ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวในพื้นที่ปิด การศึกษากราฟของฟังก์ชัน

ด้วยบริการนี้คุณสามารถทำได้ ค้นหาสิ่งที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและ ค่าที่น้อยที่สุดฟังก์ชั่นตัวแปรหนึ่งตัว f(x) พร้อมโซลูชันที่จัดรูปแบบใน Word ถ้ากำหนดฟังก์ชัน f(x,y) ไว้ ก็จำเป็นต้องค้นหาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว คุณยังสามารถค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันเพิ่มและลดได้

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

ย=

บนส่วน [ ;]

รวมทฤษฎีด้วย

กฎสำหรับการเข้าฟังก์ชั่น:

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับฟังก์ชันสุดขั้วของตัวแปรหนึ่งตัว

สมการ f" 0 (x *) = 0 คือ สภาพที่จำเป็นสุดขั้วของฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว เช่น ณ จุด x * อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันจะต้องหายไป โดยระบุจุดคงที่ x c ซึ่งฟังก์ชันไม่เพิ่มหรือลดลง

เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับปลายสุดของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว

ให้ f 0 (x) สามารถหาอนุพันธ์ได้สองเท่าโดยเทียบกับ x ที่อยู่ในเซต D หากตรงจุด x * ตรงตามเงื่อนไข:

ฉ" 0 (x *) = 0
ฉ"" 0 (x *) > 0

จากนั้นจุด x * คือจุดต่ำสุด (ทั่วโลก) ของฟังก์ชัน

หากตรงจุด x * ตรงตามเงื่อนไข:

ฉ" 0 (x *) = 0
ฉ"" 0 (x *)< 0

จากนั้นจุด x * คือค่าสูงสุดเฉพาะที่ (ทั่วโลก)

ตัวอย่างหมายเลข 1 ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน: บนเซ็กเมนต์
สารละลาย.

จุดวิกฤติคือหนึ่ง x 1 = 2 (f’(x)=0) จุดนี้เป็นของกลุ่ม (จุด x=0 ไม่สำคัญ เนื่องจาก 0∉)
เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนและที่จุดวิกฤติ
ฉ(1)=9, ฉ(2)= 5 / 2 , ฉ(3)=3 8 / 81
คำตอบ: f นาที = 5/2 ที่ x=2; f สูงสุด =9 ที่ x=1

ตัวอย่างหมายเลข 2 ใช้อนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่า หาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชัน y=x-2sin(x)
สารละลาย.
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: y’=1-2cos(x) . มาหาจุดวิกฤตกัน: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z เราพบว่า y''=2sin(x) คำนวณ ซึ่งหมายความว่า x= π / 3 +2πk, k∈Z คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน ซึ่งหมายความว่า x=- π / 3 +2πk, k∈Z คือจุดสูงสุดของฟังก์ชัน

ตัวอย่างหมายเลข 3 ตรวจสอบฟังก์ชันสุดขั้วในบริเวณใกล้กับจุด x=0
สารละลาย. ในที่นี้จำเป็นต้องค้นหาจุดสุดขีดของฟังก์ชัน หากค่าสุดขั้ว x=0 ให้ค้นหาประเภทของค่านั้น (ค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุด) หากจุดที่พบไม่มี x = 0 ให้คำนวณค่าของฟังก์ชัน f(x=0)
ควรสังเกตว่าเมื่ออนุพันธ์ในแต่ละด้านของจุดที่กำหนดไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย สถานการณ์ที่เป็นไปได้จะไม่หมดลงแม้แต่ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้: มันสามารถเกิดขึ้นได้สำหรับย่านใกล้เคียงขนาดเล็กโดยพลการที่ด้านหนึ่งของจุด x 0 หรือ ทั้งสองด้านมีเครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์ ณ จุดเหล่านี้ จำเป็นต้องใช้วิธีอื่นเพื่อศึกษาฟังก์ชันของภาวะสุดขั้ว

ในบทความนี้ฉันจะพูดถึง อัลกอริธึมสำหรับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดฟังก์ชั่นจุดต่ำสุดและสูงสุด

ตามทฤษฎีแล้วมันจะมีประโยชน์สำหรับเราอย่างแน่นอน ตารางอนุพันธ์และ กฎความแตกต่าง- ทั้งหมดอยู่ในจานนี้:

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด

ฉันสะดวกกว่าที่จะอธิบายด้วยตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง พิจารณา:

ตัวอย่าง:ค้นหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน y=x^5+20x^3–65x บนเซ็กเมนต์ [–4;0]

ขั้นตอนที่ 1เราหาอนุพันธ์

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

ขั้นตอนที่ 2การหาจุดสุดยอด

จุดสุดขั้วเราเรียกจุดที่ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด

ในการค้นหาจุดสุดขั้ว คุณต้องเทียบอนุพันธ์ของฟังก์ชันให้เป็นศูนย์ (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

ตอนนี้เราแก้สมการกำลังสองนี้แล้วรากที่พบคือจุดสุดขั้ว

ฉันแก้สมการดังกล่าวโดยแทนที่ t = x^2 จากนั้น 5t^2 + 60t - 65 = 0

ลองลดสมการลง 5 เราจะได้: t^2 + 12t - 13 = 0

ง = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + ตร.ม.(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - ตร.ม.(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

เราทำการเปลี่ยนแปลงแบบย้อนกลับ x^2 = t:

X_(1 และ 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 และ 4) = ±sqrt(-13) (เราไม่รวม เพราะไม่มี ตัวเลขติดลบเว้นแต่ว่าเรากำลังพูดถึงจำนวนเชิงซ้อน)

ผลรวม: x_(1) = 1 และ x_(2) = -1 - นี่คือจุดสุดขั้วของเรา

ขั้นตอนที่ 3กำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด

วิธีการทดแทน

ในเงื่อนไข เราได้รับเซ็กเมนต์ [b][–4;0] จุด x=1 ไม่รวมอยู่ในส่วนนี้ เราจึงไม่พิจารณาเรื่องนี้. แต่นอกเหนือจากจุด x=-1 แล้ว เรายังต้องพิจารณาขอบเขตด้านซ้ายและขวาของเซ็กเมนต์ของเราด้วย ซึ่งก็คือจุด -4 และ 0 เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เราจะแทนที่จุดทั้งสามนี้ลงในฟังก์ชันดั้งเดิม โปรดทราบว่าต้นฉบับคืออันที่กำหนดในเงื่อนไข (y=x^5+20x^3–65x) บางคนเริ่มแทนที่มันเป็นอนุพันธ์...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

ซึ่งหมายความว่าค่าสูงสุดของฟังก์ชันคือ [b]44 และบรรลุที่จุด [b]-1 ซึ่งเรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ [-4; 0].

เราตัดสินใจแล้วได้รับคำตอบ เราเก่งมาก สบายใจได้ แต่หยุด! คุณไม่คิดว่าการคำนวณ y(-4) นั้นยากเกินไปหรือ? ในระยะเวลาที่จำกัด ควรใช้วิธีอื่นดีกว่า ฉันเรียกสิ่งนี้ว่า:

ผ่านช่วงเวลาแห่งความมั่นคงของสัญญาณ

ช่วงเหล่านี้พบได้จากอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ซึ่งก็คือสมการกำลังสองของเรา

ฉันทำแบบนี้ ฉันวาดส่วนที่กำกับ ฉันวางคะแนน: -4, -1, 0, 1 แม้ว่าข้อเท็จจริงที่ว่า 1 จะไม่รวมอยู่ในส่วนที่กำหนด แต่ก็ควรสังเกตไว้เพื่อกำหนดช่วงเวลาของความคงที่ของเครื่องหมายอย่างถูกต้อง ลองหาจำนวนที่มากกว่า 1 หลายเท่า เช่น 100 แล้วแทนที่มันลงในสมการกำลังสองของเรา 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65 แม้จะไม่ได้นับอะไรเลย ก็ชัดเจนว่าที่จุด 100 ฟังก์ชั่นมีเครื่องหมายบวก ซึ่งหมายความว่าในช่วงตั้งแต่ 1 ถึง 100 จะมีเครื่องหมายบวก เมื่อผ่าน 1 (เราไปจากขวาไปซ้าย) ฟังก์ชันจะเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นลบ เมื่อผ่านจุด 0 ฟังก์ชันจะคงเครื่องหมายไว้ เนื่องจากนี่เป็นเพียงขอบเขตของเซกเมนต์ ไม่ใช่รากของสมการ เมื่อผ่าน -1 ฟังก์ชันจะเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นเครื่องหมายบวกอีกครั้ง

จากทฤษฎี เรารู้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันอยู่ที่ไหน (และเราวาดมันมาเพื่อมันโดยเฉพาะ) เครื่องหมายเปลี่ยนจากบวกเป็นลบ (จุด -1 ในกรณีของเรา)ฟังก์ชั่นถึง สูงสุดในท้องถิ่น (y(-1)=44 ตามที่คำนวณไว้ก่อนหน้านี้)ในส่วนนี้ (นี่เป็นเหตุผลที่เข้าใจได้มาก ฟังก์ชันหยุดเพิ่มเนื่องจากถึงค่าสูงสุดและเริ่มลดลง)

ดังนั้น ที่ไหน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก, บรรลุแล้ว ฟังก์ชันขั้นต่ำในท้องถิ่น- ใช่ ใช่ เรายังพบว่าจุดต่ำสุดในพื้นที่คือ 1 และ y(1) คือค่าต่ำสุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ กล่าวคือตั้งแต่ -1 ถึง +∞ โปรดทราบว่านี่เป็นเพียงขั้นต่ำในท้องถิ่นเท่านั้น นั่นคือขั้นต่ำสำหรับบางเซ็กเมนต์ เนื่องจากค่าต่ำสุดจริง (ทั่วโลก) ของฟังก์ชันจะไปถึงจุดนั้น ที่ -∞

ในความคิดของฉัน วิธีแรกนั้นง่ายกว่าในทางทฤษฎี และวิธีที่สองนั้นง่ายกว่าจากมุมมองของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ แต่ซับซ้อนกว่ามากจากมุมมองของทฤษฎี ท้ายที่สุดแล้ว บางครั้งก็มีกรณีที่ฟังก์ชันไม่เปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่านรากของสมการ และโดยทั่วไปแล้ว คุณอาจสับสนกับค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดในระดับท้องถิ่น ทั่วโลกได้ แม้ว่าคุณจะต้องเชี่ยวชาญเรื่องนี้เป็นอย่างดีอยู่แล้วหากคุณ วางแผนที่จะเข้ามหาวิทยาลัยเทคนิค (และทำไมฉันจึงควรเรียนต่อ? โปรไฟล์การสอบ Unified Stateและแก้ไขปัญหานี้) แต่การฝึกฝนและการฝึกฝนเท่านั้นที่จะสอนให้คุณแก้ปัญหาดังกล่าวได้เพียงครั้งเดียวและตลอดไป และคุณสามารถฝึกอบรมบนเว็บไซต์ของเราได้ ที่นี่ .

หากคุณมีคำถามหรือบางสิ่งที่ไม่ชัดเจน โปรดถาม ฉันยินดีที่จะตอบคุณและทำการเปลี่ยนแปลงและเพิ่มเติมบทความ จำไว้ว่าเรากำลังสร้างเว็บไซต์นี้ด้วยกัน!

เล็กและสวย งานง่ายๆจากประเภทที่ใช้เป็นเครื่องช่วยชีวิตนักเรียนลอยน้ำ จะเป็นช่วงกลางเดือนกรกฎาคม ถึงเวลาที่คุณจะนั่งเล่นแล็ปท็อปบนชายหาด ในตอนเช้า แสงตะวันแห่งทฤษฎีเริ่มสาดส่อง เพื่อมุ่งความสนใจไปที่การปฏิบัติในไม่ช้า ซึ่งแม้จะได้ประกาศไว้อย่างง่ายดาย แต่ก็ยังมีเศษแก้วอยู่ในทราย ในเรื่องนี้ ฉันขอแนะนำให้คุณพิจารณาตัวอย่างบางส่วนของหน้านี้อย่างเป็นเรื่องเป็นราว ในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติคุณต้องสามารถ ค้นหาอนุพันธ์และเข้าใจเนื้อหาของบทความ ช่วงความน่าเบื่อและสุดขั้วของฟังก์ชัน.

