มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นในอวกาศ ปัญหาที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับเส้นตรงบนเครื่องบิน

มุมระหว่างระนาบ

พิจารณาระนาบสองระนาบ α 1 และ α 2 ซึ่งกำหนดตามลำดับโดยสมการ:

ภายใต้ มุมระหว่างระนาบสองระนาบ เราจะเข้าใจมุมไดฮีดรัลอันใดอันหนึ่งที่เกิดจากระนาบเหล่านี้ เห็นได้ชัดว่ามุมระหว่างเวกเตอร์ปกติและระนาบ α 1 และ α 2 เท่ากับหนึ่งในมุมไดฮีดรัลที่อยู่ติดกันที่ระบุ หรือ - นั่นเป็นเหตุผล - เพราะ และ , ที่

.

ตัวอย่าง.กำหนดมุมระหว่างระนาบ x+2ย-3z+4=0 และ 2 x+3ย+z+8=0.

เงื่อนไขความขนานของระนาบทั้งสอง

ระนาบสองอัน α 1 และ α 2 จะขนานกันก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ปกติของพวกมันขนานกัน ดังนั้น .

ดังนั้น ระนาบสองระนาบจะขนานกันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของพิกัดที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วน:

หรือ

สภาพตั้งฉากของระนาบ

เห็นได้ชัดว่าระนาบสองระนาบตั้งฉากก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ปกติของพวกมันตั้งฉากกัน และด้วยเหตุนี้ หรือ

ดังนั้น, .

ตัวอย่าง.

ตรงไปในอวกาศ

สมการเวกเตอร์สำหรับเส้น

สมการทางตรงพาราเมตริก

ตำแหน่งของเส้นในช่องว่างถูกกำหนดโดยการระบุจุดคงที่ใดๆ ม 1 และเวกเตอร์ขนานกับเส้นนี้

เรียกว่าเวกเตอร์ที่ขนานกับเส้นตรง คำแนะนำเวกเตอร์ของเส้นนี้

เลยปล่อยให้เป็นเส้นตรง ลผ่านจุดหนึ่ง ม 1 (x 1 , ย 1 , z 1) นอนอยู่บนเส้นขนานกับเวกเตอร์ .

พิจารณาจุดใดก็ได้ ม(x,y,z)บนเส้นตรง จากรูปก็ชัดเจนว่า .

เวกเตอร์และเป็นเส้นตรง ดังนั้นจึงมีตัวเลขดังกล่าว ที, อะไร , ตัวคูณอยู่ที่ไหน ทีสามารถรับค่าตัวเลขใดๆ ก็ได้ ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด มบนเส้นตรง ปัจจัย ทีเรียกว่าพารามิเตอร์ มีการกำหนดเวกเตอร์รัศมีของจุด ม 1 และ มตามลำดับ ผ่าน และ เราได้รับ สมการนี้เรียกว่า เวกเตอร์สมการของเส้นตรง มันแสดงให้เห็นว่าสำหรับแต่ละค่าพารามิเตอร์ ทีสอดคล้องกับเวกเตอร์รัศมีของจุดใดจุดหนึ่ง มนอนเป็นเส้นตรง

ลองเขียนสมการนี้ในรูปแบบพิกัดกัน โปรดทราบว่า และจากที่นี่

สมการผลลัพธ์จะถูกเรียกว่า พารามิเตอร์สมการของเส้นตรง

เมื่อเปลี่ยนพารามิเตอร์ ทีพิกัดเปลี่ยนไป x, ยและ zและช่วงเวลา มเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง

สมการมาตรฐานของทางตรง

อนุญาต ม 1 (x 1 , ย 1 , z 1) – จุดที่วางอยู่บนเส้นตรง ล, และ คือเวกเตอร์ทิศทางของมัน ให้เราพิจารณาประเด็นตามอำเภอใจอีกครั้ง ม(x,y,z)และพิจารณาเวกเตอร์

เป็นที่แน่ชัดว่าเวกเตอร์นั้นอยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้นพิกัดที่สอดคล้องกันของพวกมันจะต้องเป็นสัดส่วน ดังนั้น

– ตามบัญญัติสมการของเส้นตรง

หมายเหตุ 1.โปรดทราบว่าสมการมาตรฐานของเส้นตรงสามารถได้รับจากสมการพาราเมตริกโดยการกำจัดพารามิเตอร์ ที- อันที่จริงจากสมการพาราเมตริกที่เราได้รับ หรือ .

ตัวอย่าง.เขียนสมการของเส้นตรง ในรูปแบบพาราเมตริก

มาแสดงกันเถอะ จากที่นี่ x = 2 + 3ที, ย = –1 + 2ที, z = 1 –ที.

หมายเหตุ 2ปล่อยให้เส้นตรงตั้งฉากกับแกนพิกัดแกนใดแกนหนึ่ง เช่น แกน วัว- จากนั้นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงจะตั้งฉาก วัว, เพราะฉะนั้น, ม=0. ดังนั้น สมการพาราเมตริกของเส้นตรงจะอยู่ในรูปแบบ

การแยกพารามิเตอร์ออกจากสมการ ทีเราได้สมการของเส้นตรงในรูปแบบ

อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ เราก็ตกลงที่จะเขียนอย่างเป็นทางการเช่นกัน สมการบัญญัติตรงในรูปแบบ - ดังนั้น หากตัวส่วนของเศษส่วนตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ แสดงว่าเส้นตรงตั้งฉากกับแกนพิกัดที่สอดคล้องกัน

คล้ายกับสมการบัญญัติ สอดคล้องกับเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน วัวและ เฮ้ยหรือขนานกับแกน ออนซ์.

ตัวอย่าง.

สมการทั่วไปของเส้นตรงเท่ากับเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบ

ในทุกเส้นตรงในอวกาศมีระนาบจำนวนนับไม่ถ้วน สองอันใดอันหนึ่งตัดกัน ให้นิยามมันในอวกาศ ดังนั้น สมการของระนาบสองระนาบใดๆ เมื่อพิจารณารวมกัน จะแสดงสมการของเส้นนี้

โดยทั่วไปแล้ว ระนาบที่ไม่ขนานกันสองระนาบใดๆ ที่กำหนดโดยสมการทั่วไป

กำหนดเส้นตรงของจุดตัดของพวกเขา สมการเหล่านี้เรียกว่า สมการทั่วไปโดยตรง.

ตัวอย่าง.

สร้างเส้นที่กำหนดโดยสมการ

ในการสร้างเส้นตรง ก็เพียงพอที่จะหาจุดสองจุดใดก็ได้ วิธีที่ง่ายที่สุดคือเลือกจุดตัดของเส้นด้วย ประสานงานเครื่องบิน- เช่น จุดตัดกับระนาบ xOyเราได้รับจากสมการของเส้นตรง โดยสมมติว่า z= 0:

เมื่อแก้ไขระบบนี้แล้วเราจะพบประเด็น ม 1 (1;2;0).

ในทำนองเดียวกันสมมติว่า ย= 0 เราได้จุดตัดของเส้นตรงกับระนาบ xออซ:

จากสมการทั่วไปของเส้นตรง เราสามารถไปยังสมการมาตรฐานหรือสมการพาราเมตริกได้ ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องค้นหาจุดใดจุดหนึ่ง ม 1 บนเส้นตรงและเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

พิกัดจุด ม 1 ที่เราได้รับจากระบบสมการนี้ โดยให้ค่าพิกัดใดค่าหนึ่งตามอำเภอใจ ในการค้นหาเวกเตอร์ทิศทาง โปรดทราบว่าเวกเตอร์นี้จะต้องตั้งฉากกับเวกเตอร์ปกติทั้งสองตัว และ - ดังนั้นเกินเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง ลคุณสามารถหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ปกติได้:

.

ตัวอย่าง.ให้สมการทั่วไปของเส้นตรง สู่รูปแบบบัญญัติ

ลองหาจุดนอนอยู่บนเส้นกัน ในการทำเช่นนี้ เราเลือกพิกัดใดพิกัดหนึ่งตามอำเภอใจ เช่น ย= 0 และแก้ระบบสมการ:

เวกเตอร์ปกติของระนาบที่กำหนดเส้นตรงมีพิกัด ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางจะเป็นเส้นตรง

- เพราะฉะนั้น, ล: .

มุมระหว่างเส้นตรง

มุมระหว่างเส้นตรงในอวกาศ เราจะเรียกมุมที่อยู่ติดกันใดๆ ที่เกิดจากเส้นตรงสองเส้นที่ลากผ่านจุดใดก็ได้ที่ขนานกับข้อมูล

ให้มีสองบรรทัดในช่องว่าง:

แน่นอนว่ามุม φ ระหว่างเส้นตรงสามารถใช้เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางกับ ตั้งแต่ จากนั้นใช้สูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่เราได้รับ

คำแนะนำ

โปรดทราบ

ระยะเวลา ฟังก์ชันตรีโกณมิติค่าแทนเจนต์มีค่าเท่ากับ 180 องศา ซึ่งหมายความว่ามุมลาดของเส้นตรงจะต้องไม่เกินค่านี้ตามค่าสัมบูรณ์

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

หากค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากัน มุมระหว่างเส้นดังกล่าวจะเป็น 0 เนื่องจากเส้นดังกล่าวตรงกันหรือขนานกัน

ในการกำหนดค่ามุมระหว่างเส้นที่ตัดกัน จำเป็นต้องย้ายทั้งสองเส้น (หรือหนึ่งในนั้น) ไปยังตำแหน่งใหม่โดยใช้วิธีการแปลแบบขนานจนกว่าจะตัดกัน หลังจากนี้ คุณควรหามุมระหว่างเส้นตัดกันที่เกิดขึ้น

คุณจะต้อง

• ไม้บรรทัด, สามเหลี่ยมมุมฉาก,ดินสอ,ไม้โปรแทรกเตอร์

คำแนะนำ

ดังนั้น ให้เวกเตอร์ V = (a, b, c) และระนาบ A x + B y + C z = 0 โดยที่ A, B และ C เป็นพิกัดของ N ปกติ จากนั้นโคไซน์ของมุม α ระหว่างเวกเตอร์ V และ N เท่ากับ: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))

ในการคำนวณมุมเป็นองศาหรือเรเดียน คุณต้องคำนวณฟังก์ชันผกผันกับฟังก์ชันโคไซน์จากนิพจน์ผลลัพธ์ เช่น อาร์คโคไซน์:α = อาร์คอส ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)))

ตัวอย่าง: ค้นหา มุมระหว่าง เวกเตอร์(5, -3, 8) และ เครื่องบิน, ที่ให้ไว้ สมการทั่วไป 2 x – 5 y + 3 z = 0 วิธีแก้: เขียนพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ N = (2, -5, 3) แทนค่าที่ทราบทั้งหมดลงในสูตรที่กำหนด: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 data 0.8 → α = 36.87°

วิดีโอในหัวข้อ

เส้นตรงที่มีจุดร่วมหนึ่งจุดกับวงกลมจะสัมผัสกันกับวงกลม คุณลักษณะอีกประการหนึ่งของแทนเจนต์คือมันจะตั้งฉากกับรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัสเสมอนั่นคือแทนเจนต์และรัศมีก่อตัวเป็นเส้นตรง มุม- หากลากแทนเจนต์สองเส้นของวงกลม AB และ AC จากจุด A ทั้งสองจุดจะเท่ากันเสมอ การกำหนดมุมระหว่างแทนเจนต์ ( มุม ABC) สร้างโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

คำแนะนำ

ในการกำหนดมุม คุณจำเป็นต้องทราบรัศมีของวงกลม OB และ OS และระยะห่างของจุดเริ่มต้นของแทนเจนต์จากศูนย์กลางของวงกลม - O ดังนั้น มุม ABO และ ASO เท่ากัน รัศมี OB คือ เช่น 10 ซม. และระยะห่างถึงจุดศูนย์กลางของวงกลม AO คือ 15 ซม. จงหาความยาวของแทนเจนต์โดยใช้สูตรตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส: AB = รากที่สองจาก AO2 – OB2 หรือ 152 - 102 = 225 – 100 = 125;

ให้เส้นตรงถูกกำหนดไว้ในอวกาศ ลและ ม- เราวาดเส้นตรงผ่านจุด A ของช่องว่าง ล 1 - ลและ ม 1 - ม(รูปที่ 138)

โปรดทราบว่าคุณสามารถเลือกจุด A ได้ตามใจชอบ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันสามารถอยู่บนเส้นใดเส้นหนึ่งเหล่านี้ได้ ถ้าตรง ลและ มตัดกัน จากนั้น A สามารถใช้เป็นจุดตัดของเส้นเหล่านี้ ( ล 1 = ลและ ม 1 = ม).

มุมระหว่างเส้นไม่ขนาน ลและ มคือค่าของมุมที่เล็กที่สุดที่อยู่ติดกันซึ่งเกิดจากเส้นตัดกัน ล 1 และ ม 1 (ล 1 - ล, ม 1 - ม- มุมระหว่างเส้นคู่ขนานถือว่าเท่ากับศูนย์

มุมระหว่างเส้นตรง ลและ มแสดงโดย \(\widehat((l;m))\) จากคำจำกัดความจะเป็นไปตามว่าหากวัดเป็นองศาแล้วจะเป็น 0° < \(\หมวกกว้าง((l;m)) \) < 90° และถ้าเป็นเรเดียน ก็จะเป็น 0 < \(\หมวกกว้าง((l;m)) \) < π / 2 .

งาน.ให้ลูกบาศก์ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (รูปที่ 139)

ค้นหามุมระหว่างเส้นตรง AB และ DC 1

เส้นตรงตัดกัน AB และ DC 1 เนื่องจากเส้นตรง DC ขนานกับเส้นตรง AB มุมระหว่างเส้นตรง AB และ DC 1 ตามคำจำกัดความ จะเท่ากับ \(\หมวกกว้าง(C_(1)DC)\)

ดังนั้น \(\หมวกกว้าง((AB;DC_1))\) = 45°

โดยตรง ลและ มถูกเรียก ตั้งฉาก, ถ้า \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. ตัวอย่างเช่นในลูกบาศก์

การคำนวณมุมระหว่างเส้นตรง

ปัญหาในการคำนวณมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นในอวกาศได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับในระนาบ ให้เราแสดงด้วย φ ขนาดของมุมระหว่างเส้น ล 1 และ ล 2 และถึง ψ - ขนาดของมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง ก และ ข เส้นตรงเหล่านี้

แล้วถ้า

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (รูปที่ 206.6) จากนั้น φ = 180° - ψ แน่นอน ในทั้งสองกรณี ความเท่าเทียมกัน cos φ = |cos ψ| เป็นจริง ตามสูตร (โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ a และ b เท่ากับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้หารด้วยผลคูณของความยาว) เรามี

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

เพราะฉะนั้น,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

ให้เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการบัญญัติของมัน

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; และ \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

จากนั้นมุม φ ระหว่างเส้นจะถูกกำหนดโดยใช้สูตร

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

หากเส้นใดเส้นหนึ่ง (หรือทั้งสองเส้น) ถูกกำหนดโดยสมการที่ไม่ใช่แบบบัญญัติ คุณจะต้องคำนวณมุมโดยต้องหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นเหล่านี้ จากนั้นใช้สูตร (1)

ภารกิจที่ 1คำนวณมุมระหว่างเส้น

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;และ\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงมีพิกัด:

ก = (-√2 ; √2 ; -2), ข = (√3 ; √3 ; √6 ).

เราพบโดยใช้สูตร (1)

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

ดังนั้น มุมระหว่างเส้นเหล่านี้คือ 60°

ภารกิจที่ 2คำนวณมุมระหว่างเส้น

$$ \begin(กรณี)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(กรณี) และ \begin(กรณี)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(กรณี) $$

ด้านหลังเวกเตอร์นำทาง ก ในบรรทัดแรก เราใช้ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ปกติ n 1 = (3; 0; -12) และ n 2 = (1; 1; -3) ระนาบที่กำหนดเส้นนี้ ใช้สูตร \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) ที่เราได้รับ

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

ในทำนองเดียวกัน เราจะพบเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงเส้นที่สอง:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

แต่การใช้สูตร (1) เราคำนวณโคไซน์ของมุมที่ต้องการ:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

ดังนั้น มุมระหว่างเส้นเหล่านี้คือ 90°

ภารกิจที่ 3ใน ปิรามิดสามเหลี่ยมซี่โครง MABC MA, MB และ MS ตั้งฉากกัน (รูปที่ 207)

ความยาวคือ 4, 3, 6 ตามลำดับ จุด D คือจุดกึ่งกลาง [MA] ค้นหามุม φ ระหว่างเส้น CA และ DB

ให้ CA และ DB เป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง CA และ DB

สมมติว่าจุด M เป็นที่มาของพิกัด ตามเงื่อนไขของสมการ เรามี A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0) ดังนั้น \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3) ลองใช้สูตร (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

จากการใช้ตารางโคไซน์ เราพบว่ามุมระหว่างเส้นตรง CA และ DB อยู่ที่ประมาณ 72°

มุมระหว่างเส้นตรงในอวกาศ เราจะเรียกมุมที่อยู่ติดกันใดๆ ที่เกิดจากเส้นตรงสองเส้นที่ลากผ่านจุดใดก็ได้ที่ขนานกับข้อมูล

ให้มีสองบรรทัดในช่องว่าง:

แน่นอนว่ามุม φ ระหว่างเส้นตรงสามารถใช้เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางกับ ตั้งแต่ จากนั้นใช้สูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่เราได้รับ

เงื่อนไขของการขนานและความตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้นเทียบเท่ากับเงื่อนไขของการขนานและการตั้งฉากของเวกเตอร์ทิศทางและ:

สองตรง ขนานถ้าหากสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วนเท่านั้นนั่นคือ ล 1 เส้นขนาน ล 2 ถ้าและต่อเมื่อขนานกัน .

สองตรง ตั้งฉากถ้าหากผลรวมของผลิตภัณฑ์ของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันเท่ากับศูนย์: .

คุณ เป้าหมายระหว่างเส้นและระนาบ

ให้มันตรงไป ง- ไม่ตั้งฉากกับระนาบ θ;
ง′− การฉายเส้น งไปยังระนาบ θ;
มุมที่เล็กที่สุดระหว่างเส้นตรง งและ ง′ เราจะโทร มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ.
ให้เราแสดงว่ามันเป็น φ=( ง,θ)
ถ้า ง⊥θ จากนั้น ( ง,θ)=π/2

อ้อย→เจ→เค→− ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม
สมการเครื่องบิน:

θ: ขวาน+โดย+ซีซี+ดี=0

เราถือว่าเส้นตรงถูกกำหนดโดยจุดและเวกเตอร์ทิศทาง: ง[ม 0,พี→]
เวกเตอร์ n→(ก,บี,ค)⊥θ
จากนั้นก็ยังคงต้องหามุมระหว่างเวกเตอร์ n→ และ พี→ ให้เราแสดงว่ามันเป็น γ=( n→,พี→).

ถ้าเป็นมุม γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

ถ้ามุมคือ γ>π/2 มุมที่ต้องการคือ φ=γ−π/2

บาปφ=บาป(2π−γ)=cosγ

sinφ=บาป(γ−2π)=−cosγ

แล้ว, มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

บาปφ=∣cosγ∣=∣ ∣ แอพ 1+บีพี 2+ซีพี 3∣ ∣ √ก 2+บี 2+ค 2√พี 21+พี 22+พี 23

คำถาม29. แนวคิดเรื่องรูปแบบกำลังสอง เครื่องหมายความแน่นอนของรูปกำลังสอง

รูปแบบกำลังสอง j (x 1, x 2, …, xn) n ตัวแปรจำนวนจริง x 1, x 2, …, x nเรียกว่าผลรวมของแบบฟอร์ม
, (1)

ที่ไหน ไอจ – ตัวเลขบางตัวเรียกว่าสัมประสิทธิ์ โดยไม่สูญเสียความเป็นทั่วไป เราสามารถสรุปได้ว่า ไอจ = จิ.

รูปทรงกำลังสองเรียกว่า ถูกต้อง,ถ้า ไอจ Î GR. เมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสองเรียกว่าเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของมัน รูปแบบกำลังสอง (1) สอดคล้องกับเมทริกซ์สมมาตรเพียงตัวเดียว
นั่นก็คือ เอ ที = อ- ดังนั้น รูปแบบกำลังสอง (1) สามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์ j ( เอ็กซ์) = x ที อา, ที่ไหน x ต = (เอ็กซ์ 1 เอ็กซ์ 2 … เอ็กซ์เอ็น). (2)

และในทางกลับกัน เมทริกซ์สมมาตรทุกตัว (2) จะสอดคล้องกับรูปแบบกำลังสองเฉพาะจนถึงสัญลักษณ์ของตัวแปร

อันดับของรูปแบบกำลังสองเรียกว่าอันดับของเมทริกซ์ รูปทรงกำลังสองเรียกว่า ไม่เสื่อมโทรมถ้าเมทริกซ์ของมันไม่เอกพจน์ ก- (จำได้ว่าเมทริกซ์ กเรียกว่าไม่เสื่อมถ้าปัจจัยกำหนดไม่เท่ากับศูนย์) มิฉะนั้นรูปแบบกำลังสองจะเสื่อมลง

บวกแน่นอน(หรือเชิงบวกอย่างเคร่งครัด) ถ้า

เจ ( เอ็กซ์) > 0 สำหรับใครก็ตาม เอ็กซ์ = (เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 , …, เอ็กซ์เอ็น), ยกเว้น เอ็กซ์ = (0, 0, …, 0).

เมทริกซ์ กรูปแบบกำลังสองแน่นอนบวก j ( เอ็กซ์) เรียกอีกอย่างว่าค่าบวกแน่นอน ดังนั้น รูปแบบกำลังสองที่แน่นอนเชิงบวกจึงสอดคล้องกับเมทริกซ์เฉพาะที่แน่นอนเชิงบวกและในทางกลับกัน

เรียกว่ารูปกำลังสอง (1) กำหนดไว้ในทางลบ(หรือเชิงลบอย่างเคร่งครัด) ถ้า

เจ ( เอ็กซ์) < 0, для любого เอ็กซ์ = (เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 , …, เอ็กซ์เอ็น), ยกเว้น เอ็กซ์ = (0, 0, …, 0).

เช่นเดียวกับข้างต้น เมทริกซ์ที่มีรูปแบบกำลังสองแน่นอนเชิงลบเรียกอีกอย่างว่าลบแน่นอน

ดังนั้น รูปกำลังสองแน่นอนบวก (ลบ) j ( เอ็กซ์) ถึงค่าต่ำสุด (สูงสุด) j ( เอ็กซ์*) = 0 ณ เอ็กซ์* = (0, 0, …, 0).

โปรดทราบว่ารูปแบบกำลังสองส่วนใหญ่ไม่มีเครื่องหมายกำหนด กล่าวคือ ไม่เป็นทั้งเชิงบวกและเชิงลบ รูปแบบกำลังสองดังกล่าวจะเปลี่ยนเป็น 0 ไม่เพียงแต่ที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดเท่านั้น แต่ยังเปลี่ยนที่จุดอื่นๆ ด้วย

เมื่อไร n> 2 ต้องใช้เกณฑ์พิเศษในการตรวจสอบเครื่องหมายของรูปกำลังสอง มาดูพวกเขากันดีกว่า

ผู้เยาว์รายใหญ่รูปแบบกำลังสองเรียกว่าผู้เยาว์:

นั่นคือเหล่านี้เป็นผู้เยาว์ลำดับที่ 1, 2, ... , nเมทริกซ์ กซึ่งอยู่ที่มุมซ้ายบน ส่วนสุดท้ายตรงกับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ก.

เกณฑ์ความชัดเจนเชิงบวก (เกณฑ์ซิลเวสเตอร์)

เอ็กซ์) = x ที อาเป็นบวกแน่นอน มีความจำเป็นและเพียงพอที่ค่ารองที่สำคัญทั้งหมดของเมทริกซ์ กเป็นบวก นั่นคือ: ม 1 > 0, ม 2 > 0, …, มน > 0. เกณฑ์ความแน่นอนเชิงลบ จะได้รูปกำลังสอง j ( เอ็กซ์) = x ที อาเป็นลบแน่นอน มีความจำเป็นและเพียงพอที่ผู้เยาว์หลักของลำดับคู่จะเป็นค่าบวก และลำดับคี่ - ลบ เช่น: ม 1 < 0, ม 2 > 0, ม 3 < 0, …, (–1)n

หากบนเส้นตรงในอวกาศเราทำเครื่องหมายสองจุดโดยพลการ M 1 (x 1, y 1, z 1) และ M 2 (x 2, y 2, z 2) ดังนั้นพิกัดของจุดเหล่านี้จะต้องเป็นไปตามสมการเส้นตรง ได้รับข้างต้น:

นอกจากนี้ สำหรับจุด M 1 เราสามารถเขียนได้:

.

เมื่อแก้สมการเหล่านี้ร่วมกัน เราจะได้:

.

นี่คือสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดในอวกาศ

สมการทั่วไปของเส้นตรงในปริภูมิ

สมการของเส้นตรงถือได้ว่าเป็นสมการของเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบ

สมการทั่วไปของเส้นตรงในรูปแบบพิกัด:

งานภาคปฏิบัติมักจะต้องลดสมการของเส้นตรงลง มุมมองทั่วไปสู่รูปแบบบัญญัติ

ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องค้นหาจุดใดก็ได้บนเส้นและตัวเลข m, n, p

ในกรณีนี้ เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงสามารถหาได้จากผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ปกติไปยังระนาบที่กำหนด

ตัวอย่าง.ค้นหาสมการ Canonical หากให้เส้นอยู่ในรูปแบบ:

ในการค้นหาจุดใดๆ บนเส้นตรง เราใช้พิกัด x = 0 แล้วแทนที่ค่านี้ลงในระบบสมการที่กำหนด

เหล่านั้น. เอ(0, 2, 1)

ค้นหาส่วนประกอบของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

จากนั้นสมการมาตรฐานของเส้นตรง:

ตัวอย่าง.นำสมการของเส้นที่กำหนดในรูปแบบมาตรฐานมาสู่รูปแบบ:

ในการค้นหาจุดใดๆ บนเส้นตรงซึ่งเป็นเส้นตัดของระนาบด้านบน เราใช้ z = 0 จากนั้น:

;

2x – 9x – 7 = 0;

เราได้รับ: A(-1; 3; 0)

เวกเตอร์โดยตรง: .

มุมระหว่างระนาบ

มุมระหว่างระนาบสองระนาบในอวกาศ  สัมพันธ์กับมุมระหว่างเส้นปกติกับระนาบเหล่านี้  1 โดยความสัมพันธ์:  =  1 หรือ  = 180 0 -  1 เช่น

คอส = คอส 1 .

ลองกำหนดมุม 1 เป็นที่ทราบกันว่าระนาบสามารถระบุได้ด้วยความสัมพันธ์:

, ที่ไหน

(ก 1, บี 1, ค 1), (ก 2, บี 2, ค 2) เราค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์ปกติจากผลคูณสเกลาร์:

.

ดังนั้น มุมระหว่างระนาบจึงหาได้จากสูตร:

การเลือกเครื่องหมายของโคไซน์ขึ้นอยู่กับมุมที่ควรพบระหว่างระนาบ - แหลมหรือติดกับมุมป้าน

เงื่อนไขความขนานและความตั้งฉากของระนาบ

จากสูตรที่ได้รับข้างต้นในการค้นหามุมระหว่างระนาบ เราสามารถหาเงื่อนไขของความขนานและความตั้งฉากของระนาบได้

เพื่อให้ระนาบตั้งฉาก มีความจำเป็นและเพียงพอที่โคไซน์ของมุมระหว่างระนาบจะเท่ากับศูนย์ ตรงตามเงื่อนไขนี้หาก:

ระนาบขนานกัน เวกเตอร์ปกติอยู่ในแนวเดียวกัน:  เงื่อนไขนี้จะเป็นไปตามเงื่อนไขหาก: .

มุมระหว่างเส้นตรงในอวกาศ

ให้มีสองบรรทัดในอวกาศ สมการพาราเมตริกคือ:

มุมระหว่างเส้นตรง  และมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง  ของเส้นตรงเหล่านี้สัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์:  =  1 หรือ  = 180 0 -  1 มุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางหาได้จากผลคูณสเกลาร์ ดังนั้น:

.

เงื่อนไขความขนานและความตั้งฉากของเส้นในอวกาศ

เพื่อให้เส้นตรงสองเส้นขนานกัน จำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์ทิศทางของเส้นเหล่านี้จะขนานกัน กล่าวคือ พิกัดที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วน