ฟังก์ชันคู่ x ฟังก์ชันคู่และคี่

กลับไปข้างหน้า

ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงคุณลักษณะทั้งหมดของการนำเสนอ หากสนใจงานนี้กรุณาดาวน์โหลดฉบับเต็ม

เป้าหมาย:

• สร้างแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันและความแปลกประหลาดของฟังก์ชัน สอนความสามารถในการกำหนดและใช้คุณสมบัติเหล่านี้เมื่อใด การวิจัยฟังก์ชั่น, การวางแผน;
• พัฒนากิจกรรมสร้างสรรค์ของนักเรียน การคิดเชิงตรรกะความสามารถในการเปรียบเทียบสรุป;
• ปลูกฝังการทำงานหนักและวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ พัฒนาทักษะการสื่อสาร .

อุปกรณ์:การติดตั้งมัลติมีเดีย, ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ, เอกสารประกอบคำบรรยาย

รูปแบบการทำงาน:หน้าผากและกลุ่มที่มีองค์ประกอบของกิจกรรมการค้นหาและการวิจัย

แหล่งข้อมูล:

1. พีชคณิตชั้น 9 A.G. Mordkovich หนังสือเรียน.
2. พีชคณิตเกรด 9 A.G. Mordkovich หนังสือปัญหา.
3. พีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 งานเพื่อการเรียนรู้และการพัฒนาของนักเรียน เบเลนโควา อี.ยู. เลเบดินต์เซวา อี.เอ.

ความก้าวหน้าของบทเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร

การกำหนดเป้าหมายและวัตถุประสงค์สำหรับบทเรียน

2. ตรวจการบ้าน

หมายเลข 10.17 (หนังสือปัญหาเกรด 9 A.G. Mordkovich)

ก) ที่ = ฉ(เอ็กซ์), ฉ(เอ็กซ์) =

ข) ฉ (–2) = –3; ฉ (0) = –1; ฉ(5) = 69;

ค) 1. ง( ฉ) = [– 2; + ∞)
2. อี( ฉ) = [– 3; + ∞)
3. ฉ(เอ็กซ์) = 0 ณ เอ็กซ์ ~ 0,4
4. ฉ(เอ็กซ์) >0 เมื่อ เอ็กซ์ > 0,4 ; ฉ(เอ็กซ์) < 0 при – 2 < เอ็กซ์ < 0,4.
5. ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นด้วย เอ็กซ์ € [– 2; + ∞)
6. ฟังก์ชั่นถูกจำกัดจากด้านล่าง
7. ที่นาม = – 3, ที่นาอิบไม่มีอยู่จริง
8. ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง

(คุณใช้อัลกอริธึมการสำรวจฟังก์ชันหรือไม่) สไลด์

2. เรามาตรวจสอบตารางที่คุณถูกถามจากสไลด์กันดีกว่า

กรอกตาราง
	โดเมนของคำจำกัดความ	ฟังก์ชันศูนย์	ช่วงของความคงตัวของสัญญาณ		พิกัดจุดตัดของกราฟกับออย
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) อ คุณ(2;∞)	x € (–∞;–5) อ ยู (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) อ คุณ(2;∞)	x € (–∞;–5) อ ยู (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) อ คุณ(2;∞)	x € (–5; 2)

3. อัพเดทความรู้

– มีการกำหนดฟังก์ชันต่างๆ
– ระบุขอบเขตคำจำกัดความของแต่ละฟังก์ชัน
– เปรียบเทียบค่าของแต่ละฟังก์ชันสำหรับค่าอาร์กิวเมนต์แต่ละคู่: 1 และ – 1; 2 และ – 2.
– สำหรับฟังก์ชันใดเหล่านี้ในโดเมนของคำจำกัดความที่มีความเท่าเทียมกัน ฉ(– เอ็กซ์) = ฉ(เอ็กซ์), ฉ(– เอ็กซ์) = – ฉ(เอ็กซ์)? (ป้อนข้อมูลที่ได้รับลงในตาราง) สไลด์

