สภาวะสมดุลสถิตของระบบเครื่องกล ความสมดุลทางกล

ความสมดุลทางกล

ความสมดุลทางกล- สถานะของระบบทางกลซึ่งผลรวมของแรงทั้งหมดที่กระทำต่ออนุภาคแต่ละอนุภาคมีค่าเท่ากับศูนย์ และผลรวมของโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อร่างกายสัมพันธ์กับแกนการหมุนตามอำเภอใจใดๆ ก็เป็นศูนย์เช่นกัน

ในสภาวะสมดุล ร่างกายจะอยู่นิ่ง (เวกเตอร์ความเร็วเป็นศูนย์) ในกรอบอ้างอิงที่เลือก เคลื่อนที่สม่ำเสมอเป็นเส้นตรงหรือหมุนโดยไม่มีความเร่งในวงสัมผัส

นิยามผ่านพลังงานของระบบ

เนื่องจากพลังงานและแรงมีความสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์พื้นฐาน คำจำกัดความนี้จึงเทียบเท่ากับนิยามแรก อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความในแง่ของพลังงานสามารถขยายออกไปเพื่อให้ข้อมูลเกี่ยวกับเสถียรภาพของตำแหน่งสมดุลได้

ประเภทของความสมดุล

เรามายกตัวอย่างระบบที่มีอิสระระดับหนึ่งกัน ในกรณีนี้ เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับตำแหน่งสมดุลคือการมีจุดสุดขั้วเฉพาะจุด ณ จุดที่กำลังศึกษา ดังที่ทราบกันดีว่า เงื่อนไขของค่าสุดขั้วเฉพาะจุดของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้คืออนุพันธ์อันดับแรกมีค่าเท่ากับศูนย์ ในการพิจารณาว่าจุดนี้เป็นค่าต่ำสุดหรือสูงสุด คุณต้องวิเคราะห์อนุพันธ์อันดับสองของจุดนั้น ความมั่นคงของตำแหน่งสมดุลนั้นมีลักษณะเฉพาะโดยตัวเลือกต่อไปนี้:

• สมดุลไม่เสถียร
• ความสมดุลที่มั่นคง
• ความสมดุลที่ไม่แยแส

ความสมดุลไม่เสถียร

ในกรณีที่อนุพันธ์อันดับสองเป็นลบ พลังงานศักย์ของระบบจะอยู่ในสถานะค่าสูงสุดเฉพาะที่ ซึ่งหมายความว่าตำแหน่งสมดุล ไม่เสถียร- หากระบบถูกแทนที่เป็นระยะทางเล็กน้อย ระบบจะเคลื่อนที่ต่อไปเนื่องจากแรงที่กระทำต่อระบบ

ความสมดุลที่มั่นคง

อนุพันธ์อันดับสอง > 0: พลังงานศักย์ที่ค่าต่ำสุดในพื้นที่ ตำแหน่งสมดุล ที่ยั่งยืน(ดูทฤษฎีบทของลากรองจ์เรื่องเสถียรภาพของสมดุล) หากระบบถูกแทนที่เป็นระยะทางเล็กน้อย ระบบจะกลับสู่สภาวะสมดุล ความสมดุลจะคงที่หากจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายอยู่ในตำแหน่งที่ต่ำที่สุดเมื่อเทียบกับตำแหน่งใกล้เคียงทั้งหมดที่เป็นไปได้

ความสมดุลที่ไม่แยแส

อนุพันธ์อันดับสอง = 0: ในภูมิภาคนี้พลังงานไม่เปลี่ยนแปลงและตำแหน่งสมดุลคือ ไม่แยแส- หากระบบถูกย้ายเป็นระยะทางเล็กน้อย ระบบก็จะยังคงอยู่ในตำแหน่งใหม่

ความเสถียรในระบบที่มีระดับความอิสระจำนวนมาก

หากระบบมีระดับความเป็นอิสระหลายระดับ ก็อาจกลายเป็นว่าในบางทิศทางความสมดุลจะเสถียร แต่ในบางทิศทางก็ไม่เสถียร ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของสถานการณ์เช่นนี้คือ "อาน" หรือ "ทางผ่าน" (ควรวางรูปภาพในสถานที่นี้)

ความสมดุลของระบบที่มีความเป็นอิสระหลายระดับจะมีเสถียรภาพก็ต่อเมื่อมีเสถียรภาพเท่านั้น ในทุกทิศทุกทาง.

มูลนิธิวิกิมีเดีย

2010.

