การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน พร้อมวิธีแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน

ในบทความเราจะพิจารณา การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน- เราจะบอกคุณอย่างชัดเจนเกี่ยวกับ จะสร้างวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันได้อย่างไรพร้อมตัวอย่างที่ชัดเจน!

ก่อนที่เราจะดูการแก้ไขอสมการโดยใช้ตัวอย่าง เรามาทำความเข้าใจแนวคิดพื้นฐานกันก่อน

ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกัน

ความไม่เท่าเทียมกันคือนิพจน์ที่ฟังก์ชันต่างๆ เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายความสัมพันธ์ >, อสมการสามารถเป็นได้ทั้งตัวเลขและตัวอักษร
อสมการที่มีสองเครื่องหมายของอัตราส่วนเรียกว่าสองเท่าโดยมีสาม - สามเท่าเป็นต้น ตัวอย่างเช่น:
ก(x) > ข(x)
ก(x) ก(x) ข(x)
ก(x) ข(x)
ก(x) อสมการที่มีเครื่องหมาย > หรือ หรือ - ไม่เข้มงวด
การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันคือค่าใดๆ ของตัวแปรที่ทำให้อสมการนี้เป็นจริง
"แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน" หมายความว่า เราต้องค้นหาเซตของคำตอบของมันให้หมด ซึ่งมีหลากหลาย วิธีการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน- สำหรับ การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันพวกเขาใช้เส้นจำนวนซึ่งเป็นอนันต์ ตัวอย่างเช่น, การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน x > 3 คือช่วงเวลาจาก 3 ถึง + และตัวเลข 3 จะไม่รวมอยู่ในช่วงเวลานี้ ดังนั้นจุดบนเส้นจึงแสดงด้วยวงกลมว่าง เนื่องจาก ความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด
+
คำตอบจะเป็น: x (3; +)
ค่า x=3 ไม่รวมอยู่ในชุดคำตอบ ดังนั้นวงเล็บจึงเป็นทรงกลม เครื่องหมายอนันต์จะถูกเน้นด้วยวงเล็บเสมอ เครื่องหมายหมายถึง "เป็นของ"
ลองดูวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันโดยใช้ตัวอย่างอื่นที่มีเครื่องหมาย:
x2
-+
ค่า x=2 รวมอยู่ในชุดวิธีแก้ปัญหา ดังนั้นวงเล็บจึงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและจุดบนเส้นถูกระบุด้วยวงกลมที่เติมไว้
คำตอบจะเป็น: x. ทุกคนเข้าใจว่ากำลังถูกหลอก แต่ไม่มีใครเข้าใจว่าการหลอกลวงประกอบด้วยอะไร

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ฉีโนใน Aporia ของเขาแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนจากปริมาณเป็น การเปลี่ยนแปลงนี้หมายถึงการใช้งานแทนที่จะเป็นแบบถาวร เท่าที่ฉันเข้าใจ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการใช้หน่วยการวัดแบบแปรผันยังไม่ได้รับการพัฒนา หรือไม่ได้นำไปใช้กับ Aporia ของ Zeno การใช้ตรรกะตามปกติของเราจะนำเราเข้าสู่กับดัก เนื่องจากความเฉื่อยของการคิด เราใช้หน่วยเวลาคงที่กับค่าส่วนกลับ จากมุมมองทางกายภาพ ดูเหมือนว่าเวลาจะเดินช้าลงจนกระทั่งหยุดสนิทในขณะที่ Achilles ตามทันเต่า หากเวลาหยุดลง Achilles จะไม่สามารถวิ่งเร็วกว่าเต่าได้อีกต่อไป

ถ้าเราเปลี่ยนตรรกะตามปกติ ทุกอย่างก็เข้าที่ Achilles วิ่งด้วยความเร็วคงที่ แต่ละส่วนต่อมาของเส้นทางของเขาจะสั้นกว่าส่วนก่อนหน้าสิบเท่า ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเอาชนะจึงน้อยกว่าครั้งก่อนถึงสิบเท่า หากเราใช้แนวคิดเรื่อง "อนันต์" ในสถานการณ์นี้ ก็คงจะถูกต้องที่จะพูดว่า "อคิลลีสจะไล่ตามเต่าอย่างรวดเร็วอย่างไม่สิ้นสุด"

จะหลีกเลี่ยงกับดักเชิงตรรกะนี้ได้อย่างไร? คงอยู่ในหน่วยเวลาคงที่และอย่าเปลี่ยนไปใช้หน่วยต่างตอบแทน ในภาษาของ Zeno มีลักษณะดังนี้:

ในเวลาที่อคิลลีสต้องวิ่งพันก้าว เต่าจะคลานไปในทิศทางเดียวกันนับร้อยก้าว สำหรับช่วงเวลาต่อไป เท่ากับครั้งแรกอคิลลีสจะวิ่งอีกพันก้าว และเต่าจะคลานไปหนึ่งร้อยก้าว ตอนนี้อคิลลิสนำหน้าเต่าไปแปดร้อยก้าว

แนวทางนี้อธิบายความเป็นจริงได้อย่างเพียงพอโดยไม่มีความขัดแย้งทางตรรกะใดๆ แต่นี่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ คำกล่าวของไอน์สไตน์เกี่ยวกับความเร็วแสงที่ไม่อาจต้านทานได้นั้นคล้ายคลึงกับเรื่อง Aporia เรื่อง "Achilles and the Tortoise" ของ Zeno มาก เรายังต้องศึกษา คิดใหม่ และแก้ไขปัญหานี้ และต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาไม่ใช่ในจำนวนมากไม่สิ้นสุด แต่ต้องค้นหาในหน่วยการวัด

Aporia ที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งของ Zeno เล่าเกี่ยวกับลูกศรบิน:

ลูกธนูที่บินอยู่นั้นไม่เคลื่อนไหว เนื่องจากมันจะอยู่นิ่งทุกช่วงเวลา และเนื่องจากมันอยู่นิ่งอยู่ทุกช่วงเวลา มันจึงอยู่นิ่งอยู่เสมอ

ใน aporia นี้ ความขัดแย้งเชิงตรรกะจะเอาชนะได้ง่ายมาก - ก็เพียงพอที่จะชี้แจงว่าในแต่ละช่วงเวลาลูกศรที่บินอยู่จะหยุดนิ่ง ณ จุดต่าง ๆ ในอวกาศ ซึ่งในความเป็นจริงคือการเคลื่อนไหว อีกประเด็นหนึ่งที่ต้องสังเกตที่นี่ จากภาพถ่ายของรถยนต์คันหนึ่งบนท้องถนนไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวหรือระยะทางได้ ในการพิจารณาว่ารถยนต์กำลังเคลื่อนที่อยู่หรือไม่ คุณต้องถ่ายรูปสองรูปจากจุดเดียวกัน ช่วงเวลาที่แตกต่างกันเวลาแต่ไม่สามารถกำหนดระยะทางได้ ในการกำหนดระยะทางถึงรถยนต์คุณต้องมีภาพถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดต่าง ๆ ในอวกาศ ณ จุดใดเวลาหนึ่ง แต่จากภาพถ่ายเหล่านี้คุณไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวได้ (แน่นอนว่าคุณยังต้องการข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณ ตรีโกณมิติจะช่วยคุณ ). สิ่งที่ฉันต้องการให้ความสนใจเป็นพิเศษคือจุดสองจุดในเวลาและสองจุดในอวกาศเป็นสิ่งที่ต่างกันซึ่งไม่ควรสับสนเพราะพวกเขาให้ ความเป็นไปได้ที่แตกต่างกันเพื่อการวิจัย

วันพุธที่ 4 กรกฎาคม 2018

ความแตกต่างระหว่างชุดและหลายชุดมีการอธิบายไว้เป็นอย่างดีในวิกิพีเดีย มาดูกัน.

