สมการของเครื่องบิน จะเขียนสมการของระนาบได้อย่างไร?
ตำแหน่งร่วมกันเครื่องบิน งาน

เรขาคณิตเชิงพื้นที่ไม่ได้ซับซ้อนกว่าเรขาคณิตแบบ "แบน" มากนัก และการบินในอวกาศของเราเริ่มต้นด้วยบทความนี้ หากต้องการเชี่ยวชาญหัวข้อนี้ คุณต้องมีความเข้าใจเป็นอย่างดี เวกเตอร์นอกจากนี้ขอแนะนำให้ทำความคุ้นเคยกับเรขาคณิตของเครื่องบิน - จะมีความคล้ายคลึงกันมากมายการเปรียบเทียบหลายอย่างดังนั้นข้อมูลจะถูกย่อยได้ดีขึ้นมาก ในชุดบทเรียนของฉัน โลก 2 มิติเริ่มต้นด้วยบทความ สมการของเส้นตรงบนระนาบ- แต่ตอนนี้แบทแมนออกจากจอทีวีแล้วและกำลังออกเดินทางจาก Baikonur Cosmodrome

เริ่มจากภาพวาดและสัญลักษณ์กันก่อน ในทางแผนผังเครื่องบินสามารถวาดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งสร้างความประทับใจให้กับพื้นที่:

เครื่องบินนั้นไม่มีที่สิ้นสุด แต่เรามีโอกาสที่จะพรรณนาเพียงชิ้นส่วนของมันเท่านั้น ในทางปฏิบัตินอกเหนือจากสี่เหลี่ยมด้านขนานแล้ว ยังวาดรูปวงรีหรือแม้แต่เมฆอีกด้วย ด้วยเหตุผลทางเทคนิค จะสะดวกกว่าสำหรับฉันที่จะพรรณนาเครื่องบินในลักษณะนี้และในตำแหน่งนี้อย่างแน่นอน เครื่องบินจริงที่เราจะพิจารณา ตัวอย่างการปฏิบัติสามารถวางตำแหน่งในลักษณะใดก็ได้ - วาดภาพในมือของคุณแล้วหมุนในอวกาศโดยให้เครื่องบินมีความโน้มเอียงทุกมุม

การกำหนด: เครื่องบินมักจะแสดงด้วยตัวอักษรกรีกตัวเล็ก ๆ เพื่อไม่ให้เกิดความสับสน เส้นตรงบนเครื่องบินหรือด้วย เส้นตรงในอวกาศ- ฉันคุ้นเคยกับการใช้ตัวอักษร ในรูปวาดเป็นตัวอักษร "ซิกมา" ไม่ใช่รูเลย แม้ว่าเครื่องบินที่มีโพรงนั้นค่อนข้างตลกอย่างแน่นอน

ในบางกรณี เป็นการสะดวกที่จะใช้ตัวอักษรกรีกตัวเดียวกันที่มีตัวห้อยต่ำกว่าเพื่อกำหนดระนาบ เช่น

แน่นอนว่าเครื่องบินถูกกำหนดโดยสามอย่างไม่ซ้ำกัน จุดต่างๆไม่นอนอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ดังนั้นการกำหนดตัวอักษรสามตัวของเครื่องบินจึงค่อนข้างได้รับความนิยม - เช่นตามจุดที่เป็นของพวกเขาเป็นต้น บ่อยครั้งตัวอักษรจะอยู่ในวงเล็บ: เพื่อไม่ให้เครื่องบินสับสนกับรูปทรงเรขาคณิตอื่น

สำหรับผู้อ่านที่มีประสบการณ์ฉันจะให้ เมนูการเข้าถึงด่วน:

• จะสร้างสมการของระนาบโดยใช้จุดและเวกเตอร์สองตัวได้อย่างไร?
• จะสร้างสมการของระนาบโดยใช้จุดและเวกเตอร์ปกติได้อย่างไร?

และเราจะไม่อิดโรยในการรอคอยอันยาวนาน:

สมการระนาบทั่วไป

สมการทั่วไปของระนาบมีรูปแบบ โดยที่สัมประสิทธิ์ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน

แถว การคำนวณทางทฤษฎีและปัญหาเชิงปฏิบัตินั้นใช้ได้ทั้งสำหรับพื้นฐานออร์โธนอร์มอลปกติและสำหรับ พื้นฐานความสัมพันธ์พื้นที่ (ถ้าน้ำมันเป็นน้ำมันให้กลับไปเรียนบทเรียน การพึ่งพาเชิงเส้น (ไม่) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์- เพื่อความง่าย เราจะถือว่าเหตุการณ์ทั้งหมดเกิดขึ้นในรูปแบบออร์โธนอร์มอลและระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน

ทีนี้มาฝึกจินตนาการเชิงพื้นที่กันสักหน่อย ไม่เป็นไรถ้าของคุณแย่ ตอนนี้เราจะพัฒนามันสักหน่อย แม้แต่การเล่นบนประสาทก็ต้องได้รับการฝึกฝน

ในกรณีทั่วไปส่วนใหญ่ เมื่อตัวเลขไม่เท่ากับศูนย์ ระนาบจะตัดแกนพิกัดทั้งสามแกน ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

ฉันขอย้ำอีกครั้งว่าเครื่องบินยังคงดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนดในทุกทิศทาง และเรามีโอกาสที่จะพรรณนาเพียงบางส่วนเท่านั้น

พิจารณาสมการที่ง่ายที่สุดของเครื่องบิน:

จะเข้าใจสมการนี้ได้อย่างไร? ลองคิดดู: "Z" เท่ากับศูนย์เสมอสำหรับค่าใด ๆ ของ "X" และ "Y" นี่คือสมการของระนาบพิกัด "ดั้งเดิม" แท้จริงแล้วสมการอย่างเป็นทางการสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: จากจุดที่คุณเห็นได้ชัดเจนว่าเราไม่สนใจว่าค่า "x" และ "y" จะใช้ค่าใดสิ่งสำคัญคือ "z" จะต้องเท่ากับศูนย์

เช่นเดียวกัน:
– สมการของระนาบพิกัด
– สมการของระนาบพิกัด

เรามาทำให้ปัญหาซับซ้อนขึ้นอีกสักหน่อย พิจารณาระนาบ (ที่นี่และต่อไปในย่อหน้า เราถือว่าค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขไม่เท่ากับศูนย์) ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ: . จะเข้าใจได้อย่างไร? “ X” อยู่เสมอ สำหรับค่าใด ๆ ของ "y" และ "z" จะเท่ากับจำนวนที่แน่นอน ระนาบนี้ขนานกับระนาบพิกัด ตัวอย่างเช่น ระนาบขนานกับระนาบและผ่านจุดหนึ่ง

เช่นเดียวกัน:
– สมการของระนาบที่ขนานกับระนาบพิกัด
– สมการของระนาบที่ขนานกับระนาบพิกัด

