มุมมองโปรไฟล์ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ อะไรทำให้ปิรามิดเป็นสิ่งมหัศจรรย์ทางเรขาคณิต

พีระมิด- นี่คือรูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งมีหน้าเดียว - ฐานของปิรามิด - เป็นรูปหลายเหลี่ยมตามอำเภอใจและส่วนที่เหลือเป็น ใบหน้าด้านข้าง- สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมเรียกว่าจุดยอดของปิรามิด เส้นตั้งฉากที่หล่นจากด้านบนของปิรามิดถึงฐานเรียกว่า ความสูงของปิรามิด- ปิระมิดเรียกว่า สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ฯลฯ หากฐานของปิรามิดเป็นรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมจัตุรัส ฯลฯ ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมคือจัตุรมุข - จัตุรมุข รูปสี่เหลี่ยม - ห้าเหลี่ยม ฯลฯ

พีระมิด, ปิรามิดที่ถูกตัดทอน

ปิรามิดที่ถูกต้อง

ถ้าฐานของปิระมิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ และความสูงตกไปถึงจุดศูนย์กลางของฐาน แสดงว่าปิระมิดนั้นเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ในพีระมิดปกติ ขอบด้านข้างทุกด้านเท่ากัน และด้านด้านข้างทุกด้านเท่ากัน สามเหลี่ยมหน้าจั่ว- ความสูงของรูปสามเหลี่ยมหน้าด้านข้าง ปิรามิดปกติเรียกว่า - ระยะกึ่งกลางของปิรามิดปกติ.

ปิรามิดที่ถูกตัดทอน

ส่วนที่ขนานกับฐานของปิรามิดจะแบ่งปิรามิดออกเป็นสองส่วน ส่วนของปิระมิดระหว่างฐานกับส่วนนี้คือ ปิรามิดที่ถูกตัดทอน - ส่วนนี้สำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นหนึ่งในฐานของมัน ระยะห่างระหว่างฐานของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเรียกว่าความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอน ปิรามิดที่ถูกตัดทอนจะเรียกว่าปกติถ้าปิรามิดที่ได้มาเป็นแบบปกติ ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติจะมีรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเท่ากัน ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติเรียกว่า - ระยะกึ่งกลางของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ.

วิดีโอสอนนี้จะช่วยให้ผู้ใช้เข้าใจแนวคิดเกี่ยวกับธีมพีระมิด ปิรามิดที่ถูกต้อง ในบทนี้ เราจะมาทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของปิรามิดและให้คำจำกัดความ ลองพิจารณาว่าปิรามิดปกติคืออะไรและมีคุณสมบัติอะไรบ้าง จากนั้นเราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดปกติ

ในบทนี้ เราจะมาทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของปิรามิดและให้คำจำกัดความ

พิจารณารูปหลายเหลี่ยม ก 1 ก 2...หนึ่งซึ่งอยู่ในระนาบ α และจุด ปซึ่งไม่อยู่ในระนาบ α (รูปที่ 1) มาเชื่อมต่อจุดต่างๆ ปมียอดเขา ก 1, 2, 3, … หนึ่ง- เราได้รับ nสามเหลี่ยม: ก 1 ก 2 อาร์, ก 2 ก 3 อาร์และอื่น ๆ

คำนิยาม- รูปทรงหลายเหลี่ยม RA 1 A 2 ...นประกอบด้วย n-สี่เหลี่ยม ก 1 ก 2...หนึ่งและ nรูปสามเหลี่ยม RA 1 A 2, RA 2 ก 3 …RA n A n-1 เรียกว่า n-ปิรามิดถ่านหิน ข้าว. 1.

ข้าว. 1

พิจารณาปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม PABCD(รูปที่ 2)

ร- ด้านบนของปิรามิด

เอบีซีดี- ฐานของปิรามิด

ร- ซี่โครงด้านข้าง.

