ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต- นี้ ลำดับหมายเลขซึ่งเทอมแรกไม่เป็นศูนย์ และเทอมต่อมาแต่ละเทอมจะเท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์เท่าเดิม

ที่เก็บความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหมายถึง b1,b2,b3, …, bn, ….

อัตราส่วนของเทอมใดๆ ของความคลาดเคลื่อนทางเรขาคณิตต่อเทอมก่อนหน้าจะเท่ากับจำนวนเดียวกัน นั่นคือ b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความโดยตรง ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์- จำนวนนี้เรียกว่าตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยปกติแล้วตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะแสดงด้วยตัวอักษร q

ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์ของ |q|<1

วิธีหนึ่งในการระบุความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือระบุเทอมแรก b1 และตัวส่วนของค่าคลาดเคลื่อนทางเรขาคณิต q ตัวอย่างเช่น b1=4, q=-2 เงื่อนไขทั้งสองนี้กำหนดความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 4, -8, 16, -32, ….

ถ้า q>0 (q ไม่เท่ากับ 1) ความก้าวหน้าจะเป็นลำดับแบบโมโนโทนิก ตัวอย่างเช่น ลำดับ 2, 4,8,16,32, ... เป็นลำดับที่เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน (b1=2, q=2)

หากตัวส่วนของความคลาดเคลื่อนทางเรขาคณิตคือ q=1 เทอมทั้งหมดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะเท่ากัน ในกรณีเช่นนี้ กล่าวกันว่าความก้าวหน้าเป็นลำดับคงที่

เพื่อให้ลำดับตัวเลข (bn) เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต จำเป็นที่สมาชิกแต่ละคนในลำดับตัวเลข (bn) จะต้องเป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของสมาชิกที่อยู่ใกล้เคียง โดยเริ่มจากลำดับที่สอง นั่นคือจำเป็นต้องปฏิบัติตามสมการต่อไปนี้
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2) สำหรับ n>0 ใดๆ โดยที่ n อยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ N

ทีนี้มาใส่ (Xn) - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต q และ |q|∞)
หากตอนนี้เราแทนด้วย S ซึ่งเป็นผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ไม่สิ้นสุด สูตรต่อไปนี้ก็จะถูกนำมาใช้:
S=x1/(1-q)

ลองดูตัวอย่างง่ายๆ:

จงหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์ 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ….

ในการค้นหา S เราใช้สูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

บทเรียนในหัวข้อ “ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตลดลงอย่างไม่สิ้นสุด” (พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10)

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:แนะนำให้นักเรียนรู้จักกับลำดับรูปแบบใหม่ - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

อุปกรณ์:โปรเจ็กเตอร์, จอภาพ.

ประเภทบทเรียน:บทเรียน - การเรียนรู้หัวข้อใหม่

ความคืบหน้าของบทเรียน

ฉัน - องค์กร ช่วงเวลา. ระบุหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียน

ครั้งที่สอง - การอัพเดตความรู้ของนักเรียน

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 คุณเรียนวิชาเลขคณิตและเรขาคณิต

คำถาม

1. คำจำกัดความของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (ความก้าวหน้าทางเลขคณิตคือลำดับที่สมาชิกแต่ละคนเริ่มต้นจากวินาที เท่ากับสมาชิกก่อนหน้าที่บวกด้วยจำนวนเดียวกัน)

2. สูตร nระยะที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (
)

3. สูตรผลรวมของอันแรก nเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

(
หรือ
)

4. คำจำกัดความของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือลำดับของตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งแต่ละเทอมเริ่มต้นจากวินาทีจะเท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยตัวเลขเดียวกัน)

5. สูตร nระยะที่ 3 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (

)

6. สูตรผลรวมของอันแรก nสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต -
)

7. คุณรู้สูตรอะไรอีกบ้าง?

(
, ที่ไหน
;
;
;
,
)

5. สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
หาเทอมที่ห้า

6. สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
หา nสมาชิกคนนั้น

7. ชี้แจง ข 3 = 8 และ ข 5 = 2 - หา ข 4 . (4)

8. แบบเอ็กซ์โปเนนเชียล ข 3 = 8 และ ข 5 = 2 - หา ข 1 และ ถาม .

9. ชี้แจง ข 3 = 8 และ ข 5 = 2 - หา ส 5 . (62)

ที่สาม - การเรียนรู้หัวข้อใหม่(การสาธิตการนำเสนอ).

พิจารณาสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับ 1 ลองวาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสอีกอันที่มีขนาดด้านเป็นครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแรก จากนั้นอีกสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเป็นครึ่งวินาที จากนั้นสี่เหลี่ยมถัดไป เป็นต้น แต่ละครั้งด้านข้างของสี่เหลี่ยมใหม่จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมก่อนหน้า

เป็นผลให้เราได้รับลำดับด้านของกำลังสอง สร้างความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วยตัวส่วน

และที่สำคัญมาก ยิ่งเราสร้างช่องสี่เหลี่ยมแบบนี้มากเท่าไร ด้านข้างของช่องสี่เหลี่ยมก็จะเล็กลงเท่านั้น ตัวอย่างเช่น,

เหล่านั้น. เมื่อจำนวน n เพิ่มขึ้น เงื่อนไขของความก้าวหน้าจะเข้าใกล้ศูนย์

เมื่อใช้รูปนี้ คุณสามารถพิจารณาลำดับอื่นได้

ตัวอย่างเช่น ลำดับของพื้นที่สี่เหลี่ยม:

- และอีกครั้งหาก nเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ จากนั้นพื้นที่จะเข้าใกล้ศูนย์เท่าที่คุณต้องการ

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่ง สามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านยาว 1 ซม. ให้เราสร้างสามเหลี่ยมถัดไปโดยให้จุดยอดอยู่ตรงกลางด้านข้างของสามเหลี่ยมใบที่ 1 ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยม ด้านของด้านที่ 2 เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านของด้านแรก ด้านข้างของสามเหลี่ยมที่ 3 เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านที่ 2 เป็นต้น เราได้ลำดับความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมอีกครั้ง

ที่
.

หากเราพิจารณาความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วนเป็นลบ

อีกครั้งด้วยจำนวนที่เพิ่มขึ้น nเงื่อนไขของความก้าวหน้าเข้าใกล้ศูนย์

มาดูตัวส่วนของลำดับเหล่านี้กันดีกว่า ทุกที่ที่ตัวส่วนมีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 1

เราสามารถสรุปได้ว่า: ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุดหากโมดูลัสของตัวส่วนน้อยกว่า 1

คำนิยาม:

กล่าวกันว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุดหากโมดูลัสของตัวส่วนน้อยกว่าหนึ่ง
.

เมื่อใช้คำจำกัดความ คุณสามารถตัดสินใจได้ว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตลดลงอย่างไม่สิ้นสุดหรือไม่

งาน

ลำดับเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดหรือไม่หากให้ไว้โดยสูตร:

;
.

สารละลาย:

- เราจะพบ ถาม .

;
;
;
.

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

ข)ลำดับนี้ไม่ใช่ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

พิจารณาสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับ 1 แบ่งครึ่ง แบ่งครึ่งด้านใดด้านหนึ่ง เป็นต้น พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผลลัพธ์ทั้งหมดก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด:

ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมทั้งหมดที่ได้รับในลักษณะนี้จะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ 1 และเท่ากับ 1

ตอนนี้ให้เราพิจารณาคำถามเกี่ยวกับการสรุปความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอันไม่มีที่สิ้นสุด ให้เราเรียกผลรวมบางส่วนของความก้าวหน้าอันไม่มีที่สิ้นสุดที่กำหนดว่าผลรวมของเทอมแรก ให้เราแสดงผลรวมบางส่วนด้วยสัญลักษณ์

สำหรับทุกความก้าวหน้าอันไม่มีที่สิ้นสุด

เราสามารถเขียนลำดับ (รวมถึงอนันต์) ของผลรวมบางส่วนได้

ปล่อยให้ลำดับที่เพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัดมีขีดจำกัด

ในกรณีนี้ ตัวเลข S ซึ่งก็คือขีดจำกัดของผลรวมบางส่วนของความก้าวหน้า เรียกว่าผลรวมของความก้าวหน้าที่ไม่สิ้นสุด เราจะพิสูจน์ว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดมีผลรวมเสมอ และเราจะได้สูตรสำหรับผลรวมนี้ (เรายังแสดงได้ว่าถ้าความก้าวหน้าแบบไม่มีที่สิ้นสุดไม่มีผลรวม มันก็ไม่มีอยู่จริง)