ดูว่า "ความสมดุลทางกล" ในพจนานุกรมอื่นคืออะไร:ความสมดุลทางกล

- เครื่องจักร สถานะ pusausvyra T sritis fizika atitikmenys: engl. สมดุลทางกล ช่างเครื่อง Gleichgewicht, n rus. สมดุลทางกล n ปรางค์ équilibre mécanique, m … Fizikos สิ้นสุด žodynas

- ... วิกิพีเดีย

การเปลี่ยนเฟส บทความ I ... Wikipedia สถานะของระบบเทอร์โมไดนามิกส์ซึ่งเกิดขึ้นเองตามธรรมชาติหลังจากผ่านระยะเวลานานพอสมควรภายใต้เงื่อนไขการแยกตัวจากสิ่งแวดล้อม หลังจากนั้นพารามิเตอร์สถานะของระบบจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไปอีกต่อไป การแยกตัว... ...

สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียตสมดุล - (1) สถานะเชิงกลของการไม่สามารถเคลื่อนที่ของร่างกายได้ซึ่งเป็นผลมาจากแรง R. ที่กระทำต่อร่างกาย (เมื่อผลรวมของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อร่างกายเท่ากับศูนย์นั่นคือมันไม่ได้ให้ความเร่ง) . อาร์ มีความโดดเด่น: ก) มีเสถียรภาพเมื่อเบี่ยงเบนจาก ... ...

สารานุกรมโพลีเทคนิคขนาดใหญ่ สภาพทางกล ระบบซึ่งจุดทั้งหมดไม่เคลื่อนที่ตามระบบอ้างอิงที่กำหนด หากระบบอ้างอิงนี้เป็นระบบเฉื่อย ระบบจะเรียก R.M. สัมบูรณ์หรือสัมพันธ์กัน ขึ้นอยู่กับพฤติกรรมของร่างกายภายหลัง...

สมดุลทางอุณหพลศาสตร์คือสถานะของระบบเทอร์โมไดนามิกส์ที่แยกออกมา ซึ่งในแต่ละจุดของกระบวนการทางเคมี การแพร่ นิวเคลียร์ และกระบวนการอื่นๆ ทั้งหมด อัตราของปฏิกิริยาไปข้างหน้าจะเท่ากับอัตราของปฏิกิริยาที่กลับกัน อุณหพลศาสตร์... ... วิกิพีเดีย

สมดุล- มาโครสเตตที่เป็นไปได้มากที่สุดของสาร เมื่อตัวแปร โดยไม่คำนึงถึงตัวเลือก ยังคงคงที่ที่ คำอธิบายแบบเต็มระบบ ความสมดุลมีความโดดเด่น: เครื่องกล, อุณหพลศาสตร์, เคมี, เฟส ฯลฯ: ดูสิ... ... พจนานุกรมสารานุกรมโลหะวิทยา

สารบัญ 1 คำจำกัดความคลาสสิก 2 คำจำกัดความผ่านพลังงานของระบบ 3 ประเภทของสมดุล ... Wikipedia

การเปลี่ยนเฟส บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของชุดอุณหพลศาสตร์ แนวคิดของเฟส สมดุลของเฟส การเปลี่ยนเฟสควอนตัม ส่วนของอุณหพลศาสตร์ หลักการของอุณหพลศาสตร์ สมการสถานะ ... Wikipedia

เป็นที่ทราบกันดีว่าเพื่อความสมดุลของระบบที่มีการเชื่อมต่อในอุดมคติ จำเป็นและเพียงพอสำหรับสิ่งนั้น (7)

เนื่องจากการแปรผันของพิกัดทั่วไปเป็นอิสระจากกัน และโดยทั่วไปไม่เท่ากับศูนย์ จึงจำเป็นที่
,
,…,
.

สำหรับความสมดุลของระบบที่มีการยึดเหนี่ยวแบบโฮโลโนมิก แบบอยู่กับที่ และข้อจำกัดในอุดมคติ แรงทั่วไปทั้งหมดที่สอดคล้องกับพิกัดทั่วไปที่เลือกไว้จะมีค่าเท่ากับศูนย์จึงจำเป็นและเพียงพอ

กรณีของกองกำลังที่อาจเกิดขึ้น:

หากระบบอยู่ในสนามพลังศักย์แล้ว

,
,…,

,
,…,

นั่นคือตำแหน่งสมดุลของระบบสามารถเป็นได้เฉพาะค่าของพิกัดทั่วไปที่ฟังก์ชันแรงทำงานเท่านั้น คุณและพลังงานศักย์ ปมีค่ามากสุด ( สูงสุดหรือ นาที).