เอบี- ซี่โครงฐาน

จากจุด รลองวางตั้งฉากกัน ร.นไปยังระนาบฐาน เอบีซีดี- เส้นตั้งฉากที่วาดคือความสูงของปิรามิด

ข้าว. 2

เต็มพื้นผิวปิรามิดประกอบด้วยพื้นผิวด้านข้างนั่นคือพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมดและพื้นที่ฐาน:

S เต็ม = ด้าน S + S หลัก

ปิรามิดจะเรียกว่าถูกต้องหาก:

• ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ
• ส่วนที่เชื่อมต่อยอดพีระมิดกับจุดศูนย์กลางฐานคือความสูง

คำอธิบายโดยใช้ตัวอย่างที่ถูกต้อง ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม

พิจารณาปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติ PABCD(รูปที่ 3)

ร- ด้านบนของปิรามิด ฐานของปิรามิด เอบีซีดี- รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนปกติ นั่นคือ สี่เหลี่ยมจัตุรัส จุด เกี่ยวกับ, จุดตัดของเส้นทแยงมุมคือจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัส วิธี, รคือความสูงของปิรามิด

ข้าว. 3

คำอธิบาย: ถูกต้อง nในรูปสามเหลี่ยม จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้และจุดศูนย์กลางของวงกลมนั้นตรงกัน จุดศูนย์กลางนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยม บางครั้งพวกเขาบอกว่าจุดยอดถูกฉายเข้าตรงกลาง

เรียกว่าความสูงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติที่ดึงมาจากจุดยอด ระยะกึ่งกลางของตำแหน่งและถูกกำหนดไว้ ฮา.

1. ขอบด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดปกติเท่ากัน

2. ใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน

เราจะพิสูจน์คุณสมบัติเหล่านี้โดยใช้ตัวอย่างของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ

ที่ให้ไว้: PABCD- ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ

เอบีซีดี- สี่เหลี่ยม,

ร- ความสูงของปิรามิด

พิสูจน์:

1. RA = PB = อาร์เอส = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP ดูภาพประกอบ 4.

ข้าว. 4

การพิสูจน์.

ร- ความสูงของปิรามิด นั่นก็คือ ตรง รตั้งฉากกับเครื่องบิน เอบีซีและดังนั้นจึงตรง JSC, VO, ดังนั้นและ ทำนอนอยู่ในนั้น สามเหลี่ยมดังนั้น ROA, ROV, ROS, รด- สี่เหลี่ยม

พิจารณาสี่เหลี่ยมจัตุรัส เอบีซีดี- จากคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะได้ดังนี้ AO = VO = CO = ทำ.

แล้วก็สามเหลี่ยมมุมฉาก ROA, ROV, ROS, รดขา ร- ทั่วไปและขา JSC, VO, ดังนั้นและ ทำเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสามเหลี่ยมเหล่านี้เท่ากันทั้งสองด้าน จากความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมตามความเท่าเทียมกันของส่วนต่างๆ RA = PB = อาร์เอส = PDจุดที่ 1 ได้รับการพิสูจน์แล้ว

เซ็กเมนต์ เอบีและ ดวงอาทิตย์เท่ากันเพราะเป็นด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดียวกัน RA = PB = อาร์เอส- สามเหลี่ยมดังนั้น เอวีอาร์และ วีเอสอาร์ -หน้าจั่วและเท่ากันทั้งสามด้าน

ในทำนองเดียวกัน เราก็พบสามเหลี่ยมนั้น ABP, VCP, CDP, DAPเป็นหน้าจั่วและเท่ากัน ตามที่ต้องพิสูจน์ในวรรค 2

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดปกติเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและเส้นตั้งฉากในฐาน:

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เรามาเลือกปิรามิดสามเหลี่ยมปกติกัน

ที่ให้ไว้: RAVS- ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

AB = BC = เอซี

ร- ความสูง.

พิสูจน์: - ดูภาพประกอบ 5.

ข้าว. 5

การพิสูจน์.

RAVS- ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ นั่นก็คือ เอบี= เอซี = พ.ศ- อนุญาต เกี่ยวกับ- ศูนย์กลางของสามเหลี่ยม เอบีซี, แล้ว รคือความสูงของปิรามิด ที่ฐานของปิรามิดมีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าอยู่ เอบีซี- โปรดทราบว่า .

