แก้สูตรสมการกำลังสอง สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

การแปลงสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ไปเป็นสมการที่ไม่สมบูรณ์มีลักษณะดังนี้ (สำหรับกรณี \(b=0\)):

สำหรับกรณีที่ \(c=0\) หรือเมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งสองเท่ากับศูนย์ ทุกอย่างจะคล้ายกัน

โปรดทราบว่าไม่มีคำถามว่า \(a\) จะเท่ากับศูนย์ จะต้องไม่เท่ากับศูนย์ เนื่องจากในกรณีนี้จะกลายเป็น:

การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

ก่อนอื่น คุณต้องเข้าใจว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ยังคงเป็น a และดังนั้นจึงสามารถแก้ได้ในลักษณะเดียวกับสมการกำลังสองทั่วไป (ผ่าน ) ในการทำเช่นนี้ เราเพียงเพิ่มองค์ประกอบที่ขาดหายไปของสมการโดยมีค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์

ตัวอย่าง : หารากของสมการ \(3x^2-27=0\)
สารละลาย :

คำตอบ : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

ตัวอย่าง : ค้นหารากของสมการ \(-x^2+x=0\)
สารละลาย :

ใน สังคมสมัยใหม่ความสามารถในการดำเนินการด้วยสมการที่มีตัวแปรกำลังสองจะมีประโยชน์ในหลาย ๆ ด้านของกิจกรรมและมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในทางปฏิบัติในการพัฒนาทางวิทยาศาสตร์และทางเทคนิค หลักฐานนี้สามารถพบได้ในการออกแบบเรือเดินทะเลและแม่น้ำ เครื่องบิน และจรวด การใช้การคำนวณดังกล่าวจะกำหนดวิถีการเคลื่อนที่ของวัตถุที่หลากหลายรวมถึงวัตถุอวกาศ ตัวอย่างที่มีการแก้สมการกำลังสองไม่เพียงแต่ใช้ในการพยากรณ์ทางเศรษฐกิจ ในการออกแบบและการก่อสร้างอาคารเท่านั้น แต่ยังใช้ในสถานการณ์ปกติในชีวิตประจำวันด้วย อาจจำเป็นต้องใช้ในการเดินป่า ในการแข่งขันกีฬา ในร้านค้าเมื่อซื้อสินค้า และในสถานการณ์ทั่วไปอื่นๆ

ลองแบ่งนิพจน์ออกเป็นปัจจัยส่วนประกอบกัน

ระดับของสมการจะถูกกำหนด ค่าสูงสุดระดับของตัวแปรที่มีอยู่ในนิพจน์นี้ ถ้ามันเท่ากับ 2 สมการดังกล่าวจะเรียกว่ากำลังสอง

หากเราพูดในภาษาของสูตร นิพจน์ที่ระบุไม่ว่าจะดูเป็นอย่างไร ก็สามารถนำมาอยู่ในรูปแบบได้เสมอเมื่อด้านซ้ายของนิพจน์ประกอบด้วยคำศัพท์สามคำ ในหมู่พวกเขา: ax 2 (นั่นคือตัวแปรกำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์ของมัน), bx (ไม่ทราบค่าที่ไม่มีกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของมัน) และ c (องค์ประกอบอิสระนั่นคือตัวเลขธรรมดา) ทั้งหมดนี้อยู่ทางด้านขวาจะเท่ากับ 0 ในกรณีที่พหุนามดังกล่าวไม่มีเงื่อนไขที่เป็นส่วนประกอบข้อใดข้อหนึ่ง ยกเว้นขวาน 2 จะเรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ตัวอย่างการแก้ปัญหาดังกล่าวควรพิจารณาค่าของตัวแปรที่หาได้ง่ายก่อน

หากนิพจน์ดูเหมือนมีพจน์สองพจน์ทางด้านขวา กล่าวคือ ax 2 และ bx อย่างแม่นยำ วิธีที่ง่ายที่สุดในการค้นหา x คือการใส่ตัวแปรออกจากวงเล็บ ตอนนี้สมการของเราจะมีลักษณะดังนี้: x(ax+b) ต่อไป จะเห็นได้ชัดว่า x=0 หรือปัญหาอยู่ที่การค้นหาตัวแปรจากนิพจน์ต่อไปนี้: ax+b=0 สิ่งนี้ถูกกำหนดโดยคุณสมบัติข้อใดข้อหนึ่งของการคูณ กฎระบุว่าผลคูณของตัวประกอบสองตัวจะให้ผลลัพธ์เป็น 0 ก็ต่อเมื่อตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์

ตัวอย่าง

x=0 หรือ 8x - 3 = 0

เป็นผลให้เราได้รากของสมการสองอัน: 0 และ 0.375

สมการประเภทนี้สามารถอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงซึ่งเริ่มเคลื่อนที่จากจุดหนึ่งซึ่งถือเป็นที่มาของพิกัด สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์อยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: y = v 0 t + gt 2 /2 แทนที่ค่าที่จำเป็นให้เท่ากัน ด้านขวา 0 และการค้นหาสิ่งแปลกปลอมที่เป็นไปได้ คุณสามารถค้นหาเวลาที่ผ่านไปตั้งแต่ช่วงเวลาที่ร่างกายลอยขึ้นจนถึงช่วงเวลาที่มันตกลงมา รวมถึงปริมาณอื่นๆ อีกมากมาย แต่เราจะพูดถึงเรื่องนี้ในภายหลัง

แยกตัวประกอบนิพจน์

กฎที่อธิบายไว้ข้างต้นทำให้สามารถแก้ไขปัญหาเหล่านี้ได้ในกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น ลองดูตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองประเภทนี้

X 2 - 33x + 200 = 0

ตรีโกณมิติกำลังสองนี้เสร็จสมบูรณ์แล้ว ก่อนอื่น มาแปลงนิพจน์และแยกตัวประกอบกันก่อน มีสองตัว: (x-8) และ (x-25) = 0 ด้วยเหตุนี้เราจึงมีราก 8 และ 25 สองอัน

ตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ช่วยให้วิธีนี้สามารถค้นหาตัวแปรในนิพจน์ได้ ไม่เพียงแต่ในลำดับที่สองเท่านั้น แต่ยังรวมถึงลำดับที่สามและสี่ด้วย

ตัวอย่างเช่น: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0 เมื่อแยกตัวประกอบทางด้านขวาเป็นปัจจัยด้วยตัวแปร จะมีสามตัวในนั้น นั่นคือ (x+1), (x-3) และ (x+ 3).

เป็นผลให้เห็นได้ชัดว่าสมการนี้มีสามราก: -3; -1; 3.

สแควร์รูท

อีกกรณีหนึ่งของสมการอันดับสองที่ไม่สมบูรณ์คือการแสดงออกในภาษาของตัวอักษรในลักษณะที่ด้านขวามือถูกสร้างขึ้นจากส่วนประกอบ ax 2 และ c ตรงนี้ เพื่อให้ได้ค่าของตัวแปร เทอมอิสระจะถูกโอนไปทางด้านขวา และหลังจากนั้นรากที่สองจะถูกแยกออกจากทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกัน ควรสังเกตว่าใน ในกรณีนี้โดยปกติจะมีรากสองอันของสมการ ข้อยกเว้นเพียงอย่างเดียวอาจเป็นความเท่าเทียมกันที่ไม่มีเงื่อนไขด้วยเลย โดยที่ตัวแปรมีค่าเท่ากับศูนย์ รวมถึงตัวแปรของนิพจน์เมื่อด้านขวาเป็นค่าลบ ในกรณีหลังนี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลย เนื่องจากการดำเนินการข้างต้นไม่สามารถทำได้โดยใช้รูท ควรพิจารณาตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองประเภทนี้

ในกรณีนี้ รากของสมการจะเป็นตัวเลข -4 และ 4

การคำนวณพื้นที่ที่ดิน

ความจำเป็นในการคำนวณประเภทนี้ปรากฏในสมัยโบราณเนื่องจากการพัฒนาทางคณิตศาสตร์ในยุคห่างไกลนั้นส่วนใหญ่ถูกกำหนดโดยความจำเป็นในการกำหนดพื้นที่และปริมณฑลของที่ดินด้วยความแม่นยำสูงสุด

เราควรพิจารณาตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองโดยอิงจากปัญหาประเภทนี้ด้วย

สมมติว่ามีที่ดินผืนหนึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งมีความยาวมากกว่าความกว้าง 16 เมตร คุณควรหาความยาว ความกว้าง และเส้นรอบวงของไซต์หากคุณรู้ว่าพื้นที่คือ 612 ม. 2

ในการเริ่มต้น เรามาสร้างสมการที่จำเป็นกันก่อน ให้เราแสดงด้วย x ความกว้างของพื้นที่ แล้วความยาวของมันจะเป็น (x+16) จากสิ่งที่เขียนไป พื้นที่ถูกกำหนดโดยนิพจน์ x(x+16) ซึ่งตามเงื่อนไขของปัญหาของเราคือ 612 ซึ่งหมายความว่า x(x+16) = 612

การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ และนิพจน์นี้ก็เป็นเช่นนั้น ไม่สามารถทำด้วยวิธีเดียวกันได้ ทำไม แม้ว่าทางด้านซ้ายยังคงมีปัจจัยอยู่ 2 ตัว แต่ผลคูณของพวกมันไม่เท่ากับ 0 เลย ดังนั้นจึงใช้วิธีที่แตกต่างกันที่นี่

เลือกปฏิบัติ

ก่อนอื่น เรามาทำการแปลงที่จำเป็นกันก่อน รูปร่างของนิพจน์นี้จะมีลักษณะดังนี้: x 2 + 16x - 612 = 0 ซึ่งหมายความว่าเราได้รับนิพจน์ในรูปแบบที่สอดคล้องกับมาตรฐานที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้ โดยที่ a=1, b=16, c=-612

นี่อาจเป็นตัวอย่างของการแก้สมการกำลังสองโดยใช้การแบ่งแยก ที่นี่ การคำนวณที่จำเป็นผลิตตามรูปแบบ: D = b 2 - 4ac ปริมาณเสริมนี้ไม่เพียงแต่ทำให้สามารถค้นหาปริมาณที่ต้องการในสมการลำดับที่สองได้ แต่ยังเป็นตัวกำหนดปริมาณ ตัวเลือกที่เป็นไปได้- ถ้า D>0 มีสองตัว; สำหรับ D=0 มีหนึ่งรูท ในกรณีที่ D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

เกี่ยวกับรากและสูตรของมัน

ในกรณีของเรา ค่าจำแนกเท่ากับ: 256 - 4(-612) = 2704 นี่แสดงว่าปัญหาของเรามีคำตอบ ถ้าคุณรู้ k จะต้องแก้สมการกำลังสองต่อโดยใช้สูตรด้านล่าง ช่วยให้คุณสามารถคำนวณรากได้

ซึ่งหมายความว่าในกรณีที่นำเสนอ: x 1 =18, x 2 =-34 ตัวเลือกที่สองในภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออกนี้ไม่สามารถแก้ปัญหาได้ เนื่องจากขนาดของที่ดินไม่สามารถวัดเป็นปริมาณเชิงลบได้ ซึ่งหมายความว่า x (นั่นคือความกว้างของแปลง) คือ 18 ม. จากที่นี่เราคำนวณความยาว: 18 +16=34 และเส้นรอบวง 2(34+ 18)=104(m2)

ตัวอย่างและงาน

เราศึกษาสมการกำลังสองต่อไป ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดของหลาย ๆ วิธีจะมีดังต่อไปนี้

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

ย้ายทุกอย่างไปที่ ด้านซ้ายความเท่าเทียมกันเราจะทำการเปลี่ยนแปลงนั่นคือเราจะได้รูปแบบของสมการที่มักเรียกว่ามาตรฐานและเราจะทำให้มันเท่ากับศูนย์

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

เมื่อบวกค่าที่คล้ายกันเข้าไป เราจะหาค่าจำแนก: D = 49 - 48 = 1 ซึ่งหมายความว่าสมการของเราจะมีรากสองค่า ลองคำนวณตามสูตรข้างต้น ซึ่งหมายความว่าอันแรกจะเท่ากับ 4/3 และอันที่สองเป็น 1

2) ทีนี้มาไขปริศนาที่แตกต่างออกไปกันดีกว่า

ลองดูว่ามีรากใดๆ ตรงนี้ x 2 - 4x + 5 = 1 หรือไม่? เพื่อให้ได้คำตอบที่ครอบคลุม ลองลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบปกติที่สอดคล้องกันแล้วคำนวณการแบ่งแยก ในตัวอย่างข้างต้น ไม่จำเป็นต้องแก้สมการกำลังสอง เพราะนี่ไม่ใช่แก่นแท้ของปัญหาเลย ในกรณีนี้ D = 16 - 20 = -4 ซึ่งหมายความว่าไม่มีรากจริงๆ