ลองเขียนนิพจน์ลงไป จำนวนบางส่วนเป็นผลรวมของเงื่อนไขความก้าวหน้าตามสูตร (91.1) และเราจะพิจารณาขีดจำกัดของผลรวมบางส่วนที่

จากทฤษฎีบทที่ 89 เป็นที่ทราบกันว่าสำหรับความก้าวหน้าที่ลดลง ดังนั้นเราจึงพบการใช้ทฤษฎีบทขีดจำกัดผลต่าง

(ที่นี่ใช้กฎเช่นกัน: ปัจจัยคงที่อยู่นอกเครื่องหมายจำกัด) การดำรงอยู่ได้รับการพิสูจน์แล้ว และในขณะเดียวกันก็ได้รับสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด:

ความเท่าเทียมกัน (92.1) สามารถเขียนในรูปแบบได้เช่นกัน

ในที่นี้อาจดูขัดแย้งกันที่ผลรวมของพจน์จำนวนอนันต์ถูกกำหนดให้มีค่าจำกัดที่แน่นอนมาก

คุณสามารถอ้างอิงได้ ภาพประกอบภาพเพื่ออธิบายสถานการณ์นี้ พิจารณาสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับหนึ่ง (รูปที่ 72) แบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้ด้วยเส้นแนวนอนออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กันและ ส่วนบนนำไปใช้กับด้านล่างเพื่อให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้าน 2 และ . หลังจากนั้นเราจะแบ่งครึ่งขวาของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้อีกครั้งด้วยเส้นแนวนอนและแนบส่วนบนกับส่วนล่าง (ดังแสดงในรูปที่ 72) ดำเนินการตามกระบวนการนี้ต่อไป เราจะเปลี่ยนสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิมที่มีพื้นที่เท่ากับ 1 ให้เป็นรูปที่มีขนาดเท่ากันอย่างต่อเนื่อง (ใช้รูปแบบของบันไดที่มีขั้นบันไดบาง)

ด้วยความต่อเนื่องที่ไม่มีที่สิ้นสุดของกระบวนการนี้ พื้นที่ทั้งหมดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะแบ่งออกเป็นจำนวนเทอมที่ไม่สิ้นสุด - พื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีฐานเท่ากับ 1 และความสูง พื้นที่ของสี่เหลี่ยมก่อให้เกิดความก้าวหน้าที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดอย่างแม่นยำ

คืออย่างที่ใครๆ คาดคิด เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ตัวอย่าง. ค้นหาผลรวมของความก้าวหน้าที่ไม่สิ้นสุดต่อไปนี้:

วิธีแก้ไข ก) เราสังเกตว่าความก้าวหน้านี้ ดังนั้นเราจึงพบโดยใช้สูตร (92.2)

b) ในที่นี้หมายความว่าเราใช้สูตรเดียวกัน (92.2) ที่เรามี

c) เราพบว่าความก้าวหน้านี้จึงไม่มีผลรวม

ในย่อหน้าที่ 5 มีการแสดงการใช้สูตรสำหรับผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดในการแปลงเศษส่วนทศนิยมเป็นงวดเป็นเศษส่วนสามัญ

แบบฝึกหัด

1. ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดคือ 3/5 และผลรวมของสี่เทอมแรกคือ 13/27 ค้นหาพจน์แรกและตัวส่วนของความก้าวหน้า

2. ค้นหาตัวเลขสี่ตัวที่ก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสลับกัน โดยเทอมที่สองน้อยกว่าตัวแรกคูณ 35 และเทอมที่สามมากกว่าตัวเลขที่สี่คูณ 560

3.แสดงว่าถ้าเป็นลำดับ

ก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด จากนั้นจึงเกิดลำดับ

สำหรับสิ่งใดก็ตาม มันก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด คำกล่าวนี้จะเป็นจริงเมื่อใด

หาสูตรสำหรับผลคูณของเทอมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

จำนวนนี้เรียกว่าตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต กล่าวคือ แต่ละเทอมจะแตกต่างจากเทอมก่อนหน้าด้วย q คูณ (เราจะถือว่า q ≠ 1 ไม่เช่นนั้นทุกอย่างจะไม่สำคัญเกินไป) ง่ายที่จะเห็นว่าสูตรทั่วไปสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ bn = b 1 qn – 1 ; พจน์ที่มีตัวเลข b n และ b m ต่างกันด้วย q n – m คูณ

เข้าแล้ว อียิปต์โบราณไม่เพียงแต่รู้เลขคณิตเท่านั้น แต่ยังรู้จักความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วย ตัวอย่างเช่น นี่คือปัญหาจากกระดาษปาปิรัส Rhind: “หน้าเจ็ดหน้ามีแมวเจ็ดตัว แมวแต่ละตัวกินหนูเจ็ดตัว หนูแต่ละตัวกินข้าวโพดเจ็ดรวง และข้าวบาร์เลย์แต่ละรวงสามารถปลูกข้าวบาร์เลย์ได้เจ็ดถัง ตัวเลขในชุดนี้มีจำนวนเท่าใดและผลรวมมีจำนวนเท่าใด

ข้าว. 1. ปัญหาความก้าวหน้าทางเรขาคณิตของอียิปต์โบราณ

งานนี้เกิดขึ้นซ้ำหลายครั้งโดยมีความแตกต่างกันในหมู่ชนชาติอื่น ๆ ในเวลาอื่น เช่น เขียนไว้ในศตวรรษที่ 13 “หนังสือลูกคิด” โดยเลโอนาร์โดแห่งปิซา (ฟีโบนัชชี) มีปัญหาเรื่องหญิงชรา 7 คนปรากฏตัวระหว่างเดินทางไปโรม (เห็นได้ชัดว่าเป็นผู้แสวงบุญ) แต่ละคนมีล่อ 7 ตัว แต่ละตัวมี 7 ถุง แต่ละถุง มีขนมปัง 7 ก้อน แต่ละก้อนมีมีด ​​7 เล่ม แต่ละก้อนมีฝัก 7 เล่ม ปัญหาถามว่ามีวัตถุกี่ชิ้น

ผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . สูตรนี้สามารถพิสูจน์ได้เช่นนี้: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1

เพิ่มตัวเลข b 1 qn ไปที่ S n และรับ:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

จากที่นี่ S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) และเราได้สูตรที่จำเป็น

บนแผ่นดินเหนียวแห่งหนึ่งของบาบิโลนโบราณ มีอายุย้อนกลับไปตั้งแต่ศตวรรษที่ 6 พ.ศ e. มีผลรวม 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1 จริง เช่นเดียวกับในหลายกรณี เราไม่รู้ว่าชาวบาบิโลนรู้ข้อเท็จจริงนี้ได้อย่างไร .

การเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตในหลายวัฒนธรรม โดยเฉพาะอย่างยิ่งในอินเดีย ถูกนำมาใช้ซ้ำแล้วซ้ำอีกเป็นสัญลักษณ์ที่มองเห็นถึงความกว้างใหญ่ของจักรวาล ในตำนานอันโด่งดังเกี่ยวกับการปรากฏตัวของหมากรุก ผู้ปกครองเปิดโอกาสให้นักประดิษฐ์เลือกรางวัลด้วยตัวเอง และเขาขอจำนวนเมล็ดข้าวสาลีที่จะได้รับหากวางอันหนึ่งไว้ที่สี่เหลี่ยมแรกของกระดานหมากรุก สองอันบน ครั้งที่สอง สี่ในสาม แปดในสี่ และอื่นๆ แต่ละครั้งจำนวนจะเพิ่มเป็นสองเท่า Vladyka คิดว่าอย่างน้อยที่สุดเรากำลังพูดถึงถุงสองสามใบ แต่เขาคำนวณผิด จะเห็นได้ง่ายว่าสำหรับกระดานหมากรุกทั้ง 64 ช่อง นักประดิษฐ์จะต้องได้รับเมล็ดข้าว (2 64 – 1) ซึ่งแสดงเป็นตัวเลข 20 หลัก แม้ว่าคุณจะหว่านพื้นผิวโลกทั้งหมด แต่ก็ต้องใช้เวลาอย่างน้อย 8 ปีในการรวบรวม ปริมาณที่ต้องการธัญพืช ตำนานนี้บางครั้งถูกตีความว่าเป็นการบ่งบอกถึงความเป็นไปได้ที่แทบไม่มีขีดจำกัดที่ซ่อนอยู่ในเกมหมากรุก

จะเห็นว่าตัวเลขนี้เป็น 20 หลักจริงๆ:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1,024 6 data 16 ∙ 1,000 6 = 1.6∙10 19 (การคำนวณที่แม่นยำยิ่งขึ้นจะให้ 1.84∙10 19) แต่ฉันสงสัยว่าคุณจะพบว่าตัวเลขนี้ลงท้ายด้วยเลขอะไร?