สามเหลี่ยม อาร์เอวี อาร์วีเอส อาร์เอสเอ- สามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน (ตามคุณสมบัติ) ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมมีด้าน 3 ด้าน คือ อาร์เอวี อาร์วีเอส อาร์เอสเอ- ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคือ:

ด้าน S = 3S RAW

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

รัศมีของวงกลมที่ฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติคือ 3 ม. ความสูงของปิรามิดคือ 4 ม. ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด

ที่ให้ไว้: พีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ เอบีซีดี,

เอบีซีดี- สี่เหลี่ยม,

ร= 3 ม.

ร- ความสูงของปิรามิด

ร= 4 ม.

หา: ฝั่งเอส ดูภาพประกอบ 6.

ข้าว. 6

สารละลาย.

ตามทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว .

ขั้นแรกให้หาด้านข้างของฐานก่อน เอบี- เรารู้ว่ารัศมีของวงกลมที่ฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติคือ 3 เมตร

จากนั้น ม.

หาเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมจัตุรัส เอบีซีดีด้านข้าง 6 ม.:

พิจารณารูปสามเหลี่ยม บีซีดี- อนุญาต ม- ตรงกลางด้านข้าง ดี.ซี- เพราะ เกี่ยวกับ- กลาง บีดี, ที่ (ม.)

สามเหลี่ยม ดีพีซี- หน้าจั่ว ม- กลาง ดี.ซี- นั่นคือ RM- ค่ามัธยฐาน ดังนั้น จึงมีความสูงในรูปสามเหลี่ยม ดีพีซี- แล้ว RM- แนวกึ่งกลางของปิรามิด

ร- ความสูงของปิรามิด แล้วตรง รตั้งฉากกับเครื่องบิน เอบีซีและดังนั้นจึงตรง โอมนอนอยู่ในนั้น เรามาค้นหาเส้นตั้งฉากในกัน RMจาก สามเหลี่ยมมุมฉาก รอม.

ตอนนี้เราก็หาได้แล้ว พื้นผิวด้านข้างปิรามิด:

คำตอบ: 60 ตร.ม.

รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบฐานของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติเท่ากับ ม. พื้นที่ผิวด้านข้างคือ 18 ม. 2 หาความยาวของระยะแนบใน.

ที่ให้ไว้: เอบีซีพี- ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

AB = BC = SA

ร= ม.

ด้าน S = 18 ตร.ม.

หา- ดูภาพประกอบ 7.

ข้าว. 7

สารละลาย.

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เอบีซีจะได้รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบไว้ มาหาข้างกันเถอะ เอบีสามเหลี่ยมนี้ใช้กฎของไซน์

เมื่อทราบด้านของสามเหลี่ยมปกติ (m) เราจะพบเส้นรอบรูปของมัน

ตามทฤษฎีบทเรื่องพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติโดยที่ ฮา- แนวกึ่งกลางของปิรามิด แล้ว:

คำตอบ: 4 ม.

ดังนั้นเราจึงดูว่าพีระมิดคืออะไร พีระมิดปกติคืออะไร และเราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดปกติแล้ว ในบทต่อไป เราจะมาทำความรู้จักกับปิรามิดที่ถูกตัดทอน

อ้างอิง

1. เรขาคณิต. เกรด 10-11: หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับพื้นฐานและเฉพาะทาง) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov - ฉบับที่ 5, ว. และเพิ่มเติม - อ.: Mnemosyne, 2551. - 288 หน้า: ป่วย.
2. เรขาคณิต. เกรด 10-11: หนังสือเรียนเพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบันการศึกษา/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: ป่วย
3. เรขาคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไปที่มีการศึกษาคณิตศาสตร์เชิงลึกและเฉพาะทาง /E วี. โปโตสคูเยฟ, แอล. ไอ. ซวาลิช. - ฉบับที่ 6 แบบเหมารวม. - อ.: อีแร้ง, 008. - 233 น.: ป่วย

1. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต "Yaklass" ()
2. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต "Festival แนวคิดการสอน"วันแรกของเดือนกันยายน" ()
3. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต “Slideshare.net” ()

การบ้าน

1. รูปหลายเหลี่ยมปกติสามารถเป็นฐานของปิรามิดที่ไม่ปกติได้หรือไม่
2. พิสูจน์ว่าขอบที่แยกจากกันของปิรามิดปกตินั้นตั้งฉากกัน
3. หาค่าของมุมไดฮีดรัลที่ด้านข้างของฐานของพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ ถ้าระยะกึ่งกลางของพีระมิดเท่ากับด้านข้างของฐาน
4. RAVS- ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ สร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่ฐานของปิรามิด

วิดีโอสอนนี้จะช่วยให้ผู้ใช้เข้าใจแนวคิดเกี่ยวกับธีมพีระมิด ปิรามิดที่ถูกต้อง ในบทนี้ เราจะมาทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของปิรามิดและให้คำจำกัดความ ลองพิจารณาว่าปิรามิดปกติคืออะไรและมีคุณสมบัติอะไรบ้าง จากนั้นเราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดปกติ

ในบทนี้ เราจะมาทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของปิรามิดและให้คำจำกัดความ

พิจารณารูปหลายเหลี่ยม ก 1 ก 2...หนึ่งซึ่งอยู่ในระนาบ α และจุด ปซึ่งไม่อยู่ในระนาบ α (รูปที่ 1) มาเชื่อมต่อจุดต่างๆ ปมียอดเขา ก 1, 2, 3, … หนึ่ง- เราได้รับ nสามเหลี่ยม: ก 1 ก 2 อาร์, ก 2 ก 3 อาร์และอื่น ๆ

คำนิยาม- รูปทรงหลายเหลี่ยม RA 1 A 2 ...นประกอบด้วย n-สี่เหลี่ยม ก 1 ก 2...หนึ่งและ nรูปสามเหลี่ยม RA 1 A 2, RA 2 ก 3 …RA n A n-1 เรียกว่า n-ปิรามิดถ่านหิน ข้าว. 1.

ข้าว. 1

พิจารณาปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม PABCD(รูปที่ 2)

ร- ด้านบนของปิรามิด

เอบีซีดี- ฐานของปิรามิด

ร- ซี่โครงด้านข้าง.

เอบี- ซี่โครงฐาน

จากจุด รลองวางตั้งฉากกัน ร.นไปยังระนาบฐาน เอบีซีดี- เส้นตั้งฉากที่วาดคือความสูงของปิรามิด

ข้าว. 2

พื้นผิวทั้งหมดของปิรามิดประกอบด้วยพื้นผิวด้านข้างนั่นคือพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมดและพื้นที่ฐาน:

S เต็ม = ด้าน S + S หลัก

ปิรามิดจะเรียกว่าถูกต้องหาก:

• ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ
• ส่วนที่เชื่อมต่อยอดพีระมิดกับจุดศูนย์กลางฐานคือความสูง

คำอธิบายโดยใช้ตัวอย่างของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ

พิจารณาปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติ PABCD(รูปที่ 3)

ร- ด้านบนของปิรามิด ฐานของปิรามิด เอบีซีดี- รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนปกติ นั่นคือ สี่เหลี่ยมจัตุรัส จุด เกี่ยวกับ, จุดตัดของเส้นทแยงมุมคือจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัส วิธี, รคือความสูงของปิรามิด

ข้าว. 3

คำอธิบาย: ถูกต้อง nในรูปสามเหลี่ยม จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้และจุดศูนย์กลางของวงกลมนั้นตรงกัน จุดศูนย์กลางนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยม บางครั้งพวกเขาบอกว่าจุดยอดถูกฉายเข้าตรงกลาง

เรียกว่าความสูงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติที่ดึงมาจากจุดยอด ระยะกึ่งกลางของตำแหน่งและถูกกำหนดไว้ ฮา.

1. ขอบด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดปกติเท่ากัน

2. ใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน

เราจะพิสูจน์คุณสมบัติเหล่านี้โดยใช้ตัวอย่างของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ

ที่ให้ไว้: PABCD- ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ

เอบีซีดี- สี่เหลี่ยม,

ร- ความสูงของปิรามิด

พิสูจน์:

1. RA = PB = อาร์เอส = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP ดูภาพประกอบ 4.

ข้าว. 4

การพิสูจน์.

ร- ความสูงของปิรามิด นั่นก็คือ ตรง รตั้งฉากกับเครื่องบิน เอบีซีและดังนั้นจึงตรง JSC, VO, ดังนั้นและ ทำนอนอยู่ในนั้น สามเหลี่ยมดังนั้น ROA, ROV, ROS, รด- สี่เหลี่ยม

พิจารณาสี่เหลี่ยมจัตุรัส เอบีซีดี- จากคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะได้ดังนี้ AO = VO = CO = ทำ.

แล้วก็สามเหลี่ยมมุมฉาก ROA, ROV, ROS, รดขา ร- ทั่วไปและขา JSC, VO, ดังนั้นและ ทำเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสามเหลี่ยมเหล่านี้เท่ากันทั้งสองด้าน จากความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมตามความเท่าเทียมกันของส่วนต่างๆ RA = PB = อาร์เอส = PDจุดที่ 1 ได้รับการพิสูจน์แล้ว

เซ็กเมนต์ เอบีและ ดวงอาทิตย์เท่ากันเพราะเป็นด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดียวกัน RA = PB = อาร์เอส- สามเหลี่ยมดังนั้น เอวีอาร์และ วีเอสอาร์ -หน้าจั่วและเท่ากันทั้งสามด้าน

ในทำนองเดียวกัน เราก็พบสามเหลี่ยมนั้น ABP, VCP, CDP, DAPเป็นหน้าจั่วและเท่ากัน ตามที่ต้องพิสูจน์ในวรรค 2

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดปกติเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและเส้นตั้งฉากในฐาน:

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เรามาเลือกปิรามิดสามเหลี่ยมปกติกัน

ที่ให้ไว้: RAVS- ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

AB = BC = เอซี

ร- ความสูง.

พิสูจน์: - ดูภาพประกอบ 5.

ข้าว. 5

การพิสูจน์.

RAVS- ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ นั่นก็คือ เอบี= เอซี = พ.ศ- อนุญาต เกี่ยวกับ- ศูนย์กลางของสามเหลี่ยม เอบีซี, แล้ว รคือความสูงของปิรามิด ที่ฐานของปิรามิดมีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าอยู่ เอบีซี- โปรดทราบว่า .

สามเหลี่ยม อาร์เอวี อาร์วีเอส อาร์เอสเอ- สามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน (ตามคุณสมบัติ) ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมมีด้าน 3 ด้าน คือ อาร์เอวี อาร์วีเอส อาร์เอสเอ- ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคือ:

ด้าน S = 3S RAW

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

รัศมีของวงกลมที่ฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติคือ 3 ม. ความสูงของปิรามิดคือ 4 ม. ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด

ที่ให้ไว้: พีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ เอบีซีดี,

เอบีซีดี- สี่เหลี่ยม,

ร= 3 ม.

ร- ความสูงของปิรามิด

ร= 4 ม.

หา: ฝั่งเอส ดูภาพประกอบ 6.

ข้าว. 6

สารละลาย.

ตามทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว .

ขั้นแรกให้หาด้านข้างของฐานก่อน เอบี- เรารู้ว่ารัศมีของวงกลมที่ฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติคือ 3 เมตร

จากนั้น ม.

หาเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมจัตุรัส เอบีซีดีด้านข้าง 6 ม.:

พิจารณารูปสามเหลี่ยม บีซีดี- อนุญาต ม- ตรงกลางด้านข้าง ดี.ซี- เพราะ เกี่ยวกับ- กลาง บีดี, ที่ (ม.)

สามเหลี่ยม ดีพีซี- หน้าจั่ว ม- กลาง ดี.ซี- นั่นคือ RM- ค่ามัธยฐาน ดังนั้น จึงมีความสูงในรูปสามเหลี่ยม ดีพีซี- แล้ว RM- แนวกึ่งกลางของปิรามิด

ร- ความสูงของปิรามิด แล้วตรง รตั้งฉากกับเครื่องบิน เอบีซีและดังนั้นจึงตรง โอมนอนอยู่ในนั้น เรามาค้นหาเส้นตั้งฉากในกัน RMจากสามเหลี่ยมมุมฉาก รอม.

ตอนนี้เราสามารถหาพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดได้แล้ว:

คำตอบ: 60 ตร.ม.

รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบฐานของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติเท่ากับ ม. พื้นที่ผิวด้านข้างคือ 18 ม. 2 หาความยาวของระยะแนบใน.

ที่ให้ไว้: เอบีซีพี- ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

AB = BC = SA

ร= ม.

ด้าน S = 18 ตร.ม.

หา- ดูภาพประกอบ 7.

ข้าว. 7

สารละลาย.

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เอบีซีจะได้รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบไว้ มาหาข้างกันเถอะ เอบีสามเหลี่ยมนี้ใช้กฎของไซน์

เมื่อทราบด้านของสามเหลี่ยมปกติ (m) เราจะพบเส้นรอบรูปของมัน

ตามทฤษฎีบทเรื่องพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติโดยที่ ฮา- แนวกึ่งกลางของปิรามิด แล้ว:

คำตอบ: 4 ม.

ดังนั้นเราจึงดูว่าพีระมิดคืออะไร พีระมิดปกติคืออะไร และเราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดปกติแล้ว ในบทต่อไป เราจะมาทำความรู้จักกับปิรามิดที่ถูกตัดทอน

อ้างอิง

1. เรขาคณิต. เกรด 10-11: หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับพื้นฐานและเฉพาะทาง) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov - ฉบับที่ 5, ว. และเพิ่มเติม - อ.: Mnemosyne, 2551. - 288 หน้า: ป่วย.
2. เรขาคณิต. เกรด 10-11: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 หน้า: ป่วย
3. เรขาคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไปที่มีการศึกษาคณิตศาสตร์เชิงลึกและเฉพาะทาง /E วี. โปโตสคูเยฟ, แอล. ไอ. ซวาลิช. - ฉบับที่ 6 แบบเหมารวม. - อ.: อีแร้ง, 008. - 233 น.: ป่วย

1. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต "Yaklass" ()
2. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต "เทศกาลแนวคิดการสอน" วันที่ 1 กันยายน" ()
3. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต “Slideshare.net” ()

การบ้าน

1. รูปหลายเหลี่ยมปกติสามารถเป็นฐานของปิรามิดที่ไม่ปกติได้หรือไม่
2. พิสูจน์ว่าขอบที่แยกจากกันของปิรามิดปกตินั้นตั้งฉากกัน
3. หาค่าของมุมไดฮีดรัลที่ด้านข้างของฐานของพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ ถ้าระยะกึ่งกลางของพีระมิดเท่ากับด้านข้างของฐาน
4. RAVS- ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ สร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่ฐานของปิรามิด

คำนิยาม

พีระมิดคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยม \(A_1A_2...A_n\) และ \(n\) สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม \(P\) (ไม่อยู่ในระนาบของรูปหลายเหลี่ยม) และมีด้านตรงข้ามกัน ซึ่งประจวบกับ ด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม
การกำหนด: \(PA_1A_2...A_n\) .
ตัวอย่าง: พีระมิดห้าเหลี่ยม \(PA_1A_2A_3A_4A_5\)

สามเหลี่ยม \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) ฯลฯ ถูกเรียกว่า ใบหน้าด้านข้างปิรามิด เซ็กเมนต์ \(PA_1, PA_2\) ฯลฯ - ซี่โครงด้านข้าง, รูปหลายเหลี่ยม \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – พื้นฐาน, จุด \(P\) – สูงสุด.

ความสูงปิรามิดเป็นปิรามิดที่ตั้งฉากลงจากด้านบนของปิรามิดถึงระนาบของฐาน

ปิรามิดที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมเรียกว่า จัตุรมุข.

ปิรามิดมีชื่อว่า ถูกต้องหากฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

\((a)\) ขอบด้านข้างของพีระมิดเท่ากัน

\((b)\) ความสูงของปิรามิดลากผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบฐานไว้

\((c)\) ซี่โครงด้านข้างเอียงกับระนาบของฐานในมุมเดียวกัน

\((d)\) ใบหน้าด้านข้างเอียงกับระนาบของฐานในมุมเดียวกัน

จัตุรมุขปกติเป็นปิรามิดทรงสามเหลี่ยม ซึ่งใบหน้าทั้งหมดมีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่ากัน

ทฤษฎีบท

เงื่อนไข \((a), (b), (c), (d)\) เทียบเท่ากัน

การพิสูจน์

ลองหาความสูงของพีระมิด \(PH\) กัน ให้ \(\alpha\) เป็นระนาบของฐานของพีระมิด

1) ให้เราพิสูจน์ว่า \((a)\) หมายถึง \((b)\) ให้ \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

เพราะ \(PH\perp \alpha\) ดังนั้น \(PH\) จะตั้งฉากกับเส้นใดๆ ที่อยู่ในระนาบนี้ ซึ่งหมายความว่ารูปสามเหลี่ยมนั้นมีมุมฉาก ซึ่งหมายความว่ารูปสามเหลี่ยมเหล่านี้จะเท่ากันในขาทั่วไป \(PH\) และด้านตรงข้ามมุมฉาก \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) ซึ่งหมายความว่า ซึ่งหมายความว่าจุด \(A_1, A_2, ..., A_n\) อยู่ในระยะห่างเท่ากันจากจุด \(H\) ดังนั้นจุดเหล่านั้นจึงอยู่บนวงกลมเดียวกันกับรัศมี \(A_1H\) ตามคำจำกัดความ วงกลมนี้ล้อมรอบรูปหลายเหลี่ยม \(A_1A_2...A_n\)

2) ให้เราพิสูจน์ว่า \((b)\) หมายถึง \((c)\)

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและเท่ากันทั้งสองขา ซึ่งหมายความว่ามุมของพวกมันก็เท่ากัน ดังนั้น \(\มุม PA_1H=\มุม PA_2H=...=\มุม PA_nH\).

3) ให้เราพิสูจน์ว่า \((c)\) หมายถึง \((a)\)

คล้ายกับจุดแรก สามเหลี่ยม \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและตามขาและ มุมที่คมชัด- ซึ่งหมายความว่าด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากัน นั่นคือ \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\)

4) ให้เราพิสูจน์ว่า \((b)\) หมายถึง \((d)\)

เพราะ ในรูปหลายเหลี่ยมปกติ ศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกกำหนดขอบเขตและวงกลมที่ถูกจารึกไว้จะตรงกัน (โดยทั่วไป จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติ) ดังนั้น \(H\) คือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ ลองวาดเส้นตั้งฉากจากจุด \(H\) ไปยังด้านข้างของฐาน: \(HK_1, HK_2\) ฯลฯ นี่คือรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ (ตามคำจำกัดความ) จากนั้น ตาม TTP (\(PH\) เป็นเส้นตั้งฉากกับระนาบ \(HK_1, HK_2\) ฯลฯ เป็นเส้นโครงตั้งฉากกับด้านข้าง) เอียง \(PK_1, PK_2\) ฯลฯ ตั้งฉากกับด้านข้าง \(A_1A_2, A_2A_3\) ฯลฯ ตามลำดับ ดังนั้นตามคำนิยาม \(\มุม PK_1H, \มุม PK_2H\)เท่ากับมุมระหว่างหน้าด้านข้างกับฐาน เพราะ สามเหลี่ยม \(PK_1H, PK_2H, ...\) เท่ากัน (เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองด้าน) จากนั้นมุม \(\มุม PK_1H, \มุม PK_2H, ...\)มีความเท่าเทียมกัน

5) ให้เราพิสูจน์ว่า \((d)\) หมายถึง \((b)\)

เช่นเดียวกับจุดที่สี่ สามเหลี่ยม \(PK_1H, PK_2H, ...\) เท่ากัน (เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าตามขาและมุมแหลม) ซึ่งหมายความว่าส่วน \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) เท่ากับ เท่ากัน. ซึ่งหมายความว่า ตามคำจำกัดความแล้ว \(H\) เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ที่ฐาน แต่เพราะว่า สำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติ จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีเส้นกำกับและวงกลมมีเส้นรอบวงตรงกัน ดังนั้น \(H\) คือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีเส้นล้อมรอบ ชต.

ผลที่ตามมา

ใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติจะมีสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน

คำนิยาม

เรียกว่าความสูงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติที่ดึงมาจากจุดยอด ระยะกึ่งกลางของตำแหน่ง.
เส้นตั้งฉากของด้านขวางของพีระมิดปกติจะเท่ากันและยังเป็นค่ามัธยฐานและเส้นแบ่งครึ่งด้วย

หมายเหตุสำคัญ

1. ความสูงของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติอยู่ที่จุดตัดของความสูง (หรือเส้นแบ่งครึ่ง หรือค่ามัธยฐาน) ของฐาน (ฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ)

2. ความสูงของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติจะอยู่ที่จุดตัดของเส้นทแยงมุมของฐาน (ฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส)

3. ความสูงของปิรามิดหกเหลี่ยมปกติจะอยู่ที่จุดตัดของเส้นทแยงมุมของฐาน (ฐานเป็นรูปหกเหลี่ยมปกติ)

4. ความสูงของปิรามิดตั้งฉากกับเส้นตรงใดๆ ที่วางอยู่ที่ฐาน

คำนิยาม

ปิรามิดมีชื่อว่า สี่เหลี่ยมถ้าขอบด้านข้างด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉากกับระนาบของฐาน

หมายเหตุสำคัญ

1. ในพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ขอบที่ตั้งฉากกับฐานคือความสูงของพีระมิด นั่นคือ \(SR\) คือความสูง

2. เพราะ \(SR\) ตั้งฉากกับเส้นใดๆ จากฐาน ดังนั้น \(\สามเหลี่ยม SRM, \สามเหลี่ยม SRP\)– สามเหลี่ยมมุมฉาก.

3. สามเหลี่ยม \(\สามเหลี่ยม SRN, \สามเหลี่ยม SRK\)- เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วย
นั่นคือ สามเหลี่ยมใดๆ ที่เกิดจากขอบนี้และเส้นทแยงมุมที่โผล่ออกมาจากจุดยอดของขอบนี้ซึ่งอยู่ที่ฐานจะเป็นสี่เหลี่ยม

\[(\Large(\text(ปริมาตรและพื้นที่ผิวของปิรามิด)))\]

ทฤษฎีบท

ปริมาตรของปิรามิดเท่ากับหนึ่งในสามของผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูงของปิรามิด: \

ผลที่ตามมา

ให้ \(a\) เป็นด้านของฐาน \(h\) เป็นความสูงของปิรามิด

1. ปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติคือ \(V_(\text(right Triangle.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. ปริมาตรของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติคือ \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. ปริมาตรของปิรามิดหกเหลี่ยมปกติคือ \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. ปริมาตรของจัตุรมุขปกติคือ \(V_(\text(right tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

ทฤษฎีบท

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดปกติเท่ากับผลคูณครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวงของฐานและจุดกึ่งกลางของฐาน

\[(\Large(\text(Frustum)))\]

คำนิยาม

พิจารณาปิรามิดตามอำเภอใจ \(PA_1A_2A_3...A_n\) ให้เราวาดระนาบขนานกับฐานของปิรามิดผ่านจุดหนึ่งซึ่งอยู่บนขอบด้านข้างของปิรามิด เครื่องบินนี้จะแยกปิรามิดออกเป็นสองรูปทรงหลายเหลี่ยม หนึ่งในนั้นคือปิรามิด (\(PB_1B_2...B_n\)) และอีกอันเรียกว่าปิรามิด ปิรามิดที่ถูกตัดทอน(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

ปิรามิดที่ถูกตัดปลายมีสองฐาน - รูปหลายเหลี่ยม \(A_1A_2...A_n\) และ \(B_1B_2...B_n\) ซึ่งคล้ายกัน

ความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอนนั้นตั้งฉากจากจุดใดจุดหนึ่งของฐานบนไปยังระนาบของฐานล่าง

หมายเหตุสำคัญ

1. ใบหน้าด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

2. ส่วนที่เชื่อมต่อศูนย์กลางของฐานของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ (นั่นคือปิรามิดที่ได้จากหน้าตัดของปิรามิดปกติ) คือความสูง

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งคำขอบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย กระบวนการยุติธรรม การดำเนินคดี และ/หรือ ตามคำขอของประชาชน หรือการร้องขอจาก หน่วยงานภาครัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเราและบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด