วิธีเลื่อนเวกเตอร์ออกจากจุด การดำเนินการกับเวกเตอร์และสมบัติของเวกเตอร์: การบวกและการคูณ

คำจำกัดความมาตรฐาน: "เวกเตอร์คือส่วนของเส้นตรง" นี่คือขีดจำกัดความรู้ของบัณฑิตเกี่ยวกับเวกเตอร์ ใครต้องการ "กลุ่มที่กำกับ" บ้าง

แต่แท้จริงแล้วเวกเตอร์คืออะไรและทำไมจึงเป็นเช่นนั้น
พยากรณ์อากาศ. "ลมตะวันตกเฉียงเหนือ ความเร็ว 18 เมตรต่อวินาที" ยอมรับทิศทางของลม (ที่พัดมาจาก) และโมดูล (นั่นคือค่าสัมบูรณ์) ของความเร็วก็มีความสำคัญเช่นกัน

ปริมาณที่ไม่มีทิศทางเรียกว่า สเกลาร์ มวล, งาน, ประจุไฟฟ้าไม่ได้ถูกนำไปที่ใด มีลักษณะเป็นค่าตัวเลขเท่านั้น - "กี่กิโลกรัม" หรือ "กี่จูล"

ปริมาณทางกายภาพที่ไม่เพียงแต่มีค่าสัมบูรณ์เท่านั้นแต่ยังมีทิศทางอีกด้วย เรียกว่า ปริมาณเวกเตอร์

ความเร็ว แรง ความเร่ง - เวกเตอร์ สำหรับพวกเขา สิ่งสำคัญคือ "เท่าไหร่" และ "ที่ไหน" เป็นสิ่งสำคัญ ตัวอย่างเช่น ความเร่งของการตกอย่างอิสระมุ่งตรงไปยังพื้นผิวโลก และค่าของมันคือ 9.8 เมตร/วินาที 2 โมเมนตัม ความแรงของสนามไฟฟ้า การเหนี่ยวนำของสนามแม่เหล็กก็เป็นปริมาณเวกเตอร์เช่นกัน

คุณจำได้ว่าปริมาณทางกายภาพแสดงด้วยตัวอักษร ภาษาละตินหรือภาษากรีก ลูกศรเหนือตัวอักษรแสดงว่าปริมาณเป็นเวกเตอร์:

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง
รถกำลังเคลื่อนที่จาก A ไป B ผลลัพธ์ที่ได้คือการเคลื่อนที่จากจุด A ไปยังจุด B นั่นคือ การเคลื่อนที่โดยเวกเตอร์ .

ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนแล้วว่าทำไมเวกเตอร์จึงเป็นส่วนที่กำกับ สังเกตให้ดี จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์คือจุดที่ลูกศรอยู่ ความยาวเวกเตอร์เรียกว่าความยาวของปล้องนี้ กำหนด: หรือ

จนถึงตอนนี้ เราได้ทำงานกับปริมาณสเกลาร์ตามกฎของเลขคณิตและพีชคณิตเบื้องต้น เวกเตอร์เป็นแนวคิดใหม่ นี่คือวัตถุทางคณิตศาสตร์อีกชั้นหนึ่ง พวกเขามีกฎของตัวเอง

กาลครั้งหนึ่งเราไม่รู้เกี่ยวกับตัวเลขด้วยซ้ำ ความคุ้นเคยกับพวกเขาเริ่มขึ้นในระดับประถมศึกษา ปรากฎว่าสามารถเปรียบเทียบตัวเลขบวกลบคูณและหารได้ เราได้เรียนรู้ว่ามีเลขหนึ่งและเลขศูนย์
ตอนนี้เรามารู้จักเวกเตอร์

แนวคิดของ "มากกว่า" และ "น้อยกว่า" ไม่มีอยู่ในเวกเตอร์ ท้ายที่สุด ทิศทางของพวกมันอาจแตกต่างกัน คุณสามารถเปรียบเทียบความยาวของเวกเตอร์ได้เท่านั้น

แต่แนวคิดของความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์คือ
เท่ากันเป็นเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากันและมีทิศทางเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์สามารถเคลื่อนที่ขนานกับตัวเองไปยังจุดใดก็ได้ในระนาบ
เดี่ยวเรียกว่าเวกเตอร์ที่มีความยาว 1 ศูนย์ - เวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับศูนย์ นั่นคือ จุดเริ่มต้นเกิดขึ้นพร้อมกับจุดสิ้นสุด

