ปริมาณเวกเตอร์แตกต่างจากปริมาณสเกลาร์อย่างไร ความแตกต่างระหว่างปริมาณเวกเตอร์และสเกลาร์

คำสองคำที่ทำให้เด็กนักเรียนหวาดกลัว - เวกเตอร์และสเกลาร์ - ไม่ได้น่ากลัวจริงๆ หากคุณเข้าใกล้หัวข้อด้วยความสนใจทุกอย่างก็สามารถเข้าใจได้ ในบทความนี้ เราจะพิจารณาว่าปริมาณใดเป็นเวกเตอร์และสเกลาร์ แม่นยำยิ่งขึ้นเราจะยกตัวอย่าง นักเรียนทุกคนอาจสังเกตเห็นว่าในวิชาฟิสิกส์ปริมาณบางปริมาณไม่ได้แสดงด้วยสัญลักษณ์เท่านั้น แต่ยังแสดงด้วยลูกศรด้านบนด้วย พวกเขาหมายถึงอะไร? เรื่องนี้จะมีการหารือด้านล่าง ลองหาดูว่ามันแตกต่างจากสเกลาร์อย่างไร

ตัวอย่างของเวกเตอร์ พวกเขาถูกกำหนดอย่างไร?

เวกเตอร์หมายถึงอะไร? สิ่งที่บ่งบอกถึงการเคลื่อนไหว ไม่สำคัญว่าในอวกาศหรือบนเครื่องบิน ปริมาณเวกเตอร์โดยทั่วไปมีปริมาณเท่าใด ตัวอย่างเช่น เครื่องบินบินด้วยความเร็วระดับหนึ่งที่ระดับความสูงระดับหนึ่ง มีมวลจำเพาะ และเริ่มเคลื่อนที่จากสนามบินด้วยความเร่งที่ต้องการ เครื่องบินมีการเคลื่อนที่อย่างไร? อะไรทำให้เขาบินได้? แน่นอนว่าความเร่ง ความเร็ว ปริมาณเวกเตอร์จากหลักสูตรฟิสิกส์เป็นตัวอย่างที่ชัดเจน พูดตรงๆ คือปริมาณเวกเตอร์สัมพันธ์กับการเคลื่อนที่และการกระจัด

น้ำยังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่กำหนดจากความสูงของภูเขา คุณเห็นไหม? การเคลื่อนไหวไม่ได้กระทำโดยปริมาตรหรือมวล แต่กระทำโดยความเร็ว นักเทนนิสยอมให้ลูกบอลเคลื่อนที่โดยใช้ไม้เทนนิสช่วย มันตั้งค่าความเร่ง โดยวิธีการที่แนบมากับ ในกรณีนี้แรงก็เป็นปริมาณเวกเตอร์เช่นกัน เพราะจะได้มาจากความเร็วและความเร่งที่กำหนด อำนาจยังสามารถเปลี่ยนแปลงและดำเนินการบางอย่างได้ ลมที่พัดใบไม้บนต้นไม้ก็ถือเป็นตัวอย่างได้เช่นกัน เพราะมีความเร็ว

ปริมาณบวกและลบ

ปริมาณเวกเตอร์คือปริมาณที่มีทิศทางในพื้นที่โดยรอบและขนาด คำที่น่ากลัวปรากฏขึ้นอีกครั้งโมดูลเวลานี้ ลองนึกภาพว่าคุณจำเป็นต้องแก้ปัญหาโดยที่ค่าความเร่งติดลบจะถูกบันทึกไว้ ในธรรมชาติ ค่าลบดูเหมือนว่าจะไม่มีอยู่จริง ความเร็วจะเป็นลบได้อย่างไร?

เวกเตอร์มีแนวคิดเช่นนี้ สิ่งนี้ใช้กับแรงต่างๆ ที่กระทำต่อร่างกาย แต่มีทิศทางที่ต่างกัน จำข้อที่สามที่การกระทำเท่ากับปฏิกิริยา พวกนั้นกำลังเล่นชักเย่อ ทีมหนึ่งสวมเสื้อยืดสีน้ำเงิน อีกทีมสวมเสื้อยืดสีเหลือง อย่างหลังกลับกลายเป็นว่าแข็งแกร่งขึ้น ให้เราสมมติว่าเวกเตอร์แรงของพวกมันมีทิศบวก ในขณะเดียวกันคนแรกก็ดึงเชือกไม่ได้แต่พวกเขาก็พยายาม พลังฝ่ายตรงข้ามเกิดขึ้น

ปริมาณเวกเตอร์หรือสเกลาร์?