แนวคิดเรื่องเสถียรภาพสมดุล

เมื่อพิจารณาถึงตำแหน่งที่ระบบสามารถอยู่ในภาวะสมดุลได้แล้ว ก็เป็นไปได้ที่จะกำหนดว่าตำแหน่งใดที่สามารถทำได้และตำแหน่งใดที่ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ นั่นคือ กำหนดว่าตำแหน่งใดมีเสถียรภาพและตำแหน่งใดไม่เสถียร

โดยทั่วไปแล้วจำเป็น สัญญาณของความมั่นคงสมดุล ตาม Lyapunov สามารถกำหนดได้ดังนี้:

ให้เราลบระบบออกจากตำแหน่งสมดุลโดยระบุค่าสัมบูรณ์เล็กน้อยของพิกัดทั่วไปและความเร็วของมัน เมื่อพิจารณาระบบเพิ่มเติมแล้ว หากพิกัดทั่วไปและความเร็วยังคงน้อยในค่าสัมบูรณ์ กล่าวคือ ระบบไม่ได้เบี่ยงเบนไปไกลจากตำแหน่งสมดุล ตำแหน่งสมดุลนั้นจะเสถียร

สภาวะที่เพียงพอต่อเสถียรภาพสมดุล ระบบถูกกำหนดไว้ ทฤษฎีบทลากรองจ์-ดิริชเลต์ :

หากในตำแหน่งสมดุลของระบบกลไกที่มีการเชื่อมต่อในอุดมคติ พลังงานศักย์มีค่าต่ำสุด ตำแหน่งสมดุลนั้นจะเสถียร

,
- ที่ยั่งยืน.

ต่อไปนี้จากตัวอย่างการศึกษาการเคลื่อนที่ของการสั่นของจุดวัสดุ การเคลื่อนที่ที่เหมาะสมของระบบเกิดจากแรงยืดหยุ่น ก่อนหน้านี้แสดงให้เห็นว่าแรงยืดหยุ่นเป็นของสนามแรงศักย์ ด้วยเหตุนี้ ในการศึกษาการเคลื่อนที่แบบสั่นภายในของระบบเครื่องกล จึงควรสันนิษฐานว่าการเคลื่อนไหวดังกล่าวมีสาเหตุมาจากแรงของสนามศักย์ไฟฟ้า ดังนั้น หากระบบมีระดับความเป็นอิสระ แรงทั่วไปของระบบจะถูกเขียนผ่านฟังก์ชันแรง U หรือพลังงานศักย์ P ในรูปแบบ:

จากการศึกษาการเคลื่อนที่ของจุดนั้น การแกว่งจะเกิดขึ้นรอบตำแหน่งสมดุลดังนี้ การเคลื่อนที่ของระบบก็จะเกิดขึ้นใกล้กับตำแหน่งสมดุลซึ่งถูกกำหนดโดยเงื่อนไขต่างๆ

เงื่อนไขเหล่านี้บ่งชี้ว่าการเคลื่อนที่ของระบบอาจเกิดขึ้นใกล้กับตำแหน่งที่มีลักษณะเฉพาะโดยส่วนปลายสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันแรงหรือพลังงานศักย์ของระบบ อย่างไรก็ตาม การเคลื่อนที่ของระบบไม่สามารถเคลื่อนที่ได้ใกล้กับทุกตำแหน่งสมดุล

การหาตำแหน่งสมดุลที่มั่นคงของระบบกลไก

ให้ระบบกลไกประกอบด้วยจุดวัสดุที่อยู่ในสมดุลภายใต้การกระทำของแรงที่กระทำกับจุดเหล่านั้น ให้เราให้จุดของระบบนี้เบี่ยงเบนเล็กน้อยจากตำแหน่งสมดุลและความเร็วเริ่มต้นเล็กน้อย จากนั้นระบบจะเริ่มเคลื่อนไหว หากตลอดเวลาภายหลังความไม่สมดุล จุดของระบบยังคงอยู่ใกล้กับตำแหน่งสมดุล ตำแหน่งนี้เรียกว่ามั่นคง มิฉะนั้น ความสมดุลของระบบจะเรียกว่าไม่เสถียร เราสามารถพูดถึงการแกว่งของระบบได้ก็ต่อเมื่อการแกว่งเหล่านี้เกิดขึ้นใกล้กับตำแหน่งสมดุลที่เสถียรเท่านั้น หากตำแหน่งของระบบไม่เสถียร กล่าวคือ หากมีการเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากตำแหน่งสมดุลและความเร็วต่ำ ระบบจะเคลื่อนที่ไปไกลจากตำแหน่งนั้นอีก เราไม่สามารถพูดถึงการแกว่งของระบบใกล้กับตำแหน่งนี้ได้ ดังนั้นการศึกษาการแกว่งของระบบจึงควรเริ่มต้นด้วยการกำหนดเกณฑ์เสถียรภาพสมดุลของระบบกลไก

เกณฑ์สำหรับเสถียรภาพสมดุลของระบบกลไกแบบอนุรักษ์นิยม

เกณฑ์สำหรับเสถียรภาพของสมดุลของระบบอนุรักษ์นิยมถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทลากรองจ์-ดิริชเลต์ ซึ่งมีดังต่อไปนี้: หากระบบกลไกมีการเชื่อมต่อที่อยู่กับที่และเป็นแบบอนุรักษ์นิยม และหากอยู่ในตำแหน่งสมดุลของระบบนี้ พลังงานศักย์จะมี ค่าต่ำสุด (เช่น ฟังก์ชันแรงมีค่าสูงสุด) จากนั้นความสมดุลของระบบจะยั่งยืน

ลองพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้กัน ให้ตำแหน่งของระบบเครื่องกลถูกกำหนดโดยพิกัดทั่วไปที่วัดจากตำแหน่งสมดุล จากนั้นในตำแหน่งนี้เราจะได้:

ปริมาณถือได้ว่าเป็นพิกัดของจุดในปริภูมิมิติ จากนั้นแต่ละตำแหน่งของระบบจะตรงกับจุดใดจุดหนึ่งในพื้นที่นี้ โดยเฉพาะตำแหน่งสมดุลจะสอดคล้องกับจุดกำเนิดของพิกัด O

เราจะนับพลังงานศักย์ P จากตำแหน่งสมดุล โดยสมมติว่าในตำแหน่งนี้ซึ่งไม่ละเมิดหลักการทั่วไปของการให้เหตุผล เนื่องจากพลังงานศักย์ถูกกำหนดจนถึงค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ลองถามตัวเองบ้าง จำนวนบวกและอธิบายทรงกลมรัศมีจากจุด O พื้นที่ที่ถูกจำกัดด้วยทรงกลมนี้จะแสดงด้วยตัวเลข เราจะพิจารณาว่าเป็นพื้นที่ตามอำเภอใจ แต่มีขนาดเล็กเพียงพอ จากนั้น ณ จุดใดๆ บนขอบเขตของขอบเขต D จะเกิดความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

เนื่องจากที่จุด O ฟังก์ชัน P เท่ากับศูนย์และมีค่าต่ำสุด

อนุญาต ค่าที่น้อยที่สุด P บนขอบเขตของขอบเขต D เท่ากับ P จากนั้นสำหรับจุดใดๆ ที่เป็นของขอบเขตนี้ เราจะได้

ตอนนี้ให้เราลบระบบออกจากตำแหน่งสมดุลโดยให้จุดของมันเล็กมาก การเบี่ยงเบนเริ่มต้นและความเร็วเริ่มต้นต่ำมากจนเป็นไปตามอสมการต่อไปนี้

ค่าเริ่มต้นของศักยภาพและพลังงานจลน์อยู่ที่ไหน จากนั้นเราจะได้:

แต่ด้วยความเคลื่อนไหวของระบบเพิ่มเติม เนื่องจากกฎการอนุรักษ์พลังงานกลซึ่งใช้ได้กับระบบอนุรักษ์ที่มีการเชื่อมต่อแบบคงที่ ความเท่าเทียมกันก็จะเป็นที่พอใจ

ช่วยให้คุณวิเคราะห์รูปแบบการเคลื่อนที่ทั่วไปหากทราบการพึ่งพาพลังงานศักย์บนพิกัด ตัวอย่างเช่น ให้เราพิจารณาการเคลื่อนที่ในมิติเดียวของจุดวัสดุ (อนุภาค) ตามแนวแกน 0xในสนามที่มีศักยภาพดังแสดงในรูปที่ 1 4.12.

รูปที่.4.12. การเคลื่อนที่ของอนุภาคใกล้ตำแหน่งสมดุลที่เสถียรและไม่เสถียร

เนื่องจากในสนามแรงโน้มถ่วงที่สม่ำเสมอ พลังงานศักย์จะเป็นสัดส่วนกับความสูงของร่างกายที่ยกขึ้น เราจึงสามารถจินตนาการถึงแผ่นน้ำแข็ง (ละเลยแรงเสียดทาน) ที่มีโปรไฟล์ที่สอดคล้องกับฟังก์ชัน พี(เอ็กซ์)ในภาพ

จากกฎการอนุรักษ์พลังงาน E = K + Pและจากข้อเท็จจริงที่ว่าพลังงานจลน์ K = อี - ปไม่เป็นลบเสมอ ส่งผลให้อนุภาคสามารถอยู่ได้เฉพาะในบริเวณที่เท่านั้น อี > ป- รูปนี้แสดงอนุภาคที่มีพลังงานทั้งหมด อีสามารถเคลื่อนย้ายได้เฉพาะในพื้นที่เท่านั้น

ในภูมิภาคแรก การเคลื่อนที่ของมันจะถูกจำกัด (จำกัด): ด้วยการจ่ายพลังงานทั้งหมดตามที่กำหนด อนุภาคจะไม่สามารถเอาชนะ "สไลด์" ระหว่างทางได้ (เรียกว่า อุปสรรคที่อาจเกิดขึ้น) และถูกกำหนดให้คงอยู่ใน "หุบเขา" ระหว่างพวกเขาตลอดไป ชั่วนิรันดร์ - จากมุมมองของกลศาสตร์คลาสสิกที่เรากำลังศึกษาอยู่ ในตอนท้ายของหลักสูตร เราจะได้เห็นว่ากลศาสตร์ควอนตัมช่วยให้อนุภาคหลุดจากการกักขังในบ่อที่มีศักยภาพได้อย่างไร - ภูมิภาค

