ตัวอย่างพีชคณิตบางตัวอย่างเพียงอย่างเดียวอาจทำให้เด็กนักเรียนหวาดกลัวได้ สำนวนยาวๆ ไม่เพียงแต่เป็นการข่มขู่เท่านั้น แต่ยังทำให้การคำนวณยากมากอีกด้วย การพยายามเข้าใจทันทีว่าอะไรตามมา จะทำให้สับสนได้ไม่นาน ด้วยเหตุนี้นักคณิตศาสตร์จึงพยายามลดความซับซ้อนของปัญหาที่ "แย่มาก" ให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้และจากนั้นจึงเริ่มแก้ไข เคล็ดลับนี้ทำให้กระบวนการทำงานเร็วขึ้นอย่างเห็นได้ชัด

การทำให้เข้าใจง่ายเป็นหนึ่งในประเด็นพื้นฐานในพีชคณิต หากคุณยังสามารถทำได้โดยไม่มีปัญหาง่ายๆ ตัวอย่างที่ยากในการคำนวณก็อาจกลายเป็นเรื่องยากเกินไป นี่คือจุดที่ทักษะเหล่านี้มีประโยชน์! ยิ่งไปกว่านั้น ไม่จำเป็นต้องมีความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน เพียงจำและเรียนรู้ที่จะประยุกต์ใช้เทคนิคและสูตรพื้นฐานบางประการในทางปฏิบัติก็เพียงพอแล้ว

ไม่ว่าการคำนวณจะซับซ้อนเพียงใดเมื่อแก้ไขนิพจน์ใด ๆ ก็เป็นสิ่งสำคัญ ปฏิบัติตามลำดับการดำเนินการด้วยตัวเลข:

1. วงเล็บ;
2. การยกกำลัง;
3. การคูณ;
4. แผนก;
5. ส่วนที่เพิ่มเข้าไป;
6. การลบ

สองจุดสุดท้ายสามารถสลับกันได้อย่างง่ายดายและจะไม่ส่งผลกระทบต่อผลลัพธ์แต่อย่างใด แต่การบวกเลขสองตัวที่อยู่ติดกันเมื่อมีเครื่องหมายคูณอยู่ข้างๆ ตัวใดตัวหนึ่งนั้นเป็นสิ่งต้องห้ามโดยเด็ดขาด! คำตอบถ้ามีก็ไม่ถูกต้อง ดังนั้นคุณต้องจำลำดับไว้

การใช้งานดังกล่าว

องค์ประกอบดังกล่าวรวมถึงตัวเลขที่มีตัวแปรในลำดับเดียวกันหรือระดับเดียวกัน นอกจากนี้ยังมีสิ่งที่เรียกว่าคำศัพท์ฟรีที่ไม่มีการกำหนดตัวอักษรสำหรับสิ่งที่ไม่รู้จักอยู่ข้างๆ

ประเด็นก็คือว่าในกรณีที่ไม่มีวงเล็บ คุณสามารถทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นได้โดยการเพิ่มหรือลบคำที่คล้ายกัน.

ตัวอย่างภาพประกอบบางส่วน:

• 8x 2 และ 3x 2 - ตัวเลขทั้งสองมีตัวแปรลำดับที่สองเหมือนกัน ดังนั้นตัวเลขทั้งสองจึงคล้ายกัน และเมื่อบวกกันจะลดรูปลงเป็น (8+3)x 2 =11x 2 ในขณะที่เมื่อลบออกจะได้ (8-3)x 2 = 5x2 ;
• 4x 3 และ 6x - และที่นี่ "x" มีองศาต่างกัน
• 2y 7 และ 33x 7 - มีตัวแปรที่แตกต่างกัน ดังนั้นจึงไม่เหมือนกันในกรณีก่อนหน้านี้

แยกตัวประกอบตัวเลข

เคล็ดลับทางคณิตศาสตร์เล็กๆ น้อยๆ นี้หากคุณเรียนรู้ที่จะใช้อย่างถูกต้อง จะช่วยให้คุณรับมือกับปัญหาที่ยุ่งยากได้หลายครั้งในอนาคต และไม่ยากที่จะเข้าใจว่า "ระบบ" ทำงานอย่างไร: การสลายตัวเป็นผลคูณขององค์ประกอบหลายอย่างซึ่งการคำนวณจะให้ค่าดั้งเดิม- ดังนั้น 20 สามารถแสดงเป็น 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 หรือวิธีอื่นได้

บันทึก: ตัวประกอบจะเหมือนกับตัวหารเสมอ ดังนั้นคุณต้องมองหา "คู่" ที่ใช้งานได้เพื่อหาการสลายตัวของตัวเลขที่ต้นฉบับหารลงตัวโดยไม่มีเศษ

การดำเนินการนี้สามารถทำได้ทั้งกับเงื่อนไขอิสระและตัวเลขในตัวแปร สิ่งสำคัญคืออย่าสูญเสียสิ่งหลังระหว่างการคำนวณ - เท่ากัน หลังจากการสลายตัว สิ่งที่ไม่รู้จักไม่สามารถเพียงแค่ "ไปไหนไม่ได้" มันยังคงอยู่ที่ตัวคูณตัวใดตัวหนึ่ง:

• 15x=3(5x);
• 60ปี 2 = (15ปี 2)4.

จำนวนเฉพาะที่สามารถหารได้ด้วยตัวเองเท่านั้นหรือ 1 จะไม่ถูกขยาย มันไม่สมเหตุสมผลเลย.

วิธีการพื้นฐานของการทำให้เข้าใจง่าย

สิ่งแรกที่สะดุดตาคุณ:

• การมีวงเล็บ;
• เศษส่วน;
• ราก.

ตัวอย่างพีชคณิตใน หลักสูตรของโรงเรียนมักเขียนด้วยแนวคิดว่าสามารถทำให้ง่ายขึ้นอย่างสวยงามได้

การคำนวณในวงเล็บ

สังเกตป้ายหน้าวงเล็บให้ดี!การคูณหรือการหารจะใช้กับแต่ละองค์ประกอบภายใน และเครื่องหมายลบจะกลับเครื่องหมาย "+" หรือ "-" ที่มีอยู่

วงเล็บจะคำนวณตามกฎหรือใช้สูตรคูณแบบย่อหลังจากนั้นจึงให้สูตรที่คล้ายกัน

การลดเศษส่วน

ลดเศษส่วนนอกจากนี้ยังเป็นเรื่องง่าย พวกเขาเองก็ "เต็มใจหนี" เป็นระยะ ๆ ทันทีที่มีการดำเนินการเพื่อนำสมาชิกดังกล่าวเข้ามา แต่คุณสามารถทำให้ตัวอย่างง่ายขึ้นได้ก่อนหน้านั้น: ให้ความสนใจกับตัวเศษและส่วน- มักจะมีองค์ประกอบที่ชัดเจนหรือซ่อนเร้นซึ่งสามารถลดขนาดลงร่วมกันได้ จริงอยู่ที่ถ้าในกรณีแรกคุณต้องขีดฆ่าสิ่งที่ไม่จำเป็นออกไป ในกรณีที่สองคุณจะต้องคิดโดยนำส่วนหนึ่งของนิพจน์มาจัดรูปแบบเพื่อทำให้ง่ายขึ้น วิธีการที่ใช้:

• การค้นหาและวงเล็บเหลี่ยมตัวหารร่วมมากของตัวเศษและส่วน
• หารแต่ละองค์ประกอบบนด้วยตัวส่วน

เมื่อการแสดงออกหรือบางส่วนอยู่ภายใต้รากงานหลักของการทำให้เข้าใจง่ายเกือบจะคล้ายกับกรณีที่มีเศษส่วน มีความจำเป็นต้องมองหาวิธีกำจัดมันให้หมดหรือหากเป็นไปไม่ได้ให้ลดเครื่องหมายที่รบกวนการคำนวณให้เหลือน้อยที่สุด ตัวอย่างเช่น จนถึงค่า √(3) หรือ √(7) ที่ไม่สร้างความรำคาญ

วิธีที่ถูกต้องลดความซับซ้อนของการแสดงออกที่รุนแรง - พยายามแยกตัวประกอบซึ่งบางส่วนจะถือออกไปนอกป้าย ตัวอย่างประกอบ: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10)

เทคนิคและความแตกต่างเล็กน้อยอื่น ๆ :

• การดำเนินการลดความซับซ้อนนี้สามารถดำเนินการได้ด้วยเศษส่วนโดยนำออกจากเครื่องหมายทั้งโดยรวมและแยกจากกันเป็นตัวเศษหรือตัวส่วน
• ส่วนหนึ่งของผลรวมหรือส่วนต่างไม่สามารถขยายและนำไปเกินรากได้;
• เมื่อทำงานกับตัวแปร ต้องคำนึงถึงระดับของตัวแปรด้วย โดยจะต้องเท่ากับหรือทวีคูณของรากจึงจะสามารถนำออกมาได้: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3 )=√(x 2 ×x)=x√( x);
• บางครั้งเป็นไปได้ที่จะกำจัดตัวแปรรากโดยการเพิ่มกำลังเศษส่วน: √(y 3)=y 3/2

ลดความซับซ้อนของการแสดงออกถึงพลัง

หากในกรณีของการคำนวณอย่างง่ายด้วยลบหรือบวก ตัวอย่างถูกทำให้ง่ายขึ้นโดยการอ้างอิงสิ่งที่คล้ายกัน แล้วเมื่อคูณหรือหารตัวแปรที่มีกำลังต่างกันล่ะ สามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยการจดจำประเด็นหลักสองประเด็น:

1. หากมีเครื่องหมายคูณระหว่างตัวแปร เลขยกกำลังจะรวมกัน
2. เมื่อหารกันแล้ว ยกกำลังเท่ากันของตัวส่วนจะถูกลบออกจากยกกำลังของตัวเศษ

เงื่อนไขเดียวสำหรับการทำให้เข้าใจง่ายคือทั้งสองคำมีพื้นฐานเหมือนกัน ตัวอย่างเพื่อความชัดเจน:

• 5x 2 ×4x 7 +(y 13 /y 11)=(5×4)x 2+7 +y 13- 11 =20x 9 +y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

เราทราบว่าการดำเนินการที่มีค่าตัวเลขหน้าตัวแปรเกิดขึ้นตามกฎทางคณิตศาสตร์ตามปกติ และถ้าคุณมองใกล้ ๆ จะเห็นได้ชัดว่าองค์ประกอบพลังงานของสำนวน "ทำงาน" ในลักษณะเดียวกัน:

• การยกพจน์ยกกำลังหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเองด้วยจำนวนครั้งที่กำหนด เช่น x 2 =x×x;
• การหารจะคล้ายกัน: หากคุณขยายกำลังของตัวเศษและตัวส่วน ตัวแปรบางตัวจะถูกยกเลิก ในขณะที่ตัวแปรที่เหลือจะถูก "รวบรวม" ซึ่งเทียบเท่ากับการลบ

เช่นเดียวกับสิ่งอื่นๆ การทำให้นิพจน์พีชคณิตง่ายขึ้นไม่เพียงแต่ต้องอาศัยความรู้พื้นฐานเท่านั้น แต่ยังต้องฝึกฝนอีกด้วย หลังจากผ่านไปเพียงไม่กี่บทเรียน ตัวอย่างที่ครั้งหนึ่งเคยดูซับซ้อนจะลดลงโดยไม่ยากนัก และกลายเป็นตัวอย่างที่สั้นและแก้ไขได้ง่าย

วีดีโอ

วิดีโอนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจและจดจำวิธีการทำให้สำนวนง่ายขึ้น

ไม่ได้รับคำตอบสำหรับคำถามของคุณ? แนะนำหัวข้อให้กับผู้เขียน

นิพจน์การแปลงนิพจน์

การแสดงออกทางอำนาจ (การแสดงออกด้วยพลัง) และการเปลี่ยนแปลง

ในบทความนี้ เราจะพูดถึงการแปลงนิพจน์ที่มีพลัง อันดับแรก เราจะเน้นไปที่การเปลี่ยนแปลงที่ดำเนินการด้วยนิพจน์ทุกประเภท รวมถึง การแสดงออกถึงพลังเช่น วงเล็บเปิดและนำคำที่คล้ายกันมา จากนั้นเราจะวิเคราะห์การแปลงที่มีอยู่ในนิพจน์ที่มีองศาโดยเฉพาะ เช่น การทำงานกับฐานและเลขชี้กำลัง โดยใช้คุณสมบัติขององศา เป็นต้น

การนำทางหน้า

การแสดงออกถึงอำนาจคืออะไร?

คำว่า "การแสดงออกถึงอำนาจ" ในทางปฏิบัติไม่ปรากฏในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ของโรงเรียน แต่ปรากฏค่อนข้างบ่อยในคอลเลกชันของปัญหา โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่มีไว้สำหรับการเตรียมสอบ Unified State และ Unified State Exam เป็นต้น หลังจากวิเคราะห์งานที่จำเป็นในการดำเนินการใดๆ ด้วยการแสดงออกถึงอำนาจ จะเห็นได้ชัดว่าการแสดงออกถึงอำนาจนั้นถูกเข้าใจว่าเป็นการแสดงออกที่มีพลังในรายการของพวกเขา ดังนั้น คุณสามารถยอมรับคำจำกัดความต่อไปนี้ได้ด้วยตนเอง:

คำนิยาม.

การแสดงออกถึงพลังเป็นสำนวนที่มีพลัง

ให้กันเถอะ ตัวอย่างการแสดงออกถึงอำนาจ- นอกจากนี้ เราจะนำเสนอตามพัฒนาการของมุมมองจากดีกรีที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติไปจนถึงดีกรีที่มีเลขชี้กำลังจริงเกิดขึ้นได้อย่างไร

ดังที่ทราบกันดีอยู่แล้ว ขั้นแรกจะทำความคุ้นเคยกับกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ ในขั้นนี้ นิพจน์ยกกำลังที่ง่ายที่สุดประเภท 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 ปรากฏ −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 เป็นต้น

หลังจากนั้นไม่นานจะมีการศึกษากำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มซึ่งนำไปสู่การปรากฏตัวของการแสดงออกกำลังด้วยจำนวนเต็ม พลังเชิงลบดังต่อไปนี้: 3 −2 , , a −2 +2 b −3 +c 2 .

ในโรงเรียนมัธยมปลายพวกเขากลับไปสู่ระดับปริญญา ที่นั่นมีการแนะนำระดับที่มีเลขชี้กำลังเชิงตรรกยะซึ่งนำมาซึ่งลักษณะของการแสดงออกทางอำนาจที่สอดคล้องกัน: , , ฯลฯ ในที่สุด องศาที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัวและนิพจน์ที่มีพวกมันจะได้รับการพิจารณา: , .

เรื่องนี้ไม่ได้จำกัดอยู่ที่นิพจน์ยกกำลังที่ระบุไว้: ตัวแปรจะแทรกเข้าไปในเลขชี้กำลังเพิ่มเติม และตัวอย่าง นิพจน์ต่อไปนี้เกิดขึ้น: 2 x 2 +1 หรือ - และหลังจากทำความคุ้นเคยกับ นิพจน์ที่มีกำลังและลอการิทึมก็เริ่มปรากฏขึ้น เช่น x 2·lgx −5·x lgx

ดังนั้นเราจึงต้องจัดการกับคำถามที่ว่าการแสดงออกถึงอำนาจหมายถึงอะไร ต่อไปเราจะเรียนรู้ที่จะแปลงพวกเขา

การแปลงการแสดงออกทางอำนาจประเภทหลัก

ด้วยนิพจน์กำลัง คุณสามารถดำเนินการแปลงข้อมูลประจำตัวพื้นฐานของนิพจน์ใดๆ ได้ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถเปิดวงเล็บ แทนที่นิพจน์ตัวเลขด้วยค่าของมัน เพิ่มคำที่คล้ายกัน เป็นต้น โดยปกติแล้วในกรณีนี้จำเป็นต้องปฏิบัติตามขั้นตอนที่ยอมรับในการดำเนินการ ลองยกตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

คำนวณค่านิพจน์ยกกำลัง 2 3 ·(4 2 −12)

สารละลาย.

ตามลำดับการดำเนินการ ให้ดำเนินการในวงเล็บก่อน อันดับแรกเราแทนที่กำลัง 4 2 ด้วยค่าของมัน 16 (ดูว่าจำเป็นหรือไม่) และประการที่สองเราคำนวณความแตกต่าง 16−12=4 เรามี 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

ในนิพจน์ผลลัพธ์ เราจะแทนที่กำลัง 2 3 ด้วยค่าของมันคือ 8 หลังจากนั้นเราคำนวณผลคูณ 8·4=32 นี่คือค่าที่ต้องการ

ดังนั้น, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

คำตอบ:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

ตัวอย่าง.

ลดความซับซ้อนของนิพจน์ด้วยพลัง 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

สารละลาย.

แน่นอนว่า สำนวนนี้มีคำศัพท์ที่คล้ายกัน 3·a 4 ·b −7 และ 2·a 4 ·b −7 และเราสามารถนำเสนอได้:

คำตอบ:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

ตัวอย่าง.

แสดงการแสดงออกที่มีอำนาจเป็นผลิตภัณฑ์

สารละลาย.

คุณสามารถรับมือกับงานได้โดยแสดงเลข 9 เป็นกำลังของ 3 2 จากนั้นใช้สูตรการคูณแบบย่อ - ผลต่างของกำลังสอง:

คำตอบ:

นอกจากนี้ยังมีการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันจำนวนหนึ่งซึ่งมีอยู่ในการแสดงออกทางอำนาจโดยเฉพาะ เราจะวิเคราะห์เพิ่มเติม

การทำงานกับฐานและเลขชี้กำลัง

มีพลังที่ฐานและ/หรือเลขยกกำลังไม่ใช่แค่ตัวเลขหรือตัวแปร แต่ยังมีบางนิพจน์ด้วย ตามตัวอย่าง เราใส่ค่า (2+0.3·7) 5−3.7 และ (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1)

เมื่อทำงานกับนิพจน์ดังกล่าว คุณสามารถแทนที่ทั้งนิพจน์ในฐานของดีกรีและนิพจน์ในเลขชี้กำลังด้วยนิพจน์ที่เท่ากันใน ODZ ของตัวแปร กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตามกฎที่เราทราบ เราสามารถแยกการแปลงฐานของดีกรีและแยกเลขชี้กำลังออกจากกันได้ เป็นที่ชัดเจนว่าจากการเปลี่ยนแปลงนี้จะได้รับการแสดงออกที่เหมือนกันกับต้นฉบับ

การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวช่วยให้เราสามารถลดความซับซ้อนของการแสดงออกด้วยพลังหรือบรรลุเป้าหมายอื่นๆ ที่เราต้องการ ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ยกกำลังที่กล่าวถึงข้างต้น (2+0.3 7) 5−3.7 คุณสามารถดำเนินการกับตัวเลขในฐานและเลขชี้กำลังได้ ซึ่งจะช่วยให้คุณสามารถเลื่อนไปยกกำลัง 4.1 1.3 ได้ และหลังจากเปิดวงเล็บแล้วนำพจน์ที่คล้ายกันมาไว้ที่ฐานของดีกรี (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) เราจะได้นิพจน์กำลังมากขึ้น ประเภทเรียบง่ายก 2·(x+1) .

การใช้คุณสมบัติปริญญา

หนึ่งในเครื่องมือหลักในการเปลี่ยนแปลงการแสดงออกด้วยพลังคือความเท่าเทียมกันที่สะท้อนให้เห็น ให้เราจำหลักๆ สำหรับจำนวนบวก a และ b และจำนวนใดๆ ก็ตาม ตัวเลขจริง r และ s คุณสมบัติขององศาต่อไปนี้ถูกต้อง:

• r ·a s = r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (ก·ข) r = ร ร ·ข r ;
• (มี:ข) ร =มี ร:b ร ;
• (มี r) s = มี r·s .

โปรดทราบว่าสำหรับเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และบวก ข้อจำกัดเกี่ยวกับตัวเลข a และ b อาจไม่เข้มงวดมากนัก ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนธรรมชาติ m และ n ความเท่าเทียมกัน a m ·a n =a m+n เป็นจริงไม่เพียงแต่สำหรับบวก a เท่านั้น แต่ยังสำหรับลบ a และสำหรับ a=0 ด้วย

ที่โรงเรียน จุดสนใจหลักในการเปลี่ยนแปลงการแสดงออกทางอำนาจคือความสามารถในการเลือกคุณสมบัติที่เหมาะสมและนำไปใช้อย่างถูกต้อง ในกรณีนี้ ฐานขององศามักจะเป็นค่าบวก ซึ่งทำให้สามารถใช้คุณสมบัติขององศาได้โดยไม่มีข้อจำกัด เช่นเดียวกับการเปลี่ยนแปลงนิพจน์ที่มีตัวแปรในฐานของกำลัง - ช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปรมักจะเป็นเช่นนั้นโดยที่ฐานของมันใช้เวลาเท่านั้น ค่าบวกซึ่งทำให้คุณสามารถใช้คุณสมบัติขององศาได้อย่างอิสระ โดยทั่วไปแล้ว คุณต้องถามตัวเองอยู่เสมอว่าเป็นไปได้หรือไม่ ในกรณีนี้ใช้คุณสมบัติขององศาใด ๆ เนื่องจากการใช้คุณสมบัติที่ไม่ถูกต้องอาจนำไปสู่การลดคุณค่าทางการศึกษาและปัญหาอื่น ๆ ประเด็นเหล่านี้จะกล่าวถึงโดยละเอียดพร้อมตัวอย่างในบทความ การแปลงนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติขององศา ที่นี่เราจะจำกัดตัวเองให้พิจารณาตัวอย่างง่ายๆ สองสามตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

เขียนนิพจน์ a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 เป็นกำลังที่มีฐาน a

สารละลาย.

ขั้นแรก เราแปลงปัจจัยที่สอง (a 2) −3 โดยใช้คุณสมบัติของการเพิ่มกำลังเป็นยกกำลัง: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6- การแสดงออกยกกำลังดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ 2.5 ·a −6:a −5.5 แน่นอนว่าเรายังคงใช้คุณสมบัติการคูณและการหารยกกำลังที่มีฐานเดียวกันอยู่
ก 2.5 ·ก −6:a −5.5 =
ก 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
ก −3.5−(−5.5) =a 2

คำตอบ:

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.

คุณสมบัติของพลังเมื่อแปลงนิพจน์พลังจะใช้ทั้งจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย

ตัวอย่าง.

ค้นหาค่าของการแสดงออกยกกำลัง

สารละลาย.

ความเสมอภาค (a·b) r =a r ·b r ใช้จากขวาไปซ้าย ช่วยให้เราย้ายจากนิพจน์ดั้งเดิมไปสู่ผลคูณของแบบฟอร์มและต่อไปอีก และเมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะรวมกันเป็น: .

เป็นไปได้ที่จะแปลงการแสดงออกดั้งเดิมด้วยวิธีอื่น:

คำตอบ:

.

ตัวอย่าง.

เมื่อพิจารณานิพจน์ยกกำลัง 1.5 −a 0.5 −6 ให้ป้อนตัวแปรใหม่ t=a 0.5

สารละลาย.

องศา a 1.5 สามารถแสดงเป็น 0.5 3 จากนั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของระดับถึงดีกรี (a r) s = a r s เมื่อประยุกต์จากขวาไปซ้าย ให้แปลงเป็นรูปแบบ (a 0.5) 3 ดังนั้น, ก 1.5 −ก 0.5 −6=(ก 0.5) 3 −ก 0.5 −6- ตอนนี้เป็นเรื่องง่ายที่จะแนะนำตัวแปรใหม่ t=a 0.5 เราได้ t 3 −t−6

คำตอบ:

เสื้อ 3 −t−6 .

การแปลงเศษส่วนที่มีกำลัง

นิพจน์ยกกำลังสามารถมีหรือแสดงเศษส่วนด้วยกำลังได้ การแปลงเศษส่วนขั้นพื้นฐานใดๆ ที่มีอยู่ในเศษส่วนชนิดใดก็ตามสามารถนำไปใช้กับเศษส่วนดังกล่าวได้อย่างสมบูรณ์ นั่นคือเศษส่วนที่มีกำลังสามารถลดลง ลดเหลือตัวส่วนใหม่ ทำงานแยกกันโดยมีตัวเศษและแยกกันกับตัวส่วน เป็นต้น เพื่ออธิบายคำเหล่านี้ ให้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างต่างๆ

ตัวอย่าง.

ลดความซับซ้อนของการแสดงออกถึงพลัง .

สารละลาย.

การแสดงออกยกกำลังนี้เป็นเศษส่วน มาทำงานกับทั้งเศษและส่วนของมันกันดีกว่า. ในตัวเศษเราจะเปิดวงเล็บและทำให้นิพจน์ผลลัพธ์ง่ายขึ้นโดยใช้คุณสมบัติของกำลังและในตัวส่วนเราจะนำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน:

และลองเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวส่วนโดยใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าเศษส่วน: .

คำตอบ:

.

การลดเศษส่วนที่มีกำลังให้กับตัวส่วนใหม่นั้นจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับการลดทอนตัวส่วนใหม่ เศษส่วนตรรกยะ- ในกรณีนี้ จะพบปัจจัยเพิ่มเติมและตัวเศษและส่วนของเศษส่วนจะถูกคูณด้วย เมื่อดำเนินการนี้ ควรจำไว้ว่าการลดตัวส่วนใหม่อาจทำให้ VA แคบลงได้ เพื่อป้องกันไม่ให้สิ่งนี้เกิดขึ้น จำเป็นที่ปัจจัยเพิ่มเติมจะต้องไม่เป็นศูนย์สำหรับค่าใดๆ ของตัวแปรจากตัวแปร ODZ สำหรับนิพจน์ดั้งเดิม

ตัวอย่าง.

ลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนใหม่: a) เป็นตัวส่วน a, b) ถึงตัวส่วน

สารละลาย.

ก) ในกรณีนี้ มันค่อนข้างง่ายที่จะทราบว่าตัวคูณเพิ่มเติมตัวใดที่ช่วยให้ได้ผลลัพธ์ตามที่ต้องการ นี่คือตัวคูณของ 0.3 เนื่องจาก 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a โปรดทราบว่าในช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร a (นี่คือเซตของจำนวนจริงบวกทั้งหมด) กำลังของ 0.3 จะไม่หายไป ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์ที่จะคูณตัวเศษและส่วนของค่าที่กำหนด เศษส่วนตามปัจจัยเพิ่มเติมนี้:

b) เมื่อพิจารณาตัวส่วนให้ละเอียดยิ่งขึ้น คุณจะพบว่า

และการคูณนิพจน์นี้ด้วยจะให้ผลรวมของลูกบาศก์ และ นั่นคือ . และนี่คือตัวส่วนใหม่ที่เราจะต้องลดเศษส่วนเดิมลงไป.

นี่คือวิธีที่เราพบปัจจัยเพิ่มเติม ในช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร x และ y นิพจน์จะไม่หายไปดังนั้นเราจึงสามารถคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนได้:

คำตอบ:

ก) , ข) .

ไม่มีอะไรใหม่ในการลดเศษส่วนที่มีพลัง: ตัวเศษและส่วนจะแสดงเป็นจำนวนตัวประกอบ และตัวประกอบเดียวกันของตัวเศษและตัวส่วนจะลดลง

ตัวอย่าง.

ลดเศษส่วน: ก) , ข) .

สารละลาย.

ก) ประการแรก ตัวเศษและส่วนสามารถลดลงได้ 30 และ 45 ซึ่งเท่ากับ 15 เห็นได้ชัดว่าเป็นไปได้ที่จะลดลง x 0.5 +1 และทีละ - นี่คือสิ่งที่เรามี:

b) ในกรณีนี้ จะไม่เห็นตัวประกอบในตัวเศษและส่วนที่เหมือนกันในทันที เพื่อให้ได้มาคุณจะต้องทำการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น ในกรณีนี้ ประกอบด้วยการแยกตัวประกอบตัวส่วนโดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง:

คำตอบ:

ก)

ข) .

การแปลงเศษส่วนเป็นตัวส่วนใหม่และเศษส่วนตัวลดมักใช้ในการทำเศษส่วน การดำเนินการจะดำเนินการตามกฎที่ทราบ เมื่อบวก (ลบ) เศษส่วน เศษส่วนจะถูกลดให้เหลือตัวส่วนร่วม หลังจากนั้นตัวเศษจะถูกบวก (ลบ) แต่ตัวส่วนยังคงเท่าเดิม ผลลัพธ์ที่ได้คือเศษส่วนที่ตัวเศษเป็นผลคูณของตัวเศษ และตัวส่วนเป็นผลคูณของตัวส่วน การหารด้วยเศษส่วนคือการคูณด้วยการผกผัน

ตัวอย่าง.

ทำตามขั้นตอน .

สารละลาย.

ขั้นแรก เราลบเศษส่วนในวงเล็บ ในการทำสิ่งนี้ เรานำพวกมันมาเป็นตัวส่วนร่วมซึ่งก็คือ หลังจากนั้นเราก็ลบตัวเศษ:

ตอนนี้เราคูณเศษส่วน:

แน่นอน มันเป็นไปได้ที่จะลดลงยกกำลัง x 1/2 หลังจากนั้นเราก็ได้ .

คุณยังสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ยกกำลังในตัวส่วนได้โดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง: .

คำตอบ:

ตัวอย่าง.

ลดความซับซ้อนของการแสดงออกถึงพลัง .

สารละลาย.

แน่นอนว่าเศษส่วนนี้สามารถลดลงได้ (x 2.7 +1) 2 ซึ่งจะได้เศษส่วน - เห็นได้ชัดว่าจำเป็นต้องทำอย่างอื่นด้วยกำลังของ X ในการทำเช่นนี้ เราจะแปลงเศษส่วนผลลัพธ์ให้เป็นผลคูณ นี่ทำให้เรามีโอกาสที่จะใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติของการแบ่งอำนาจที่มีฐานเดียวกัน: - และในตอนท้ายของกระบวนการ เราย้ายจากผลคูณสุดท้ายไปเป็นเศษส่วน.

คำตอบ:

.

และให้เราเพิ่มเติมด้วยว่าเป็นไปได้ และในหลายกรณี เป็นเรื่องที่พึงประสงค์ในการโอนแฟกเตอร์ที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบจากตัวเศษไปยังตัวส่วน หรือจากตัวส่วนเป็นตัวเศษ โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของเลขชี้กำลัง การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวมักจะทำให้การดำเนินการเพิ่มเติมง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น นิพจน์ยกกำลังสามารถแทนที่ได้ด้วย

การแปลงนิพจน์ด้วยรากและกำลัง

บ่อยครั้ง ในนิพจน์ที่จำเป็นต้องมีการแปลงบางอย่าง รากที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนก็ปรากฏพร้อมกับยกกำลังด้วย หากต้องการแปลงการแสดงออกให้เป็นรูปแบบที่ต้องการ ในกรณีส่วนใหญ่ ไปที่รากหรือเฉพาะพลังเท่านั้นก็เพียงพอแล้ว แต่เนื่องจากสะดวกกว่าในการทำงานกับพลัง พวกเขาจึงมักจะย้ายจากรากไปสู่พลัง อย่างไรก็ตาม ขอแนะนำให้ดำเนินการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเมื่อ ODZ ของตัวแปรสำหรับนิพจน์ดั้งเดิมอนุญาตให้คุณแทนที่รากด้วยกำลังโดยไม่จำเป็นต้องอ้างอิงถึงโมดูลหรือแยก ODZ ออกเป็นหลายช่วง (เราได้กล่าวถึงรายละเอียดในเรื่องนี้แล้ว การเปลี่ยนบทความจากรากไปสู่พลังและด้านหลัง หลังจากทำความคุ้นเคยกับระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะแล้ว ก็มีการแนะนำระดับพร้อมเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว ซึ่งช่วยให้เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับปริญญาด้วยเลขชี้กำลังจริงตามอำเภอใจ ในขั้นตอนนี้ โรงเรียนจะเริ่ม ศึกษา. ฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งได้รับการวิเคราะห์โดยยกกำลัง ฐานเป็นตัวเลข และเลขยกกำลังเป็นตัวแปร ดังนั้นเราจึงต้องเผชิญกับนิพจน์กำลังที่มีตัวเลขอยู่ในฐานของกำลังและในเลขชี้กำลัง - นิพจน์ที่มีตัวแปรและโดยธรรมชาติแล้วความจำเป็นในการแปลงนิพจน์ดังกล่าวจะเกิดขึ้น

ควรจะกล่าวว่าเมื่อทำการแก้ไขจะต้องทำการเปลี่ยนแปลงนิพจน์ประเภทที่ระบุ สมการเลขชี้กำลังและ อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล และการแปลงเหล่านี้ค่อนข้างง่าย ในกรณีส่วนใหญ่อย่างล้นหลาม พวกมันจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติขององศาและส่วนใหญ่มุ่งเป้าไปที่การแนะนำตัวแปรใหม่ในอนาคต สมการจะทำให้เราสามารถสาธิตพวกมันได้ 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

ประการแรก กำลังซึ่งอยู่ในเลขยกกำลังซึ่งก็คือผลรวมของตัวแปรบางตัว (หรือนิพจน์ที่มีตัวแปร) และตัวเลข จะถูกแทนที่ด้วยผลคูณ สิ่งนี้ใช้กับเงื่อนไขแรกและสุดท้ายของนิพจน์ทางด้านซ้าย:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

ต่อไปความเท่าเทียมกันทั้งสองด้านจะถูกหารด้วยนิพจน์ 7 2 x ซึ่งรับเฉพาะค่าบวกบน ODZ ของตัวแปร x สำหรับสมการดั้งเดิม (นี่เป็นเทคนิคมาตรฐานสำหรับการแก้สมการประเภทนี้เราไม่ได้ พูดถึงมันตอนนี้ ดังนั้นให้มุ่งเน้นไปที่การเปลี่ยนแปลงนิพจน์ที่ตามมาด้วยพลัง ):

ตอนนี้เราสามารถหักล้างเศษส่วนด้วยยกกำลังซึ่งให้ได้ .

ในที่สุด อัตราส่วนของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันจะถูกแทนที่ด้วยกำลังของความสัมพันธ์ ทำให้เกิดสมการขึ้นมา ซึ่งเทียบเท่ากัน - การแปลงที่ทำขึ้นทำให้เราแนะนำตัวแปรใหม่ ซึ่งจะช่วยลดการแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลเดิมไปเป็นการแก้สมการกำลังสอง

I.V. Boykov, L.D. Romanovaรวบรวมงานเพื่อเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State ตอนที่ 1 เพนซ่า 2546

แอปพลิเคชัน

การแก้สมการทุกประเภททางออนไลน์บนเว็บไซต์สำหรับนักเรียนและเด็กนักเรียนเพื่อรวบรวมเนื้อหาที่เรียน สมการออนไลน์ มีสมการเชิงพีชคณิต พาราเมตริก เหนือธรรมชาติ เชิงฟังก์ชัน เชิงอนุพันธ์ และสมการบางประเภทมีวิธีการแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ ซึ่งสะดวกเพราะไม่เพียงแต่ให้เท่านั้น ค่าที่แน่นอน root แต่อนุญาตให้คุณเขียนโซลูชันในรูปแบบของสูตรซึ่งอาจรวมถึงพารามิเตอร์ด้วย นิพจน์เชิงวิเคราะห์ไม่เพียงแต่ช่วยให้คำนวณรากเท่านั้น แต่ยังวิเคราะห์การมีอยู่และปริมาณของมันด้วย โดยขึ้นอยู่กับค่าพารามิเตอร์ ซึ่งมักจะมีความสำคัญมากกว่าสำหรับ การประยุกต์ใช้จริงกว่าค่าเฉพาะของราก การแก้สมการออนไลน์.. สมการออนไลน์ การแก้สมการคืองานในการค้นหาค่าของข้อโต้แย้งที่ทำให้บรรลุความเท่าเทียมกันนี้ บน ค่าที่เป็นไปได้เงื่อนไขเพิ่มเติม (จำนวนเต็ม จำนวนจริง ฯลฯ) อาจถูกกำหนดให้กับข้อโต้แย้ง การแก้สมการออนไลน์.. สมการออนไลน์ คุณสามารถแก้สมการออนไลน์ได้ทันทีและได้ผลลัพธ์ที่มีความแม่นยำสูง อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันที่ระบุ (บางครั้งเรียกว่า "ตัวแปร") เรียกว่า "ไม่ทราบ" ในกรณีของสมการ ค่าของสิ่งที่ไม่รู้จักซึ่งได้รับความเท่าเทียมกันนี้เรียกว่าคำตอบหรือรากของสมการนี้ กล่าวกันว่ารากเป็นไปตามสมการนี้ การแก้สมการออนไลน์หมายถึงการค้นหาเซตของคำตอบ (ราก) ทั้งหมด หรือการพิสูจน์ว่าไม่มีราก การแก้สมการออนไลน์.. สมการออนไลน์ สมการที่มีเซตรากตรงกันเรียกว่าเทียบเท่าหรือเท่ากัน สมการที่ไม่มีรากก็ถือว่าเท่ากันเช่นกัน ความเท่าเทียมกันของสมการมีคุณสมบัติเป็นสมมาตร หากสมการหนึ่งเทียบเท่ากับอีกสมการหนึ่ง สมการที่สองก็จะเทียบเท่ากับสมการแรก ความเท่าเทียมกันของสมการมีคุณสมบัติของการผ่านผ่าน: หากสมการหนึ่งเทียบเท่ากับอีกสมการหนึ่ง และสมการที่สองเทียบเท่ากับสมการที่สาม สมการแรกก็จะเทียบเท่ากับสมการที่สาม คุณสมบัติความเท่าเทียมกันของสมการช่วยให้เราสามารถทำการแปลงโดยใช้วิธีการแก้สมการได้ การแก้สมการออนไลน์.. สมการออนไลน์ เว็บไซต์จะช่วยให้คุณสามารถแก้สมการออนไลน์ได้ สมการที่ทราบคำตอบเชิงวิเคราะห์ ได้แก่ สมการพีชคณิตที่ไม่สูงกว่าระดับที่ 4 ได้แก่ สมการเชิงเส้น สมการกำลังสองสมการลูกบาศก์และสมการระดับที่สี่ สมการพีชคณิตในกรณีทั่วไป สมการที่มีระดับสูงกว่าจะไม่มีคำตอบเชิงวิเคราะห์ แม้ว่าบางสมการสามารถลดให้เป็นสมการที่มีระดับต่ำกว่าได้ก็ตาม สมการที่มีฟังก์ชันทิพย์เรียกว่าสมการทิพย์ ในหมู่พวกเขา โซลูชันการวิเคราะห์เป็นที่รู้จักสำหรับบางคน สมการตรีโกณมิติตั้งแต่ศูนย์ ฟังก์ชันตรีโกณมิติรู้จักกันดี ในกรณีทั่วไป เมื่อไม่พบโซลูชันเชิงวิเคราะห์ ระบบจะใช้วิธีการเชิงตัวเลข วิธีการเชิงตัวเลขไม่ได้ให้วิธีแก้ปัญหาที่แน่นอน แต่อนุญาตให้วิธีหนึ่งจำกัดช่วงเวลาที่รากอยู่ให้แคบลงตามค่าที่กำหนดไว้ล่วงหน้าเท่านั้น การแก้สมการออนไลน์.. สมการออนไลน์.. แทนที่จะใช้สมการออนไลน์ เราจะจินตนาการว่านิพจน์เดียวกันนั้นก่อตัวอย่างไร การพึ่งพาเชิงเส้นและไม่เพียงแต่ตามเส้นสัมผัสเส้นตรงเท่านั้น แต่ยังอยู่ที่จุดเปลี่ยนเว้าของกราฟด้วย วิธีการนี้เป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ตลอดเวลาในการศึกษารายวิชา บ่อยครั้งการแก้สมการเข้าใกล้ค่าสุดท้ายโดยใช้จำนวนอนันต์และการเขียนเวกเตอร์ จำเป็นต้องตรวจสอบข้อมูลเบื้องต้นและนี่คือสาระสำคัญของงาน มิฉะนั้น สภาพท้องถิ่นจะถูกแปลงเป็นสูตร การผกผันตามเส้นตรงจาก ฟังก์ชันที่กำหนดซึ่งเครื่องคำนวณสมการจะคำนวณโดยไม่ชักช้าในการดำเนินการมากนัก ค่าชดเชยจะให้บริการตามสิทธิ์ของพื้นที่ เราจะพูดถึงความสำเร็จของนักเรียนในสภาพแวดล้อมทางวิทยาศาสตร์ อย่างไรก็ตาม เช่นเดียวกับที่กล่าวมาทั้งหมด มันจะช่วยเราในกระบวนการค้นหา และเมื่อคุณแก้สมการได้ครบถ้วนแล้ว ให้เก็บคำตอบที่ได้ไว้ที่ปลายส่วนของเส้นตรง เส้นในอวกาศตัดกันที่จุดหนึ่ง และจุดนี้เรียกว่าตัดกันด้วยเส้นตรง ช่วงเวลาบนบรรทัดจะถูกระบุตามที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้ โพสต์สูงสุดสำหรับการศึกษาคณิตศาสตร์จะได้รับการเผยแพร่ กำหนดค่าอาร์กิวเมนต์จากพารามิเตอร์ พื้นผิวที่กำหนดและการแก้สมการออนไลน์จะสามารถสรุปหลักการของการเข้าถึงฟังก์ชันได้อย่างมีประสิทธิผล แถบโมเบียสหรือที่เรียกกันว่าอินฟินิตี้ มีลักษณะคล้ายเลขแปด นี่คือพื้นผิวด้านเดียว ไม่ใช่สองด้าน ตามหลักการที่ทุกคนทราบโดยทั่วไป เราจะยอมรับอย่างเป็นกลาง สมการเชิงเส้นสำหรับการกำหนดขั้นพื้นฐานตามที่เป็นอยู่และในสาขาวิชา อาร์กิวเมนต์ที่ให้ตามลำดับเพียงสองค่าเท่านั้นที่สามารถเปิดเผยทิศทางของเวกเตอร์ได้ สมมติว่าวิธีแก้ไขปัญหาอื่นของสมการออนไลน์เป็นมากกว่าแค่การแก้เท่านั้น แต่ยังหมายถึงการได้รับค่าคงที่เวอร์ชันเต็มด้วยผลลัพธ์ที่ตามมา หากไม่มีแนวทางบูรณาการ นักเรียนจะเรียนรู้เนื้อหานี้ได้ยาก เช่นเคย ในแต่ละกรณีพิเศษ เครื่องคำนวณสมการออนไลน์ที่สะดวกและชาญฉลาดของเราจะช่วยทุกคนในช่วงเวลาที่ยากลำบาก เพราะคุณเพียงแค่ต้องระบุพารามิเตอร์อินพุต จากนั้นระบบจะคำนวณคำตอบเอง ก่อนที่เราจะเริ่มป้อนข้อมูล เราจะต้องมีเครื่องมือป้อนข้อมูลซึ่งสามารถทำได้โดยไม่ยาก จำนวนการประมาณคำตอบแต่ละข้อจะนำไปสู่สมการกำลังสองในการสรุปของเรา แต่การทำเช่นนี้ไม่ใช่เรื่องง่าย เพราะมันง่ายที่จะพิสูจน์สิ่งที่ตรงกันข้าม ทฤษฎีไม่ได้รับการสนับสนุนจากความรู้เชิงปฏิบัติเนื่องจากคุณลักษณะเฉพาะของมัน การเห็นเครื่องคำนวณเศษส่วนในขั้นตอนการเผยแพร่คำตอบไม่ใช่เรื่องง่ายในวิชาคณิตศาสตร์ เนื่องจากทางเลือกในการเขียนตัวเลขบนเซตจะช่วยเพิ่มการเติบโตของฟังก์ชัน อย่างไรก็ตาม คงไม่ถูกต้องที่จะไม่พูดถึงการฝึกอบรมนักเรียน ดังนั้นเราแต่ละคนจะพูดมากเท่าที่จำเป็นต้องทำให้เสร็จ สมการลูกบาศก์ที่พบก่อนหน้านี้จะอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความอย่างถูกต้องและมีพื้นที่ของค่าตัวเลขตลอดจนตัวแปรสัญลักษณ์ เมื่อเรียนหรือท่องจำทฤษฎีบทแล้ว นักเรียนของเราจะพิสูจน์ตัวเองด้วยเท่านั้น ด้านที่ดีที่สุดและเราจะยินดีกับพวกเขา สมการออนไลน์ของเราแตกต่างจากจุดตัดหลายสนาม อธิบายได้ด้วยระนาบการเคลื่อนที่โดยการคูณเส้นตัวเลขที่รวมกันสองและสามเส้น ชุดในวิชาคณิตศาสตร์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะ ทางออกที่ดีที่สุดตามที่นักเรียนกล่าวไว้คือการบันทึกสำนวนที่สมบูรณ์ ดังที่กล่าวไว้ในภาษาวิทยาศาสตร์ นามธรรมของการแสดงออกเชิงสัญลักษณ์ไม่ได้เข้าสู่สถานะของกิจการ แต่การแก้สมการให้ผลลัพธ์ที่ชัดเจนในทุกกรณีที่ทราบ ระยะเวลาของบทเรียนของครูขึ้นอยู่กับความต้องการของข้อเสนอนี้ การวิเคราะห์แสดงให้เห็นความจำเป็นของเทคนิคการคำนวณทั้งหมดในหลายด้าน และเป็นที่แน่ชัดว่าเครื่องคิดเลขสมการเป็นเครื่องมือที่ขาดไม่ได้ในมือที่มีพรสวรรค์ของนักเรียน แนวทางการศึกษาคณิตศาสตร์ที่ภักดีจะกำหนดความสำคัญของมุมมองจากทิศทางต่างๆ คุณต้องการระบุทฤษฎีบทสำคัญข้อใดข้อหนึ่งและแก้สมการในลักษณะนี้ ขึ้นอยู่กับคำตอบซึ่งจะต้องมีความจำเป็นเพิ่มเติมในการประยุกต์ใช้ การวิเคราะห์ในพื้นที่นี้กำลังได้รับแรงผลักดัน เริ่มจากจุดเริ่มต้นและรับสูตรกันก่อน เมื่อทะลุผ่านระดับการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันแล้ว เส้นตามแนวแทนเจนต์ที่จุดเปลี่ยนเว้าจะนำไปสู่ความจริงที่ว่าการแก้สมการออนไลน์จะเป็นหนึ่งในประเด็นหลักในการสร้างกราฟเดียวกันนั้นจากอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน วิธีสมัครเล่นมีสิทธิ์ใช้หาก เงื่อนไขนี้ไม่ขัดแย้งกับข้อสรุปของนักเรียน เป็นงานย่อยที่ทำให้การวิเคราะห์เงื่อนไขทางคณิตศาสตร์เป็นสมการเชิงเส้นในขอบเขตที่มีอยู่ของคำจำกัดความของวัตถุที่ถูกนำเข้าสู่พื้นหลัง การหักกลบกันในทิศทางของมุมตั้งฉากจะยกเลิกข้อดีของค่าสัมบูรณ์เพียงค่าเดียว การแก้สมการแบบโมดูโล่ออนไลน์จะให้คำตอบจำนวนเท่ากัน หากคุณเปิดวงเล็บก่อนด้วยเครื่องหมายบวก จากนั้นจึงเปิดเครื่องหมายลบ ในกรณีนี้จะมีวิธีแก้ปัญหาเป็นสองเท่าและผลลัพธ์จะแม่นยำยิ่งขึ้น เครื่องคำนวณสมการออนไลน์ที่เสถียรและถูกต้องคือความสำเร็จในการบรรลุเป้าหมายที่ตั้งใจไว้ในงานที่ครูกำหนด วิธีการที่จำเป็นดูเหมือนว่าจะเป็นไปได้ที่จะเลือกเนื่องจากความแตกต่างที่สำคัญในมุมมองของนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ สมการกำลังสองที่ได้จะอธิบายเส้นโค้งของเส้นที่เรียกว่าพาราโบลา และเครื่องหมายจะกำหนดความนูนในระบบพิกัดกำลังสอง จากสมการเราได้ทั้งตัวจำแนกและรากตามทฤษฎีบทของเวียตนาม ขั้นตอนแรกคือการแสดงนิพจน์ว่าเป็นเศษส่วนแท้หรือเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม และใช้เครื่องคำนวณเศษส่วน จะมีการจัดทำแผนสำหรับการคำนวณเพิ่มเติมของเราขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ คณิตศาสตร์ที่ แนวทางทางทฤษฎีจะเป็นประโยชน์ในทุกขั้นตอน เราจะนำเสนอผลลัพธ์เป็นสมการลูกบาศก์อย่างแน่นอน เพราะเราจะซ่อนรากของมันไว้ในนิพจน์นี้เพื่อทำให้งานของนักศึกษาในมหาวิทยาลัยง่ายขึ้น วิธีการใดๆ ก็ดีหากเหมาะสำหรับการวิเคราะห์แบบผิวเผิน การดำเนินการทางคณิตศาสตร์เพิ่มเติมจะไม่ทำให้เกิดข้อผิดพลาดในการคำนวณ กำหนดคำตอบด้วยความแม่นยำที่กำหนด เผชิญหน้ากันโดยใช้การแก้สมการ - การค้นหาตัวแปรอิสระของฟังก์ชันที่กำหนดนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย โดยเฉพาะในช่วงที่ศึกษาเส้นคู่ขนานที่ระยะอนันต์ เมื่อพิจารณาถึงข้อยกเว้น ความต้องการจึงชัดเจนมาก ความแตกต่างของขั้วมีความชัดเจน จากประสบการณ์สอนในสถาบัน ครูของเราได้เรียนรู้ บทเรียนหลักซึ่งมีการศึกษาสมการออนไลน์ในความหมายทางคณิตศาสตร์เต็มรูปแบบ ที่นี่เรากำลังพูดถึงความพยายามที่สูงขึ้นและทักษะพิเศษในการประยุกต์ทฤษฎี เพื่อสนับสนุนข้อสรุปของเรา เราไม่ควรมองผ่านปริซึม จนกระทั่งเมื่อไม่นานมานี้ เชื่อกันว่าเซตปิดจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วทั่วทั้งภูมิภาคอย่างที่เป็นอยู่ และเพียงแค่ต้องตรวจสอบการแก้สมการเท่านั้น ในระยะแรกเราไม่ได้พิจารณาทุกอย่าง ตัวเลือกที่เป็นไปได้แต่แนวทางนี้มีความสมเหตุสมผลมากกว่าที่เคย การดำเนินการพิเศษที่มีวงเล็บเหลี่ยมแสดงให้เห็นถึงความก้าวหน้าบางอย่างตามแนวแกนกำหนดและแกนแอบซิสซาซึ่งไม่สามารถมองเห็นได้ด้วยตาเปล่า ในความหมายของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นตามสัดส่วนอย่างกว้างขวาง จะมีจุดเปลี่ยนเว้า เราจะพิสูจน์อีกครั้งว่าอย่างไร สภาพที่จำเป็นจะถูกนำไปใช้ตลอดช่วงการลดลงของตำแหน่งเวกเตอร์จากมากไปน้อยหนึ่งตำแหน่งหรือตำแหน่งอื่น ในพื้นที่จำกัด เราจะเลือกตัวแปรจากบล็อกเริ่มต้นของสคริปต์ของเรา ระบบที่สร้างขึ้นเป็นพื้นฐานพร้อมกับเวกเตอร์สามตัวมีหน้าที่รับผิดชอบในกรณีที่ไม่มีโมเมนต์หลักของแรง อย่างไรก็ตาม เครื่องคำนวณสมการสร้างขึ้นและช่วยในการค้นหาเงื่อนไขทั้งหมดของสมการที่สร้างขึ้น ทั้งเหนือพื้นผิวและตามเส้นขนาน ลองวาดวงกลมรอบจุดเริ่มต้นกัน ดังนั้น เราจะเริ่มขยับขึ้นไปตามเส้นหน้าตัด และแทนเจนต์จะอธิบายวงกลมตามความยาวทั้งหมด ทำให้เกิดเส้นโค้งที่เรียกว่าม้วนไม่ม้วน เอาล่ะ เรามาเล่าประวัติเล็กน้อยเกี่ยวกับเส้นโค้งนี้กันดีกว่า ความจริงก็คือว่าในอดีตในวิชาคณิตศาสตร์ไม่มีแนวคิดเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ในความเข้าใจอันบริสุทธิ์เหมือนที่เป็นอยู่ทุกวันนี้ ก่อนหน้านี้นักวิทยาศาสตร์ทุกคนมีส่วนร่วมในงานเดียวกันนั่นคือวิทยาศาสตร์ ต่อมาหลายศตวรรษต่อมาเมื่อ โลกวิทยาศาสตร์มนุษยชาติยังคงระบุระเบียบวินัยมากมายที่เต็มไปด้วยข้อมูลจำนวนมหาศาล พวกเขายังคงไม่เปลี่ยนแปลง แต่ทุกปี นักวิทยาศาสตร์ทั่วโลกพยายามพิสูจน์ว่าวิทยาศาสตร์นั้นไร้ขีดจำกัด และคุณจะไม่สามารถแก้สมการได้ เว้นแต่คุณจะมีความรู้ในสาขานี้ วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ- ไม่อาจยุติมันลงได้ในที่สุด การคิดเรื่องนี้ก็ไม่มีประโยชน์พอๆ กับการทำให้อากาศภายนอกอบอุ่น ให้เราค้นหาช่วงเวลาที่อาร์กิวเมนต์หากค่าของมันเป็นบวกจะกำหนดโมดูลัสของค่าในทิศทางที่เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว ปฏิกิริยานี้จะช่วยให้คุณพบวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยสามวิธี แต่คุณจะต้องตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาเหล่านั้น เริ่มจากข้อเท็จจริงที่ว่าเราต้องแก้สมการออนไลน์โดยใช้บริการเฉพาะของเว็บไซต์ของเรา ป้อนทั้งสองด้านของสมการที่กำหนด คลิกที่ปุ่ม "SOLVE" และรับคำตอบที่ถูกต้องภายในไม่กี่วินาที ใน กรณีพิเศษเรามาอ่านหนังสือเกี่ยวกับคณิตศาสตร์แล้วตรวจคำตอบของเราอีกครั้ง กล่าวคือ แค่ดูคำตอบแล้วทุกอย่างจะชัดเจน โครงการเดียวกันสำหรับ Parallepiped ซ้ำซ้อนเทียมจะบินออกไป มีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านขนานกัน และอธิบายหลักการและแนวทางมากมายในการศึกษาความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ของกระบวนการขึ้นลงของการสะสมพื้นที่กลวงในสูตรรูปแบบธรรมชาติ สมการเชิงเส้นที่คลุมเครือแสดงการขึ้นต่อกันของตัวแปรที่ต้องการกับคำตอบทั่วไปของเรา ณ เวลาที่กำหนด และด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งเราจะต้องหามาและนำเศษส่วนเกินมาในกรณีที่ไม่สำคัญ ทำเครื่องหมายสิบจุดบนเส้นตรงแล้ววาดเส้นโค้งผ่านแต่ละจุดในทิศทางที่กำหนด โดยให้จุดนูนขึ้น โดยไม่มีปัญหาพิเศษใด ๆ เครื่องคำนวณสมการของเราจะนำเสนอนิพจน์ในรูปแบบที่การตรวจสอบความถูกต้องของกฎจะเห็นได้ชัดแม้ในช่วงเริ่มต้นของการบันทึก ระบบการแสดงความมั่นคงเป็นพิเศษสำหรับนักคณิตศาสตร์มาก่อน เว้นแต่สูตรจะกำหนดไว้เป็นอย่างอื่น เราจะตอบสนองต่อสิ่งนี้โดยการนำเสนอรายงานโดยละเอียดในหัวข้อสถานะไอโซมอร์ฟิกของระบบพลาสติกของวัตถุ และการแก้สมการทางออนไลน์จะอธิบายการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุแต่ละจุดในระบบนี้ ในระดับการวิจัยเชิงลึกจำเป็นต้องชี้แจงรายละเอียดเกี่ยวกับปัญหาการผกผันอย่างน้อยชั้นล่างของพื้นที่ จากน้อยไปมากในส่วนที่ฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง เราจะใช้วิธีการทั่วไปของนักวิจัยที่ยอดเยี่ยม ยังไงก็ตาม เพื่อนร่วมชาติของเรา และจะเล่าด้านล่างเกี่ยวกับพฤติกรรมของเครื่องบิน เนื่องจากคุณลักษณะที่แข็งแกร่งของฟังก์ชันที่กำหนดโดยการวิเคราะห์ เราจึงใช้เครื่องคำนวณสมการออนไลน์เพื่อวัตถุประสงค์ที่ตั้งใจไว้ภายในขอบเขตอำนาจที่ได้รับเท่านั้น การให้เหตุผลเพิ่มเติม เราจะเน้นการทบทวนของเราเกี่ยวกับความเป็นเนื้อเดียวกันของสมการ นั่นคือ ด้านขวาของสมการนั้นเท่ากับศูนย์ ขอให้เราแน่ใจอีกครั้งว่าการตัดสินใจของเราในวิชาคณิตศาสตร์นั้นถูกต้อง เพื่อหลีกเลี่ยงการได้รับวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อย เราจะทำการปรับเปลี่ยนเงื่อนไขเริ่มต้นสำหรับปัญหาความเสถียรตามเงื่อนไขของระบบ มาสร้างสมการกำลังสองกัน โดยเราเขียนสองรายการโดยใช้สูตรที่รู้จักกันดีและค้นหารากที่เป็นลบ หากหนึ่งรูทมีขนาดใหญ่กว่ารูทที่สองและสามห้าหน่วย ดังนั้นโดยการเปลี่ยนแปลงอาร์กิวเมนต์หลัก เราจะบิดเบือนเงื่อนไขเริ่มต้นของงานย่อย โดยธรรมชาติแล้ว สิ่งผิดปกติทางคณิตศาสตร์สามารถอธิบายได้ในระดับทศนิยมที่ใกล้ที่สุดเสมอ จำนวนบวก- เครื่องคำนวณเศษส่วนนั้นเหนือกว่าระบบอะนาล็อกหลายเท่าบนทรัพยากรที่คล้ายกันในช่วงเวลาที่ดีที่สุดในการโหลดเซิร์ฟเวอร์ บนพื้นผิวของเวกเตอร์ความเร็วที่เติบโตไปตามแกนพิกัด เราวาดเส้นเจ็ดเส้นโดยโค้งงอในทิศทางตรงข้ามกัน ความเข้ากันได้ของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันที่กำหนดนั้นอยู่ข้างหน้าการอ่านตัวนับยอดดุลการฟื้นตัว ในทางคณิตศาสตร์ เราสามารถแสดงปรากฏการณ์นี้ผ่านสมการกำลังสามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จินตภาพ เช่นเดียวกับความก้าวหน้าแบบสองขั้วของเส้นลดลง จุดวิกฤติของความแตกต่างของอุณหภูมิในความหมายและความก้าวหน้าหลายประการ อธิบายกระบวนการแยกย่อยฟังก์ชันเศษส่วนที่ซับซ้อนออกเป็นปัจจัยต่างๆ หากคุณได้รับคำสั่งให้แก้สมการ อย่ารีบเร่งที่จะทำทันที ขั้นแรกให้ประเมินแผนปฏิบัติการทั้งหมดให้แน่ชัด จากนั้นจึงใช้แนวทางที่ถูกต้องเท่านั้น จะเกิดประโยชน์อย่างแน่นอน ความง่ายในการทำงานนั้นชัดเจน และในวิชาคณิตศาสตร์ก็เช่นเดียวกัน แก้สมการออนไลน์ สมการออนไลน์ทั้งหมดแสดงถึงบันทึกตัวเลขหรือพารามิเตอร์บางประเภทและตัวแปรที่ต้องพิจารณา คำนวณตัวแปรนี้เองนั่นคือค้นหาค่าหรือช่วงเวลาเฉพาะของชุดค่าที่ข้อมูลประจำตัวจะเก็บไว้ เงื่อนไขเริ่มต้นและขั้นสุดท้ายขึ้นอยู่กับโดยตรง ใน วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสมการมักจะมีตัวแปรและค่าคงที่อยู่ด้วย โดยการตั้งค่าให้เราได้คำตอบทั้งกลุ่มสำหรับคำชี้แจงปัญหาที่กำหนด โดยทั่วไป สิ่งนี้แสดงให้เห็นถึงความพยายามในการเพิ่มฟังก์ชันการทำงานของลูกบาศก์เชิงพื้นที่ที่มีด้านเท่ากับ 100 เซนติเมตร คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทหรือบทแทรกในขั้นตอนใดก็ได้ของการสร้างคำตอบ เว็บไซต์จะค่อยๆ สร้างเครื่องคิดเลขสมการ หากจำเป็น ในช่วงเวลาใด ๆ ของผลรวมของผลิตภัณฑ์ที่แสดง ค่าที่น้อยที่สุด- ในครึ่งหนึ่งของกรณี ลูกบอลดังกล่าวกลวง ไม่ตรงตามข้อกำหนดในการตั้งคำตอบระดับกลางอีกต่อไป อย่างน้อยบนแกนกำหนดทิศทางในการลดการแสดงเวกเตอร์ สัดส่วนนี้จะเหมาะสมที่สุดอย่างไม่ต้องสงสัยมากกว่านิพจน์ก่อนหน้า เมื่อชั่วโมงที่ ฟังก์ชันเชิงเส้นการวิเคราะห์แบบจุดต่อจุดแบบเต็มจะดำเนินการ อันที่จริงเราจะรวบรวมทั้งหมดของเราเข้าด้วยกัน จำนวนเชิงซ้อนและปริภูมิระนาบสองขั้ว ด้วยการแทนที่ตัวแปรในนิพจน์ผลลัพธ์ คุณจะแก้สมการทีละขั้นตอนและให้คำตอบที่ละเอียดที่สุดด้วยความแม่นยำสูง มันจะเป็นรูปแบบที่ดีของนักเรียนที่จะตรวจสอบการกระทำของเขาในวิชาคณิตศาสตร์อีกครั้ง สัดส่วนในอัตราส่วนของเศษส่วนบันทึกความสมบูรณ์ของผลลัพธ์ในพื้นที่สำคัญของกิจกรรมของเวกเตอร์ศูนย์ เรื่องไม่สำคัญได้รับการยืนยันเมื่อสิ้นสุดการกระทำที่เสร็จสมบูรณ์ ด้วยงานง่ายๆ นักเรียนอาจไม่มีปัญหาหากแก้สมการออนไลน์ในเวลาที่สั้นที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ แต่อย่าลืมกฎเกณฑ์ทุกประเภท ชุดย่อยตัดกันในบริเวณที่มีสัญกรณ์มาบรรจบกัน ใน กรณีที่แตกต่างกันสินค้าไม่ได้แยกตัวประกอบอย่างผิดพลาด คุณจะได้รับความช่วยเหลือในการแก้สมการออนไลน์ในส่วนแรกของเรา ซึ่งเน้นไปที่พื้นฐานของเทคนิคทางคณิตศาสตร์สำหรับส่วนที่สำคัญสำหรับนักศึกษาในมหาวิทยาลัยและวิทยาลัยเทคนิค เราไม่ต้องรอสองสามวันเพื่อหาคำตอบ เนื่องจากกระบวนการโต้ตอบที่ดีที่สุดของการวิเคราะห์เวกเตอร์กับการค้นหาวิธีแก้ปัญหาตามลำดับได้รับการจดสิทธิบัตรเมื่อต้นศตวรรษที่ผ่านมา ปรากฎว่าความพยายามในการสร้างความสัมพันธ์กับทีมรอบข้างนั้นไม่ได้ไร้ประโยชน์ เห็นได้ชัดว่าจำเป็นต้องมีสิ่งอื่นก่อน หลายชั่วอายุคนต่อมา นักวิทยาศาสตร์ทั่วโลกทำให้ผู้คนเชื่อว่าคณิตศาสตร์คือราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ ไม่ว่าจะเป็นคำตอบซ้ายหรือคำตอบที่ถูกต้อง เงื่อนไขที่ครบถ้วนสมบูรณ์จะต้องเขียนเป็นสามแถว เนื่องจากในกรณีของเรา เราจะพูดถึงเฉพาะการวิเคราะห์เวกเตอร์ของคุณสมบัติของเมทริกซ์เท่านั้น สมการไม่เชิงเส้นและสมการเชิงเส้น พร้อมด้วยสมการกำลังสองมีจุดพิเศษในหนังสือของเรา แนวทางปฏิบัติที่ดีที่สุดการคำนวณวิถีการเคลื่อนที่ในปริภูมิของจุดวัตถุทั้งหมดของระบบปิด การวิเคราะห์เชิงเส้นของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์สามตัวติดต่อกันจะช่วยให้แนวคิดนี้เป็นจริงได้ ในตอนท้ายของแต่ละคำสั่ง งานจะง่ายขึ้นโดยการใช้ข้อยกเว้นเชิงตัวเลขที่ได้รับการปรับปรุงแล้วในการซ้อนทับพื้นที่ตัวเลขที่กำลังดำเนินการ การตัดสินที่แตกต่างกันจะไม่ขัดแย้งกับคำตอบที่พบในรูปทรงสามเหลี่ยมในวงกลมโดยพลการ มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวมีเปอร์เซ็นต์ของระยะขอบที่ต้องการ และการแก้สมการออนไลน์มักจะเผยให้เห็นรากร่วมของสมการซึ่งตรงข้ามกับเงื่อนไขเริ่มต้น ข้อยกเว้นมีบทบาทเป็นตัวเร่งปฏิกิริยาในกระบวนการที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ทั้งหมดในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาเชิงบวกในด้านการกำหนดฟังก์ชัน ถ้าไม่ได้บอกว่าคุณไม่สามารถใช้คอมพิวเตอร์ได้ เครื่องคิดเลขสมการออนไลน์ก็เหมาะกับปัญหายากๆ ของคุณ คุณเพียงแค่ต้องเข้าไป รูปแบบที่ถูกต้องข้อมูลตามเงื่อนไขของคุณและเซิร์ฟเวอร์ของเราจะมอบการตอบสนองที่สมบูรณ์ในเวลาที่สั้นที่สุด ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเพิ่มขึ้นเร็วกว่าฟังก์ชันเชิงเส้นมาก ทัลมุดแห่งวรรณกรรมห้องสมุดอันชาญฉลาดเป็นพยานถึงสิ่งนี้ จะทำการคำนวณในความหมายทั่วไปเหมือนกับสมการกำลังสองที่กำหนดซึ่งมีสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน 3 ตัวจะทำได้ พาราโบลาในส่วนบนของครึ่งระนาบแสดงลักษณะการเคลื่อนที่ขนานเป็นเส้นตรงตามแนวแกนของจุด เป็นเรื่องที่ควรค่าแก่การกล่าวถึงความแตกต่างที่อาจเกิดขึ้นในพื้นที่ทำงานของร่างกาย เพื่อแลกกับผลลัพธ์ที่ต่ำกว่าปกติ เครื่องคำนวณเศษส่วนของเราครองตำแหน่งแรกในการจัดอันดับทางคณิตศาสตร์ของการทบทวนโปรแกรมเชิงฟังก์ชันบนฝั่งเซิร์ฟเวอร์อย่างถูกต้อง ความง่ายในการใช้บริการนี้จะได้รับการชื่นชมจากผู้ใช้อินเทอร์เน็ตหลายล้านคน หากคุณไม่ทราบวิธีใช้งาน เรายินดีที่จะช่วยเหลือคุณ นอกจากนี้เรายังต้องการเน้นและเน้นสมการกำลังสามจากปัญหาในโรงเรียนประถมศึกษาจำนวนหนึ่ง เมื่อจำเป็นต้องค้นหารากของมันอย่างรวดเร็วและสร้างกราฟของฟังก์ชันบนระนาบ องศาที่สูงขึ้นการสืบพันธุ์เป็นหนึ่งในปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนของสถาบัน และมีการจัดสรรชั่วโมงให้เพียงพอสำหรับการศึกษา เช่นเดียวกับสมการเชิงเส้นอื่นๆ กฎวัตถุประสงค์ของเราก็ไม่มีข้อยกเว้น เมื่อพิจารณาจากมุมมองที่ต่างกัน ปรากฎว่าเป็นเรื่องง่ายและเพียงพอที่จะกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น ช่วงของการเพิ่มขึ้นเกิดขึ้นพร้อมกับช่วงความนูนของฟังก์ชัน การแก้สมการออนไลน์ การศึกษาทฤษฎีขึ้นอยู่กับสมการออนไลน์จากหลายส่วนเกี่ยวกับการศึกษาสาขาวิชาหลัก ในกรณีของแนวทางดังกล่าวในปัญหาที่ไม่แน่นอน เป็นเรื่องง่ายมากที่จะนำเสนอคำตอบของสมการในรูปแบบที่กำหนดไว้ล่วงหน้า และไม่เพียงแต่สามารถสรุปผลเท่านั้น แต่ยังคาดการณ์ผลลัพธ์ของวิธีแก้ปัญหาเชิงบวกด้วย การบริการตามประเพณีที่ดีที่สุดของคณิตศาสตร์จะช่วยให้เราเรียนรู้สาขาวิชาได้เช่นเดียวกับที่เป็นธรรมเนียมปฏิบัติในภาคตะวันออก ใน ช่วงเวลาที่ดีที่สุดช่วงเวลา งานที่คล้ายกันจะถูกคูณด้วยตัวประกอบร่วมคือสิบ การคูณตัวแปรหลายตัวในเครื่องคำนวณสมการจำนวนมากเริ่มคูณด้วยคุณภาพมากกว่าตัวแปรเชิงปริมาณ เช่น มวลหรือน้ำหนักตัว เพื่อหลีกเลี่ยงกรณีความไม่สมดุลของระบบวัสดุ การได้มาของหม้อแปลงสามมิติจากการบรรจบกันเล็กน้อยของเมทริกซ์ทางคณิตศาสตร์ที่ไม่เสื่อมลงนั้นค่อนข้างชัดเจนสำหรับเรา ทำงานให้เสร็จและแก้สมการในพิกัดที่กำหนด เนื่องจากไม่ทราบข้อสรุปล่วงหน้า เช่นเดียวกับตัวแปรทั้งหมดที่รวมอยู่ในเวลาหลังอวกาศ บน ระยะสั้นย้ายตัวประกอบร่วมให้พ้นวงเล็บแล้วหารทั้งสองข้างด้วยตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดล่วงหน้า จากใต้เซตย่อยของตัวเลขที่ครอบคลุมผลลัพธ์ ให้แยกออก อย่างละเอียดสามสิบสามแต้มติดต่อกันในช่วงเวลาสั้นๆ ถึงขนาดนั้น ในวิธีที่ดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้การแก้สมการออนไลน์เป็นไปได้สำหรับนักเรียนทุกคน เมื่อมองไปข้างหน้า สมมติว่ามีสิ่งหนึ่งที่สำคัญแต่สำคัญ หากไม่เป็นเช่นนั้นก็จะเป็นเรื่องยากที่จะใช้ชีวิตในอนาคต ในศตวรรษที่ผ่านมา นักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่รายนี้สังเกตเห็นรูปแบบหลายประการในทฤษฎีคณิตศาสตร์ ในทางปฏิบัติผลลัพธ์ที่ได้กลับไม่เป็นอย่างที่คาดหวังจากเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น อย่างไรก็ตาม โดยหลักการแล้ว การแก้สมการออนไลน์นี้จะช่วยปรับปรุงความเข้าใจและการรับรู้ของแนวทางแบบองค์รวมในการศึกษาและการรวมเนื้อหาทางทฤษฎีที่นักเรียนครอบคลุมภาคปฏิบัติ การทำเช่นนี้ง่ายกว่ามากในช่วงเวลาเรียน

=

กำลังนี้ใช้เพื่อทำให้การดำเนินการคูณตัวเลขง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น แทนที่จะเขียน คุณสามารถเขียนได้ 4 5 (\displaystyle 4^(5))(คำอธิบายสำหรับการเปลี่ยนแปลงนี้มีให้ไว้ในส่วนแรกของบทความนี้) องศาช่วยให้เขียนนิพจน์หรือสมการที่ยาวหรือซับซ้อนได้ง่ายขึ้น เลขยกกำลังยังง่ายต่อการบวกและลบ ส่งผลให้นิพจน์หรือสมการง่ายขึ้น (เช่น 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

บันทึก:หากคุณต้องการตัดสินใจ สมการเลขชี้กำลัง(ในสมการนี้ ค่าที่ไม่ทราบอยู่ในเลขชี้กำลัง) ให้อ่าน

ขั้นตอน

การแก้ปัญหาง่ายๆด้วยองศา

คูณฐานของเลขชี้กำลังด้วยตัวมันเองหลายๆ ครั้งเท่ากับเลขชี้กำลังหากคุณต้องการแก้ปัญหาเรื่องกำลังด้วยมือ ให้เขียนกำลังใหม่เป็นการคูณ โดยฐานของกำลังจะคูณด้วยตัวมันเอง เช่น ได้รับปริญญา 3 4 (\displaystyle 3^(4))- ในกรณีนี้ฐานของกำลัง 3 ต้องคูณด้วยตัวมันเอง 4 ครั้ง: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3)- นี่คือตัวอย่างอื่นๆ:

ขั้นแรก ให้คูณตัวเลขสองตัวแรกตัวอย่างเช่น, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4)- ไม่ต้องกังวล - กระบวนการคำนวณไม่ซับซ้อนเท่าที่เห็นในครั้งแรก ขั้นแรกให้คูณสองสี่ตัวแรกแล้วแทนที่ด้วยผลลัพธ์ แบบนี้:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. คูณผลลัพธ์ (16 ในตัวอย่างของเรา) ด้วยตัวเลขถัดไปแต่ละผลลัพธ์ที่ตามมาจะเพิ่มขึ้นตามสัดส่วน ในตัวอย่างของเรา คูณ 16 ด้วย 4 แบบนี้:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • คูณผลลัพธ์ของตัวเลขสองตัวแรกด้วยตัวเลขถัดไปจนกว่าคุณจะได้คำตอบสุดท้าย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณตัวเลขสองตัวแรก แล้วคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วยตัวเลขถัดไปในลำดับ วิธีนี้ใช้ได้กับทุกระดับ ในตัวอย่างของเรา คุณควรได้รับ: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. แก้ไขปัญหาต่อไปนี้ตรวจสอบคำตอบของคุณโดยใช้เครื่องคิดเลข

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. บนเครื่องคิดเลขของคุณ ให้มองหาปุ่มที่มีข้อความว่า "exp" หรือ " xn (\รูปแบบการแสดงผล x^(n))" หรือ "^"การใช้คีย์นี้ คุณจะเพิ่มตัวเลขเป็นกำลัง แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะคำนวณระดับด้วยตัวบ่งชี้ขนาดใหญ่ด้วยตนเอง (เช่น องศา 9 15 (\displaystyle 9^(15))) แต่เครื่องคิดเลขสามารถรับมือกับงานนี้ได้อย่างง่ายดาย ใน Windows 7 เครื่องคิดเลขมาตรฐานสามารถเปลี่ยนเป็นโหมดวิศวกรรมได้ โดยคลิก "ดู" -> "วิศวกรรม" เพื่อเปลี่ยนไปใช้ โหมดปกติคลิก "ดู" -> "ปกติ"

   • ตรวจสอบคำตอบที่ได้รับโดยใช้เครื่องมือค้นหา (Google หรือ Yandex)- ใช้ปุ่ม "^" บนแป้นพิมพ์คอมพิวเตอร์ของคุณ ป้อนนิพจน์ลงในเครื่องมือค้นหา ซึ่งจะแสดงคำตอบที่ถูกต้องทันที (และอาจแนะนำสำนวนที่คล้ายกันให้คุณศึกษา)

   การบวก ลบ คูณ ยกกำลัง

   1. คุณสามารถเพิ่มและลบเลขยกกำลังได้ก็ต่อเมื่อมีฐานเท่ากันเท่านั้นหากคุณต้องการเพิ่มกำลังด้วยฐานและเลขยกกำลังเดียวกัน คุณสามารถแทนที่การดำเนินการบวกด้วยการดำเนินการคูณได้ ตัวอย่างเช่นเมื่อกำหนดนิพจน์ 4 5 + 4 5 (\รูปแบบการแสดงผล 4^(5)+4^(5))- จำไว้ว่าปริญญา 4 5 (\displaystyle 4^(5))สามารถแสดงเป็นแบบฟอร์มได้ 1 ∗ 4 5 (\รูปแบบการแสดงผล 1*4^(5))- ดังนั้น, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(โดยที่ 1 +1 =2) นั่นคือนับจำนวนองศาที่คล้ายกันแล้วคูณระดับนั้นกับจำนวนนี้ ในตัวอย่างของเรา ให้ยก 4 ยกกำลัง 5 แล้วคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วย 2 โปรดจำไว้ว่าการดำเนินการบวกสามารถแทนที่ได้ด้วยการดำเนินการคูณ ตัวอย่างเช่น 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3)- นี่คือตัวอย่างอื่นๆ:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังของมันจะถูกบวกเข้าไป (ฐานไม่เปลี่ยนแปลง)ตัวอย่างเช่นเมื่อกำหนดนิพจน์ x 2 ∗ x 5 (\รูปแบบการแสดงผล x^(2)*x^(5))- ในกรณีนี้ คุณเพียงแค่ต้องเพิ่มตัวบ่งชี้ โดยไม่เปลี่ยนแปลงฐาน ดังนั้น, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7))- นี่คือคำอธิบายภาพของกฎนี้:

      เมื่อยกกำลังเป็นยกกำลัง เลขชี้กำลังจะถูกคูณเช่น ได้รับปริญญา. เนื่องจากเลขชี้กำลังถูกคูณแล้ว (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10))- ประเด็นของกฎข้อนี้คือคุณต้องคูณด้วยกำลัง (x 2) (\displaystyle (x^(2)))ด้วยตัวเองห้าครั้ง แบบนี้:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • เนื่องจากฐานเท่ากัน เลขชี้กำลังจึงรวมกันได้: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบควรแปลงเป็นเศษส่วน (กำลังย้อนกลับ)มันไม่สำคัญหรอกถ้าคุณไม่รู้ว่าปริญญาตอบแทนคืออะไร หากคุณได้รับปริญญาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ เช่น 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2))เขียนระดับนี้ในตัวส่วนของเศษส่วน (ใส่ 1 ในตัวเศษ) แล้วทำให้เลขชี้กำลังเป็นบวก ในตัวอย่างของเรา: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2))))- นี่คือตัวอย่างอื่นๆ:

      เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะถูกลบออก (ฐานไม่เปลี่ยนแปลง)การดำเนินการหารจะตรงกันข้ามกับการคูณ ตัวอย่างเช่นเมื่อกำหนดนิพจน์ 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2))))- ลบเลขชี้กำลังในตัวส่วนออกจากเลขชี้กำลังในตัวเศษ (อย่าเปลี่ยนฐาน) ดังนั้น, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • ยกกำลังในตัวส่วนสามารถเขียนได้ดังนี้: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\รูปแบบการแสดงผล 4^(-2))- โปรดจำไว้ว่าเศษส่วนคือตัวเลข (ยกกำลัง นิพจน์) ที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ

   4. ด้านล่างนี้คือสำนวนบางส่วนที่จะช่วยให้คุณเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหาเลขชี้กำลังสำนวนที่ให้ครอบคลุมเนื้อหาที่นำเสนอในส่วนนี้ หากต้องการดูคำตอบ เพียงเน้นที่ว่างหลังเครื่องหมายเท่ากับ

      การแก้ปัญหาด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วน

      1. กำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน (เช่น ) จะถูกแปลงเป็นการดำเนินการรูทในตัวอย่างของเรา: x 1 2 (\รูปแบบการแสดงผล x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x)))- ในที่นี้ไม่สำคัญว่าจำนวนใดในตัวส่วนของเลขชี้กำลังเศษส่วน ตัวอย่างเช่น, x 1 4 (\รูปแบบการแสดงผล x^(\frac (1)(4)))- คือรากที่สี่ของ "x" นั่นคือ x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

      2. ถ้าเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนเกิน เลขชี้กำลังนั้นสามารถแบ่งออกเป็นสองกำลังเพื่อทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น ไม่มีอะไรซับซ้อนเกี่ยวกับเรื่องนี้ - เพียงจำกฎแห่งการคูณพลัง เช่น ได้รับปริญญา. แปลงกำลังดังกล่าวให้เป็นรากที่มีกำลังเท่ากับตัวส่วนของเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน แล้วยกกำลังนี้ให้เป็นกำลังเท่ากับตัวเศษของเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จำไว้ว่า = 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3)))(1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5)

         • - ในตัวอย่างของเรา:
         • x 1 3 = x 3 (\รูปแบบการแสดงผล x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
         • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
      3. เครื่องคิดเลขบางเครื่องมีปุ่มสำหรับคำนวณเลขยกกำลัง (คุณต้องป้อนเลขฐานก่อน จากนั้นจึงกดปุ่ม จากนั้นจึงป้อนเลขยกกำลัง) มันเขียนแทนด้วย ^ หรือ x^y
      4. จำไว้ว่าจำนวนใดๆ ยกกำลัง 1 จะเท่ากับตัวมันเอง เช่น 4 1 = 4 (\displaystyle 4^(1)=4.)ยิ่งไปกว่านั้น จำนวนใดๆ ที่ถูกคูณหรือหารด้วยหนึ่งจะเท่ากับตัวมันเอง เช่น 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)และ 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
      5. รู้ว่าไม่มีกำลัง 0 0 (กำลังดังกล่าวไม่มีวิธีแก้ปัญหา) หากคุณพยายามแก้ปริญญาดังกล่าวด้วยเครื่องคิดเลขหรือคอมพิวเตอร์ คุณจะได้รับข้อผิดพลาด แต่จำไว้ว่าจำนวนใดๆ ที่กำลังเป็น 0 คือ 1 เป็นต้น 4 0 = 1 (\displaystyle 4^(0)=1.)
      6. ในคณิตศาสตร์ชั้นสูง ซึ่งดำเนินการกับจำนวนจินตภาพ: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), ที่ไหน i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1))- e เป็นค่าคงที่ประมาณเท่ากับ 2.7; a เป็นค่าคงที่ตามใจชอบ การพิสูจน์ความเท่าเทียมกันนี้สามารถพบได้ในหนังสือเรียนเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ชั้นสูงทุกเล่ม

      คำเตือน

      • เมื่อเลขชี้กำลังเพิ่มขึ้น มูลค่าของมันจะเพิ่มขึ้นอย่างมาก ดังนั้นหากคำตอบดูเหมือนผิดสำหรับคุณ คำตอบนั้นก็อาจจะถูกต้องจริงๆ คุณสามารถตรวจสอบสิ่งนี้ได้โดยการวางแผนใดๆ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเช่น 2 x

การทำให้นิพจน์พีชคณิตง่ายขึ้นเป็นหนึ่งในนั้น ประเด็นสำคัญการเรียนรู้พีชคณิตและทักษะที่มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับนักคณิตศาสตร์ทุกคน การทำให้เข้าใจง่ายช่วยให้คุณลดนิพจน์ที่ซับซ้อนหรือยาวให้เป็นนิพจน์ง่ายๆ ที่ใช้งานได้ง่าย ทักษะพื้นฐานของการทำให้เข้าใจง่ายนั้นดีแม้กระทั่งสำหรับผู้ที่ไม่กระตือรือร้นเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ก็ตาม โดยสังเกตหลายๆอย่าง กฎง่ายๆคุณสามารถทำให้นิพจน์พีชคณิตทั่วไปหลายประเภทลดความซับซ้อนลงได้โดยไม่ต้องมีความรู้ทางคณิตศาสตร์เป็นพิเศษ

ขั้นตอน

คำจำกัดความที่สำคัญ

1. สมาชิกที่คล้ายกันเหล่านี้คือสมาชิกที่มีตัวแปรในลำดับเดียวกัน สมาชิกที่มีตัวแปรเดียวกัน หรือสมาชิกอิสระ (สมาชิกที่ไม่มีตัวแปร) กล่าวอีกนัยหนึ่ง คำที่คล้ายกันรวมถึงตัวแปรเดียวกันในระดับเดียวกัน รวมตัวแปรเดียวกันหลายตัว หรือไม่รวมตัวแปรเลย ลำดับของคำศัพท์ในนิพจน์ไม่สำคัญ

   • ตัวอย่างเช่น 3x 2 และ 4x 2 เป็นคำที่คล้ายกันเนื่องจากมีตัวแปร "x" ลำดับที่สอง (ยกกำลังสอง) อย่างไรก็ตาม x และ x2 ไม่ใช่คำที่คล้ายกัน เนื่องจากมีตัวแปร “x” ของลำดับที่แตกต่างกัน (ตัวแรกและตัวที่สอง) ในทำนองเดียวกัน -3yx และ 5xz ไม่ใช่คำที่คล้ายกันเนื่องจากมีตัวแปรต่างกัน

2. การแยกตัวประกอบนี่คือการค้นหาตัวเลขที่มีผลิตภัณฑ์นำไปสู่หมายเลขเดิม หมายเลขเดิมสามารถมีได้หลายปัจจัย ตัวอย่างเช่น จำนวน 12 สามารถแยกตัวประกอบในชุดตัวประกอบได้ดังต่อไปนี้ 1 × 12, 2 × 6 และ 3 × 4 ดังนั้นเราจึงบอกได้ว่าตัวเลข 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 เป็นตัวประกอบของ จำนวน 12 ตัวประกอบจะเหมือนกับตัวประกอบ กล่าวคือ ตัวเลขที่ใช้หารจำนวนเดิม

   • เช่น หากคุณต้องการแยกตัวประกอบของจำนวน 20 ให้เขียนดังนี้: 4×5.
   • โปรดทราบว่าเมื่อแยกตัวประกอบ ตัวแปรจะถูกนำมาพิจารณาด้วย ตัวอย่างเช่น 20x = 4(5x).
   • จำนวนเฉพาะไม่สามารถแยกตัวประกอบได้เนื่องจากหารด้วยตัวมันเองและ 1 เท่านั้น

3. จดจำและปฏิบัติตามลำดับการดำเนินการเพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด

   • วงเล็บ
   • ระดับ
   • การคูณ
   • แผนก
   • ส่วนที่เพิ่มเข้าไป
   • การลบ

   นำสมาชิกที่คล้ายกัน

   1. เขียนนิพจน์.โปรโตซัว นิพจน์พีชคณิต(ซึ่งไม่มีเศษส่วน ราก ฯลฯ) สามารถแก้ไขได้ (ประยุกต์) เพียงไม่กี่ขั้นตอน

      • ตัวอย่างเช่น ลดความซับซ้อนของนิพจน์ 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. กำหนดเงื่อนไขที่คล้ายกัน (เงื่อนไขที่มีตัวแปรในลำดับเดียวกัน เงื่อนไขที่มีตัวแปรเดียวกัน หรือเงื่อนไขอิสระ)

      • ค้นหาคำที่คล้ายกันในนิพจน์นี้ เงื่อนไข 2x และ 4x มีตัวแปรที่มีลำดับเดียวกัน (ตัวแรก) นอกจากนี้ 1 และ -3 ยังเป็นพจน์อิสระ (ไม่มีตัวแปร) ดังนั้นในนิพจน์นี้จึงใช้เงื่อนไข 2x และ 4xมีความคล้ายคลึงกันและสมาชิก 1 และ -3ก็คล้ายกันเช่นกัน

   3. ให้สมาชิกที่คล้ายกันนี่หมายถึงการเพิ่มหรือการลบและทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. เขียนนิพจน์ใหม่โดยคำนึงถึงเงื่อนไขที่กำหนดคุณจะได้สำนวนง่ายๆด้วย น้อยลงสมาชิก นิพจน์ใหม่จะเท่ากับนิพจน์เดิม

      • ในตัวอย่างของเรา: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2นั่นคือนิพจน์ดั้งเดิมนั้นเรียบง่ายและใช้งานได้ง่ายกว่า

   5. ปฏิบัติตามลำดับการดำเนินการเมื่อนำสมาชิกที่คล้ายกันในตัวอย่างของเรา การให้คำที่คล้ายกันเป็นเรื่องง่าย อย่างไรก็ตาม ในกรณีของนิพจน์ที่ซับซ้อนซึ่งมีคำศัพท์อยู่ในวงเล็บ มีเศษส่วนและรากอยู่ การนำคำศัพท์ดังกล่าวมาไม่ใช่เรื่องง่าย ในกรณีเหล่านี้ ให้ปฏิบัติตามลำดับการดำเนินการ

      • ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณานิพจน์ 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x ในกรณีนี้ อาจเป็นความผิดพลาดหากนิยาม 3x และ 2x เป็นคำที่คล้ายกันทันทีและกำหนดให้ 3x และ 2x เนื่องจากจำเป็นต้องเปิดวงเล็บก่อน ดังนั้นให้ดำเนินการตามคำสั่งของตน
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. ตอนนี้เมื่อนิพจน์มีเพียงการดำเนินการบวกและการลบ คุณสามารถนำคำที่คล้ายกันมาใช้ได้
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   นำตัวคูณออกจากวงเล็บ

   1. ค้นหาตัวหารร่วมมาก (GCD) ของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของนิพจน์ GCD คือ จำนวนมากที่สุดโดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของนิพจน์จะถูกแบ่งออก

      • ตัวอย่างเช่น พิจารณาสมการ 9x 2 + 27x - 3 ในกรณีนี้ GCD = 3 เนื่องจากสัมประสิทธิ์ใดๆ ของนิพจน์นี้จะหารด้วย 3 ลงตัว

   2. หารแต่ละเทอมของนิพจน์ด้วย gcdผลลัพธ์ที่ได้จะมีค่าสัมประสิทธิ์น้อยกว่านิพจน์ดั้งเดิม

      • ในตัวอย่างของเรา ให้หารแต่ละพจน์ในนิพจน์ด้วย 3
        • 9x 2 /3 = 3x 2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • ผลลัพธ์ที่ได้คือการแสดงออก 3x 2 + 9x - 1- มันไม่เท่ากับสำนวนดั้งเดิม

   3. เขียนนิพจน์ดั้งเดิมให้เท่ากับผลคูณของ gcd และนิพจน์ผลลัพธ์กล่าวคือ ใส่นิพจน์ผลลัพธ์ไว้ในวงเล็บ และนำ gcd ออกจากวงเล็บ

      • ในตัวอย่างของเรา: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x2 + 9x - 1)

   4. ลดความซับซ้อนของนิพจน์เศษส่วนโดยการใส่ตัวประกอบออกจากวงเล็บเหตุใดจึงต้องใส่ตัวคูณออกจากวงเล็บอย่างที่เคยทำมาก่อนหน้านี้? จากนั้น เพื่อเรียนรู้วิธีลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ซับซ้อน เช่น นิพจน์เศษส่วน ในกรณีนี้ การเอาตัวประกอบออกจากวงเล็บสามารถช่วยกำจัดเศษส่วนได้ (จากตัวส่วน)

      • ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์เศษส่วน (9x 2 + 27x - 3)/3 ใช้การแยกตัวประกอบเพื่อทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น
        • ใส่ตัวประกอบของ 3 ออกจากวงเล็บ (เหมือนที่คุณทำก่อนหน้านี้): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • โปรดสังเกตว่าขณะนี้มี 3 อยู่ในทั้งตัวเศษและตัวส่วน ซึ่งสามารถลดได้เพื่อให้ได้นิพจน์: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • เนื่องจากเศษส่วนใดๆ ที่มีเลข 1 ในตัวส่วนจะเท่ากับตัวเศษ นิพจน์เศษส่วนดั้งเดิมจึงลดรูปลงเป็น: 3x 2 + 9x - 1.

   วิธีการลดความซับซ้อนเพิ่มเติม

4. ลองดูตัวอย่างง่ายๆ: √(90) จำนวน 90 สามารถแยกตัวประกอบเป็นปัจจัยต่อไปนี้: 9 และ 10 และแยกออกจาก 9 รากที่สอง(3) และลบ 3 ออกจากใต้ราก
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. ลดความซับซ้อนของนิพจน์ด้วยพลังสำนวนบางคำประกอบด้วยการดำเนินการของการคูณหรือหารพจน์ที่มีอำนาจ ในกรณีที่คูณพจน์ที่มีฐานเดียวกันให้บวกเลขยกกำลัง ในกรณีที่หารพจน์ที่มีฐานเท่ากันให้ลบองศาออก

   • ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15) ในกรณีที่คูณให้บวกเลขยกกำลัง และในกรณีหารให้ลบออก
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • ต่อไปนี้เป็นคำอธิบายกฎการคูณและหารพจน์ที่มีอำนาจ
     • การคูณพจน์ที่มีอำนาจเท่ากับการคูณพจน์ด้วยตัวมันเอง ตัวอย่างเช่น เนื่องจาก x 3 = x × x × x และ x 5 = x × x × x × x × x ดังนั้น x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) หรือ x 8
     • ในทำนองเดียวกัน การหารพจน์ด้วยองศาก็เท่ากับการหารพจน์ด้วยตัวมันเอง x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x) เนื่องจากคำที่คล้ายกันที่พบในทั้งตัวเศษและส่วนสามารถลดลงได้ ผลคูณของสองตัว "x" หรือ x 2 จึงยังคงอยู่ในตัวเศษ

• โปรดจำไว้เสมอเกี่ยวกับเครื่องหมาย (บวกหรือลบ) ที่อยู่ข้างหน้าเงื่อนไขของนิพจน์ เนื่องจากหลายๆ คนประสบปัญหาในการเลือกเครื่องหมายที่ถูกต้อง
• ขอความช่วยเหลือหากจำเป็น!
• การลดความซับซ้อนของนิพจน์พีชคณิตไม่ใช่เรื่องง่าย แต่เมื่อคุณเข้าใจแล้ว ก็เป็นทักษะที่คุณสามารถใช้ได้ตลอดชีวิต