วิธีค้นหา a ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต

หรือเลขคณิต - นี่คือประเภทของคำสั่ง ลำดับหมายเลขคุณสมบัติที่ได้รับการศึกษาในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียน บทความนี้จะกล่าวถึงรายละเอียดเกี่ยวกับวิธีค้นหาจำนวนเงิน ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.

นี่มันก้าวหน้าขนาดไหนเนี่ย?

ก่อนที่จะไปยังคำถาม (วิธีค้นหาผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์) ควรทำความเข้าใจกับสิ่งที่เรากำลังพูดถึง

ลำดับของจำนวนจริงใดๆ ที่ได้รับโดยการบวก (ลบ) ค่าบางส่วนจากจำนวนก่อนหน้าแต่ละตัว เรียกว่าความก้าวหน้าทางพีชคณิต (เลขคณิต) คำจำกัดความนี้เมื่อแปลเป็นภาษาคณิตศาสตร์จะอยู่ในรูปแบบ:

นี่ฉัน- หมายเลขซีเรียลองค์ประกอบของซีรีส์ a i ดังนั้นเมื่อทราบหมายเลขเริ่มต้นเพียงหมายเลขเดียว คุณจึงสามารถกู้คืนทั้งชุดได้อย่างง่ายดาย พารามิเตอร์ d ในสูตรเรียกว่าผลต่างของความก้าวหน้า

สามารถแสดงได้อย่างง่ายดายว่าสำหรับชุดตัวเลขที่พิจารณาจะมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

n = a 1 + d * (n - 1)

กล่าวคือ หากต้องการค้นหาค่าขององค์ประกอบที่ n ตามลำดับ คุณควรบวกผลต่าง d เข้ากับองค์ประกอบแรกด้วย 1 n-1 คูณ

ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร: สูตร

ก่อนที่จะให้สูตรตามจำนวนที่ระบุควรพิจารณาง่ายๆ ก่อน กรณีพิเศษ- ความก้าวหน้าจะได้รับ ตัวเลขธรรมชาติจาก 1 ถึง 10 คุณต้องหาผลรวมของมัน เนื่องจากมีคำศัพท์ไม่กี่คำในการก้าวหน้า (10) จึงเป็นไปได้ที่จะแก้ปัญหาแบบตรงหน้า กล่าวคือ รวมองค์ประกอบทั้งหมดตามลำดับ

ส 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55

สิ่งหนึ่งที่ควรพิจารณา สิ่งที่น่าสนใจ: เนื่องจากแต่ละเทอมแตกต่างจากเทอมถัดไปด้วยค่าเดียวกัน d = 1 ดังนั้นผลบวกเป็นคู่ของเทอมแรกกับเทอมที่ 10 เทอมที่สองกับเทอมเก้า และอื่นๆ จะให้ผลลัพธ์เดียวกัน จริงหรือ:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

อย่างที่คุณเห็นมีเพียง 5 ผลรวมเหล่านี้ซึ่งน้อยกว่าจำนวนองค์ประกอบของชุดข้อมูลถึงสองเท่า จากนั้นคูณจำนวนผลรวม (5) ด้วยผลลัพธ์ของแต่ละผลรวม (11) คุณจะได้ผลลัพธ์ที่ได้รับในตัวอย่างแรก

หากเราสรุปข้อโต้แย้งเหล่านี้ เราสามารถเขียนนิพจน์ต่อไปนี้:

S n = n * (ก 1 + n) / 2

นิพจน์นี้แสดงให้เห็นว่าไม่จำเป็นเลยที่จะรวมองค์ประกอบทั้งหมดในแถว เพียงเท่านี้ก็เพียงพอที่จะทราบค่าของ a 1 และสุดท้าย a n เช่นเดียวกับ จำนวนทั้งหมดเงื่อนไขไม่มี

เชื่อกันว่าเกาส์เป็นคนแรกที่คิดถึงความเท่าเทียมกันนี้เมื่อเขากำลังมองหาวิธีแก้ไขปัญหาที่กำหนด ครูโรงเรียนงาน: รวมจำนวนเต็ม 100 ตัวแรก

ผลรวมขององค์ประกอบจาก m ถึง n: สูตร

สูตรที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ตอบคำถามว่าจะหาผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้อย่างไร (องค์ประกอบแรก) แต่บ่อยครั้งที่มีปัญหาจำเป็นต้องรวมชุดตัวเลขไว้ตรงกลางของความก้าวหน้า วิธีการทำเช่นนี้?

วิธีที่ง่ายที่สุดในการตอบคำถามนี้คือการพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ ปล่อยให้จำเป็นต้องค้นหาผลรวมของคำศัพท์ตั้งแต่เดือนถึงอันดับที่ n ในการแก้ปัญหา คุณควรแสดงส่วนที่กำหนดตั้งแต่ m ถึง n ของความก้าวหน้าเป็นอันใหม่ ชุดตัวเลข- ในเรื่องนี้ การเป็นตัวแทน mคำว่า a m จะเป็นคำแรก และ n จะเป็นหมายเลข n-(m-1) ในกรณีนี้ เมื่อใช้สูตรมาตรฐานสำหรับผลรวม จะได้นิพจน์ต่อไปนี้:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2

ตัวอย่างการใช้สูตร

เมื่อทราบวิธีหาผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว ควรพิจารณาตัวอย่างง่ายๆ ของการใช้สูตรข้างต้น

ด้านล่างนี้เป็นลำดับตัวเลข คุณควรหาผลรวมของคำศัพท์ โดยเริ่มจากอันดับที่ 5 และลงท้ายด้วยอันดับที่ 12:

ตัวเลขที่ระบุระบุว่าส่วนต่าง d เท่ากับ 3 การใช้นิพจน์สำหรับองค์ประกอบที่ n คุณสามารถค้นหาค่าของเงื่อนไขที่ 5 และ 12 ของความก้าวหน้าได้ ปรากฎว่า:

5 = 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

12 = 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29

การทราบค่าของตัวเลขที่ส่วนท้ายของความก้าวหน้าทางพีชคณิตที่กำลังพิจารณารวมถึงการรู้ว่าตัวเลขใดในชุดข้อมูลที่พวกเขาครอบครองคุณสามารถใช้สูตรสำหรับผลรวมที่ได้รับในย่อหน้าก่อนหน้า ปรากฎว่า:

ส 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148

เป็นที่น่าสังเกตว่าค่านี้สามารถหาได้แตกต่างออกไป ขั้นแรกให้หาผลรวมขององค์ประกอบ 12 องค์ประกอบแรกโดยใช้สูตรมาตรฐาน จากนั้นคำนวณผลรวมขององค์ประกอบ 4 รายการแรกโดยใช้สูตรเดียวกัน จากนั้นลบองค์ประกอบที่สองจากผลรวมแรก

ใช่ ใช่: ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่ของเล่นสำหรับคุณ :)

เพื่อน ๆ หากคุณกำลังอ่านข้อความนี้ หลักฐานแคปภายในบอกฉันว่าคุณยังไม่รู้ว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร แต่คุณจริงๆ (ไม่ แบบนี้: SOOOOO!) อยากรู้จริงๆ ดังนั้นฉันจะไม่ทรมานคุณด้วยการแนะนำที่ยาวและจะตรงประเด็น

ขั้นแรก ยกตัวอย่างบางส่วน ลองดูตัวเลขหลายชุด:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

ชุดนี้มีอะไรเหมือนกันบ้าง? เมื่อมองแวบแรกไม่มีอะไร แต่จริงๆ แล้วมีอะไรบางอย่าง กล่าวคือ: แต่ละองค์ประกอบถัดไปจะแตกต่างจากองค์ประกอบก่อนหน้าด้วยหมายเลขเดียวกัน.

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง ชุดแรกเป็นเพียงตัวเลขที่ต่อเนื่องกัน โดยแต่ละชุดถัดไปจะมากกว่าชุดก่อนหน้าหนึ่งตัว ในกรณีที่สอง ความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่อยู่ติดกันคือ 5 อยู่แล้ว แต่ความแตกต่างนี้ยังคงเป็นค่าคงที่ ในกรณีที่สาม มีรากทั้งหมด อย่างไรก็ตาม $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ และ $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$ เช่น และในกรณีนี้ แต่ละองค์ประกอบถัดไปก็จะเพิ่มขึ้นเพียง $\sqrt(2)$ (และอย่ากลัวว่าจำนวนนี้จะไม่มีเหตุผล)

ดังนั้น: ลำดับดังกล่าวทั้งหมดเรียกว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ให้คำจำกัดความที่เข้มงวด:

คำนิยาม. ลำดับของตัวเลขที่แต่ละตัวถัดไปแตกต่างจากตัวเลขก่อนหน้าด้วยจำนวนที่เท่ากันทุกประการ เรียกว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ จำนวนที่ตัวเลขแตกต่างกันมากเรียกว่าผลต่างของความก้าวหน้า และส่วนใหญ่มักแสดงด้วยตัวอักษร $d$

สัญลักษณ์: $\left(((a)_(n)) \right)$ คือความก้าวหน้าของมันเอง $d$ คือความแตกต่าง

และบันทึกสำคัญสองสามข้อ ประการแรกจะพิจารณาเฉพาะความก้าวหน้าเท่านั้น สั่งลำดับของตัวเลข: อนุญาตให้อ่านอย่างเคร่งครัดตามลำดับที่เขียน - และไม่มีอะไรอื่นอีก ไม่สามารถจัดเรียงหรือสลับหมายเลขได้

ประการที่สอง ลำดับนั้นสามารถเป็นได้ทั้งแบบจำกัดหรืออนันต์ ตัวอย่างเช่น เซต (1; 2; 3) เห็นได้ชัดว่าเป็นการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีขอบเขตจำกัด แต่ถ้าคุณเขียนอะไรบางอย่างด้วยจิตวิญญาณ (1; 2; 3; 4; ...) - นี่เป็นความก้าวหน้าที่ไม่มีที่สิ้นสุดอยู่แล้ว จุดไข่ปลาหลังสี่ดูเหมือนจะบอกเป็นนัยว่ายังมีตัวเลขอีกสองสามตัวที่จะตามมา มากมายนับไม่ถ้วน เป็นต้น :)

ฉันอยากจะทราบด้วยว่าความก้าวหน้าสามารถเพิ่มขึ้นหรือลดลงได้ เราได้เห็นอันที่เพิ่มขึ้นแล้ว - ชุดเดียวกัน (1; 2; 3; 4; ...) นี่คือตัวอย่างของความก้าวหน้าที่ลดลง:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

โอเค โอเค ตัวอย่างสุดท้ายอาจดูซับซ้อนเกินไป แต่ที่เหลือผมคิดว่าคุณเข้าใจ ดังนั้นเราจึงแนะนำคำจำกัดความใหม่:

คำนิยาม. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เรียกว่า:

1. เพิ่มขึ้นหากแต่ละองค์ประกอบถัดไปมากกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า
2. ลดลง ในทางกลับกัน หากแต่ละองค์ประกอบที่ตามมาน้อยกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า

นอกจากนี้ยังมีสิ่งที่เรียกว่าลำดับ "คงที่" ซึ่งประกอบด้วยหมายเลขซ้ำเดียวกัน ตัวอย่างเช่น (3; 3; 3; ...)

เหลือเพียงคำถามเดียว: จะแยกแยะความก้าวหน้าที่เพิ่มขึ้นจากความก้าวหน้าที่ลดลงได้อย่างไร? โชคดีที่ทุกอย่างที่นี่ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของตัวเลข $d$ เท่านั้น เช่น ความแตกต่างของความก้าวหน้า:

1. ถ้า $d \gt 0$ ความก้าวหน้าจะเพิ่มขึ้น
2. ถ้า $d \lt 0$ แสดงว่าความก้าวหน้าลดลงอย่างเห็นได้ชัด
3. ท้ายที่สุด มีกรณี $d=0$ - ในกรณีนี้ความก้าวหน้าทั้งหมดจะลดลงเหลือลำดับที่คงที่ซึ่งมีตัวเลขเหมือนกัน: (1; 1; 1; 1; ...) เป็นต้น

ลองคำนวณส่วนต่าง $d$ สำหรับความก้าวหน้าที่ลดลงสามรายการข้างต้น ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะนำองค์ประกอบสองรายการที่อยู่ติดกัน (เช่นองค์ประกอบที่หนึ่งและที่สอง) แล้วลบตัวเลขทางด้านซ้ายจากตัวเลขทางด้านขวา มันจะมีลักษณะเช่นนี้:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

ดังที่เราเห็นในทั้งสามกรณี ความแตกต่างกลายเป็นลบจริงๆ และตอนนี้เมื่อเราเข้าใจคำจำกัดความไม่มากก็น้อยแล้ว ก็ถึงเวลาที่จะพิจารณาว่ามีการอธิบายความก้าวหน้าอย่างไรและมีคุณสมบัติใดบ้าง

เงื่อนไขความก้าวหน้าและสูตรการเกิดซ้ำ

เนื่องจากองค์ประกอบของลำดับของเราไม่สามารถสลับได้ จึงสามารถกำหนดหมายเลขได้:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \ขวา\)\]

องค์ประกอบแต่ละส่วนของชุดนี้เรียกว่าสมาชิกของความก้าวหน้า โดยระบุด้วยตัวเลข: สมาชิกตัวแรก สมาชิกคนที่สอง ฯลฯ

นอกจากนี้ดังที่เราทราบแล้วว่าเงื่อนไขใกล้เคียงของความก้าวหน้านั้นสัมพันธ์กันโดยสูตร:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\ลูกศรขวา ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

กล่าวโดยสรุป หากต้องการค้นหาระยะ $n$th ของความก้าวหน้า คุณต้องรู้ระยะ $n-1$th และส่วนต่าง $d$ สูตรนี้เรียกว่าเกิดซ้ำ เนื่องจากด้วยความช่วยเหลือนี้ คุณสามารถค้นหาตัวเลขใดๆ ก็ได้โดยการรู้ตัวเลขก่อนหน้าเท่านั้น (และอันที่จริงคือตัวเลขก่อนหน้าทั้งหมด) สิ่งนี้ไม่สะดวกมากดังนั้นจึงมีสูตรที่ฉลาดกว่าซึ่งจะลดการคำนวณใด ๆ ลงเหลือเพียงเทอมแรกและความแตกต่าง:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

คุณคงเคยเจอสูตรนี้มาแล้ว พวกเขาชอบใส่ไว้ในหนังสืออ้างอิงและหนังสือแก้ปัญหาทุกประเภท และในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ที่สมเหตุสมผลเล่มใดเล่มหนึ่งก็เป็นหนึ่งในหนังสือเรียนเล่มแรกๆ

อย่างไรก็ตาม ฉันขอแนะนำให้คุณฝึกฝนสักหน่อย

ภารกิจที่ 1 เขียนสามเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$

สารละลาย. ดังนั้นเราจึงรู้เทอมแรก $((a)_(1))=8$ และผลต่างของความก้าวหน้า $d=-5$ ลองใช้สูตรที่เพิ่งให้มาและแทนที่ $n=1$, $n=2$ และ $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(จัดแนว)\]

คำตอบ: (8; 3; −2)

แค่นั้นแหละ! โปรดทราบ: ความก้าวหน้าของเราลดลง

แน่นอนว่า $n=1$ ไม่สามารถทดแทนได้ - เรารู้จักเทอมแรกอยู่แล้ว อย่างไรก็ตาม โดยการแทนที่ความสามัคคี เรามั่นใจว่าแม้ในระยะแรกสูตรของเราก็ยังใช้ได้ ในกรณีอื่น ๆ ทุกอย่างล้วนเป็นเรื่องเลขคณิตซ้ำซาก

ภารกิจที่ 2 เขียนสามเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ลงไป ถ้าเทอมที่เจ็ดเท่ากับ −40 และเทอมที่สิบเจ็ดเท่ากับ −50

สารละลาย. ลองเขียนเงื่อนไขของปัญหาด้วยเงื่อนไขที่คุ้นเคย:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \ขวา.\]

ฉันใส่เครื่องหมายระบบเพราะจะต้องปฏิบัติตามข้อกำหนดเหล่านี้พร้อมกัน ตอนนี้ โปรดทราบว่าถ้าเราลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง (เรามีสิทธิ์ที่จะทำเช่นนี้ เนื่องจากเรามีระบบ) เราจะได้สิ่งนี้:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((ก)_(1))+16d-((ก)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&ง=-1. \\ \end(จัดแนว)\]

นั่นเป็นวิธีที่ง่ายในการค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า! สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่ตัวเลขที่พบลงในสมการใดๆ ของระบบ ตัวอย่างเช่น ในตอนแรก:

\[\begin(เมทริกซ์) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((ก)_(1))=-40+6=-34 \\ \end(เมทริกซ์)\]

ตอนนี้เมื่อรู้เทอมแรกและความแตกต่างแล้ว ยังคงต้องค้นหาเทอมที่สองและสาม:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((ก)_(3))=((ก)_(1))+2d=-34-2=-36 \\ \end(จัดแนว)\]

พร้อม! ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

คำตอบ: (−34; −35; −36)

สังเกตคุณสมบัติที่น่าสนใจของความก้าวหน้าที่เราค้นพบ: ถ้าเรานำเทอม $n$th และ $m$th มาลบออกจากกัน เราจะได้ผลต่างของความก้าวหน้าคูณด้วยตัวเลข $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

เรียบง่ายแต่มาก ทรัพย์สินที่มีประโยชน์ซึ่งคุณต้องรู้อย่างแน่นอน - ด้วยความช่วยเหลือคุณสามารถเร่งการแก้ปัญหาความก้าวหน้าหลายอย่างได้อย่างมาก ที่นี่ สดใสนั่นตัวอย่าง:

ภารกิจที่ 3 เทอมที่ห้าของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือ 8.4 และเทอมที่สิบคือ 14.4 ค้นหาระยะที่สิบห้าของความก้าวหน้านี้

สารละลาย. เนื่องจาก $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ และเราจำเป็นต้องค้นหา $((a)_(15))$ เราจึงสังเกตสิ่งต่อไปนี้:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((ก)_(10))-((ก)_(5))=5d \\ \end(จัดแนว)\]

แต่ตามเงื่อนไข $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ ดังนั้น $5d=6$ ซึ่งเรามี:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((ก)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(จัดแนว)\]

คำตอบ: 20.4

แค่นั้นแหละ! เราไม่จำเป็นต้องสร้างระบบสมการใดๆ และคำนวณเทอมแรกและผลต่าง - ทุกอย่างแก้ไขได้ภายในสองสามบรรทัด

ตอนนี้เรามาดูปัญหาอีกประเภทหนึ่ง - การค้นหาเงื่อนไขเชิงลบและเชิงบวกของความก้าวหน้า ไม่มีความลับว่าหากความก้าวหน้าเพิ่มขึ้นและเทอมแรกเป็นลบ ไม่ช้าก็เร็วเงื่อนไขเชิงบวกจะปรากฏขึ้น และในทางกลับกัน: เงื่อนไขของความก้าวหน้าที่ลดลงจะกลายเป็นเชิงลบไม่ช้าก็เร็ว

ในเวลาเดียวกัน เป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะค้นหาช่วงเวลานี้แบบ "เผชิญหน้า" โดยการดูองค์ประกอบต่างๆ ตามลำดับ บ่อยครั้งที่ปัญหาถูกเขียนในลักษณะที่ไม่รู้สูตร การคำนวณต้องใช้กระดาษหลายแผ่น เราจะหลับไปในขณะที่เราพบคำตอบ ดังนั้นเรามาลองแก้ไขปัญหาเหล่านี้ให้เร็วขึ้นกันดีกว่า

ภารกิจที่ 4 มีพจน์ที่เป็นลบจำนวนเท่าใดในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ −38.5; −35.8; -

สารละลาย. ดังนั้น $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$ จากจุดที่เราพบความแตกต่างทันที:

โปรดทราบว่าความแตกต่างนั้นเป็นค่าบวก ดังนั้นความก้าวหน้าจึงเพิ่มขึ้น เทอมแรกเป็นลบ ดังนั้นเมื่อถึงจุดหนึ่ง เราก็จะสะดุดกับจำนวนบวก คำถามเดียวคือเมื่อสิ่งนี้จะเกิดขึ้น

ลองหาดูว่าเงื่อนไขเชิงลบจะคงอยู่นานเท่าใด (เช่น ขึ้นอยู่กับจำนวนธรรมชาติ $n$):

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\ลูกศรขวา ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\ลูกศรขวา ((n)_(\สูงสุด ))=15 \\ \end(จัดแนว)\]

บรรทัดสุดท้ายต้องมีคำอธิบายบางอย่าง เรารู้ว่า $n \lt 15\frac(7)(27)$ ในทางกลับกัน เราพอใจกับค่าจำนวนเต็มของตัวเลขเท่านั้น (ยิ่งกว่านั้น: $n\in \mathbb(N)$) ดังนั้นจำนวนที่อนุญาตมากที่สุดคือ $n=15$ อย่างแม่นยำ และไม่ว่าในกรณีใด 16 .

ภารกิจที่ 5 ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$ จงหาจำนวนเทอมบวกแรกของความก้าวหน้านี้

นี่จะเป็นปัญหาเดียวกันกับปัญหาก่อนหน้าทุกประการ แต่เราไม่ทราบ $((a)_(1))$ แต่ทราบคำศัพท์ใกล้เคียง: $((a)_(5))$ และ $((a)_(6))$ ดังนั้นเราจึงสามารถค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าได้อย่างง่ายดาย:

นอกจากนี้ เรามาลองแสดงพจน์ที่ห้าผ่านพจน์แรกและความแตกต่างโดยใช้สูตรมาตรฐาน:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((ก)_(5))=((ก)_(1))+4d; \\ & -150=((ก)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((ก)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(จัดแนว)\]

ตอนนี้เราดำเนินการโดยการเปรียบเทียบกับงานก่อนหน้า มาดูกันว่าตัวเลขบวกลำดับใดจะปรากฏขึ้นที่จุดใด:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\ลูกศรขวา ((n)_(\min ))=56 \\ \end(จัดแนว)\]

วิธีแก้จำนวนเต็มขั้นต่ำของอสมการนี้คือเลข 56

โปรดทราบ: ใน งานสุดท้ายทุกอย่างเกิดจากความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด ดังนั้นตัวเลือก $n=55$ จะไม่เหมาะกับเรา

ตอนนี้เราได้เรียนรู้วิธีการแก้ปัญหาง่ายๆ แล้ว เรามาดูปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้นกันดีกว่า แต่ก่อนอื่น เรามาศึกษาคุณสมบัติที่มีประโยชน์อีกอย่างหนึ่งของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กันดีกว่า ซึ่งจะช่วยประหยัดเวลาและเซลล์ที่ไม่เท่ากันได้มากในอนาคต :)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและการเยื้องเท่ากัน

ลองพิจารณาพจน์ที่ต่อเนื่องกันหลายพจน์ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เพิ่มขึ้น $\left(((a)_(n)) \right)$ ลองทำเครื่องหมายไว้บนเส้นจำนวน:

เงื่อนไขความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์บนเส้นจำนวน

ฉันทำเครื่องหมายเงื่อนไขที่กำหนดเองโดยเฉพาะ $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ และไม่ใช่บางส่วน $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ ฯลฯ เพราะกฎที่ฉันจะบอกคุณตอนนี้ใช้ได้ผลเหมือนกันกับ "กลุ่ม" ใดๆ

และกฎก็ง่ายมาก จำสูตรที่เกิดซ้ำแล้วจดไว้สำหรับคำที่ทำเครื่องหมายไว้ทั้งหมด:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((ก)_(n-1))=((ก)_(n-2))+d; \\ & ((ก)_(n))=((ก)_(n-1))+d; \\ & ((ก)_(n+1))=((ก)_(n))+d; \\ & ((ก)_(n+2))=((ก)_(n+1))+d; \\ \end(จัดแนว)\]

อย่างไรก็ตาม ความเท่าเทียมกันเหล่านี้สามารถเขียนใหม่ให้แตกต่างออกไปได้:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((ก)_(n-2))=((ก)_(n))-2d; \\ & ((ก)_(n-3))=((ก)_(n))-3d; \\ & ((ก)_(n+1))=((ก)_(n))+d; \\ & ((ก)_(n+2))=((ก)_(n))+2d; \\ & ((ก)_(n+3))=((ก)_(n))+3d; \\ \end(จัดแนว)\]

แล้วไงล่ะ? และความจริงที่ว่าเงื่อนไข $((a)_(n-1))$ และ $((a)_(n+1))$ อยู่ในระยะห่างเท่ากันจาก $((a)_(n)) $ . และระยะนี้เท่ากับ $d$ เช่นเดียวกันอาจกล่าวได้เกี่ยวกับเงื่อนไข $((a)_(n-2))$ และ $((a)_(n+2))$ - พวกมันก็ถูกลบออกจาก $((a)_(n) เช่นกัน )$ ที่ระยะเท่ากันเท่ากับ $2d$ เราสามารถดำเนินต่อไปได้ไม่จำกัด แต่ภาพก็อธิบายความหมายได้ดี

เงื่อนไขของความก้าวหน้าอยู่ห่างจากศูนย์กลางเท่ากัน

สิ่งนี้มีความหมายสำหรับเราอย่างไร? ซึ่งหมายความว่า $((a)_(n))$ สามารถพบได้หากทราบตัวเลขใกล้เคียง:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

เราได้รับข้อความที่ยอดเยี่ยม: ทุกพจน์ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพจน์ข้างเคียง! ยิ่งกว่านั้น: เราสามารถถอยจาก $((a)_(n))$ ของเราไปทางซ้ายและทางขวาได้ ไม่ใช่ทีละก้าว แต่เป็นก้าว $k$ - และสูตรจะยังคงถูกต้อง:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

เหล่านั้น. เราสามารถหา $((a)_(150))$ บางส่วนได้อย่างง่ายดายถ้าเรารู้ $((a)_(100))$ และ $((a)_(200))$ เพราะ $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. เมื่อมองแวบแรกอาจดูเหมือนว่าข้อเท็จจริงข้อนี้ไม่ได้ให้ประโยชน์อะไรแก่เราเลย อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ ปัญหาหลายอย่างได้รับการออกแบบเป็นพิเศษเพื่อใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ลองดู:

ภารกิจที่ 6 ค้นหาค่าทั้งหมดของ $x$ โดยที่ตัวเลข $-6((x)^(2))$, $x+1$ และ $14+4((x)^(2))$ เป็นเทอมที่ต่อเนื่องกันของ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (ตามลำดับที่ระบุ)

สารละลาย. เนื่องจากตัวเลขเหล่านี้เป็นสมาชิกของความก้าวหน้า เงื่อนไขค่าเฉลี่ยเลขคณิตจึงเป็นที่พอใจสำหรับตัวเลขเหล่านี้: องค์ประกอบส่วนกลาง $x+1$ สามารถแสดงในรูปขององค์ประกอบข้างเคียงได้:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0 \\ \end(จัดแนว)\]

มันกลายเป็นคลาสสิก สมการกำลังสอง- รากของมัน: $x=2$ และ $x=-3$ คือคำตอบ

คำตอบ: −3; 2.

ภารกิจที่ 7 ค้นหาค่าของ $$ ซึ่งตัวเลข $-1;4-3;(()^(2))+1$ ก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (ตามลำดับนั้น)

สารละลาย. ให้เราแสดงระยะกลางอีกครั้งผ่านค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพจน์ข้างเคียง:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0 \\ \end(จัดแนว)\]

สมการกำลังสองอีกครั้ง และอีกครั้งมีสองราก: $x=6$ และ $x=1$

คำตอบ: 1; 6.

หากในกระบวนการแก้ไขปัญหาคุณเกิดตัวเลขที่โหดร้ายหรือคุณไม่แน่ใจในความถูกต้องของคำตอบที่พบทั้งหมดมีเทคนิคที่ยอดเยี่ยมที่ให้คุณตรวจสอบได้: เราแก้ไขปัญหาถูกต้องหรือไม่?

สมมติว่าในปัญหาข้อ 6 เราได้รับคำตอบ −3 และ 2 เราจะตรวจสอบได้อย่างไรว่าคำตอบเหล่านี้ถูกต้อง ลองเสียบเข้ากับสภาพเดิมแล้วดูว่าจะเกิดอะไรขึ้น ฉันขอเตือนคุณว่าเรามีตัวเลขสามตัว ($-6(()^(2))$, $+1$ และ $14+4(()^(2))$) ซึ่งจะต้องก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ แทน $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\ลูกศรขวา \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(จัดแนว)\]

เราได้ตัวเลข −54; −2; 50 ที่แตกต่างกันด้วย 52 ถือเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อย่างไม่ต้องสงสัย สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นสำหรับ $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\ลูกศรขวา \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(จัดแนว)\]

ก้าวหน้าอีกครั้งแต่มีผลต่าง 27 ดังนั้นปัญหาจึงได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง ผู้ที่ต้องการสามารถตรวจสอบปัญหาที่สองได้ด้วยตนเอง แต่ฉันจะพูดทันที: ทุกอย่างถูกต้องเช่นกัน

โดยทั่วไปในขณะที่แก้ไขปัญหาสุดท้าย เราก็เจอปัญหาอื่น ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจซึ่งต้องจำไว้ด้วย:

ถ้าตัวเลขสามตัวทำให้ตัวเลขที่สองเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเลขตัวแรกและตัวสุดท้าย ตัวเลขเหล่านี้ก็จะก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ในอนาคต การทำความเข้าใจข้อความนี้จะช่วยให้เรา "สร้าง" ความก้าวหน้าที่จำเป็นตามเงื่อนไขของปัญหาได้อย่างแท้จริง แต่ก่อนที่เราจะ "ก่อสร้าง" ดังกล่าว เราควรให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงอีกประการหนึ่งซึ่งตามมาโดยตรงจากสิ่งที่ได้พูดคุยกันไปแล้ว

การจัดกลุ่มและการรวมองค์ประกอบ

ลองกลับไปสู่แกนจำนวนอีกครั้ง ให้เราสังเกตว่ามีสมาชิกหลายคนของความก้าวหน้าซึ่งอาจเกิดขึ้นระหว่างนั้น มีค่าต่อสมาชิกคนอื่นๆ มากมาย:

มีองค์ประกอบ 6 ประการที่ทำเครื่องหมายไว้บนเส้นจำนวน

ลองแสดง "หางซ้าย" ถึง $((a)_(n))$ และ $d$ และ "หางขวา" ถึง $((a)_(k))$ และ $d$ มันง่ายมาก:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((ก)_(n+2))=((ก)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(จัดแนว)\]

โปรดทราบว่าจำนวนเงินต่อไปนี้จะเท่ากัน:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= เอส; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= ส. \end(จัดแนว)\]

พูดง่ายๆ ก็คือ ถ้าเราพิจารณาว่าเป็นการเริ่มต้นสององค์ประกอบของความก้าวหน้า ซึ่งโดยรวมแล้วเท่ากับตัวเลข $S$ จากนั้นจึงเริ่มก้าวจากองค์ประกอบเหล่านี้ไปในทิศทางตรงกันข้าม (เข้าหากันหรือกลับกันเพื่อเคลื่อนตัวออกไป) แล้ว ผลรวมขององค์ประกอบที่เราจะสะดุดก็จะเท่ากันด้วย$เอส$. สิ่งนี้สามารถแสดงได้ชัดเจนที่สุดในรูปแบบกราฟิก:

การเยื้องที่เท่ากันจะให้ปริมาณที่เท่ากัน

การเข้าใจข้อเท็จจริงข้อนี้จะทำให้เราสามารถแก้ไขปัญหาขั้นพื้นฐานได้มากขึ้น ระดับสูงความยากลำบากกว่าที่เราพิจารณาข้างต้น ตัวอย่างเช่น:

ภารกิจที่ 8 หาผลต่างของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยเทอมแรกคือ 66 และผลิตภัณฑ์ของเทอมที่สองและสิบสองมีค่าน้อยที่สุด

สารละลาย. มาเขียนทุกสิ่งที่เรารู้:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min \end(จัดแนว)\]

ดังนั้นเราจึงไม่ทราบความแตกต่างของความก้าวหน้า $d$ จริงๆ แล้ว วิธีแก้ปัญหาทั้งหมดจะถูกสร้างขึ้นโดยคำนึงถึงความแตกต่าง เนื่องจากผลิตภัณฑ์ $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((ก)_(12))=((ก)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right) \end(จัดแนว)\]

สำหรับผู้ที่อยู่ในรถถัง: ฉันเอาตัวคูณทั้งหมด 11 จากวงเล็บที่สอง ดังนั้น ผลคูณที่ต้องการคือฟังก์ชันกำลังสองเทียบกับตัวแปร $d$ ดังนั้น ให้พิจารณาฟังก์ชัน $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - กราฟของมันจะเป็นพาราโบลาที่มีกิ่งก้านหงาย เนื่องจาก ถ้าเราขยายวงเล็บเราจะได้:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(จัดตำแหน่ง)\]

อย่างที่คุณเห็นค่าสัมประสิทธิ์ของเทอมสูงสุดคือ 11 - นี่คือ จำนวนบวกดังนั้นเราจึงกำลังเผชิญกับพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้นไป:

กำหนดการ ฟังก์ชันกำลังสอง- พาราโบลา

โปรดทราบ: พาราโบลานี้รับค่าต่ำสุดที่จุดยอดด้วย abscissa $((d)_(0))$ แน่นอน เราสามารถคำนวณค่า Abscissa นี้โดยใช้รูปแบบมาตรฐาน (มีสูตร $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$) แต่จะสมเหตุสมผลกว่ามากหากสังเกต จุดยอดที่ต้องการนั้นอยู่บนสมมาตรของแกนของพาราโบลา ดังนั้นจุด $((d)_(0))$ จึงอยู่ห่างจากรากของสมการเท่ากัน $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(จัดแนว)\]

นั่นคือเหตุผลที่ฉันไม่รีบร้อนที่จะเปิดวงเล็บ: ในรูปแบบดั้งเดิมรากนั้นหาง่ายมาก ดังนั้น Abscissa จึงเท่ากับค่าเฉลี่ย เลขคณิต−66 และ −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

ตัวเลขที่ค้นพบให้อะไรแก่เรา? ด้วยผลิตภัณฑ์ที่จำเป็นจะใช้เวลา ค่าที่น้อยที่สุด(อย่างไรก็ตาม เราไม่เคยคำนวณ $((y)_(\min ))$ - นี่ไม่จำเป็นสำหรับเรา) ในขณะเดียวกันตัวเลขนี้ก็เป็นส่วนต่างจากความก้าวหน้าเดิมนั่นคือ เราพบคำตอบแล้ว :)

คำตอบ: −36

ภารกิจที่ 9 ระหว่างตัวเลข $-\frac(1)(2)$ และ $-\frac(1)(6)$ ให้ใส่ตัวเลขสามตัวเข้าด้วยกัน เพื่อที่เมื่อรวมกับตัวเลขเหล่านี้แล้ว จะกลายเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

สารละลาย. โดยพื้นฐานแล้ว เราต้องสร้างลำดับของตัวเลขห้าตัว โดยที่ทราบตัวเลขตัวแรกและตัวสุดท้ายแล้ว เรามาแสดงตัวเลขที่หายไปด้วยตัวแปร $x$, $y$ และ $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

โปรดทราบว่าตัวเลข $y$ คือ "ตรงกลาง" ของลำดับของเรา - มันมีระยะห่างเท่ากันจากตัวเลข $x$ และ $z$ และจากตัวเลข $-\frac(1)(2)$ และ $-\frac (1)( 6)$. และหากเราไม่สามารถรับ $y$ จากตัวเลข $x$ และ $z$ ได้ แสดงว่าสถานการณ์จะแตกต่างออกไปเมื่อสิ้นสุดความก้าวหน้า จำค่าเฉลี่ยเลขคณิต:

ตอนนี้เมื่อรู้ $y$ แล้ว เราก็จะพบตัวเลขที่เหลือ โปรดทราบว่า $x$ อยู่ระหว่างตัวเลข $-\frac(1)(2)$ และ $y=-\frac(1)(3)$ ที่เราเพิ่งพบ นั่นเป็นเหตุผล

โดยใช้เหตุผลเดียวกัน เราจะพบจำนวนที่เหลือ:

พร้อม! เราพบตัวเลขทั้งสามตัว ลองเขียนคำตอบตามลำดับที่ควรแทรกระหว่างตัวเลขเดิม

คำตอบ: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

ภารกิจที่ 10 ระหว่างตัวเลข 2 ถึง 42 ให้ใส่ตัวเลขหลายๆ ตัวที่เมื่อรวมกับตัวเลขเหล่านี้แล้ว จะทำให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หากคุณรู้ว่าผลรวมของตัวเลขตัวแรก ตัวที่สอง และตัวสุดท้ายคือ 56

สารละลาย. ปัญหาที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นซึ่งได้รับการแก้ไขตามรูปแบบเดียวกันกับปัญหาก่อนหน้า - ผ่านค่าเฉลี่ยเลขคณิต ปัญหาคือเราไม่รู้ว่าต้องใส่ตัวเลขจำนวนเท่าใด ดังนั้น ให้เราสันนิษฐานเพื่อความแน่ชัดว่าหลังจากใส่ทุกอย่างแล้ว จะมีตัวเลข $n$ พอดี และตัวแรกคือ 2 และตัวสุดท้ายคือ 42 ในกรณีนี้ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการสามารถแสดงได้ในรูปแบบ:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( ก)_(n-1));42 \ขวา\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าตัวเลข $((a)_(2))$ และ $((a)_(n-1))$ ได้มาจากตัวเลข 2 และ 42 ที่ขอบโดยหันเข้าหากันหนึ่งก้าว เช่น. . ไปที่ศูนย์กลางของลำดับ และนี่หมายความว่า

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

แต่นิพจน์ที่เขียนข้างต้นสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((ก)_(3))=56; \\ & ((ก)_(3))=56-44=12. \\ \end(จัดแนว)\]

เมื่อทราบ $((a)_(3))$ และ $((a)_(1))$ เราจะสามารถค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าได้อย่างง่ายดาย:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\ลูกศรขวา d=5 \\ \end(จัดแนว)\]

สิ่งที่เหลืออยู่คือการค้นหาเงื่อนไขที่เหลือ:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((ก)_(2))=2+5=7; \\ & ((ก)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(จัดแนว)\]

ดังนั้นในขั้นตอนที่ 9 เราจะมาถึงทางด้านซ้ายสุดของลำดับ - หมายเลข 42 โดยรวมแล้วต้องใส่ตัวเลขเพียง 7 ตัวเท่านั้น: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

คำตอบ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

ปัญหาคำกับความก้าวหน้า

โดยสรุปผมอยากจะพิจารณาสองสามอย่างที่ค่อนข้าง งานง่ายๆ- ง่ายๆ อย่างนั้น: สำหรับนักเรียนส่วนใหญ่ที่เรียนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียนและไม่ได้อ่านสิ่งที่เขียนไว้ข้างต้น ปัญหาเหล่านี้อาจดูยาก อย่างไรก็ตาม นี่คือปัญหาประเภทต่างๆ ที่ปรากฏใน OGE และการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ ดังนั้นฉันขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับปัญหาเหล่านี้

ภารกิจที่ 11 ทีมงานผลิต 62 ชิ้นในเดือนมกราคมและในแต่ละชิ้น เดือนหน้าผลิตชิ้นส่วนเพิ่มขึ้นจากชิ้นส่วนก่อนหน้าถึง 14 ชิ้น เดือนพฤศจิกายนทีมงานผลิตได้กี่ชิ้น?

สารละลาย. แน่นอนว่าจำนวนส่วนที่แสดงตามเดือนจะแสดงถึงความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เพิ่มขึ้น นอกจากนี้:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

พฤศจิกายนเป็นเดือนที่ 11 ของปี ดังนั้นเราจึงต้องหา $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

ดังนั้นจะมีการผลิต 202 ชิ้นในเดือนพฤศจิกายน

ภารกิจที่ 12 เวิร์คช็อปเย็บเล่มหนังสือ 216 เล่มในเดือนมกราคม และในแต่ละเดือนถัดไปจะผูกหนังสือได้มากกว่าเดือนก่อน 4 เล่ม การประชุมเชิงปฏิบัติการผูกหนังสือกี่เล่มในเดือนธันวาคม

สารละลาย. ทุกอย่างเหมือนกัน:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

ธันวาคมเป็นเดือนที่ 12 สุดท้ายของปี ดังนั้นเราจึงกำลังมองหา $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

นี่คือคำตอบ - หนังสือ 260 เล่มจะเข้าเล่มในเดือนธันวาคม

ถ้าคุณอ่านมาไกลขนาดนี้ ฉันขอแสดงความยินดีกับคุณทันที คุณสำเร็จ "หลักสูตรนักสู้รุ่นเยาว์" ในด้านความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว คุณสามารถไปยังบทเรียนถัดไปได้อย่างปลอดภัยซึ่งเราจะศึกษาสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าตลอดจนผลที่ตามมาที่สำคัญและมีประโยชน์มาก

เลขคณิตและ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ข้อมูลทางทฤษฎี

ข้อมูลทางทฤษฎี

	ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์	ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
คำนิยาม	ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หนึ่งคือลำดับที่สมาชิกแต่ละตัวเริ่มต้นจากตัวที่สองมีค่าเท่ากับสมาชิกตัวก่อนหน้าบวกกับจำนวนเดียวกัน ง (ง- ความแตกต่างความก้าวหน้า)	ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต บีเอ็นคือลำดับของจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งแต่ละเทอมเริ่มจากวินาทีมีค่าเท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยจำนวนเดียวกัน ถาม (ถาม- ตัวส่วนของความก้าวหน้า)
สูตรการเกิดซ้ำ	สำหรับธรรมชาติใดๆ n n + 1 = n + d	สำหรับธรรมชาติใดๆ n bn + 1 = bn ∙ q, bn ≠ 0
สูตรเทอมที่ n	n = 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
คุณสมบัติลักษณะ
ผลรวมของพจน์ n แรก

ตัวอย่างงานพร้อมข้อคิดเห็น

ภารกิจที่ 1

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( หนึ่ง) 1 = -6, 2

ตามสูตรของเทอมที่ n:

22 = 1+ ง (22 - 1) = 1+ 21 วัน

ตามเงื่อนไข:

1= -6 แล้ว 22= -6 + 21 วัน .

จำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า:

ง = เอ 2 – เอ 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

คำตอบ : 22 = -48.

ภารกิจที่ 2

ค้นหาเทอมที่ห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต: -3; 6;....

วิธีที่ 1 (ใช้สูตร n-term)

ตามสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:

ข 5 = ข 1 ∙ ค 5 - 1 = ข 1 ∙ คิว 4.

เพราะ ข 1 = -3,

วิธีที่ 2 (ใช้สูตรเกิดซ้ำ)

เนื่องจากตัวส่วนของความก้าวหน้าคือ -2 (q = -2) ดังนั้น:

ข 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

ข 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

ข 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

คำตอบ : ข 5 = -48.

ภารกิจที่ 3

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( และ ) ก 74 = 34; 76= 156 จงหาพจน์ที่เจ็ดสิบห้าของความก้าวหน้านี้

สำหรับการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คุณสมบัติเฉพาะจะมีรูปแบบ .

จากนี้จะเป็นดังนี้:

.

ลองแทนที่ข้อมูลลงในสูตร:

คำตอบ: 95.

ภารกิจที่ 4

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( ก ) ก= 3n - 4 ค้นหาผลรวมของพจน์สิบเจ็ดตัวแรก

หากต้องการหาผลรวมของพจน์ n แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ จะใช้สูตร 2 สูตรดังนี้

.

อันไหนเข้า. ในกรณีนี้สะดวกในการใช้งานมากขึ้น?

ตามเงื่อนไข จะทราบสูตรสำหรับระยะที่ n ของความก้าวหน้าดั้งเดิม ( หนึ่ง) หนึ่ง= 3n - 4 คุณสามารถค้นหาได้ทันทีและ 1, และ 16โดยไม่พบ d ดังนั้นเราจะใช้สูตรแรก

คำตอบ: 368.

ภารกิจที่ 5

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( หนึ่ง) 1 = -6; 2= -8. ค้นหาระยะที่ยี่สิบสองของความก้าวหน้า

ตามสูตรของเทอมที่ n:

22 = 1 + d (22 – 1) = 1+21วัน

ตามเงื่อนไข ถ้า. 1= -6 แล้ว 22= -6 + 21วัน . จำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า:

ง = เอ 2 – เอ 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

คำตอบ : 22 = -48.

ภารกิจที่ 6

มีการเขียนคำศัพท์ต่อเนื่องหลายคำของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:

ค้นหาเงื่อนไขของความก้าวหน้าที่ระบุโดย x

เมื่อแก้โจทย์เราจะใช้สูตรของเทอมที่ n b n = b 1 ∙ q n - 1สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ระยะแรกของความก้าวหน้า ในการค้นหาตัวส่วนของความก้าวหน้า q คุณต้องนำเงื่อนไขใดๆ ที่กำหนดของความก้าวหน้ามาหารด้วยเงื่อนไขก่อนหน้า ในตัวอย่างของเรา เราสามารถหาและหารด้วย เราได้ q = 3 แทนที่จะเป็น n เราจะแทนที่ 3 ในสูตร เนื่องจากจำเป็นต้องค้นหาเทอมที่สามของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กำหนด

แทนที่ค่าที่พบลงในสูตรเราจะได้:

.

คำตอบ : .

ภารกิจที่ 7

จากความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดโดยสูตรของเทอมที่ n ให้เลือกอันที่ตรงตามเงื่อนไข 27 > 9:

เนื่องจากเงื่อนไขที่กำหนดจะต้องเป็นไปตามระยะที่ 27 ของการก้าวหน้า เราจึงแทนที่ 27 แทนที่จะเป็น n ในแต่ละความก้าวหน้าทั้งสี่ ในความก้าวหน้าที่ 4 เราได้รับ:

.

คำตอบ: 4.

ภารกิจที่ 8

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 1= 3, ง = -1.5 ระบุ มูลค่าสูงสุด n ซึ่งความไม่เท่าเทียมกันถืออยู่ หนึ่ง > -6.

ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน n จับคู่ จำนวนจริง หนึ่ง แล้วพวกเขาก็บอกว่าได้รับ ลำดับหมายเลข :

ก 1 , ก 2 , ก 3 , . . . , หนึ่ง , . . . .

ดังนั้น ลำดับตัวเลขจึงเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติ

ตัวเลข ก 1 เรียกว่า เทอมแรกของลำดับ , ตัวเลข ก 2 — เทอมที่สองของลำดับ , ตัวเลข ก 3 — ที่สาม และอื่น ๆ ตัวเลข หนึ่ง เรียกว่า เทอมที่ nลำดับ และจำนวนธรรมชาติ n — หมายเลขของเขา .

จากสมาชิกสองคนที่อยู่ติดกัน หนึ่ง และ หนึ่ง +1 สมาชิกลำดับ หนึ่ง +1 เรียกว่า ภายหลัง (สัมพันธ์กับ หนึ่ง ) ก หนึ่ง — ก่อนหน้า (สัมพันธ์กับ หนึ่ง +1 ).

ในการกำหนดลำดับ คุณต้องระบุวิธีการที่ช่วยให้คุณค้นหาสมาชิกของลำดับด้วยตัวเลขใดก็ได้

บ่อยครั้งมีการระบุลำดับโดยใช้ สูตรเทอมที่ n นั่นคือสูตรที่ช่วยให้คุณกำหนดสมาชิกของลำดับตามหมายเลขของมันได้

ตัวอย่างเช่น,

สูตรสามารถกำหนดลำดับของเลขคี่บวกได้

หนึ่ง= 2ไม่มี 1,

และลำดับการสลับกัน 1 และ -1 - สูตร

ข n = (-1)n +1 . ◄

สามารถกำหนดลำดับได้ สูตรเกิดซ้ำ, นั่นคือ สูตรที่แสดงสมาชิกใดๆ ของลำดับ โดยเริ่มจากบางส่วน จนถึงสมาชิกก่อนหน้า (หนึ่งตัวหรือมากกว่า)

ตัวอย่างเช่น,

ถ้า ก 1 = 1 , ก หนึ่ง +1 = หนึ่ง + 5

ก 1 = 1,

ก 2 = ก 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ก 3 = ก 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ก 4 = ก 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ก 5 = ก 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

ถ้า 1= 1, 2 = 1, หนึ่ง +2 = หนึ่ง + หนึ่ง +1 , จากนั้นเจ็ดเทอมแรกของลำดับตัวเลขจะถูกสร้างดังนี้:

1 = 1,

2 = 1,

3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

ก 6 = ก 4 + ก 5 = 3 + 5 = 8,

ก 7 = ก 5 + ก 6 = 5 + 8 = 13. ◄

ลำดับได้ สุดท้าย และ ไม่มีที่สิ้นสุด .

ลำดับที่เรียกว่า สุดยอด ถ้ามีสมาชิกจำนวนจำกัด ลำดับที่เรียกว่า ไม่มีที่สิ้นสุด ถ้ามีสมาชิกจำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุด

ตัวอย่างเช่น,

ลำดับของจำนวนธรรมชาติสองหลัก:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

สุดท้าย.

ลำดับของจำนวนเฉพาะ:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

ไม่มีที่สิ้นสุด ◄

ลำดับที่เรียกว่า เพิ่มขึ้น ถ้าสมาชิกแต่ละคนเริ่มตั้งแต่ตัวที่สองมากกว่าสมาชิกก่อนหน้า

ลำดับที่เรียกว่า ลดลง ถ้าสมาชิกแต่ละคนเริ่มตั้งแต่ตัวที่สองน้อยกว่าสมาชิกก่อนหน้า

ตัวอย่างเช่น,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — ลำดับที่เพิ่มขึ้น;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - ลำดับที่ลดลง ◄

ลำดับที่องค์ประกอบไม่ลดลงเมื่อจำนวนเพิ่มขึ้น หรือในทางกลับกัน ไม่เพิ่มขึ้น เรียกว่า ลำดับที่ซ้ำซากจำเจ .

โดยเฉพาะอย่างยิ่งลำดับแบบโมโนโทนิกคือลำดับที่เพิ่มขึ้นและลำดับที่ลดลง

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คือลำดับที่สมาชิกแต่ละตัวเริ่มต้นจากตัวที่สองมีค่าเท่ากับสมาชิกตัวก่อนหน้าซึ่งมีการเพิ่มจำนวนเดียวกันเข้าไป

ก 1 , ก 2 , ก 3 , . . . , หนึ่ง, . . .

คือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หากเป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ n ตรงตามเงื่อนไข:

หนึ่ง +1 = หนึ่ง + ง,

ที่ไหน ง - จำนวนหนึ่ง

ดังนั้น ความแตกต่างระหว่างเงื่อนไขที่ตามมาและเงื่อนไขก่อนหน้าของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดจึงเป็นค่าคงที่เสมอ:

2 - ก 1 = 3 - ก 2 = . . . = หนึ่ง +1 - หนึ่ง = ง.

ตัวเลข ง เรียกว่า ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.

เพื่อกำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ก็เพียงพอแล้วที่จะระบุเทอมแรกและผลต่างของมัน

ตัวอย่างเช่น,

ถ้า ก 1 = 3, ง = 4 จากนั้นเราจะพบพจน์ห้าคำแรกของลำดับดังนี้:

1 =3,

2 = 1 + ง = 3 + 4 = 7,

3 = 2 + ง= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + ง= 11 + 4 = 15,

ก 5 = ก 4 + ง= 15 + 4 = 19. ◄

สำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กับเทอมแรก ก 1 และความแตกต่าง ง ของเธอ n

หนึ่ง = 1 + (n- 1)ง.

ตัวอย่างเช่น,

ค้นหาระยะที่สามสิบของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, ง = 3,

30 = 1 + (30 - 1)ง = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = 1 + (n- 2)ง,

หนึ่ง= 1 + (n- 1)ง,

หนึ่ง +1 = ก 1 + nd,

เห็นได้ชัดว่า

หนึ่ง=	n-1 + n+1
	2

สมาชิกแต่ละคนของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มจากวินาที จะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกก่อนหน้าและสมาชิกที่ตามมา

ตัวเลข a, b และ c เป็นพจน์ที่ต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์บางอย่าง ถ้าหากหนึ่งในนั้นเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอีกสองตัวเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น,

หนึ่ง = 2n- 7 เป็นการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ลองใช้ข้อความข้างต้น เรามี:

หนึ่ง = 2n- 7,

n-1 = 2(ไม่มี 1) - 7 = 2n- 9,

n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

เพราะฉะนั้น,

n+1 + n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = หนึ่ง,
2		2

◄

โปรดทราบว่า n เทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้ไม่เพียงแต่ผ่านเท่านั้น ก 1 แต่ยังรวมถึงก่อนหน้านี้ด้วย เค

หนึ่ง = เค + (n- เค)ง.

ตัวอย่างเช่น,

สำหรับ ก 5 สามารถเขียนลงไปได้

5 = 1 + 4ง,

5 = 2 + 3ง,

5 = 3 + 2ง,

5 = 4 + ง. ◄

หนึ่ง = ไม่เป็นไร + เคดี,

หนึ่ง = เอ็น+เค - เคดี,

เห็นได้ชัดว่า

หนึ่ง=	ก นะเค +ก ไม่มี+เค
	2

สมาชิกใดๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ โดยเริ่มจากวินาที จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของสมาชิกที่มีระยะห่างเท่ากันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้

นอกจากนี้ สำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ใดๆ จะมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

a m + a n = a k + a l,

ม. + n = k + ล.

ตัวอย่างเช่น,

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

1) ก 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ก 9 + ก 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7ง= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ก 7 + 13)/2;

4) 2 + 12 = 5 + 9, เพราะ

ก 2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

ส= ก 1 + ก 2 + ก 3 + - -+ หนึ่ง,

อันดับแรก n เงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เท่ากับผลคูณของผลรวมครึ่งหนึ่งของเงื่อนไขสุดขั้วและจำนวนเงื่อนไข:

จากนี้โดยเฉพาะจะตามมาว่าหากคุณต้องการรวมคำศัพท์

เค, เค +1 , . . . , หนึ่ง,

ดังนั้นสูตรก่อนหน้านี้จะคงโครงสร้างไว้:

ตัวอย่างเช่น,

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

ส 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = ส 10 - ส 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

ถ้าให้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว ปริมาณ ก 1 , หนึ่ง, ง, nและส n เชื่อมต่อกันด้วยสองสูตร:

ดังนั้นหาก ความหมายของสามของปริมาณเหล่านี้จะได้รับจากนั้นค่าที่สอดคล้องกันของปริมาณอีกสองปริมาณจะถูกกำหนดจากสูตรเหล่านี้รวมกันเป็นระบบสองสมการโดยไม่ทราบค่าสองตัว

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นลำดับที่ซ้ำซากจำเจ ในกรณีนี้:

• ถ้า ง > 0 แล้วมันก็เพิ่มขึ้น;
• ถ้า ง < 0 ก็กำลังลดลง;
• ถ้า ง = 0 จากนั้นลำดับก็จะหยุดนิ่ง

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต คือลำดับที่สมาชิกแต่ละตัวเริ่มจากตัวที่สองมีค่าเท่ากับตัวก่อนหน้าคูณด้วยจำนวนเดียวกัน

ข 1 , ข 2 , ข 3 , . . . , บีเอ็น, . . .

คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหากเป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ n ตรงตามเงื่อนไข:

บีเอ็น +1 = บีเอ็น · ถาม,

ที่ไหน ถาม ≠ 0 - จำนวนหนึ่ง

ดังนั้น อัตราส่วนของเทอมต่อมาของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กำหนดต่อเทอมก่อนหน้าจึงเป็นจำนวนคงที่:

ข 2 / ข 1 = ข 3 / ข 2 = . . . = บีเอ็น +1 / บีเอ็น = ถาม.

ตัวเลข ถาม เรียกว่า ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต.

ในการกำหนดความก้าวหน้าทางเรขาคณิต การระบุเทอมแรกและตัวส่วนก็เพียงพอแล้ว

ตัวอย่างเช่น,

ถ้า ข 1 = 1, ถาม = -3 จากนั้นเราจะพบพจน์ห้าคำแรกของลำดับดังนี้:

ข 1 = 1,

ข 2 = ข 1 · ถาม = 1 · (-3) = -3,

ข 3 = ข 2 · ถาม= -3 · (-3) = 9,

ข 4 = ข 3 · ถาม= 9 · (-3) = -27,

ข 5 = ข 4 · ถาม= -27 · (-3) = 81. ◄

ข 1 และตัวส่วน ถาม ของเธอ n คำที่ 3 สามารถพบได้โดยใช้สูตร:

บีเอ็น = ข 1 · qn -1 .

ตัวอย่างเช่น,

หาเทอมที่ 7 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 1, 2, 4, . . .

ข 1 = 1, ถาม = 2,

ข 7 = ข 1 · ถาม 6 = 1 2 6 = 64. ◄

บีเอ็น-1 = ข 1 · qn -2 ,

บีเอ็น = ข 1 · qn -1 ,

บีเอ็น +1 = ข 1 · qn,

เห็นได้ชัดว่า

บีเอ็น 2 = บีเอ็น -1 · บีเอ็น +1 ,

สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เริ่มต้นจากวินาที เท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิต (สัดส่วน) ของสมาชิกก่อนหน้าและสมาชิกต่อๆ ไป

เนื่องจากการสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน ข้อความต่อไปนี้จึงถือเป็น:

ตัวเลข a, b และ c เป็นพจน์ที่ต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ถ้าหากกำลังสองของหนึ่งในนั้นเท่ากับผลคูณของอีกสองตัว นั่นคือ หนึ่งในตัวเลขนั้นเป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของอีกสองตัว

ตัวอย่างเช่น,

ให้เราพิสูจน์ว่าลำดับที่กำหนดโดยสูตร บีเอ็น= -3 2 n คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลองใช้ข้อความข้างต้น เรามี:

บีเอ็น= -3 2 n,

บีเอ็น -1 = -3 2 n -1 ,

บีเอ็น +1 = -3 2 n +1 .

เพราะฉะนั้น,

บีเอ็น 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = บีเอ็น -1 · บีเอ็น +1 ,

ซึ่งพิสูจน์ข้อความที่ต้องการ ◄

โปรดทราบว่า n เทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถพบได้ไม่เพียงแต่ผ่านเท่านั้น ข 1 แต่ยังรวมถึงสมาชิกคนก่อนหน้าด้วย ข ซึ่งก็เพียงพอที่จะใช้สูตร

บีเอ็น = ข · qn - เค.

ตัวอย่างเช่น,

สำหรับ ข 5 สามารถเขียนลงไปได้

ข 5 = ข 1 · ถาม 4 ,

ข 5 = ข 2 · คำถามที่ 3,

ข 5 = ข 3 · คำถามที่ 2,

ข 5 = ข 4 · ถาม. ◄

บีเอ็น = ข · qn - เค,

บีเอ็น = บีเอ็น - เค · คิวเค,

เห็นได้ชัดว่า

บีเอ็น 2 = บีเอ็น - เค· บีเอ็น + เค

กำลังสองของเทอมใดๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยเริ่มจากวินาทีนั้น จะเท่ากับผลคูณของเงื่อนไขของความก้าวหน้านี้ซึ่งมีระยะห่างเท่ากัน

นอกจากนี้ สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใดๆ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

ข ม· บีเอ็น= ข· ข,

ม+ n= เค+ ล.

ตัวอย่างเช่น,

ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

1) ข 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ข 5 · ข 7 ;

2) 1024 = ข 11 = ข 6 · ถาม 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ข 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ข 4 · ข 8 ;

4) ข 2 · ข 7 = ข 4 · ข 5 , เพราะ

ข 2 · ข 7 = 2 · 64 = 128,

ข 4 · ข 5 = 8 · 16 = 128. ◄

ส= ข 1 + ข 2 + ข 3 + . . . + บีเอ็น

อันดับแรก n สมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน ถาม ≠ 0 คำนวณโดยสูตร:

และเมื่อไร ถาม = 1 - ตามสูตร

ส= ไม่มี 1

โปรดทราบว่าหากคุณต้องการสรุปข้อกำหนด

ข, ข +1 , . . . , บีเอ็น,

จากนั้นจึงใช้สูตร:

ส- เอสเค -1 = ข + ข +1 + . . . + บีเอ็น = ข ·	1 - qn - เค +1	.
	1 - ถาม

ตัวอย่างเช่น,

ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

ส 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = ส 10 - ส 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

ถ้าให้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต แสดงว่าปริมาณ ข 1 , บีเอ็น, ถาม, nและ ส เชื่อมต่อกันด้วยสองสูตร:

ดังนั้นหากให้ค่าของสามปริมาณใด ๆ เหล่านี้จากนั้นค่าที่สอดคล้องกันของปริมาณอีกสองปริมาณจะถูกกำหนดจากสูตรเหล่านี้รวมกันเป็นระบบสมการสองสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว

สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกับเทอมแรก ข 1 และตัวส่วน ถาม สิ่งต่อไปนี้จะเกิดขึ้น คุณสมบัติของความน่าเบื่อ :

• ความก้าวหน้าจะเพิ่มขึ้นหากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

ข 1 > 0 และ ถาม> 1;

ข 1 < 0 และ 0 < ถาม< 1;

• ความก้าวหน้าจะลดลงหากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

ข 1 > 0 และ 0 < ถาม< 1;

ข 1 < 0 และ ถาม> 1.

ถ้า ถาม< 0 จากนั้นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะสลับกัน: พจน์ที่เป็นเลขคี่จะมีเครื่องหมายเดียวกันกับเทอมแรก และเทอมที่มีเลขคู่จะมีเครื่องหมายตรงกันข้าม เห็นได้ชัดว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแบบสลับกันนั้นไม่ใช่เรื่องซ้ำซากจำเจ

สินค้าชิ้นแรก n เงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

พี= ข 1 · ข 2 · ข 3 · . . . · บีเอ็น = (ข 1 · บีเอ็น) n / 2 .

ตัวอย่างเช่น,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

ลดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างไม่สิ้นสุด

ลดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างไม่สิ้นสุด เรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์ซึ่งมีโมดูลัสตัวส่วนน้อยกว่า 1 นั่นคือ

|ถาม| < 1 .

โปรดทราบว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดอาจไม่ใช่ลำดับที่ลดลง มันเหมาะกับโอกาส

1 < ถาม< 0 .

ด้วยตัวส่วนดังกล่าว ลำดับจึงสลับกัน ตัวอย่างเช่น,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด ตั้งชื่อหมายเลขที่ผลรวมของหมายเลขแรกเข้าใกล้โดยไม่มีขีดจำกัด n สมาชิกของความก้าวหน้าโดยเพิ่มจำนวนได้ไม่จำกัด n - จำนวนนี้มีจำกัดเสมอและแสดงเป็นสูตร

ส= ข 1 + ข 2 + ข 3 + . . . =	ข 1	.
	1 - ถาม

ตัวอย่างเช่น,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

ความสัมพันธ์ระหว่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิตมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด ลองดูเพียงสองตัวอย่าง

ก 1 , ก 2 , ก 3 , . . . ง , ที่

ข 1 , ข 2 , ข 3 , . . . ข d .

ตัวอย่างเช่น,

1, 3, 5, . . . - ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่าง 2 และ

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตพร้อมตัวส่วน 7 2 . ◄

ข 1 , ข 2 , ข 3 , . . . - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตพร้อมตัวส่วน ถาม , ที่

เข้าสู่ระบบ ข 1, เข้าสู่ระบบ ข 2, เข้าสู่ระบบ ข 3, . . . - ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่าง เข้าสู่ระบบถาม .

ตัวอย่างเช่น,

2, 12, 72, . . . - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตพร้อมตัวส่วน 6 และ

แอลจี 2, แอลจี 12, แอลจี 72, . . . - ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่าง แอลจี 6 . ◄

ประเภทบทเรียน:การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• การขยายและเพิ่มความเข้าใจของนักเรียนให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับปัญหาที่แก้ไขโดยใช้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ การจัดกิจกรรมการค้นหาของนักเรียนเมื่อได้สูตรสำหรับผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
• การพัฒนาความสามารถในการรับความรู้ใหม่อย่างอิสระและใช้ความรู้ที่ได้รับแล้วเพื่อบรรลุภารกิจที่กำหนด
• การพัฒนาความปรารถนาและความจำเป็นในการสรุปข้อเท็จจริงที่ได้รับการพัฒนาความเป็นอิสระ

งาน:

• สรุปและจัดระบบความรู้ที่มีอยู่ในหัวข้อ “ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์”
• หาสูตรสำหรับคำนวณผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
• สอนวิธีใช้สูตรที่ได้รับเมื่อแก้ไขปัญหาต่างๆ
• ดึงความสนใจของนักเรียนไปที่ขั้นตอนการค้นหาค่าของนิพจน์ตัวเลข

อุปกรณ์:

• การ์ดที่มีภารกิจสำหรับการทำงานเป็นกลุ่มและคู่
• ใบคะแนน;
• การนำเสนอ“ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์”

I. การอัพเดตความรู้พื้นฐาน

1. ทำงานอิสระเป็นคู่

ตัวเลือกที่ 1:

กำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เขียนสูตรที่เกิดซ้ำซึ่งกำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ โปรดยกตัวอย่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และระบุความแตกต่าง

ตัวเลือกที่ 2:

เขียนสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ค้นหาระยะที่ 100 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( หนึ่ง}: 2, 5, 8 …
ขณะนี้มีนักเรียนสองคน ด้านหลังบอร์ดกำลังเตรียมคำตอบสำหรับคำถามเดียวกันนี้
นักเรียนประเมินงานของคู่โดยการตรวจสอบบนกระดาน (มีการส่งเอกสารพร้อมคำตอบมาให้)

2. ช่วงเวลาของเกม

ภารกิจที่ 1

ครู.ฉันคิดถึงความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์บางอย่าง ถามคำถามฉันเพียงสองข้อเพื่อว่าหลังจากคำตอบแล้วคุณสามารถตั้งชื่อเทอมที่ 7 ของความก้าวหน้านี้ได้อย่างรวดเร็ว (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

คำถามจากนักเรียน

1. ระยะที่ 6 ของความก้าวหน้าคืออะไร และความแตกต่างคืออะไร?
2. ระยะที่ 8 ของความก้าวหน้าคืออะไร และความแตกต่างคืออะไร?

หากไม่มีคำถามอีกต่อไปครูสามารถกระตุ้นพวกเขาได้ - "ห้าม" ใน d (ความแตกต่าง) นั่นคือไม่ได้รับอนุญาตให้ถามว่าความแตกต่างเท่ากับอะไร คุณสามารถถามคำถาม: ระยะที่ 6 ของความก้าวหน้าเท่ากับเท่าใด และระยะที่ 8 ของความก้าวหน้าเท่ากับเท่าใด?

ภารกิจที่ 2

บนกระดานมีตัวเลข 20 ตัวเขียน: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

ครูยืนหันหลังให้กระดาน นักเรียนโทรออกหมายเลขนั้น และครูจะโทรออกหมายเลขนั้นทันที อธิบายว่าฉันสามารถทำเช่นนี้ได้อย่างไร?

ครูจำสูตรสำหรับเทอมที่ n ได้ n = 3n – 2และแทนที่ค่าที่ระบุ n จะค้นหาค่าที่เกี่ยวข้อง หนึ่ง.

ครั้งที่สอง การตั้งค่างานการเรียนรู้

ฉันเสนอให้แก้ไขปัญหาโบราณที่มีอายุย้อนกลับไปถึงสหัสวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช ซึ่งพบในปาปิรุสของอียิปต์

งาน:“ ขอให้คุณแบ่งข้าวบาร์เลย์ 10 ถังให้กับคน 10 คนความแตกต่างระหว่างแต่ละคนกับเพื่อนบ้านคือ 1/8 ของการวัด”

• ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ของหัวข้ออย่างไร (คนถัดไปแต่ละคนจะได้รับ 1/8 ของการวัดมากขึ้น ซึ่งหมายถึงผลต่างคือ d=1/8, 10 คน ซึ่งหมายถึง n=10)
• คุณคิดว่ามาตรการหมายเลข 10 หมายถึงอะไร? (ผลรวมของเงื่อนไขทั้งหมดของความก้าวหน้า)
• คุณต้องรู้อะไรอีกบ้างเพื่อให้สามารถแบ่งข้าวบาร์เลย์ตามเงื่อนไขของปัญหาได้ง่ายและสะดวก? (ระยะแรกของความก้าวหน้า)

วัตถุประสงค์ของบทเรียน– ได้รับการพึ่งพาผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้ากับจำนวน เทอมแรก และความแตกต่าง และตรวจสอบว่าปัญหาได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้องในสมัยโบราณหรือไม่

ก่อนที่เราจะสรุปสูตร เรามาดูกันว่าชาวอียิปต์โบราณแก้ปัญหาอย่างไร

และพวกเขาก็แก้ไขได้ดังนี้:

1) 10 มาตรการ: 10 = 1 มาตรการ – ส่วนแบ่งเฉลี่ย;
2) 1 การวัด ∙ = 2 การวัด – เพิ่มเป็นสองเท่า เฉลี่ยแบ่งปัน.
เพิ่มเป็นสองเท่า เฉลี่ย share คือผลรวมของหุ้นของบุคคลที่ 5 และ 6
3) 2 มาตรการ - 1/8 มาตรการ = 1 7/8 มาตรการ - เพิ่มส่วนแบ่งเป็นสองเท่าของบุคคลที่ห้า
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – เศษของหนึ่งในห้า; และอื่นๆ คุณสามารถค้นหาส่วนแบ่งของบุคคลก่อนหน้าและบุคคลถัดไปได้

เราได้รับลำดับ:

III. การแก้ปัญหา

1.ทำงานเป็นกลุ่ม

กลุ่มที่ 1:ค้นหาผลรวมของจำนวนธรรมชาติ 20 จำนวนติดต่อกัน: ส 20 =(20+1)∙10 =210

โดยทั่วไปแล้ว

กลุ่มที่สอง:ค้นหาผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 100 (ตำนานเกาส์น้อย)

ส 100 = (1+100)∙50 = 5050

บทสรุป:

กลุ่มที่สาม:ค้นหาผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 21

วิธีแก้: 1+21=2+20=3+19=4+18…

บทสรุป:

กลุ่มที่สี่:ค้นหาผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 101

บทสรุป:

วิธีการแก้ปัญหาที่พิจารณานี้เรียกว่า "วิธีเกาส์"

2. แต่ละกลุ่มนำเสนอวิธีแก้ปัญหาบนกระดาน

3. ลักษณะทั่วไปของวิธีแก้ปัญหาที่เสนอสำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยพลการ:

1, 2, 3,…, n-2, n-1, n
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n

ลองหาผลรวมนี้โดยใช้เหตุผลที่คล้ายกัน:

4. เราได้แก้ไขปัญหาแล้วหรือยัง?(ใช่.)

IV. ความเข้าใจเบื้องต้นและการประยุกต์ใช้สูตรที่ได้รับเมื่อแก้ไขปัญหา

1. ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาของปัญหาโบราณโดยใช้สูตร

2. การประยุกต์สูตรในการแก้ปัญหาต่างๆ

3. แบบฝึกหัดเพื่อพัฒนาความสามารถในการประยุกต์สูตรเมื่อแก้ไขปัญหา

ก) หมายเลข 613

ที่ให้ไว้: ( หนึ่ง) -ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

(น): 1, 2, 3, …, 1500

หา: เอส 1500

สารละลาย: , 1 = 1 และ 1500 = 1500

B) ให้ไว้: ( หนึ่ง) -ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
(น): 1, 2, 3, …
ส น = 210

หา: n
สารละลาย:

V. งานอิสระพร้อมการตรวจสอบร่วมกัน

เดนิสเริ่มทำงานเป็นคนส่งของ ในเดือนแรกเงินเดือนของเขาอยู่ที่ 200 รูเบิล ในแต่ละเดือนต่อมาจะเพิ่มขึ้น 30 รูเบิล เขามีรายได้ทั้งหมดเท่าไหร่ในหนึ่งปี?

ที่ให้ไว้: ( หนึ่ง) -ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ก 1 = 200, ง=30, n=12
หา: ส 12
สารละลาย:

คำตอบ: เดนิสได้รับ 4,380 รูเบิลต่อปี

วี. การสอนการบ้าน

1. ส่วนที่ 4.3 – เรียนรู้ที่มาของสูตร
2. №№ 585, 623 .
3. สร้างปัญหาที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรสำหรับผลรวมของ n เทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว สรุปบทเรียน.

1. ใบคะแนน

2. ดำเนินประโยคต่อ

• วันนี้ในชั้นเรียนฉันได้เรียนรู้...
• สูตรที่เรียนมา...
• ฉันเชื่อว่า...

3. คุณสามารถหาผลรวมของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 500 ได้หรือไม่? คุณจะใช้วิธีการใดในการแก้ปัญหานี้?

อ้างอิง.

1. พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษาทั่วไป เอ็ด จี.วี. โดโรฟีวา.อ.: “การตรัสรู้”, 2552.