ในภูมิภาคที่สอง การเคลื่อนที่ของอนุภาคไม่ถูกจำกัด (ไม่จำกัด) มันสามารถเคลื่อนที่ได้ไกลจากจุดกำเนิดไปทางขวาอย่างไม่มีที่สิ้นสุด แต่การเคลื่อนที่ทางด้านซ้ายยังคงถูกจำกัดด้วยสิ่งกีดขวางที่อาจเกิดขึ้น:

วิดีโอ 4.6 การสาธิตการเคลื่อนไหวที่มีขอบเขตและไม่มีที่สิ้นสุด

ที่จุดสุดขั้วพลังงานศักย์ x นาทีและ x สูงสุดแรงที่กระทำต่ออนุภาคเป็นศูนย์เนื่องจากอนุพันธ์ของพลังงานศักย์เป็นศูนย์:

หากคุณวางอนุภาคนิ่งไว้ที่จุดเหล่านี้ มันจะคงอยู่ตรงนั้น... อีกครั้งตลอดไป หากไม่ใช่เพราะความผันผวนของตำแหน่ง ไม่มีอะไรหยุดนิ่งอย่างเคร่งครัดในโลกนี้ อนุภาคสามารถสัมผัสกับสิ่งเล็กๆ ได้ การเบี่ยงเบน (ความผันผวน) จากตำแหน่งสมดุล ในกรณีนี้ ย่อมมีกองกำลังเกิดขึ้น หากพวกมันคืนอนุภาคกลับสู่ตำแหน่งสมดุลก็จะเรียกว่าสมดุลดังกล่าว ที่ยั่งยืน- หากเมื่ออนุภาคเบี่ยงเบนไป แรงที่เกิดขึ้นจะดึงมันออกไปจากตำแหน่งสมดุลของมันมากขึ้นอีก เราก็กำลังเผชิญกับ ไม่เสถียรสมดุล และอนุภาคมักจะไม่อยู่ในตำแหน่งนี้เป็นเวลานาน โดยการเปรียบเทียบกับสไลเดอร์น้ำแข็ง เราสามารถเดาได้ว่าตำแหน่งที่มั่นคงจะต้องมีพลังงานศักย์ขั้นต่ำ และตำแหน่งที่ไม่เสถียรในระดับสูงสุด

ขอให้เราพิสูจน์ว่าเป็นเช่นนั้นจริง สำหรับอนุภาคที่จุดปลายสุด x ม (x นาทีหรือ x สูงสุด) แรงที่กระทำต่อมัน ฟ x (x ม) = 0- ปล่อยให้พิกัดของอนุภาคเปลี่ยนแปลงไปเล็กน้อยเนื่องจากความผันผวน x- เมื่อพิกัดเปลี่ยนแปลง แรงจะเริ่มกระทำต่ออนุภาค

(นายกระบุอนุพันธ์เกี่ยวกับพิกัด x- เมื่อพิจารณาแล้วว่า ฟ x =-ป"เราจะได้การแสดงออกของแรง

ที่จุดต่ำสุด อนุพันธ์อันดับสองของพลังงานศักย์จะเป็นค่าบวก: U"(x นาที) > 0- จากนั้นสำหรับการเบี่ยงเบนเชิงบวกจากตำแหน่งสมดุล x > 0 แรงที่เกิดจะเป็นลบและเมื่อใด x<0 แรงเป็นบวก ในทั้งสองกรณี แรงจะป้องกันไม่ให้อนุภาคเปลี่ยนพิกัด และตำแหน่งสมดุลที่พลังงานศักย์ขั้นต่ำจะเสถียร

ในทางตรงกันข้าม ที่จุดสูงสุดอนุพันธ์อันดับสองจะเป็นลบ: ยู"(x สูงสุด)<0 - จากนั้นการเพิ่มพิกัดของอนุภาค Δx จะนำไปสู่การเกิดแรงบวก ซึ่งจะเพิ่มความเบี่ยงเบนจากตำแหน่งสมดุลต่อไป ที่ x<0 แรงนั้นเป็นลบ นั่นคือ ในกรณีนี้ มันมีส่วนทำให้อนุภาคโก่งตัวต่อไป ตำแหน่งสมดุลนี้ไม่เสถียร

ดังนั้นตำแหน่งของสมดุลที่มั่นคงจึงสามารถหาได้โดยการแก้สมการและอสมการร่วมกัน

วิดีโอ 4.7 หลุมที่อาจเกิดขึ้น สิ่งกีดขวางที่อาจเกิดขึ้น และความสมดุล: เสถียรและไม่เสถียร

ตัวอย่าง- พลังงานศักย์ของโมเลกุลไดอะตอมมิก (เช่น เอช 2หรือ โอ 2) อธิบายได้ด้วยการแสดงออกของแบบฟอร์ม

ที่ไหน รคือระยะห่างระหว่างอะตอม และ ก, บี- ค่าคงที่บวก กำหนดระยะทางสมดุล อาร์ เอ็มระหว่างอะตอมของโมเลกุล โมเลกุลไดอะตอมมีความเสถียรหรือไม่?