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถเพิ่มขึ้นได้หากตัวส่วนมากกว่า 1 หรือลดลงหากน้อยกว่า 1 ในกรณีหลัง จำนวน q n สำหรับ n ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอสามารถกลายเป็นจำนวนที่น้อยได้ตามอำเภอใจ แม้ว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่เพิ่มขึ้นจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วอย่างไม่คาดคิด แต่ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงก็จะลดลงอย่างรวดเร็วเช่นกัน

ยิ่ง n มีขนาดใหญ่เท่าใด จำนวน q n ก็จะยิ่งแตกต่างจากศูนย์ และยิ่งผลรวมของเงื่อนไข n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตยิ่งใกล้มากขึ้น S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) ถึงตัวเลข S = b 1 / ( 1 – คิว) (เช่น เอฟ.เวียตให้เหตุผลแบบนี้) เลข S เรียกว่าผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด อย่างไรก็ตาม เป็นเวลาหลายศตวรรษมาแล้วที่คำถามว่าอะไรคือความหมายของการสรุปความก้าวหน้าทางเรขาคณิตทั้งหมด พร้อมด้วยจำนวนคำศัพท์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด นั้นยังไม่ชัดเจนเพียงพอสำหรับนักคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงสามารถเห็นได้ เช่น ใน aporias ของ Zeno เรื่อง “Half Division” และ “Achilles and the Tortoise” ในกรณีแรกแสดงให้เห็นชัดเจนว่าถนนทั้งเส้น (สมมุติว่ามีความยาว 1) คือผลรวมของส่วนต่างๆ ที่เป็นจำนวนอนันต์ 1/2, 1/4, 1/8 เป็นต้น แน่นอนว่านี่เป็นกรณีจาก มุมมองของแนวคิดเกี่ยวกับผลรวมอันจำกัดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์ แล้วนี่จะเป็นไปได้ยังไงล่ะ?

ข้าว. 2. ความก้าวหน้าด้วยค่าสัมประสิทธิ์ 1/2

ใน aporia เกี่ยวกับจุดอ่อน สถานการณ์มีความซับซ้อนกว่าเล็กน้อย เนื่องจากตัวหารของความก้าวหน้าในที่นี้ไม่ใช่ 1/2 แต่เป็นจำนวนอื่น ตัวอย่างเช่น สมมติว่าจุดอ่อนวิ่งด้วยความเร็ว v เต่าเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว u และระยะห่างเริ่มต้นระหว่างพวกมันคือ l จุดอ่อนจะครอบคลุมระยะทางนี้ในเวลา l/v และในช่วงเวลานี้เต่าจะเคลื่อนที่เป็นระยะทาง lu/v เมื่อจุดอ่อนวิ่งส่วนนี้ ระยะห่างระหว่างเขากับเต่าจะเท่ากับ l (u /v) 2 เป็นต้น ปรากฎว่าการไล่ตามเต่าหมายถึงการค้นหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดกับเทอมแรก l และตัวส่วน u /v ผลรวมนี้ - ส่วนที่จุดอ่อนจะวิ่งไปยังจุดนัดพบกับเต่าในที่สุด - เท่ากับ l / (1 – u /v) = lv / (v – u) แต่ขอย้ำอีกครั้งว่าควรตีความผลลัพธ์นี้อย่างไรและเหตุใดจึงสมเหตุสมผลจึงไม่ชัดเจนมาเป็นเวลานาน

ข้าว. 3. ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยมีค่าสัมประสิทธิ์ 2/3

อาร์คิมิดีสใช้ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเพื่อกำหนดพื้นที่ของส่วนของพาราโบลา ให้ส่วนของพาราโบลานี้คั่นด้วยคอร์ด AB และปล่อยให้แทนเจนต์ที่จุด D ของพาราโบลาขนานกับ AB ให้ C เป็นจุดกึ่งกลางของ AB, E เป็นจุดกึ่งกลางของ AC, F เป็นจุดกึ่งกลางของ CB ลองวาดเส้นขนานกับ DC ผ่านจุด A, E, F, B; ให้เส้นสัมผัสที่ลากที่จุด D ตัดกันเส้นเหล่านี้ที่จุด K, L, M, N มาวาดส่วน AD และ DB กัน ให้เส้น EL ตัดกับเส้น AD ที่จุด G และพาราโบลาที่จุด H เส้น FM ตัดกับเส้น DB ที่จุด Q และพาราโบลาที่จุด R ตาม ทฤษฎีทั่วไปส่วนรูปกรวย DC คือเส้นผ่านศูนย์กลางของพาราโบลา (นั่นคือ ส่วนที่ขนานกับแกน) มันและแทนเจนต์ที่จุด D สามารถทำหน้าที่เป็นแกนพิกัด x และ y ซึ่งสมการของพาราโบลาเขียนเป็น y 2 = 2px (x คือระยะห่างจาก D ไปยังจุดใดๆ ของเส้นผ่านศูนย์กลางที่กำหนด y คือความยาวของ ส่วนขนานกับแทนเจนต์ที่กำหนดจากจุดเส้นผ่านศูนย์กลางนี้ไปยังจุดใดจุดหนึ่งบนพาราโบลาเอง)

โดยอาศัยสมการพาราโบลา DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA และเนื่องจาก DK = 2DL ดังนั้น KA = 4LH เพราะ KA = 2LG, LH = HG พื้นที่เซกเมนต์ ADB ของพาราโบลาเท่ากับพื้นที่สามเหลี่ยม ΔADB และพื้นที่ของเซกเมนต์ AHD และ DRB รวมกัน ในทางกลับกัน พื้นที่ของเซ็กเมนต์ AHD จะเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยม AHD และเซ็กเมนต์ที่เหลือ AH และ HD ในทำนองเดียวกัน โดยแต่ละส่วนคุณสามารถดำเนินการเดียวกันได้ - แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม (Δ) และ สองส่วนที่เหลือ () ฯลฯ :

พื้นที่ของสามเหลี่ยม ΔAHD เท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสามเหลี่ยม ΔALD (มี AD ฐานร่วมและความสูงต่างกัน 2 เท่า) ซึ่งในทางกลับกันจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ ​สามเหลี่ยม ΔAKD และครึ่งหนึ่งของพื้นที่สามเหลี่ยม ΔACD ดังนั้น พื้นที่ของสามเหลี่ยม ΔAHD เท่ากับหนึ่งในสี่ของพื้นที่ของสามเหลี่ยม ΔACD ในทำนองเดียวกัน พื้นที่ของสามเหลี่ยม ΔDRB เท่ากับหนึ่งในสี่ของพื้นที่ของสามเหลี่ยม ΔDFB ดังนั้น พื้นที่ของสามเหลี่ยม ΔAHD และ ΔDRB เมื่อนำมารวมกันจะเท่ากับหนึ่งในสี่ของพื้นที่ของสามเหลี่ยม ΔADB ทำซ้ำการดำเนินการนี้เมื่อนำไปใช้กับกลุ่ม AH, HD, DR และ RB จะเลือกสามเหลี่ยมจากพวกเขา พื้นที่ซึ่งเมื่อนำมารวมกันจะน้อยกว่าพื้นที่สามเหลี่ยม ΔAHD และ ΔDRB 4 เท่า เมื่อนำมารวมกัน และ จึงน้อยกว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ΔADB 16 เท่า และอื่นๆ:

ดังนั้น อาร์คิมิดีสจึงพิสูจน์ว่า “ทุกๆ ส่วนระหว่างเส้นตรงและพาราโบลาประกอบขึ้นเป็นสี่ในสามของรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีฐานเท่ากันและมีความสูงเท่ากัน”

ระดับรายการ

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต คู่มือที่ครอบคลุมพร้อมตัวอย่าง (2019)

ลำดับหมายเลข

เรามานั่งลงและเริ่มเขียนตัวเลขกันดีกว่า ตัวอย่างเช่น:

คุณสามารถเขียนตัวเลขใดก็ได้ และอาจมีได้มากเท่าที่คุณต้องการ (ในกรณีของเราก็มีอยู่แล้ว) ไม่ว่าเราจะเขียนตัวเลขไปกี่จำนวน เราก็บอกได้เสมอว่าอันไหนเป็นอันดับแรก อันไหนเป็นที่สอง และต่อๆ ไปจนถึงตัวสุดท้าย นั่นคือ เราสามารถนับเลขได้ นี่คือตัวอย่างลำดับตัวเลข:

ลำดับหมายเลขคือชุดตัวเลขซึ่งแต่ละชุดสามารถกำหนดหมายเลขเฉพาะได้

ตัวอย่างเช่น สำหรับลำดับของเรา:

หมายเลขที่กำหนดจะเฉพาะกับหมายเลขเดียวในลำดับเท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่มีตัวเลขสามวินาทีในลำดับ ตัวเลขที่สอง (เช่นตัวเลขที่ th) จะเหมือนกันเสมอ

ตัวเลขที่มีตัวเลขนั้นเรียกว่าสมาชิกตัวที่ n ของลำดับ

โดยปกติเราเรียกลำดับทั้งหมดด้วยตัวอักษรบางตัว (เช่น) และสมาชิกแต่ละคนของลำดับนี้จะเป็นตัวอักษรเดียวกัน โดยมีดัชนีเท่ากับจำนวนสมาชิกนี้:

ในกรณีของเรา:

ประเภทความก้าวหน้าที่พบบ่อยที่สุดคือเลขคณิตและเรขาคณิต ในหัวข้อนี้เราจะพูดถึงประเภทที่สอง - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต.

เหตุใดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจึงจำเป็นต้องมีและประวัติของมัน

แม้แต่ในสมัยโบราณ พระภิกษุชาวอิตาลี เลโอนาร์โดแห่งปิซา (รู้จักกันดีในชื่อฟีโบนัชชี) ก็ยังจัดการกับความต้องการทางการค้าในทางปฏิบัติ พระภิกษุต้องเผชิญกับภารกิจในการกำหนดน้ำหนักที่น้อยที่สุดที่สามารถนำมาใช้ชั่งน้ำหนักผลิตภัณฑ์ได้คือเท่าใด ในงานของเขา Fibonacci พิสูจน์ว่าระบบน้ำหนักดังกล่าวมีความเหมาะสม: นี่เป็นหนึ่งในสถานการณ์แรกๆ ที่ผู้คนต้องเผชิญกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ซึ่งคุณคงเคยได้ยินและประสบมาแล้วเป็นอย่างน้อย แนวคิดทั่วไป- เมื่อคุณเข้าใจหัวข้อนี้ครบถ้วนแล้ว ให้ลองคิดดูว่าเหตุใดระบบดังกล่าวจึงเหมาะสมที่สุด

ในปัจจุบันในทางปฏิบัติในชีวิตความก้าวหน้าทางเรขาคณิตปรากฏขึ้นเมื่อนำเงินไปลงทุนในธนาคารเมื่อมีการเพิ่มจำนวนดอกเบี้ยจากจำนวนเงินที่สะสมในบัญชีสำหรับงวดก่อนหน้า กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากคุณฝากเงินเข้าธนาคารออมสิน หลังจากนั้นหนึ่งปี เงินฝากก็จะเพิ่มขึ้นตามจำนวนเดิม นั่นคือ จำนวนเงินใหม่จะเท่ากับเงินสมทบคูณด้วย ในอีกปีหนึ่งจำนวนนี้จะเพิ่มขึ้นเช่น จำนวนที่ได้รับในขณะนั้นจะถูกคูณอีกครั้งไปเรื่อยๆ สถานการณ์ที่คล้ายกันอธิบายไว้ในปัญหาของการคำนวณสิ่งที่เรียกว่า ดอกเบี้ยทบต้น- เปอร์เซ็นต์จะถูกนำมาในแต่ละครั้งจากจำนวนเงินที่อยู่ในบัญชีโดยคำนึงถึงดอกเบี้ยก่อนหน้า เราจะพูดถึงงานเหล่านี้ในภายหลัง

มีอีกมากมาย กรณีง่ายๆโดยที่มีการใช้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น การแพร่กระจายของไข้หวัดใหญ่ คนหนึ่งทำให้อีกคนติดเชื้อ ในทางกลับกัน การติดเชื้อระลอกที่สองจึงเป็นบุคคลหนึ่ง และในทางกลับกัน พวกเขาก็ติดเชื้ออีกคน... และอื่นๆ.. .

อย่างไรก็ตาม ปิรามิดทางการเงินซึ่งมี MMM เดียวกันนั้นเป็นการคำนวณที่ง่ายและแห้งโดยพิจารณาจากคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต น่าสนใจ? ลองคิดดูสิ

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

สมมติว่าเรามีลำดับตัวเลข:

คุณจะตอบทันทีว่านี่เป็นเรื่องง่าย และชื่อของลำดับดังกล่าวเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีเงื่อนไขต่างกัน เป็นอย่างไรบ้าง:

หากคุณลบตัวเลขก่อนหน้าออกจากตัวเลขถัดไป คุณจะเห็นว่าแต่ละครั้งคุณจะได้รับผลต่างใหม่ (และอื่นๆ) แต่ลำดับนั้นมีอยู่แน่นอนและสังเกตได้ง่าย - แต่ละตัวเลขที่ตามมาจะมีขนาดใหญ่กว่าตัวเลขก่อนหน้าหลายเท่า!

ลำดับตัวเลขประเภทนี้เรียกว่า ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและถูกกำหนดไว้

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต () เป็นลำดับตัวเลข เทอมแรกแตกต่างจากศูนย์ และแต่ละเทอมเริ่มจากวินาทีจะเท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยตัวเลขเดียวกัน จำนวนนี้เรียกว่าตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ข้อจำกัดที่ว่าเทอมแรก ( ) ไม่เท่ากันและไม่สุ่ม สมมติว่าไม่มีพวกมันอยู่ และเทอมแรกยังคงเท่ากัน และ q เท่ากับ อืม.. ปล่อยให้มันเป็นไป ปรากฎว่า:

ยอมรับว่านี่ไม่ใช่ความก้าวหน้าอีกต่อไป

ตามที่คุณเข้าใจ เราจะได้ผลลัพธ์เดียวกันหากมีตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ a ในกรณีเหล่านี้ จะไม่มีความคืบหน้าเลยตั้งแต่ทั้งหมด ชุดตัวเลขจะมีเลขศูนย์ทั้งหมดหรือตัวเลขหนึ่งตัวและเลขศูนย์ที่เหลือทั้งหมด

ทีนี้มาดูรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต นั่นก็คือ o

ทำซ้ำ: - นี่คือตัวเลข แต่ละเทอมต่อมาจะเปลี่ยนแปลงกี่ครั้ง?ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

คุณคิดว่ามันจะเป็นอย่างไร? ถูกต้อง ทั้งเชิงบวกและเชิงลบ แต่ไม่ใช่ศูนย์ (เราพูดถึงเรื่องนี้สูงกว่านี้เล็กน้อย)

สมมติว่าของเราเป็นบวก ในกรณีของเรา ก. ทำไม เท่ากับวินาทีสมาชิกและ? คุณสามารถตอบได้ง่ายๆ ว่า:

ถูกต้องแล้ว ดังนั้นหากเงื่อนไขที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้ามีเครื่องหมายเดียวกัน - พวกเขา เป็นบวก.

เกิดอะไรขึ้นถ้ามันเป็นลบ? ตัวอย่างเช่น ก. เทอมที่สองมีมูลค่าเท่าใด และ?

นี่เป็นเรื่องราวที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

พยายามนับเงื่อนไขของความก้าวหน้านี้ คุณได้รับเท่าไหร่? ฉันมี. ดังนั้นหากสัญญาณของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสลับกัน นั่นคือ หากคุณเห็นความก้าวหน้าโดยมีสัญลักษณ์สลับกันสำหรับสมาชิก ตัวส่วนจะเป็นลบ ความรู้นี้สามารถช่วยคุณทดสอบตัวเองเมื่อแก้ไขปัญหาในหัวข้อนี้

ทีนี้มาฝึกกันหน่อย: ลองพิจารณาว่าลำดับตัวเลขใดเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและลำดับใดเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

เข้าใจแล้ว? ลองเปรียบเทียบคำตอบของเรา:

• ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต - 3, 6
• ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - 2, 4
• ไม่ใช่ทั้งเลขคณิตหรือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต - 1, 5, 7

กลับไปที่ความก้าวหน้าครั้งล่าสุดของเราแล้วลองค้นหาสมาชิกของมันเหมือนกับในเลขคณิต ดังที่คุณอาจเดาได้ มีสองวิธีในการค้นหา

เราคูณแต่ละเทอมอย่างต่อเนื่องด้วย

ดังนั้น เทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่อธิบายไว้จึงเท่ากับ

ดังที่คุณเดาไว้แล้ว ตอนนี้คุณจะได้สูตรที่จะช่วยคุณค้นหาสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต หรือคุณได้พัฒนาเองแล้วโดยอธิบายวิธีการหาสมาชิกทีละขั้นตอน? หากเป็นเช่นนั้น ให้ตรวจสอบความถูกต้องของเหตุผลของคุณ

ให้เราอธิบายสิ่งนี้ด้วยตัวอย่างการค้นหาเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้านี้:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง:

ค้นหาค่าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กำหนดด้วยตัวเอง

มันได้ผลเหรอ? ลองเปรียบเทียบคำตอบของเรา:

โปรดทราบว่าคุณได้ตัวเลขเดียวกันกับวิธีก่อนหน้าทุกประการ เมื่อเราคูณตามลำดับด้วยแต่ละเทอมก่อนหน้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
เรามาลอง "ลดความเป็นตัวตน" ของสูตรนี้ - มาวางไว้ในรูปแบบทั่วไปแล้วจะได้:

สูตรที่ได้รับนั้นเป็นจริงสำหรับทุกค่าทั้งบวกและลบ ตรวจสอบด้วยตัวเองโดยการคำนวณเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยมีเงื่อนไขต่อไปนี้: , a.

