ค่าประมาณของขนาดและค่าคลาดเคลื่อนของการประมาณ แนวทางการทำงานอิสระของนักศึกษา

ในการวิจัยเชิงทฤษฎีและประยุกต์ที่หลากหลาย วิธีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลาย ซึ่งช่วยลดการแก้ปัญหาในสาขาวิชาที่กำหนด ไปสู่การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เพียงพอ (หรือประมาณเพียงพอ) จำเป็นต้องนำวิธีแก้ไขปัญหาเหล่านี้มาเพื่อให้ได้ผลลัพธ์เป็นตัวเลข (การคำนวณปริมาณชนิดต่างๆ วิธีแก้ ประเภทต่างๆสมการ ฯลฯ) เป้าหมายของคณิตศาสตร์เชิงคำนวณคือการพัฒนาอัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลาย วิธีการต้องได้รับการออกแบบเพื่อให้สามารถนำไปใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ ตามกฎแล้วปัญหาที่อยู่ระหว่างการพิจารณาไม่อนุญาตให้มีวิธีแก้ปัญหาที่แน่นอน ดังนั้นเราจึงกำลังพูดถึงการพัฒนาอัลกอริธึมที่ให้วิธีแก้ปัญหาโดยประมาณ เพื่อให้สามารถแทนที่วิธีแก้ปัญหาที่ไม่ทราบแน่ชัดด้วยวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณได้ จำเป็นที่วิธีหลังจะต้องใกล้เคียงกับวิธีแก้ปัญหาที่แน่นอนเพียงพอ ในเรื่องนี้ มีความจำเป็นต้องประเมินความใกล้เคียงของสารละลายโดยประมาณกับค่าที่แน่นอน และพัฒนาวิธีการโดยประมาณสำหรับการสร้างสารละลายโดยประมาณที่ใกล้เคียงกับค่าที่แน่นอนตามที่ต้องการ

ตามแผนผัง กระบวนการคำนวณคือสำหรับค่าที่กำหนด x(ตัวเลข เวกเตอร์ ฯลฯ) คำนวณค่าของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน ขวาน)- เรียกว่าความแตกต่างระหว่างค่าที่แน่นอนและค่าโดยประมาณของปริมาณ ข้อผิดพลาด- การคำนวณมูลค่าที่แม่นยำ ขวาน)มักจะเป็นไปไม่ได้ และบังคับให้คุณเปลี่ยนฟังก์ชัน (การทำงาน) กการแสดงโดยประมาณของเธอ Ã ซึ่งสามารถคำนวณได้: การคำนวณปริมาณ ขวาน)ถูกแทนที่ด้วยการคำนวณ - ขวาน) ก(x) - Ã(x)เรียกว่า ข้อผิดพลาดของวิธีการ- จะต้องพัฒนาวิธีการประมาณค่าข้อผิดพลาดนี้ควบคู่ไปกับการพัฒนาวิธีการคำนวณค่า ขวาน)- จากวิธีการที่เป็นไปได้ในการสร้างการประมาณ คุณควรใช้วิธีการที่ให้ข้อผิดพลาดน้อยที่สุด เมื่อพิจารณาจากวิธีการและความสามารถที่มีอยู่แล้ว

คุณค่า คุณค่า xนั่นคือข้อมูลเริ่มต้นในปัญหาจริงจะได้มาจากการวัดโดยตรงหรือเป็นผลมาจากขั้นตอนการคำนวณก่อนหน้า ในกรณีเหล่านี้จะกำหนดเฉพาะค่าโดยประมาณเท่านั้น เอ็กซ์โอปริมาณ x- ดังนั้นแทนที่จะเห็นคุณค่า ขวาน)สามารถคำนวณได้เพียงค่าโดยประมาณเท่านั้น Ã(xo)- ข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้น ก(x) - Ã(x o)เรียกว่า แก้ไขไม่ได้- อันเป็นผลมาจากการปัดเศษที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ในระหว่างการคำนวณแทนค่า Ã(xo)คำนวณค่า "ปัดเศษ" ซึ่งนำไปสู่ลักษณะที่ปรากฏ ข้อผิดพลาดในการปัดเศษ Ã(xo)- ข้อผิดพลาดในการคำนวณทั้งหมดจะเท่ากับ ขวาน) - .

ให้เราแสดงข้อผิดพลาดทั้งหมดในแบบฟอร์ม

ขวาน) - = [เอ(เอ็กซ์) - ] + [ - Ã(xo)] +

+ [Ã(xo) - ] (1)

ความเท่าเทียมกันครั้งล่าสุดแสดงว่าข้อผิดพลาดในการคำนวณทั้งหมดเท่ากับผลรวมของข้อผิดพลาดของวิธีการ ข้อผิดพลาดร้ายแรง และข้อผิดพลาดในการปัดเศษ สามารถประมาณองค์ประกอบสองแรกของข้อผิดพลาดได้ก่อนเริ่มการคำนวณ ข้อผิดพลาดในการปัดเศษจะได้รับการประเมินระหว่างการคำนวณเท่านั้น

พิจารณางานต่อไปนี้:

ก) ลักษณะความแม่นยำของตัวเลขโดยประมาณ

b) การประเมินความถูกต้องของผลลัพธ์โดยพิจารณาจากความถูกต้องที่ทราบของข้อมูลเริ่มต้น (การประมาณข้อผิดพลาดร้ายแรง)

c) การกำหนดความแม่นยำที่ต้องการของแหล่งข้อมูลเพื่อให้แน่ใจว่าผลลัพธ์มีความแม่นยำที่ระบุ

d) จับคู่ความถูกต้องของข้อมูลต้นฉบับและการคำนวณกับความสามารถของเครื่องมือคำนวณที่มีอยู่

4 ข้อผิดพลาดในการวัด

4.1 ค่าจริงและค่าจริงของปริมาณทางกายภาพ ข้อผิดพลาดในการวัด สาเหตุของข้อผิดพลาดในการวัด

เมื่อวิเคราะห์การวัดควรแยกแยะแนวคิดสองประการอย่างชัดเจน: ค่าที่แท้จริงของปริมาณทางกายภาพและอาการเชิงประจักษ์ - ผลลัพธ์ของการวัด

ค่าที่แท้จริงของปริมาณทางกายภาพ - นี่คือค่าต่างๆ ในทางอุดมคติสะท้อนถึงคุณสมบัติของวัตถุที่กำหนดทั้งเชิงปริมาณและเชิงคุณภาพ พวกเขาไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการวัดและเป็นความจริงสัมบูรณ์ที่พวกเขาต้องต่อสู้ดิ้นรนเมื่อทำการวัด

ในทางตรงกันข้าม ผลลัพธ์ของการวัดเป็นผลจากความรู้ความเข้าใจ เป็นตัวแทนประมาณการโดยประมาณของค่าปริมาณที่พบจากการวัดซึ่งขึ้นอยู่กับวิธีการวัด เครื่องมือวัด และปัจจัยอื่นๆ

ข้อผิดพลาดในการวัด ความแตกต่างระหว่างผลการวัด x และค่าจริง Q ของปริมาณที่วัดได้เรียกว่า:

Δ= x – Q (4.1)

แต่เนื่องจากไม่ทราบค่าจริง Q ของปริมาณที่วัดได้ เพื่อระบุข้อผิดพลาดในการวัด สิ่งที่เรียกว่าค่าจริงจึงถูกแทนที่ด้วยสูตร (4.1) แทนค่าจริง

ภายใต้ มูลค่าที่แท้จริงของปริมาณที่วัดได้ ความหมายของมันคือสิ่งที่พบได้จากการทดลองและใกล้เคียงกับมูลค่าที่แท้จริงจนสามารถนำไปใช้แทนตามจุดประสงค์ที่กำหนดได้

สาเหตุของข้อผิดพลาด ได้แก่ ความไม่สมบูรณ์ของวิธีการวัด เครื่องมือวัด และประสาทสัมผัสของผู้สังเกต เหตุผลที่เกี่ยวข้องกับอิทธิพลของเงื่อนไขการวัดควรรวมกันเป็นกลุ่มแยกต่างหาก อย่างหลังก็แสดงตนออกมาเป็นสองทาง ในแง่หนึ่ง ปริมาณทางกายภาพทั้งหมดที่มีบทบาทใดๆ ในการวัดจะขึ้นอยู่กับปริมาณกันและกันในระดับหนึ่งหรืออีกระดับหนึ่ง ดังนั้นด้วยการเปลี่ยนแปลง สภาพภายนอกค่าที่แท้จริงของปริมาณที่วัดได้จะเปลี่ยนไป ในทางกลับกัน เงื่อนไขการวัดมีอิทธิพลต่อทั้งลักษณะของเครื่องมือวัดและคุณสมบัติทางสรีรวิทยาของอวัยวะรับสัมผัสของผู้สังเกต และทำให้เกิดข้อผิดพลาดในการวัดผ่านสิ่งเหล่านี้

4.2 การจำแนกประเภทของข้อผิดพลาดในการวัดขึ้นอยู่กับลักษณะของการเปลี่ยนแปลง

สาเหตุของข้อผิดพลาดที่อธิบายไว้เป็นแบบรวมกัน จำนวนมากปัจจัยภายใต้อิทธิพลของข้อผิดพลาดในการวัดทั้งหมดที่เกิดขึ้น สามารถรวมกันเป็นสองกลุ่มหลัก

กลุ่มแรกประกอบด้วยปัจจัยที่ปรากฏไม่ปกติและหายไปอย่างไม่คาดคิดหรือปรากฏขึ้นอย่างเข้มข้นซึ่งคาดเดาได้ยาก ซึ่งรวมถึง ตัวอย่างเช่น ความผันผวนเล็กน้อยของปริมาณที่มีอิทธิพล (อุณหภูมิ ความดัน สิ่งแวดล้อมฯลฯ) ส่วนแบ่งหรือส่วนประกอบของข้อผิดพลาดในการวัดทั้งหมดที่เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของปัจจัยของกลุ่มนี้จะเป็นตัวกำหนดข้อผิดพลาดในการวัดแบบสุ่ม