ดังที่คุณเห็นว่า “ในเซตหนึ่งจะมีองค์ประกอบที่เหมือนกันไม่ได้” แต่หากมีองค์ประกอบที่เหมือนกันในชุดหนึ่ง เซตดังกล่าวจะเรียกว่า “มัลติเซต” สิ่งมีชีวิตที่มีเหตุผลจะไม่มีวันเข้าใจตรรกะที่ไร้สาระเช่นนี้ นี่คือระดับของนกแก้วพูดได้และลิงฝึกหัดที่ไม่มีสติปัญญาจากคำว่า "สมบูรณ์" นักคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นผู้ฝึกสอนธรรมดาๆ โดยสั่งสอนแนวคิดที่ไร้สาระของพวกเขาให้เราฟัง

กาลครั้งหนึ่ง วิศวกรผู้สร้างสะพานอยู่ในเรือใต้สะพานขณะทดสอบสะพาน หากสะพานพัง วิศวกรธรรมดาๆ ก็เสียชีวิตภายใต้ซากปรักหักพังที่เขาสร้างขึ้น หากสะพานสามารถรับน้ำหนักได้ วิศวกรผู้มีความสามารถก็สร้างสะพานอื่นขึ้นมา

ไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะซ่อนอยู่เบื้องหลังวลีที่ว่า "โปรดบอกฉันหน่อย ฉันอยู่ในบ้าน" หรือ "คณิตศาสตร์ศึกษาแนวคิดเชิงนามธรรม" อย่างไร มีสายสะดือเส้นหนึ่งที่เชื่อมโยงพวกเขากับความเป็นจริงอย่างแยกไม่ออก สายสะดือนี้คือเงิน ใช้งานได้ ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ให้กับนักคณิตศาสตร์เอง

เราเรียนคณิตศาสตร์ดีมาก และตอนนี้เรากำลังนั่งอยู่ที่เครื่องคิดเงิน แจกเงินเดือน นักคณิตศาสตร์มาหาเราเพื่อเงินของเขา เรานับจำนวนเงินทั้งหมดให้เขาแล้ววางลงบนโต๊ะของเราเป็นกองต่างๆ โดยเราใส่ธนบัตรที่มีสกุลเงินเดียวกัน จากนั้นเราจะหยิบบิลหนึ่งใบจากแต่ละกอง และมอบ "ชุดเงินเดือนทางคณิตศาสตร์" ให้กับนักคณิตศาสตร์ ให้เราอธิบายให้นักคณิตศาสตร์ฟังว่าเขาจะได้รับบิลที่เหลือก็ต่อเมื่อเขาพิสูจน์ว่าเซตที่ไม่มีสมาชิกเหมือนกันจะไม่เท่ากับเซตที่มีสมาชิกเหมือนกัน นี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก

ก่อนอื่น ตรรกะของเจ้าหน้าที่จะได้ผล: “สิ่งนี้ใช้ได้กับผู้อื่น แต่ไม่ใช่กับฉัน!” จากนั้นพวกเขาจะเริ่มทำให้เรามั่นใจว่าตั๋วเงินประเภทเดียวกันมีหมายเลขบิลที่แตกต่างกัน ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถพิจารณาว่าเป็นองค์ประกอบเดียวกันได้ เอาล่ะ เรามานับเงินเดือนเป็นเหรียญกันดีกว่า - ไม่มีตัวเลขบนเหรียญ ที่นี่นักคณิตศาสตร์จะเริ่มจดจำฟิสิกส์อย่างเมามัน: มีเหรียญที่แตกต่างกัน ปริมาณที่แตกต่างกันสิ่งสกปรก โครงสร้างผลึก และการจัดเรียงอะตอมของเหรียญแต่ละเหรียญมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว...

และตอนนี้ฉันมีมากที่สุด คำถามที่น่าสนใจ: เส้นตรงที่องค์ประกอบของ multiset กลายเป็นองค์ประกอบของ set และในทางกลับกันอยู่ที่ไหน? ไม่มีเส้นดังกล่าว - ทุกอย่างถูกตัดสินโดยหมอผีวิทยาศาสตร์ไม่ได้ใกล้เคียงกับการโกหกที่นี่ด้วยซ้ำ

ดูที่นี่ เราคัดเลือกสนามฟุตบอลที่มีพื้นที่สนามเดียวกัน พื้นที่ในทุ่งเหมือนกัน - ซึ่งหมายความว่าเรามีชุดหลายชุด แต่ถ้าเราดูชื่อสนามเดียวกันนี้ เราจะได้หลายชื่อ เพราะชื่อต่างกัน อย่างที่คุณเห็น ชุดองค์ประกอบเดียวกันนั้นเป็นทั้งเซตและมัลติเซต ข้อไหนถูกต้อง? และที่นี่นักคณิตศาสตร์ - หมอผี - นักแม่นปืนดึงเอซออกมาจากแขนเสื้อของเขาและเริ่มบอกเราเกี่ยวกับชุดหรือชุดหลายชุด ไม่ว่าในกรณีใดเขาจะโน้มน้าวเราว่าเขาพูดถูก

เพื่อทำความเข้าใจว่าหมอผียุคใหม่ดำเนินการอย่างไรกับทฤษฎีเซตโดยเชื่อมโยงกับความเป็นจริงก็เพียงพอที่จะตอบคำถามหนึ่งข้อ: องค์ประกอบของชุดหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของชุดอื่นอย่างไร ฉันจะแสดงให้คุณเห็น โดยไม่มี "สิ่งที่เป็นไปได้ว่าไม่ใช่ทั้งหมดเดียว" หรือ "ไม่สามารถเป็นไปได้ในภาพรวมเดียว"

วันอาทิตย์ที่ 18 มีนาคม 2018

ผลรวมของตัวเลขคือการเต้นรำของหมอผีกับแทมบูรีนซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์เลย ใช่ ในบทเรียนคณิตศาสตร์ เราสอนให้หาผลรวมของตัวเลขแล้วนำไปใช้ แต่นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงเป็นหมอผี เพื่อสอนทักษะและสติปัญญาแก่ลูกหลาน ไม่เช่นนั้นหมอผีก็จะตายไป

คุณต้องการหลักฐานหรือไม่? เปิด Wikipedia แล้วลองค้นหาหน้า "ผลรวมของตัวเลข" เธอไม่มีอยู่จริง ไม่มีสูตรในคณิตศาสตร์ที่สามารถใช้เพื่อค้นหาผลรวมของตัวเลขใดๆ ได้ ท้ายที่สุดแล้วตัวเลขคือสัญลักษณ์กราฟิกที่เราเขียนตัวเลขและในภาษาคณิตศาสตร์งานจะมีลักษณะดังนี้: "ค้นหาผลรวมของสัญลักษณ์กราฟิกที่แสดงถึงตัวเลขใดๆ" นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้ แต่หมอผีสามารถทำได้ง่ายๆ

เรามาดูกันว่าเราทำอะไรและอย่างไรเพื่อหาผลรวมของตัวเลขที่กำหนด เอาล่ะ เรามีเลข 12345 กัน จะต้องทำอย่างไรจึงจะหาผลรวมของเลขตัวนี้ได้? พิจารณาขั้นตอนทั้งหมดตามลำดับ