คุณนับไหม? ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์:

ยอมรับว่าเป็นไปได้ที่จะหาเงื่อนไขของความก้าวหน้าในลักษณะเดียวกับเงื่อนไข อย่างไรก็ตาม มีความเป็นไปได้ที่จะคำนวณไม่ถูกต้อง และถ้าเราพบเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว จะมีอะไรง่ายกว่าการใช้ส่วนที่ "ถูกตัดทอน" ของสูตร

ลดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างไม่สิ้นสุด

เมื่อเร็ว ๆ นี้เราได้พูดคุยเกี่ยวกับความจริงที่ว่าอาจมีทั้งมากกว่านี้และ น้อยกว่าศูนย์อย่างไรก็ตาม มีค่าพิเศษที่เรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด.

ทำไมคุณถึงคิดว่าได้รับชื่อนี้?
ก่อนอื่น ลองเขียนความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ประกอบด้วยคำศัพท์กันก่อน
สมมติว่า:

เราเห็นว่าแต่ละเทอมต่อๆ มามีค่าน้อยกว่าเทอมก่อนหน้าด้วยตัวประกอบ แต่จะมีจำนวนไหม? คุณจะตอบทันที - "ไม่" นั่นคือสาเหตุที่มันลดลงอย่างไม่สิ้นสุด - มันลดลงเรื่อยๆ แต่ไม่เคยกลายเป็นศูนย์เลย

เพื่อให้เข้าใจได้อย่างชัดเจนว่าสิ่งนี้มีลักษณะอย่างไร เรามาลองวาดกราฟความก้าวหน้าของเรากัน ดังนั้น ในกรณีของเรา สูตรจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

บนกราฟเราคุ้นเคยกับการวางแผนการพึ่งพาดังนั้น:

แก่นแท้ของนิพจน์ไม่เปลี่ยนแปลง: ในรายการแรกเราแสดงการพึ่งพาค่าของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกับเลขลำดับของมัน และในรายการที่สอง เราเพียงแต่เอาค่าของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเป็น และกำหนดเลขลำดับให้ไม่ใช่เป็น แต่เป็น สิ่งที่ต้องทำคือสร้างกราฟ
มาดูกันว่าคุณได้อะไรบ้าง นี่คือกราฟที่ฉันคิดขึ้นมา:

คุณเห็นไหม? ฟังก์ชันลดลง มีแนวโน้มเป็นศูนย์ แต่ไม่เคยข้ามฟังก์ชันดังกล่าว ดังนั้นจึงลดลงอย่างไม่สิ้นสุด มาทำเครื่องหมายจุดของเราบนกราฟและในเวลาเดียวกันว่าพิกัดและหมายถึงอะไร:

พยายามแสดงกราฟของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตในเชิงแผนผังหากเทอมแรกเท่ากัน วิเคราะห์ความแตกต่างกับกราฟก่อนหน้าของเราคืออะไร?

คุณจัดการหรือไม่? นี่คือกราฟที่ฉันคิดขึ้นมา:

เมื่อคุณเข้าใจพื้นฐานของหัวข้อความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว คุณรู้ว่ามันคืออะไร คุณรู้วิธีหาคำศัพท์ และคุณรู้ด้วยว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดคืออะไร มาดูคุณสมบัติหลักของมันกันดีกว่า

คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

คุณจำคุณสมบัติของเงื่อนไขของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้หรือไม่? ใช่ ใช่ จะหาค่าได้อย่างไร จำนวนหนึ่งความก้าวหน้าเมื่อมีค่าก่อนหน้าและค่าที่ตามมาของสมาชิกของความก้าวหน้านี้ คุณจำได้ไหม? นี่คือ:

ตอนนี้เราต้องเผชิญกับคำถามเดียวกันทุกประการเกี่ยวกับเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เพื่อให้ได้สูตรมาเริ่มวาดและหาเหตุผลกัน คุณจะเห็นว่ามันง่ายมาก และถ้าคุณลืม คุณก็สามารถเอามันออกมาได้ด้วยตัวเอง

ลองใช้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตง่ายๆ อีกอันที่เรารู้และ จะหาได้อย่างไร? ด้วยความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ มันง่ายและไม่ซับซ้อน แต่แล้วที่นี่ล่ะ? ในความเป็นจริงก็ไม่มีอะไรซับซ้อนในเรขาคณิตเช่นกัน - คุณเพียงแค่ต้องเขียนแต่ละค่าที่มอบให้เราตามสูตร

คุณอาจถามว่าเราควรทำอย่างไรกับเรื่องนี้ตอนนี้? ใช่ ง่ายมาก ขั้นแรก เรามาอธิบายสูตรเหล่านี้ในรูปภาพแล้วลองดำเนินการต่างๆ เพื่อให้ได้ค่า

เรามาสรุปจากตัวเลขที่ให้มากันดีกว่า เน้นเฉพาะการแสดงออกผ่านสูตรเท่านั้น เราจำเป็นต้องค้นหาค่าที่เน้นไว้ ส้มรู้จักสมาชิกที่อยู่ติดกัน มาลองผลิตร่วมกับพวกเขากัน การกระทำต่างๆซึ่งส่งผลให้เราสามารถได้รับ

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป.
ลองเพิ่มสองนิพจน์แล้วเราจะได้:

อย่างที่คุณเห็นจากนิพจน์นี้ เราไม่สามารถแสดงออกมาได้ในทางใดทางหนึ่ง ดังนั้นเราจะลองใช้ตัวเลือกอื่น - การลบ

การลบ

อย่างที่คุณเห็น เราไม่สามารถแสดงสิ่งนี้ได้เช่นกัน ดังนั้นลองคูณนิพจน์เหล่านี้ด้วยกัน

การคูณ

ทีนี้ลองดูสิ่งที่เรามีอย่างละเอียดโดยการคูณเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มอบให้เราโดยเปรียบเทียบกับสิ่งที่ต้องค้นหา:

เดาสิ่งที่ฉันกำลังพูดถึง? ถูกต้องเพื่อค้นหาเราจำเป็นต้องใช้ รากที่สองจากจำนวนความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่อยู่ติดกับจำนวนที่ต้องการคูณกัน:

เอาล่ะ. ตัวคุณเองได้รับคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลองเขียนสูตรนี้ลงไป มุมมองทั่วไป- มันได้ผลเหรอ?

ลืมเงื่อนไขเพื่อ? ลองคิดดูว่าเหตุใดจึงสำคัญ เช่น ลองคำนวณเอง จะเกิดอะไรขึ้นในกรณีนี้? ถูกต้องไร้สาระเพราะสูตรมีลักษณะดังนี้:

ดังนั้นอย่าลืมข้อจำกัดนี้

ทีนี้ลองคำนวณดูว่ามันเท่ากับอะไร

คำตอบที่ถูกต้องคือ ! หากคุณไม่ลืมอันที่สองเมื่อคำนวณ ความหมายที่เป็นไปได้คุณเป็นเพื่อนที่ดีและสามารถไปฝึกอบรมได้ทันทีและหากคุณลืมอ่านสิ่งที่จะกล่าวถึงด้านล่างและให้ความสนใจว่าเหตุใดจึงจำเป็นต้องเขียนคำตอบทั้งสองรากลงในคำตอบ

ลองวาดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตของเราทั้งคู่ - อันหนึ่งมีค่าและอีกอันมีค่าแล้วตรวจสอบว่าทั้งคู่มีสิทธิ์ที่จะมีอยู่หรือไม่:

เพื่อที่จะตรวจสอบว่ามีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหรือไม่ จำเป็นต้องดูว่าเงื่อนไขที่ให้มาทั้งหมดเหมือนกันหรือไม่ คำนวณ q สำหรับกรณีที่หนึ่งและสอง

ดูว่าทำไมเราต้องเขียนสองคำตอบ? เพราะสัญลักษณ์ของคำที่คุณกำลังมองหานั้นขึ้นอยู่กับว่ามันเป็นบวกหรือลบ! และเนื่องจากเราไม่รู้ว่ามันคืออะไร เราจึงต้องเขียนคำตอบทั้งบวกและลบ

ตอนนี้คุณได้เข้าใจประเด็นหลักและได้รับสูตรสำหรับคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว การค้นหา ความรู้ และ

เปรียบเทียบคำตอบของคุณกับคำตอบที่ถูกต้อง:

คุณคิดอย่างไรจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราไม่ได้รับค่าของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่อยู่ติดกับจำนวนที่ต้องการ แต่อยู่ห่างจากมันเท่ากัน ตัวอย่างเช่นเราจำเป็นต้องค้นหาและให้และ เราสามารถใช้สูตรที่เราได้มาในกรณีนี้ได้หรือไม่? พยายามยืนยันหรือหักล้างความเป็นไปได้นี้ในลักษณะเดียวกัน โดยอธิบายว่าแต่ละค่าประกอบด้วยอะไรบ้าง เหมือนที่คุณทำเมื่อได้รับสูตรตั้งแต่แรก
คุณได้อะไร?

ตอนนี้ดูอย่างระมัดระวังอีกครั้ง
และตามนั้น:

จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าสูตรนี้ใช้งานได้ ไม่ใช่แค่กับเพื่อนบ้านเท่านั้นด้วยเงื่อนไขที่ต้องการของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแต่ก็ด้วย ระยะเท่ากันจากสิ่งที่สมาชิกตามหา

ดังนั้น สูตรเริ่มต้นของเราจึงอยู่ในรูปแบบ:

นั่นคือถ้าเราบอกว่าในกรณีแรก ตอนนี้เราบอกว่ามันเท่ากับค่าใดๆ ก็ได้ จำนวนธรรมชาติซึ่งมีขนาดเล็กกว่า สิ่งสำคัญคือตัวเลขที่ให้มาทั้งสองจะเหมือนกัน

ฝึกฝนโดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง เพียงใช้ความระมัดระวังอย่างยิ่ง!

1. - หา.
2. - หา.
3. - หา.

ตัดสินใจแล้ว? ฉันหวังว่าคุณจะเอาใจใส่เป็นอย่างยิ่งและสังเกตเห็นจุดเล็กๆ น้อยๆ

ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์กัน

ในสองกรณีแรก เราใช้สูตรข้างต้นอย่างใจเย็นและรับค่าต่อไปนี้:

กรณีที่ 3 เมื่อตรวจสอบอย่างใกล้ชิด หมายเลขซีเรียลตัวเลขที่ให้มาเราเข้าใจว่าไม่ห่างจากตัวเลขที่เราหาอยู่ไม่เท่ากัน เป็นตัวเลขก่อนหน้าแต่ลบออกที่ตำแหน่งจึงใช้สูตรไม่ได้

วิธีแก้ปัญหา? จริงๆแล้วมันไม่ยากอย่างที่คิด! มาเขียนกันว่าแต่ละหมายเลขที่ให้มาและหมายเลขที่เราค้นหาประกอบด้วยอะไร

ดังนั้นเราจึงมีและ มาดูกันว่าเราสามารถทำอะไรกับพวกเขาได้บ้าง? ผมเสนอให้แบ่งตาม.. เราได้รับ:

เราแทนที่ข้อมูลของเราลงในสูตร:

ขั้นตอนต่อไปที่เราสามารถค้นหาได้ - เพื่อสิ่งนี้เราต้องดำเนินการ รากที่สามจากจำนวนผลลัพธ์

ทีนี้ลองดูอีกครั้งว่าเรามีอะไรบ้าง เรามีมัน แต่เราต้องค้นหามันให้เจอ และมันก็เท่ากับ:

เราพบข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดสำหรับการคำนวณ แทนลงในสูตร:

คำตอบของเรา: .

ลองแก้ไขปัญหาอื่นที่คล้ายกันด้วยตัวเอง:
ที่ให้ไว้: ,
หา:

คุณได้รับเท่าไหร่? ฉันมี - .

อย่างที่คุณเห็นโดยพื้นฐานแล้วคุณต้องการ จำเพียงสูตรเดียว- คุณสามารถถอนส่วนที่เหลือทั้งหมดได้ด้วยตัวเองโดยไม่ยากเมื่อใดก็ได้ ในการทำเช่นนี้ เพียงเขียนความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ง่ายที่สุดลงบนกระดาษแล้วจดว่าตัวเลขแต่ละตัวมีค่าเท่ากับเท่าใดตามสูตรที่อธิบายไว้ข้างต้น

ผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ตอนนี้เรามาดูสูตรที่ช่วยให้เราสามารถคำนวณผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตได้อย่างรวดเร็วในช่วงเวลาที่กำหนด:

หากต้องการหาสูตรสำหรับผลรวมของเทอมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอันจำกัด ให้คูณทุกส่วนของสมการข้างต้นด้วย เราได้รับ:

ดูให้ดี: สองสูตรสุดท้ายมีอะไรเหมือนกัน? ถูกต้อง สมาชิกทั่วไป เป็นต้น ยกเว้นสมาชิกตัวแรกและตัวสุดท้าย ลองลบสมการที่ 1 จากสมการที่ 2 กัน คุณได้อะไร?

ตอนนี้แสดงเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตผ่านสูตรและแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์เป็นสูตรสุดท้ายของเรา:

จัดกลุ่มนิพจน์ คุณควรได้รับ:

สิ่งที่ต้องทำคือแสดง:

ดังนั้นในกรณีนี้

จะเกิดอะไรขึ้นถ้า? แล้วสูตรไหนได้ผลล่ะ? ลองนึกภาพความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ เธอเป็นยังไงบ้าง? ชุดตัวเลขที่เหมือนกันนั้นถูกต้อง ดังนั้นสูตรจึงมีลักษณะดังนี้:

มีตำนานมากมายเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต หนึ่งในนั้นคือตำนานของเซตผู้สร้างหมากรุก

หลายคนรู้ว่าเกมหมากรุกถูกประดิษฐ์ขึ้นในอินเดีย เมื่อกษัตริย์ฮินดูได้พบกับเธอ เขาก็รู้สึกยินดีกับความเฉลียวฉลาดของเธอและท่าทางที่หลากหลายในตัวเธอ เมื่อรู้ว่ามันถูกประดิษฐ์ขึ้นโดยอาสาสมัครคนหนึ่งของเขา กษัตริย์จึงตัดสินใจให้รางวัลแก่เขาเป็นการส่วนตัว เขาเรียกนักประดิษฐ์มาเองและสั่งให้เขาขอทุกสิ่งที่เขาต้องการโดยสัญญาว่าจะตอบสนองแม้แต่ความปรารถนาที่เก่งที่สุด

Seta ขอเวลาคิด และเมื่อวันรุ่งขึ้น Seta ปรากฏตัวต่อหน้ากษัตริย์ เขาก็ทำให้กษัตริย์ประหลาดใจด้วยความสุภาพเรียบร้อยในคำขอของเขาอย่างที่ไม่เคยมีมาก่อน เขาขอให้มอบเมล็ดข้าวสาลีหนึ่งเมล็ดสำหรับกระดานหมากรุกสี่เหลี่ยมแรก, เมล็ดข้าวสาลีสำหรับอันที่สอง, เมล็ดข้าวสาลีสำหรับอันที่สาม, อันที่สี่, ฯลฯ

กษัตริย์โกรธและขับไล่เซธออกไป โดยบอกว่าคำขอของคนรับใช้นั้นไม่คู่ควรกับความมีน้ำใจของกษัตริย์ แต่สัญญาว่าจะรับธัญพืชของเขาสำหรับสี่เหลี่ยมทั้งหมดของกระดาน

และตอนนี้คำถาม: การใช้สูตรสำหรับผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคำนวณว่า Seth ควรได้รับเมล็ดจำนวนเท่าใด

มาเริ่มใช้เหตุผลกัน เนื่องจากตามเงื่อนไข เซธขอเมล็ดข้าวสาลีสำหรับสี่เหลี่ยมแรกของกระดานหมากรุก สี่เหลี่ยมที่สอง ที่สาม สี่ เป็นต้น จากนั้นเราจะเห็นว่าปัญหาเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ในกรณีนี้จะเท่ากับอะไร?
ขวา.