		ฉ(1) และ ฉ(– 1)	ฉ(2) และ ฉ(– 2)	กราฟิก	ฉ(– เอ็กซ์) = –ฉ(เอ็กซ์)	ฉ(– เอ็กซ์) = ฉ(เอ็กซ์)
1. ฉ(เอ็กซ์) =
2. ฉ(เอ็กซ์) = เอ็กซ์ 3
3. ฉ(เอ็กซ์) = | เอ็กซ์ |
4.ฉ(เอ็กซ์) = 2เอ็กซ์ – 3
5. ฉ(เอ็กซ์) =	เอ็กซ์ ≠ 0
6. ฉ(เอ็กซ์)=	เอ็กซ์ > –1		และไม่ได้กำหนดไว้

4. วัสดุใหม่

– ในขณะที่ทำงานนี้ พวกเราได้ระบุคุณสมบัติอื่นของฟังก์ชันที่ไม่คุ้นเคยสำหรับคุณ แต่ก็มีความสำคัญไม่น้อยไปกว่าคุณสมบัติอื่น ๆ - นี่คือความสม่ำเสมอและความแปลกประหลาดของฟังก์ชัน เขียนหัวข้อของบทเรียน: “ฟังก์ชันคู่และคี่” งานของเราคือเรียนรู้ที่จะหาความสม่ำเสมอและความคี่ของฟังก์ชัน เพื่อค้นหาความสำคัญของคุณสมบัตินี้ในการศึกษาฟังก์ชันและการพล็อตกราฟ
เรามาค้นหาคำจำกัดความในหนังสือเรียนแล้วอ่านกัน (หน้า 110) - สไลด์

Def. 1การทำงาน ที่ = ฉ (เอ็กซ์) ที่กำหนดไว้บนเซต X เรียกว่า สม่ำเสมอหากมีค่าใดๆ เอ็กซ์Є X ถูกดำเนินการ ความเท่าเทียมกัน f(–x)= f(x) ยกตัวอย่าง.

Def. 2การทำงาน ย = ฉ(x)ที่กำหนดบนเซต X เรียกว่า แปลกหากมีค่าใดๆ เอ็กซ์Є X ความเท่าเทียมกัน f(–х)= –f(х) ถืออยู่ ยกตัวอย่าง.

เราพบคำว่า "คู่" และ "คี่" ที่ไหน?
คุณคิดว่าฟังก์ชันใดต่อไปนี้จะเท่ากัน? ทำไม อันไหนแปลก? ทำไม
สำหรับฟังก์ชั่นใดๆของแบบฟอร์ม ที่= เอ็กซ์เอ็น, ที่ไหน n– เลขจำนวนเต็มสามารถโต้แย้งได้ว่าฟังก์ชันเป็นเลขคี่เมื่อใด n– คี่และฟังก์ชันเป็นคู่เมื่อ n- สม่ำเสมอ.
– ดูฟังก์ชั่น ที่= และ ที่ = 2เอ็กซ์– 3 ไม่เป็นคู่หรือคี่เพราะว่า ความเท่าเทียมไม่พอใจ ฉ(– เอ็กซ์) = – ฉ(เอ็กซ์), ฉ(– เอ็กซ์) = ฉ(เอ็กซ์)

การศึกษาว่าฟังก์ชันเป็นคู่หรือคี่เรียกว่าการศึกษาฟังก์ชันเพื่อความเท่าเทียมกันสไลด์

ในคำจำกัดความ 1 และ 2 เรากำลังพูดถึงค่าของฟังก์ชันที่ x และ – x ดังนั้นจึงถือว่าฟังก์ชันถูกกำหนดที่ค่าด้วย เอ็กซ์และที่ – เอ็กซ์.

def3ถ้าเซตตัวเลขที่มีสมาชิก x แต่ละตัวประกอบกันด้วย มีสมาชิกตรงข้าม –x แสดงว่าเซตนั้น เอ็กซ์เรียกว่าเซตสมมาตร

ตัวอย่าง:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) คือเซตที่สมมาตร และ , [–5;4] เป็นเซตที่ไม่สมมาตร

– ฟังก์ชันคู่มีโดเมนของคำจำกัดความที่เป็นเซตสมมาตรหรือไม่? พวกที่แปลก?
– ถ้า D( ฉ) เป็นเซตอสมมาตร แล้วฟังก์ชันคืออะไร?
– ดังนั้น ถ้าฟังก์ชัน ที่ = ฉ(เอ็กซ์) – คู่หรือคี่ ดังนั้นโดเมนของคำจำกัดความคือ D( ฉ) เป็นเซตสมมาตร ข้อความตรงกันข้ามเป็นจริงหรือไม่: หากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันเป็นเซตสมมาตร แล้วมันจะเป็นคู่หรือคี่?
– ซึ่งหมายความว่าการมีอยู่ของชุดโดเมนของคำจำกัดความที่สมมาตรนั้นเป็นเงื่อนไขที่จำเป็น แต่ยังไม่เพียงพอ
– คุณจะตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อความเท่าเทียมกันได้อย่างไร? มาลองสร้างอัลกอริทึมกัน

สไลด์

อัลกอริทึมสำหรับศึกษาฟังก์ชันเพื่อความเท่าเทียมกัน

1. พิจารณาว่าโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันมีความสมมาตรหรือไม่ ถ้าไม่เช่นนั้น ฟังก์ชันก็จะไม่เป็นคู่หรือคี่ ถ้าใช่ ให้ไปที่ขั้นตอนที่ 2 ของอัลกอริทึม

2. เขียนสำนวนสำหรับ ฉ(–เอ็กซ์).

3. เปรียบเทียบ ฉ(–เอ็กซ์).และ ฉ(เอ็กซ์):

• ถ้า ฉ(–เอ็กซ์).= ฉ(เอ็กซ์) จากนั้นฟังก์ชันจะเป็นเลขคู่
• ถ้า ฉ(–เอ็กซ์).= – ฉ(เอ็กซ์) ดังนั้นฟังก์ชันจะเป็นเลขคี่
• ถ้า ฉ(–เอ็กซ์) ≠ ฉ(เอ็กซ์) และ ฉ(–เอ็กซ์) ≠ –ฉ(เอ็กซ์) ดังนั้นฟังก์ชันจึงไม่เป็นคู่หรือคี่

ตัวอย่าง:

ตรวจสอบฟังก์ชัน a) เพื่อหาความเท่าเทียมกัน ที่= x 5 +; ข) ที่- วี) ที่= .

สารละลาย.

ก) ชั่วโมง(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞) เซตสมมาตร

2) ชม. (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +)

3) ชั่วโมง(– x) = – ชั่วโมง (x) => ฟังก์ชัน ชั่วโมง(x)= x 5 + คี่

ข) y =,

ที่ = ฉ(เอ็กซ์), D(ฉ) = (–∞; –9)? (–9; +∞) คือเซตอสมมาตร ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันไม่เป็นคู่หรือคี่

วี) ฉ(เอ็กซ์) = , y = ฉ (x),

1) ง( ฉ) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

ตัวเลือกที่ 2

1. เซตที่กำหนดให้มีความสมมาตร: a) [–2;2]; ข) (∞; 0], (0; 7) ?

ก); ข) y = x (5 – x 2) 2. ตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อความเท่าเทียมกัน:

ก) y = x 2 (2x – x 3), ข) y =

3. ในรูป. มีการสร้างกราฟแล้ว ที่ = ฉ(เอ็กซ์) สำหรับทุกคน เอ็กซ์, เป็นไปตามเงื่อนไข เอ็กซ์? 0.
กราฟฟังก์ชัน ที่ = ฉ(เอ็กซ์), ถ้า ที่ = ฉ(เอ็กซ์) เป็นฟังก์ชันคู่

3. ในรูป. มีการสร้างกราฟแล้ว ที่ = ฉ(เอ็กซ์) สำหรับทุก x ที่เป็นไปตามเงื่อนไข x? 0.
กราฟฟังก์ชัน ที่ = ฉ(เอ็กซ์), ถ้า ที่ = ฉ(เอ็กซ์) เป็นฟังก์ชันคี่