1. เขียนหมายเลขลงบนกระดาษ เราทำอะไรไปแล้วบ้าง? เราได้แปลงตัวเลขให้เป็นสัญลักษณ์ตัวเลขแบบกราฟิก นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

2. เราตัดรูปภาพผลลัพธ์หนึ่งรูปภาพออกเป็นหลายรูปภาพที่มีตัวเลขแต่ละตัว การตัดภาพไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

3. แปลงสัญลักษณ์กราฟิกแต่ละรายการเป็นตัวเลข นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

4. เพิ่มตัวเลขผลลัพธ์ ตอนนี้เป็นคณิตศาสตร์

ผลรวมของตัวเลข 12345 คือ 15 นี่คือ "หลักสูตรการตัดเย็บ" ที่สอนโดยหมอผีที่นักคณิตศาสตร์ใช้ แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ไม่สำคัญว่าเราจะเขียนตัวเลขในระบบตัวเลขใด ดังนั้นในระบบตัวเลขที่ต่างกันผลรวมของตัวเลขของตัวเลขเดียวกันจะแตกต่างกัน ในทางคณิตศาสตร์ ระบบตัวเลขจะแสดงเป็นตัวห้อยทางด้านขวาของตัวเลข กับ จำนวนมาก 12345 ฉันไม่อยากหลอกหัว มาดูหมายเลข 26 จากบทความเกี่ยวกับ ลองเขียนตัวเลขนี้ในระบบเลขฐานสอง ฐานแปด ทศนิยม และเลขฐานสิบหก เราจะไม่มองทุกขั้นตอนด้วยกล้องจุลทรรศน์ เราได้ทำไปแล้ว มาดูผลลัพธ์กันดีกว่า

อย่างที่คุณเห็น ในระบบตัวเลขที่ต่างกัน ผลรวมของตัวเลขของตัวเลขเดียวกันจะแตกต่างกัน ผลลัพธ์นี้ไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ เหมือนกับว่าคุณกำหนดพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นเมตรและเซนติเมตร คุณจะได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

ศูนย์มีลักษณะเหมือนกันในทุกระบบตัวเลขและไม่มีผลรวมของตัวเลข นี่เป็นอีกข้อโต้แย้งที่สนับสนุนความจริงที่ว่า คำถามสำหรับนักคณิตศาสตร์: สิ่งที่ไม่ใช่ตัวเลขที่กำหนดในคณิตศาสตร์เป็นอย่างไร? อะไรนะสำหรับนักคณิตศาสตร์ไม่มีอะไรอยู่เลยนอกจากตัวเลข? ฉันสามารถอนุญาตให้หมอผีทำได้ แต่ไม่ใช่สำหรับนักวิทยาศาสตร์ ความจริงไม่ใช่แค่เกี่ยวกับตัวเลขเท่านั้น

ผลลัพธ์ที่ได้ควรถือเป็นข้อพิสูจน์ว่าระบบตัวเลขเป็นหน่วยวัดของตัวเลข ท้ายที่สุดแล้ว เราไม่สามารถเปรียบเทียบตัวเลขกับหน่วยการวัดที่แตกต่างกันได้ หากการกระทำเดียวกันกับหน่วยการวัดปริมาณเดียวกันต่างกันนำไปสู่ ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันหลังจากเปรียบเทียบแล้ว แสดงว่ามันไม่เกี่ยวอะไรกับคณิตศาสตร์เลย

คณิตศาสตร์ที่แท้จริงคืออะไร? นี่คือเมื่อผลลัพธ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับขนาดของตัวเลข หน่วยการวัดที่ใช้ และผู้ที่ดำเนินการนี้

โอ้! นี่มันห้องน้ำหญิงไม่ใช่เหรอ?
- หญิงสาว! นี่คือห้องปฏิบัติการสำหรับศึกษาความบริสุทธิ์ของจิตวิญญาณที่ไม่สิ้นสุดระหว่างการขึ้นสู่สวรรค์! รัศมีอยู่ด้านบนและลูกศรขึ้น ห้องน้ำอะไรอีก?

หญิง... รัศมีบนและลูกศรล่างเป็นชาย

หากงานศิลปะการออกแบบดังกล่าวกะพริบต่อหน้าต่อตาคุณหลายครั้งต่อวัน

จึงไม่น่าแปลกใจที่คุณจะพบไอคอนแปลก ๆ ในรถของคุณโดยฉับพลัน:

โดยส่วนตัวแล้วฉันพยายามเห็นลบสี่องศาในคนเซ่อ (ภาพเดียว) (องค์ประกอบของภาพหลายภาพ: เครื่องหมายลบ, หมายเลขสี่, การกำหนดองศา) และฉันไม่คิดว่าผู้หญิงคนนี้จะเป็นคนโง่ที่ไม่รู้ฟิสิกส์ เธอมีทัศนคติที่ชัดเจนในการรับรู้ภาพกราฟิก และนักคณิตศาสตร์ก็สอนเราเรื่องนี้ตลอดเวลา นี่คือตัวอย่าง

1A ไม่ใช่ "ลบสี่องศา" หรือ "หนึ่ง a" นี่คือ "คนขี้" หรือเลข "ยี่สิบหก" ในรูปแบบเลขฐานสิบหก คนเหล่านั้นที่ทำงานในระบบตัวเลขนี้อย่างต่อเนื่องจะรับรู้ตัวเลขและตัวอักษรเป็นสัญลักษณ์กราฟิกเดียวโดยอัตโนมัติ

ความไม่เท่าเทียมและระบบความไม่เท่าเทียมกันเป็นหนึ่งในหัวข้อที่กล่าวถึง โรงเรียนมัธยมปลายในพีชคณิต ในแง่ของระดับความยากนั้นไม่ใช่เรื่องยากที่สุดเนื่องจากมีกฎง่ายๆ (เพิ่มเติมในภายหลัง) ตามกฎแล้ว เด็กนักเรียนเรียนรู้ที่จะแก้ระบบความไม่เท่าเทียมได้อย่างง่ายดาย นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าครูเพียงแค่ "ฝึกอบรม" นักเรียนในหัวข้อนี้ และพวกเขาอดไม่ได้ที่จะทำเช่นนี้ เนื่องจากมีการศึกษาในอนาคตโดยใช้ปริมาณทางคณิตศาสตร์อื่นๆ และยังได้รับการทดสอบในการสอบ Unified State และการสอบ Unified State อีกด้วย ในตำราเรียนของโรงเรียนหัวข้อของความไม่เท่าเทียมและระบบของความไม่เท่าเทียมกันนั้นครอบคลุมรายละเอียดมาก ดังนั้นหากคุณจะศึกษามัน วิธีที่ดีที่สุดคือหันไปใช้สิ่งเหล่านี้ บทความนี้จะสรุปเฉพาะเนื้อหาที่มีขนาดใหญ่กว่าเท่านั้น และอาจมีการละเว้นอยู่บ้าง

แนวคิดของระบบความไม่เท่าเทียมกัน

ถ้าเราหันไปใช้ภาษาวิทยาศาสตร์ เราก็สามารถกำหนดแนวคิดเรื่อง “ระบบความไม่เท่าเทียม” ได้ นี่คือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่แสดงถึงความไม่เท่าเทียมกันหลายประการ แน่นอนว่าแบบจำลองนี้จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหาและนี่จะเป็นคำตอบทั่วไปสำหรับความไม่เท่าเทียมกันของระบบที่เสนอในงาน (โดยปกติจะเขียนแบบนี้เช่น: “ แก้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน 4 x + 1 > 2 และ 30 - x > 6... ") อย่างไรก็ตาม ก่อนที่จะไปยังประเภทและวิธีการแก้ปัญหา คุณต้องเข้าใจอย่างอื่นก่อน

ระบบอสมการและระบบสมการ

เมื่อเรียนรู้หัวข้อใหม่มักเกิดความเข้าใจผิด ในอีกด้านหนึ่ง ทุกอย่างชัดเจนและคุณต้องการเริ่มแก้ไขงานโดยเร็วที่สุด แต่ในทางกลับกัน บางช่วงเวลายังคงอยู่ใน "เงา" และยังไม่เป็นที่เข้าใจทั้งหมด นอกจากนี้องค์ประกอบบางส่วนของความรู้ที่ได้รับแล้วอาจเกี่ยวพันกับความรู้ใหม่ได้ เนื่องจาก "การซ้อนทับ" นี้ จึงมักเกิดข้อผิดพลาดขึ้น

ดังนั้น ก่อนที่เราจะเริ่มวิเคราะห์หัวข้อของเรา เราควรจดจำความแตกต่างระหว่างสมการและอสมการและระบบของสมการต่างๆ ในการทำเช่นนี้ เราต้องอธิบายอีกครั้งว่าแนวคิดทางคณิตศาสตร์เหล่านี้แสดงถึงอะไร สมการมีความเท่าเทียมกันเสมอและจะเท่ากับบางสิ่งบางอย่างเสมอ (ในทางคณิตศาสตร์คำนี้แสดงด้วยเครื่องหมาย "=") อสมการคือแบบจำลองที่ปริมาณหนึ่งมีค่ามากกว่าหรือน้อยกว่าปริมาณอื่น หรือมีข้อความที่บอกว่าไม่เท่ากัน ดังนั้นในกรณีแรกจึงเหมาะสมที่จะพูดถึงความเท่าเทียมกันและในกรณีที่สองไม่ว่าชื่อจะฟังดูชัดเจนแค่ไหนก็ตามเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันของข้อมูลเริ่มต้น ระบบสมการและอสมการในทางปฏิบัติไม่ได้แตกต่างกันและวิธีการแก้ก็เหมือนกัน ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือในกรณีแรกมีการใช้ความเท่าเทียมกัน และในกรณีที่สองมีการใช้ความไม่เท่าเทียมกัน

ประเภทของความไม่เท่าเทียมกัน

อสมการมีสองประเภท: ตัวเลขและตัวแปรที่ไม่รู้จัก ประเภทแรกแสดงถึงค่าที่ให้ไว้ (ตัวเลข) ที่ไม่เท่ากัน เช่น 8 > 10 ประเภทที่สองคือความไม่เท่าเทียมกันที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก (แสดงด้วยตัวอักษรบางตัว ตัวอักษรละตินมักเป็น X) จำเป็นต้องค้นหาตัวแปรนี้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์จะแยกความแตกต่างระหว่างความไม่เท่าเทียมกันกับตัวแปรหนึ่งตัว (พวกมันประกอบกันเป็นระบบของความไม่เท่ากันด้วยตัวแปรตัวเดียว) หรือตัวแปรหลายตัว (พวกมันประกอบกันเป็นระบบของความไม่เท่ากันที่มีตัวแปรหลายตัว) ขึ้นอยู่กับจำนวนที่มีอยู่

สองประเภทสุดท้ายตามระดับของการก่อสร้างและระดับความซับซ้อนของการแก้ปัญหาแบ่งออกเป็นแบบง่ายและซับซ้อน สิ่งธรรมดาเรียกอีกอย่างว่าอสมการเชิงเส้น ในทางกลับกันก็แบ่งออกเป็นเข้มงวดและไม่เข้มงวด ที่เข้มงวดโดยเฉพาะ "พูด" ว่าปริมาณหนึ่งจะต้องน้อยกว่าหรือมากกว่านั้น ดังนั้นจึงเป็นเช่นนั้น รูปแบบบริสุทธิ์ความไม่เท่าเทียมกัน สามารถยกตัวอย่างได้หลายตัวอย่าง: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 เป็นต้น ตัวอย่างที่ไม่เข้มงวดยังรวมถึงความเท่าเทียมกันด้วย นั่นคือ ค่าหนึ่งสามารถมากกว่าหรือเท่ากับอีกค่าหนึ่งได้ (เครื่องหมาย “≥”) หรือน้อยกว่าหรือเท่ากับอีกค่าหนึ่ง (เครื่องหมาย “≤”) แม้แต่ในอสมการเชิงเส้น ตัวแปรไม่ได้อยู่ที่ราก สี่เหลี่ยม หรือหารด้วยสิ่งใดๆ ก็ไม่ลงตัว ซึ่งเป็นสาเหตุว่าทำไมจึงเรียกว่า "แบบง่าย" ตัวแปรที่ซับซ้อนเกี่ยวข้องกับตัวแปรที่ไม่รู้จักซึ่งต้องใช้คณิตศาสตร์ในการค้นหามากขึ้น พวกมันมักจะอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ลูกบาศก์ หรือใต้ราก พวกมันสามารถเป็นแบบโมดูลาร์ ลอการิทึม เศษส่วน ฯลฯ แต่เนื่องจากงานของเราคือความต้องการที่จะเข้าใจวิธีแก้ปัญหาของระบบความไม่เท่าเทียมกัน เราจะพูดถึงระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น . อย่างไรก็ตามก่อนหน้านั้นควรพูดอะไรสักสองสามคำเกี่ยวกับคุณสมบัติของพวกเขา

คุณสมบัติของอสมการ

คุณสมบัติของอสมการมีดังต่อไปนี้:

1. เครื่องหมายอสมการจะกลับกันหากใช้การดำเนินการเพื่อเปลี่ยนลำดับของด้านข้าง (เช่น ถ้า t 1 ≤ t 2 ดังนั้น t 2 ≥ t 1)
2. อสมการทั้งสองข้างทำให้คุณสามารถเพิ่มจำนวนเดียวกันลงในตัวมันเองได้ (เช่น ถ้า t 1 ≤ t 2 แสดงว่า t 1 + จำนวน ≤ t 2 + จำนวน)
3. ความไม่เท่าเทียมกันตั้งแต่ 2 อย่างขึ้นไปที่มีเครื่องหมายไปในทิศทางเดียวกันทำให้สามารถเพิ่มด้านซ้ายและด้านขวาได้ (ตัวอย่างเช่น ถ้า t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4 ดังนั้น t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. อสมการทั้งสองด้านสามารถคูณหรือหารด้วยสิ่งเดียวกันได้ จำนวนบวก(ตัวอย่างเช่น ถ้า t 1 ≤ t 2 และหมายเลข ≤ 0 ดังนั้นหมายเลข · t 1 ≥ หมายเลข · t 2)
5. อสมการตั้งแต่สองตัวขึ้นไปที่มีพจน์เป็นบวกและมีเครื่องหมายไปในทิศทางเดียวกันทำให้สามารถคูณกันเองได้ (เช่น ถ้า t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 แล้วก็ เสื้อ 1 · เสื้อ 3 ≤ เสื้อ 2 · เสื้อ 4)
6. อสมการทั้งสองด้านสามารถคูณหรือหารด้วยสิ่งเดียวกันได้ จำนวนลบแต่ในกรณีนี้ สัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันจะเปลี่ยนไป (เช่น ถ้า t 1 ≤ t 2 และตัวเลข ≤ 0 ดังนั้นตัวเลข · t 1 ≥ หมายเลข · t 2)
7. อสมการทั้งหมดมีคุณสมบัติของการผ่านผ่าน (เช่น ถ้า t 1 ≤ t 2 และ t 2 ≤ t 3 ดังนั้น t 1 ≤ t 3)

ตอนนี้หลังจากศึกษาหลักการพื้นฐานของทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับความไม่เท่าเทียมกันแล้ว เราก็สามารถดำเนินการพิจารณากฎเกณฑ์ในการแก้ปัญหาระบบได้โดยตรง

การแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน ข้อมูลทั่วไป. โซลูชั่น

ดังที่ได้กล่าวมาแล้ว วิธีแก้ คือ ค่าของตัวแปรที่เหมาะสมกับความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดของระบบที่กำหนด การแก้ระบบอสมการคือการนำการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ไปใช้ซึ่งท้ายที่สุดแล้วจะนำไปสู่การแก้ทั้งระบบหรือพิสูจน์ว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหา ในกรณีนี้ พวกเขาบอกว่าตัวแปรอ้างถึงชุดตัวเลขว่าง (เขียนดังนี้: ตัวอักษรแสดงถึงตัวแปร∈ (เครื่องหมาย “เป็นของ”) ø (เครื่องหมาย “ชุดว่าง”) เช่น x ∈ ø (อ่าน: “ตัวแปร “x” เป็นของชุดว่าง”) มีหลายวิธีในการแก้ระบบอสมการ: แบบกราฟิก, พีชคณิต, วิธีการทดแทน เป็นที่น่าสังเกตว่าพวกเขาเป็นหนึ่งในนั้น แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ซึ่งมีตัวแปรที่ไม่รู้จักหลายตัว ในกรณีที่มีเพียงวิธีเดียว วิธีช่วงเวลาจึงเหมาะสม

วิธีกราฟิก

ช่วยให้คุณสามารถแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันด้วยปริมาณที่ไม่ทราบจำนวนหลายค่า (ตั้งแต่สองขึ้นไป) ด้วยวิธีนี้ ระบบของความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นจึงสามารถแก้ไขได้ง่ายและรวดเร็ว ดังนั้นจึงเป็นวิธีที่พบได้บ่อยที่สุด สิ่งนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าการพล็อตกราฟช่วยลดปริมาณการเขียนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องน่ายินดีอย่างยิ่งที่จะหยุดพักจากปากกาเล็กน้อย หยิบดินสอด้วยไม้บรรทัด และเริ่มดำเนินการเพิ่มเติมด้วยความช่วยเหลือของพวกเขาเมื่องานเสร็จไปมากและคุณต้องการความหลากหลายเล็กน้อย อย่างไรก็ตาม บางคนไม่ชอบวิธีนี้เพราะพวกเขาต้องแยกตัวออกจากงานและเปลี่ยนกิจกรรมทางจิตมาวาดภาพ อย่างไรก็ตาม นี่เป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพมาก

ในการแก้ไขระบบอสมการโดยใช้วิธีกราฟิก จำเป็นต้องโอนเงื่อนไขทั้งหมดของอสมการแต่ละรายการไปไว้ในระบบ ด้านซ้าย- เครื่องหมายจะกลับด้าน โดยให้เขียนศูนย์ทางด้านขวา จากนั้นจะต้องเขียนความไม่เท่าเทียมกันแต่ละรายการแยกกัน ผลที่ได้คือฟังก์ชันจะได้มาจากความไม่เท่าเทียมกัน หลังจากนั้นคุณสามารถหยิบดินสอและไม้บรรทัดออกมาได้: ตอนนี้คุณต้องวาดกราฟของแต่ละฟังก์ชันที่ได้รับ ตัวเลขทั้งชุดที่อยู่ในช่วงเวลาของจุดตัดกันจะเป็นคำตอบของระบบอสมการ

วิธีพีชคณิต

ช่วยให้คุณแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันด้วยตัวแปรที่ไม่รู้จักสองตัว นอกจากนี้ อสมการจะต้องมีเครื่องหมายอสมการเหมือนกัน (นั่นคือ ต้องมีเครื่องหมาย "มากกว่า" หรือเฉพาะเครื่องหมาย "น้อยกว่า" เท่านั้น เป็นต้น) แม้จะมีข้อจำกัด แต่วิธีนี้ก็ซับซ้อนกว่าเช่นกัน มันถูกนำไปใช้ในสองขั้นตอน

ประการแรกเกี่ยวข้องกับการดำเนินการเพื่อกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตัวใดตัวหนึ่ง ก่อนอื่นคุณต้องเลือกมัน จากนั้นตรวจสอบว่ามีตัวเลขอยู่หน้าตัวแปรนี้หรือไม่ หากไม่มีอยู่ (ตัวแปรจะมีลักษณะเป็นตัวอักษรตัวเดียว) เราจะไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย หากมี (ประเภทของตัวแปรจะเป็นเช่น 5y หรือ 12y) ก็จำเป็นต้องทำ ตรวจสอบให้แน่ใจว่าในแต่ละความไม่เท่าเทียมกันตัวเลขที่อยู่หน้าตัวแปรที่เลือกจะเหมือนกัน ในการทำเช่นนี้ คุณต้องคูณแต่ละเทอมของอสมการด้วยปัจจัยร่วม เช่น ถ้า 3y เขียนอยู่ในอสมการแรก และ 5y ในอสมการที่สอง คุณต้องคูณเงื่อนไขทั้งหมดของอสมการแรกด้วย 5 และอันที่สองคูณ 3 คุณจะได้ 15y และ 15y ตามลำดับ

ขั้นตอนที่สองของการแก้ปัญหา มีความจำเป็นต้องโอนด้านซ้ายของความไม่เท่าเทียมกันไปทางด้านขวาเปลี่ยนเครื่องหมายของแต่ละเทอมไปในทางตรงกันข้ามและเขียนศูนย์ทางด้านขวา ส่วนที่สนุกสนานมาถึงแล้ว: การกำจัดตัวแปรที่เลือก (หรือที่เรียกว่า "การลดลง") ในขณะที่เพิ่มความไม่เท่าเทียมกัน ส่งผลให้เกิดความไม่เท่าเทียมกันโดยมีตัวแปรหนึ่งตัวที่ต้องแก้ไข หลังจากนี้ คุณควรทำสิ่งเดียวกัน เฉพาะกับตัวแปรที่ไม่รู้จักอื่นเท่านั้น ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นการแก้ปัญหาของระบบ

วิธีการทดแทน

ช่วยให้คุณแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันได้หากเป็นไปได้ที่จะแนะนำตัวแปรใหม่ โดยทั่วไปแล้ว วิธีการนี้จะใช้เมื่อตัวแปรที่ไม่รู้จักในเทอมหนึ่งของอสมการเพิ่มขึ้นเป็นกำลังสี่ และอีกเทอมหนึ่งเป็นกำลังสอง ดังนั้นวิธีนี้จึงมีจุดมุ่งหมายเพื่อลดระดับความไม่เท่าเทียมกันในระบบ ความไม่เท่าเทียมกันของตัวอย่าง x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 ได้รับการแก้ไขด้วยวิธีนี้ มีการแนะนำตัวแปรใหม่ เช่น t พวกเขาเขียนว่า: "ให้ t = x 2" จากนั้นแบบจำลองจะถูกเขียนใหม่ในรูปแบบใหม่ ในกรณีของเรา เราได้ t 2 - t - 1 ≤0 อสมการนี้ต้องได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีช่วงเวลา (เพิ่มเติมในภายหลัง) จากนั้นกลับไปที่ตัวแปร X จากนั้นทำแบบเดียวกันกับอสมการอื่นๆ คำตอบที่ได้รับจะเป็นคำตอบของระบบ