สี่เหลี่ยมรวมของกระดานหมากรุก ตามลำดับ, . เรามีข้อมูลทั้งหมด เหลือเพียงเสียบเข้ากับสูตรและคำนวณ

หากต้องการจินตนาการอย่างน้อยประมาณ "มาตราส่วน" ของจำนวนที่กำหนด เราจะแปลงโดยใช้คุณสมบัติของระดับ:

แน่นอน หากคุณต้องการ คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขและคำนวณว่าคุณจะได้จำนวนเท่าใด และหากไม่เป็นเช่นนั้น คุณจะต้องเชื่อคำพูดของฉัน: ค่าสุดท้ายของนิพจน์จะเป็น
นั่นคือ:

ล้านล้านสี่ล้านล้านล้านล้านล้านพันล้าน

วุ้ย) หากคุณต้องการจินตนาการถึงความใหญ่โตของตัวเลขนี้ ให้ประมาณว่าโรงนาจะต้องใหญ่แค่ไหนเพื่อรองรับเมล็ดพืชทั้งหมดได้
หากโรงนามีความสูง ม. และกว้าง ม. ความยาวจะต้องขยายออกไปอีกกิโลเมตร เช่น ไกลจากโลกถึงดวงอาทิตย์ถึงสองเท่า

หากพระราชาทรงเก่งคณิตศาสตร์ พระองค์อาจเชิญนักวิทยาศาสตร์คนนี้มานับเมล็ดข้าวได้ เพราะในการนับล้านเมล็ด พระองค์ทรงต้องใช้เวลาอย่างน้อยหนึ่งวันในการนับอย่างไม่เหน็ดเหนื่อย และเนื่องจากจำเป็นต้องนับล้านล้าน จะต้องนับเมล็ดพืชตลอดชีวิตของเขา

ทีนี้มาแก้ปัญหาง่ายๆ ที่เกี่ยวข้องกับผลรวมของเทอมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกัน
นักเรียนห้อง 5A วาสยา ป่วยเป็นไข้หวัดใหญ่ แต่ยังไปโรงเรียนต่อไป ทุกๆ วัน วาสยาทำให้คนสองคนติดเชื้อ และในทางกลับกัน ก็ทำให้คนติดเชื้อเพิ่มอีกสองคน และอื่นๆ มีเพียงคนในชั้นเรียนเท่านั้น ทั้งชั้นจะป่วยเป็นไข้หวัดใหญ่ภายในกี่วัน?

ดังนั้นระยะแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือวาสยานั่นคือบุคคล ระยะที่สามของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือคนสองคนที่เขาติดเชื้อในวันแรกที่มาถึง ผลรวมของเงื่อนไขความก้าวหน้าจะเท่ากับจำนวนนักเรียน 5A ดังนั้นเราจึงพูดถึงความก้าวหน้าซึ่ง:

ลองแทนที่ข้อมูลของเราลงในสูตรเพื่อหาผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:

ทั้งชั้นจะป่วยภายในไม่กี่วัน ไม่เชื่อสูตรและตัวเลขเหรอ? พยายามพรรณนาถึง "การติดเชื้อ" ของนักเรียนด้วยตัวเอง มันได้ผลเหรอ? ดูสิว่ามันดูเหมือนกับฉัน:

คำนวณด้วยตัวเองว่าจะใช้เวลากี่วันก่อนที่นักเรียนจะป่วยด้วยไข้หวัดใหญ่หากแต่ละคนติดเชื้อ และมีคนในชั้นเรียนเพียงคนเดียว

คุณได้รับคุณค่าอะไร? ปรากฎว่าทุกคนเริ่มป่วยหลังจากผ่านไปหนึ่งวัน

อย่างที่คุณเห็นงานดังกล่าวและการวาดภาพนั้นมีลักษณะคล้ายกับปิรามิดซึ่งแต่ละงานจะ "นำ" ผู้คนใหม่มา อย่างไรก็ตาม ไม่ช้าก็เร็ว เมื่อสิ่งหลังไม่สามารถดึงดูดใครได้ ในกรณีของเรา ถ้าเราจินตนาการว่าคลาสถูกแยกออกจากกัน บุคคลนั้นจะปิดเชน () ดังนั้นหากบุคคลหนึ่งมีส่วนร่วมในปิรามิดทางการเงินซึ่งมีการให้เงินหากคุณพาผู้เข้าร่วมอีกสองคนมาด้วย บุคคลนั้น (หรือโดยทั่วไป) จะไม่พาใครมาด้วย ดังนั้นจะสูญเสียทุกสิ่งที่พวกเขาลงทุนในการหลอกลวงทางการเงินนี้

ทุกสิ่งที่กล่าวไว้ข้างต้นหมายถึงความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงหรือเพิ่มขึ้น แต่อย่างที่คุณจำได้ เรามีประเภทพิเศษ - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด จะคำนวณผลรวมของสมาชิกได้อย่างไร? และเหตุใดความก้าวหน้าประเภทนี้จึงมีลักษณะเฉพาะบางประการ? ลองคิดออกด้วยกัน

ก่อนอื่น เรามาดูภาพวาดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดจากตัวอย่างของเราอีกครั้ง:

ตอนนี้เรามาดูสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ได้มาจากก่อนหน้านี้เล็กน้อย:
หรือ

เรามุ่งมั่นเพื่ออะไร? ถูกต้องแล้ว กราฟแสดงว่ามีแนวโน้มเป็นศูนย์ นั่นคือที่จะเกือบเท่ากันตามลำดับเมื่อคำนวณนิพจน์เราจะได้เกือบ ในเรื่องนี้ เราเชื่อว่าเมื่อคำนวณผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด วงเล็บนี้สามารถละเลยได้ เนื่องจากมันจะเท่ากัน

- สูตรคือผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

สำคัญ!เราใช้สูตรสำหรับผลรวมของเทอมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดก็ต่อเมื่อเงื่อนไขระบุอย่างชัดเจนว่าเราต้องค้นหาผลรวม ไม่มีที่สิ้นสุดจำนวนสมาชิก

หากมีการระบุตัวเลข n ไว้ เราจะใช้สูตรสำหรับผลรวมของ n พจน์ แม้ว่า หรือ ก็ตาม

ตอนนี้เรามาฝึกกัน

1. ค้นหาผลรวมของเทอมแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วย และ
2. จงหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดด้วย และ

ฉันหวังว่าคุณจะระมัดระวังเป็นอย่างยิ่ง ลองเปรียบเทียบคำตอบของเรา:

ตอนนี้คุณรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว และถึงเวลาเปลี่ยนจากทฤษฎีไปสู่การปฏิบัติ ปัญหาความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่พบบ่อยที่สุดที่พบในการสอบคือปัญหาในการคำนวณดอกเบี้ยทบต้น สิ่งเหล่านี้คือสิ่งที่เราจะพูดถึง

ปัญหาในการคำนวณดอกเบี้ยทบต้น

คุณคงเคยได้ยินชื่อที่เรียกว่าสูตรดอกเบี้ยทบต้น คุณเข้าใจความหมายหรือไม่? ถ้าไม่ ลองมาคิดกันดู เพราะเมื่อคุณเข้าใจกระบวนการแล้ว คุณจะเข้าใจได้ทันทีว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเกี่ยวข้องกับมันอย่างไร

เราทุกคนไปที่ธนาคารและรู้ว่ามี เงื่อนไขที่แตกต่างกันเงินฝาก: นี่คือเงื่อนไขและบริการเพิ่มเติมและดอกเบี้ยสองประการ ในรูปแบบต่างๆการคำนวณ - ง่ายและซับซ้อน

กับ ดอกเบี้ยง่ายๆทุกอย่างชัดเจนไม่มากก็น้อย: ดอกเบี้ยจะเกิดขึ้นหนึ่งครั้งเมื่อสิ้นสุดระยะเวลาการฝาก นั่นคือถ้าเราบอกว่าเราฝากเงิน 100 รูเบิลเป็นเวลาหนึ่งปี พวกเขาจะได้รับเครดิตในช่วงปลายปีเท่านั้น ดังนั้นเมื่อสิ้นสุดการฝากเงินเราจะได้รับรูเบิล

ดอกเบี้ยทบต้น- นี่คือตัวเลือกที่เกิดขึ้น การแปลงดอกเบี้ยเป็นทุน, เช่น. นอกเหนือจากจำนวนเงินฝากและการคำนวณรายได้ในภายหลังไม่ใช่จากเริ่มต้น แต่จากจำนวนเงินฝากสะสม การใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่ไม่ได้เกิดขึ้นอย่างต่อเนื่อง แต่มีความถี่อยู่บ้าง ตามกฎแล้ว ระยะเวลาดังกล่าวจะเท่ากัน และส่วนใหญ่ธนาคารมักใช้เดือน ไตรมาส หรือปี

สมมติว่าเราฝากเงินรูเบิลเท่ากันทุกปี แต่ใช้มูลค่าเงินฝากเป็นรายเดือน เรากำลังทำอะไรอยู่?

คุณเข้าใจทุกอย่างที่นี่หรือไม่? ถ้าไม่ลองคิดดูทีละขั้นตอน

เรานำรูเบิลไปที่ธนาคาร ภายในสิ้นเดือน เราควรมีจำนวนเงินในบัญชีของเราซึ่งประกอบด้วยรูเบิลของเราพร้อมดอกเบี้ยนั่นคือ:

เห็นด้วย?

เราสามารถเอามันออกจากวงเล็บ แล้วเราจะได้:

เห็นด้วยสูตรนี้คล้ายกับที่เราเขียนไว้ตอนต้นมากกว่าแล้ว ที่เหลือก็แค่หาเปอร์เซ็นต์

ในคำชี้แจงปัญหา เราจะแจ้งเกี่ยวกับอัตรารายปี ดังที่คุณทราบ เราไม่ได้คูณด้วย - เราแปลงเปอร์เซ็นต์เป็น ทศนิยมนั่นคือ:

ขวา? ตอนนี้คุณอาจถามว่าตัวเลขมาจากไหน? ง่ายมาก!
ฉันพูดซ้ำ: คำแถลงปัญหาพูดถึง ประจำปีดอกเบี้ยที่เกิดขึ้น รายเดือน- ดังที่คุณทราบ ในหนึ่งปีของเดือน ธนาคารจะคิดดอกเบี้ยรายปีส่วนหนึ่งต่อเดือนจากเรา:

เข้าใจไหม? ทีนี้ลองเขียนว่าส่วนนี้ของสูตรจะเป็นอย่างไรถ้าฉันบอกว่าคำนวณดอกเบี้ยรายวัน
คุณจัดการหรือไม่? ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์:

ทำได้ดี! กลับไปที่งานของเรา: เขียนจำนวนเงินที่จะเข้าบัญชีของเราในเดือนที่สองโดยคำนึงถึงดอกเบี้ยที่เกิดขึ้นกับจำนวนเงินฝากสะสม
นี่คือสิ่งที่ฉันได้รับ:

หรืออีกนัยหนึ่ง:

ฉันคิดว่าคุณได้สังเกตเห็นรูปแบบหนึ่งแล้วและเห็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตในเรื่องทั้งหมดนี้ เขียนว่าสมาชิกจะเท่ากับเท่าใด หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือเราจะได้รับเงินจำนวนเท่าใดเมื่อสิ้นเดือน
ทำ? มาตรวจสอบกัน!

อย่างที่คุณเห็น หากคุณฝากเงินในธนาคารด้วยอัตราดอกเบี้ยธรรมดาเป็นเวลาหนึ่งปี คุณจะได้รับรูเบิล และหากใช้อัตราดอกเบี้ยทบต้น คุณจะได้รับรูเบิล ผลประโยชน์มีน้อย แต่สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเฉพาะในช่วงปีนั้นเท่านั้น แต่สำหรับระยะเวลาที่นานกว่านั้น การลงทุนจะทำกำไรได้มากกว่ามาก:

ลองดูปัญหาอีกประเภทหนึ่งเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น หลังจากสิ่งที่คุณคิดได้แล้วมันจะเป็นเรื่องพื้นฐานสำหรับคุณ ดังนั้นภารกิจ:

บริษัท Zvezda เริ่มลงทุนในอุตสาหกรรมนี้ในปี 2000 ด้วยทุนเป็นดอลลาร์ ทุกปีตั้งแต่ปี 2544 ก็มีกำไรเท่ากับทุนของปีก่อน บริษัท Zvezda จะได้รับกำไรเท่าใด ณ สิ้นปี 2546 หากไม่ถอนกำไรออกจากการหมุนเวียน

เมืองหลวงของบริษัท Zvezda ในปี 2543
- เมืองหลวงของ บริษัท Zvezda ในปี 2544
- เมืองหลวงของ บริษัท Zvezda ในปี 2545
- เมืองหลวงของ บริษัท Zvezda ในปี 2546

หรือเราจะเขียนสั้นๆ ว่า:

สำหรับกรณีของเรา:

พ.ศ. 2543, 2544, 2545 และ 2546

ตามลำดับ:
รูเบิล
โปรดทราบว่าในปัญหานี้ เราไม่มีการหารโดยหรือตาม เนื่องจากเปอร์เซ็นต์จะได้รับเป็นรายปีและมีการคำนวณเป็นรายปี นั่นคือเมื่ออ่านปัญหาเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้นให้ใส่ใจกับเปอร์เซ็นต์ที่ได้รับและคำนวณในช่วงเวลาใดจากนั้นจึงทำการคำนวณต่อ
ตอนนี้คุณรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว

การฝึกอบรม.

1. ค้นหาเทอมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหากทราบแล้ว และ
2. หาผลรวมของเทอมแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตถ้าทราบ และ
3. บริษัท MDM Capital เริ่มลงทุนในอุตสาหกรรมนี้ในปี 2546 โดยมีทุนเป็นสกุลเงินดอลลาร์ ทุกปีตั้งแต่ปี 2547 ก็มีกำไรเท่ากับทุนของปีก่อน บริษัท MSK Cash Flows เริ่มลงทุนในอุตสาหกรรมนี้ในปี 2548 ด้วยมูลค่า 10,000 ดอลลาร์ เริ่มทำกำไรในปี 2549 ด้วยจำนวนเงิน เงินทุนของบริษัทหนึ่งมีมูลค่ามากกว่าอีกบริษัทหนึ่ง ณ สิ้นปี 2550 กี่ดอลลาร์หากไม่ถอนกำไรออกจากการหมุนเวียน?

คำตอบ:

1. เนื่องจากคำแถลงปัญหาไม่ได้บอกว่าความก้าวหน้านั้นไม่มีที่สิ้นสุดและจำเป็นต้องค้นหาผลรวมของจำนวนเงื่อนไขที่ระบุ การคำนวณจึงดำเนินการตามสูตร:
2. 
   บริษัท เอ็มดีเอ็ม แคปปิตอล:

   2546, 2547, 2548, 2549, 2550.
   - เพิ่มขึ้น 100% นั่นคือ 2 เท่า
   ตามลำดับ:
   รูเบิล
   บริษัท MSK กระแสเงินสด:

   2548, 2549, 2550.
   - เพิ่มขึ้นทีละครั้ง
   ตามลำดับ:
   รูเบิล
   รูเบิล

มาสรุปกัน

1) ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ( ) เป็นลำดับตัวเลข เทอมแรกแตกต่างจากศูนย์ และแต่ละเทอมเริ่มจากวินาทีจะเท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยตัวเลขเดียวกัน จำนวนนี้เรียกว่าตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

2) สมการของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ

3) สามารถรับค่าใดก็ได้ยกเว้นและ

• ถ้าเงื่อนไขที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้ามีเครื่องหมายเดียวกัน - พวกเขา เป็นบวก;
• ถ้าแล้วเงื่อนไขที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้า สัญญาณทางเลือก;
• เมื่อ - ความก้าวหน้าเรียกว่าลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

4) ด้วย - คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (เงื่อนไขที่อยู่ติดกัน)

หรือ
, ที่ (เงื่อนไขระยะเท่ากัน)

เมื่อพบแล้วอย่าลืมสิ่งนั้น ควรมีสองคำตอบ.

ตัวอย่างเช่น,

5) ผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคำนวณโดยสูตร:
หรือ

หากความก้าวหน้าลดลงอย่างไม่สิ้นสุด ดังนั้น:
หรือ

สำคัญ!เราใช้สูตรสำหรับผลรวมของเทอมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดก็ต่อเมื่อเงื่อนไขระบุอย่างชัดเจนว่าเราจำเป็นต้องค้นหาผลรวมของเทอมที่มีจำนวนอนันต์

6) ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับดอกเบี้ยทบต้นยังคำนวณโดยใช้สูตรสำหรับเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยมีเงื่อนไขว่า เงินสดไม่ได้ถูกถอนออกจากการหมุนเวียน:

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต( ) เป็นลำดับตัวเลข โดยเทอมแรกแตกต่างจากศูนย์ และแต่ละเทอมเริ่มจากวินาทีจะเท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยตัวเลขเดียวกัน เบอร์นี้มีชื่อว่า ตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถใช้ค่าใดๆ ก็ได้ ยกเว้น และ

• หากเงื่อนไขที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้ามีเครื่องหมายเดียวกัน - ถือว่าเป็นค่าบวก
• ถ้า จากนั้นสมาชิกที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้าจะสลับสัญญาณกัน
• เมื่อ - ความก้าวหน้าเรียกว่าลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

สมการของเงื่อนไขความก้าวหน้าทางเรขาคณิต - .

ผลรวมของเงื่อนไขความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคำนวณโดยสูตร:
หรือ