การทำงานกับเวกเตอร์ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมจะสะดวกที่สุด ซึ่งเป็นระบบที่เราวาดกราฟฟังก์ชัน แต่ละจุดในระบบพิกัดสอดคล้องกับตัวเลขสองตัว - พิกัด x และ y, abscissa และ ordinate
เวกเตอร์ยังได้รับจากสองพิกัด:

ที่นี่ พิกัดของเวกเตอร์ถูกเขียนในวงเล็บ - ใน x และใน y
หาได้ง่าย: พิกัดของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ลบพิกัดของจุดเริ่มต้น

หากกำหนดพิกัดเวกเตอร์ สูตรจะพบความยาวของมัน

การบวกเวกเตอร์

มีสองวิธีในการเพิ่มเวกเตอร์

1 . กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน ในการบวกเวกเตอร์ และ เราวางจุดกำเนิดของทั้งสองที่จุดเดียวกัน เราวาดสี่เหลี่ยมด้านขนานและวาดเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจากจุดเดียวกัน นี่จะเป็นผลรวมของเวกเตอร์และ

จำนิทานเรื่องหงส์ มะเร็ง และหอกได้ไหม? พวกเขาพยายามอย่างมาก แต่ก็ไม่เคยขยับเกวียนเลย ท้ายที่สุด ผลรวมเวกเตอร์ของแรงที่พวกเขาใช้กับรถเข็นนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์

2. วิธีที่สองในการบวกเวกเตอร์คือกฎสามเหลี่ยม ลองหาเวกเตอร์เดียวกัน และ . เราเพิ่มจุดเริ่มต้นของวินาทีที่จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์แรก ตอนนี้เรามาเชื่อมต่อจุดเริ่มต้นของสิ่งแรกและจุดสิ้นสุดของวินาที นี่คือผลรวมของเวกเตอร์และ

ตามกฎเดียวกัน คุณสามารถเพิ่มเวกเตอร์ได้หลายตัว เราแนบพวกมันทีละอันแล้วเชื่อมต่อจุดเริ่มต้นของอันแรกกับจุดสิ้นสุดของอันสุดท้าย

ลองนึกภาพว่าคุณกำลังเดินทางจากจุด A ไปจุด B จาก B ไป C จาก C ไป D แล้วไป E แล้วไป F ผลลัพธ์สุดท้ายของการกระทำเหล่านี้คือการย้ายจาก A ไป F

เมื่อเพิ่มเวกเตอร์แล้วเราจะได้:

การลบเวกเตอร์

เวกเตอร์จะอยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์ ความยาวของเวกเตอร์ และ เท่ากัน

ตอนนี้ชัดเจนว่าการลบเวกเตอร์คืออะไร ผลต่างของเวกเตอร์ และ คือผลรวมของเวกเตอร์และเวกเตอร์

คูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข

การคูณเวกเตอร์ด้วยจำนวน k จะได้เวกเตอร์ที่มีความยาวเป็น k คูณด้วยความยาว มีทิศทางร่วมกับเวกเตอร์ถ้า k มากกว่าศูนย์ และกำกับตรงกันข้ามถ้า k น้อยกว่าศูนย์

ดอทโปรดัคของเวกเตอร์

เวกเตอร์สามารถคูณได้ไม่เพียงแค่ตัวเลขเท่านั้น แต่ยังคูณกันได้ด้วย

ผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์คือผลคูณของความยาวของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน

ให้ความสนใจ - เราคูณเวกเตอร์สองตัวและเราได้สเกลาร์นั่นคือตัวเลข ตัวอย่างเช่น ในวิชาฟิสิกส์ งานเชิงกลมีค่าเท่ากับผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัว นั่นคือ แรงและการกระจัด:

ถ้าเวกเตอร์ตั้งฉาก ผลคูณของดอทจะเป็นศูนย์
และนี่คือวิธีการแสดงผลคูณสเกลาร์ในรูปของพิกัดของเวกเตอร์และ:

จากสูตรผลคูณสเกลาร์ คุณสามารถหามุมระหว่างเวกเตอร์ได้:

สูตรนี้สะดวกเป็นพิเศษในสามมิติ ตัวอย่างเช่น ในปัญหาที่ 14 ของ Profile USE ในวิชาคณิตศาสตร์ คุณต้องหามุมระหว่างเส้นตัดกันหรือระหว่างเส้นกับระนาบ ปัญหา 14 มักจะแก้ไขได้เร็วกว่าปัญหาดั้งเดิมหลายเท่า

ในหลักสูตรของโรงเรียนในวิชาคณิตศาสตร์ มีการศึกษาเฉพาะผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์เท่านั้น
ปรากฎว่า นอกจากสเกลาร์แล้ว ยังมีผลคูณเวกเตอร์ด้วย เมื่อได้เวกเตอร์จากการคูณสองเวกเตอร์ ใครสอบฟิสิกส์ผ่านจะรู้ว่าแรงลอเรนซ์และแรงแอมแปร์คืออะไร สูตรสำหรับการค้นหาแรงเหล่านี้รวมถึงผลคูณของเวกเตอร์

เวกเตอร์เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่มีประโยชน์มาก คุณจะมั่นใจในสิ่งนี้ในหลักสูตรแรก

หน้าที่ 1 จาก 2

คำถามที่ 1.เวกเตอร์คืออะไร? เวกเตอร์ถูกกำหนดอย่างไร?
คำตอบ.เราจะเรียกส่วนที่กำกับว่าเวกเตอร์ (รูปที่ 211) ทิศทางของเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยการระบุจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด ในภาพวาด ทิศทางของเวกเตอร์จะถูกทำเครื่องหมายด้วยลูกศร ในการกำหนดเวกเตอร์ เราจะใช้อักษรละตินตัวพิมพ์เล็ก a, b, c, ... . คุณยังสามารถกำหนดเวกเตอร์ได้ด้วยการระบุจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด ในกรณีนี้ จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์จะถูกวางไว้ในตำแหน่งแรก แทนที่จะเป็นคำว่า "เวกเตอร์" บางครั้งลูกศรหรือเส้นประจะอยู่เหนือชื่อตัวอักษรของเวกเตอร์ เวกเตอร์ในรูป 211 สามารถแสดงได้ดังนี้:

\(\overline(a)\), \(\overrightarrow(a)\) หรือ \(\overline(AB)\), \(\overrightarrow(AB)\)

คำถามที่ 2เวกเตอร์ใดที่เรียกว่ากำกับเท่ากัน (กำกับตรงข้าม)?
คำตอบ.เวกเตอร์ \(\overline(AB)\) และ \(\overline(CD)\) กำกับเท่ากัน ถ้าครึ่งบรรทัด AB และ CD กำกับเท่ากัน
เวกเตอร์ \(\overline(AB)\) และ \(\overline(CD)\) เรียกว่ากำกับตรงกันข้าม ถ้าครึ่งบรรทัด AB และ CD กำกับตรงข้ามกัน
ในรูปที่ 212 เวกเตอร์ \(\overline(a)\) และ \(\overline(b)\) มีทิศทางเดียวกัน ในขณะที่เวกเตอร์ \(\overline(a)\) และ \(\overline(c) \) มีทิศทางตรงกันข้าม

คำถามที่ 3ค่าสัมบูรณ์ของเวกเตอร์คืออะไร?
คำตอบ.ค่าสัมบูรณ์ (หรือโมดูลัส) ของเวกเตอร์คือความยาวของส่วนที่เป็นตัวแทนของเวกเตอร์ ค่าสัมบูรณ์ของเวกเตอร์ \(\overline(a)\) แสดงโดย |\(\overline(a)\)|

คำถามที่ 4เวกเตอร์ว่างคืออะไร?
คำตอบ.จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์สามารถเกิดขึ้นพร้อมกับจุดจบของมัน เวกเตอร์ดังกล่าวจะเรียกว่าเวกเตอร์ศูนย์ เวกเตอร์ศูนย์แสดงด้วยศูนย์ด้วยเส้นประ (\(\overline(0)\)) ไม่มีใครพูดถึงทิศทางของเวกเตอร์ศูนย์ ค่าสัมบูรณ์ของเวกเตอร์ศูนย์ถือว่าเท่ากับศูนย์

คำถามที่ 5.เวกเตอร์ใดที่เรียกว่าเท่ากัน?
คำตอบ.เวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันหากรวมกันโดยการแปลแบบขนาน ซึ่งหมายความว่ามีการแปลแบบคู่ขนานที่ย้ายจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์หนึ่งไปยังจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์อื่น ตามลำดับ