ก่อนอื่น สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ ในบทเรียนเกี่ยวกับ ความต่อเนื่องของฟังก์ชันฉันให้คำจำกัดความของความต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่งและความต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง พฤติกรรมที่เป็นแบบอย่างของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์นั้นได้รับการกำหนดในลักษณะเดียวกัน ฟังก์ชันจะต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง หาก:

1) มีความต่อเนื่องในช่วงเวลา;
2) ต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง ขวาและตรงจุด ซ้าย.

ในย่อหน้าที่สองเราพูดถึงสิ่งที่เรียกว่า ความต่อเนื่องด้านเดียวทำหน้าที่ ณ จุดหนึ่ง มีหลายวิธีในการกำหนด แต่ฉันจะยึดถือบรรทัดที่ฉันเริ่มไว้ก่อนหน้านี้:

ฟังก์ชันมีความต่อเนื่อง ณ จุดนั้น ขวาหากถูกกำหนดไว้ที่จุดที่กำหนดและขีดจำกัดทางขวาของมันเกิดขึ้นพร้อมกับค่าของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด: - มีความต่อเนื่องตรงจุด ซ้ายหากกำหนดไว้ที่จุดที่กำหนดและขีดจำกัดด้านซ้ายจะเท่ากับค่า ณ จุดนี้:

ลองนึกภาพว่าจุดสีเขียวนั้นเป็นตะปูที่มีแถบยางยืดวิเศษติดอยู่:

ใช้เส้นสีแดงในมือของคุณ แน่นอนว่าไม่ว่าเราจะยืดกราฟขึ้นลงไกลแค่ไหน (ตามแกน) ฟังก์ชันก็จะยังคงอยู่ จำกัด– รั้วด้านบน รั้วด้านล่าง และผลิตภัณฑ์ของเราเล็มหญ้าในคอก ดังนั้น, ฟังก์ชันที่ต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่งถูกผูกไว้กับฟังก์ชันนั้น- ในระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ข้อเท็จจริงที่ดูเหมือนเรียบง่ายนี้ได้รับการระบุและพิสูจน์อย่างเคร่งครัด ทฤษฎีบทแรกของไวเออร์ชตราส...หลายคนรู้สึกรำคาญที่ประโยคพื้นฐานได้รับการพิสูจน์อย่างน่าเบื่อในวิชาคณิตศาสตร์ แต่สิ่งนี้มีความหมายที่สำคัญ สมมติว่าผู้อาศัยอยู่ในยุคกลางเทอร์รี่คนหนึ่งดึงกราฟขึ้นไปบนท้องฟ้าเกินขอบเขตการมองเห็น สิ่งนี้ถูกแทรกเข้าไป ก่อนการประดิษฐ์กล้องโทรทรรศน์ ฟังก์ชั่นที่จำกัดในอวกาศยังไม่ชัดเจนเลย! จริงๆ แล้วคุณรู้ได้อย่างไรว่ามีอะไรรอเราอยู่บนเส้นขอบฟ้าอยู่? ท้ายที่สุดแล้ว โลกเคยถูกมองว่าแบน ดังนั้นทุกวันนี้แม้แต่การเคลื่อนย้ายมวลสารธรรมดาก็ยังต้องมีการพิสูจน์ =)

ตาม ทฤษฎีบทที่สองของไวเออร์ชตราส, ต่อเนื่องกันในส่วนใดส่วนหนึ่งฟังก์ชั่นมาถึงแล้ว ขอบเขตบนที่แน่นอนและของคุณ ขอบด้านล่างที่แน่นอน .

หมายเลขนั้นก็ถูกเรียกเช่นกัน ค่าสูงสุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์และเขียนแทนด้วย และตัวเลขคือ ค่าต่ำสุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ทำเครื่องหมาย

ในกรณีของเรา:

บันทึก : ตามทฤษฎีแล้ว การบันทึกเป็นเรื่องธรรมดา .

โดยคร่าวๆ ค่าที่ใหญ่ที่สุดคือจุดที่จุดสูงสุดบนกราฟอยู่ และค่าที่น้อยที่สุดคือจุดที่ต่ำสุด

สำคัญ!ดังที่ได้เน้นย้ำไปแล้วในบทความเกี่ยวกับ สุดขั้วของฟังก์ชัน, ค่าฟังก์ชันสูงสุดและ ค่าฟังก์ชันที่เล็กที่สุด – ไม่เหมือนกัน, อะไร ฟังก์ชั่นสูงสุดและ ฟังก์ชั่นขั้นต่ำ- ดังนั้น ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา ตัวเลขคือค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน แต่ไม่ใช่ค่าต่ำสุด

ยังไงก็ตาม จะเกิดอะไรขึ้นนอกกลุ่ม? ใช่ แม้แต่น้ำท่วม ในบริบทของปัญหาที่กำลังพิจารณา สิ่งนี้ไม่ได้สนใจเราเลย งานนี้เกี่ยวข้องกับการค้นหาตัวเลขสองตัวเท่านั้น และนั่นมัน!

นอกจากนี้การแก้ปัญหายังเป็นการวิเคราะห์ล้วนๆ ไม่จำเป็นต้องวาดรูป!

อัลกอริธึมอยู่บนพื้นผิวและแนะนำตัวเองจากรูปด้านบน:

1) ค้นหาค่าของฟังก์ชันใน จุดวิกฤติ, ซึ่งอยู่ในส่วนนี้.

รับโบนัสอื่น: ที่นี่ไม่จำเป็นต้องตรวจสอบเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับจุดสุดขีด เนื่องจากดังที่แสดงไว้ว่ามีค่าต่ำสุดหรือสูงสุด ยังไม่รับประกัน,ขั้นต่ำคือเท่าไรหรือ ค่าสูงสุด- ฟังก์ชันสาธิตถึงค่าสูงสุด และตามความประสงค์ของโชคชะตา จำนวนเดียวกันคือค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ แต่แน่นอนว่าเรื่องบังเอิญไม่ได้เกิดขึ้นเสมอไป

ดังนั้นในขั้นตอนแรก การคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤตที่เป็นของกลุ่มจะรวดเร็วและง่ายกว่าโดยไม่ต้องกังวลว่าจะมีค่าสุดขีดอยู่หรือไม่

2) เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์

3) ในบรรดาค่าฟังก์ชันที่พบในย่อหน้าที่ 1 และ 2 ให้เลือกค่าที่เล็กที่สุดและมากที่สุด จำนวนมาก, เขียนคำตอบ.

เรานั่งลงบนชายฝั่งทะเลสีฟ้าแล้วตีน้ำตื้นด้วยส้นเท้า:

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

สารละลาย:
1) มาคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤติที่อยู่ในส่วนนี้:

ลองคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤติที่สอง:

2) มาคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์กัน:

3) ผลลัพธ์ "ตัวหนา" ได้มาจากเลขชี้กำลังและลอการิทึม ซึ่งทำให้การเปรียบเทียบซับซ้อนมากขึ้น ด้วยเหตุนี้ เรามาลองใช้เครื่องคิดเลขหรือ Excel และคำนวณค่าโดยประมาณกัน โดยอย่าลืมว่า:

ตอนนี้ทุกอย่างชัดเจน

คำตอบ:

ตัวอย่างตรรกศาสตร์เศษส่วนสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ:

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

กระบวนการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซกเมนต์นั้นชวนให้นึกถึงการบินที่น่าสนใจรอบวัตถุ (กราฟฟังก์ชัน) ในเฮลิคอปเตอร์ ยิงที่จุดใดจุดหนึ่งจากปืนใหญ่ระยะไกลและเลือกจุดที่พิเศษมาก จากจุดเหล่านี้เพื่อควบคุมช็อต คะแนนจะถูกเลือกด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งและตามกฎเกณฑ์บางประการ ตามกฎเกณฑ์อะไร? เราจะพูดถึงเรื่องนี้ต่อไป

ถ้าฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) มีความต่อเนื่องในช่วงเวลา [ ก, ข] ก็มาถึงส่วนนี้ น้อยที่สุด และ ค่าสูงสุด - สิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นได้ทั้งใน จุดสุดขั้วหรือที่ส่วนท้ายของส่วน ดังนั้นจึงต้องหา. น้อยที่สุด และ ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน ต่อเนื่องตามช่วงเวลา [ ก, ข] คุณต้องคำนวณค่าของมันทั้งหมด จุดวิกฤติและที่ส่วนท้ายของส่วน จากนั้นเลือกส่วนที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดจากส่วนเหล่านั้น

ตัวอย่างเช่น คุณต้องการหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน ฉ(x) บนส่วน [ ก, ข- ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องค้นหาจุดวิกฤติทั้งหมดที่วางอยู่บน [ ก, ข] .

จุดวิกฤติ เรียกว่าจุดที่ ฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้และเธอ อนุพันธ์เท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง จากนั้นควรคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤติ และสุดท้าย เราควรเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤติและที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์ ( ฉ(ก) และ ฉ(ข- ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดเหล่านี้จะเป็น ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ [ก, ข] .

ปัญหาในการค้นหา ค่าฟังก์ชันที่เล็กที่สุด .

เรามองหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน [-1, 2] .

สารละลาย. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ ลองเทียบอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ () และรับจุดวิกฤติสองจุด: และ . หากต้องการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันในส่วนที่กำหนดก็เพียงพอที่จะคำนวณค่าที่ส่วนท้ายของส่วนและ ณ จุดนั้นเนื่องจากจุดนั้นไม่ได้อยู่ในส่วน [-1, 2]. ค่าฟังก์ชันเหล่านี้คือ: , , . สืบต่อจากนี้ไปว่า ค่าฟังก์ชันที่เล็กที่สุด(แสดงด้วยสีแดงบนกราฟด้านล่าง) เท่ากับ -7 ทำได้ที่ด้านขวาสุดของส่วน - ที่จุด และ ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด(บนกราฟยังเป็นสีแดง) เท่ากับ 9 - ที่จุดวิกฤติ

ถ้าฟังก์ชันมีความต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่งและช่วงเวลานี้ไม่ใช่เซ็กเมนต์ (แต่คือ ตัวอย่างเช่น ช่วงเวลา ความแตกต่างระหว่างช่วงเวลาและเซ็กเมนต์: จุดขอบเขตของช่วงเวลาจะไม่รวมอยู่ในช่วงเวลา แต่ จุดขอบเขตของเซ็กเมนต์จะรวมอยู่ในเซ็กเมนต์) จากนั้นในบรรดาค่าของฟังก์ชันอาจไม่มีค่าน้อยที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุด ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่แสดงในรูปด้านล่างจะต่อเนื่องกันที่ ]-∞, +∞[ และไม่มีค่าที่มากที่สุด

อย่างไรก็ตาม สำหรับช่วงเวลาใดๆ (ปิด เปิด หรือไม่มีที่สิ้นสุด) คุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่องต่อไปนี้จะเป็นจริง

ตัวอย่างที่ 4 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน [-1, 3] .

สารละลาย. เราพบว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เป็นอนุพันธ์ของผลหาร:

.

เราเทียบอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ ซึ่งให้จุดวิกฤติจุดหนึ่งแก่เรา: มันอยู่ในส่วน [-1, 3] . ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ที่กำหนด เราจะค้นหาค่าของมันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุดวิกฤติที่พบ:

ลองเปรียบเทียบค่าเหล่านี้กัน สรุป: เท่ากับ -5/13 ณ จุดและ มูลค่าสูงสุดเท่ากับ 1 ที่จุด

เรายังคงมองหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันร่วมกันต่อไป

มีครูบางคนในหัวข้อการหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน อย่ายกตัวอย่างให้นักเรียนแก้โจทย์ที่ซับซ้อนกว่าที่เพิ่งพูดถึงไป นั่นคือค่าที่ฟังก์ชันเป็นพหุนามหรือ a เศษส่วนซึ่งมีทั้งเศษและส่วนเป็นพหุนาม แต่เราจะไม่ จำกัด ตัวเองอยู่เพียงตัวอย่างดังกล่าวเนื่องจากในหมู่ครูมีคนที่ชอบบังคับให้นักเรียนคิดให้ครบถ้วน (ตารางอนุพันธ์) ดังนั้นจะใช้ฟังก์ชันลอการิทึมและตรีโกณมิติ

ตัวอย่างที่ 6 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน .

สารละลาย. เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ได้เป็น อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ :

เราถือเอาอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ ซึ่งให้จุดวิกฤติจุดหนึ่ง: มันอยู่ในส่วน ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ที่กำหนด เราจะค้นหาค่าที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุดวิกฤติที่พบ:

ผลลัพธ์ของการกระทำทั้งหมด: ฟังก์ชันถึงค่าต่ำสุดแล้วเท่ากับ 0 ณ จุด และ ณ จุด และ มูลค่าสูงสุด, เท่ากัน จ² ณ จุดนั้น

ตัวอย่างที่ 7 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน .

สารละลาย. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้:

เราถือเอาอนุพันธ์เป็นศูนย์:

จุดวิกฤติเพียงจุดเดียวที่เป็นของกลุ่ม ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ที่กำหนด เราจะค้นหาค่าที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุดวิกฤติที่พบ:

บทสรุป: ฟังก์ชันถึงค่าต่ำสุดแล้ว, เท่ากับ , ณ จุด และ มูลค่าสูงสุดเท่ากัน ณ จุดนั้น

ในปัญหาสุดขั้วที่ใช้ ตามกฎแล้วการค้นหาค่าที่เล็กที่สุด (สูงสุด) ของฟังก์ชันจะลดลงเพื่อค้นหาค่าต่ำสุด (สูงสุด) แต่ไม่ใช่ค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุดที่น่าสนใจในทางปฏิบัติมากกว่า แต่เป็นคุณค่าของการโต้แย้งที่พวกเขาบรรลุผล เมื่อแก้ไขปัญหาที่ใช้จะเกิดปัญหาเพิ่มเติม - การเขียนฟังก์ชันที่อธิบายปรากฏการณ์หรือกระบวนการที่กำลังพิจารณา

ตัวอย่างที่ 8ถังที่มีความจุ 4 ที่มีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและมีฐานสี่เหลี่ยมเปิดด้านบนต้องบรรจุกระป๋อง ถังควรมีขนาดเท่าใดจึงจะใช้วัสดุปิดฝาน้อยที่สุด?

สารละลาย. อนุญาต x- ด้านฐาน ชม.- ความสูงของถัง ส- พื้นที่ผิวไม่มีสิ่งปกคลุม วี- ปริมาณของมัน พื้นที่ผิวของถังแสดงโดยสูตรเช่น เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว เพื่อแสดงออก สในฐานะฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า จากที่ไหน . แทนที่นิพจน์ที่พบ ชม.ลงในสูตรสำหรับ ส:

ลองตรวจสอบฟังก์ชันนี้จนถึงจุดสุดขั้วกัน มันถูกกำหนดและหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ใน ]0, +∞[ และ

.

เราถืออนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ () และค้นหาจุดวิกฤติ นอกจากนี้ เมื่อไม่มีอนุพันธ์อยู่ แต่ค่านี้ไม่รวมอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นจุดสุดขั้วได้ นี่เป็นจุดวิกฤติเพียงจุดเดียว ลองตรวจสอบดูว่ามีสุดขั้วหรือไม่โดยใช้เครื่องหมายเพียงพออันที่สอง ลองหาอนุพันธ์อันดับสองกัน เมื่ออนุพันธ์อันดับสองมีค่ามากกว่าศูนย์ () ซึ่งหมายความว่าเมื่อฟังก์ชันถึงจุดต่ำสุดแล้ว - ตั้งแต่นี้เป็นต้นมา ค่าต่ำสุดคือค่าสูงสุดเพียงค่าเดียวของฟังก์ชันนี้ ซึ่งเป็นค่าที่น้อยที่สุด- ดังนั้นด้านข้างของฐานถังควรเป็น 2 ม. และความสูงควรเป็น .

ตัวอย่างที่ 9จากจุด กตั้งอยู่บนเส้นทางรถไฟถึงจุดนั้น กับซึ่งอยู่ห่างจากที่นั่น ลจะต้องขนส่งสินค้า ค่าใช้จ่ายในการขนส่งหน่วยน้ำหนักต่อหน่วยระยะทางโดยทางรถไฟเท่ากับ และทางทางหลวงเท่ากับ ถึงจุดไหน มเส้น ทางรถไฟควรสร้างทางหลวงเพื่อขนส่งสินค้า กวี กับประหยัดที่สุด (มาตรา เอบีทางรถไฟถือว่าตรง)?