สารละลาย- คำแรกอธิบายแรงผลักของอะตอมในระยะทางสั้นๆ (โมเลกุลต้านทานการบีบอัด) คำที่สองอธิบายแรงดึงดูดในระยะไกลมาก (โมเลกุลต้านทานการแตกหัก) ตามที่กล่าวไว้ ระยะทางสมดุล หาได้โดยการแก้สมการ

เราได้รับความแตกต่างของพลังงานศักย์

ตอนนี้เราพบอนุพันธ์อันดับสองของพลังงานศักย์แล้ว

และแทนค่าระยะทางสมดุลตรงนั้น อาร์ เอ็ม :

ตำแหน่งสมดุลมีความเสถียร

ในรูป 4.13 นำเสนอการทดลองเพื่อศึกษาเส้นโค้งศักย์ไฟฟ้าและสภาวะสมดุลของลูกบอล ในแบบจำลองเส้นโค้งศักย์ไฟฟ้า หากวางลูกบอลไว้ที่ความสูงมากกว่าความสูงของสิ่งกีดขวางที่อาจเกิดขึ้น (พลังงานของลูกบอลมากกว่าพลังงานของสิ่งกีดขวาง) จากนั้นลูกบอลจะเอาชนะสิ่งกีดขวางที่อาจเกิดขึ้นได้ ถ้าความสูงเริ่มต้นของลูกบอลน้อยกว่าความสูงของสิ่งกีดขวาง ลูกบอลจะยังคงอยู่ในหลุมศักยภาพ

ลูกบอลที่วางอยู่ที่จุดสูงสุดของสิ่งกีดขวางที่อาจเกิดขึ้นจะอยู่ในสภาวะสมดุลที่ไม่เสถียร เนื่องจากอิทธิพลภายนอกใดๆ จะทำให้ลูกบอลเคลื่อนที่ไปยังจุดต่ำสุดของหลุมศักยภาพ ที่จุดต่ำสุดของหลุมศักย์ ลูกบอลจะอยู่ในสมดุลที่มั่นคง เนื่องจากอิทธิพลภายนอกใดๆ จะทำให้ลูกบอลกลับไปสู่จุดต่ำสุดของหลุมศักย์

ข้าว. 4.13. การศึกษาทดลองเส้นโค้งศักย์ไฟฟ้า

ข้อมูลเพิ่มเติม

http://vivovoco.rsl.ru/quantum/2001.01/KALEID.PDF – ภาคผนวกของวารสาร “Quantum” - การอภิปรายเกี่ยวกับสมดุลที่มั่นคงและไม่เสถียร (A. Leonovich);

http://mehanika.3dn.ru/load/24-1-0-3278 – ทาร์ก เอส.เอ็ม. หลักสูตรระยะสั้นในกลศาสตร์เชิงทฤษฎี สำนักพิมพ์ โรงเรียนมัธยมปลาย 1986 – หน้า 11–15, §2 – ข้อกำหนดเบื้องต้นของสถิติ

ความสมดุลของระบบกลไกคือสภาวะที่ทุกจุดของระบบที่พิจารณาอยู่นิ่งตามระบบอ้างอิงที่เลือก

วิธีที่ง่ายที่สุดในการค้นหาเงื่อนไขของความสมดุลคือโดยใช้ตัวอย่างระบบกลไกที่ง่ายที่สุด - จุดวัสดุ ตามกฎข้อที่หนึ่งของพลศาสตร์ (ดูกลศาสตร์) เงื่อนไขของการหยุดนิ่ง (หรือการเคลื่อนที่เชิงเส้นสม่ำเสมอ) ของจุดวัสดุในระบบพิกัดเฉื่อยคือผลรวมเวกเตอร์ของแรงทั้งหมดที่กระทำกับจุดวัสดุนั้นเท่ากับศูนย์

เมื่อย้ายไปยังระบบกลไกที่ซับซ้อนมากขึ้น สภาวะนี้เพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอต่อความสมดุล นอกเหนือจากการเคลื่อนที่แบบแปลนซึ่งเกิดจากแรงภายนอกที่ไม่มีการชดเชยแล้ว ระบบกลไกที่ซับซ้อนยังสามารถเกิดการเคลื่อนที่แบบหมุนหรือการเสียรูปได้ ให้เราค้นหาสภาวะสมดุลสำหรับวัตถุที่มีความแข็งอย่างยิ่ง - ระบบกลไกที่ประกอบด้วยการสะสมของอนุภาคซึ่งมีระยะห่างซึ่งกันและกันซึ่งไม่เปลี่ยนแปลง