ดังนั้น, ข้อผิดพลาดในการวัดแบบสุ่ม - องค์ประกอบของข้อผิดพลาดในการวัดที่เปลี่ยนแปลงแบบสุ่มระหว่างการวัดซ้ำในปริมาณเดียวกัน

เมื่อสร้างเครื่องมือวัดและจัดระเบียบกระบวนการวัดโดยรวม ความเข้มของการแสดงออกของปัจจัยที่กำหนดข้อผิดพลาดในการวัดแบบสุ่มจะลดลงเป็น ระดับทั่วไปเพื่อให้พวกเขาทั้งหมดมีอิทธิพลต่อการก่อตัวของข้อผิดพลาดแบบสุ่มไม่มากก็น้อย อย่างไรก็ตามบางส่วนของพวกเขาเช่นแรงดันไฟฟ้าตกอย่างกะทันหันในเครือข่ายแหล่งจ่ายไฟอาจปรากฏขึ้นอย่างแรงโดยไม่คาดคิดซึ่งเป็นผลมาจากข้อผิดพลาดจะเกิดขึ้นในมิติที่เกินขอบเขตที่กำหนดโดยการทดลองการวัดอย่างชัดเจน . ข้อผิดพลาดดังกล่าวภายในข้อผิดพลาดแบบสุ่มเรียกว่า หยาบคาย . อยู่ติดกันอย่างใกล้ชิด คิดถึง - ข้อผิดพลาดที่ขึ้นอยู่กับผู้สังเกตและเกี่ยวข้องกับการจัดการเครื่องมือวัดที่ไม่เหมาะสม การอ่านที่ไม่ถูกต้อง หรือข้อผิดพลาดในการบันทึกผล

กลุ่มที่สองประกอบด้วยปัจจัยที่คงที่หรือเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติในระหว่างการทดสอบการวัด เช่น การเปลี่ยนแปลงในปริมาณที่มีอิทธิพลอย่างราบรื่น องค์ประกอบของข้อผิดพลาดในการวัดทั้งหมดที่เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของปัจจัยของกลุ่มนี้จะกำหนดข้อผิดพลาดในการวัดอย่างเป็นระบบ

ดังนั้น, ข้อผิดพลาดในการวัดอย่างเป็นระบบ - องค์ประกอบของข้อผิดพลาดในการวัดที่คงที่หรือเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติด้วยการวัดซ้ำในปริมาณเดียวกัน

ในระหว่างกระบวนการวัด ส่วนประกอบของข้อผิดพลาดที่อธิบายไว้จะปรากฏขึ้นพร้อมกัน และความคลาดเคลื่อนทั้งหมดสามารถแสดงเป็นผลรวมได้

, (4.2)

ที่ไหน - สุ่มและ Δ s - ข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบ

เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างจากค่าจริงของปริมาณน้อยที่สุด ให้ทำการสังเกตปริมาณที่วัดได้หลายครั้ง ตามด้วยการประมวลผลข้อมูลการทดลอง นั่นเป็นเหตุผล คุ้มค่ามากมีการศึกษาข้อผิดพลาดเป็นฟังก์ชันของจำนวนการสังเกต กล่าวคือ เวลา A(t) จากนั้นค่าความผิดพลาดแต่ละรายการสามารถตีความได้เป็นชุดค่าของฟังก์ชันนี้:

Δ 1 = Δ(t 1), Δ 2 = Δ(t 2),..., Δ n = Δ(t n)

โดยทั่วไป ข้อผิดพลาดจะเป็นฟังก์ชันสุ่มของเวลา ซึ่งแตกต่างจากฟังก์ชันคลาสสิก การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์โดยที่เป็นไปไม่ได้ที่จะบอกว่าจะต้องใช้มูลค่าเท่าใดในเวลานี้ คุณสามารถระบุความน่าจะเป็นที่ค่าจะเกิดขึ้นในช่วงเวลาหนึ่งเท่านั้น ในชุดการทดลองที่ประกอบด้วยการสังเกตซ้ำหลายครั้ง เราได้นำฟังก์ชันนี้ไปใช้เพียงครั้งเดียว เมื่อทำซ้ำอนุกรมด้วยค่าเดียวกันของปริมาณที่แสดงลักษณะของปัจจัยของกลุ่มที่สอง เราจะได้รับการนำไปใช้ใหม่ที่แตกต่างจากครั้งแรกอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ การตระหนักรู้แตกต่างกันเนื่องจากอิทธิพลของปัจจัยของกลุ่มแรก และปัจจัยของกลุ่มที่สองซึ่งแสดงออกมาอย่างเท่าเทียมกันในการตระหนักรู้แต่ละครั้ง ให้คุณลักษณะทั่วไปบางประการ (รูปที่ 4.1)

ข้อผิดพลาดในการวัดที่สอดคล้องกับแต่ละช่วงเวลา เรียกว่าภาคตัดขวาง ฟังก์ชั่นสุ่ม∆(ที) ในแต่ละส่วน คุณจะพบค่าความผิดพลาดโดยเฉลี่ย Δ s (t i) ซึ่งข้อผิดพลาดในการใช้งานที่แตกต่างกันจะถูกจัดกลุ่มไว้ หากเส้นโค้งเรียบถูกลากผ่านจุด Δ s (t i) ที่ได้รับในลักษณะนี้ มันจะแสดงถึงแนวโน้มทั่วไปของการเปลี่ยนแปลงของข้อผิดพลาดเมื่อเวลาผ่านไป สังเกตได้ง่ายว่าค่าเฉลี่ย Δ s (tj) ถูกกำหนดโดยการกระทำของปัจจัยของกลุ่มที่สองและแสดงถึงข้อผิดพลาดในการวัดอย่างเป็นระบบ ณ เวลา t i และการเบี่ยงเบน Δ j (t j) จากค่าเฉลี่ยใน ส่วน t ฉันสอดคล้องกัน การดำเนินการ jthให้ค่าของข้อผิดพลาดแบบสุ่ม ดังนั้นความเท่าเทียมกันจึงมีอยู่

(4.3)

รูปที่ 4.1

ให้เราสมมติว่า Δ s (t i) = 0 นั่นคือ ข้อผิดพลาดที่เป็นระบบจะถูกแยกออกจากผลการสังเกตไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง และเราจะพิจารณาเฉพาะข้อผิดพลาดแบบสุ่ม ซึ่งค่าเฉลี่ยจะเท่ากับศูนย์ในแต่ละส่วน ให้เราสมมติว่าข้อผิดพลาดแบบสุ่มในส่วนต่างๆ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับแต่ละส่วน กล่าวคือ ความรู้เรื่องข้อผิดพลาดแบบสุ่มในส่วนเดียวไม่ได้ให้อะไรกับเราเลย ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับคุณค่าที่ได้จากการรับรู้นี้ในส่วนใด ๆ และคุณลักษณะทางทฤษฎีและความน่าจะเป็นทั้งหมดของข้อผิดพลาดแบบสุ่มซึ่งเป็นค่าของการตระหนักรู้ครั้งเดียวในทุกส่วนนั้นตรงกัน จากนั้นข้อผิดพลาดแบบสุ่มถือได้ว่าเป็นตัวแปรสุ่มและค่าของมันสำหรับการสังเกตหลายรายการพร้อมกัน ปริมาณทางกายภาพ- เนื่องจากผลจากการสังเกตอย่างอิสระของมัน

ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว ข้อผิดพลาดในการวัดแบบสุ่มถูกกำหนดให้เป็นความแตกต่างระหว่างผลการวัดที่ถูกต้อง XI (ผลลัพธ์ที่ไม่มีข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบ) และค่าจริง Q ของปริมาณที่วัดได้:

Δ = X และ –Q 4.4)

นอกจากนี้ผลการวัดที่ถูกแก้ไขจะมาจากการยกเว้นข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบ

โดยปกติข้อมูลดังกล่าวจะได้รับเมื่อตรวจสอบเครื่องมือวัดโดยการวัดปริมาณที่ทราบก่อนหน้านี้ เมื่อทำการวัด เป้าหมายคือการประมาณมูลค่าที่แท้จริงของปริมาณที่วัดได้ ซึ่งไม่ทราบก่อนการทดลอง นอกเหนือจากค่าที่แท้จริงแล้ว ผลการวัดยังรวมถึงข้อผิดพลาดแบบสุ่มด้วย ตัวแปรสุ่ม- ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ ค่าที่แท้จริงของข้อผิดพลาดแบบสุ่มที่ได้รับระหว่างการตรวจสอบยังไม่ได้ระบุลักษณะความแม่นยำของการวัด ดังนั้นจึงไม่มีความชัดเจนว่าต้องใช้ค่าใดเป็นผลการวัดขั้นสุดท้าย และจะระบุลักษณะความแม่นยำของค่านั้นอย่างไร

คำตอบสำหรับคำถามเหล่านี้หาได้โดยใช้วิธีการทางสถิติทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรสุ่มโดยเฉพาะเมื่อประมวลผลผลลัพธ์เชิงสังเกต

4.3 การจำแนกประเภทของข้อผิดพลาดในการวัดขึ้นอยู่กับสาเหตุของการเกิดขึ้น

กลุ่มของข้อผิดพลาดต่อไปนี้มีความโดดเด่นขึ้นอยู่กับสาเหตุของการเกิดขึ้น: ระเบียบวิธี, เครื่องมือ, ภายนอกและอัตนัย

วิธีการวัดหลายวิธีสามารถตรวจจับได้ ข้อผิดพลาดด้านระเบียบวิธี ซึ่งเป็นผลมาจากการสันนิษฐานบางอย่างและความเรียบง่าย การใช้สูตรเชิงประจักษ์ และการขึ้นต่อกันของฟังก์ชัน ในบางกรณีผลกระทบของสมมติฐานดังกล่าวไม่มีนัยสำคัญเช่น น้อยกว่าข้อผิดพลาดในการวัดที่อนุญาตมาก ในกรณีอื่นๆ จะเกินข้อผิดพลาดเหล่านี้

ตัวอย่างของข้อผิดพลาดด้านระเบียบวิธีคือข้อผิดพลาดของวิธีการวัด ความต้านทานไฟฟ้าโดยใช้แอมมิเตอร์และโวลต์มิเตอร์ (รูปที่ 4.2) หากความต้านทาน R x ถูกกำหนดโดยสูตรของกฎของโอห์ม R x =U v /I a โดยที่ U v คือแรงดันไฟฟ้าตกที่วัดโดยโวลต์มิเตอร์ V; I a คือความแรงของกระแสที่วัดโดยแอมป์มิเตอร์ A จากนั้นในทั้งสองกรณีจะอนุญาตให้เกิดข้อผิดพลาดในการวัดตามระเบียบวิธีได้

ในรูปที่ 4.2a ความแรงของกระแส I a ซึ่งวัดโดยแอมมิเตอร์ จะมากกว่าความแรงของกระแสในความต้านทาน R x ด้วยค่าของความแรงของกระแส I v ในโวลต์มิเตอร์ที่ต่อขนานกับความต้านทาน ความต้านทาน R x ที่คำนวณโดยใช้สูตรข้างต้นจะน้อยกว่าค่าจริง ในรูปที่ 4.2.6 แรงดันไฟฟ้าที่วัดโดยโวลต์มิเตอร์ V จะมากกว่าแรงดันตกคร่อม U r ในความต้านทาน R x ด้วยค่า U a (แรงดันไฟฟ้าตกคร่อมความต้านทานของแอมป์มิเตอร์ A) ความต้านทานที่คำนวณโดยใช้สูตรของกฎของโอห์มจะมากกว่าความต้านทาน R x ด้วยค่า R a (ความต้านทานของแอมป์มิเตอร์) การแก้ไขในทั้งสองกรณีสามารถคำนวณได้อย่างง่ายดายหากคุณทราบความต้านทานของโวลต์มิเตอร์และแอมมิเตอร์ ไม่จำเป็นต้องทำการแก้ไขหากมีค่าน้อยกว่าข้อผิดพลาดที่อนุญาตในการวัดความต้านทาน R x อย่างมีนัยสำคัญเช่นหากในกรณีแรกความต้านทานของโวลต์มิเตอร์มีค่า b อย่างมีนัยสำคัญ

ใหญ่กว่า R x และในกรณีที่สอง R a น้อยกว่า R x อย่างมีนัยสำคัญ

รูปที่ 4.2

อีกตัวอย่างหนึ่งของการเกิดข้อผิดพลาดด้านระเบียบวิธีคือการวัดปริมาตรของร่างกายซึ่งถือว่ารูปร่างถูกต้องทางเรขาคณิตโดยการวัดขนาดในที่เดียวหรือในจำนวนที่ไม่เพียงพอ เช่น การวัดปริมาตรของ ห้องโดยการวัดความยาว ความกว้าง และความสูงเพียง 3 ทิศทางเท่านั้น เพื่อกำหนดปริมาตรได้อย่างแม่นยำ จำเป็นต้องกำหนดความยาวและความกว้างของห้องตามผนังแต่ละด้าน ที่ด้านบนและด้านล่าง วัดความสูงที่มุมและตรงกลาง และสุดท้ายคือมุมระหว่างผนัง ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นถึงความเป็นไปได้ของข้อผิดพลาดด้านระเบียบวิธีที่มีนัยสำคัญที่เกิดขึ้นเมื่อวิธีการนั้นถูกทำให้ง่ายขึ้นอย่างไม่สมเหตุสมผล

ตามกฎแล้ว ข้อผิดพลาดด้านระเบียบวิธีถือเป็นข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบ

ข้อผิดพลาดของเครื่องมือ - นี่เป็นองค์ประกอบของข้อผิดพลาดเนื่องจากความไม่สมบูรณ์ของเครื่องมือวัด ตัวอย่างคลาสสิกของข้อผิดพลาดดังกล่าวคือข้อผิดพลาดของเครื่องมือวัดที่เกิดจากการสอบเทียบเครื่องชั่งที่ไม่ถูกต้อง สิ่งสำคัญมากคือต้องแยกแยะระหว่างข้อผิดพลาดในการวัดและข้อผิดพลาดเกี่ยวกับเครื่องมืออย่างชัดเจน ความไม่สมบูรณ์ของเครื่องมือวัดเป็นเพียงหนึ่งในสาเหตุของข้อผิดพลาดในการวัด และกำหนดองค์ประกอบเพียงองค์ประกอบเดียวเท่านั้น นั่นก็คือข้อผิดพลาดของเครื่องมือ ในทางกลับกันข้อผิดพลาดของเครื่องมือคือข้อผิดพลาดทั้งหมดส่วนประกอบซึ่ง - ข้อผิดพลาดของหน่วยการทำงาน - สามารถเป็นได้ทั้งแบบเป็นระบบและแบบสุ่ม

ข้อผิดพลาดภายนอก - ส่วนประกอบของข้อผิดพลาดในการวัดที่เกิดจากการเบี่ยงเบนของปริมาณที่มีอิทธิพลต่อหนึ่งหรือมากกว่าจากค่าปกติหรือทางออกที่เกินช่วงปกติ (ตัวอย่างเช่นอิทธิพลของอุณหภูมิ, สนามไฟฟ้าและแม่เหล็กภายนอก, อิทธิพลทางกล ฯลฯ ) ตามกฎแล้ว ข้อผิดพลาดภายนอกจะถูกกำหนดโดยข้อผิดพลาดเพิ่มเติมของเครื่องมือวัดที่ใช้และเป็นระบบ อย่างไรก็ตาม หากปริมาณที่มีอิทธิพลไม่เสถียร ก็อาจกลายเป็นแบบสุ่มได้

ข้อผิดพลาดส่วนตัว (ส่วนตัว) เนื่องจาก ลักษณะเฉพาะส่วนบุคคลผู้ทดลองและสามารถเป็นระบบหรือสุ่มก็ได้ เมื่อใช้เครื่องมือวัดแบบดิจิทัลสมัยใหม่ ข้อผิดพลาดเชิงอัตวิสัยสามารถถูกละเลยได้ อย่างไรก็ตาม เมื่ออ่านค่าจากอุปกรณ์พอยน์เตอร์ ข้อผิดพลาดดังกล่าวอาจมีนัยสำคัญเนื่องจากการอ่านค่าหนึ่งในสิบของการแบ่งสเกลไม่ถูกต้อง ความไม่สมมาตรที่เกิดขึ้นเมื่อกำหนดเส้นขีดตรงกลางระหว่างเครื่องหมายสองเครื่องหมาย เป็นต้น ตัวอย่างเช่น ข้อผิดพลาดที่ผู้ทดลองทำเมื่อประมาณค่าหนึ่งในสิบของการแบ่งส่วนของมาตราส่วนเครื่องมือสามารถถึง 0.1 การแบ่งได้ ข้อผิดพลาดเหล่านี้แสดงให้เห็นในความจริงที่ว่าสำหรับการแบ่งสิบส่วนที่แตกต่างกัน ผู้ทดลองที่แตกต่างกันจะมีความถี่ในการประมาณค่าที่แตกต่างกัน และผู้ทดลองแต่ละคนยังคงรักษาการกระจายลักษณะของเขาไว้เป็นเวลานาน ดังนั้น ผู้ทดลองคนหนึ่งมักอ้างถึงการอ่านค่าถึงเส้นที่สร้างขอบของการแบ่งส่วนและอ้างอิงถึงค่าของการแบ่ง 0.5 อีกอันคือค่าของดิวิชั่น 0.4 และ 0.6 คนที่สามชอบค่าดิวิชั่น 0.2 และ 0.8 เป็นต้น โดยทั่วไป เมื่อคำนึงถึงผู้ทดลองแบบสุ่ม การกระจายของข้อผิดพลาดในการนับหนึ่งในสิบของการหารสามารถพิจารณาได้เหมือนกันโดยมีขอบเขต ±0.1 ส่วน

4.4 แบบฟอร์มแสดงข้อผิดพลาดในการวัด ความแม่นยำในการวัด

ข้อผิดพลาดในการวัดสามารถแสดงได้ในแบบฟอร์ม แน่นอน ข้อผิดพลาดแสดงเป็นหน่วยของค่าที่วัดได้และกำหนดโดยสูตร (4.1) หรือ ญาติ ข้อผิดพลาด ซึ่งกำหนดเป็นอัตราส่วนของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ต่อค่าที่แท้จริงของค่าที่วัดได้:

δ = Δ/คิว (4.5)

ในกรณีที่แสดงข้อผิดพลาดแบบสุ่มเป็นเปอร์เซ็นต์ อัตราส่วน Δ/Q จะถูกคูณด้วย 100% นอกจากนี้ในสูตร (4.5) อนุญาตให้ใช้ผลลัพธ์ของการวัด x แทนค่าที่แท้จริงของ Q

แนวคิดนี้ยังใช้กันอย่างแพร่หลาย ความแม่นยำในการวัด − คุณลักษณะที่สะท้อนถึงความใกล้เคียงของผลลัพธ์กับค่าที่แท้จริงของค่าที่วัดได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความแม่นยำสูงสอดคล้องกับข้อผิดพลาดในการวัดเล็กน้อย ดังนั้นความแม่นยำในการวัดสามารถประเมินได้ในเชิงปริมาณโดยส่วนกลับของโมดูลัสของข้อผิดพลาดสัมพัทธ์