คำถามที่ 6.พิสูจน์ว่าเวกเตอร์ที่เท่ากันมีทิศทางเดียวกันและมีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน และในทางกลับกัน: เวกเตอร์ที่มีทิศทางเท่ากันซึ่งมีค่าเท่ากันในค่าสัมบูรณ์จะเท่ากัน
คำตอบ.ด้วยการแปลแบบคู่ขนาน เวกเตอร์จะรักษาทิศทางของมัน เช่นเดียวกับค่าสัมบูรณ์ ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ที่เท่ากันมีทิศทางเดียวกันและมีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน
ให้ \(\overline(AB)\) และ \(\overline(CD)\) เป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางเท่ากันในค่าสัมบูรณ์ (รูปที่ 213) การแปลแบบคู่ขนานที่นำจุด C ไปยังจุด A รวมซีดีครึ่งบรรทัดกับครึ่งบรรทัด AB เนื่องจากทั้งสองมีทิศทางเท่ากัน และเนื่องจากส่วน AB และ CD เท่ากัน ดังนั้นจุด D จึงตรงกับจุด B นั่นคือ การแปลแบบขนานจะแปลเวกเตอร์ \(\overline(CD)\) เป็นเวกเตอร์ \(\overline(AB)\) ดังนั้น เวกเตอร์ \(\overline(AB)\) และ \(\overline(CD)\) จึงเท่ากัน ตามที่ต้องการ

คำถามที่ 7พิสูจน์ว่าจากจุดใด ๆ เราสามารถวาดเวกเตอร์เท่ากับเวกเตอร์ที่กำหนด และมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น
คำตอบ.ให้ CD เป็นเส้นตรง และเวกเตอร์ \(\overline(CD)\) เป็นส่วนหนึ่งของเส้น CD ให้ AB เป็นเส้นที่บรรทัด CD ตัดระหว่างการแปลแบบขนาน \(\overline(AB)\) เป็นเวกเตอร์ที่เวกเตอร์ \(\overline(CD)\) แทรกระหว่างการแปลแบบขนาน และด้วยเหตุนี้เวกเตอร์ \(\ overline(AB)\) และ \(\overline(CD)\) เท่ากัน และเส้น AB และ CD ขนานกัน (ดูรูปที่ 213) ดังที่เราทราบ ผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นที่กำหนด เป็นไปได้ที่จะวาดบนระนาบได้ไม่เกินหนึ่งเส้นขนานกับเส้นที่กำหนด (สัจพจน์ของเส้นขนาน) ดังนั้นเมื่อผ่านจุด A เราสามารถลากเส้นขนานกับเส้น CD ได้ เนื่องจากเวกเตอร์ \(\overline(AB)\) เป็นส่วนหนึ่งของเส้น AB จึงเป็นไปได้ที่จะวาดเวกเตอร์ \(\overline(AB)\) หนึ่งตัวผ่านจุด A ซึ่งเท่ากับเวกเตอร์ \(\overline (ซีดี)\).

คำถามที่ 8.พิกัดเวกเตอร์คืออะไร? ค่าสัมบูรณ์ของเวกเตอร์ที่มีพิกัด a 1 , a 2 เป็นเท่าใด
คำตอบ.ให้เวกเตอร์ \(\overline(a)\) เริ่มต้นที่จุด A 1 (x 1 ; y 1) และสิ้นสุดที่จุด A 2 (x 2 ; y 2) พิกัดของเวกเตอร์ \(\overline(a)\) จะเป็นตัวเลข a 1 = x 2 - x 1 , a 2 = y 2 - y 1 เราจะใส่พิกัดเวกเตอร์ถัดจากการกำหนดตัวอักษรของเวกเตอร์ ในกรณีนี้ \(\overline(a)\) (a 1 ; a 2) หรือเพียงแค่ \((\overline(a 1 ; a 2 ))\ ). พิกัดเวกเตอร์ศูนย์มีค่าเท่ากับศูนย์
จากสูตรที่แสดงระยะห่างระหว่างจุดสองจุดในแง่ของพิกัด จะได้ว่าค่าสัมบูรณ์ของเวกเตอร์ที่มีพิกัด a 1 , a 2 คือ \(\sqrt(a^2 1 + a^2 2 )\)

คำถามที่ 9พิสูจน์ว่าเวกเตอร์ที่เท่ากันมีพิกัดเท่ากันตามลำดับ และเวกเตอร์ที่มีพิกัดเท่ากันตามลำดับมีค่าเท่ากัน
คำตอบ.ให้ A 1 (x 1 ; y 1) และ A 2 (x 2 ; y 2) เป็นจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ \(\overline(a)\) เนื่องจากเวกเตอร์ \(\overline(a")\) เท่ากับนั้นได้มาจากเวกเตอร์ \(\overline(a)\) โดยการแปลแบบคู่ขนาน ดังนั้นจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของมันจะเป็นตามลำดับ A" 1 (x 1 + c ; y 1 + d ), A" 2 (x 2 + c; y 2 ​​+ d) นี่แสดงให้เห็นว่าทั้งเวกเตอร์ \(\overline(a)\) และ \(\overline(a")\) มี พิกัดเดียวกัน: x 2 - x 1 , y 2 - y 1 .
ให้เราพิสูจน์การยืนยันการสนทนา ให้พิกัดที่ตรงกันของเวกเตอร์ \(\overline(A 1 A 2 )\) และ \(\overline(A" 1 A" 2 )\) เท่ากัน เราพิสูจน์ว่าเวกเตอร์เท่ากัน
ให้ x" 1 และ y" 1 เป็นพิกัดของจุด A" 1 และ x" 2, y" 2 เป็นพิกัดของจุด A" 2 ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท x 2 - x 1 \u003d x "2 - x" 1, y 2 - y 1 \u003d y "2 - y" 1. ดังนั้น x "2 = x 2 + x" 1 - x 1, y" 2 = y 2 + y" 1 - y 1 การแปลแบบขนานที่กำหนดโดยสูตร

x" = x + x" 1 - x 1, y" = y + y" 1 - y 1,

ถ่ายโอนจุด A 1 ไปยังจุด A" 1 และจุด A 2 ไปยังจุด A" 2 เช่น เวกเตอร์ \(\overline(A 1 A 2 )\) และ \(\overline(A" 1 A" 2 )\) เท่ากัน ตามต้องการ

คำถามที่ 10.กำหนดผลรวมของเวกเตอร์
คำตอบ.ผลรวมของเวกเตอร์ \(\overline(a)\) และ \(\overline(b)\) ที่มีพิกัด a 1 , a 2 และ b 1 , b 2 คือเวกเตอร์ \(\overline(c)\) ที่มี พิกัด a 1 + b 1 , a 2 + b a 2 , เช่น

\(\overline(a) (a 1 ; a 2) + \overline(b)(b 1 ; b 2) = \overline(c) (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2)\)

ปริมาณทางกายภาพบางอย่าง เช่น แรงหรือความเร็ว ไม่เพียงแต่แสดงค่าเป็นตัวเลขเท่านั้น แต่ยังแสดงตามทิศทางด้วย ปริมาณดังกล่าวเรียกว่าปริมาณเวกเตอร์: ฉ⃗ - ความแข็งแกร่ง โวลต์⃗ - ความเร็ว
ให้เราให้คำจำกัดความทางเรขาคณิตของเวกเตอร์
เวกเตอร์ มีการเรียกเซ็กเมนต์ซึ่งระบุว่าจุดใดของขอบเขตถือเป็นจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด
ในภาพวาด เวกเตอร์จะแสดงเป็นส่วนของเส้นตรงโดยมีลูกศรระบุจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ เวกเตอร์จะแสดงด้วยตัวอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่สองตัวโดยมีลูกศรอยู่ด้านบน ตัวอักษรตัวแรกระบุจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ตัวที่สอง - จุดสิ้นสุด

เวกเตอร์สามารถแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์เล็กตัวเดียวโดยมีลูกศรอยู่ด้านบน

ความยาวของเวกเตอร์คือความยาวของส่วนที่แทนเวกเตอร์นี้ วงเล็บแนวตั้งใช้เพื่อระบุความยาวของเวกเตอร์
เวกเตอร์ที่จุดสิ้นสุดเหมือนกับจุดเริ่มต้นเรียกว่า ศูนย์ เวกเตอร์ เวกเตอร์ศูนย์แสดงด้วยจุดและแสดงด้วยตัวอักษรที่เหมือนกันสองตัวหรือศูนย์ที่มีลูกศรอยู่ด้านบน ความยาวของเวกเตอร์ศูนย์เท่ากับศูนย์: |0 ⃗|= 0

มาแนะนำแนวคิด คอลิเนียร์ เวกเตอร์ เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เรียกว่า collinear หากอยู่บนเส้นตรงเดียวกันหรือเส้นขนาน เวกเตอร์ศูนย์ถือว่าใกล้เคียงกับเวกเตอร์ใดๆ

หากเวกเตอร์คอลลิเนียร์ที่ไม่ใช่ศูนย์มีทิศทางเดียวกัน เวกเตอร์ดังกล่าวจะมีทิศทางร่วม ถ้าทิศทางตรงข้ามกัน ก็เรียกว่าสวนทางกัน
มีสัญลักษณ์พิเศษสำหรับกำหนดเวกเตอร์ที่กำกับร่วมและกำกับตรงกันข้าม:
- ม ⃗ ร⃗ ถ้าเวกเตอร์ ม⃗ และ ร⃗ กำกับร่วม;
- ม ⃗ ↓ น⃗ ถ้าเวกเตอร์ ม⃗ และ น⃗ กำกับตรงข้าม
พิจารณาการเคลื่อนที่ของรถ ความเร็วของแต่ละจุดเป็นปริมาณเวกเตอร์และแสดงโดยส่วนกำกับ เนื่องจากทุกจุดของรถเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่ากัน ส่วนที่กำกับทั้งหมดแทนความเร็วของจุดต่างๆ จึงมีทิศทางเดียวกันและมีความยาวเท่ากัน ตัวอย่างนี้ให้คำแนะนำแก่เราเกี่ยวกับวิธีพิจารณาว่าเวกเตอร์เท่ากันหรือไม่
เวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันหากพวกมันอยู่ในทิศทางเดียวกันและความยาวเท่ากัน ความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์สามารถเขียนได้โดยใช้เครื่องหมายเท่ากับ: ก ⃗ = ข ⃗, คฮ ⃗ = สพป ⃗
ถ้าจุด รเริ่มต้นเวกเตอร์ ร⃗ แล้วเราถือว่าเวกเตอร์นั้น ร⃗ เลื่อนออกจากประเด็น ร.

ให้เราพิสูจน์ว่าจากจุดใด เกี่ยวกับคุณสามารถแยกเวกเตอร์เท่ากับเวกเตอร์ที่กำหนด ร⃗ และมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น

การพิสูจน์:
1) ถ้า ร⃗ คือเวกเตอร์ศูนย์ แล้ว OO ⃗ = ร ⃗.
2) ถ้าเวกเตอร์ ร⃗ ไม่เป็นศูนย์ จุด รคือจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์นี้, และจุด ต- จบ.
ผ่านจุด เกี่ยวกับตรงขนาน RT. บนเส้นตรงที่สร้างขึ้น เราแยกส่วนต่างๆ ออก สสจ 1 และ สสจ 2 เท่ากับส่วน RT.

เลือกจากเวกเตอร์ สสจ 1 และ สสจเวกเตอร์ 2 ตัวที่มีทิศทางร่วมกับเวกเตอร์ ร⃗. ในรูปวาดของเรา นี่คือเวกเตอร์ สสจ 1 . เวกเตอร์นี้จะเท่ากับเวกเตอร์ ร⃗. ตามมาจากการก่อสร้างที่เวกเตอร์ดังกล่าวไม่ซ้ำกัน

ก่อนที่จะดำเนินการตามหัวข้อของบทความ เราระลึกถึงแนวคิดพื้นฐาน

คำจำกัดความ 1

เวกเตอร์- ส่วนของเส้นตรงที่โดดเด่นด้วยค่าตัวเลขและทิศทาง เวกเตอร์จะแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์เล็กโดยมีลูกศรอยู่ด้านบน หากมีจุดขอบเขตเฉพาะ การกำหนดเวกเตอร์จะดูเหมือนตัวอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่สองตัว (ทำเครื่องหมายขอบเขตของเวกเตอร์) และมีลูกศรอยู่ด้านบน

คำจำกัดความ 2

เวกเตอร์ศูนย์- จุดใด ๆ ของระนาบแสดงเป็นศูนย์ด้วยลูกศรด้านบน

นิยาม 3

ความยาวเวกเตอร์- ค่าที่เท่ากับหรือมากกว่าศูนย์ ซึ่งกำหนดความยาวของส่วนที่ประกอบเป็นเวกเตอร์

ความหมาย 4

เวกเตอร์คอลลิเนียร์- นอนบนเส้นเดียวหรือเส้นขนาน เวกเตอร์ที่ไม่ตรงตามเงื่อนไขนี้เรียกว่า non-collinear

อินพุต: เวกเตอร์ ก →และ ข →. ในการดำเนินการเพิ่มเติมกับพวกเขาจำเป็นต้องเลื่อนเวกเตอร์ออกจากจุดโดยพลการ เอ บี →เท่ากับเวกเตอร์ ก →; จากจุดที่ได้รับไม่ได้กำหนด - เวกเตอร์ ใน C →เท่ากับเวกเตอร์ ข →. โดยการเชื่อมต่อจุดที่ไม่ได้กำหนดและ C เราจะได้ส่วน (เวกเตอร์) เอซี →ซึ่งจะเป็นผลรวมของข้อมูลเดิม มิฉะนั้น จะเรียกรูปแบบการเพิ่มเวกเตอร์ที่อธิบายไว้ กฎสามเหลี่ยม

ในทางเรขาคณิต การบวกเวกเตอร์มีลักษณะดังนี้:

สำหรับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เส้นตรง:

สำหรับเวกเตอร์ collinear (ทิศทางร่วมหรือตรงข้าม):

จากโครงร่างที่อธิบายไว้ข้างต้นเป็นพื้นฐาน เราได้รับโอกาสในการดำเนินการเพิ่มเวกเตอร์มากกว่า 2 ตัว: เพิ่มเวกเตอร์ที่ตามมาแต่ละตัวตามลำดับ

คำจำกัดความ 6

อินพุต: เวกเตอร์ ก → , ข → , ค →, ง → . จากจุด A บนระนาบโดยพลการจำเป็นต้องแยกส่วน (เวกเตอร์) เท่ากับเวกเตอร์ ก →; จากนั้น จากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ผลลัพธ์ เวกเตอร์เท่ากับเวกเตอร์ ข →; เพิ่มเติม - เวกเตอร์ที่ตามมาจะถูกเลื่อนออกไปตามหลักการเดียวกัน จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่เลื่อนล่าสุดจะเป็นจุด B และส่วนผลลัพธ์ (เวกเตอร์) เอ บี →- ผลรวมของข้อมูลเริ่มต้นทั้งหมด โครงร่างที่อธิบายไว้สำหรับการเพิ่มเวกเตอร์หลายตัวเรียกอีกอย่างว่า กฎรูปหลายเหลี่ยม .

ในทางเรขาคณิต ดูเหมือนว่า:

คำจำกัดความ 7

รูปแบบการดำเนินการแยกต่างหากสำหรับ การลบเวกเตอร์ไม่เพราะ อันที่จริงแล้วผลต่างของเวกเตอร์ ก →และ ข →เป็นผลรวมของเวกเตอร์ ก →และ - ข → .

ในการดำเนินการคูณเวกเตอร์ด้วยจำนวน k จะต้องคำนึงถึงกฎต่อไปนี้:
- ถ้า k > 1 ตัวเลขนี้จะยืดเวกเตอร์ออกไป k เท่า
- ถ้า 0< k < 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1k ครั้ง;
- ถ้า k< 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
- ถ้า k = 1 เวกเตอร์จะยังคงเหมือนเดิม
- ถ้าตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งเป็นเวกเตอร์ศูนย์หรือจำนวนเท่ากับศูนย์ ผลลัพธ์ของการคูณจะเป็นเวกเตอร์ศูนย์

ข้อมูลเริ่มต้น:
1) เวกเตอร์ ก →และจำนวน k = 2;
2) เวกเตอร์ ข →และหมายเลข k = - 1 3 .

ในทางเรขาคณิต ผลลัพธ์ของการคูณตามกฎข้างต้นจะมีลักษณะดังนี้:

การดำเนินการกับเวกเตอร์ที่อธิบายไว้ข้างต้นมีคุณสมบัติ ซึ่งบางอย่างก็ชัดเจน ในขณะที่อย่างอื่นสามารถพิสูจน์ได้ทางเรขาคณิต

อินพุต: เวกเตอร์ ก → , ข → , ค →และจำนวนจริงโดยพลการ λ และ μ

คุณสมบัติของการแลกเปลี่ยนและการเชื่อมโยงทำให้สามารถเพิ่มเวกเตอร์ในลำดับใดก็ได้

คุณสมบัติที่ระบุไว้ของการดำเนินการช่วยให้สามารถแปลงนิพจน์เชิงตัวเลขเวกเตอร์ที่จำเป็นได้ในลักษณะเดียวกับตัวเลขปกติ ลองดูตัวอย่างนี้

ตัวอย่างที่ 1

งาน:ลดความซับซ้อนของนิพจน์ a → - 2 (b → + 3 a →)
สารละลาย
- ใช้คุณสมบัติการแจกแจงที่สอง เราได้รับ: a → - 2 (b → + 3 a →) = a → - 2 b → - 2 (3 a →)
- ใช้คุณสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณ นิพจน์จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: a → - 2 b → - 2 (3 a →) = a → - 2 b → - (2 3) a → = a → - 2 b → - 6 ก →
- ใช้คุณสมบัติการสลับสับเปลี่ยนเงื่อนไข: a → - 2 b → - 6 a → = a → - 6 a → - 2 b →
- จากนั้นตามคุณสมบัติการกระจายตัวแรก เราได้รับ: a → - 6 a → - 2 b → = (1 - 6) a → - 2 b → = - 5 a → - 2 b → บันทึกสั้น ๆ ของการแก้ปัญหา จะมีลักษณะดังนี้: a → - 2 (b → + 3 a →) = a → - 2 b → - 2 3 a → = 5 a → - 2 b →
คำตอบ: a → - 2 (b → + 3 a →) = - 5 a → - 2 b →

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเน้นข้อความนั้นแล้วกด Ctrl+Enter

ความรู้และทักษะที่ได้รับในบทเรียนนี้จะเป็นประโยชน์กับนักเรียนไม่เพียงแต่ในบทเรียนเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังรวมถึงในชั้นเรียนในสาขาวิทยาศาสตร์อื่นๆ ด้วย ระหว่างบทเรียน นักเรียนจะได้เรียนรู้วิธีการลงจุดเวกเตอร์จากจุดที่กำหนดให้ อาจเป็นบทเรียนเรขาคณิตปกติ เช่นเดียวกับชั้นเรียนคณิตศาสตร์นอกหลักสูตรหรือนอกหลักสูตร การพัฒนานี้จะช่วยให้ครูประหยัดเวลาในการเตรียมตัวสำหรับบทเรียนในหัวข้อ "การหน่วงเวลาเวกเตอร์จากจุดที่กำหนด" มันจะเพียงพอสำหรับเขาที่จะเล่นบทเรียนวิดีโอในชั้นเรียน จากนั้นรวมเนื้อหาเข้ากับแบบฝึกหัดที่เขาเลือกเอง

ระยะเวลาบทเรียนใช้เวลาเพียง 1:44 นาที แต่นี่ก็เพียงพอแล้วที่จะสอนเด็กนักเรียนให้เลื่อนเวกเตอร์ออกจากจุดที่กำหนด

บทเรียนเริ่มต้นด้วยการสาธิตเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นในบางจุด พวกเขาบอกว่าเวกเตอร์ถูกเลื่อนออกไป จากนั้นผู้เขียนเสนอที่จะพิสูจน์ร่วมกับเขาในข้อความตามที่เวกเตอร์เท่ากับที่กำหนดและยิ่งไปกว่านั้นสามารถดึงเอกลักษณ์จากจุดใดก็ได้ ในระหว่างการพิสูจน์ผู้เขียนจะพิจารณาแต่ละกรณีโดยละเอียด ประการแรก ต้องใช้สถานการณ์เมื่อเวกเตอร์ที่กำหนดเป็นศูนย์ และประการที่สอง เมื่อเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ ในระหว่างการพิสูจน์ มีการใช้ภาพประกอบในรูปแบบของภาพวาดและโครงสร้าง สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งก่อให้เกิดความรู้ทางคณิตศาสตร์ในหมู่เด็กนักเรียน ผู้เขียนพูดช้าๆ ซึ่งทำให้นักเรียนสามารถจดบันทึกไปพร้อมๆ กันในขณะแสดงความคิดเห็น การก่อสร้างดำเนินการโดยผู้เขียนในระหว่างการพิสูจน์คำสั่งที่กำหนดสูตรไว้ก่อนหน้านี้ แสดงให้เห็นว่าเวกเตอร์ที่เท่ากับค่าที่กำหนดสามารถสร้างจากจุดใดจุดหนึ่งได้อย่างไร

หากนักเรียนดูบทเรียนอย่างระมัดระวังและจดบันทึกในเวลาเดียวกัน พวกเขาจะเรียนรู้เนื้อหาได้อย่างง่ายดาย อีกทั้งผู้เขียนยังเล่าได้ละเอียด วัดใจ และค่อนข้างครบถ้วน หากคุณไม่ได้ยินด้วยเหตุผลบางประการ คุณสามารถย้อนกลับไปดูบทเรียนอีกครั้งได้

หลังจากดูวิดีโอสอนแล้ว ขอแนะนำให้เริ่มแก้ไขเนื้อหา ขอแนะนำให้ครูเลือกงานในหัวข้อนี้เพื่อใช้ทักษะในการเลื่อนเวกเตอร์ออกจากจุดที่กำหนด

บทเรียนนี้สามารถใช้สำหรับการศึกษาหัวข้อด้วยตนเองโดยนักเรียน แต่ในการรวมคุณต้องติดต่อครูเพื่อให้เขาเลือกงานที่เหมาะสม แท้จริงแล้ว หากไม่มีการรวมเนื้อหาเข้าด้วยกัน เป็นเรื่องยากที่จะได้ผลลัพธ์เชิงบวกในการฝึกอบรม