ร่วมกันตรวจสอบ สไลด์

6. การบ้าน: №11.11, 11.21,11.22;

การพิสูจน์ความหมายทางเรขาคณิตของคุณสมบัติความเท่าเทียมกัน

***(การมอบหมายตัวเลือกการสอบ Unified State)

1. ฟังก์ชันคี่ y = f(x) ถูกกำหนดไว้บนเส้นจำนวนทั้งหมด สำหรับค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปร x ค่าของฟังก์ชันนี้เกิดขึ้นพร้อมกับค่าของฟังก์ชัน g( เอ็กซ์) = เอ็กซ์(เอ็กซ์ + 1)(เอ็กซ์ + 3)(เอ็กซ์– 7) ค้นหาค่าของฟังก์ชัน h( เอ็กซ์) = เมื่อ เอ็กซ์ = 3.

7. สรุป

ฟังก์ชันเรียกว่าคู่ (คี่) ถ้าสำหรับค่าใดๆ และความเท่าเทียมกัน

.

กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรรอบแกน
.

กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด

ตัวอย่างที่ 6.2ตรวจสอบว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่หรือคี่

1)
; 2)
; 3)
.

สารละลาย.

1) ฟังก์ชั่นถูกกำหนดเมื่อ
- เราจะพบ
.

เหล่านั้น.
- วิธี, ฟังก์ชั่นนี้เท่ากัน

2) ฟังก์ชั่นถูกกำหนดเมื่อ

เหล่านั้น.
- ดังนั้นฟังก์ชันนี้จึงเป็นเลขคี่

3) ฟังก์ชั่นถูกกำหนดไว้สำหรับ เช่น สำหรับ

,
- ดังนั้นฟังก์ชันจึงไม่เป็นคู่หรือคี่ เรียกมันว่าฟังก์ชันรูปแบบทั่วไปกันดีกว่า

3. ศึกษาฟังก์ชันเพื่อความซ้ำซากจำเจ

การทำงาน
เรียกว่าการเพิ่ม (ลดลง) ในช่วงเวลาหนึ่งหากในช่วงเวลานี้แต่ละค่าที่ใหญ่กว่าของอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่ใหญ่กว่า (น้อยกว่า) ของฟังก์ชัน

ฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น (ลดลง) ในช่วงเวลาหนึ่งเรียกว่าโมโนโทนิก

ถ้าฟังก์ชั่น
แยกแยะได้ในช่วงเวลา
และมีอนุพันธ์เชิงบวก (ลบ)
จากนั้นฟังก์ชัน
เพิ่มขึ้น (ลดลง) ในช่วงเวลานี้

ตัวอย่างที่ 6.3- ค้นหาช่วงเวลาของความน่าเบื่อของฟังก์ชัน

1)
; 3)
.

สารละลาย.

1) ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้บนเส้นจำนวนทั้งหมด ลองหาอนุพันธ์กัน

อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ถ้า
และ
- ขอบเขตของคำจำกัดความคือแกนจำนวนหารด้วยจุด
,
เป็นระยะ ให้เรากำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ในแต่ละช่วง

ในช่วงเวลา
อนุพันธ์เป็นลบ ฟังก์ชันจะลดลงในช่วงเวลานี้

ในช่วงเวลา
อนุพันธ์เป็นบวก ดังนั้น ฟังก์ชันจึงเพิ่มขึ้นในช่วงเวลานี้

2) ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้ถ้า
หรือ

.

เรากำหนดเครื่องหมายของตรีโกณมิติกำลังสองในแต่ละช่วง

ดังนั้น โดเมนของนิยามของฟังก์ชัน

ลองหาอนุพันธ์กัน
,
, ถ้า
, เช่น.
, แต่
- ให้เรากำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ในช่วงเวลา
.

ในช่วงเวลา
อนุพันธ์เป็นลบ ดังนั้นฟังก์ชันจะลดลงตามช่วงเวลา
- ในช่วงเวลา
อนุพันธ์เป็นบวก ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา
.