มาเพิ่มสมาชิกกัน: . สามารถเขียนสมการใหม่ได้ดังนี้: นั่นคือ "zet" สามารถเป็นอะไรก็ได้ มันหมายความว่าอะไร? “ X” และ “Y” เชื่อมต่อกันด้วยความสัมพันธ์ซึ่งวาดเส้นตรงเส้นหนึ่งบนระนาบ (คุณจะพบ สมการของเส้นตรงในระนาบ- เนื่องจาก "z" สามารถเป็นอะไรก็ได้ เส้นตรงนี้จึง "จำลอง" ไว้ที่ระดับความสูงเท่าใดก็ได้ ดังนั้นสมการจึงกำหนดระนาบขนานกับแกนพิกัด

เช่นเดียวกัน:
– สมการของระนาบที่ขนานกับแกนพิกัด
– สมการของระนาบที่ขนานกับแกนพิกัด

หากเงื่อนไขอิสระเป็นศูนย์ ระนาบจะผ่านแกนที่เกี่ยวข้องโดยตรง ตัวอย่างเช่น "สัดส่วนโดยตรง" แบบคลาสสิก: วาดเส้นตรงในระนาบแล้วคูณในใจขึ้นและลง (เนื่องจาก "Z" เป็นอะไรก็ได้) สรุป: ระนาบที่กำหนดโดยสมการจะผ่านแกนพิกัด

เราทำการทบทวนเสร็จแล้ว: สมการของระนาบ ผ่านจุดกำเนิด ตรงนี้ชัดเจนว่าประเด็นนี้เป็นไปตามสมการนี้

และสุดท้าย กรณีที่แสดงในภาพวาด: – ระนาบเป็นมิตรกับแกนพิกัดทั้งหมด ในขณะที่มันจะ "ตัด" สามเหลี่ยมออกเสมอ ซึ่งสามารถอยู่ในเลขแปดออคแทนต์ใดก็ได้

อสมการเชิงเส้นในอวกาศ

เพื่อให้เข้าใจข้อมูลที่คุณต้องศึกษาให้ดี อสมการเชิงเส้นในระนาบเพราะหลายอย่างจะคล้ายกัน ย่อหน้านี้จะมีลักษณะเป็นภาพรวมโดยย่อพร้อมตัวอย่างหลายตัวอย่าง เนื่องจากในทางปฏิบัติมีเนื้อหาค่อนข้างน้อย

หากสมการกำหนดระนาบ แสดงว่าความไม่เท่าเทียมกัน
ถาม ครึ่งช่องว่าง- ถ้าอสมการไม่เข้มงวด (สองอันสุดท้ายในรายการ) คำตอบของอสมการนั้น นอกเหนือจากฮาล์ฟสเปซแล้ว ยังรวมถึงระนาบด้วย

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาหน่วยเวกเตอร์ปกติของระนาบ .

สารละลาย: เวกเตอร์หน่วยคือเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับ 1 ให้เราแสดงเวกเตอร์นี้ด้วย เป็นที่ชัดเจนอย่างยิ่งว่าเวกเตอร์นั้นอยู่ในแนวเดียวกัน:

ขั้นแรก เราลบเวกเตอร์ปกติออกจากสมการของระนาบ: .

จะหาเวกเตอร์หน่วยได้อย่างไร? คุณต้องหาเวกเตอร์หน่วยก่อน ทั้งหมดหารพิกัดเวกเตอร์ด้วยความยาวของเวกเตอร์.

ลองเขียนเวกเตอร์ปกติในรูปแบบใหม่และค้นหาความยาวของมัน:

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น:

คำตอบ:

การยืนยัน: สิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการตรวจสอบ

ผู้อ่านที่ศึกษาย่อหน้าสุดท้ายของบทเรียนอย่างถี่ถ้วนอาจสังเกตเห็นว่า พิกัดของเวกเตอร์หน่วยคือโคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์ทุกประการ:

เรามาพักจากปัญหาที่เกิดขึ้น: เมื่อคุณได้รับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ตามอำเภอใจและตามเงื่อนไขจะต้องค้นหาโคไซน์ทิศทาง (ดูปัญหาสุดท้ายของบทเรียน ผลคูณดอทของเวกเตอร์) แล้วคุณก็หาเวกเตอร์หน่วยที่ตรงกับอันนี้ จริงๆ แล้วมีสองงานในขวดเดียว

ความจำเป็นในการค้นหาเวกเตอร์ปกติของหน่วยเกิดขึ้นในปัญหาบางประการของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

เราได้ทราบวิธีการหาเวกเตอร์ปกติแล้ว ทีนี้มาตอบคำถามตรงกันข้ามกัน:

จะสร้างสมการของระนาบโดยใช้จุดและเวกเตอร์ปกติได้อย่างไร?

โครงสร้างที่แข็งแกร่งของเวกเตอร์ปกติและจุดนี้เป็นที่รู้จักกันดีในกระดานปาเป้า โปรดเหยียดมือไปข้างหน้าและเลือกจุดในอวกาศตามใจชอบ เช่น แมวตัวเล็กในตู้ข้าง แน่นอนว่าเมื่อผ่านจุดนี้ไปแล้ว คุณสามารถวาดระนาบเดียวตั้งฉากกับมือของคุณได้

สมการของระนาบที่ผ่านจุดตั้งฉากกับเวกเตอร์แสดงโดยสูตร:

ในบทนี้ เราจะดูวิธีการใช้ดีเทอร์มิแนนต์เพื่อสร้าง สมการระนาบ- หากคุณไม่รู้ว่าดีเทอร์มิแนนต์คืออะไร ให้ไปที่ส่วนแรกของบทเรียน - "เมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์" มิฉะนั้นคุณอาจเสี่ยงที่จะไม่เข้าใจสิ่งใดในเนื้อหาในปัจจุบัน

สมการของระนาบโดยใช้จุดสามจุด

เหตุใดเราจึงต้องมีสมการระนาบเลย? ง่ายมาก เมื่อรู้แล้ว เราก็สามารถคำนวณมุม ระยะทาง และปัญหาอื่นๆ ในปัญหา C2 ได้อย่างง่ายดาย โดยทั่วไป คุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีสมการนี้ ดังนั้นเราจึงกำหนดปัญหา:

งาน. ให้สามคะแนนในช่องว่างที่ไม่อยู่บนเส้นเดียวกัน พิกัดของพวกเขา:

M = (x 1, y 1, z 1);
ยังไม่มีข้อความ = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

คุณต้องสร้างสมการสำหรับเครื่องบินที่ผ่านจุดทั้งสามนี้ นอกจากนี้สมการควรมีลักษณะดังนี้:

ขวาน + โดย + Cz + D = 0

โดยที่ตัวเลข A, B, C และ D เป็นค่าสัมประสิทธิ์ที่ต้องค้นหาตามความเป็นจริง

จะหาสมการของระนาบได้อย่างไรถ้ารู้เพียงพิกัดของจุดเท่านั้น? วิธีที่ง่ายที่สุดคือการแทนที่พิกัดลงในสมการ Ax + By + Cz + D = 0 คุณจะได้ระบบสมการสามสมการที่สามารถแก้ได้อย่างง่ายดาย

นักเรียนหลายคนพบว่าโซลูชันนี้น่าเบื่ออย่างยิ่งและไม่น่าเชื่อถือ การสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์เมื่อปีที่แล้วแสดงให้เห็นว่า โอกาสที่จะเกิดข้อผิดพลาดทางการคำนวณมีสูงมาก

ดังนั้นครูที่ก้าวหน้าที่สุดจึงเริ่มมองหาวิธีแก้ปัญหาที่เรียบง่ายและสวยงามยิ่งขึ้น และพวกเขาก็พบมัน! จริงอยู่ เทคนิคที่ได้รับค่อนข้างเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ขั้นสูง โดยส่วนตัวแล้ว ฉันต้องค้นหารายชื่อหนังสือเรียนของรัฐบาลกลางทั้งหมดเพื่อให้แน่ใจว่าเรามีสิทธิ์ใช้เทคนิคนี้โดยไม่ต้องให้เหตุผลหรือหลักฐานใดๆ

สมการของระนาบผ่านดีเทอร์มิแนนต์

เนื้อเพลงพอแล้ว เรามาทำธุรกิจกันดีกว่า ขั้นแรก ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์กับสมการของระนาบ

ทฤษฎีบท. ให้พิกัดของจุดสามจุดที่ต้องกำหนดระนาบ: M = (x 1, y 1, z 1); ยังไม่มีข้อความ = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3) จากนั้นสมการของระนาบนี้สามารถเขียนผ่านดีเทอร์มิแนนต์ได้:

ตามตัวอย่าง ลองค้นหาระนาบคู่หนึ่งที่เกิดขึ้นจริงในปัญหา C2 ดูว่าทุกอย่างคำนวณได้เร็วแค่ไหน:

ก 1 = (0, 0, 1);
ข = (1, 0, 0);
ค 1 = (1, 1, 1);

เราเขียนดีเทอร์มิแนนต์และจัดให้เป็นศูนย์:

เราขยายปัจจัยกำหนด:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

อย่างที่คุณเห็นเมื่อคำนวณตัวเลข d ฉัน "หวี" สมการเล็กน้อยเพื่อให้ตัวแปร x, y และ z อยู่ในลำดับที่ถูกต้อง แค่นั้นแหละ! สมการเครื่องบินพร้อมแล้ว!

งาน. เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ:

ก = (0, 0, 0);
ข 1 = (1, 0, 1);
ง 1 = (0, 1, 1);

เราแทนที่พิกัดของจุดเป็นดีเทอร์มิแนนต์ทันที:

เราขยายดีเทอร์มิแนนต์อีกครั้ง:

ก = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
ข = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

สมการของระนาบจึงกลับมาอีกครั้ง! อีกครั้งบน ขั้นตอนสุดท้ายฉันต้องเปลี่ยนป้ายเพื่อให้ได้สูตรที่ "สวย" มากขึ้น ไม่จำเป็นเลยที่จะต้องทำเช่นนี้ในโซลูชันนี้ แต่ก็ยังแนะนำ - เพื่อลดความซับซ้อนในการแก้ปัญหาเพิ่มเติม

อย่างที่คุณเห็น การเขียนสมการของระนาบตอนนี้ง่ายขึ้นมาก เราแทนที่จุดต่างๆ ลงในเมทริกซ์ คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ - เท่านี้ก็เรียบร้อย สมการก็พร้อมแล้ว

นี่อาจเป็นการจบบทเรียน อย่างไรก็ตาม นักเรียนหลายคนมักจะลืมสิ่งที่อยู่ภายในดีเทอร์มิแนนต์อยู่เสมอ ตัวอย่างเช่น บรรทัดใดมี x 2 หรือ x 3 และบรรทัดใดมีเพียง x เพื่อกำจัดปัญหานี้ เรามาดูกันว่าแต่ละตัวเลขมาจากไหน

สูตรที่มีดีเทอร์มิแนนต์มาจากไหน?

ลองหาดูว่าสมการที่รุนแรงกับดีเทอร์มิแนนต์มาจากไหน ซึ่งจะช่วยให้คุณจดจำและนำไปใช้ได้สำเร็จ

ระนาบทั้งหมดที่ปรากฏในปัญหา C2 ถูกกำหนดโดยจุดสามจุด จุดเหล่านี้จะถูกทำเครื่องหมายไว้บนภาพวาดเสมอหรือแม้กระทั่งระบุโดยตรงในข้อความของปัญหา ไม่ว่าในกรณีใด ในการสร้างสมการ เราจะต้องเขียนพิกัดของมัน:

M = (x 1, y 1, z 1);
ยังไม่มีข้อความ = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3)

ลองพิจารณาอีกจุดหนึ่งบนเครื่องบินของเราด้วยพิกัดที่กำหนดเอง:

ที = (x, y, z)

นำจุดใดก็ได้จากสามจุดแรก (เช่น จุด M) แล้ววาดเวกเตอร์จากนั้นไปยังจุดที่เหลือสามจุดแต่ละจุด เราได้เวกเตอร์สามตัว:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
มอนแทนา = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 )

ทีนี้ลองสร้างเมทริกซ์จตุรัสจากเวกเตอร์เหล่านี้แล้วหาดีเทอร์มีแนนต์ของมันให้เป็นศูนย์ พิกัดของเวกเตอร์จะกลายเป็นแถวของเมทริกซ์ - และเราจะได้ค่าดีเทอร์มิแนนต์ที่ระบุไว้ในทฤษฎีบท:

สูตรนี้หมายความว่าปริมาตรของเส้นขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ MN, MK และ MT เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเวกเตอร์ทั้งสามจึงอยู่ในระนาบเดียวกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งจุดใดก็ได้ T = (x, y, z) คือสิ่งที่เรากำลังมองหา

การแทนที่จุดและเส้นของดีเทอร์มิแนนต์

ปัจจัยกำหนดมีคุณสมบัติที่ดีหลายประการที่ทำให้ง่ายยิ่งขึ้น การแก้ปัญหา C2- ตัวอย่างเช่น มันไม่สำคัญสำหรับเราว่าเราจะวาดเวกเตอร์จากจุดใด ดังนั้น ปัจจัยต่อไปนี้จึงให้สมการระนาบเดียวกันกับสมการข้างต้น:

คุณยังสามารถสลับเส้นของดีเทอร์มิแนนต์ได้ สมการจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น หลายคนชอบเขียนเส้นโดยมีพิกัดของจุด T = (x; y; z) อยู่ด้านบนสุด กรุณาถ้ามันสะดวกสำหรับคุณ:

บางคนสับสนว่าในบรรทัดใดบรรทัดหนึ่งมีตัวแปร x, y และ z ซึ่งจะไม่หายไปเมื่อทำการแทนจุด แต่ก็ไม่ควรหายไป! เมื่อแทนตัวเลขลงในดีเทอร์มิแนนต์ คุณจะได้โครงสร้างดังนี้:

จากนั้นดีเทอร์มิแนนต์จะถูกขยายตามแผนภาพที่ให้ไว้ในตอนต้นของบทเรียน และได้รับสมการมาตรฐานของระนาบ:

ขวาน + โดย + Cz + D = 0

ลองดูตัวอย่าง มันเป็นบทเรียนสุดท้ายของวันนี้ ฉันจะจงใจสลับเส้นเพื่อให้แน่ใจว่าคำตอบจะได้สมการเดียวกันกับระนาบ

งาน. เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ:

ข 1 = (1, 0, 1);
ค = (1, 1, 0);
ง 1 = (0, 1, 1)