3.2. การปัดเศษ

แหล่งหนึ่งในการหาตัวเลขโดยประมาณคือ โอการปัดเศษ มีการปัดเศษทั้งตัวเลขที่แน่นอนและตัวเลขโดยประมาณ

การปัดเศษของตัวเลขที่กำหนดให้กับตัวเลขบางตัวเรียกว่าการแทนที่ด้วยตัวเลขใหม่ซึ่งได้มาจากตัวเลขที่กำหนดโดย ทิ้งตัวเลขทั้งหมดของเขาจดบันทึกไว้ ไปทางขวาหลักของหลักนี้หรือแทนที่ด้วยศูนย์ เหล่านี้ ศูนย์โดยปกติ ขีดเส้นใต้หรือเขียนให้เล็กลง- เพื่อให้แน่ใจว่าตัวเลขที่ปัดเศษจะอยู่ใกล้กันมากที่สุด คุณควรใช้สิ่งต่อไปนี้ กฎ:

หากต้องการปัดเศษตัวเลขให้เป็นหนึ่งในหลักใดหลักหนึ่ง คุณต้องทิ้งตัวเลขทั้งหมดที่อยู่หลังหลักของหลักนี้ และแทนที่ด้วยเลขศูนย์ในจำนวนเต็ม ต่อไปนี้จะถูกนำมาพิจารณา:

1 ) ถ้าเป็นตัวแรก (ซ้าย) ของหลักที่ถูกทิ้ง น้อยกว่า 5แล้วเหลือหลักสุดท้ายไม่เปลี่ยน (ปัดเศษด้วย ข้อเสียเปรียบ);

2 ) ถ้าจะทิ้งหลักแรก มากกว่า 5 หรือเท่ากับ 5จากนั้นหลักสุดท้ายที่เหลือจะเพิ่มขึ้นหนึ่งหลัก (ปัดเศษ ส่วนเกิน).*

ตัวอย่างเช่น:

กลม:คำตอบ:

ก) ถึงสิบ 12.34; 12.34 ñ 12.3;

ข) ถึงหนึ่งในร้อย 3.2465; 1,038.785; 3.2465 กลับไปยัง 3.25; 1,038.785 กลับไปยัง 1,038.79;

วี) ถึงหนึ่งในพัน 3.4335; 3.4335 กลับไปยัง 3.434;

ช) สูงถึงหลักพัน 12,375, 320,729 12,375 data 000 ; 320 729 ≈ 321 000.

(* เมื่อหลายปีก่อนกรณีทิ้งเลขหลักเดียว 5 มีความสุข "กฎเลขคู่":หลักสุดท้ายจะไม่เปลี่ยนแปลงหากเป็นเลขคู่ และเพิ่มขึ้นอีกหนึ่งหลักหากเป็นเลขคี่ ตอนนี้ "กฎเลขคู่" ไม่ปฏิบัติตาม: หากทิ้งหลักหนึ่งหลัก 5 จากนั้นจะมีการเพิ่มตัวหนึ่งลงในหลักสุดท้ายที่เหลือ ไม่ว่าจะเป็นเลขคู่หรือคี่ก็ตาม)

3.3. ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์และสัมพัทธ์ของค่าโดยประมาณ

มูลค่าสัมบูรณ์ ความแตกต่างระหว่างค่าโดยประมาณและค่าที่แน่นอน (จริง) ของปริมาณที่เรียกว่า ข้อผิดพลาดแน่นอน ค่าโดยประมาณ ตัวอย่างเช่นถ้าเป็นจำนวนที่แน่นอน 1,214 ปัดเศษเป็นสิบที่ใกล้ที่สุดเราจะได้ตัวเลขโดยประมาณ 1,2 - ใน ในกรณีนี้ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของจำนวนโดยประมาณจะเป็น 1,214 – 1,2 = 0,014 .

แต่ในกรณีส่วนใหญ่ ค่าที่แน่นอนไม่ทราบปริมาณที่กำลังพิจารณา แต่เป็นเพียงการประมาณเท่านั้น จากนั้นไม่ทราบข้อผิดพลาดที่แน่นอน ในกรณีเหล่านี้บ่งชี้ว่า ชายแดนซึ่งก็ไม่เกิน. เบอร์นี้มีชื่อว่า การจำกัดข้อผิดพลาดแน่นอนพวกเขาบอกว่าค่าที่แน่นอนของตัวเลขเท่ากับค่าโดยประมาณโดยมีข้อผิดพลาดน้อยกว่าข้อผิดพลาดส่วนเพิ่ม ตัวอย่างเช่น, ตัวเลข 23,71 เป็นค่าประมาณของตัวเลข 23,7125 ขึ้นไป 0,01 เนื่องจากความคลาดเคลื่อนการประมาณสัมบูรณ์มีค่าเท่ากับ 0,0025 และน้อยลง 0,01 - ที่นี่ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ที่ จำกัด เท่ากับ 0,01 .*

(* แน่นอนข้อผิดพลาดอาจเป็นได้ทั้งบวกและลบ ตัวอย่างเช่น,1,68 ≈ 1,7 - ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์คือ 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 .ขอบเขตข้อผิดพลาดจะเป็นค่าบวกเสมอ)

ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ขอบเขตของจำนวนโดยประมาณ " ก » แสดงด้วยสัญลักษณ์ Δ ก - บันทึก

X หยาบคาย (Δa)

ควรเข้าใจดังนี้: มูลค่าที่แน่นอนของปริมาณ เอ็กซ์ อยู่ระหว่างตัวเลข ก +Δ ก และ ก –Δ เอ, ซึ่งเรียกว่าตามนั้น ด้านล่างและ ขีด จำกัด บนเอ็กซ์ และแสดงถึง เอ็นช เอ็กซ์ และ ในช เอ็กซ์ .

ตัวอย่างเช่น, ถ้า เอ็กซ์ ≈ 2,3 ( 0,1), ที่ 2,2 < เอ็กซ์ < 2,4 .

ตรงกันข้าม ถ้า. 7,3 < เอ็กซ์ < 7,4 , ที่ เอ็กซ์ ≈ 7,35 ( 0,05).

ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์แน่นอนหรือเล็กน้อย ไม่กำหนดลักษณะคุณภาพของการวัดที่ดำเนินการ ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์เดียวกันนั้นถือได้ว่ามีนัยสำคัญและไม่มีนัยสำคัญ ขึ้นอยู่กับตัวเลขที่ใช้แสดงค่าที่วัดได้

ตัวอย่างเช่นถ้าเราวัดระยะทางระหว่างสองเมืองด้วยความแม่นยำ 1 กิโลเมตร ความแม่นยำดังกล่าวก็เพียงพอแล้วสำหรับการวัดนี้ แต่ในขณะเดียวกัน เมื่อวัดระยะห่างระหว่างบ้านสองหลังบนถนนสายเดียวกัน ความแม่นยำดังกล่าวก็จะยอมรับไม่ได้

ด้วยเหตุนี้ ความแม่นยำของค่าโดยประมาณของปริมาณจึงไม่เพียงขึ้นอยู่กับขนาดของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์เท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับค่าของปริมาณที่วัดด้วย นั่นเป็นเหตุผล การวัดความแม่นยำคือข้อผิดพลาดสัมพัทธ์

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์เรียกว่าอัตราส่วนของความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ต่อค่าของตัวเลขโดยประมาณ อัตราส่วนของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ที่ จำกัด ต่อจำนวนโดยประมาณเรียกว่า จำกัดข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้อง- แสดงไว้ดังนี้: Δ เป็น/เป็น . ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์และส่วนเพิ่มมักจะแสดงเป็น เป็นเปอร์เซ็นต์.

ตัวอย่างเช่นหากการวัดแสดงว่าระยะห่างระหว่างจุดสองจุดมากกว่า 12.3 กมแต่น้อยกว่า 12.7 กมแล้วสำหรับ โดยประมาณความหมายของมันเป็นที่ยอมรับ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตตัวเลขสองตัวนี้นั่นคือ ของพวกเขา ครึ่งหนึ่งของผลรวม, แล้ว ขอบเขตข้อผิดพลาดที่แน่นอนคือ ความแตกต่างครึ่งหนึ่งตัวเลขเหล่านี้ ในกรณีนี้ เอ็กซ์ ≈ 12,5 ( 0,2). นี่คือขอบเขต แน่นอนข้อผิดพลาดเท่ากับ 0.2 กมและขอบเขต ญาติ:

ข้อผิดพลาดที่แน่นอนและสัมพันธ์กัน

ข้อผิดพลาดในการวัดสัมบูรณ์คือปริมาณที่กำหนดโดยความแตกต่างระหว่างผลการวัด xและมูลค่าที่แท้จริงของปริมาณที่วัดได้ x 0:

Δ x = |x – x 0 |.