วิธีช่วงเวลา

นี่เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการแก้ปัญหาระบบความไม่เท่าเทียม และในขณะเดียวกันก็เป็นแนวทางสากลและแพร่หลาย ใช้ในโรงเรียนมัธยมศึกษาและแม้แต่ในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย สาระสำคัญอยู่ที่ความจริงที่ว่านักเรียนมองหาช่วงเวลาของความไม่เท่าเทียมกันบนเส้นจำนวนซึ่งวาดไว้ในสมุดบันทึก (นี่ไม่ใช่กราฟ แต่เป็นเพียงเส้นธรรมดาที่มีตัวเลข) เมื่อช่วงของความไม่เท่าเทียมกันตัดกัน จะพบคำตอบของระบบ หากต้องการใช้วิธีช่วงเวลา คุณต้องทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

1. เงื่อนไขทั้งหมดของอสมการแต่ละรายการจะถูกโอนไปทางด้านซ้ายโดยเครื่องหมายจะเปลี่ยนไปตรงกันข้าม (ศูนย์เขียนไว้ทางด้านขวา)
2. ความไม่เท่าเทียมกันจะถูกเขียนแยกกันและหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับแต่ละรายการ
3. พบจุดตัดของอสมการบนเส้นจำนวน ตัวเลขทั้งหมดที่อยู่ตรงทางแยกเหล่านี้จะเป็นคำตอบ

ฉันควรใช้วิธีใด?

เห็นได้ชัดว่าเป็นสิ่งที่ดูเหมือนง่ายและสะดวกที่สุด แต่มีบางกรณีที่งานต้องใช้วิธีการบางอย่าง บ่อยครั้งที่พวกเขาบอกว่าคุณต้องแก้โดยใช้กราฟหรือวิธีช่วงเวลา วิธีการและการทดแทนพีชคณิตนั้นไม่ค่อยมีใครใช้มากนักหรือไม่ได้ใช้เลย เนื่องจากค่อนข้างซับซ้อนและสับสน นอกจากนี้ พวกมันยังใช้ในการแก้ระบบสมการมากกว่าอสมการ ดังนั้น คุณควรหันไปใช้การวาดกราฟและช่วงเวลา พวกเขานำมาซึ่งความชัดเจนซึ่งไม่สามารถสนับสนุนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ได้อย่างมีประสิทธิภาพและรวดเร็ว

หากบางสิ่งบางอย่างไม่ได้ผล

ในขณะที่ศึกษาหัวข้อใดหัวข้อหนึ่งในพีชคณิต แน่นอนว่าปัญหาอาจเกิดขึ้นกับความเข้าใจได้ และนี่เป็นเรื่องปกติ เพราะสมองของเราได้รับการออกแบบในลักษณะที่ไม่สามารถเข้าใจเนื้อหาที่ซับซ้อนได้ในคราวเดียว บ่อยครั้งที่คุณต้องอ่านย่อหน้าใหม่ รับความช่วยเหลือจากครู หรือฝึกแก้ไขงานมาตรฐาน ในกรณีของเรา มีลักษณะดังนี้: “แก้ระบบอสมการ 3 x + 1 ≥ 0 และ 2 x - 1 > 3” ดังนั้นความปรารถนาส่วนตัว ความช่วยเหลือจากบุคคลภายนอก และการฝึกฝนความช่วยเหลือในการทำความเข้าใจหัวข้อที่ซับซ้อน

แก้ปัญหา?

หนังสือวิธีแก้ปัญหาก็เหมาะมากเช่นกัน แต่ไม่ใช่สำหรับการลอกการบ้าน แต่เพื่อการช่วยเหลือตนเอง ในนั้นคุณสามารถค้นหาระบบความไม่เท่าเทียมด้วยวิธีแก้ปัญหา ดูที่พวกมัน (เป็นเทมเพลต) พยายามทำความเข้าใจให้แน่ชัดว่าผู้เขียนวิธีแก้ปัญหาจัดการกับงานอย่างไร จากนั้นพยายามทำแบบเดียวกันด้วยตัวเอง

ข้อสรุป

พีชคณิตเป็นหนึ่งในวิชาที่ยากที่สุดในโรงเรียน คุณทำอะไรได้บ้าง? คณิตศาสตร์เป็นแบบนี้มาโดยตลอด สำหรับบางคนมันง่าย แต่สำหรับบางคนมันยาก แต่อย่างไรก็ตามก็ควรจำไว้ว่า โปรแกรมการศึกษาทั่วไปมันถูกสร้างขึ้นในลักษณะที่นักเรียนคนใดสามารถจัดการได้ นอกจากนี้เราต้องคำนึงถึงผู้ช่วยจำนวนมากด้วย บางส่วนของพวกเขาได้รับการกล่าวถึงข้างต้น

ระบบความไม่เท่าเทียมกันเป็นเรื่องปกติที่จะเรียกชุดใดๆ ของอสมการตั้งแต่สองตัวขึ้นไปที่มีปริมาณที่ไม่ทราบ

สูตรนี้มีภาพประกอบไว้อย่างชัดเจน ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ระบบความไม่เท่าเทียมกัน:

แก้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน - หมายถึงการค้นหาค่าทั้งหมดของตัวแปรที่ไม่รู้จักซึ่งตระหนักถึงความไม่เท่าเทียมกันของระบบแต่ละค่าหรือเพื่อพิสูจน์ว่าค่าดังกล่าวไม่มีอยู่จริง .

ซึ่งหมายความว่าสำหรับแต่ละคน ความไม่เท่าเทียมกันของระบบเราคำนวณตัวแปรที่ไม่รู้จัก ถัดไป จากค่าผลลัพธ์ ให้เลือกเฉพาะค่าที่เป็นจริงสำหรับทั้งอสมการที่หนึ่งและที่สอง ดังนั้นเมื่อทดแทนค่าที่เลือก ความไม่เท่าเทียมกันของระบบทั้งสองจึงถูกต้อง

ลองดูวิธีแก้ปัญหาของอสมการหลายประการ:

ลองวางบรรทัดจำนวนคู่หนึ่งไว้ใต้อีกบรรทัดหนึ่ง ใส่ค่าไว้ด้านบน xซึ่งความไม่เท่าเทียมกันประการแรกเกี่ยวกับ ( x> 1) กลายเป็นจริงและที่ด้านล่าง - ค่า เอ็กซ์ซึ่งเป็นคำตอบของอสมการที่สอง ( เอ็กซ์> 4).

โดยการเปรียบเทียบข้อมูลกับ เส้นจำนวนโปรดทราบว่าวิธีแก้ปัญหาสำหรับทั้งคู่ ความไม่เท่าเทียมกันจะ เอ็กซ์> 4. คำตอบ เอ็กซ์> 4.

ตัวอย่างที่ 2

กำลังคำนวณอันแรก ความไม่เท่าเทียมกันเราได้รับ -3 เอ็กซ์< -6, или x> 2 วินาที - เอ็กซ์> -8 หรือ เอ็กซ์ < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения เอ็กซ์ซึ่งสิ่งแรกจะเกิดขึ้นจริง ระบบความไม่เท่าเทียมกันและถึงเส้นจำนวนล่างคือค่าเหล่านั้นทั้งหมด เอ็กซ์ซึ่งตระหนักถึงความไม่เท่าเทียมกันประการที่สองของระบบ

เมื่อเปรียบเทียบข้อมูลแล้วเราจะพบว่าทั้งสองอย่าง ความไม่เท่าเทียมกันจะถูกนำไปใช้กับค่าทั้งหมด เอ็กซ์วางตั้งแต่ 2 ถึง 8 ชุดของค่า เอ็กซ์แสดงถึง ความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า 2 < เอ็กซ์< 8.

ตัวอย่างที่ 3เราจะพบ

หนึ่งในหัวข้อที่ต้องการความสนใจและความอุตสาหะสูงสุดจากนักเรียนคือการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน คล้ายกับสมการมาก แต่ในขณะเดียวกันก็แตกต่างไปจากสมการมาก เพราะการแก้ปัญหาต้องใช้แนวทางพิเศษ

คุณสมบัติที่จำเป็นในการหาคำตอบ

ทั้งหมดนี้ใช้เพื่อแทนที่รายการที่มีอยู่ด้วยรายการเทียบเท่า ส่วนใหญ่คล้ายกับที่อยู่ในสมการ แต่ก็มีความแตกต่างเช่นกัน

• คุณสามารถเพิ่มฟังก์ชันที่กำหนดไว้ใน ODZ หรือตัวเลขใดๆ ลงในทั้งสองด้านของอสมการเดิมได้
• ในทำนองเดียวกัน การคูณก็เป็นไปได้ แต่ต้องใช้ฟังก์ชันหรือจำนวนบวกเท่านั้น
• หากการกระทำนี้ดำเนินการด้วยฟังก์ชันลบหรือตัวเลข จะต้องแทนที่เครื่องหมายอสมการด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม
• ฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบสามารถยกกำลังบวกได้

บางครั้งการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมอาจมาพร้อมกับการกระทำที่ให้คำตอบที่ไม่เกี่ยวข้อง จำเป็นต้องกำจัดออกโดยการเปรียบเทียบโดเมน DL และชุดโซลูชัน

ใช้วิธีเว้นช่วง

สาระสำคัญของมันคือการลดความไม่เท่าเทียมกันให้เป็นสมการที่มีศูนย์ทางด้านขวา

1. กำหนดพื้นที่ซึ่งค่าที่อนุญาตของตัวแปรซึ่งก็คือ ODZ อยู่
2. แปลงความไม่เท่าเทียมกันโดยใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์เพื่อให้ด้านขวามีศูนย์
3. แทนที่เครื่องหมายอสมการด้วย “=” แล้วแก้สมการที่เกี่ยวข้อง
4. บนแกนตัวเลข ให้ทำเครื่องหมายคำตอบทั้งหมดที่ได้รับระหว่างการเฉลย รวมทั้งช่วง OD ในกรณีที่มีความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวดจะต้องทำเครื่องหมายจุดให้เจาะ หากมีเครื่องหมายเท่ากันก็ควรทาสีทับ
5. หาเครื่องหมายของฟังก์ชันดั้งเดิมในแต่ละช่วงที่ได้มาจากจุดของ ODZ และคำตอบที่หารมัน หากเครื่องหมายของฟังก์ชันไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อผ่านจุดใดจุดหนึ่ง แสดงว่าเครื่องหมายนั้นรวมอยู่ในคำตอบ มิฉะนั้นจะถูกยกเว้น
6. จุดขอบเขตสำหรับ ODZ จำเป็นต้องได้รับการตรวจสอบเพิ่มเติม จากนั้นจึงรวมหรือไม่รวมอยู่ในคำตอบเท่านั้น
7. คำตอบที่ได้จะต้องเขียนในรูปของเซตรวม

เล็กน้อยเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า

พวกเขาใช้เครื่องหมายอสมการสองอันพร้อมกัน นั่นคือฟังก์ชันบางอย่างถูกจำกัดด้วยเงื่อนไขสองครั้งในคราวเดียว ความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวได้รับการแก้ไขด้วยระบบสองระบบ เมื่อต้นฉบับถูกแบ่งออกเป็นส่วนๆ และในวิธีแบบช่วงจะมีการระบุคำตอบจากการแก้สมการทั้งสอง

เพื่อแก้ปัญหาเหล่านี้ คุณสามารถใช้คุณสมบัติที่ระบุไว้ข้างต้นได้เช่นกัน ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา จะสะดวกในการลดความไม่เท่าเทียมกันให้เป็นศูนย์

แล้วอสมการที่มีโมดูลัสล่ะ?

ในกรณีนี้ การแก้อสมการจะใช้คุณสมบัติต่อไปนี้ และใช้ได้กับค่าบวกของ "a"

ถ้า "x" ใช้เวลา การแสดงออกทางพีชคณิตดังนั้นการทดแทนต่อไปนี้จึงถูกต้อง:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > ก ถึง x< -a или х >ก.

หากความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวดสูตรก็จะถูกต้องเช่นกันเฉพาะในสูตรเท่านั้นที่นอกเหนือจากเครื่องหมายมากกว่าหรือน้อยกว่า "=" จะปรากฏขึ้น

ระบบความไม่เท่าเทียมกันได้รับการแก้ไขอย่างไร?

ความรู้นี้จำเป็นในกรณีที่มอบหมายงานดังกล่าว หรือมีบันทึกของความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า หรือมีโมดูลปรากฏในบันทึก ในสถานการณ์เช่นนี้ วิธีแก้ไขจะเป็นค่าของตัวแปรที่จะตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดในบันทึก หากไม่มีตัวเลขดังกล่าว แสดงว่าระบบไม่มีวิธีแก้ไข

แผนตามที่ดำเนินการแก้ไขระบบความไม่เท่าเทียมกัน:

• แก้ปัญหาแต่ละอย่างแยกกัน
• พรรณนาช่วงเวลาทั้งหมดบนแกนตัวเลขและกำหนดจุดตัด
• เขียนคำตอบของระบบ ซึ่งจะรวมสิ่งที่เกิดขึ้นในย่อหน้าที่สอง

จะทำอย่างไรกับความไม่เท่าเทียมกันของเศษส่วน?

เนื่องจากการแก้ปัญหาอาจต้องเปลี่ยนสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกัน คุณจึงต้องปฏิบัติตามทุกประเด็นของแผนอย่างระมัดระวังและรอบคอบ มิฉะนั้นคุณอาจได้รับคำตอบที่ตรงกันข้าม

สารละลาย อสมการเศษส่วนยังใช้วิธีช่วงเวลาอีกด้วย และแผนปฏิบัติการจะเป็นดังนี้:

• ใช้คุณสมบัติที่อธิบายไว้ ให้เศษส่วนดังกล่าวมีรูปแบบเหลือเพียงศูนย์ทางด้านขวาของเครื่องหมาย
• แทนที่ความไม่เท่าเทียมกันด้วย “=” และกำหนดจุดที่ฟังก์ชันจะเท่ากับศูนย์
• ทำเครื่องหมายไว้บนแกนพิกัด ในกรณีนี้ ตัวเลขที่ได้รับจากการคำนวณในตัวส่วนจะถูกตัดออกเสมอ อื่นๆ ทั้งหมดขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของความไม่เท่าเทียมกัน
• กำหนดช่วงเวลาความคงตัวของเครื่องหมาย
• ในการตอบสนอง ให้เขียนการรวมกันของช่วงเวลาที่มีเครื่องหมายตรงกับความไม่เท่าเทียมกันเริ่มแรก

สถานการณ์ที่ความไร้เหตุผลปรากฏในความไม่เท่าเทียมกัน

กล่าวอีกนัยหนึ่ง มีรากทางคณิตศาสตร์อยู่ในสัญกรณ์ เนื่องจากในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียน งานส่วนใหญ่เกี่ยวกับสแควร์รูท จึงเป็นสิ่งที่จะต้องพิจารณา

วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่มีเหตุผลนั้นอยู่ที่การได้รับระบบสองหรือสามระบบที่จะเทียบเท่ากับระบบเดิม

ตัวอย่างการแก้ไขอสมการประเภทต่างๆ

เพื่อที่จะเพิ่มความกระจ่างให้กับทฤษฎีเกี่ยวกับการแก้ไขอสมการ ดังตัวอย่างด้านล่าง

ตัวอย่างแรก. 2x - 4 > 1 + x

วิธีแก้ไข: ในการกำหนด ADI สิ่งที่คุณต้องทำคือพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันอย่างใกล้ชิด มันถูกสร้างขึ้นจาก ฟังก์ชันเชิงเส้นจึงกำหนดให้ทุกค่าของตัวแปร

ตอนนี้คุณต้องลบ (1 + x) จากทั้งสองข้างของอสมการ ปรากฎว่า: 2x - 4 - (1 + x) > 0 หลังจากเปิดวงเล็บและระบุเงื่อนไขที่คล้ายกันแล้ว ความไม่เท่าเทียมกันจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: x - 5 > 0

เมื่อเท่ากับศูนย์ จึงง่ายต่อการหาคำตอบ: x = 5

ตอนนี้ต้องทำเครื่องหมายจุดนี้ด้วยเลข 5 บนรังสีพิกัด จากนั้นตรวจสอบสัญญาณการทำงานเดิม ในช่วงแรกจากลบอนันต์ถึง 5 คุณสามารถนำเลข 0 มาแทนที่เป็นอสมการที่ได้รับหลังการแปลง หลังจากการคำนวณปรากฎว่า -7 >0 ใต้ส่วนโค้งของช่วงเวลาคุณต้องเซ็นเครื่องหมายลบ

ในช่วงเวลาถัดไปจาก 5 ถึงอนันต์ คุณสามารถเลือกหมายเลข 6 ได้ จากนั้นปรากฎว่า 1 > 0 มีเครื่องหมาย “+” อยู่ใต้ส่วนโค้ง ช่วงที่สองนี้จะเป็นคำตอบของความไม่เท่าเทียมกัน

คำตอบ: x อยู่ในช่วง (5; ∞)

ตัวอย่างที่สอง จำเป็นต้องแก้ระบบสองสมการ: 3x + 3 ≤ 2x + 1 และ 3x - 2 ≤ 4x + 2

สารละลาย. VA ของอสมการเหล่านี้ยังอยู่ในขอบเขตของตัวเลขใดๆ อีกด้วย เนื่องจากมีการกำหนดฟังก์ชันเชิงเส้นไว้

อสมการที่สองจะอยู่ในรูปของสมการต่อไปนี้: 3x - 2 - 4x - 2 = 0 หลังการแปลง: -x - 4 =0 สิ่งนี้จะสร้างค่าสำหรับตัวแปรเท่ากับ -4

ต้องทำเครื่องหมายตัวเลขทั้งสองนี้ไว้บนแกนเพื่อแสดงช่วงเวลา เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันไม่ได้เข้มงวด จึงจำเป็นต้องแรเงาทุกจุด ช่วงแรกคือจากลบอนันต์ถึง -4 ให้เลือกหมายเลข -5 อสมการแรกจะให้ค่า -3 และอันที่สองคือ 1 ซึ่งหมายความว่าช่วงนี้ไม่รวมอยู่ในคำตอบ

ช่วงที่สองคือจาก -4 ถึง -2 คุณสามารถเลือกหมายเลข -3 และแทนที่เป็นอสมการทั้งสองได้ ตัวแรกและตัวที่สองมีค่าเป็น -1 ซึ่งหมายความว่าใต้ส่วนโค้ง "-"

ในช่วงสุดท้ายจาก -2 ถึงอนันต์ จำนวนที่ดีที่สุดคือศูนย์ คุณต้องแทนที่มันและค้นหาค่าของอสมการ อันแรกให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนบวก และอันที่สองเป็นศูนย์ ช่องว่างนี้จะต้องถูกแยกออกจากคำตอบด้วย

จากทั้งสามช่วง มีเพียงช่วงเดียวเท่านั้นที่แก้อสมการได้

คำตอบ: x เป็นของ [-4; -2].

ตัวอย่างที่สาม |1 - x| > 2 |x - 1|.

สารละลาย. ขั้นตอนแรกคือการกำหนดจุดที่ฟังก์ชันหายไป สำหรับทางซ้ายหมายเลขนี้จะเป็น 2 สำหรับทางขวา - 1 ต้องทำเครื่องหมายไว้บนลำแสงและต้องกำหนดช่วงเวลาของความคงตัวของสัญญาณ

ในช่วงแรก จากลบอนันต์ถึง 1 ฟังก์ชันทางด้านซ้ายของอสมการจะเกิดขึ้น ค่าบวกและจากทางขวา - ลบ ใต้ส่วนโค้งคุณต้องเขียนเครื่องหมายสองตัว "+" และ "-" เคียงข้างกัน

ช่วงถัดไปคือตั้งแต่ 1 ถึง 2 ทั้งสองฟังก์ชันใช้ค่าบวก ซึ่งหมายความว่ามีข้อดีสองประการใต้ส่วนโค้ง

ช่วงที่สามตั้งแต่ 2 ถึงอนันต์จะให้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้ ฟังก์ชันด้านซ้ายเป็นค่าลบ ฟังก์ชันด้านขวาเป็นค่าบวก

เมื่อคำนึงถึงสัญญาณผลลัพธ์คุณจะต้องคำนวณค่าอสมการสำหรับทุกช่วงเวลา

อันแรกทำให้เกิดความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: 2 - x > - 2 (x - 1) ลบก่อนทั้งสองในอสมการที่สองเกิดจากการที่ฟังก์ชันนี้เป็นลบ

หลังจากการแปลงความไม่เท่าเทียมกันจะมีลักษณะดังนี้: x > 0 โดยจะให้ค่าของตัวแปรทันที นั่นคือจากช่วงเวลานี้จะตอบเฉพาะช่วงเวลาตั้งแต่ 0 ถึง 1 เท่านั้น

ในวันที่สอง: 2 - x > 2 (x - 1) การแปลงจะทำให้เกิดความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: -3x + 4 มากกว่าศูนย์ ศูนย์ของมันจะเป็น x = 4/3 เมื่อคำนึงถึงเครื่องหมายอสมการแล้ว ปรากฎว่า x ต้องน้อยกว่าจำนวนนี้ ซึ่งหมายความว่าช่วงเวลานี้จะลดลงเหลือช่วงตั้งแต่ 1 ถึง 4/3

อย่างหลังให้ความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: - (2 - x) > 2 (x - 1) การเปลี่ยนแปลงทำให้เกิดสิ่งต่อไปนี้: -x > 0 นั่นคือ สมการเป็นจริงเมื่อ x น้อยกว่าศูนย์ ซึ่งหมายความว่าในช่วงเวลาที่กำหนด ความไม่เท่าเทียมกันไม่ได้ให้วิธีแก้ปัญหา

ในสองช่วงแรก จำนวนขีดจำกัดกลายเป็น 1 จำเป็นต้องตรวจสอบแยกกัน นั่นคือแทนที่มันลงในความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม ปรากฎว่า: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. การนับแสดงให้เห็นว่า 1 มากกว่า 0 นี่เป็นข้อความที่เป็นจริง ดังนั้นจึงมีข้อความหนึ่งรวมอยู่ในคำตอบ

คำตอบ: x อยู่ในช่วง (0; 4/3)