ดังนั้นเราจึงพิจารณา 4 ประเด็น:

ข 1 = (1, 0, 1);
ค = (1, 1, 0);
ง 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z)

ขั้นแรก เรามาสร้างดีเทอร์มิแนนต์มาตรฐานและกำหนดให้เป็นศูนย์:

เราขยายปัจจัยกำหนด:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

เพียงเท่านี้ เราก็ได้คำตอบแล้ว: x + y + z − 2 = 0

ทีนี้ลองจัดเรียงบรรทัดสองสามบรรทัดในดีเทอร์มิแนนต์ใหม่แล้วดูว่าเกิดอะไรขึ้น ตัวอย่างเช่น ลองเขียนบรรทัดที่มีตัวแปร x, y, z ไม่ใช่ที่ด้านล่าง แต่อยู่ที่ด้านบน:

เราขยายปัจจัยผลลัพธ์อีกครั้ง:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

เราได้สมการระนาบเดียวกันทุกประการ: x + y + z − 2 = 0 ซึ่งหมายความว่าจริงๆ แล้วมันไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของแถว สิ่งที่เหลืออยู่คือการเขียนคำตอบ

ดังนั้นเราจึงมั่นใจว่าสมการของระนาบไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของเส้น เราสามารถทำการคำนวณที่คล้ายกันและพิสูจน์ว่าสมการของระนาบไม่ได้ขึ้นอยู่กับจุดที่เราลบพิกัดออกจากจุดอื่น

ในปัญหาที่พิจารณาข้างต้น เราใช้จุด B 1 = (1, 0, 1) แต่ก็ค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะใช้ C = (1, 1, 0) หรือ D 1 = (0, 1, 1) โดยทั่วไปแล้ว จุดใดก็ตามที่มีพิกัดที่ทราบอยู่บนระนาบที่ต้องการ

13.มุมระหว่างระนาบ ระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ

ให้ระนาบ α และ β ตัดกันเป็นเส้นตรง c
มุมระหว่างระนาบคือมุมระหว่างตั้งฉากกับเส้นตัดที่วาดในระนาบเหล่านี้

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในระนาบ α เราวาดเส้นตรงตั้งฉากกับ c ในระนาบ β - เส้นตรง b ซึ่งตั้งฉากกับ c เช่นกัน มุมระหว่างระนาบ α และ β เท่ากับมุมระหว่างเส้นตรง a และ b

โปรดทราบว่าเมื่อระนาบสองระนาบตัดกัน มุมทั้งสี่จะถูกสร้างขึ้นจริง คุณเห็นพวกเขาในภาพไหม? เป็นมุมระหว่างเครื่องบินที่เราถ่าย เผ็ดมุม.

ถ้ามุมระหว่างระนาบเป็น 90 องศา แสดงว่าระนาบนั้น ตั้งฉาก,

นี่คือคำจำกัดความของความตั้งฉากของระนาบ เมื่อแก้ไขปัญหาในแบบสามมิติเราก็ใช้เช่นกัน สัญลักษณ์ของความตั้งฉากของระนาบ:

ถ้าระนาบ α ผ่านตั้งฉากกับระนาบ β แล้วระนาบ α และ β จะตั้งฉากกัน.

ระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ

พิจารณาจุด T ซึ่งกำหนดโดยพิกัด:

ที = (x 0 , y 0 , z 0)

เรายังพิจารณาระนาบ α ที่กำหนดโดยสมการด้วย:

ขวาน + โดย + Cz + D = 0

จากนั้นระยะทาง L จากจุด T ถึงระนาบ α สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราแทนพิกัดของจุดลงในสมการของระนาบ แล้วหารสมการนี้ด้วยความยาวของเวกเตอร์ปกติ n ไปยังระนาบ:

ตัวเลขผลลัพธ์คือระยะทาง เรามาดูกันว่าทฤษฎีบทนี้ทำงานอย่างไรในทางปฏิบัติ

เราได้สมการพาราเมติกของเส้นตรงบนระนาบมาแล้ว มาดูสมการพาราเมทริกของเส้นตรงซึ่งกำหนดไว้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมในพื้นที่สามมิติกัน

ให้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมได้รับการแก้ไขในพื้นที่สามมิติ อ็อกซิซ- ให้เรากำหนดเส้นตรงในนั้น ก(ดูหัวข้อวิธีการกำหนดเส้นในปริภูมิ) ซึ่งระบุเวกเตอร์ทิศทางของเส้น และพิกัดของจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นตรง - เราจะเริ่มจากข้อมูลเหล่านี้เมื่อวาดสมการพาราเมตริกของเส้นตรงในอวกาศ

อนุญาต เป็นจุดใดก็ได้ในปริภูมิสามมิติ ถ้าเราลบออกจากพิกัดของจุด มพิกัดจุดที่สอดคล้องกัน ม.1จากนั้นเราจะได้พิกัดของเวกเตอร์ (ดูบทความการค้นหาพิกัดของเวกเตอร์จากพิกัดของจุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้น) นั่นคือ .

แน่นอนว่าเซตของจุดจะกำหนดเส้นตรง กถ้าหากเวกเตอร์และอยู่ในแนวเดียวกัน

ให้เราเขียนเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ และ : ที่ไหน - บ้าง จำนวนจริง- สมการผลลัพธ์เรียกว่า สมการเวกเตอร์-พารามิเตอร์ของเส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม อ็อกซิซในพื้นที่สามมิติ สมการเวกเตอร์-พาราเมตริกของเส้นตรงในรูปแบบพิกัดมีรูปแบบ และเป็นตัวแทน สมการพาราเมตริกของเส้นตรง ก- ชื่อ "พารามิเตอร์" ไม่ได้ตั้งใจเนื่องจากพิกัดของจุดทั้งหมดบนเส้นถูกระบุโดยใช้พารามิเตอร์

ให้เรายกตัวอย่างสมการพาราเมตริกของเส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม อ็อกซิซในอวกาศ: . ที่นี่

15.มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ จุดตัดของเส้นตรงกับระนาบ

ทุกสมการดีกรีแรกสัมพันธ์กับพิกัด x, y, z

ขวาน + โดย + Cz +D = 0 (3.1)

กำหนดระนาบ และในทางกลับกัน ระนาบใดๆ สามารถแทนได้ด้วยสมการ (3.1) ซึ่งเรียกว่า สมการระนาบ.

เวกเตอร์ n(A,B,C) ตั้งฉากกับระนาบเรียกว่า เวกเตอร์ปกติเครื่องบิน. ในสมการ (3.1) ค่าสัมประสิทธิ์ A, B, C จะไม่เท่ากับ 0 ในเวลาเดียวกัน

กรณีพิเศษสมการ (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - ระนาบผ่านจุดกำเนิด

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - ระนาบขนานกับแกนออนซ์

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - ระนาบเคลื่อนผ่านแกน Oz

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - ระนาบขนานกับระนาบ Oyz

สมการ ประสานงานเครื่องบิน: x = 0, y = 0, z = 0

เส้นตรงในช่องว่างสามารถระบุได้:

1) เป็นเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบคือ ระบบสมการ:

A 1 x + B 1 ปี + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 ปี + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) โดยสองจุดของมัน M 1 (x 1, y 1, z 1) และ M 2 (x 2, y 2, z 2) จากนั้นเส้นตรงที่ผ่านพวกมันจะได้รับจากสมการ:

3) จุด M 1 (x 1, y 1, z 1) ที่เป็นของมันและเวกเตอร์ ก(m, n, p) ขนานกับมัน จากนั้นเส้นตรงจะถูกกำหนดโดยสมการ:

. (3.4)

สมการ (3.4) เรียกว่า สมการมาตรฐานของเส้นตรง.

เวกเตอร์ กเรียกว่า เวกเตอร์ทิศทางตรง.

เราได้รับสมการพาราเมตริกของเส้นตรงโดยการเทียบความสัมพันธ์แต่ละรายการ (3.4) กับพารามิเตอร์ t:

x = x 1 +มอนแทนา, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt (3.5)

ระบบแก้ (3.2) เป็นระบบ สมการเชิงเส้นค่อนข้างไม่เป็นที่รู้จัก xและ ยเราก็มาถึงสมการของเส้นตรงแล้ว การคาดการณ์หรือเพื่อ โดยให้สมการเส้นตรง:

x = mz + a, y = nz + b (3.6)

จากสมการ (3.6) เราไปหาสมการ Canonical ได้ zจากแต่ละสมการและการเท่ากันของค่าผลลัพธ์:

.

จากสมการทั่วไป (3.2) คุณสามารถไปที่สมการมาตรฐานได้ด้วยวิธีอื่น หากคุณพบจุดใดๆ บนเส้นนี้และเวกเตอร์ทิศทางของมัน n= [n 1 , n 2 ] ที่ไหน n 1 (ก 1, บี 1, ค 1) และ n 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - เวกเตอร์ปกติของระนาบที่กำหนด ถ้าตัวส่วนตัวใดตัวหนึ่ง มหรือ รในสมการ (3.4) กลายเป็นศูนย์ดังนั้นตัวเศษของเศษส่วนที่เกี่ยวข้องจะต้องตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์นั่นคือ ระบบ

เทียบเท่ากับระบบ - เส้นตรงดังกล่าวตั้งฉากกับแกนวัว

ระบบ เทียบเท่ากับระบบ x = x 1, y = y 1; เส้นตรงขนานกับแกนออนซ์

ตัวอย่างที่ 1.15- เขียนสมการของระนาบ โดยรู้ว่าจุด A(1,-1,3) ทำหน้าที่เป็นฐานของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดกำเนิดมายังระนาบนี้

สารละลาย.ตามเงื่อนไขของปัญหาเวกเตอร์ โอเอ(1,-1,3) เป็นเวกเตอร์ปกติของระนาบ จากนั้นสมการของมันสามารถเขียนได้เป็น
x-y+3z+D=0 เมื่อแทนพิกัดของจุด A(1,-1,3) ที่เป็นของระนาบ เราจะพบว่า D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11 ดังนั้น x-y+3z-11=0

ตัวอย่างที่ 1.16- สร้างสมการสำหรับระนาบที่ผ่านแกนออนซ์และสร้างมุม 60 องศา โดยระนาบ 2x+y-z-7=0

สารละลาย.ระนาบที่ผ่านแกนออซได้มาจากสมการ Ax+By=0 โดยที่ A และ B จะไม่หายไปพร้อมกัน อย่าให้บี
เท่ากับ 0, A/Bx+y=0 การใช้สูตรโคไซน์สำหรับมุมระหว่างระนาบสองระนาบ

.

กำลังตัดสินใจ สมการกำลังสอง 3m 2 + 8m - 3 = 0 หารากของมัน
m 1 = 1/3, m 2 = -3 จากที่เราได้ระนาบสองอัน 1/3x+y = 0 และ -3x+y = 0

ตัวอย่างที่ 1.17เขียนสมการมาตรฐานของเส้นตรง:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0

สารละลาย.สมการ Canonicalเส้นตรงมีรูปแบบดังนี้

ที่ไหน ม, เอ็น, พี- พิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง x 1 , y 1 , z 1- พิกัดของจุดใด ๆ ที่เป็นของเส้น เส้นตรงหมายถึงเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบ ในการค้นหาจุดที่เป็นของเส้นตรง พิกัดตัวใดตัวหนึ่งจะถูกกำหนดตายตัว (วิธีที่ง่ายที่สุดคือการตั้งค่า เช่น x=0) และระบบผลลัพธ์จะถูกแก้ไขเป็นระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่าสองตัว ดังนั้น ให้ x=0 แล้ว y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0 ดังนั้น y=-1, z=1 เราพบพิกัดของจุด M(x 1, y 1, z 1) ที่เป็นของเส้นนี้: M (0,-1,1) เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงหาได้ง่าย โดยรู้เวกเตอร์ปกติของระนาบดั้งเดิม n 1 (5,1,1) และ n 2 (2,3,-2) แล้ว

สมการมาตรฐานของเส้นตรงมีรูปแบบ: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

ตัวอย่างที่ 1.18- ในลำแสงที่กำหนดโดยระนาบ 2x-y+5z-3=0 และ x+y+2z+1=0 ให้หาระนาบตั้งฉากสองระนาบ โดยระนาบหนึ่งผ่านจุด M(1,0,1)

สารละลาย.สมการของลำแสงที่กำหนดโดยระนาบเหล่านี้มีรูปแบบ u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0 โดยที่ u และ v จะไม่หายไปพร้อมกัน ให้เราเขียนสมการลำแสงใหม่ดังนี้:

(2u +v)x + (- ยู + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0

ในการเลือกระนาบจากลำแสงที่ผ่านจุด M เราจะแทนที่พิกัดของจุด M ลงในสมการของลำแสง เราได้รับ:

(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0 หรือ v = - u

จากนั้นเราจะพบสมการของระนาบที่มี M โดยการแทนที่ v = - u ลงในสมการลำแสง:

คุณ(2x-y +5z - 3) - คุณ (x + y +2z +1) = 0

เพราะ u¹0 (มิฉะนั้น v=0 และสิ่งนี้ขัดแย้งกับคำจำกัดความของลำแสง) จากนั้นเราจะได้สมการของระนาบ x-2y+3z-4=0 ระนาบที่สองที่เป็นของลำแสงจะต้องตั้งฉากกับมัน ให้เราเขียนเงื่อนไขสำหรับความตั้งฉากของระนาบ:

(2u+ v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u +2v)×3 = 0 หรือ v = - 19/5u

ซึ่งหมายความว่าสมการของระนาบที่สองมีรูปแบบ:

คุณ(2x -y+5z - 3) - 19/5 คุณ(x + y +2z +1) = 0 หรือ 9x +24y + 13z + 34 = 0

เพื่อที่จะให้ระนาบเดียวลากผ่านจุดสามจุดใดๆ ในอวกาศ จุดเหล่านี้จะต้องไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวกัน

พิจารณาจุด M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนทั่วไป

เพื่อให้จุดใดจุดหนึ่ง M(x, y, z) อยู่ในระนาบเดียวกันกับจุด M 1, M 2, M 3 จำเป็นที่เวกเตอร์จะต้องอยู่ในระนาบเดียวกัน

(
) = 0

ดังนั้น,

สมการของเครื่องบินที่ผ่านจุดสามจุด:

สมการของระนาบที่กำหนดจุดสองจุดและเวกเตอร์โคลิเนียร์กับระนาบ

ให้จุด M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) และเวกเตอร์ได้รับ
.

มาสร้างสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด M 1 และ M 2 และจุดใดก็ได้ M (x, y, z) ขนานกับเวกเตอร์ .

เวกเตอร์
และเวกเตอร์
จะต้องเป็นแบบระนาบเดียวกัน เช่น

(
) = 0

สมการเครื่องบิน:

สมการของระนาบโดยใช้หนึ่งจุดและเวกเตอร์สองตัว

ขนานไปกับเครื่องบิน

ให้เวกเตอร์สองตัวมา
และ
, เครื่องบินแนวตรง จากนั้นสำหรับจุดใดก็ได้ M(x, y, z) ที่เป็นของระนาบ เวกเตอร์
ต้องเป็นระนาบเดียวกัน

สมการเครื่องบิน:

สมการของระนาบต่อจุดและเวกเตอร์ปกติ .

ทฤษฎีบท. หากให้จุด M ในอวกาศ 0 (เอ็กซ์ 0 , ย 0 , z 0 ) จากนั้นสมการของระนาบที่ผ่านจุด M 0 ตั้งฉากกับเวกเตอร์ปกติ (ก, บี, ค) มีรูปแบบ:

ก(x – x 0 ) + บี(ย – ย 0 ) + ค(z – z 0 ) = 0.

การพิสูจน์. สำหรับจุดใดๆ ก็ตามของระนาบ M(x, y, z) เราจะเขียนเวกเตอร์ขึ้นมา เพราะ เวกเตอร์ เป็นเวกเตอร์ตั้งฉาก จากนั้นมันจะตั้งฉากกับระนาบ และด้วยเหตุนี้ ตั้งฉากกับเวกเตอร์
- แล้วผลคูณสเกลาร์

= 0

ดังนั้นเราจึงได้สมการของระนาบ

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

สมการของระนาบในส่วนต่างๆ

ถ้าเข้า. สมการทั่วไปขวาน + Bu + Cz + D = 0 หารทั้งสองข้างด้วย (-D)

,

แทนที่
เราได้สมการของระนาบเป็นส่วนๆ:

ตัวเลข a, b, c คือจุดตัดของระนาบที่มีแกน x, y, z ตามลำดับ

สมการของระนาบในรูปแบบเวกเตอร์

ที่ไหน

- เวกเตอร์รัศมีของจุดปัจจุบัน M(x, y, z)

เวกเตอร์หน่วยที่มีทิศทางตั้งฉากตกลงบนระนาบจากจุดกำเนิด

,  และ  คือมุมที่เกิดจากเวกเตอร์นี้ซึ่งมีแกน x, y, z

p คือความยาวของเส้นตั้งฉากนี้

ในพิกัดสมการนี้มีลักษณะดังนี้:

xcos + ycos + zcos - p = 0

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเครื่องบิน

ระยะห่างจากจุดใดก็ได้ M 0 (x 0, y 0, z 0) ถึงระนาบ Ax+By+Cz+D=0 คือ:

ตัวอย่าง.ค้นหาสมการของระนาบ โดยรู้ว่าจุด P(4; -3; 12) คือฐานของเส้นตั้งฉากที่หลุดจากจุดกำเนิดมายังระนาบนี้

ดังนั้น A = 4/13; ข = -3/13; C = 12/13 เราใช้สูตร:

ก(x – x 0 ) + B(ป – ย 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

ตัวอย่าง.จงหาสมการของระนาบที่ผ่านจุดสองจุด P(2; 0; -1) และ

Q(1; -1; 3) ตั้งฉากกับระนาบ 3x + 2y – z + 5 = 0

เวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ 3x + 2y – z + 5 = 0
ขนานกับระนาบที่ต้องการ

เราได้รับ:

ตัวอย่าง.จงหาสมการของระนาบที่ผ่านจุด A(2, -1, 4) และ

B(3, 2, -1) ตั้งฉากกับระนาบ เอ็กซ์ + ที่ + 2z – 3 = 0.

สมการที่ต้องการของระนาบมีรูปแบบ: A x+บี ย+ซี z+ D = 0, เวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบนี้ (ก, ข, ค) เวกเตอร์
(1, 3, -5) เป็นของเครื่องบิน ระนาบที่มอบให้เราซึ่งตั้งฉากกับระนาบที่ต้องการนั้นมีเวกเตอร์ปกติ (1, 1, 2) เพราะ จุด A และ B เป็นของระนาบทั้งสอง และระนาบนั้นตั้งฉากกัน

แล้วเวกเตอร์ปกติ (11, -7, -2) เพราะ จุด A เป็นของระนาบที่ต้องการจากนั้นพิกัดของมันจะต้องเป็นไปตามสมการของระนาบนี้เช่น 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

โดยรวมแล้วเราได้สมการของระนาบ: 11 x - 7ย – 2z – 21 = 0.

ตัวอย่าง.ค้นหาสมการของระนาบ โดยรู้ว่าจุด P(4, -3, 12) คือฐานของเส้นตั้งฉากที่ตกลงจากจุดกำเนิดมายังระนาบนี้

การหาพิกัดของเวกเตอร์ปกติ
= (4, -3, 12) สมการที่ต้องการของระนาบมีรูปแบบ: 4 x – 3ย + 12z+ D = 0 ในการค้นหาสัมประสิทธิ์ D เราจะแทนที่พิกัดของจุด P ลงในสมการ:

16 + 9 + 144 + D = 0

โดยรวมแล้วเราได้สมการที่ต้องการ: 4 x – 3ย + 12z – 169 = 0

ตัวอย่าง.ได้รับพิกัดของจุดยอดของปิรามิด: A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

ค้นหาความยาวของขอบ A 1 A 2

ค้นหามุมระหว่างขอบ A 1 A 2 และ A 1 A 4

หามุมระหว่างขอบ A 1 A 4 และหน้า A 1 A 2 A 3

อันดับแรก เราจะหาเวกเตอร์ปกติของใบหน้า A 1 A 2 A 3 เป็นผลคูณไขว้ของเวกเตอร์
และ
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

ลองหามุมระหว่างเวกเตอร์ปกติกับเวกเตอร์กัน
.

-4 – 4 = -8.

มุมที่ต้องการ  ระหว่างเวกเตอร์กับระนาบจะเท่ากับ  = 90 0 - 

หาพื้นที่ของใบหน้า A 1 A 2 A 3

ค้นหาปริมาตรของปิรามิด

ค้นหาสมการของระนาบ A 1 A 2 A 3

ลองใช้สูตรสมการของระนาบที่ผ่านจุดสามจุดกัน

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

เมื่อใช้คอมพิวเตอร์เวอร์ชั่น” หลักสูตรคณิตศาสตร์ขั้นสูง” คุณสามารถรันโปรแกรมที่จะแก้ไขตัวอย่างข้างต้นสำหรับพิกัดใด ๆ ของจุดยอดของปิรามิด

ในการเริ่มโปรแกรมให้ดับเบิลคลิกที่ไอคอน:

ในหน้าต่างโปรแกรมที่เปิดขึ้น ให้ป้อนพิกัดของจุดยอดของปิรามิดแล้วกด Enter ด้วยวิธีนี้ สามารถรับคะแนนการตัดสินใจทั้งหมดได้ทีละคะแนน

หมายเหตุ: ในการรันโปรแกรม จะต้องติดตั้งโปรแกรม Maple ( Waterloo Maple Inc.) เวอร์ชันใดๆ ที่เริ่มต้นด้วย MapleV Release 4 บนคอมพิวเตอร์ของคุณ

เพื่อที่จะให้ระนาบเดียวลากผ่านจุดสามจุดใดๆ ในอวกาศ จุดเหล่านี้จะต้องไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวกัน

พิจารณาจุด M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนทั่วไป

เพื่อให้จุดใดจุดหนึ่ง M(x, y, z) อยู่ในระนาบเดียวกันกับจุด M 1, M 2, M 3 จำเป็นที่เวกเตอร์จะต้องอยู่ในระนาบเดียวกัน

คำจำกัดความ 2.1

เส้นตรงสองเส้นในอวกาศเรียกว่าเส้นขนานหากอยู่ในระนาบเดียวกันและไม่มีจุดร่วม

ถ้าเส้นตรงสองเส้น a และ b ขนานกัน ดังนั้น ในทางแผนผังระนาบ ให้เขียน || ข. ในอวกาศ สามารถวางเส้นในลักษณะที่ไม่ตัดกันหรือขนานกัน กรณีนี้เป็นกรณีพิเศษสำหรับ Stereometry

คำจำกัดความ 2.2

เส้นตรงที่ไม่มีจุดร่วมและไม่ขนานกันเรียกว่าเส้นตัดกัน

ทฤษฎีบท 2.1

ผ่านจุดที่อยู่นอกเส้นที่กำหนด คุณสามารถลากเส้นขนานกับจุดที่กำหนดและเพียงเส้นเดียวเท่านั้น

สัญลักษณ์ของเส้นขนาน

เส้นตรงสองเส้นในอวกาศเรียกว่าเส้นขนานหากอยู่ในระนาบเดียวกันและไม่ตัดกัน ผ่านจุดที่อยู่นอกเส้นที่กำหนด คุณสามารถวาดเส้นขนานกับเส้นตรงนี้ได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้น

25.ข้อความนี้ลดทอนความเป็นจริงของความคล้ายคลึงกันในระนาบ

ทฤษฎีบท. เส้นสองเส้นขนานกับเส้นที่สามขนานกัน

ให้เส้น b และ c ขนานกับเส้น a ให้เราพิสูจน์ว่า b || กับ. กรณีที่พิจารณาเส้นตรง a, b และนอนอยู่บนระนาบเดียวกัน สมมติว่า a, b และ c ไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกัน แต่เนื่องจากเส้นขนานสองเส้นอยู่ในระนาบเดียวกัน เราจึงสามารถสรุปได้ว่า a และ b อยู่ในระนาบ และ a และ c อยู่ในระนาบ (รูปที่ 61) บนเส้นตรง c เราทำเครื่องหมายจุด (ใดก็ได้) M และผ่านเส้นตรง b และจุด M เราวาดเครื่องบิน . เธอ , ตัดกันเป็นเส้นตรง l เส้นตรง l ไม่ได้ตัดกันระนาบ เนื่องจากถ้า l ตัดกัน จุดตัดกันของมันจะต้องอยู่บน a (a และ l อยู่ในระนาบเดียวกัน) และบน b (b และ l อยู่ในระนาบเดียวกัน) ดังนั้น จุดตัดหนึ่งจุด l และจะต้องอยู่บนเส้น a และเส้น b ซึ่งเป็นไปไม่ได้: a || ข. ดังนั้น || , ล. || ก, ล. || ข. เนื่องจาก a และ l อยู่ในระนาบเดียวกัน ดังนั้น l จึงเกิดขึ้นพร้อมกับเส้น c (โดยสัจพจน์ความขนาน) ดังนั้นด้วย || ข. ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

สัญลักษณ์ของความขนานระหว่างเส้นกับระนาบ

ให้ α เป็นระนาบ เป็นเส้นตรงที่ไม่วางอยู่บนนั้น และ a1 เป็นเส้นในระนาบ α ขนานกับเส้น a ให้เราวาดระนาบ α1 ผ่านเส้น a และ a1 ระนาบ α และ α1 ตัดกันตามเส้นตรง a1 หากลากเส้นระนาบที่ตัดกัน α แล้วจุดตัดจะอยู่ในเส้น a1 แต่นี่เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากเส้น a และ a1 ขนานกัน ดังนั้น เส้นตรง a จะไม่ตัดกับระนาบ α ดังนั้นเส้นตรงจึงขนานกับระนาบ α ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

27.การดำรงอยู่ของระนาบขนานกับระนาบที่กำหนด

ทฤษฎีบท. เส้นสองเส้นขนานกับเส้นที่สามขนานกัน

ผ่านจุดที่อยู่นอกระนาบที่กำหนด คุณสามารถวาดระนาบขนานกับระนาบที่กำหนดได้เพียงอันเดียวเท่านั้น

สัญลักษณ์ของความขนานระหว่างเส้นกับระนาบ

ขอให้เราวาดเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน a และ b ในระนาบนี้ α ผ่านจุดที่กำหนด A เราวาดเส้น a1 และ b1 ขนานกับพวกมัน ระนาบ β ที่ผ่านเส้นตรง a1 และ b1 ตามทฤษฎีบทเรื่องความขนานของระนาบ จะขนานกับระนาบ α

สมมติว่ามีระนาบอื่น β1 ผ่านจุด A ซึ่งขนานกับระนาบ α เช่นกัน ให้เราทำเครื่องหมายจุด C บนระนาบ β1 ที่ไม่อยู่ในระนาบ β ให้เราวาดระนาบ γ ผ่านจุด A, C และจุด B บางจุดของระนาบ α ระนาบนี้จะตัดระนาบ α, β และ β1 ตามเส้นตรง b, a และ c เส้นตรง a และ c ไม่ตัดกันเส้น b เนื่องจากเส้นทั้งสองไม่ตัดกันระนาบ α ดังนั้นพวกมันจึงขนานกับเส้น b แต่ในระนาบ γ มีเพียงเส้นเดียวที่ขนานกับเส้น b เท่านั้นที่สามารถผ่านจุด A ได้ ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐาน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

28.คุณสมบัติของระนาบขนานไทย

29.

เส้นตั้งฉากในอวกาศ เส้นตรงสองเส้นในอวกาศเรียกว่าตั้งฉากถ้ามุมระหว่างเส้นทั้งสองเป็น 90 องศา ค. ม. เค เค ม. ค. เค ตัดกัน. การผสมข้ามพันธุ์

ทฤษฎีบทที่ 1 สัญญาณของความตั้งฉากของเส้นและระนาบ ถ้าเส้นที่ตัดกันระนาบตั้งฉากกับเส้นสองเส้นในระนาบนี้ที่ผ่านจุดตัดกันของเส้นนี้กับระนาบ เส้นนั้นจะตั้งฉากกับระนาบ

พิสูจน์: ให้ a เป็นเส้นตั้งฉากกับเส้น b และ c ในระนาบ จากนั้นลากเส้น a ผ่านจุด A ของจุดตัดของเส้น b และ c ขอให้เราพิสูจน์ว่าเส้นตรง a ตั้งฉากกับระนาบ ขอให้เราวาดเส้นตรง x ผ่านจุด A ในระนาบแล้วแสดงว่าเส้นตั้งฉากกับเส้น a ให้เราวาดเส้นตามอำเภอใจในระนาบที่ไม่ผ่านจุด A และตัดเส้น b, c และ x ให้จุดตัดเป็น B, C และ X ให้เราพล็อตส่วนที่เท่ากัน AA 1 และ AA 2 บนเส้น a จากจุด A ในทิศทางที่ต่างกัน สามเหลี่ยม A 1 CA 2 เป็นหน้าจั่ว เนื่องจากส่วน AC คือความสูงตามทฤษฎีบทและค่ามัธยฐานตามโครงสร้าง (AA 1 = AA 2) ด้วยเหตุผลเดียวกัน สามเหลี่ยม A 1 BA 2 ก็เป็นหน้าจั่วเช่นกัน ดังนั้น สามเหลี่ยม A 1 BC และ A 2 BC จึงมีด้านเท่ากันทั้งสามด้าน จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม A 1 BC และ A 2 BC จะตามมาว่ามุม A 1 BC และ A 2 BC เท่ากัน ดังนั้นสามเหลี่ยม A 1 BC และ A 2 BC จึงเท่ากันในสองด้านและมุมระหว่างพวกเขา . จากความเท่ากันของด้าน A 1 X และ A 2 X ของสามเหลี่ยมเหล่านี้ เราสรุปได้ว่าสามเหลี่ยม A 1 XA 2 เป็นหน้าจั่ว ดังนั้นค่ามัธยฐานของ XA ก็คือความสูงเช่นกัน และนี่หมายความว่าเส้นตรง x ตั้งฉากกับ a ตามคำนิยาม เส้นตรงจะตั้งฉากกับระนาบ ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบทที่ 2 คุณสมบัติที่ 1 ของเส้นตั้งฉากและระนาบ ถ้าระนาบตั้งฉากกับเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้น เส้นนั้นจะตั้งฉากกับอีกเส้นหนึ่งด้วย
พิสูจน์: ให้ 1 และ 2 - 2 เป็นเส้นขนานและมีระนาบตั้งฉากกับเส้น 1 ลองพิสูจน์ว่าระนาบนี้ตั้งฉากกับเส้นตรง a 2 ให้เราวาดเส้นใดก็ได้ x 2 ในระนาบผ่านจุด A 2 ของจุดตัดของเส้นตรง a 2 กับระนาบ ให้เราวาดในระนาบผ่านจุด A 1 จุดตัดของเส้น a 1 โดยมีเส้น x 1 ขนานกับเส้น x 2 เนื่องจากเส้นที่ 1 ตั้งฉากกับระนาบ ดังนั้นเส้นที่ 1 และ x 1 จึงตั้งฉากกัน และตามทฤษฎีบทที่ 1 เส้นตรงที่ตัดกัน 2 และ x 2 ขนานกันก็จะตั้งฉากกันเช่นกัน ดังนั้น เส้นตรง 2 จึงตั้งฉากกับเส้นใดๆ x 2 ในระนาบ และนี่ (ตามคำจำกัดความ) หมายความว่าเส้นตรง a 2 ตั้งฉากกับระนาบ ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว ดูงานสนับสนุนหมายเลข 2 ด้วย
ทฤษฎีบทที่ 3 คุณสมบัติที่ 2 ของเส้นตั้งฉากและระนาบ เส้นตรงสองเส้นที่ตั้งฉากกับระนาบเดียวกันนั้นขนานกัน
พิสูจน์: ให้ a และ b เป็นเส้นตรง 2 เส้นตั้งฉากกับระนาบ สมมติว่าเส้นตรง a และ b ไม่ขนานกัน ให้เราเลือกจุด C บนเส้น b ที่ไม่อยู่ในระนาบ ให้เราวาดเส้น b 1 ถึงจุด C ขนานกับเส้น a เส้น b 1 ตั้งฉากกับระนาบตามทฤษฎีบท 2 ให้ B และ B 1 เป็นจุดตัดกันของเส้น b และ b 1 กับระนาบ จากนั้นเส้นตรง BB 1 ตั้งฉากกับเส้นตัดกัน b และ b 1 และนี่เป็นไปไม่ได้ เรามาถึงความขัดแย้งแล้ว ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

33.ตั้งฉากหล่นจากจุดที่กำหนดบนระนาบที่กำหนดคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดที่กำหนดกับจุดบนระนาบและนอนอยู่บนเส้นตรง ตั้งฉากกับเครื่องบิน- จุดสิ้นสุดของส่วนนี้ที่วางอยู่ในระนาบเรียกว่า ฐานตั้งฉาก.
เอียงที่ลากจากจุดที่กำหนดไปยังระนาบที่กำหนดคือส่วนใดๆ ที่เชื่อมต่อจุดที่กำหนดกับจุดบนระนาบที่ไม่ตั้งฉากกับระนาบ เรียกว่าจุดสิ้นสุดของส่วนที่นอนอยู่ในระนาบ ฐานเอียง- เรียกว่าส่วนที่เชื่อมต่อฐานของตั้งฉากกับส่วนที่เอียงจากจุดเดียวกัน การฉายภาพเฉียง.

AB ตั้งฉากกับระนาบ α
AC – เฉียง, CB – การฉายภาพ

คำแถลงของทฤษฎีบท

ถ้าเส้นตรงที่ลากบนระนาบผ่านฐานของเส้นเอียงตั้งฉากกับเส้นโครง เส้นนั้นจะตั้งฉากกับเส้นเอียง

สัญลักษณ์ของความขนานระหว่างเส้นกับระนาบ

อนุญาต เอบี- ตั้งฉากกับระนาบ α, เอ.ซี.- เอียงและ ค- เส้นตรงในระนาบ α ที่ผ่านจุดนั้น คและตั้งฉากกับการฉายภาพ บี.ซี.- มาทำไดเร็กกันเถอะ ซีเคขนานไปกับเส้น เอบี- ตรง ซีเคตั้งฉากกับระนาบ α (เนื่องจากมันขนานกัน เอบี) และดังนั้นเส้นตรงใดๆ ของระนาบนี้ ดังนั้น ซีเคตั้งฉากกับเส้นตรง ค- ลองวาดผ่านเส้นคู่ขนานกัน เอบีและ ซีเคเครื่องบิน β (เส้นขนานกำหนดระนาบและมีเพียงอันเดียวเท่านั้น) ตรง คตั้งฉากกับเส้นตัดกันสองเส้นที่อยู่ในระนาบ β นี่คือ บี.ซี.ตามเงื่อนไขและ ซีเคโดยการก่อสร้างหมายความว่า ตั้งฉากกับเส้นใด ๆ ที่เป็นของระนาบนี้ หมายความว่า ตั้งฉากกับเส้นนั้น เอ.ซี..