ค่า δ เท่ากับอัตราส่วนของข้อผิดพลาดในการวัดสัมบูรณ์ต่อผลการวัด เรียกว่าข้อผิดพลาดสัมพัทธ์:

ตัวอย่างที่ 2.1ค่าโดยประมาณของ π คือ 3.14 จากนั้นข้อผิดพลาดของมันคือ 0.00159... ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ถือได้ว่าเป็น 0.0016 และ ข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องเท่ากับ 0.0016 / 3.14 = 0.00051 = 0.051%

ตัวเลขที่สำคัญ ถ้าความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของค่า a ไม่เกินหนึ่งหน่วยของหลักสุดท้ายของตัวเลข a แสดงว่าตัวเลขนั้นมีเครื่องหมายที่ถูกต้องทั้งหมด ควรจดตัวเลขโดยประมาณไว้เท่านั้น สัญญาณที่แน่นอน- ตัวอย่างเช่น หากข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของตัวเลข 52,400 คือ 100 ควรเขียนตัวเลขนี้ในรูปแบบ 524 · 10 2 หรือ 0.524 · 10 5 คุณสามารถประมาณค่าความผิดพลาดของตัวเลขโดยประมาณได้โดยการระบุวิธี มีเลขนัยสำคัญที่ถูกต้องหลายตัว เมื่อนับเลขนัยสำคัญ จะไม่นับเลขศูนย์ทางด้านซ้ายของตัวเลข

ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 0.0283 มีตัวเลขนัยสำคัญที่ถูกต้อง 3 ตัว และ 2.5400 มีตัวเลขนัยสำคัญที่ถูกต้อง 5 ตัว

กฎการปัดเศษตัวเลข- หากตัวเลขโดยประมาณมีตัวเลขเกิน (หรือไม่ถูกต้อง) ก็ควรปัดเศษ เมื่อปัดเศษจะเกิดข้อผิดพลาดเพิ่มเติมซึ่งไม่เกินครึ่งหน่วยของตำแหน่งของเลขนัยสำคัญสุดท้าย ( ง) ตัวเลขปัดเศษ เมื่อปัดเศษจะคงเฉพาะตัวเลขที่ถูกต้องเท่านั้น อักขระพิเศษจะถูกละทิ้ง และหากหลักแรกที่ถูกละทิ้งมากกว่าหรือเท่ากับ ง/2 ดังนั้นตัวเลขสุดท้ายที่เก็บไว้จะเพิ่มขึ้นหนึ่ง

ตัวเลขส่วนเกินในจำนวนเต็มจะถูกแทนที่ด้วยศูนย์ และในรูปแบบทศนิยมจะถูกละทิ้ง (เช่นเดียวกับศูนย์พิเศษ) ตัวอย่างเช่น หากข้อผิดพลาดในการวัดคือ 0.001 มม. ผลลัพธ์ 1.07005 จะถูกปัดเศษเป็น 1.070 หากหลักแรกที่แก้ไขด้วยศูนย์และทิ้งน้อยกว่า 5 หลักที่เหลือจะไม่ถูกแก้ไข ตัวอย่างเช่น จำนวน 148,935 ที่มีความแม่นยำในการวัดเท่ากับ 50 มีค่าการปัดเศษเป็น 148,900 หากตัวเลขตัวแรกที่แทนที่ด้วยศูนย์หรือถูกละทิ้งคือ 5 และไม่มีตัวเลขหรือศูนย์ตามหลัง การปัดเศษจะกระทำให้ใกล้เคียงที่สุด เลขคู่- ตัวอย่างเช่น ปัดเศษตัวเลข 123.50 เป็น 124 หากหลักแรกที่จะแทนที่ด้วยศูนย์หรือทิ้งมากกว่าหรือเท่ากับ 5 แต่ตามด้วยเลขนัยสำคัญ หลักสุดท้ายที่เหลือจะเพิ่มขึ้นหนึ่งหลัก เช่น ปัดเศษตัวเลข 6783.6 เป็น 6784

ตัวอย่างที่ 2.2 เมื่อปัดเศษ 1284 ถึง 1300 ค่าคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์คือ 1300 – 1284 = 16 และเมื่อปัดเศษเป็น 1280 ค่าคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์คือ 1280 – 1284 = 4

ตัวอย่างที่ 2.3 เมื่อปัดเศษตัวเลข 197 ถึง 200 ค่าคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์คือ 200 – 197 = 3 ค่าคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์คือ 3/197 พรีเมี่ยม 0.01523 หรือประมาณ 3/200 ความเข้มข้น 1.5%

ตัวอย่างที่ 2.4 ผู้ขายชั่งน้ำหนักแตงโมบนตาชั่ง น้ำหนักน้อยที่สุดในชุดคือ 50 กรัม ชั่งได้ 3600 กรัม ตัวเลขนี้เป็นค่าโดยประมาณ น้ำหนักที่แน่นอนแตงโมไม่ทราบ แต่ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ไม่เกิน 50 กรัม ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ไม่เกิน 50/3600 = 1.4%

ข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาเมื่อ พีซี

ข้อผิดพลาดสามประเภทมักถือเป็นสาเหตุหลักของข้อผิดพลาด สิ่งเหล่านี้เรียกว่าข้อผิดพลาดในการตัดทอน ข้อผิดพลาดในการปัดเศษ และข้อผิดพลาดในการเผยแพร่ ตัวอย่างเช่น เมื่อใช้วิธีการวนซ้ำเพื่อค้นหารากของสมการไม่เชิงเส้น ผลลัพธ์จะเป็นค่าโดยประมาณ ตรงกันข้ามกับวิธีโดยตรงที่ให้คำตอบที่แน่นอน

ข้อผิดพลาดในการตัดทอน

ข้อผิดพลาดประเภทนี้เกี่ยวข้องกับข้อผิดพลาดที่มีอยู่ในตัวงานเอง อาจเนื่องมาจากความไม่ถูกต้องในการกำหนดแหล่งข้อมูล ตัวอย่างเช่น หากมีการระบุมิติใดๆ ไว้ในคำชี้แจงปัญหา ในทางปฏิบัติสำหรับวัตถุจริง มิติเหล่านี้จะทราบด้วยความแม่นยำอยู่เสมอ เช่นเดียวกับพารามิเตอร์ทางกายภาพอื่นๆ รวมถึงความไม่ถูกต้องด้วย สูตรการคำนวณและค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขที่รวมอยู่ในนั้น

ข้อผิดพลาดในการขยายพันธุ์

ข้อผิดพลาดประเภทนี้เกี่ยวข้องกับการใช้วิธีการแก้ไขปัญหาอย่างใดอย่างหนึ่ง ในระหว่างการคำนวณ การสะสมข้อผิดพลาดหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือการแพร่กระจายเกิดขึ้นอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ นอกจากข้อเท็จจริงที่ว่าข้อมูลต้นฉบับนั้นไม่ถูกต้องแล้ว ยังเกิดข้อผิดพลาดใหม่เมื่อมีการคูณ บวก ฯลฯ การสะสมของข้อผิดพลาดขึ้นอยู่กับลักษณะและจำนวนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการคำนวณ

ข้อผิดพลาดในการปัดเศษ

ข้อผิดพลาดประเภทนี้เกิดขึ้นเนื่องจากคอมพิวเตอร์ไม่ได้จัดเก็บค่าที่แท้จริงของตัวเลขอย่างถูกต้องเสมอไป เมื่อเก็บจำนวนจริงไว้ในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์ จำนวนจริงจะถูกเขียนเป็นแมนทิสซาและเลขชี้กำลังในลักษณะเดียวกับที่แสดงตัวเลขบนเครื่องคิดเลข

ในกิจกรรมภาคปฏิบัติ บุคคลจะต้องวัดปริมาณต่างๆ คำนึงถึงวัสดุและผลิตภัณฑ์ของแรงงาน และทำการคำนวณต่างๆ ผลการวัด การคำนวณ และการคำนวณต่างๆ เป็นตัวเลข ตัวเลขที่ได้รับจากการวัดเพียงประมาณเท่านั้นโดยมีความแม่นยำระดับหนึ่งเท่านั้นที่จะระบุลักษณะปริมาณที่ต้องการ การวัดที่แม่นยำนั้นเป็นไปไม่ได้เนื่องจากความไม่ถูกต้องของเครื่องมือวัด ความไม่สมบูรณ์ของอวัยวะในการมองเห็นของเรา และบางครั้งวัตถุที่วัดได้ก็ไม่อนุญาตให้เรากำหนดขนาดของมันด้วยความแม่นยำใด ๆ

ตัวอย่างเช่นทราบกันว่าคลองสุเอซมีความยาว 160 กม. ซึ่งเป็นระยะทางเลียบไปตามนั้น ทางรถไฟจากมอสโกถึงเลนินกราด 651 กม. ที่นี่เรามีผลการวัดด้วยความแม่นยำสูงสุด 1 กิโลเมตร ตัวอย่างเช่น หากความยาวของส่วนสี่เหลี่ยมคือ 29 ม. ความกว้างคือ 12 ม. ดังนั้นการวัดอาจทำกับเมตรที่ใกล้ที่สุดและเศษส่วนของเมตรก็ถูกละเลย

ก่อนทำการวัดใด ๆ จำเป็นต้องตัดสินใจว่าจะต้องดำเนินการด้วยความแม่นยำเท่าใด เช่น ควรคำนึงถึงเศษส่วนของหน่วยการวัดใดและควรละเลยส่วนใด

หากมีปริมาณที่แน่นอน เอ,ไม่ทราบมูลค่าที่แท้จริงและค่าประมาณ (ประมาณ) ของปริมาณนี้เท่ากับ เอ็กซ์,แล้วพวกเขาก็เขียน เอ็กซ์.

ด้วยการวัดที่แตกต่างกันในปริมาณเท่ากัน เราจะได้ค่าประมาณที่ต่างกัน การประมาณแต่ละครั้งจะแตกต่างจากมูลค่าที่แท้จริงของปริมาณที่วัดได้ เท่ากับ เช่น เอ,ตามจำนวนหนึ่งซึ่งเราจะเรียก ข้อผิดพลาด.คำนิยาม. ถ้าตัวเลข x เป็นการประมาณ (ประมาณ) ของปริมาณบางจำนวนที่มีค่าจริงเท่ากับตัวเลข เอ,จากนั้นโมดูลัสของผลต่างของตัวเลข กและ เอ็กซ์เรียกว่า ข้อผิดพลาดแน่นอนของการประมาณนี้และแสดงแทน ก x: หรือเพียงแค่ ก- ดังนั้นตามคำนิยามแล้ว

ก x = a-x (1)

จากคำจำกัดความนี้เป็นไปตามนั้น

ก = x ก x (2)

หากรู้ว่าเรากำลังพูดถึงปริมาณเท่าใดก็ให้อยู่ในสัญกรณ์ ก xดัชนี กถูกละไว้และความเท่าเทียมกัน (2) ถูกเขียนดังนี้:

ก = x x (3)

เนื่องจากส่วนใหญ่มักไม่ทราบมูลค่าที่แท้จริงของปริมาณที่ต้องการ จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะพบข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ในการประมาณปริมาณนี้ คุณสามารถระบุได้เฉพาะแต่ละกรณีเท่านั้น จำนวนบวกซึ่งมากกว่าข้อผิดพลาดสัมบูรณ์นี้ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ จำนวนนี้เรียกว่าขีดจำกัดของความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของการประมาณค่า กและถูกกำหนดไว้ ชม. ก- ดังนั้นหาก x-- การประมาณค่า a ตามอำเภอใจสำหรับขั้นตอนที่กำหนดเพื่อให้ได้ค่าประมาณ

ก x = a-x ชั่วโมง ก (4)

จากที่กล่าวมาข้างต้นจะเป็นไปตามว่าถ้า ชม. กคือขีดจำกัดของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ในการประมาณค่า กแล้วจำนวนใดๆ ที่มากกว่า ชม. กจะเป็นขีดจำกัดของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ในการประมาณค่าด้วย ก.

ในทางปฏิบัติ เป็นเรื่องปกติที่จะเลือกเนื่องจากข้อผิดพลาดสัมบูรณ์จะจำกัดจำนวนที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ซึ่งเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน (4)

การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน axh กเราเข้าใจแล้ว กอยู่ภายในขอบเขต

เอ็กซ์ - ชม ก ก x + ชม ก (5)

แนวคิดที่เข้มงวดยิ่งขึ้นเกี่ยวกับขีดจำกัดข้อผิดพลาดสัมบูรณ์สามารถให้ไว้ได้ดังนี้

อนุญาต เอ็กซ์- การประมาณที่แตกต่างกันมากมาย เอ็กซ์ปริมาณ กสำหรับขั้นตอนที่กำหนดเพื่อให้ได้ค่าประมาณ แล้วเลขไหนก็ได้. ชม., เป็นไปตามเงื่อนไข axh กแต่อย่างใด xXเรียกว่าขีดจำกัดของความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของการประมาณจากเซต เอ็กซ์- ให้เราแสดงโดย ชม. กจำนวนที่น้อยที่สุดที่รู้จัก ชม.- เบอร์นี้ ชม. กและได้รับเลือกในทางปฏิบัติให้เป็นขีดจำกัดข้อผิดพลาดสัมบูรณ์

ข้อผิดพลาดในการประมาณค่าสัมบูรณ์ไม่ได้บ่งบอกถึงคุณภาพของการวัด จริงๆ แล้ว หากเราวัดความยาวใดๆ ด้วยความแม่นยำ 1 ซม. เมื่อต้องกำหนดความยาวของดินสอ ก็จะถือว่ามีความแม่นยำต่ำ หากคุณกำหนดความยาวหรือความกว้างของสนามวอลเลย์บอลด้วยความแม่นยำ 1 ซม. ก็จะมีความแม่นยำสูง

เพื่อระบุลักษณะความแม่นยำในการวัด จึงได้นำแนวคิดเรื่องข้อผิดพลาดสัมพัทธ์มาใช้

คำนิยาม. ถ้า ก x: มีข้อผิดพลาดในการประมาณค่าสัมบูรณ์ เอ็กซ์ปริมาณบางอย่างที่มีค่าจริงเท่ากับจำนวน กแล้วความสัมพันธ์ ก xถึงโมดูลัสของตัวเลข เอ็กซ์เรียกว่าความคลาดเคลื่อนการประมาณสัมพัทธ์และระบุแทน ก xหรือ x.

ดังนั้นตามคำนิยามแล้ว

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์มักจะแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์

ต่างจากข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ซึ่งส่วนใหญ่มักเป็นปริมาณมิติ ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์คือปริมาณไร้มิติ

ในทางปฏิบัติ ไม่ใช่ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ที่ถูกพิจารณา แต่เป็นข้อผิดพลาดที่เรียกว่าขีดจำกัดข้อผิดพลาดสัมพัทธ์: ตัวเลขดังกล่าว อี กมากกว่าที่ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ในการประมาณค่าที่ต้องการไม่สามารถเป็นได้

ดังนั้น, ก x อี ก .

ถ้า ชม. ก-- ขีดจำกัดของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของการประมาณค่า ก, ที่ ก x ชม กและด้วยเหตุนี้

แน่นอนว่าจะเป็นจำนวนเท่าใดก็ได้ อีเมื่อตรงตามเงื่อนไขจะเป็นขอบเขตข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ ในทางปฏิบัติ มักจะทราบการประมาณค่าบางอย่าง เอ็กซ์ปริมาณ กและขีดจำกัดข้อผิดพลาดที่แน่นอน จากนั้นจึงนำขีดจำกัดข้อผิดพลาดสัมพัทธ์มาเป็นตัวเลข

สถาบันการศึกษาเทศบาล

"โรงเรียนมัธยมศึกษาครูเล็ก"

เขตโตมสค์
"คณิตศาสตร์

ในด้านวิทยาศาสตร์และชีวิต"

“บทเรียน  สัมมนา” ในหัวข้อ:

“ค่าประมาณของปริมาณ”
(เกี่ยวกับการวางแนวที่ใช้ของสัมบูรณ์และสัมพัทธ์ข้อผิดพลาด )
พีชคณิตเกรด 7

ครูคณิตศาสตร์:

เซเรเบรนนิโควา เวรา อเล็กซานดรอฟนา

คูร์เลก - 2549

“คณิตศาสตร์ในวิทยาศาสตร์และชีวิต”
“ภาษาของคณิตศาสตร์ -

เป็นภาษาสากลของวิทยาศาสตร์”
เรื่อง: ค่าประมาณของปริมาณ(บทเรียนทั่วไป-สัมมนา)

เป้า: 1. สรุปความรู้ของนักเรียนในหัวข้อนี้โดยคำนึงถึงประเด็นที่ประยุกต์ใช้ (ในวิชาฟิสิกส์ การฝึกแรงงาน)

2. สามารถทำงานเป็นกลุ่มและมีส่วนร่วมในการนำเสนอ

อุปกรณ์: ไม้บรรทัด 2 อัน แบ่งส่วน 0.1 ซม. และ 1 ซม., เทอร์โมมิเตอร์, ตาชั่ง, เอกสารประกอบคำบรรยาย (แผ่น, กระดาษคาร์บอน, การ์ด)
กล่าวเปิดและแนะนำผู้เข้าร่วมสัมมนา(ครู)

พิจารณาประเด็นสำคัญประการหนึ่ง - การคำนวณโดยประมาณ คำไม่กี่คำเกี่ยวกับความสำคัญของมัน

เมื่อแก้ไขปัญหาเชิงปฏิบัติเรามักจะต้องจัดการกับค่าประมาณของปริมาณต่างๆ

ฉันขอเตือนคุณว่าจะได้รับค่าโดยประมาณในกรณีใด:

1. 
   เมื่อนับ ปริมาณมากรายการ;
2. 
   เมื่อทำการวัดโดยใช้เครื่องมือในปริมาณต่าง ๆ (ความยาว, มวล, อุณหภูมิ)
3. 
   เมื่อปัดเศษตัวเลข

เรามาหารือเกี่ยวกับคำถาม: « เมื่อคุณภาพของการวัดคำนวณจะสูงขึ้น ».

ผู้เข้าร่วมสัมมนาในวันนี้จะมี 3 กลุ่ม ได้แก่ นักคณิตศาสตร์ นักฟิสิกส์ และตัวแทนการผลิต (ภาคปฏิบัติ)

("ผู้อาวุโส" เป็นตัวแทนของกลุ่มและพูดนามสกุล)

งานสัมมนาจะได้รับการประเมินโดยแขกและคณะกรรมการผู้ทรงคุณวุฒิจากสาธารณชน ซึ่งรวมถึง "นักคณิตศาสตร์" "นักฟิสิกส์" และ "ผู้ปฏิบัติงาน"

งานของกลุ่มและผู้เข้าร่วมแต่ละคนจะได้รับการประเมินด้วยคะแนน
แผนการทำงาน(บนกระดาน)

1. การแสดง

2. งานอิสระ

3. แบบทดสอบ

4. ผลลัพธ์
- การแสดง.

1. 
   การวัดสำหรับการประเมินความเบี่ยงเบนของค่าโดยประมาณจากค่าที่แน่นอน

เป็นข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และข้อผิดพลาดสัมพันธ์ พิจารณาคำจำกัดความจากมุมมอง ปฐมนิเทศประยุกต์
2
ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์แสดงให้เห็นว่ามีเท่าใด

ค่าโดยประมาณแตกต่างจากค่าที่แน่นอนเช่น ความแม่นยำในการประมาณ

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์จะประเมินคุณภาพของการวัดและ

แสดงเป็นเปอร์เซ็นต์

ถ้า x µ α โดยที่ x คือค่าที่แน่นอน และ α คือค่าโดยประมาณ ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์จะเป็น: │х – α │ และข้อผิดพลาดสัมพัทธ์: │х – α │∕ │α│%

ตัวอย่าง:

1 - เรามาค้นหาข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของค่าประมาณที่ได้จากการปัดเศษตัวเลข 0.437 เป็นสิบ

ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์: │0.437 – 0.4 │= │0.037│= 0.037

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์: 0.037: │0.4│= 0.037: 0.4 = 0.0925 = 9.25%

1. 
   ลองหาค่าโดยประมาณจากกราฟของฟังก์ชัน y = x 2

ฟังก์ชันที่ x = 1.6

ถ้า x = 1.6 ดังนั้น y ก็คือ 2.5

เมื่อใช้สูตร y = x 2 เราจะค้นหาค่าที่แน่นอนของ y: y = 1.6 2 = 2.56;

ข้อผิดพลาดแน่นอน: │2,56 – 2,5 │= │0,06│= 0,06;

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์: 0,06: │2,5│= 0,06: 2,5 = 0,024 = 2,4%

หากเราเปรียบเทียบผลลัพธ์ทั้งสองแบบมีข้อผิดพลาดสัมพันธ์กันที่ 9.25% และ

2.4% จากนั้นในกรณีที่สองคุณภาพของการคำนวณจะสูงขึ้นและผลลัพธ์จะแม่นยำยิ่งขึ้น
อะไรเป็นตัวกำหนดความถูกต้องของค่าโดยประมาณ?

มันขึ้นอยู่กับหลายสาเหตุ หากได้รับค่าโดยประมาณระหว่างการวัด ความแม่นยำของมันจะขึ้นอยู่กับอุปกรณ์ที่ใช้ทำการวัด ไม่มีการวัดใดที่สามารถวัดได้อย่างแม่นยำอย่างสมบูรณ์ แม้แต่มาตรการเองก็มีข้อผิดพลาด เป็นเรื่องยากมากที่จะสร้างไม้บรรทัดมิเตอร์ น้ำหนักกิโลกรัม หรือแก้วน้ำขนาดลิตรที่แม่นยำอย่างสมบูรณ์ และกฎหมายอนุญาตให้เกิดข้อผิดพลาดบางประการในการผลิตได้

ตัวอย่างเช่น เมื่อทำไม้บรรทัดมิเตอร์ อนุญาตให้มีข้อผิดพลาด 1 มม. การวัดยังทำให้เกิดความไม่ถูกต้อง ข้อผิดพลาดในน้ำหนักและตาชั่งอีกด้วย ตัวอย่างเช่น บนไม้บรรทัดที่เราใช้ การแบ่งจะถูกทำเครื่องหมายทุกๆ 1 มม. เช่น 0.1 ซม. ซึ่งหมายถึงความแม่นยำในการวัดด้วยไม้บรรทัดนี้สูงถึง 0.1 (≤ 0.1) บนเทอร์โมมิเตอร์ทางการแพทย์ การแบ่งส่วนจะหารด้วย 0.1 0 ซึ่งหมายความว่าความแม่นยำจะสูงถึง 0.1 (≤ 0.1) การแบ่งส่วนบนตาชั่งจะมีการทำเครื่องหมายทุกๆ 200 กรัม ซึ่งหมายความว่ามีความแม่นยำสูงสุดถึง 200 (≤ 200)

การปัดเศษ ทศนิยมมากถึงสิบความแม่นยำจะสูงถึง 0.1 (≤ 0.1) สูงถึงหนึ่งในร้อย – ความแม่นยำสูงถึง 0.01 (≤ 0.01)

การวัดที่แม่นยำที่สุดในโลกดำเนินการในห้องปฏิบัติการของสถาบัน

เป็นไปได้หรือไม่ที่จะค้นหาข้อผิดพลาดแบบสัมบูรณ์และข้อผิดพลาดแบบสัมพันธ์?

ไม่เสมอไป เป็นไปได้ที่จะค้นหาข้อผิดพลาดที่แน่นอนเนื่องจากไม่ทราบ

ค่าที่แน่นอนของปริมาณ และด้วยเหตุนี้จึงเกิดข้อผิดพลาดสัมพัทธ์

ในกรณีนี้ เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าข้อผิดพลาดสัมบูรณ์จะต้องไม่เกินการแบ่งสเกลของเครื่องมือ เหล่านั้น. ตัวอย่างเช่นหากขนาดของไม้บรรทัดคือ 1 มม. = 0.1 ซม. ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์จะมีความแม่นยำถึง 0.1 (≤ 0.1) และจะกำหนดเฉพาะการประมาณค่าข้อผิดพลาดสัมพัทธ์เท่านั้น (เช่น ≤ ตัวเลขใด %)

เรามักจะเจอสิ่งนี้ในวิชาฟิสิกส์ เมื่อสาธิตการทดลองเมื่อปฏิบัติงานในห้องปฏิบัติการ

งาน.เรามาค้นหาข้อผิดพลาดสัมพัทธ์เมื่อวัดความยาวของแผ่นสมุดบันทึกด้วยไม้บรรทัด: หนึ่ง - มีความแม่นยำ 0.1 ซม. (แบ่งทุกๆ 0.1 ซม.) ประการที่สอง - ด้วยความแม่นยำ 1 ซม. (แบ่งทุกๆ 1 ซม.)

̵ 1 = 20.4 ซม. ̵ 2 = 20.2 ซม

0,! : 20,4 = 0,0049 = 0,49% 1: 20,2 = 0,0495 = 4,95%

พวกเขาบอกว่าข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ในกรณีแรกสูงถึง 0.49% (เช่น ≤ 0.49%) ในกรณีที่สองสูงถึง 4.95% (เช่น ≤ 4.95%)

ในกรณีแรกความแม่นยำในการวัดจะสูงกว่า เราไม่ได้พูดถึงขนาด

ข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้อง แต่เป็นการประเมิน

ในการผลิตในการผลิตชิ้นส่วนที่เราใช้

คาลิเปอร์ (สำหรับการวัดความลึก เส้นผ่านศูนย์กลาง: ภายนอกและภายใน)

ข้อผิดพลาดแน่นอนเมื่อทำการวัดด้วยอุปกรณ์นี้จะมีความแม่นยำถึง 0.1 มม. เราจะพบ การประมาณการข้อผิดพลาดสัมพัทธ์เมื่อวัดด้วยคาลิปเปอร์:

ง = 9.86ซม. = 98.6มม

0,1: │98,6│= 0,1: 98,6 = 0,001 = 0,1%
ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์แม่นยำถึงภายใน 0.1% (เช่น ≤ 0.1%)

หากเราเปรียบเทียบกับการวัดสองครั้งก่อนหน้านี้ ความแม่นยำในการวัดก็จะสูงขึ้น

ของทั้งสาม ตัวอย่างการปฏิบัติเราสามารถสรุปได้: ซึ่งไม่สามารถหาค่าที่แน่นอนได้จากการวัดภายใต้สภาวะปกติ

แต่เพื่อที่จะทำการวัดได้แม่นยำยิ่งขึ้น คุณจะต้องใช้อุปกรณ์วัดที่มีค่าการแบ่งตัวน้อยที่สุด

4
- ทำงานอิสระกับตัวเลือกต่างๆ ตามด้วยการตรวจสอบ(สำเนาคาร์บอน)

ตัวเลือกที่ 1	ตัวเลือกที่ 2
1. เขียนกราฟฟังก์ชัน y = x 3	1. เขียนกราฟฟังก์ชัน y = x 2
ถ้า x = 1.5 ดังนั้น y γ ถ้า x = -0.5 ดังนั้น y γ b) y = 4 สำหรับ x หยาบคาย	ใช้กราฟเพื่อบันทึกให้เสร็จสิ้น: ถ้า x = 2.5 แล้ว y data ถ้า x = -1.5 ดังนั้น y γ b) y = 5 สำหรับ x หยาบคาย
2. ปัดเศษตัวเลข 0.356 เป็นสิบแล้วค้นหา: ก) ข้อผิดพลาดแน่นอน ใกล้เข้ามา; b) ข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้อง กำลังใกล้เข้ามา	2. ปัดเศษตัวเลข 0.188 เป็นสิบแล้วค้นหา: ก) ข้อผิดพลาดแน่นอน ใกล้เข้ามา; b) ข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้อง กำลังใกล้เข้ามา

(คณะลูกขุนตรวจสอบงานอิสระ)

- แบบทดสอบ(สำหรับแต่ละคำตอบที่ถูกต้อง – 1 คะแนน)

ตัวอย่างใดคือค่าของปริมาณที่แน่นอนและค่าใดเป็นค่าประมาณ?

ตัวอย่าง:

1. มีนักเรียน 36 คนในชั้นเรียน

2. มีประชากร 1,000 คนในหมู่บ้านคนงาน

3.รางรถไฟยาว 50 ม

4. คนงานได้รับ 10,000 รูเบิลจากเครื่องบันทึกเงินสด

5. เครื่องบินจามรีมีที่นั่งผู้โดยสาร 40,120 ที่นั่ง

6. ระยะทางระหว่าง มอสโก และ เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก คือ 650 กม

7. ข้าวสาลีหนึ่งกิโลกรัมมีเมล็ดพืช 30,000 เม็ด

8. ระยะทางจากโลกถึงดวงอาทิตย์ 1.5 ∙ 10 8 กม

9. เมื่อถามเด็กนักเรียนคนหนึ่งว่ามีนักเรียนอยู่ในโรงเรียนกี่คน ตอบว่า “1,000 คน” และอีกคนตอบว่า “950” ถ้ามีนักเรียนในโรงเรียนถึง 986 คน คำตอบของใครแม่นยำกว่ากัน?

10. ขนมปังหนึ่งก้อนมีน้ำหนัก 1 กิโลกรัมและราคา 2,500 รูเบิล

11. สมุดบันทึก 12 แผ่นราคา 600 รูเบิล และมีความหนา 3 มม

โวลต์ สรุปว่าคุ้มครับ

มูลค่าสัมบูรณ์ ความแตกต่างระหว่างค่าโดยประมาณและค่าที่แน่นอน (จริง) ของปริมาณที่เรียกว่า ข้อผิดพลาดแน่นอนค่าโดยประมาณ ตัวอย่างเช่นถ้าเป็นจำนวนที่แน่นอน 1,214 ปัดเศษเป็นสิบที่ใกล้ที่สุดเราจะได้ตัวเลขโดยประมาณ 1,2 - ในกรณีนี้จะเกิดความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของจำนวนโดยประมาณ 1,214 – 1,2 = 0,014 .

แต่ในกรณีส่วนใหญ่ไม่ทราบค่าที่แน่นอนของค่าที่กำลังพิจารณา แต่เป็นเพียงค่าโดยประมาณเท่านั้น จากนั้นไม่ทราบข้อผิดพลาดที่แน่นอน ในกรณีเหล่านี้บ่งชี้ว่า ชายแดนซึ่งก็ไม่เกิน. เบอร์นี้มีชื่อว่า การจำกัดข้อผิดพลาดแน่นอนพวกเขาบอกว่าค่าที่แน่นอนของตัวเลขเท่ากับค่าโดยประมาณโดยมีข้อผิดพลาดน้อยกว่าข้อผิดพลาดส่วนเพิ่ม ตัวอย่างเช่น, ตัวเลข 23,71 เป็นค่าประมาณของตัวเลข 23,7125 ขึ้นไป 0,01 เนื่องจากความคลาดเคลื่อนการประมาณสัมบูรณ์มีค่าเท่ากับ 0,0025 และน้อยลง 0,01 - ที่นี่ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ที่ จำกัด เท่ากับ 0,01 .*

(* แน่นอนข้อผิดพลาดอาจเป็นได้ทั้งบวกและลบ ตัวอย่างเช่น, 1,68 ≈ 1,7 - ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์คือ 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 . ขอบเขตข้อผิดพลาดจะเป็นค่าบวกเสมอ)

ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ขอบเขตของจำนวนโดยประมาณ " ก » แสดงด้วยสัญลักษณ์ Δ ก - บันทึก

x µ ก ( Δ ก)

ควรเข้าใจดังนี้: มูลค่าที่แน่นอนของปริมาณ เอ็กซ์ อยู่ระหว่างตัวเลข ก +Δ ก และ ก –Δ เอ, ซึ่งเรียกว่าตามนั้น ด้านล่างและ ขีด จำกัด บน เอ็กซ์ และแสดงถึง เอ็นช เอ็กซ์ และ ในช เอ็กซ์ .

ตัวอย่างเช่น, ถ้า เอ็กซ์≈ 2,3 ( 0,1), ที่ 2,2 < เอ็กซ์ < 2,4 .

ตรงกันข้าม ถ้า. 7,3 < เอ็กซ์ < 7,4, ที่ เอ็กซ์≈ 7,35 ( 0,05).

ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์แน่นอนหรือเล็กน้อย ไม่กำหนดลักษณะคุณภาพของการวัดที่ดำเนินการ ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์เดียวกันนั้นถือได้ว่ามีนัยสำคัญและไม่มีนัยสำคัญ ขึ้นอยู่กับตัวเลขที่ใช้แสดงค่าที่วัดได้

ตัวอย่างเช่นถ้าเราวัดระยะทางระหว่างสองเมืองด้วยความแม่นยำ 1 กิโลเมตร ความแม่นยำดังกล่าวก็เพียงพอแล้วสำหรับการวัดนี้ แต่ในขณะเดียวกัน เมื่อวัดระยะห่างระหว่างบ้านสองหลังบนถนนสายเดียวกัน ความแม่นยำดังกล่าวก็จะยอมรับไม่ได้

ด้วยเหตุนี้ ความแม่นยำของค่าโดยประมาณของปริมาณจึงไม่เพียงขึ้นอยู่กับขนาดของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์เท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับค่าของปริมาณที่วัดด้วย นั่นเป็นเหตุผล การวัดความแม่นยำคือข้อผิดพลาดสัมพัทธ์

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์เรียกว่าอัตราส่วนของความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ต่อค่าของตัวเลขโดยประมาณ อัตราส่วนของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ที่ จำกัด ต่อจำนวนโดยประมาณเรียกว่า จำกัดข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้อง- แสดงไว้ดังนี้: Δ เป็น/เป็น. ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์และส่วนเพิ่มมักจะแสดงเป็น เป็นเปอร์เซ็นต์.

ตัวอย่างเช่นหากการวัดแสดงว่าระยะห่างระหว่างจุดสองจุดมากกว่า 12.3 กมแต่น้อยกว่า 12.7 กมแล้วสำหรับ โดยประมาณความหมายของมันเป็นที่ยอมรับ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตตัวเลขสองตัวนี้นั่นคือ ของพวกเขา ครึ่งหนึ่งของผลรวม, แล้ว ขอบเขตข้อผิดพลาดที่แน่นอนคือ ความแตกต่างครึ่งหนึ่งตัวเลขเหล่านี้ ในกรณีนี้ เอ็กซ์≈ 12,5 ( 0,2). นี่คือขอบเขต แน่นอนข้อผิดพลาดเท่ากับ 0.2 กมและขอบเขต

หัวข้อ " ” เรียนอย่างคล่องแคล่วในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 และตามกฎแล้วนักเรียนไม่ได้พัฒนาทักษะการคำนวณอย่างเต็มที่

แต่ด้วย การประยุกต์ใช้จริง ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของตัวเลข เช่นเดียวกับข้อผิดพลาดแน่นอนที่เราพบในทุกขั้นตอน

ในระหว่าง งานซ่อมแซมวัดความหนา (เป็นเซนติเมตร) มปูพรมและความกว้าง nเกณฑ์ เราได้รับผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

mγ0.8 (ด้วยความแม่นยำ 0.1)

nµ100.0 (แม่นยำถึง 0.1)

โปรดทราบว่าข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของข้อมูลการวัดแต่ละรายการจะต้องไม่เกิน 0.1

อย่างไรก็ตาม 0.1 เป็นส่วนทึบของเลข 0.8 วิธีหมายเลข 100 แสดงถึง h ที่ไม่มีนัยสำคัญเป็น. นี่แสดงให้เห็นว่าคุณภาพของมิติที่สองนั้นสูงกว่ามิติแรกมาก

เพื่อประเมินคุณภาพของการวัดที่ใช้ ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของจำนวนโดยประมาณ

คำนิยาม.

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของจำนวนโดยประมาณ (ค่า) คืออัตราส่วนของความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ต่อค่าสัมบูรณ์ของค่าโดยประมาณ

พวกเขาตกลงที่จะแสดงข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องเป็นเปอร์เซ็นต์

ตัวอย่างที่ 1

พิจารณาเศษส่วน 14.7 แล้วปัดให้เป็นจำนวนเต็ม เราก็จะพบว่า ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของจำนวนโดยประมาณ:

14,7≈15.

ในการคำนวณข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ ตามกฎแล้ว คุณยังต้องทราบข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ด้วย นอกเหนือจากค่าโดยประมาณแล้ว ข้อผิดพลาดที่แน่นอนไม่เป็นที่รู้จักเสมอไป จึงคำนวณ เป็นไปไม่ได้. และในกรณีนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะระบุค่าประมาณของข้อผิดพลาดสัมพัทธ์

จำตัวอย่างที่ให้ไว้ในตอนต้นของบทความ มีการระบุการวัดความหนาไว้ที่นั่น มพรมและความกว้าง nเกณฑ์

ขึ้นอยู่กับผลการวัด มµ0.8 ด้วยความแม่นยำ 0.1 เราสามารถพูดได้ว่าข้อผิดพลาดในการวัดสัมบูรณ์ไม่เกิน 0.1 ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์ของการหารค่าคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ด้วยค่าโดยประมาณ (และนี่คือค่าคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์) จะน้อยกว่าหรือเท่ากับ 0.1/0.8 = 0.125 = 12.5%

ดังนั้น ข้อผิดพลาดในการประมาณสัมพัทธ์คือ ≤ 12.5%

ในทำนองเดียวกัน เราคำนวณความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ในการประมาณความกว้างของธรณีประตู ไม่เกิน 0.1/100 = 0.001 = 0.1%

พวกเขากล่าวว่าในกรณีแรกการวัดดำเนินการด้วยความแม่นยำสัมพัทธ์สูงถึง 12.5% ​​และในกรณีที่สอง - ด้วยความแม่นยำสัมพัทธ์สูงถึง 0.1%

มาสรุปกัน

ข้อผิดพลาดแน่นอน จำนวนโดยประมาณ - นี่คือความแตกต่างระหว่างจำนวนที่แน่นอน xและค่าประมาณของมัน ก.

ถ้าค่าโมดูลัสต่างกัน | x – ก- น้อยกว่าบางส่วนดี กแล้วค่าดี กเรียกว่า ข้อผิดพลาดแน่นอน จำนวนโดยประมาณ ก.

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของจำนวนโดยประมาณ คืออัตราส่วนของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ดี กถึงโมดูลัสของตัวเลข กนั่นคือดี ก / |ก- =ง ก .

ตัวอย่างที่ 2

ลองพิจารณาค่าโดยประมาณที่ทราบของตัวเลข πγ3.14

เมื่อพิจารณาค่าของมันด้วยความแม่นยำหนึ่งแสนคุณสามารถระบุข้อผิดพลาดได้เป็น 0.00159... (จะช่วยให้จำตัวเลขของตัวเลขπได้ )

ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของตัวเลข π เท่ากับ: | 3,14 – 3,14159 | = 0,00159 ≈0,0016.

ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ของตัวเลข π เท่ากับ: 0.0016/3.14 = 0.00051 = 0.051%

ตัวอย่างที่ 3

ลองคำนวณเอาเองนะครับ ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของจำนวนโดยประมาณ √2. มีหลายวิธีในการจำตัวเลขของตัวเลข” รากที่สองตั้งแต่ 2″