ทฤษฎีบทของเวียตตา

สมการกำลังสองสะดวกในการแก้โดยใช้สูตรข้างต้นและค่าจำแนกเมื่อนำรากที่สองมาจากค่าของค่าหลัง แต่สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นเสมอไป อย่างไรก็ตาม มีหลายวิธีในการรับค่าของตัวแปรในกรณีนี้ ตัวอย่าง: การแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม เธอได้รับการตั้งชื่อตามบุคคลที่อาศัยอยู่ในฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 16 และมีอาชีพการงานที่ยอดเยี่ยมด้วยความสามารถทางคณิตศาสตร์และความเชื่อมโยงในศาล ภาพของเขาสามารถเห็นได้ในบทความ

รูปแบบที่ชาวฝรั่งเศสผู้โด่งดังสังเกตเห็นมีดังนี้ เขาพิสูจน์ว่ารากของสมการรวมกันเป็นตัวเลขได้เป็น -p=b/a และผลคูณของสมการนั้นสอดคล้องกับ q=c/a

ตอนนี้เรามาดูงานเฉพาะกัน

3x 2 + 21x - 54 = 0

เพื่อความง่าย เรามาแปลงนิพจน์กัน:

x 2 + 7x - 18 = 0

ลองใช้ทฤษฎีบทของเวียตา ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ ผลรวมของรากคือ -7 และผลิตภัณฑ์ของมันคือ -18 จากตรงนี้เราจะได้รากของสมการคือตัวเลข -9 และ 2 หลังจากตรวจสอบแล้ว เราจะตรวจสอบให้แน่ใจว่าค่าตัวแปรเหล่านี้พอดีกับนิพจน์จริงๆ

กราฟพาราโบลาและสมการ

แนวคิดเรื่องฟังก์ชันกำลังสองและสมการกำลังสองมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด ตัวอย่างนี้ได้ถูกให้ไว้ก่อนหน้านี้แล้ว ตอนนี้เรามาดูปริศนาทางคณิตศาสตร์ในรายละเอียดอีกเล็กน้อย สมการประเภทที่อธิบายไว้สามารถแสดงได้ด้วยสายตา ความสัมพันธ์ดังกล่าวที่วาดเป็นกราฟเรียกว่าพาราโบลา ประเภทต่างๆ ดังแสดงในรูปด้านล่าง

พาราโบลาใดๆ มีจุดยอด นั่นคือจุดที่กิ่งก้านของพาราโบลาโผล่ออกมา ถ้า a>0 มันจะไปสูงจนถึงอนันต์ และเมื่อ a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

การแสดงฟังก์ชันด้วยภาพช่วยแก้สมการต่างๆ รวมถึงสมการกำลังสองด้วย วิธีการนี้เรียกว่าแบบกราฟิก และค่าของตัวแปร x คือพิกัดแอบซิสซาที่จุดที่เส้นกราฟตัดกับ 0x พิกัดของจุดยอดสามารถพบได้โดยใช้สูตรที่เพิ่งให้ x 0 = -b/2a และโดยการแทนที่ค่าผลลัพธ์ลงในสมการดั้งเดิมของฟังก์ชัน คุณจะพบ y 0 นั่นคือพิกัดที่สองของจุดยอดของพาราโบลาซึ่งอยู่ในแกนพิกัด

จุดตัดของกิ่งก้านของพาราโบลากับแกนแอบซิสซา

มีตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองมากมาย แต่ก็มีรูปแบบทั่วไปเช่นกัน มาดูพวกเขากันดีกว่า เห็นได้ชัดว่าจุดตัดของกราฟด้วยแกน 0x สำหรับ a>0 เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ y 0 ใช้เวลา ค่าลบ- และสำหรับก<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. มิฉะนั้น D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

จากกราฟของพาราโบลา คุณสามารถระบุรากได้ด้วย ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน นั่นคือ ถ้ามันไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะได้การแสดงฟังก์ชันกำลังสองด้วยภาพของฟังก์ชันกำลังสอง คุณสามารถจัดด้านขวาของนิพจน์ให้เป็น 0 แล้วแก้สมการผลลัพธ์ได้ และการรู้จุดตัดกับแกน 0x ทำให้สร้างกราฟได้ง่ายกว่า

จากประวัติศาสตร์

การใช้สมการที่มีตัวแปรกำลังสองในสมัยก่อนไม่เพียงแต่ทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์และกำหนดพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตเท่านั้น คนสมัยโบราณจำเป็นต้องมีการคำนวณเช่นนี้เพื่อการค้นพบครั้งยิ่งใหญ่ในสาขาฟิสิกส์และดาราศาสตร์ รวมถึงการพยากรณ์ทางโหราศาสตร์ด้วย

ตามที่นักวิทยาศาสตร์สมัยใหม่แนะนำ ชาวบาบิโลนเป็นหนึ่งในคนกลุ่มแรกๆ ที่แก้สมการกำลังสองได้ เรื่องนี้เกิดขึ้นเมื่อสี่ศตวรรษก่อนยุคของเรา แน่นอนว่าการคำนวณของพวกเขาแตกต่างอย่างสิ้นเชิงจากที่ยอมรับในปัจจุบันและกลายเป็นแบบดั้งเดิมมากกว่ามาก ตัวอย่างเช่น นักคณิตศาสตร์ชาวเมโสโปเตเมียไม่มีความคิดเกี่ยวกับการมีอยู่ของจำนวนลบ พวกเขายังไม่คุ้นเคยกับรายละเอียดปลีกย่อยอื่น ๆ ที่เด็กนักเรียนยุคใหม่รู้

บางทีอาจเร็วกว่านักวิทยาศาสตร์แห่งบาบิโลน ปราชญ์จากอินเดีย Baudhayama เริ่มแก้สมการกำลังสอง สิ่งนี้เกิดขึ้นประมาณแปดศตวรรษก่อนยุคของพระคริสต์ จริงอยู่ที่สมการอันดับสองซึ่งเป็นวิธีการแก้ที่เขาให้ไว้นั้นเป็นวิธีที่ง่ายที่สุด นอกจากเขาแล้ว นักคณิตศาสตร์ชาวจีนยังสนใจคำถามที่คล้ายกันในสมัยก่อนอีกด้วย ในยุโรปสมการกำลังสองเริ่มได้รับการแก้ไขในช่วงต้นศตวรรษที่ 13 เท่านั้น แต่ต่อมานักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่เช่นนิวตันเดส์การตส์และคนอื่น ๆ อีกมากมายก็นำไปใช้ในงานของพวกเขา

ฉันหวังว่าหลังจากศึกษาบทความนี้แล้ว คุณจะได้เรียนรู้วิธีค้นหารากของสมการกำลังสองที่สมบูรณ์

เมื่อใช้การแบ่งแยก จะแก้ได้เฉพาะสมการกำลังสองที่สมบูรณ์เท่านั้น หากต้องการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ จะใช้วิธีการอื่น ซึ่งคุณจะพบได้ในบทความ “การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์”

สมการกำลังสองใดที่เรียกว่าสมบูรณ์? นี้ สมการของรูปแบบ ขวาน 2 + b x + c = 0โดยที่สัมประสิทธิ์ a, b และ c ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น ในการแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ เราจำเป็นต้องคำนวณค่าจำแนก D

ง = ข 2 – 4เอซี

เราจะเขียนคำตอบทั้งนี้ขึ้นอยู่กับค่าของการเลือกปฏิบัติ

ถ้าตัวจำแนกเป็นจำนวนลบ (D< 0),то корней нет.

ถ้าตัวแยกแยะเป็นศูนย์ แล้ว x = (-b)/2a เมื่อมีการเลือกปฏิบัติ จำนวนบวก(ด > 0)

จากนั้น x 1 = (-b - √D)/2a และ x 2 = (-b + √D)/2a

ตัวอย่างเช่น. แก้สมการ x2– 4x + 4= 0.

ง = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

คำตอบ: 2.

แก้สมการที่ 2 x2 + x + 3 = 0

ง = 1 2 – 4 2 3 = – 23

คำตอบ: ไม่มีราก.

แก้สมการที่ 2 x2 + 5x – 7 = 0.

ง = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

คำตอบ: – 3.5; 1.

ลองจินตนาการถึงคำตอบของสมการกำลังสองสมบูรณ์โดยใช้แผนภาพในรูปที่ 1

การใช้สูตรเหล่านี้ทำให้คุณสามารถแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ได้ คุณเพียงแค่ต้องระมัดระวัง สมการนี้เขียนเป็นพหุนาม มุมมองมาตรฐาน

ก x2 + bx + คมิฉะนั้นคุณอาจทำผิดพลาด ตัวอย่างเช่น ในการเขียนสมการ x + 3 + 2x 2 = 0 คุณอาจตัดสินใจผิดพลาดได้ว่า

a = 1, b = 3 และ c = 2 จากนั้น

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 จากนั้นสมการจะมีราก 2 อัน และนี่ไม่เป็นความจริง (ดูวิธีแก้ปัญหาตัวอย่างที่ 2 ด้านบน)

ดังนั้น หากสมการไม่ได้เขียนเป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน อันดับแรก สมการกำลังสองที่สมบูรณ์จะต้องเขียนเป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน (เอกพจน์ที่มีเลขชี้กำลังมากที่สุดควรมาก่อน นั่นคือ ก x2 แล้วมีน้อยลง – บีเอ็กซ์แล้วก็เป็นสมาชิกฟรี กับ.

เมื่อแก้สมการกำลังสองที่ลดลงและสมการกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์เลขคู่ในเทอมที่สอง คุณสามารถใช้สูตรอื่นได้ มาทำความรู้จักกับสูตรเหล่านี้กันดีกว่า ถ้าในสมการกำลังสองสมบูรณ์ เทอมที่สองมีค่าสัมประสิทธิ์เลขคู่ (b = 2k) คุณสามารถแก้สมการได้โดยใช้สูตรที่แสดงในแผนภาพในรูปที่ 2

สมการกำลังสองสมบูรณ์เรียกว่าลดลงถ้าสัมประสิทธิ์ที่ x2 เท่ากับหนึ่ง และสมการจะอยู่ในรูปแบบ x 2 + px + q = 0- สมการดังกล่าวสามารถให้ไว้สำหรับการแก้โจทย์ หรือหาได้โดยการหารสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการด้วยสัมประสิทธิ์ ก, ยืนอยู่ที่ x2 .

รูปที่ 3 แสดงแผนภาพสำหรับแก้กำลังสองลดลง
สมการ ลองดูตัวอย่างการใช้สูตรที่กล่าวถึงในบทความนี้

ตัวอย่าง. แก้สมการ

3x2 + 6x – 6 = 0

ลองแก้สมการนี้โดยใช้สูตรที่แสดงในแผนภาพในรูปที่ 1

ง = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

คำตอบ: –1 – √3; –1 + √3

คุณจะสังเกตเห็นว่าสัมประสิทธิ์ของ x ในสมการนี้ เลขคู่นั่นคือ b = 6 หรือ b = 2k โดยที่ k = 3 จากนั้นลองแก้สมการโดยใช้สูตรที่ให้ไว้ในแผนภาพของรูป D 1 = 3 2 – 3 (– 6) = 9 + 18 = 27

√(ง 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

คำตอบ: –1 – √3; –1 + √3- เมื่อสังเกตว่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดในสมการกำลังสองนี้หารด้วย 3 ลงตัวและทำการหาร เราจะได้สมการกำลังสองที่ลดลง x 2 + 2x – 2 = 0 แก้สมการนี้โดยใช้สูตรสำหรับกำลังสองที่ลดลง
สมการรูปที่ 3

ง 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(ง 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

คำตอบ: –1 – √3; –1 + √3.

อย่างที่คุณเห็น เมื่อแก้สมการนี้โดยใช้สูตรต่างกัน เราก็ได้รับคำตอบเดียวกัน ดังนั้น เมื่อเชี่ยวชาญสูตรที่แสดงในแผนภาพในรูปที่ 1 อย่างถี่ถ้วนแล้ว คุณจะสามารถแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ได้เสมอ

blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม

เป็นที่ทราบกันว่าเป็นเวอร์ชันเฉพาะของความเท่าเทียมกัน ax 2 + bx + c = o โดยที่ a, b และ c เป็นสัมประสิทธิ์จริงสำหรับ x ที่ไม่รู้จักและโดยที่ ≠ o และ b และ c จะเป็นศูนย์ - พร้อมกันหรือ แยกกัน ตัวอย่างเช่น c = o, b ≠ o หรือในทางกลับกัน เราเกือบจำนิยามของสมการกำลังสองได้แล้ว

ตรีโกณมิติระดับที่สองเป็นศูนย์ สัมประสิทธิ์แรก a ≠ o, b และ c สามารถใช้ค่าใดก็ได้ ค่าของตัวแปร x จะเป็นเมื่อการทดแทนเปลี่ยนให้เป็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง มาเน้นที่รากที่แท้จริง แม้ว่าสมการต่างๆ ก็สามารถเป็นคำตอบได้เช่นกัน เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกสมการที่สมบูรณ์ โดยที่ไม่มีสัมประสิทธิ์ใดเท่ากับ o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o
ลองแก้ตัวอย่างกัน 2x 2 -9x-5 = โอ้ เราเจอแล้ว
ง = 81+40 = 121,
D เป็นบวก ซึ่งหมายความว่ามีราก x 1 = (9+√121):4 = 5 และค่าที่สอง x 2 = (9-√121):4 = -o.5 การตรวจสอบจะช่วยให้แน่ใจว่าถูกต้อง

ต่อไปนี้เป็นวิธีแก้ปัญหาสมการกำลังสองแบบทีละขั้นตอน

เมื่อใช้ discriminant คุณสามารถแก้สมการทางด้านซ้ายซึ่งมีตรีโนเมียลกำลังสองสำหรับ ≠ o ได้ ในตัวอย่างของเรา 2x 2 -9x-5 = 0 (ขวาน 2 +ใน+c = o)

มาดูกันว่ามีอะไรบ้าง สมการที่ไม่สมบูรณ์ระดับที่สอง

1. ขวาน 2 +ใน = o พจน์อิสระ คือสัมประสิทธิ์ c ที่ x 0 เท่ากับศูนย์ในที่นี้ ใน ≠ o
   จะแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ประเภทนี้ได้อย่างไร? ลองเอา x ออกจากวงเล็บ. จำไว้ว่าเมื่อผลคูณของสองปัจจัยเท่ากับศูนย์
   x(ax+b) = o อาจเป็นเมื่อ x = o หรือเมื่อ ax+b = o
   เมื่อแก้อันที่ 2 แล้ว เราก็จะได้ x = -в/а
   เป็นผลให้เรามีราก x 1 = 0 ตามการคำนวณ x 2 = -b/a
2. ตอนนี้ค่าสัมประสิทธิ์ของ x เท่ากับ o และ c ไม่เท่ากับ (≠) o
   x 2 +c = o ลองย้าย c ไปทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน เราจะได้ x 2 = -с สมการนี้มีรากจริงเฉพาะเมื่อ -c เป็นจำนวนบวก (c ‹ o)
   x 1 เท่ากับ √(-c) ตามลำดับ x 2 คือ -√(-c) มิฉะนั้นสมการก็ไม่มีรากเลย
3. ตัวเลือกสุดท้าย: b = c = o นั่นคือขวาน 2 = o โดยธรรมชาติแล้ว สมการง่ายๆ ดังกล่าวจะมีหนึ่งราก นั่นคือ x = o

กรณีพิเศษ

เราดูวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ และตอนนี้ มาดูวิธีแก้สมการกำลังสองแบบใดก็ได้กัน

• ในสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ ค่าสัมประสิทธิ์ที่สองของ x จะเป็นจำนวนคู่
  ให้ k = o.5b เรามีสูตรในการคำนวณการแบ่งแยกและราก
  D/4 = k 2 - ac รากจะคำนวณเป็น x 1,2 = (-k±√(D/4))/a สำหรับ D › o
  x = -k/a ที่ D = o
  ไม่มีรากสำหรับ D ‹ o
• มีสมการกำลังสองที่ให้มา เมื่อสัมประสิทธิ์ของ x กำลังสองเป็น 1 มักจะเขียนว่า x 2 + рх + q = o สูตรข้างต้นทั้งหมดใช้กับสูตรเหล่านี้ได้ แต่การคำนวณค่อนข้างง่ายกว่า
  ตัวอย่าง x 2 -4x-9 = 0 คำนวณ D: 2 2 +9, D = 13
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13
• นอกจากนี้ มันง่ายที่จะนำไปใช้กับค่าที่กำหนด โดยบอกว่าผลรวมของรากของสมการเท่ากับ -p ซึ่งเป็นค่าสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายลบ (หมายถึงเครื่องหมายตรงกันข้าม) และผลคูณของรากเดียวกันนี้จะ เท่ากับ q ซึ่งเป็นเทอมอิสระ ดูว่าการระบุรากของสมการนี้ด้วยวาจาจะง่ายดายเพียงใด สำหรับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้ลดลง (สำหรับสัมประสิทธิ์ทั้งหมดไม่เท่ากับศูนย์) ทฤษฎีบทนี้สามารถใช้ได้ดังนี้: ผลรวม x 1 + x 2 เท่ากับ -b/a ผลคูณ x 1 · x 2 เท่ากับ c/a

ผลรวมของเทอมอิสระ c และสัมประสิทธิ์แรก a เท่ากับสัมประสิทธิ์ b ในสถานการณ์นี้ สมการต้องมีอย่างน้อยหนึ่งราก (พิสูจน์ได้ง่าย) รากแรกจำเป็นต้องเท่ากับ -1 และรากที่สอง -c/a หากมีอยู่ คุณสามารถตรวจสอบวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ได้ด้วยตัวเอง มันไม่ง่ายไปกว่านี้แล้ว ค่าสัมประสิทธิ์อาจมีความสัมพันธ์บางอย่างซึ่งกันและกัน

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o
• ผลรวมของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับ o
  รากของสมการดังกล่าวคือ 1 และ c/a ตัวอย่าง 2x 2 -15x+13 = o
  x 1 = 1, x 2 = 13/2

มีวิธีอื่นๆ อีกหลายวิธีในการแก้สมการระดับ 2 แบบต่างๆ ตัวอย่างเช่น นี่คือวิธีการแยกข้อมูลจากพหุนามที่กำหนด สี่เหลี่ยมเต็ม- มีวิธีการแบบกราฟิกหลายวิธี เมื่อคุณจัดการกับตัวอย่างดังกล่าวบ่อยครั้ง คุณจะได้เรียนรู้ที่จะ "คลิก" พวกมันเหมือนเมล็ดพืช เพราะวิธีการทั้งหมดจะเข้ามาในความคิดของคุณโดยอัตโนมัติ

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 หรือ x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

เมื่อเรียนรู้ที่จะแก้สมการระดับแรกแล้ว แน่นอนว่าคุณต้องการทำงานร่วมกับผู้อื่นโดยเฉพาะกับสมการระดับที่สองซึ่งเรียกอีกอย่างว่ากำลังสอง

สมการกำลังสองคือสมการเช่น ax² + bx + c = 0 โดยที่ตัวแปรคือ x ตัวเลขคือ a, b, c โดยที่ a ไม่เท่ากับศูนย์

ถ้าในสมการกำลังสองค่าสัมประสิทธิ์ค่าหนึ่งหรือค่าอื่น (c หรือ b) เท่ากับศูนย์ สมการนี้จะถูกจัดเป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

จะแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ได้อย่างไรหากนักเรียนสามารถแก้สมการระดับแรกได้เท่านั้น พิจารณาสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ประเภทต่างๆและวิธีการแก้ไขแบบง่ายๆ

a) ถ้าสัมประสิทธิ์ c เท่ากับ 0 และสัมประสิทธิ์ b ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น ax ² + bx + 0 = 0 จะลดลงเป็นสมการในรูปแบบ ax ² + bx = 0

ในการแก้สมการดังกล่าว คุณจำเป็นต้องรู้สูตรในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ซึ่งประกอบด้วยการแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการ แล้วใช้เงื่อนไขที่ว่าผลคูณเท่ากับศูนย์ในภายหลัง

ตัวอย่างเช่น 5x² - 20x = 0 เราแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการ ในขณะที่ดำเนินการทางคณิตศาสตร์ตามปกติ: โดยนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

5x (x - 4) = 0

เราใช้เงื่อนไขว่าผลคูณมีค่าเท่ากับศูนย์

5 x = 0 หรือ x - 4 = 0

คำตอบคือ: รูทแรกคือ 0; รากที่สองคือ 4

b) ถ้า b = 0 และเทอมอิสระไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นสมการ ax ² + 0x + c = 0 จะลดลงเป็นสมการในรูปแบบ ax ² + c = 0 สมการได้รับการแก้ไขในสองวิธี : a) โดยแยกตัวประกอบพหุนามของสมการทางด้านซ้าย ; b) การใช้คุณสมบัติของเลขคณิต รากที่สอง- สมการดังกล่าวสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีใดวิธีหนึ่งเช่น:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2 คำตอบคือ: รูตแรกคือ 5/2; รากที่สองเท่ากับ - 5/2

c) ถ้า b เท่ากับ 0 และ c เท่ากับ 0 ดังนั้น ax ² + 0 + 0 = 0 จะลดลงเป็นสมการในรูปแบบ ax ² = 0 ในสมการดังกล่าว x จะเท่ากับ 0

อย่างที่คุณเห็น สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์สามารถมีรากได้ไม่เกินสองราก