ความเป็นไปได้ของการเคลื่อนที่แบบแปลน (ด้วยความเร่ง) ของระบบกลไกสามารถกำจัดได้ในลักษณะเดียวกับในกรณีของจุดวัสดุ โดยกำหนดให้ผลรวมของแรงที่ใช้กับทุกจุดของระบบมีค่าเท่ากับศูนย์ นี่เป็นเงื่อนไขแรกสำหรับความสมดุลของระบบกลไก

ในกรณีของเรา วัตถุแข็งไม่สามารถเปลี่ยนรูปได้ เนื่องจากเราได้ตกลงกันว่าระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ จะไม่เปลี่ยนแปลง แต่ต่างจากจุดวัตถุตรงที่แรงคู่ที่มีทิศทางเท่ากันและตรงข้ามกันสามารถนำไปใช้กับวัตถุที่มีความแข็งเกร็งอย่างยิ่งที่จุดต่างๆ ได้ ยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากผลรวมของแรงทั้งสองนี้เป็นศูนย์ ระบบกลไกที่พิจารณาจะไม่ทำการเคลื่อนที่แบบแปลน อย่างไรก็ตามเห็นได้ชัดว่าภายใต้อิทธิพลของแรงคู่ดังกล่าวร่างกายจะเริ่มหมุนสัมพันธ์กับแกนใดแกนหนึ่งด้วยความเร็วเชิงมุมที่เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ

การเกิดการเคลื่อนที่แบบหมุนในระบบที่อยู่ระหว่างการพิจารณานั้นเกิดจากการมีช่วงเวลาที่ไม่มีการชดเชย โมเมนต์ของแรงรอบแกนใดๆ คือผลคูณของขนาดของแรง F นี้ที่แขน d นั่นคือ โดยความยาวของแนวตั้งฉากที่ลดลงจากจุด O (ดูรูป) ที่แกนผ่านไป และตามทิศทางของ แรง โปรดทราบว่าโมเมนต์ของแรงตามคำจำกัดความนี้เป็นปริมาณเชิงพีชคณิต: จะถือว่าเป็นค่าบวกหากแรงนำไปสู่การหมุนทวนเข็มนาฬิกา หรือมิฉะนั้นจะถือว่าเป็นค่าลบ ดังนั้น เงื่อนไขที่สองสำหรับความสมดุลของวัตถุแข็งเกร็งคือข้อกำหนดว่าผลรวมของโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่สัมพันธ์กับแกนการหมุนใดๆ จะต้องเท่ากับศูนย์

ในกรณีที่ตรงตามเงื่อนไขสมดุลทั้งสองที่ค้นพบ วัตถุที่เป็นของแข็งจะอยู่นิ่งหากแรงเริ่มกระทำในขณะนั้น ความเร็วของจุดทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์

มิฉะนั้น มันจะเคลื่อนที่สม่ำเสมอตามแรงเฉื่อย

คำจำกัดความที่พิจารณาของความสมดุลของระบบกลไกไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับสิ่งที่จะเกิดขึ้นหากระบบเคลื่อนออกจากตำแหน่งสมดุลเล็กน้อย ในกรณีนี้ มีความเป็นไปได้สามประการ: ระบบจะกลับสู่สภาวะสมดุลก่อนหน้านี้ ระบบแม้จะมีการเบี่ยงเบน แต่ก็จะไม่เปลี่ยนสถานะสมดุล ระบบก็จะออกจากสมดุล กรณีแรกเรียกว่าสภาวะสมดุลที่มั่นคง กรณีที่สอง - ไม่แยแส กรณีที่สาม - ไม่เสถียร ลักษณะของตำแหน่งสมดุลนั้นพิจารณาจากการพึ่งพาพลังงานศักย์ของระบบบนพิกัด รูปนี้แสดงความสมดุลทั้งสามประเภทโดยใช้ตัวอย่างของลูกบอลหนักที่อยู่ในภาวะซึมเศร้า (สมดุลที่มั่นคง) บนโต๊ะแนวนอนเรียบ (เฉยเมย) ที่ด้านบนของตุ่ม (ไม่เสถียร) (ดูรูปในหน้า 220) .

แนวทางข้างต้นในการแก้ปัญหาสมดุลของระบบกลไกได้รับการพิจารณาโดยนักวิทยาศาสตร์ในโลกยุคโบราณ ด้วยเหตุนี้ อาร์คิมิดีสจึงค้นพบกฎสมดุลของคันโยก (กล่าวคือ วัตถุแข็งเกร็งที่มีแกนหมุนคงที่) ในศตวรรษที่ 3 พ.ศ จ.

ในปี ค.ศ. 1717 โยฮันน์ เบอร์นูลลีได้พัฒนาแนวทางที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงในการค้นหาสภาวะสมดุลของระบบกลไก ซึ่งเป็นวิธีการแทนที่เสมือน ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของแรงปฏิกิริยาพันธะที่เกิดจากกฎการอนุรักษ์พลังงาน: ด้วยการเบี่ยงเบนเล็กน้อยของระบบจากตำแหน่งสมดุล งานทั้งหมดของแรงปฏิกิริยาพันธะจะเป็นศูนย์

เมื่อแก้ไขปัญหาเกี่ยวกับสถิตยศาสตร์ (ดูกลศาสตร์) ตามเงื่อนไขสมดุลที่อธิบายไว้ข้างต้น การเชื่อมต่อที่มีอยู่ในระบบ (ส่วนรองรับ เกลียว แท่ง) จะมีลักษณะเฉพาะโดยแรงปฏิกิริยาที่เกิดขึ้นในตัว ความจำเป็นในการคำนึงถึงแรงเหล่านี้เมื่อกำหนดสภาวะสมดุลในกรณีของระบบที่ประกอบด้วยหลายส่วนทำให้เกิดการคำนวณที่ยุ่งยาก อย่างไรก็ตาม เนื่องจากการทำงานของแรงปฏิกิริยาพันธะมีค่าเท่ากับศูนย์สำหรับการเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากตำแหน่งสมดุล จึงเป็นไปได้ที่จะหลีกเลี่ยงการพิจารณาแรงเหล่านี้ทั้งหมด

นอกจากแรงปฏิกิริยาแล้ว แรงภายนอกยังกระทำต่อจุดต่างๆ ของระบบกลไกด้วย งานของพวกเขาสำหรับการเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากตำแหน่งสมดุลคืออะไร? เนื่องจากระบบอยู่ในช่วงเริ่มต้น ดังนั้นสำหรับการเคลื่อนไหวใดๆ ก็ตาม จำเป็นต้องดำเนินการเชิงบวกบางอย่าง โดยหลักการแล้ว งานนี้สามารถทำได้ทั้งแรงภายนอกและแรงปฏิกิริยาพันธะ แต่ดังที่เราทราบแล้ว งานทั้งหมดที่กระทำโดยแรงปฏิกิริยาจะเป็นศูนย์ ดังนั้น เพื่อให้ระบบออกจากสภาวะสมดุล งานรวมของแรงภายนอกสำหรับการกระจัดที่เป็นไปได้ต้องเป็นค่าบวก ดังนั้น เงื่อนไขสำหรับความเป็นไปไม่ได้ของการเคลื่อนไหว เช่น สภาวะสมดุล สามารถกำหนดได้ตามความต้องการว่างานทั้งหมดของแรงภายนอกจะต้องไม่เป็นเชิงบวกสำหรับการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้:

สมมติว่าเมื่อจุดของระบบเคลื่อนที่ ผลรวมของงานที่ทำโดยแรงภายนอกจะเท่ากับ และจะเกิดอะไรขึ้นถ้าระบบทำการเคลื่อนไหว - การเคลื่อนไหวเหล่านี้เป็นไปได้ในลักษณะเดียวกับการเคลื่อนไหวครั้งแรก อย่างไรก็ตาม การทำงานของกองกำลังภายนอกจะเปลี่ยนสัญญาณ: . การให้เหตุผลในทำนองเดียวกันกับกรณีก่อนหน้านี้ เราจะได้ข้อสรุปว่าขณะนี้สภาวะสมดุลของระบบมีรูปแบบ: กล่าวคือ งานของแรงภายนอกจะต้องไม่เป็นลบ วิธีเดียวที่จะ "กระทบยอด" เงื่อนไขทั้งสองที่เกือบจะขัดแย้งกันนี้คือต้องกำหนดให้ความเท่าเทียมกันที่แน่นอนเป็นศูนย์ของงานทั้งหมดของแรงภายนอกสำหรับการแทนที่ของระบบที่เป็นไปได้ (เสมือน) จากตำแหน่งสมดุล: การเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ (เสมือน) ในที่นี้หมายถึงการเคลื่อนไหวทางจิตอันไม่สิ้นสุดของระบบ ซึ่งไม่ขัดแย้งกับความเชื่อมโยงที่ถูกกำหนดไว้

ดังนั้นสภาวะสมดุลของระบบกลไกในรูปแบบของหลักการของการกระจัดเสมือนจึงถูกกำหนดดังนี้:

“เพื่อความสมดุลของระบบกลไกใดๆ ที่มีการเชื่อมต่อในอุดมคติ จำเป็นและเพียงพอที่ผลรวมของงานเบื้องต้นของแรงที่กระทำต่อระบบสำหรับการกระจัดใดๆ ที่เป็นไปได้จะเท่ากับศูนย์”

การใช้หลักการของการกระจัดเสมือน ปัญหาไม่เพียงแต่เกี่ยวกับสถิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงอุทกสถิตและไฟฟ้าสถิตด้วย