วิธีการเรียนรู้การแก้สมการตรีโกณมิติ วิธีแก้สมการตรีโกณมิติ

วิธีการแก้ปัญหา สมการตรีโกณมิติ

บทนำ 2

วิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ 5

พีชคณิต 5

การแก้สมการโดยใช้เงื่อนไขความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีชื่อเดียวกัน 7

การแยกตัวประกอบ 8

การลดลงเป็นสมการเอกพันธ์ 10

การแนะนำมุมเสริม 11

แปลงผลคูณเป็นผลรวม 14

การทดแทนสากล 14

บทสรุปที่ 17

การแนะนำ

ตามกฎแล้วลำดับของการกระทำของแบบฝึกหัดหลายอย่างที่นำไปสู่เป้าหมายจนถึงชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 ตัวอย่างเช่น สมการเชิงเส้นและกำลังสองและอสมการ สมการเศษส่วนและสมการลดลงเป็นกำลังสอง เป็นต้น โดยไม่ต้องตรวจสอบหลักการของการแก้ไขแต่ละตัวอย่างที่กล่าวมาอย่างละเอียด เราจะสังเกตสิ่งทั่วไปที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาที่ประสบความสำเร็จ

ในกรณีส่วนใหญ่ คุณต้องกำหนดประเภทของงาน จดจำลำดับการดำเนินการที่นำไปสู่เป้าหมาย และดำเนินการเหล่านี้ เห็นได้ชัดว่าความสำเร็จหรือความล้มเหลวของนักเรียนในการเรียนรู้เทคนิคการแก้สมการนั้นขึ้นอยู่กับว่าเขาสามารถกำหนดประเภทของสมการได้อย่างถูกต้องและจดจำลำดับของทุกขั้นตอนของการแก้สมการได้ดีเพียงใด แน่นอนว่านักเรียนมีทักษะในการแปลงและคำนวณเหมือนกัน

สถานการณ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงเกิดขึ้นเมื่อเด็กนักเรียนพบกับสมการตรีโกณมิติ ยิ่งไปกว่านั้น การสร้างสมการนั้นเป็นสมการตรีโกณมิติได้ไม่ยาก ความยากลำบากเกิดขึ้นเมื่อค้นหาแนวทางปฏิบัติที่จะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่เป็นบวก และที่นี่นักเรียนประสบปัญหาสองประการ โดย รูปร่างสมการนั้นยากต่อการกำหนดประเภท และโดยไม่ทราบประเภท แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะเลือกสูตรที่ต้องการจากที่มีอยู่หลายสิบสูตร

เพื่อช่วยให้นักเรียนค้นพบทางผ่านเขาวงกตที่ซับซ้อนของสมการตรีโกณมิติ ก่อนอื่นพวกเขาจะรู้จักสมการที่ลดขนาดเป็นสมการกำลังสองเมื่อมีการแนะนำตัวแปรใหม่ จากนั้นพวกเขาก็แก้สมการเอกพันธ์และสมการที่สามารถลดได้ ตามกฎแล้วทุกอย่างจะจบลงด้วยสมการเพื่อแก้โจทย์ที่คุณต้องแยกตัวประกอบ ด้านซ้ายจากนั้นจึงทำให้ตัวประกอบแต่ละตัวเท่ากันเป็นศูนย์

เมื่อตระหนักว่าสมการโหลครึ่งที่อภิปรายในบทเรียนนั้นไม่ชัดเจนเพียงพอที่จะทำให้นักเรียนเดินทางอย่างอิสระข้าม "ทะเลตรีโกณมิติ" ครูจึงเพิ่มคำแนะนำอีกสองสามข้อ

ในการแก้สมการตรีโกณมิติ คุณต้องลอง:

นำฟังก์ชันทั้งหมดที่รวมอยู่ในสมการมาเป็น "มุมเดียวกัน"

ลดสมการให้เป็น "ฟังก์ชันเหมือนกัน";

แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการ ฯลฯ

แม้จะรู้ประเภทพื้นฐานของสมการตรีโกณมิติและหลักการหลายประการในการค้นหาคำตอบแล้ว นักเรียนหลายคนยังคงพบว่าตัวเองสับสนกับสมการทุกสมการที่แตกต่างจากสมการที่เคยแก้ไขก่อนหน้านี้เล็กน้อย ยังไม่ชัดเจนว่าเราควรต่อสู้เพื่ออะไรเมื่อมีสมการนี้หรือสมการนั้นเหตุใดในกรณีหนึ่งจึงจำเป็นต้องใช้สูตรมุมคู่ในอีกมุมหนึ่ง - ครึ่งมุมและในสูตรที่สาม - การบวก ฯลฯ

คำจำกัดความ 1.สมการตรีโกณมิติคือสมการที่มีสิ่งที่ไม่ทราบอยู่ใต้สัญลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

คำจำกัดความ 2พวกเขาบอกว่าสมการตรีโกณมิติมีมุมเท่ากันถ้าทั้งหมด ฟังก์ชันตรีโกณมิติซึ่งรวมอยู่ด้วยก็มีข้อโต้แย้งเท่ากัน สมการตรีโกณมิติกล่าวกันว่ามีฟังก์ชันเหมือนกันหากมีฟังก์ชันตรีโกณมิติเพียงฟังก์ชันเดียว

คำจำกัดความ 3กำลังของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีเอกพจน์คือผลรวมของเลขยกกำลังของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่รวมอยู่ในนั้น

คำจำกัดความที่ 4สมการจะเรียกว่าเป็นเนื้อเดียวกันถ้า monomials ทั้งหมดที่รวมอยู่ในนั้นมีระดับเท่ากัน ระดับนี้เรียกว่าลำดับของสมการ

คำจำกัดความที่ 5สมการตรีโกณมิติที่มีแต่ฟังก์ชันเท่านั้น บาปและ เพราะเรียกว่าเอกพันธ์ถ้าเอกนามทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติมีระดับเท่ากัน และฟังก์ชันตรีโกณมิติเองก็มีมุมเท่ากัน และจำนวนเอกเดียวมากกว่าลำดับของสมการ 1

วิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ

การแก้สมการตรีโกณมิติประกอบด้วยสองขั้นตอน ได้แก่ การแปลงสมการเพื่อให้ได้รูปแบบที่ง่ายที่สุด และการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดที่ได้ผลลัพธ์ มีวิธีการพื้นฐานเจ็ดวิธีในการแก้สมการตรีโกณมิติ

ฉัน. วิธีพีชคณิตวิธีนี้เป็นที่รู้จักกันดีจากพีชคณิต (วิธีการแทนที่ตัวแปรและการทดแทน)

แก้สมการ

1)

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ x=2 บาป3 ทีเราได้รับ

เมื่อแก้สมการนี้เราจะได้:
หรือ

เหล่านั้น. สามารถเขียนลงไปได้

เมื่อบันทึกวิธีแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นเนื่องจากมีสัญญาณ ระดับ
ไม่มีประโยชน์ที่จะเขียนมันลงไป

คำตอบ:

มาแสดงกันเถอะ

เราได้สมการกำลังสอง
- รากของมันคือตัวเลข
และ
- ดังนั้นสมการนี้จึงลดเหลือสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด
และ
- การแก้ปัญหาเหล่านี้เราพบว่า
หรือ
.

คำตอบ:
;
.

มาแสดงกันเถอะ

ไม่เป็นไปตามเงื่อนไข

วิธี

คำตอบ:

ลองแปลงด้านซ้ายของสมการ:

ดังนั้นสมการเริ่มต้นนี้สามารถเขียนได้เป็น:

, เช่น.