4. ศึกษาการทำงานที่ส่วนปลาย

จุด
เรียกว่าจุดสูงสุด (ต่ำสุด) ของฟังก์ชัน
ถ้ามีบริเวณใกล้จุดดังกล่าว นั่นสำหรับทุกคน
จากย่านนี้ความไม่เท่าเทียมกันก็มีอยู่

.

จุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันเรียกว่าจุดสุดขีด

ถ้าฟังก์ชั่น
ตรงจุด มีจุดสุดขีด ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดนี้เท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่ (เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของจุดสุดขีด)

จุดที่อนุพันธ์เป็นศูนย์หรือไม่มีอยู่เรียกว่าวิกฤต

5. เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของสุดขั้ว

กฎข้อที่ 1- หากในช่วงเปลี่ยนผ่าน (จากซ้ายไปขวา) ผ่านจุดวิกฤติ อนุพันธ์
เปลี่ยนเครื่องหมายจาก “+” เป็น “–” จากนั้นถึงจุดนั้น การทำงาน
มีค่าสูงสุด; ถ้าจาก "–" ถึง "+" แสดงว่าค่าต่ำสุด ถ้า
ไม่เปลี่ยนป้ายก็ไม่มีสุดขั้ว

กฎข้อที่ 2- ให้ตรงจุด
อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชัน
เท่ากับศูนย์
และมีอนุพันธ์อันดับสองอยู่และแตกต่างจากศูนย์ ถ้า
, ที่ – จุดสูงสุดหาก
, ที่ – จุดต่ำสุดของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง 6.4 - สำรวจฟังก์ชันสูงสุดและต่ำสุด:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

สารละลาย.

1) ฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่องตามช่วงเวลา
.

ลองหาอนุพันธ์กัน
และแก้สมการ
, เช่น.
.จากที่นี่
– จุดวิกฤติ

ให้เรากำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ในช่วงเวลา ,
.

เมื่อผ่านจุดต่างๆ
และ
อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจาก “–” เป็น “+” ดังนั้นตามกฎข้อ 1
– คะแนนขั้นต่ำ

เมื่อผ่านจุดใดจุดหนึ่ง
อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจาก "+" เป็น "–" ดังนั้น
– จุดสูงสุด

,
.

2) ฟังก์ชั่นถูกกำหนดและต่อเนื่องในช่วงเวลา
- ลองหาอนุพันธ์กัน
.

แก้สมการได้แล้ว
เราจะพบ
และ
– จุดวิกฤติ ถ้าเป็นตัวส่วน
, เช่น.
แล้วอนุพันธ์ไม่มีอยู่จริง ดังนั้น,
– จุดวิกฤติที่สาม ให้เรากำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ตามช่วงเวลา

ดังนั้นฟังก์ชันจึงมีค่าต่ำสุดที่จุด
, สูงสุดเป็นคะแนน
และ
.

3) ฟังก์ชั่นถูกกำหนดและต่อเนื่องถ้า
, เช่น. ที่
.

ลองหาอนุพันธ์กัน

.

มาหาจุดวิกฤติกัน:

บริเวณใกล้เคียงของจุด
ไม่อยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ ดังนั้นจึงไม่ใช่สิ่งสุดโต่ง ลองตรวจสอบจุดวิกฤตกัน
และ
.

4) ฟังก์ชั่นถูกกำหนดและต่อเนื่องตามช่วงเวลา
- ลองใช้กฎข้อ 2 ค้นหาอนุพันธ์
.

มาหาจุดวิกฤติกัน:

ลองหาอนุพันธ์อันดับสองกัน
และกำหนดเครื่องหมายไว้ที่จุดต่างๆ

ตามจุดต่างๆ
ฟังก์ชั่นมีขั้นต่ำ

ตามจุดต่างๆ
ฟังก์ชั่นมีค่าสูงสุด

ซ่อนแสดง

วิธีการระบุฟังก์ชัน

ให้สูตรกำหนดฟังก์ชัน: y=2x^(2)-3 ด้วยการกำหนดค่าใด ๆ ให้กับตัวแปรอิสระ x คุณสามารถคำนวณโดยใช้สูตรนี้ซึ่งเป็นค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปรตาม y ตัวอย่างเช่น หาก x=-0.5 เมื่อใช้สูตร เราจะพบว่าค่าที่สอดคล้องกันของ y คือ y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5

จากค่าใดๆ ที่ได้รับจากอาร์กิวเมนต์ x ในสูตร y=2x^(2)-3 คุณสามารถคำนวณได้เพียงค่าเดียวของฟังก์ชันที่สอดคล้องกับค่านั้น ฟังก์ชันสามารถแสดงเป็นตารางได้:

x	−2	−1	0	1	2	3
ย	−4	−3	−2	−1	0	1

เมื่อใช้ตารางนี้ คุณจะเห็นว่าสำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ −1 ค่าฟังก์ชัน −3 จะสอดคล้องกัน และค่า x=2 จะสอดคล้องกับ y=0 เป็นต้น สิ่งสำคัญคือต้องทราบด้วยว่าค่าอาร์กิวเมนต์แต่ละค่าในตารางสอดคล้องกับค่าฟังก์ชันเพียงค่าเดียวเท่านั้น

สามารถระบุฟังก์ชันเพิ่มเติมได้โดยใช้กราฟ การใช้กราฟจะกำหนดว่าค่าของฟังก์ชันใดมีความสัมพันธ์กับค่า x ที่กำหนด ส่วนใหญ่แล้ว ค่านี้จะเป็นค่าโดยประมาณของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันคู่และคี่

ฟังก์ชั่นคือ แม้กระทั่งฟังก์ชั่นเมื่อ f(-x)=f(x) สำหรับ x ใดๆ จากโดเมนของคำจำกัดความ ฟังก์ชันดังกล่าวจะสมมาตรเกี่ยวกับแกน Oy

ฟังก์ชั่นคือ ฟังก์ชั่นคี่เมื่อ f(-x)=-f(x) สำหรับ x ใดๆ จากโดเมนของคำจำกัดความ ฟังก์ชันดังกล่าวจะมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด O (0;0)

ฟังก์ชั่นคือ ไม่ได้ด้วยซ้ำ, ไม่แปลกและถูกเรียกว่า การทำงาน มุมมองทั่วไป เมื่อไม่มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนหรือจุดกำเนิด

ให้เราตรวจสอบฟังก์ชันต่อไปนี้เพื่อความเท่าเทียมกัน:

ฉ(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) โดยมีโดเมนสมมาตรที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด ฉ(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -ฉ(x).

ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชัน f(x)=3x^(3)-7x^(7) เป็นเลขคี่

ฟังก์ชันคาบ

ฟังก์ชัน y=f(x) ในโดเมนที่ความเท่าเทียมกัน f(x+T)=f(x-T)=f(x) ถือสำหรับ x ใดๆ เรียกว่า ฟังก์ชั่นเป็นระยะโดยมีจุด T \neq 0

การทำซ้ำกราฟของฟังก์ชันบนส่วนใดๆ ของแกน x ที่มีความยาว T

ช่วงที่ฟังก์ชันเป็นบวก นั่นคือ f(x) > 0 คือส่วนของแกนแอบซิสซาที่สอดคล้องกับจุดของกราฟฟังก์ชันซึ่งอยู่เหนือแกนแอบซิสซา

f(x) > 0 เปิด (x_(1); x_(2)) \ถ้วย (x_(3); +\infty)

ช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเป็นลบ นั่นคือ f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

ฉ(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \ถ้วย (x_(2); x_(3))

ฟังก์ชั่นจำกัด

กั้นจากด้านล่างเป็นเรื่องปกติที่จะเรียกใช้ฟังก์ชัน y=f(x), x \in X เมื่อมีตัวเลข A ซึ่ง f(x) \geq A ใช้สำหรับ x \in X ใดๆ

ตัวอย่างของฟังก์ชันที่มีขอบเขตจากด้านล่าง: y=\sqrt(1+x^(2)) เนื่องจาก y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 สำหรับ x ใดๆ

ล้อมรอบจากด้านบนฟังก์ชัน y=f(x), x \in X ถูกเรียกเมื่อมีตัวเลข B ซึ่ง f(x) \neq B มีค่าไม่เท่ากันสำหรับ x \in X ใดๆ

ตัวอย่างของฟังก์ชันที่มีขอบเขตด้านล่าง: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]เนื่องจาก y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 สำหรับใด ๆ x \in [-1;1]

จำกัดเป็นเรื่องปกติที่จะเรียกใช้ฟังก์ชัน y=f(x), x \in X เมื่อมีจำนวน K > 0 ซึ่งค่าอสมการ \left | ฉ(x)\ขวา | \neq K สำหรับ x \in X ใด ๆ

ตัวอย่าง ฟังก์ชั่นจำกัด: y=\sin x ถูกจำกัดไว้บนแกนจำนวนทั้งหมด เนื่องจาก \ซ้าย | \บาป x \right | \neq1.

ฟังก์ชั่นการเพิ่มและลด

เป็นเรื่องปกติที่จะพูดถึงฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นตามช่วงเวลาที่พิจารณาเป็น ฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นจากนั้น เมื่อค่า x ที่มากขึ้นจะสอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน y=f(x) ตามมาว่าการรับค่าที่กำหนดเองสองค่าของอาร์กิวเมนต์ x_(1) และ x_(2) จากช่วงเวลาที่พิจารณาด้วย x_(1) > x_(2) ผลลัพธ์จะเป็น y(x_(1)) > ใช่(x_(2))

ฟังก์ชันที่ลดลงในช่วงเวลาที่พิจารณาเรียกว่าฟังก์ชัน ฟังก์ชั่นลดลงเมื่อค่า x ที่มากขึ้นสอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน y(x) ตามมาว่าการรับค่าที่กำหนดเองสองค่าของอาร์กิวเมนต์ x_(1) และ x_(2) จากช่วงเวลาที่พิจารณาด้วย x_(1) > x_(2) ผลลัพธ์จะเป็น y(x_(1))< y(x_{2}) .

รากของฟังก์ชันเป็นเรื่องปกติที่จะเรียกจุดที่ฟังก์ชัน F=y(x) ตัดกับแกน abscissa (ได้มาจากการแก้สมการ y(x)=0)

ก) ถ้าสำหรับ x > 0 ฟังก์ชันคู่เพิ่มขึ้น ฟังก์ชันคู่จะลดลงสำหรับ x< 0

b) เมื่อฟังก์ชันเลขคู่ลดลงที่ x > 0 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นที่ x< 0

c) เมื่อฟังก์ชันคี่เพิ่มขึ้นที่ x > 0 ก็จะเพิ่มขึ้นที่ x ด้วย< 0

d) เมื่อฟังก์ชันคี่ลดลงสำหรับ x > 0 ฟังก์ชันก็จะลดลงสำหรับ x ด้วย< 0

สุดขีดของฟังก์ชัน

จุดต่ำสุดของฟังก์ชัน y=f(x) โดยปกติจะเรียกว่าจุด x=x_(0) ซึ่งย่านใกล้เคียงจะมีจุดอื่น (ยกเว้นจุด x=x_(0)) และสำหรับจุดเหล่านั้น ความไม่เท่าเทียมกัน f(x) > f จะเป็น พอใจ (x_(0)) . y_(min) - การกำหนดฟังก์ชันที่จุดต่ำสุด

จุดสูงสุดของฟังก์ชัน y=f(x) โดยปกติจะเรียกว่าจุด x=x_(0) ซึ่งบริเวณใกล้เคียงจะมีจุดอื่น (ยกเว้นจุด x=x_(0)) และสำหรับจุดเหล่านั้น ความไม่เท่าเทียมกัน f(x) จะเป็นที่น่าพอใจ< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

ข้อกำหนดเบื้องต้น

ตามทฤษฎีบทของแฟร์มาต์: f"(x)=0 เมื่อฟังก์ชัน f(x) ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุด x_(0) จะมีจุดสุดโต่ง ณ จุดนี้

สภาพที่เพียงพอ

1. เมื่ออนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ แล้ว x_(0) จะเป็นจุดต่ำสุด
2. x_(0) - จะเป็นจุดสูงสุดเฉพาะเมื่ออนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวกเมื่อผ่านจุดที่นิ่ง x_(0) .

ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่ง

ขั้นตอนการคำนวณ:

1. ค้นหาอนุพันธ์ f"(x);
2. พบจุดคงที่และจุดวิกฤตของฟังก์ชันและเลือกจุดที่อยู่ในส่วนนั้น
3. ค่าของฟังก์ชัน f(x) จะอยู่ที่จุดคงที่และจุดวิกฤตและส่วนปลายของเซ็กเมนต์ ผลลัพธ์ที่ได้ก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น ค่าต่ำสุดฟังก์ชั่นและอีกมากมาย - ใหญ่ที่สุด.

การขึ้นต่อกันของตัวแปร y กับตัวแปร x ซึ่งแต่ละค่าของ x สอดคล้องกับค่า y เดียวเรียกว่าฟังก์ชัน สำหรับการกำหนดให้ใช้สัญลักษณ์ y=f(x) แต่ละฟังก์ชันมีคุณสมบัติพื้นฐานจำนวนหนึ่ง เช่น ความน่าเบื่อ ความเท่าเทียมกัน ระยะเวลา และอื่นๆ

ลองดูที่ทรัพย์สินพาริตีให้ละเอียดยิ่งขึ้น

ฟังก์ชัน y=f(x) จะถูกเรียกแม้ว่าจะเป็นไปตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้:

2. ค่าของฟังก์ชันที่จุด x ซึ่งเป็นโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน จะต้องเท่ากับค่าของฟังก์ชันที่จุด -x นั่นคือสำหรับจุด x ใดๆ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะต้องเป็นไปตามขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชัน: f(x) = f(-x)

กราฟของฟังก์ชันคู่

หากคุณพล็อตกราฟของฟังก์ชันคู่ มันจะสมมาตรเกี่ยวกับแกน Oy

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y=x^2 เป็นเลขคู่ เรามาตรวจสอบกัน ขอบเขตของคำจำกัดความคือแกนตัวเลขทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าจุด O มีความสมมาตร

ลองหา x=3 อะไรก็ได้ ฉ(x)=3^2=9.

ฉ(-x)=(-3)^2=9. ดังนั้น f(x) = f(-x) ดังนั้น ตรงตามเงื่อนไขทั้งสอง ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่ ด้านล่างนี้คือกราฟของฟังก์ชัน y=x^2

รูปนี้แสดงให้เห็นว่ากราฟมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน Oy

กราฟของฟังก์ชันคี่

ฟังก์ชัน y=f(x) จะถูกเรียกว่าเป็นเลขคี่หากตรงตามเงื่อนไขสองประการต่อไปนี้:

1. โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่กำหนดจะต้องสมมาตรด้วยความเคารพต่อจุด O กล่าวคือ ถ้าบางจุด a อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน จุดที่สอดคล้องกัน -a จะต้องอยู่ในโดเมนของคำจำกัดความด้วย ของฟังก์ชันที่กำหนด

2. สำหรับจุด x ใดๆ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะต้องเป็นไปตามขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชัน: f(x) = -f(x)

กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเทียบกับจุด O ซึ่งเป็นที่มาของพิกัด ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y=x^3 เป็นเลขคี่ เรามาตรวจสอบกัน ขอบเขตของคำจำกัดความคือแกนตัวเลขทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าจุด O มีความสมมาตร

ลองหา x=2 อะไรก็ได้ ฉ(x)=2^3=8.

ฉ(-x)=(-2)^3=-8. ดังนั้น f(x) = -f(x) ดังนั้น ตรงตามเงื่อนไขทั้งสอง ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันเป็นเลขคี่ ด้านล่างนี้คือกราฟของฟังก์ชัน y=x^3

รูปนี้แสดงให้เห็นชัดเจนว่าฟังก์ชันคี่ y=x^3 มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด