munosabatni o'lchashda tasodifiy o'zgaruvchilar. U tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasining kvadrat ildizi sifatida aniqlanadi.

Standart og'ish:

Standart og'ish(tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishini baholash x uning dispersiyasini xolis baholashga asoslangan matematik kutishga nisbatan):

dispersiya qayerda; — i-namuna elementi; - namuna hajmi; - namunaning o'rtacha arifmetik qiymati:

Shuni ta'kidlash kerakki, ikkala taxmin ham noxolis. Umumiy holda, xolis smeta tuzish mumkin emas. Shu bilan birga, xolis dispersiyani baholashga asoslangan baholash mos keladi.

Mohiyati, ko'lami va rejimi va medianani aniqlash tartibi.

Statistikada o'rtacha kuch qonuniga qo'shimcha ravishda o'zgaruvchan atribut kattaligining nisbiy xarakteristikasi va ichki tuzilishi tarqatish qatorlari asosan ifodalanadigan tizimli o'rtacha qiymatlardan foydalanadi rejim va median.

Moda- Bu seriyaning eng keng tarqalgan variantidir. Moda, masalan, xaridorlar orasida eng katta talabga ega bo'lgan kiyim-kechak, poyabzal hajmini aniqlashda qo'llaniladi. Diskret seriyalar uchun rejim eng yuqori chastotali variant hisoblanadi. Intervalli o'zgarishlar seriyasi uchun rejimni hisoblashda avval modal intervalni (maksimal chastota bo'yicha), so'ngra formula bo'yicha atributning modal qiymatining qiymatini aniqlash kerak:

- - moda qiymati

- - modal intervalning pastki chegarasi

- - interval qiymati

- - modal interval chastotasi

- - modaldan oldingi intervalning chastotasi

- - modaldan keyingi intervalning chastotasi

Median - bu tartiblangan qatorning asosini tashkil etuvchi xususiyatning qiymati va bu qatorni son jihatidan teng ikki qismga ajratadi.

Medianni aniqlash uchun diskret qator chastotalar mavjud bo'lganda, avval chastotalarning yarim yig'indisi hisoblab chiqiladi, so'ngra variantning qaysi qiymati unga to'g'ri kelishi aniqlanadi. (Agar tartiblangan qatorda toq sonli xususiyatlar bo'lsa, median raqam quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

M e \u003d (n (agregatdagi xususiyatlar soni) + 1) / 2,

juft sonli xususiyatlar bo'lsa, mediana qatorning o'rtasida joylashgan ikkita xususiyatning o'rtacha qiymatiga teng bo'ladi).

Hisoblashda medianlar intervalli o'zgarishlar qatori uchun avval mediana joylashgan median oralig'ini, so'ngra formula bo'yicha mediananing qiymatini aniqlang:

- kerakli median

- medianani o'z ichiga olgan intervalning pastki chegarasi

- - interval qiymati

- - chastotalar yig'indisi yoki qator a'zolari soni

Medianadan oldingi intervallarning to'plangan chastotalari yig'indisi

- median intervalning chastotasi

Misol. Rejim va medianani toping.

Yechim:
Ushbu misolda modal interval 25-30 yosh guruhiga kiradi, chunki bu interval eng yuqori chastotani (1054) tashkil qiladi.

Keling, rejim qiymatini hisoblaylik:

Bu shuni anglatadiki, talabalarning modal yoshi 27 yosh.

Medianani hisoblang. Median oraliqda yosh guruhi 25-30 yil, chunki bu oraliqda aholini ikkita teng qismga ajratuvchi variant mavjud (Sf i /2 = 3462/2 = 1731). Keyinchalik, formulaga kerakli raqamli ma'lumotlarni almashtiramiz va median qiymatini olamiz:

Bu shuni anglatadiki, talabalarning yarmi 27,4 yoshdan kichik, qolgan yarmi esa 27,4 yoshdan oshgan.

Rejim va medianaga qo'shimcha ravishda, tartiblangan seriyalarni 4 ta teng qismga bo'linadigan kvartillar kabi ko'rsatkichlardan foydalanish mumkin, desillar- 10 qism va foizlar - 100 qismga.

Tanlab kuzatish tushunchasi va uning qamrovi.

Tanlangan kuzatish uzluksiz kuzatishni qo'llashda qo'llaniladi jismonan mumkin emas katta hajmdagi ma'lumotlar tufayli yoki iqtisodiy jihatdan amaliy emas. Jismoniy imkonsizlik, masalan, yo'lovchilar oqimini, bozor narxlarini, oilaviy byudjetlarni o'rganishda yuzaga keladi. Iqtisodiy nomaqbullik tovarlarning sifatini baholashda, masalan, ularni yo'q qilish bilan bog'liq holda yuzaga keladi, masalan, tatib ko'rish, g'ishtni mustahkamligini tekshirish va hokazo.

Kuzatish uchun tanlangan statistik birliklar namuna yoki tanlamani va ularning butun massivini - umumiy populyatsiyani (GS) tashkil qiladi. Bunday holda, namunadagi birliklar sonini bildiradi n, va butun HSda - N. Munosabat n/n namunaning nisbiy kattaligi yoki nisbati deyiladi.

Namuna olish natijalarining sifati namunaning reprezentativligiga, ya'ni uning HSda qanchalik vakili ekanligiga bog'liq. Namuna reprezentativligini ta'minlash uchun kuzatish kerak birliklarni tasodifiy tanlash printsipi, bu HS birligining namunaga kiritilishiga tasodifdan boshqa hech qanday omil ta'sir qilishi mumkin emasligini taxmin qiladi.

Mavjud Tasodifiy tanlashning 4 usuli namuna olish uchun:

1. Aslida tasodifiy statistik ma'lumotlar tayinlanganda tanlov yoki "lotto usuli" tartib raqamlari, keyin ma'lum bir idishda (masalan, sumkada) aralashtiriladi va tasodifiy tanlangan ba'zi ob'ektlar (masalan, keglar) ustiga olib kelingan. Amalda, bu usul generator yordamida amalga oshiriladi tasodifiy raqamlar yoki tasodifiy sonlarning matematik jadvallari.
2. Mexanik tanlash, unga ko'ra har bir ( Yo'q)-umumiy aholining qiymati. Misol uchun, agar u 100 000 qiymatdan iborat bo'lsa va siz 1000 ni tanlamoqchi bo'lsangiz, unda har 100 000 / 1000 = 100-qiymat namunaga tushadi. Bundan tashqari, agar ular tartiblanmagan bo'lsa, birinchi yuztadan birinchisi tasodifiy tanlanadi, qolganlarining soni esa yana yuzta bo'ladi. Misol uchun, agar birlik raqami 19 birinchi bo'lsa, keyin 119 raqami, keyin 219 raqami, keyin 319 raqami va boshqalar bo'lishi kerak. Agar aholi birliklari tartiblangan bo'lsa, birinchi navbatda #50, keyin #150, keyin #250 va hokazo.
3. Geterogen ma'lumotlar massividan qiymatlarni tanlash amalga oshiriladi tabaqalashtirilgan(tabaqalashtirilgan) usul, umumiy aholi oldindan tasodifiy yoki mexanik tanlash qo'llaniladigan bir hil guruhlarga bo'linganda.
4. Maxsus namuna olish usuli serial tanlash, bunda alohida miqdorlar tasodifiy yoki mexanik ravishda emas, balki ularning ketma-ketligi (ba'zi bir sondan ba'zi bir qatorga ketma-ketliklar), bunda uzluksiz kuzatish amalga oshiriladi.

Namuna kuzatuvlarining sifati ham bog'liq namuna olish turi: takrorlanadi yoki takrorlanmaydigan.

Da qayta tanlash namunaga kirgan statistik qiymatlar yoki ularning seriyalari yangi namunaga kirish imkoniyatiga ega bo‘lgandan so‘ng umumiy populyatsiyaga qaytariladi. Shu bilan birga, umumiy populyatsiyaning barcha qiymatlari namunaga qo'shilish ehtimoli bir xil.

Takrorlanmaydigan tanlov Bu shuni anglatadiki, namunaga kiritilgan statistik qiymatlar yoki ularning seriyalari ishlatilgandan keyin umumiy populyatsiyaga qaytarilmaydi va shuning uchun keyingi namunaga kirish ehtimoli ikkinchisining qolgan qiymatlari uchun ortadi.

Takrorlanmaydigan namuna olish aniqroq natijalar beradi, shuning uchun u tez-tez ishlatiladi. Ammo uni qo'llash mumkin bo'lmagan holatlar mavjud (yo'lovchilar oqimini o'rganish, iste'molchi talabi va boshqalar) va keyin qayta tanlov o'tkaziladi.

Kuzatish namunasining chegaraviy xatosi, namunaning o'rtacha xatosi, ularni hisoblash tartibi.

Keling, namunaviy populyatsiyani shakllantirishning yuqoridagi usullarini va bu holatda yuzaga keladigan xatolarni batafsil ko'rib chiqaylik. vakillik .
Aslida - tasodifiy tanlama umumiy populyatsiyadan birliklarni izchillik elementlarisiz tasodifiy tanlashga asoslangan. Texnik jihatdan to'g'ri tasodifiy tanlov qur'a tashlash (masalan, lotereyalar) yoki tasodifiy raqamlar jadvali orqali amalga oshiriladi.

To'g'ri tasodifiy tanlash sof shakl» tanlab kuzatish amaliyotida kamdan-kam qo'llaniladi, lekin u boshqa tanlov turlari orasida boshlang'ich bo'lib, tanlab kuzatishning asosiy tamoyillarini amalga oshiradi. Keling, namuna olish usuli nazariyasining ba'zi savollarini va oddiy tasodifiy tanlama uchun xato formulasini ko'rib chiqaylik.

Namuna olish xatosi- bu parametrning umumiy populyatsiyadagi qiymati va uning namunaviy kuzatish natijalari bo'yicha hisoblangan qiymati o'rtasidagi farq. O'rtacha miqdoriy xarakteristikalar uchun tanlab olish xatosi bilan aniqlanadi

Ko'rsatkich marjinal tanlama xatosi deb ataladi.
Namuna o'rtacha tasodifiy o'zgaruvchidir, uni qabul qilishi mumkin turli ma'nolar namunaga qaysi birliklar kiritilganligiga qarab. Shuning uchun tanlab olish xatolari ham tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lib, turli qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Shuning uchun, mumkin bo'lgan xatolarning o'rtacha qiymatini aniqlang - o'rtacha tanlab olish xatosi, bu quyidagilarga bog'liq:

Namuna hajmi: raqam qanchalik katta bo'lsa, o'rtacha xatolik shunchalik kichik bo'ladi;

O'rganilayotgan belgining o'zgarish darajasi: belgining o'zgarishi qanchalik kichik bo'lsa va, demak, dispersiya, o'rtacha tanlab olish xatosi shunchalik kichik bo'ladi.

Da tasodifiy qayta tanlash O'rtacha xato hisoblanadi:
.
Amalda, umumiy dispersiya aniq ma'lum emas, lekin ichida ehtimollik nazariyasi buni isbotladi
.
Etarli darajada katta n qiymati 1 ga yaqin bo'lgani uchun, biz buni taxmin qilishimiz mumkin. Keyin o'rtacha tanlama xatosini hisoblash mumkin:
.
Ammo kichik namunali hollarda (n uchun<30) коэффициент необходимо учитывать, и среднюю ошибку малой выборки рассчитывать по формуле
.

Da tasodifiy tanlab olish berilgan formulalar qiymati bilan tuzatiladi. Namuna olmaslikning o'rtacha xatosi:
va .
Chunki har doim dan kichik bo'lsa, u holda koeffitsient () har doim 1 dan kichik bo'ladi. Demak, takrorlanmaydigan tanlovdagi o'rtacha xato har doim takroriy tanlovga qaraganda kamroq bo'ladi.
Mexanik namuna olish umumiy aholini qandaydir tartibda (masalan, alifbo tartibida saylovchilar roʻyxati, telefon raqamlari, uy raqamlari, kvartiralar) tartiblanganda qoʻllaniladi. Birliklarni tanlash ma'lum bir oraliqda amalga oshiriladi, bu namunaning foizining o'zaro nisbatiga teng. Shunday qilib, 2% namuna bilan har 50 birlik = 1 / 0,02 tanlanadi, 5%, umumiy populyatsiyaning har bir 1 / 0,05 = 20 birligi.

Kelib chiqishi turli yo'llar bilan tanlanadi: tasodifiy, intervalning o'rtasidan, kelib chiqishi o'zgarishi bilan. Asosiysi, tizimli xatolikka yo'l qo'ymaslik. Misol uchun, 5% namuna bilan, agar birinchi birlik sifatida 13-chi tanlangan bo'lsa, keyingi 33, 53, 73 va boshqalar.

Aniqlik nuqtai nazaridan, mexanik tanlash to'g'ri tasodifiy namuna olishga yaqin. Shuning uchun mexanik namuna olishning o'rtacha xatosini aniqlash uchun to'g'ri tasodifiy tanlash formulalari qo'llaniladi.

Da tipik tanlov so'ralgan aholi oldindan bir hil, bir turdagi guruhlarga bo'linadi. Masalan, korxonalarni o'rganishda bular sanoat, kichik tarmoqlar, aholini o'rganishda - hududlar, ijtimoiy yoki yosh guruhlari bo'lishi mumkin. Keyin har bir guruhdan mexanik yoki to'g'ri tasodifiy tarzda mustaqil tanlov amalga oshiriladi.

Odatda namuna olish boshqa usullarga qaraganda aniqroq natijalar beradi. Umumiy populyatsiyani tiplashtirish har bir tipologik guruhni tanlamada aks ettirishni ta'minlaydi, bu esa guruhlararo dispersiyaning o'rtacha tanlama xatosiga ta'sirini istisno qilishga imkon beradi. Shuning uchun, dispersiyalarni qo'shish () qoidasiga ko'ra tipik tanlamaning xatosini topishda faqat guruh dispersiyalarining o'rtacha qiymatini hisobga olish kerak. Keyin o'rtacha tanlab olish xatosi:
qayta tanlashda
,
takrorlanmaydigan tanlov bilan
,
qayerda tanlamadagi guruh ichidagi dispersiyalarning o'rtacha qiymati.

Seriyali (yoki ichki) tanlash tanlama so‘rov boshlanishidan oldin aholi qator yoki guruhlarga bo‘linganda qo‘llaniladi. Ushbu seriyalar tayyor mahsulotlarning paketlari, talabalar guruhlari, jamoalar bo'lishi mumkin. Tekshiruv uchun seriyalar mexanik yoki tasodifiy ravishda tanlanadi va seriya ichida birliklarning to'liq tekshiruvi o'tkaziladi. Shuning uchun tanlamaning o'rtacha xatosi faqat quyidagi formula bo'yicha hisoblangan guruhlararo (seriyalararo) dispersiyaga bog'liq:

bu erda r - tanlangan seriyalar soni;
- i-seriyaning o'rtacha ko'rsatkichi.

O'rtacha ketma-ket namuna olish xatosi hisoblanadi:

qayta tanlanganda:
,
takrorlanmaydigan tanlov bilan:
,
bu erda R - qatorlarning umumiy soni.

Birlashtirilgan tanlash tanlashning ko'rib chiqilgan usullarining birikmasidir.

Har qanday tanlash usuli uchun o'rtacha tanlab olish xatosi, asosan, namunaning mutlaq hajmiga va kamroq darajada, namunaning foiziga bog'liq. Faraz qilaylik, birinchi holatda 4500 birlik aholidan 225 ta kuzatuv, ikkinchi holatda esa 225 000 birlikdan 225 ta kuzatuv o'tkazildi. Ikkala holatda ham dispersiya 25 ga teng. Keyin, birinchi holatda, 5% tanlash bilan, tanlab olish xatosi quyidagicha bo'ladi:

Ikkinchi holda, 0,1% tanlov bilan u quyidagilarga teng bo'ladi:

Shunday qilib, namuna ulushining 50 baravar kamayishi bilan namuna xatosi biroz oshdi, chunki namuna hajmi o'zgarmadi.
Namuna hajmi 625 ta kuzatuvga oshirilgan deb faraz qiling. Bunday holda, namuna olish xatosi:

Umumiy populyatsiyaning bir xil o'lchami bilan namunaning 2,8 martaga ko'payishi tanlab olish xatosi hajmini 1,6 baravardan ko'proq qisqartiradi.

Namuna populyatsiyasini shakllantirish usullari va vositalari.

Statistikada namunaviy to'plamlarni shakllantirishning turli usullari qo'llaniladi, ular tadqiqot maqsadlari bilan belgilanadi va o'rganish ob'ektining o'ziga xos xususiyatlariga bog'liq.

Tanlama so‘rov o‘tkazishning asosiy sharti umumiy aholining har bir birligining tanlamaga kirishi uchun teng imkoniyatlar tamoyilining buzilishidan kelib chiqadigan tizimli xatolar yuzaga kelishining oldini olishdan iborat. Tizimli xatolarning oldini olish populyatsiya namunasini shakllantirishning ilmiy asoslangan usullarini qo'llash natijasida erishiladi.

Umumiy populyatsiyadan birliklarni tanlashning quyidagi usullari mavjud:

1) individual tanlov - namunada alohida birliklar tanlanadi;

2) guruh tanlash - sifat jihatidan bir hil guruhlar yoki o'rganilayotgan birliklar qatori tanlamaga kiradi;

3) qo'shma tanlov - individual va guruh tanlovining kombinatsiyasi.
Tanlash usullari tanlama populyatsiyasini shakllantirish qoidalari bilan belgilanadi.

Namuna bo'lishi mumkin:

• to'g'ri tasodifiy tanlama umumiy populyatsiyadan alohida birliklarni tasodifiy (bexosdan) tanlash natijasida hosil bo'lishidan iborat. Bunday holda, namuna to'plamida tanlangan birliklar soni odatda namunaning qabul qilingan nisbati asosida aniqlanadi. Tanlov ulushi - bu namunadagi n birliklar sonining umumiy populyatsiyadagi N birliklar soniga nisbati, ya'ni.

• mexanik tanlamadagi birliklarni tanlash teng intervallarga (guruhlarga) bo'lingan umumiy to'plamdan amalga oshirilishidan iborat. Bunday holda, umumiy populyatsiyadagi intervalning o'lchami namunaning nisbati o'zaro tengdir. Shunday qilib, 2% namuna bilan har 50-birlik tanlanadi (1:0,02), 5% namuna bilan, har 20-birlik (1:0,05) va hokazo. Shunday qilib, tanlanishning qabul qilingan nisbatiga muvofiq, umumiy populyatsiya, xuddi shunday, mexanik ravishda teng guruhlarga bo'linadi. Namunadagi har bir guruhdan faqat bitta birlik tanlanadi.
• tipik - unda umumiy aholi birinchi navbatda bir hil tipik guruhlarga bo'linadi. Keyin, har bir tipik guruhdan, tasodifiy yoki mexanik namuna orqali namunadagi birliklarning individual tanlovi amalga oshiriladi. Oddiy namunaning muhim xususiyati shundaki, u namunadagi birliklarni tanlashning boshqa usullariga nisbatan aniqroq natijalar beradi;
• serial- bunda umumiy aholi bir xil kattalikdagi guruhlarga bo'linadi - qator. Namuna to'plamida seriyalar tanlanadi. Seriya doirasida qatorga kirgan birliklarni uzluksiz kuzatish amalga oshiriladi;
• birlashtirilgan- namuna olish ikki bosqichli bo'lishi mumkin. Bunda umumiy aholi birinchi navbatda guruhlarga bo'linadi. Keyin guruhlar tanlanadi, ikkinchisida esa alohida birliklar tanlanadi.

Statistikada namunadagi birliklarni tanlashning quyidagi usullari ajratiladi::

• yagona bosqich namuna - har bir tanlangan birlik darhol ma'lum asosda o'rganiladi (aslida tasodifiy va ketma-ket namunalar);
• ko'p bosqichli tanlab olish - tanlash alohida guruhlarning umumiy populyatsiyasidan amalga oshiriladi va guruhlardan alohida birliklar tanlanadi (tanlama populyatsiyasida birliklarni tanlashning mexanik usuli bilan tipik namuna).

Bundan tashqari, quyidagilar mavjud:

• qayta tanlash- qaytarilgan to'pning sxemasiga ko'ra. Bunday holda, namunaga tushgan har bir birlik yoki seriya umumiy populyatsiyaga qaytariladi va shuning uchun yana namunaga qo'shilish imkoniyati mavjud;
• takrorlanmaydigan tanlov- qaytarilmagan to'pning sxemasiga ko'ra. U bir xil namuna o'lchami uchun aniqroq natijalarga ega.

Kerakli namuna hajmini aniqlash (Talabalar jadvali yordamida).

Namuna olish nazariyasining ilmiy tamoyillaridan biri yetarli miqdordagi birliklarning tanlanishini ta'minlashdir. Nazariy jihatdan, ushbu printsipga rioya qilish zarurati ehtimollik nazariyasining chegaraviy teoremalarining dalillarida keltirilgan, bu sizga umumiy populyatsiyadan qancha birliklarni tanlash kerakligini aniqlashga imkon beradi, shunda u etarli bo'ladi va namunaning reprezentativligini ta'minlaydi.

Namuna standart xatosining pasayishi va natijada baholashning aniqligi har doim namuna hajmining oshishi bilan bog'liq, shuning uchun namunaviy kuzatishni tashkil etish bosqichida allaqachon qaror qabul qilish kerak. kuzatish natijalarining kerakli aniqligini ta'minlash uchun namuna hajmi qanday bo'lishi kerak. Kerakli tanlama hajmini hisoblash u yoki bu turdagi va tanlash usuliga mos keladigan marginal tanlama xatolari (A) formulalaridan olingan formulalar yordamida quriladi. Shunday qilib, tasodifiy takrorlangan namuna hajmi (n) uchun bizda:

Ushbu formulaning mohiyati shundan iboratki, kerakli sonni tasodifiy qayta tanlash bilan namuna hajmi ishonch koeffitsienti kvadratiga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir. (t2) va variatsiya xususiyatining dispersiyasi (?2) va marjinal tanlama xatosining kvadratiga teskari proportsionaldir (?2). Xususan, chegaraviy xatoni ikki baravar oshirish orqali kerakli tanlama hajmini to'rt marta qisqartirish mumkin. Uchta parametrdan ikkitasi (t va?) tadqiqotchi tomonidan belgilanadi.

Shu bilan birga tadqiqotchi Tanlangan so'rovni o'tkazish uchun savolni hal qilish kerak: optimal variantni ta'minlash uchun ushbu parametrlarni qaysi miqdoriy kombinatsiyaga kiritish yaxshiroq? Bir holatda, u aniqlik o'lchovidan (?) ko'ra, olingan natijalarning ishonchliligi (t) bilan ko'proq qoniqishi mumkin, ikkinchisida - aksincha. Marjinal tanlama xatosining qiymati bilan bog'liq masalani hal qilish qiyinroq, chunki tadqiqotchida namunaviy kuzatishni loyihalash bosqichida bu ko'rsatkich mavjud emas, shuning uchun amalda marjinal tanlama xatosini belgilash odatiy holdir, chunki qoida, belgining kutilgan o'rtacha darajasining 10% ichida. Taxmin qilingan o'rtacha darajani belgilashga turli yo'llar bilan yondashish mumkin: shunga o'xshash oldingi so'rovlar ma'lumotlaridan foydalanish yoki tanlama doirasidagi ma'lumotlardan foydalanish va kichik tajriba namunasini olish.

Namuna kuzatishni loyihalashda aniqlash qiyin bo'lgan narsa (5.2) formuladagi uchinchi parametr - tanlanma populyatsiyasining dispersiyasidir. Bunday holda, tergovchiga oldingi o'xshash va tajriba so'rovlaridan olingan barcha ma'lumotlardan foydalanish kerak.

Ta'rifga oid savol Agar tanlama so'rovi tanlama birliklarining bir nechta xususiyatlarini o'rganishni o'z ichiga olsa, kerakli tanlama hajmi murakkablashadi. Bunday holda, har bir xususiyatning o'rtacha darajalari va ularning o'zgarishi, qoida tariqasida, har xil bo'ladi va shuning uchun faqat maqsad va vazifalarni hisobga olgan holda qaysi xususiyatlarning qaysi tarqalishiga ustunlik berishni hal qilish mumkin. so'rovnoma.

Namuna kuzatishni loyihalashda ma'lum bir tadqiqotning maqsadlariga va kuzatish natijalari bo'yicha xulosalar ehtimoliga muvofiq tanlab olishning ruxsat etilgan xatosining oldindan belgilangan qiymati qabul qilinadi.

Umuman olganda, namunaviy o'rtacha qiymatning marjinal xatosi formulasi quyidagilarni aniqlashga imkon beradi:

Umumiy aholi ko'rsatkichlarining tanlanma populyatsiya ko'rsatkichlaridan mumkin bo'lgan og'ishlarining kattaligi;

Mumkin bo'lgan xato chegaralari ma'lum bir belgilangan qiymatdan oshmaydigan kerakli aniqlikni ta'minlaydigan talab qilinadigan namuna hajmi;

Namunadagi xatoning berilgan chegaraga ega bo'lish ehtimoli.

Talabalar taqsimoti ehtimollar nazariyasida bu mutlaqo uzluksiz taqsimotlarning bir parametrli oilasi.

Dinamika qatori (interval, moment), dinamika qatorining yopilishi.

Dinamiklar seriyasi- bu ma'lum bir xronologik ketma-ketlikda keltirilgan statistik ko'rsatkichlarning qiymatlari.

Har bir vaqt seriyasi ikkita komponentdan iborat:

1) vaqt ko'rsatkichlari (yillar, choraklar, oylar, kunlar yoki sanalar);

2) o'rganilayotgan ob'ektni vaqt oralig'ida yoki tegishli sanalarda tavsiflovchi ko'rsatkichlar, ular qator darajalari deb ataladi.

Seriya darajalari ifodalangan ham mutlaq, ham o'rtacha yoki nisbiy qiymatlar. Ko'rsatkichlarning tabiatiga qarab, mutlaq, nisbiy va o'rtacha qiymatlarning dinamik qatorlari tuziladi. Nisbiy va o'rtacha qiymatlarning dinamik qatorlari mutlaq qiymatlarning hosilaviy qatorlari asosida quriladi. Dinamikaning intervalli va momentli qatorlari mavjud.

Dinamik intervalli qator ma'lum vaqtlar uchun ko'rsatkichlar qiymatlarini o'z ichiga oladi. Intervalli ketma-ketlikda darajalarni umumlashtirish mumkin, bu hodisaning uzoqroq vaqt davomida hajmini yoki to'plangan jami deb ataladi.

Dinamik momentlar seriyasi vaqtning ma'lum bir nuqtasida (vaqt sanasi) ko'rsatkichlarning qiymatlarini aks ettiradi. Momentli ketma-ketlikda tadqiqotchini faqat hodisalarning farqi qiziqtirishi mumkin, bu qatorlar darajasining ma'lum sanalar orasidagi o'zgarishini aks ettiradi, chunki bu erda darajalar yig'indisi haqiqiy mazmunga ega emas. Bu erda jami jami hisoblanmaydi.

Dinamik qatorlarni to'g'ri qurishning eng muhim sharti turli davrlarga tegishli qatorlar darajalarini solishtirishdir. Darajalar bir hil miqdorda taqdim etilishi kerak, hodisaning turli qismlarini qamrab olishning bir xil to'liqligi bo'lishi kerak.

Uchun Haqiqiy dinamikani buzmaslik uchun statistik tadqiqotda (vaqt seriyasining yopilishi) dastlabki hisob-kitoblar vaqt seriyasining statistik tahlilidan oldin amalga oshiriladi. Vaqt seriyalarining yopilishi deganda darajalari turli metodologiya bo'yicha hisoblangan yoki hududiy chegaralarga to'g'ri kelmaydigan ikki yoki undan ortiq seriyalarning bir qatorga birlashishi tushuniladi. Dinamika qatorining yopilishi dinamika qatorining mutlaq darajalarini umumiy asosga qisqartirishni ham anglatishi mumkin, bu esa dinamika qatori darajalarining mos kelmasligini bartaraf etadi.

Vaqtinchalik qatorlarni, koeffitsientlarni, o'sish va o'sish sur'atlarini solishtirish tushunchasi.

Dinamiklar seriyasi- bu tabiiy va ijtimoiy hodisalarning o'z vaqtida rivojlanishini tavsiflovchi statistik ko'rsatkichlar qatori. Rossiya Davlat statistika qo'mitasi tomonidan nashr etilgan statistik to'plamlar jadval ko'rinishidagi ko'plab vaqtli qatorlarni o'z ichiga oladi. Bir qator dinamikalar o'rganilayotgan hodisalarning rivojlanish qonuniyatlarini aniqlashga imkon beradi.

Vaqt seriyalari ikki turdagi ko'rsatkichlarni o'z ichiga oladi. Vaqt ko'rsatkichlari(yillar, choraklar, oylar va boshqalar) yoki vaqt nuqtalari (yil boshida, har oyning boshida va hokazo). Qator darajasi ko'rsatkichlari. Vaqt seriyalari darajalarining ko'rsatkichlari mutlaq qiymatlarda (mahsulot ishlab chiqarish tonna yoki rublda), nisbiy qiymatlarda (shahar aholisining ulushi foizda) va o'rtacha qiymatlarda (sanoat xodimlarining o'rtacha ish haqi) ifodalanishi mumkin. yillar bo'yicha va boshqalar). Jadval ko'rinishida vaqt seriyasi ikkita ustun yoki ikkita qatorni o'z ichiga oladi.

Vaqt seriyasini to'g'ri qurish bir qator talablarni bajarishni o'z ichiga oladi:

1. bir qator dinamikaning barcha ko'rsatkichlari ilmiy asoslangan, ishonchli bo'lishi kerak;
2. bir qator dinamikaning ko'rsatkichlari vaqt bo'yicha taqqoslanadigan bo'lishi kerak, ya'ni. bir xil vaqt oralig'ida yoki bir xil sanalarda hisoblanishi kerak;
3. bir qator dinamikaning ko'rsatkichlari hudud bo'ylab taqqoslanadigan bo'lishi kerak;
4. bir qator dinamikaning ko'rsatkichlari mazmunan taqqoslanadigan bo'lishi kerak, ya'ni. yagona metodologiya bo'yicha, xuddi shu tarzda hisoblab chiqilgan;
5. bir qator dinamikaning ko'rsatkichlari ko'rib chiqilayotgan fermer xo'jaliklari bo'yicha taqqoslanadigan bo'lishi kerak. Bir qator dinamikaning barcha ko'rsatkichlari bir xil o'lchov birliklarida berilishi kerak.

Statistik ko'rsatkichlar maʼlum vaqt oraligʻida oʻrganilayotgan jarayonning natijalarini yoki oʻrganilayotgan hodisaning maʼlum bir vaqtdagi holatini tavsiflashi mumkin, yaʼni. ko'rsatkichlar intervalli (davriy) va oniy bo'lishi mumkin. Shunga ko'ra, dastlab dinamikalar qatori interval yoki moment bo'lishi mumkin. Dinamikaning moment qatori, o'z navbatida, teng va teng bo'lmagan vaqt oraliqlari bilan bo'lishi mumkin.

Dinamikaning boshlang'ich qatorini o'rtacha qiymatlar qatoriga va nisbiy qiymatlar qatoriga (zanjir va asos) aylantirish mumkin. Bunday vaqtli qatorlar olingan vaqt seriyalari deb ataladi.

Dinamika qatorida o'rtacha darajani hisoblash usuli dinamika qatorining turiga qarab farq qiladi. Misollardan foydalanib, vaqt seriyalarining turlarini va o'rtacha darajani hisoblash formulalarini ko'rib chiqing.

Mutlaq yutuqlar (dy) qatorning keyingi darajasi oldingiga nisbatan (3-ustun. - zanjirli mutlaq o'sishlar) yoki boshlang'ich darajaga (4-ustun. - asosiy mutlaq o'sishlar) nisbatan necha birlik o'zgarganligini ko'rsating. Hisoblash formulalarini quyidagicha yozish mumkin:

Seriyaning mutlaq qiymatlarining pasayishi bilan mos ravishda "kamayish", "kamayish" bo'ladi.

Mutlaq o'sish ko'rsatkichlari shuni ko'rsatadiki, masalan, 1998 yilda "A" mahsuloti ishlab chiqarish 1997 yilga nisbatan 4 ming tonnaga, 1994 yilga nisbatan 34 ming tonnaga oshgan; boshqa yillar uchun jadvalga qarang. 11,5 gr. 3 va 4.

O'sish omili oldingi darajaga (5-ustun - zanjirning o'sishi yoki pasayishi omillari) yoki boshlang'ich darajasiga (6-ustun - asosiy o'sish yoki pasayish omillari) nisbatan necha marta o'zgarganligini ko'rsatadi. Hisoblash formulalarini quyidagicha yozish mumkin:

O'sish sur'atlari qatorning keyingi darajasi oldingi darajaga (7-ustun - zanjir o'sish sur'atlari) yoki boshlang'ich darajaga (8-ustun - asosiy o'sish sur'atlari) nisbatan necha foiz qiyoslanganligini ko'rsating. Hisoblash formulalarini quyidagicha yozish mumkin:

Masalan, 1997 yilda "A" mahsulotini ishlab chiqarish hajmi 1996 yilga nisbatan 105,5% ni tashkil etdi (

O'sish sur'ati hisobot davri darajasi oldingisiga nisbatan (9-ustun - zanjir o'sish sur'atlari) yoki boshlang'ich darajaga (10-ustun - asosiy o'sish sur'atlari) nisbatan necha foizga oshganligini ko'rsating. Hisoblash formulalarini quyidagicha yozish mumkin:

T pr \u003d T p - 100% yoki T pr \u003d mutlaq o'sish / oldingi davr darajasi * 100%

Shunday qilib, masalan, 1996 yilda 1995 yilga nisbatan "A" mahsuloti 3,8% (103,8% - 100%) yoki (8:210) x 100% ga ko'proq ishlab chiqarilgan va 1994 yilga nisbatan 9% ga ( 109% - 100%).

Agar ketma-ketlikdagi mutlaq darajalar pasaysa, u holda stavka 100% dan kam bo'ladi va shunga mos ravishda pasayish tezligi (minus belgisi bilan o'sish sur'ati) bo'ladi.

Mutlaq qiymat 1% ga oshadi(11-ustun) oldingi davr darajasi 1% ga oshishi uchun ma'lum bir davrda qancha birlik ishlab chiqarilishi kerakligini ko'rsatadi. Bizning misolimizda, 1995 yilda 2,0 ming tonna, 1998 yilda esa 2,3 ming tonna ishlab chiqarish kerak edi, ya'ni. ancha katta.

1% o'sishning mutlaq qiymatini aniqlashning ikki yo'li mavjud:

Oldingi davr darajasini 100 ga bo'ling;

Mutlaq zanjir o'sish sur'atlarini mos keladigan zanjir o'sish sur'atlariga bo'ling.

1% o'sishning mutlaq qiymati =

Dinamikada, ayniqsa uzoq vaqt davomida, o'sish sur'atlarini har bir foiz o'sishi yoki kamayishi mazmuni bilan birgalikda tahlil qilish muhimdir.

Vaqt seriyalarini tahlil qilishning ko'rib chiqilgan metodologiyasi darajalari mutlaq qiymatlarda (t, ming rubl, xodimlar soni va boshqalar) ifodalangan vaqt seriyalari uchun ham, vaqt seriyalari uchun ham qo'llanilishini unutmang. nisbiy ko'rsatkichlarda (% hurda,% ko'mirning kul miqdori va boshqalar) yoki o'rtacha qiymatlarda (s/ga o'rtacha hosildorlik, o'rtacha ish haqi va boshqalar) ifodalanadi.

Har bir yil uchun oldingi yoki boshlang'ich darajaga nisbatan hisoblangan ko'rib chiqilayotgan analitik ko'rsatkichlar bilan bir qatorda, vaqt seriyasini tahlil qilishda davr uchun o'rtacha analitik ko'rsatkichlarni hisoblash kerak: qatorning o'rtacha darajasi, o'rtacha yillik mutlaq o'sish. (kamayishi) va o'rtacha yillik o'sish sur'ati va o'sish sur'ati.

Bir qator dinamikaning o'rtacha darajasini hisoblash usullari yuqorida muhokama qilindi. Biz ko'rib chiqayotgan dinamikaning intervalli qatorida qatorning o'rtacha darajasi oddiy arifmetik o'rtacha formula bilan hisoblanadi:

1994-1998 yillardagi mahsulotning o'rtacha yillik ishlab chiqarish hajmi. 218,4 ming tonnani tashkil etdi.

O'rtacha yillik mutlaq o'sish oddiy arifmetik o'rtacha formula bilan ham hisoblanadi:

Yillik mutlaq o'sish yillar davomida 4 dan 12 ming tonnagacha o'zgarib turdi (qarang. gr. 3), ishlab chiqarishning o'rtacha yillik o'sishi esa 1995 - 1998 yillar oralig'ida. 8,5 ming tonnani tashkil etdi.

O'rtacha o'sish sur'ati va o'rtacha o'sish sur'atlarini hisoblash usullari batafsilroq ko'rib chiqishni talab qiladi. Keling, ularni jadvalda keltirilgan ketma-ketlik darajasining yillik ko'rsatkichlari misolida ko'rib chiqaylik.

Dinamika diapazonining o'rta darajasi.

Dinamika seriyasi (yoki vaqt seriyasi)- bu ma'lum bir statistik ko'rsatkichning ketma-ket daqiqalar yoki vaqt oralig'idagi raqamli qiymatlari (ya'ni xronologik tartibda joylashtirilgan).

Bir qator dinamikani tashkil etuvchi ma'lum bir statistik ko'rsatkichning raqamli qiymatlari deyiladi raqam darajalari va odatda harf bilan belgilanadi y. Serialning birinchi ishtirokchisi y 1 boshlang'ich yoki deyiladi asosiy chiziq, va oxirgi y n - final. Darajalar tegishli bo'lgan lahzalar yoki vaqt davrlari bilan belgilanadi t.

Dinamik qatorlar, qoida tariqasida, jadval yoki grafik shaklida taqdim etiladi va vaqt shkalasi x o'qi bo'ylab qurilgan. t, va ordinata bo'ylab - qator darajalari shkalasi y.

Bir qator dinamikaning o'rtacha ko'rsatkichlari

Har bir dinamika seriyasini ma'lum bir to'plam sifatida ko'rish mumkin n o'rtacha ko'rsatkichlar sifatida umumlashtirilishi mumkin bo'lgan vaqt oralig'ida o'zgaruvchan ko'rsatkichlar. Bunday umumlashtirilgan (o'rtacha) ko'rsatkichlar, ayniqsa, turli davrlarda, turli mamlakatlarda va hokazolarda u yoki bu ko'rsatkichning o'zgarishini taqqoslashda zarurdir.

Bir qator dinamikaning umumlashtirilgan xarakteristikasi, birinchi navbatda, o'rtacha qator darajasi. O'rtacha darajani hisoblash usuli uning moment seriyasi yoki intervalli (davr) qator ekanligiga bog'liq.

Qachon interval qator, uning o'rtacha darajasi qator darajalarining oddiy arifmetik o'rtacha formulasi bilan aniqlanadi, ya'ni.

=
Agar mavjud bo'lsa moment o'z ichiga olgan qator n darajalari ( y1, y2, …, yn) sanalar (vaqt nuqtalari) orasidagi teng oraliqlar bilan, keyin bunday qatorni osongina o'rtacha qiymatlar qatoriga aylantirish mumkin. Shu bilan birga, har bir davr boshidagi ko'rsatkich (daraja) bir vaqtning o'zida oldingi davr oxiridagi ko'rsatkichdir. Keyin har bir davr uchun indikatorning o'rtacha qiymatini (sanalar orasidagi interval) qiymatlarning yarim yig'indisi sifatida hisoblash mumkin. da davr boshida va oxirida, ya'ni. Qanday . Bunday o'rtachalar soni bo'ladi. Yuqorida aytib o'tilganidek, o'rtacha qatorlar uchun o'rtacha daraja o'rtacha arifmetik qiymatdan hisoblanadi.

Shunday qilib, biz yozishimiz mumkin:
.
Numeratorni aylantirgandan so'ng, biz quyidagilarni olamiz:
,

qayerda Y1 va Yn- seriyaning birinchi va oxirgi darajalari; Yi- o'rta darajalar.

Bu o'rtacha statistikada ma'lum o'rtacha xronologik moment seriyasi uchun. U bu nomni "cronos" (vaqt, lat.) so'zidan oldi, chunki u vaqt o'tishi bilan o'zgarib turadigan ko'rsatkichlardan hisoblanadi.

Teng bo'lmagan taqdirda sanalar orasidagi intervallar, momentlar seriyasi uchun o'rtacha xronologik qiymat sanalar orasidagi masofalar (vaqt oraliqlari) bo'yicha tortilgan har bir juft moment uchun darajalarning o'rtacha arifmetik o'rtacha qiymati sifatida hisoblanishi mumkin, ya'ni.
.
Ushbu holatda sanalar orasidagi intervallarda darajalar turli qiymatlarni olgan deb taxmin qilinadi va biz ikkitadan ma'lum ( yi va yi+1) biz o'rtachalarni aniqlaymiz, shundan so'ng biz butun tahlil qilinadigan davr uchun umumiy o'rtachani hisoblaymiz.
Har bir qiymat deb faraz qilinsa yi keyingisiga qadar o'zgarishsiz qoladi (i+ 1)- th moment, ya'ni. darajalar o'zgarishining aniq sanasi ma'lum, keyin hisoblash o'rtacha arifmetik formuladan foydalangan holda amalga oshirilishi mumkin:
,

darajasi o'zgarishsiz qolgan vaqt qayerda.

Dinamika qatoridagi o'rtacha darajadan tashqari, boshqa o'rtacha ko'rsatkichlar ham hisoblanadi - qator darajalarining o'rtacha o'zgarishi (asosiy va zanjirli usullar), o'rtacha o'zgarish tezligi.

Baza mutlaq o'zgarishlarni anglatadi oxirgi asosiy absolyut oʻzgarishning oʻzgarishlar soniga boʻlingan qismidir. Ya'ni

Zanjir mutlaq o'zgarishni anglatadi qator darajalari - barcha zanjirli mutlaq o'zgarishlar yig'indisini o'zgarishlar soniga bo'lish koeffitsienti, ya'ni.

O'rtacha mutlaq o'zgarishlar belgisiga ko'ra, hodisaning o'zgarishi tabiati ham o'rtacha baholanadi: o'sish, pasayish yoki barqarorlik.

Asosiy va zanjirli mutlaq o'zgarishlarni nazorat qilish qoidasidan kelib chiqadiki, asosiy va zanjirli o'rtacha o'zgarishlar teng bo'lishi kerak.

O'rtacha mutlaq o'zgarish bilan bir qatorda o'rtacha nisbiy ham asosiy va zanjirli usullar yordamida hisoblanadi.

Asosiy o'rtacha nisbiy o'zgarish formula bilan aniqlanadi:

Zanjir nisbiy o'zgarishlarni bildiradi formula bilan aniqlanadi:

Tabiiyki, asosiy va zanjirli o'rtacha nisbiy o'zgarishlar bir xil bo'lishi kerak va ularni 1 mezon qiymati bilan taqqoslab, hodisaning o'rtacha o'zgarishi tabiati haqida xulosa chiqariladi: o'sish, pasayish yoki barqarorlik.
Baza yoki zanjirning o'rtacha nisbiy o'zgarishidan 1ni ayirib, mos keladi o'rtacha o'zgarish darajasi, uning belgisiga ko'ra, ushbu dinamika qatorida aks ettirilgan o'rganilayotgan hodisaning o'zgarishi tabiatini ham hukm qilish mumkin.

Mavsumiy tebranishlar va mavsumiylik indekslari.

Mavsumiy tebranishlar - bu barqaror yillik tebranishlar.

Maksimal samaraga erishish uchun boshqaruvning asosiy printsipi daromadni maksimallashtirish va xarajatlarni minimallashtirishdir. Mavsumiy tebranishlarni o'rganish orqali yilning har bir darajasidagi maksimal tenglama masalasi hal qilinadi.

Mavsumiy tebranishlarni o'rganishda o'zaro bog'liq ikkita vazifa hal qilinadi:

1. Yil ichidagi dinamikada hodisaning rivojlanish xususiyatlarini aniqlash;

2. Mavsumiy to'lqin modelini qurish bilan mavsumiy tebranishlarni o'lchash;

Mavsumiy kurkalar odatda mavsumiylikni o'lchash uchun hisoblanadi. Umuman olganda, ular bir qator dinamikaning dastlabki tenglamalarining taqqoslash uchun asos bo'lib xizmat qiladigan nazariy tenglamalarga nisbati bilan aniqlanadi.

Tasodifiy og'ishlar mavsumiy tebranishlar ustiga qo'yilganligi sababli, ularni bartaraf etish uchun mavsumiylik indekslari o'rtacha hisoblanadi.

Bunday holda, yillik tsiklning har bir davri uchun umumlashtirilgan ko'rsatkichlar o'rtacha mavsumiy indekslar shaklida aniqlanadi:

Mavsumiy tebranishlarning o'rtacha ko'rsatkichlari rivojlanishning asosiy tendentsiyasining tasodifiy og'ishlari ta'siridan xoli.

Trendning xususiyatiga qarab, o'rtacha mavsumiylik indeksi formulasi quyidagi shakllarni olishi mumkin:

1.Aniq asosiy rivojlanish tendentsiyasiga ega bo'lgan bir qator yillik dinamikalar uchun:

2. Yuqori yoki pasayish tendentsiyasi mavjud bo'lmagan yoki ahamiyatsiz bo'lgan yillik dinamikalar qatori uchun:

Umumiy o'rtacha ko'rsatkich qayerda;

Asosiy tendentsiyani tahlil qilish usullari.

Vaqt o'tishi bilan hodisalarning rivojlanishiga tabiati va ta'sir kuchi jihatidan har xil omillar ta'sir ko'rsatadi. Ulardan ba'zilari tasodifiy xarakterga ega, boshqalari deyarli doimiy ta'sirga ega va dinamikalar qatorida ma'lum bir rivojlanish tendentsiyasini tashkil qiladi.

Statistikaning muhim vazifasi turli xil tasodifiy omillar ta'siridan ozod bo'lgan dinamikalar qatoridagi tendentsiyani aniqlashdir. Shu maqsadda vaqt qatorlari intervallarni kattalashtirish, harakatlanuvchi o'rtacha va analitik tekislash va boshqalar usullari bilan qayta ishlanadi.

Intervalli qo'pollashtirish usuli bir qator dinamika darajalarini o'z ichiga olgan vaqt davrlarini kengaytirishga asoslanadi, ya'ni. kichik vaqt davrlari bilan bog'liq ma'lumotlarni kattaroq davrlardagi ma'lumotlar bilan almashtirishdir. Bu, ayniqsa, seriyaning dastlabki darajalari qisqa vaqtga to'g'ri kelganda samarali bo'ladi. Masalan, kundalik voqealar bilan bog'liq ko'rsatkichlar qatori haftalik, oylik va hokazolarga tegishli qatorlar bilan almashtiriladi. Bu aniqroq namoyon bo'ladi "Fenomenning rivojlanish o'qi". Kattalashtirilgan intervallar asosida hisoblangan o'rtacha, asosiy rivojlanish tendentsiyasining yo'nalishi va xarakterini (o'sish tezlashishi yoki sekinlashishi) aniqlash imkonini beradi.

harakatlanuvchi o'rtacha usuli oldingi darajaga o'xshash, ammo bu holda, haqiqiy darajalar ketma-ket harakatlanuvchi (siljish) kengaytirilgan intervallarni qoplash uchun hisoblangan o'rtacha darajalar bilan almashtiriladi. m qator darajalari.

Masalan qabul qilingan bo'lsa m=3, keyin, birinchi navbatda, ketma-ketlikning dastlabki uchta darajasining o'rtacha ko'rsatkichi hisoblanadi, so'ngra - bir xil darajadagi darajalardan, lekin ketma-ket ikkinchisidan boshlab, keyin - uchinchidan boshlab va hokazo. Shunday qilib, o'rtacha, xuddi bir davr uchun harakatlanadigan dinamikalar qatori bo'ylab "siljiydi". dan hisoblangan m harakatlanuvchi o'rtachalar a'zolari har bir intervalning o'rtasiga (markaziga) ishora qiladi.

Bu usul faqat tasodifiy tebranishlarni yo'q qiladi. Agar seriya mavsumiy to'lqinga ega bo'lsa, u harakatlanuvchi o'rtacha usuli bilan tekislangandan keyin qoladi.

Analitik moslashtirish. Tasodifiy tebranishlarni bartaraf etish va tendentsiyani aniqlash uchun ketma-ketlik darajalari analitik formulalar (yoki analitik moslashuv) bo'yicha tekislanadi. Uning mohiyati empirik (haqiqiy) darajalarni nazariy darajalar bilan almashtirishdan iborat bo'lib, ular ma'lum bir tenglama bo'yicha hisoblab chiqiladi, tendentsiyaning matematik modeli sifatida qabul qilinadi, bu erda nazariy darajalar vaqt funktsiyasi sifatida qaraladi: . Bunday holda, har bir haqiqiy daraja ikki komponentning yig'indisi sifatida qaraladi: , bu erda tizimli komponent va ma'lum bir tenglama bilan ifodalanadi va trend atrofida tebranishlarni keltirib chiqaradigan tasodifiy o'zgaruvchidir.

Analitik moslashtirish vazifasi quyidagilardan iborat:

1. Haqiqiy ma'lumotlar asosida o'rganilayotgan ko'rsatkichning rivojlanish tendentsiyasini eng munosib tarzda aks ettira oladigan gipotetik funktsiya turini aniqlash.

2. Empirik ma’lumotlardan ko‘rsatilgan funksiya (tenglama) parametrlarini topish

3. Nazariy (darajali) darajalarning topilgan tenglamasi bo'yicha hisoblash.

Muayyan funktsiyani tanlash, qoida tariqasida, empirik ma'lumotlarning grafik tasviri asosida amalga oshiriladi.

Modellar regressiya tenglamalari bo'lib, ularning parametrlari eng kichik kvadratlar usuli bilan hisoblanadi

Quyida vaqt qatorlarini tekislash uchun eng ko'p ishlatiladigan regressiya tenglamalari keltirilgan bo'lib, ular qaysi rivojlanish tendentsiyalarini aks ettirish uchun eng mos ekanligini ko'rsatadi.

Yuqoridagi tenglamalarning parametrlarini topish uchun maxsus algoritmlar va kompyuter dasturlari mavjud. Xususan, to'g'ri chiziq tenglamasining parametrlarini topish uchun quyidagi algoritmdan foydalanish mumkin:

Agar davrlar yoki vaqt momentlari St = 0 olinadigan tarzda raqamlangan bo'lsa, u holda yuqoridagi algoritmlar sezilarli darajada soddalashtiriladi va aylanadi.

Diagrammadagi tekislangan darajalar ushbu dinamik qatorning haqiqiy darajalaridan eng yaqin masofada o'tadigan bitta to'g'ri chiziqda joylashgan bo'ladi. Kvadrat og'ishlar yig'indisi tasodifiy omillar ta'sirining aksidir.

Uning yordami bilan biz tenglamaning o'rtacha (standart) xatosini hisoblaymiz:

Bu erda n - kuzatishlar soni, m - tenglamadagi parametrlar soni (bizda ulardan ikkitasi bor - b 1 va b 0).

Asosiy tendentsiya (trend) tizimli omillarning bir qator dinamika darajalariga qanday ta'sir qilishini ko'rsatadi va darajalarning tendentsiya atrofida o'zgarishi () qoldiq omillar ta'sirining o'lchovi bo'lib xizmat qiladi.

Amaldagi vaqt seriyasi modelining sifatini baholash uchun u ham qo'llaniladi Fisherning F testi. Bu ikki dispersiyaning nisbati, ya'ni regressiya natijasida yuzaga kelgan dispersiya nisbati, ya'ni. o'rganilgan omil, tasodifiy sabablar tufayli yuzaga keladigan dispersiyaga, ya'ni. qoldiq farq:

Kengaytirilgan shaklda ushbu mezon formulasi quyidagicha ifodalanishi mumkin:

bu erda n - kuzatishlar soni, ya'ni. qator darajalari soni,

m - tenglamadagi parametrlar soni, y - qatorning haqiqiy darajasi,

Qatorning tekislangan darajasi, - qatorning o'rtacha darajasi.

Boshqalarga qaraganda muvaffaqiyatliroq, model har doim ham etarli darajada qoniqarli bo'lmasligi mumkin. F mezoni ma'lum bir kritik chegarani kesib o'tgan taqdirdagina uni shunday deb tan olish mumkin. Bu chegara F taqsimlash jadvallari yordamida o'rnatiladi.

Indekslarning mohiyati va tasnifi.

Statistikada ko'rsatkich deganda hodisaning vaqt, makon yoki har qanday standart bilan taqqoslaganda kattaligining o'zgarishini tavsiflovchi nisbiy ko'rsatkich tushuniladi.

Indeks munosabatining asosiy elementi indekslangan qiymatdir. Indekslangan qiymat deganda o'zgarishi o'rganish ob'ekti bo'lgan statistik populyatsiya belgisining qiymati tushuniladi.

Indekslar uchta asosiy maqsadga xizmat qiladi:

1) murakkab hodisadagi o'zgarishlarni baholash;

2) murakkab hodisaning o'zgarishiga individual omillarning ta'sirini aniqlash;

3) biron bir hodisaning kattaligini o'tgan davrning kattaligi, boshqa hududning kattaligi, shuningdek standartlar, rejalar, prognozlar bilan taqqoslash.

Indekslar 3 mezon bo'yicha tasniflanadi:

2) aholi elementlarini qamrab olish darajasi bo'yicha;

3) umumiy indekslarni hisoblash usullari bilan.

Tarkib bo'yicha indekslangan qiymatlar bo'yicha indekslar miqdoriy (hajmiy) ko'rsatkichlar indekslari va sifat ko'rsatkichlari indekslariga bo'linadi. Miqdoriy ko'rsatkichlar indekslari - sanoat ishlab chiqarishining fizik hajmi, sotishning fizik hajmi, soni va boshqalar Sifat ko'rsatkichlari indekslari - narxlar, xarajatlar, mehnat unumdorligi, o'rtacha ish haqi va boshqalar.

Aholi birliklarini qamrab olish darajasiga ko'ra indekslar ikki sinfga bo'linadi: individual va umumiy. Ularni tavsiflash uchun indeks usulini qo'llash amaliyotida qabul qilingan quyidagi konventsiyalarni kiritamiz:

q- har qanday mahsulotning naturadagi miqdori (hajmi). ; R- mahsulot birligi narxi; z- mahsulot birligi tannarxi; t- mahsulot birligini ishlab chiqarishga sarflangan vaqt (mehnat zichligi) ; w- vaqt birligi uchun qiymat ko'rinishidagi ishlab chiqarish mahsuloti; v- vaqt birligida fizik ko'rinishda ishlab chiqarish; T- umumiy sarflangan vaqt yoki xodimlar soni.

Indekslangan qiymatlar qaysi davr yoki ob'ektga tegishli ekanligini aniqlash uchun pastki o'ngdagi tegishli belgidan keyin pastki belgilar qo'yish odatiy holdir. Masalan, dinamika indekslarida, qoida tariqasida, taqqoslangan (joriy, hisobot) davrlar uchun 1 pastki belgisi ishlatiladi va taqqoslash amalga oshirilgan davrlar uchun,

Individual indekslar murakkab hodisaning alohida elementlarining oʻzgarishini tavsiflash uchun xizmat qiladi (masalan, bir turdagi mahsulot ishlab chiqarish hajmining oʻzgarishi). Ular dinamikaning nisbiy qiymatlarini, majburiyatlarni bajarishni, indekslangan qiymatlarni taqqoslashni ifodalaydi.

Ishlab chiqarishning jismoniy hajmining individual indeksi aniqlanadi

Analitik nuqtai nazardan, berilgan individual dinamika indekslari o'sish koeffitsientlariga (suratlariga) o'xshaydi va joriy davrda indekslangan qiymatning bazaviyga nisbatan o'zgarishini tavsiflaydi, ya'ni necha marta oshganini (kamayganligini) ko'rsatadi. ) yoki necha foiz o'sish (kamayish). Indeks qiymatlari koeffitsientlar yoki foizlarda ifodalanadi.

Umumiy (kompozit) indeks murakkab hodisaning barcha elementlarining o'zgarishini aks ettiradi.

Yig'ma indeks indeksning asosiy shakli hisoblanadi. U agregat deb ataladi, chunki uning soni va maxraji "agregat" to'plamidir.

O'rtacha indekslar, ularning ta'rifi.

Statistikada yig'ma indekslardan tashqari ularning yana bir shakli - o'rtacha vaznli indekslar qo'llaniladi. Mavjud ma'lumotlar umumiy yig'ma indeksni hisoblash imkonini bermasa, ularni hisoblash qo'llaniladi. Shunday qilib, agar narxlar to'g'risida ma'lumot bo'lmasa, lekin joriy davrda mahsulot tannarxi to'g'risida ma'lumot mavjud bo'lsa va har bir mahsulot uchun individual narx indekslari ma'lum bo'lsa, unda umumiy narx indeksini yig'indisi sifatida aniqlash mumkin emas, lekin bu mumkin. uni individual bo'lganlarning o'rtacha qiymati sifatida hisoblash. Xuddi shunday, agar ishlab chiqarilgan alohida mahsulotlarning miqdori ma'lum bo'lmasa, lekin bazaviy davrning individual indekslari va ishlab chiqarish xarajatlari ma'lum bo'lsa, u holda ishlab chiqarishning fizik hajmining umumiy indeksini o'rtacha vaznli ko'rsatkich sifatida aniqlash mumkin.

O'rtacha indeks - bu individual indekslarning o'rtacha ko'rsatkichi sifatida hisoblangan indeks. Agregat indeks umumiy indeksning asosiy shaklidir, shuning uchun o'rtacha indeks jami indeks bilan bir xil bo'lishi kerak. O'rtacha indekslarni hisoblashda o'rtachalarning ikkita shakli qo'llaniladi: arifmetik va garmonik.

O'rtacha arifmetik indeks agregat indeks bilan bir xil bo'ladi, agar alohida indekslarning og'irligi agregat indeksning maxraji shartlari bo'lsa. Faqat bu holda o'rtacha arifmetik formula bo'yicha hisoblangan indeksning qiymati yig'ilgan indeksga teng bo'ladi.