กำหนดแล้ว
เราได้รับ
การแก้สมการกำลังสองนี้เรามี:

ไม่เป็นไปตามเงื่อนไข

เราเขียนคำตอบของสมการดั้งเดิม:

คำตอบ:

การทดแทน
ลดสมการนี้เป็นสมการกำลังสอง
- รากของมันคือตัวเลข
และ
- เพราะ
แล้วสมการที่ให้มานั้นไม่มีราก

คำตอบ: ไม่มีราก

ครั้งที่สอง- การแก้สมการโดยใช้เงื่อนไขความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีชื่อเดียวกัน

ก)
, ถ้า

ข)
, ถ้า

วี)
, ถ้า

ใช้เงื่อนไขเหล่านี้ ลองแก้สมการต่อไปนี้:

6)

จากสิ่งที่กล่าวไว้ในบท ก) เราพบว่าสมการนั้นมีคำตอบหากและหากเท่านั้น
.

เราพบว่าการแก้สมการนี้
.

เรามีวิธีแก้ปัญหาสองกลุ่ม:

.

7) แก้สมการ:
.

การใช้เงื่อนไขของรายการ b) เราสรุปได้ว่า
.

เมื่อแก้สมการกำลังสองเหล่านี้ เราจะได้:

.

8) แก้สมการ
.

จากสมการนี้เราสรุปได้ว่า เมื่อแก้สมการกำลังสองนี้ เราก็พบว่า

.

ที่สาม- การแยกตัวประกอบ

เราพิจารณาวิธีนี้พร้อมตัวอย่าง

9) แก้สมการ
.

สารละลาย. ลองย้ายเงื่อนไขทั้งหมดของสมการไปทางซ้าย: .

มาแปลงและแยกตัวประกอบนิพจน์ทางด้านซ้ายของสมการกัน:
.

.

.

1)
2)

เพราะ
และ
ไม่ยอมรับค่าศูนย์

ในเวลาเดียวกันเราก็แบ่งทั้งสองส่วน

สมการสำหรับ
,

คำตอบ:

10) แก้สมการ:

สารละลาย.

หรือ

คำตอบ:

11) แก้สมการ

สารละลาย:

1)
2)
3)

,

คำตอบ:

IV- การลดลงเป็นสมการเอกพันธ์

เพื่อตัดสินใจ สมการเอกพันธ์จำเป็น:

ย้ายสมาชิกทั้งหมดไปทางซ้าย

ใส่ปัจจัยทั่วไปทั้งหมดออกจากวงเล็บ

จัดให้ปัจจัยและวงเล็บเหลี่ยมทั้งหมดเท่ากับศูนย์

วงเล็บเท่ากับศูนย์จะให้สมการเอกพันธ์ที่มีดีกรีน้อยกว่า ซึ่งควรหารด้วย
(หรือ
) ในระดับอาวุโส;

แก้ผลครับ สมการพีชคณิตค่อนข้าง
.

ลองดูตัวอย่าง:

12) แก้สมการ:

สารละลาย.

ลองหารทั้งสองข้างของสมการด้วย
,

แนะนำการกำหนด
, ชื่อ

รากของสมการนี้:

ดังนั้น 1)
2)

คำตอบ:

13) แก้สมการ:

สารละลาย. การใช้สูตรมุมคู่และพื้นฐาน เอกลักษณ์ตรีโกณมิติเราลดสมการนี้ลงเหลืออาร์กิวเมนต์ครึ่งหนึ่ง:

หลังจากลดเงื่อนไขที่คล้ายกันแล้ว เราก็จะได้:

หารสมการเอกพันธ์สุดท้ายด้วย
เราได้รับ

ฉันจะแสดงให้เห็น
เราจะได้สมการกำลังสอง
ซึ่งมีรากเป็นตัวเลข

ดังนั้น

การแสดงออก
ไปที่ศูนย์ที่
, เช่น. ที่
,
.

ผลเฉลยของสมการที่เราได้รับไม่รวมตัวเลขเหล่านี้

คำตอบ:
, .

วี- การแนะนำมุมเสริม

พิจารณาสมการของแบบฟอร์ม

ที่ไหน ก ข ค- ค่าสัมประสิทธิ์ x- ไม่ทราบ

ลองหารทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วย

ตอนนี้ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการมีคุณสมบัติของไซน์และโคไซน์กล่าวคือ: โมดูลัสของแต่ละตัวไม่เกินหนึ่งและผลรวมของกำลังสองของพวกมันเท่ากับ 1

จากนั้นเราก็สามารถกำหนดได้ตามนั้น
(ที่นี่ - มุมเสริม) และสมการของเราอยู่ในรูปแบบ: .

แล้ว

และการตัดสินใจของเขา

โปรดทราบว่าสัญลักษณ์ที่แนะนำสามารถใช้แทนกันได้

14) แก้สมการ:

สารละลาย. ที่นี่
ดังนั้นเราจึงหารทั้งสองข้างของสมการด้วย

คำตอบ:

15) แก้สมการ

สารละลาย. เพราะ
แล้วสมการนี้จะเท่ากับสมการ

เพราะ
แล้วก็มีมุมแบบนั้น
,
(เหล่านั้น.
).

เรามี

เพราะ
แล้วในที่สุดเราก็ได้:

.

โปรดทราบว่าสมการของแบบฟอร์มจะมีคำตอบก็ต่อเมื่อเท่านั้น

16) แก้สมการ:

ในการแก้สมการนี้ เราจะจัดกลุ่มฟังก์ชันตรีโกณมิติด้วยอาร์กิวเมนต์เดียวกัน

หารทั้งสองข้างของสมการด้วยสอง

ลองแปลงผลรวมของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้เป็นผลคูณ:

คำตอบ:

วี- การแปลงผลิตภัณฑ์เป็นผลรวม

มีการใช้สูตรที่เกี่ยวข้องที่นี่

17) แก้สมการ:

สารละลาย. ลองแปลงด้านซ้ายเป็นผลรวม:

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัวการทดแทนสากล

,

สูตรเหล่านี้เป็นจริงสำหรับทุกคน

การทดแทน
เรียกว่าเป็นสากล

18) แก้สมการ:

วิธีแก้ไข: แทนที่และ
เพื่อแสดงออกผ่าน
และแสดงถึง
.

เราได้สมการตรรกยะ
ซึ่งแปลงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส
.

รากของสมการนี้คือตัวเลข
.

ดังนั้นปัญหาจึงลดลงเหลือเพียงการแก้สมการสองสมการ
.

เราพบว่า
.

ดูค่า
ไม่เป็นไปตามสมการดั้งเดิมซึ่งตรวจสอบโดยการตรวจสอบ - แทนที่ค่าที่กำหนด ทีเข้าสู่สมการเดิม

คำตอบ:
.

ความคิดเห็น สมการที่ 18 อาจแก้ได้ด้วยวิธีอื่น

ลองหารทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วย 5 (เช่น ด้วย
):
.

เพราะ
แล้วมีจำนวนดังกล่าว
, อะไร
และ
- ดังนั้นสมการจึงอยู่ในรูปแบบ:
หรือ
- จากที่นี่เราพบว่า
ที่ไหน
.

19) แก้สมการ
.

สารละลาย. ตั้งแต่ฟังก์ชั่น
และ
มี มูลค่าสูงสุดเท่ากับ 1 แล้วผลรวมของพวกเขาคือ 2 ถ้า
และ
พร้อมกันนั่นคือ
.

คำตอบ:
.

เมื่อแก้สมการนี้ขอบเขตของฟังก์ชันและถูกนำมาใช้

บทสรุป.

เมื่อทำงานในหัวข้อ “การแก้สมการตรีโกณมิติ” จะเป็นประโยชน์สำหรับครูแต่ละคนที่จะปฏิบัติตามคำแนะนำต่อไปนี้:

จัดระบบวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ

เลือกขั้นตอนในการวิเคราะห์สมการและสัญญาณของความเหมาะสมในการใช้วิธีการแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับตัวคุณเอง

คิดหาวิธีในการติดตามกิจกรรมของคุณด้วยตนเองในการนำวิธีการไปใช้

เรียนรู้การเขียนสมการ "ของคุณเอง" สำหรับแต่ละวิธีที่กำลังศึกษา

ภาคผนวกหมายเลข 1

แก้สมการเนื้อเดียวกันหรือลดเป็นสมการเนื้อเดียวกัน

1.	ตัวแทน
	ตัวแทน
	ตัวแทน
5.	ตัวแทน
	ตัวแทน
7.	ตัวแทน
	ตัวแทน

หลักสูตรวิดีโอ "Get an A" มีหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับความสำเร็จ ผ่านการสอบ Unified Stateในวิชาคณิตศาสตร์ได้ 60-65 คะแนน ครบทุกปัญหา 1-13 การตรวจสอบโปรไฟล์ Unified Stateในวิชาคณิตศาสตร์ ยังเหมาะสำหรับการผ่านการสอบ Basic Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย หากคุณต้องการผ่านการสอบ Unified State ด้วยคะแนน 90-100 คุณต้องแก้ส่วนที่ 1 ใน 30 นาทีโดยไม่มีข้อผิดพลาด!

หลักสูตรเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State สำหรับเกรด 10-11 รวมถึงสำหรับครู ทุกสิ่งที่คุณต้องการเพื่อแก้ส่วนที่ 1 ของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหา 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่คือมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียน 100 คะแนนและนักศึกษามนุษยศาสตร์ก็สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา

ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด วิธีที่รวดเร็วแนวทางแก้ไข ข้อผิดพลาด และ ความลับของการสอบ Unified State- งานปัจจุบันทั้งหมดของส่วนที่ 1 จาก FIPI Task Bank ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ Unified State Exam 2018 อย่างสมบูรณ์

หลักสูตรประกอบด้วย 5 หัวข้อใหญ่ หัวข้อละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อได้รับตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน

งานสอบ Unified State หลายร้อยรายการ ปัญหาคำศัพท์และทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมที่ง่ายและง่ายต่อการจดจำสำหรับการแก้ปัญหา เรขาคณิต. ทฤษฎี เอกสารอ้างอิง การวิเคราะห์งานการสอบ Unified State ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี วิธีแก้ปัญหาที่ยุ่งยาก เอกสารโกงที่มีประโยชน์ การพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้นจนถึงปัญหา 13 ทำความเข้าใจแทนที่จะยัดเยียด คำอธิบายที่ชัดเจนของแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก กำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ พื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนของส่วนที่ 2 ของการสอบ Unified State

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "การแก้สมการตรีโกณมิติอย่างง่าย"

วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

คู่มือและตัวจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับเกรด 10 จาก 1C
เราแก้ปัญหาในเรขาคณิต งานแบบโต้ตอบสำหรับการสร้างในอวกาศ
สภาพแวดล้อมซอฟต์แวร์ "1C: ตัวสร้างทางคณิตศาสตร์ 6.1"

สิ่งที่เราจะศึกษา:
1. สมการตรีโกณมิติคืออะไร?

3. สองวิธีหลักในการแก้สมการตรีโกณมิติ
4. สมการตรีโกณมิติที่เป็นเนื้อเดียวกัน
5. ตัวอย่าง.

สมการตรีโกณมิติคืออะไร?

เพื่อนๆ เราได้ศึกษาอาร์คไซน์ อาร์คโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์แล้ว ทีนี้มาดูสมการตรีโกณมิติโดยทั่วไปกัน

สมการตรีโกณมิติคือสมการที่มีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ให้เราทำซ้ำรูปแบบของการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด:

1)ถ้า |a|≤ 1 แล้วสมการ cos(x) = a มีคำตอบ:

X= ± ส่วนโค้ง(a) + 2πk

2) ถ้า |a|≤ 1 ดังนั้นสมการ sin(x) = a มีคำตอบ:

3) ถ้า |a| > 1 ดังนั้นสมการ sin(x) = a และ cos(x) = a ไม่มีคำตอบ 4) สมการ tg(x)=a มีคำตอบ: x=arctg(a)+ πk

5) สมการ ctg(x)=a มีคำตอบ: x=arcctg(a)+ πk

สำหรับสูตรทั้งหมด k คือจำนวนเต็ม

สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดมีรูปแบบ: T(kx+m)=a, T คือฟังก์ชันตรีโกณมิติบางส่วน

ตัวอย่าง.

แก้สมการ: a) sin(3x)= √3/2

สารละลาย:

A) ให้เราแทน 3x=t จากนั้นเราจะเขียนสมการของเราใหม่ในรูปแบบ:

ผลเฉลยของสมการนี้คือ: t=((-1)^n)อาร์คซิน(√3 /2)+ πn

จากตารางค่าที่เราได้รับ: t=((-1)^n)×π/3+ πn

ลองกลับไปที่ตัวแปรของเรา: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

จากนั้น x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

คำตอบ: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3 โดยที่ n คือจำนวนเต็ม (-1)^n – ลบ 1 ยกกำลัง n

ตัวอย่างเพิ่มเติมของสมการตรีโกณมิติ

แก้สมการ: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

สารละลาย:

A) คราวนี้ เราจะมาคำนวณรากของสมการกันโดยตรง:

X/5= ± ส่วนโค้ง(1) + 2πk จากนั้น x/5= πk => x=5πk

คำตอบ: x=5πk โดยที่ k คือจำนวนเต็ม

B) เราเขียนมันในรูปแบบ: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk เรารู้ว่า: อาร์คแทน(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

คำตอบ: x=2π/9 + πk/3 โดยที่ k คือจำนวนเต็ม

แก้สมการ: cos(4x)= √2/2 และค้นหารากทั้งหมดบนเซ็กเมนต์

สารละลาย:

เราจะตัดสินใจเข้าไป มุมมองทั่วไปสมการของเรา: 4x= ± ส่วนโค้ง(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

ตอนนี้เรามาดูกันว่ารากใดอยู่ในส่วนของเรา ที่ k ที่ k=0, x= π/16 เราอยู่ในส่วนที่กำหนดให้
ด้วย k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 เราก็ตีอีกครั้ง
สำหรับ k=2, x= π/16+ π=17π/16 แต่ตรงนี้เราไม่ได้ตี ซึ่งหมายความว่าสำหรับ k ขนาดใหญ่ เราจะไม่ตีแน่นอนเช่นกัน

คำตอบ: x= π/16, x= 9π/16

สองวิธีแก้ไขปัญหาหลัก

เราดูสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด แต่ก็มีสมการที่ซับซ้อนกว่าเช่นกัน เพื่อแก้ปัญหาเหล่านี้จะใช้วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่และวิธีการแยกตัวประกอบ ลองดูตัวอย่าง

มาแก้สมการกัน:

สารละลาย:
ในการแก้สมการ เราจะใช้วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่ ซึ่งหมายถึง: t=tg(x)

จากการแทนที่เราได้รับ: t 2 + 2t -1 = 0

เรามาค้นหารากกันดีกว่า สมการกำลังสอง: t=-1 และ t=1/3

จากนั้น tg(x)=-1 และ tg(x)=1/3 เราได้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด มาหารากของมันกัน

X=ส่วนโค้งg(-1) +πk= -π/4+πk; x=ส่วนโค้งg(1/3) + πk

คำตอบ: x= -π/4+πk; x=ส่วนโค้งg(1/3) + πk

ตัวอย่างการแก้สมการ

แก้สมการ: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

สารละลาย:

ลองใช้อัตลักษณ์: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

สมการของเราจะอยู่ในรูปแบบ: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 คอส 2 (x) - 3 คอส(x) -2 = 0

ให้เราแนะนำการแทนที่ t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

วิธีแก้สมการกำลังสองของเราคือราก: t=2 และ t=-1/2

จากนั้น cos(x)=2 และ cos(x)=-1/2

เพราะ โคไซน์ไม่สามารถรับค่าที่มากกว่า 1 ได้ ดังนั้น cos(x)=2 จึงไม่มีราก

สำหรับ cos(x)=-1/2: x= ± ส่วนโค้ง (-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

คำตอบ: x= ±2π/3 + 2πk

สมการตรีโกณมิติที่เป็นเนื้อเดียวกัน

คำจำกัดความ: สมการที่มีรูปแบบ a sin(x)+b cos(x) เรียกว่าสมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของดีกรีแรก

สมการของแบบฟอร์ม

สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของระดับที่สอง

ในการแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของระดับแรก ให้หารด้วย cos(x): คุณไม่สามารถหารด้วยโคไซน์ได้ถ้ามันเท่ากับศูนย์ ต้องแน่ใจว่าไม่เป็นเช่นนั้น:
กำหนดให้ cos(x)=0 แล้ว asin(x)+0=0 => sin(x)=0 แต่ไซน์และโคไซน์ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน เราจะได้ความขัดแย้ง ดังนั้นเราจึงสามารถหารได้อย่างปลอดภัย โดยศูนย์

แก้สมการ:
ตัวอย่าง: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

สารละลาย:

ลองหาปัจจัยร่วมออกมา: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

จากนั้นเราจะต้องแก้สมการสองสมการ:

Cos(x)=0 และ cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 ที่ x= π/2 + πk;

พิจารณาสมการ cos(x)+sin(x)=0 หารสมการของเราด้วย cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=ส่วนโค้งg(-1) +πk= -π/4+πk

คำตอบ: x= π/2 + πk และ x= -π/4+πk

จะแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของระดับที่สองได้อย่างไร?
เพื่อนๆ ปฏิบัติตามกฎเหล่านี้เสมอ!

1. ดูอะไร ค่าสัมประสิทธิ์มีค่าเท่ากันและถ้า a=0 สมการของเราจะอยู่ในรูปแบบ cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) ซึ่งเป็นตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาในสไลด์ที่แล้ว

2. ถ้า a≠0 คุณต้องหารทั้งสองข้างของสมการด้วยโคไซน์กำลังสอง เราจะได้:

เราเปลี่ยนตัวแปร t=tg(x) และรับสมการ:

แก้ตัวอย่างหมายเลข:3

แก้สมการ:
สารละลาย:

ลองหารทั้งสองข้างของสมการด้วยกำลังสองโคไซน์:

เราเปลี่ยนตัวแปร t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

มาหารากของสมการกำลังสองกัน: t=-3 และ t=1

จากนั้น: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

คำตอบ: x=-arctg(3) + πk และ x= π/4+ πk

แก้ตัวอย่างหมายเลข:4

แก้สมการ:

สารละลาย:
มาเปลี่ยนการแสดงออกของเรา:

เราสามารถแก้สมการได้: x= - π/4 + 2πk และ x=5π/4 + 2πk

คำตอบ: x= - π/4 + 2πk และ x=5π/4 + 2πk

แก้ตัวอย่างหมายเลข:5

แก้สมการ:

สารละลาย:
มาเปลี่ยนการแสดงออกของเรา:

ให้เราแนะนำการแทนที่ tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

วิธีแก้สมการกำลังสองของเราคือราก: t=-2 และ t=1/2

จากนั้นเราจะได้: tg(2x)=-2 และ tg(2x)=1/2
2x=-ส่วนโค้ง(2)+ πk => x=-ส่วนโค้ง(2)/2 + πk/2

2x= ส่วนโค้ง(1/2) + πk => x=ส่วนโค้ง(1/2)/2+ πk/2

คำตอบ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 และ x=arctg(1/2)/2+ πk/2

ปัญหาสำหรับการแก้ปัญหาอย่างอิสระ

1) แก้สมการ

A) บาป(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

2) แก้สมการ: sin(3x)= √3/2 และหารากทั้งหมดของเซกเมนต์ [π/2; π].

3) แก้สมการ: เปล 2 (x) + 2 เปล (x) + 1 =0

4) แก้สมการ: 3 บาป 2 (x) + √3ซิน (x) cos(x) = 0

5) แก้สมการ: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) แก้สมการ: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

บทเรียนการประยุกต์ใช้ความรู้แบบบูรณาการ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน

1. พิจารณา วิธีการต่างๆการแก้สมการตรีโกณมิติ
2. พัฒนาความสามารถเชิงสร้างสรรค์ของนักเรียนโดยการแก้สมการ
3. ส่งเสริมให้นักเรียนควบคุมตนเอง ควบคุมร่วมกัน และวิเคราะห์ตนเองของกิจกรรมการศึกษาของตน

อุปกรณ์ : จอภาพ, โปรเจ็กเตอร์, วัสดุอ้างอิง

ความคืบหน้าของบทเรียน

บทสนทนาเบื้องต้น.

วิธีการหลักในการแก้สมการตรีโกณมิติคือการลดให้เหลือรูปแบบที่ง่ายที่สุด ในกรณีนี้ จะใช้วิธีการปกติ เช่น การแยกตัวประกอบ รวมถึงเทคนิคที่ใช้สำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติเท่านั้น มีเทคนิคเหล่านี้ค่อนข้างมาก เช่น การแทนที่ตรีโกณมิติต่างๆ การแปลงมุม การแปลงฟังก์ชันตรีโกณมิติ การประยุกต์ใช้การแปลงตรีโกณมิติใดๆ โดยไม่เลือกปฏิบัติมักจะไม่ได้ทำให้สมการง่ายขึ้น แต่กลับทำให้เกิดความซับซ้อนอย่างร้ายแรง เพื่อที่จะพัฒนาแผนทั่วไปสำหรับการแก้สมการ เพื่อร่างวิธีการลดสมการให้เหลือน้อยที่สุด คุณต้องวิเคราะห์มุมก่อน - อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่รวมอยู่ในสมการ

วันนี้เราจะพูดถึงวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ วิธีการเลือกที่ถูกต้องมักจะทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างมาก ดังนั้นควรคำนึงถึงวิธีการทั้งหมดที่เราศึกษามาเสมอเพื่อแก้สมการตรีโกณมิติโดยใช้วิธีที่เหมาะสมที่สุด

ครั้งที่สอง (เราทำซ้ำวิธีการแก้สมการโดยใช้โปรเจ็กเตอร์)

1. วิธีการลดสมการตรีโกณมิติให้เป็นพีชคณิต

จำเป็นต้องแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดผ่านฟังก์ชันเดียวโดยมีอาร์กิวเมนต์เดียวกัน ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานและผลที่ตามมา เราได้สมการที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติหนึ่งฟังก์ชัน เมื่อพิจารณาว่าเป็นสิ่งที่ไม่รู้จักใหม่ เราได้สมการพีชคณิต เราค้นหารากของมันและกลับไปสู่สิ่งเก่าที่ไม่รู้จักโดยแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

2. วิธีการแยกตัวประกอบ

ในการเปลี่ยนมุม สูตรสำหรับการลดลง ผลรวม และผลต่างของอาร์กิวเมนต์มักจะมีประโยชน์ เช่นเดียวกับสูตรสำหรับการแปลงผลรวม (ผลต่าง) ของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้เป็นผลคูณและในทางกลับกัน

บาป x + บาป 3x = บาป 2x + บาป 4x

3. วิธีการแนะนำมุมเพิ่มเติม

4. วิธีการใช้การทดแทนสากล

สมการในรูปแบบ F(sinx, cosx, tanx) = 0 จะถูกรีดิวซ์เป็นพีชคณิตโดยใช้การทดแทนตรีโกณมิติสากล

แสดงไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ในรูปของแทนเจนต์ของครึ่งมุม เทคนิคนี้สามารถนำไปสู่สมการได้ ลำดับสูง- วิธีแก้ปัญหาที่ยากคือ