เรามาคุยกันว่าปริมาณเวกเตอร์แตกต่างจากปริมาณสเกลาร์อย่างไร พารามิเตอร์ใดไม่มีทิศทางแต่มีความหมายในตัวเอง เรามาแสดงรายการปริมาณสเกลาร์ด้านล่าง:

ล้วนมีทิศทางหรือไม่? เลขที่ ปริมาณใดเป็นเวกเตอร์และสเกลาร์สามารถแสดงได้ด้วยตัวอย่างภาพเท่านั้น ในวิชาฟิสิกส์ แนวคิดดังกล่าวไม่เพียงแต่ในส่วน "กลศาสตร์ ไดนามิก และจลนศาสตร์" เท่านั้น แต่ยังรวมถึงย่อหน้า "ไฟฟ้าและแม่เหล็ก" ด้วย แรงลอเรนซ์ก็เป็นปริมาณเวกเตอร์เช่นกัน

เวกเตอร์และสเกลาร์ในสูตร

หนังสือเรียนวิชาฟิสิกส์มักจะมีสูตรที่มีลูกศรอยู่ด้านบน จำกฎข้อที่สองของนิวตัน แรง (“F” ที่มีลูกศรอยู่ด้านบน) เท่ากับผลคูณของมวล (“m”) และความเร่ง (“a” ที่มีลูกศรอยู่ด้านบน) ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น แรงและความเร่งเป็นปริมาณเวกเตอร์ แต่มวลเป็นสเกลาร์

น่าเสียดายที่ไม่ใช่ทุกสิ่งพิมพ์ที่มีการกำหนดปริมาณเหล่านี้ นี่อาจทำเพื่อทำให้สิ่งต่าง ๆ ง่ายขึ้นเพื่อไม่ให้เด็กนักเรียนถูกหลอก ทางที่ดีควรซื้อหนังสือและหนังสืออ้างอิงที่ระบุเวกเตอร์ในสูตร

ภาพประกอบจะแสดงปริมาณที่เป็นเวกเตอร์ ขอแนะนำให้ใส่ใจกับรูปภาพและไดอะแกรมในบทเรียนฟิสิกส์ ปริมาณเวกเตอร์มีทิศทาง แน่นอนมันลงที่ไหน? ซึ่งหมายความว่าลูกศรจะแสดงไปในทิศทางเดียวกัน

ฟิสิกส์ได้รับการศึกษาเชิงลึกในมหาวิทยาลัยเทคนิค ในหลายสาขาวิชา ครูพูดถึงปริมาณที่เป็นสเกลาร์และเวกเตอร์ ความรู้ดังกล่าวจำเป็นในสาขาต่อไปนี้: การก่อสร้าง การขนส่ง วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ

 เวกเตอร์- แนวคิดทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ที่ใช้ในฟิสิกส์หรือวิทยาศาสตร์ประยุกต์อื่นๆ เท่านั้น และช่วยให้การแก้ปัญหาที่ซับซ้อนบางอย่างง่ายขึ้น
 เวกเตอร์− กำกับส่วนตรง
  ในหลักสูตรฟิสิกส์ระดับประถมศึกษา เราจะต้องดำเนินการด้วยปริมาณสองประเภท - สเกลาร์และ เวกเตอร์ .
 สเกลาร์ปริมาณ (สเกลาร์) คือปริมาณที่มีลักษณะเป็นค่าตัวเลขและเครื่องหมาย สเกลาร์มีความยาว − ล, มวล − ม, เส้นทาง - ส, เวลา - ที, อุณหภูมิ - ต, ประจุไฟฟ้า − ถาม, พลังงาน - ว, พิกัด ฯลฯ
  ทั้งหมดใช้กับปริมาณสเกลาร์ การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต(บวก ลบ คูณ ฯลฯ)

 ตัวอย่างที่ 1.
  กำหนดประจุรวมของระบบซึ่งประกอบด้วยประจุที่รวมอยู่ในนั้น ถ้า q 1 = 2 nC, q 2 = −7 nC, q 3 = 3 nC
ชาร์จเต็มระบบ
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 − 7 + 3) nC = −2 nC = −2 × 10 −9 C

 ตัวอย่างที่ 2.
  สำหรับ สมการกำลังสองใจดี
ขวาน 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac))

 เวกเตอร์ปริมาณ (เวกเตอร์) คือปริมาณเพื่อพิจารณาว่าจำเป็นต้องระบุทิศทางนอกเหนือจากค่าตัวเลขหรือไม่ เวกเตอร์ − ความเร็ว โวลต์, ความแข็งแกร่ง เอฟแรงกระตุ้น พี, ความแรงของสนามไฟฟ้า อี, การเหนี่ยวนำแม่เหล็ก บีฯลฯ
  ค่าตัวเลขของเวกเตอร์ (โมดูลัส) แสดงด้วยตัวอักษรที่ไม่มีสัญลักษณ์เวกเตอร์ หรือเวกเตอร์ถูกล้อมรอบระหว่างแถบแนวตั้ง r = |r|.
  กราฟิกเวกเตอร์แสดงด้วยลูกศร (รูปที่ 1)

ความยาวตามมาตราส่วนที่กำหนดจะเท่ากับขนาดของมัน และทิศทางเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางของเวกเตอร์
เวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันถ้าขนาดและทิศทางตรงกัน
  ปริมาณเวกเตอร์จะถูกบวกในเชิงเรขาคณิต (ตามกฎของพีชคณิตเวกเตอร์)
  การหาผลรวมเวกเตอร์จากเวกเตอร์องค์ประกอบที่กำหนดเรียกว่าการบวกเวกเตอร์
  การบวกเวกเตอร์สองตัวจะดำเนินการตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือสามเหลี่ยม ผลรวมเวกเตอร์
ค = ก + ข
เท่ากับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ กและ ข- โมดูลมัน
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (รูปที่ 2)


ที่ α = 90°, c = √(a 2 + b 2 ) คือทฤษฎีบทพีทาโกรัส

เวกเตอร์ c เดียวกันสามารถหาได้โดยใช้กฎสามเหลี่ยมถ้าจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ กแยกเวกเตอร์ออกไป ข- เวกเตอร์ต่อท้าย c (เชื่อมต่อจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ กและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ข) คือผลรวมเวกเตอร์ของเทอม (เวกเตอร์ส่วนประกอบ กและ ข).
  เวกเตอร์ที่ได้จะพบว่าเป็นเส้นต่อท้ายของเส้นขาดซึ่งมีลิงก์เป็นเวกเตอร์ส่วนประกอบ (รูปที่ 3)


 ตัวอย่างที่ 3.
  เพิ่มแรงสองตัว F 1 = 3 N และ F 2 = 4 N, เวกเตอร์ ฉ 1และ ฉ 2ทำมุม α 1 = 10° และ α 2 = 40° กับขอบฟ้า ตามลำดับ
 ฉ = ฉ 1 + ฉ 2(รูปที่ 4)

  ผลของการบวกแรงทั้งสองนี้ทำให้เกิดแรงที่เรียกว่าแรงลัพธ์ เวกเตอร์ เอฟกำกับตามแนวทแยงของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ ฉ 1และ ฉ 2ทั้งสองด้าน และมีโมดูลัสเท่ากับความยาวของมัน
  โมดูลเวกเตอร์ เอฟหาได้จากทฤษฎีบทโคไซน์
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1))
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) กลับไปยัง 6.8 H.
ถ้า
(α 2 − α 1) = 90° จากนั้น F = √(F 1 2 + F 2 2 )

มุมซึ่งเป็นเวกเตอร์ เอฟเท่ากับแกน Ox เราหาได้จากสูตร
α = อาร์คแทน((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2))
α = อาร์คแทน((3.0.17 + 4.0.64)/(3.0.98 + 4.0.77)) = อาร์กแทน0.51, α γ 0.47 rad

เส้นโครงของเวกเตอร์ a ลงบนแกน Ox (Oy) เป็นปริมาณสเกลาร์ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างทิศทางของเวกเตอร์ กและแกนวัว (Oy) (รูปที่ 5)


  การฉายภาพเวกเตอร์ กบนแกน Ox และ Oy ของระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (รูปที่ 6)


  เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดในการกำหนดสัญลักษณ์ของการฉายภาพเวกเตอร์บนแกน จึงควรจดจำ กฎถัดไป: ถ้าทิศทางของส่วนประกอบตรงกับทิศทางของแกน ดังนั้น เส้นโครงของเวกเตอร์บนแกนนี้จะเป็นบวก แต่หากทิศทางขององค์ประกอบอยู่ตรงข้ามกับทิศทางของแกน ดังนั้น เส้นโครงของเวกเตอร์จะเป็น เชิงลบ. (รูปที่ 7)


  การลบเวกเตอร์คือการบวกเวกเตอร์เข้ากับเวกเตอร์แรกเป็นตัวเลข เท่ากับวินาที, ทิศทางตรงกันข้าม
a − b = a + (−b) = d(รูปที่ 8)

  ปล่อยให้มันจำเป็นจากเวกเตอร์ กลบเวกเตอร์ ขความแตกต่างของพวกเขา − ง- หากต้องการหาผลต่างของเวกเตอร์สองตัว คุณต้องไปที่เวกเตอร์ กเพิ่มเวกเตอร์ ( −ข) นั่นคือเวกเตอร์ ง = ก - ขจะเป็นเวกเตอร์ที่กำกับจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ กถึงจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ( −ข) (รูปที่ 9)

  ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ กและ ขทั้งสองด้านหนึ่งเส้นทแยงมุม คมีความหมายว่าผลรวมและอื่นๆ ง- ความแตกต่างของเวกเตอร์ กและ ข(รูปที่ 9)
  ผลคูณของเวกเตอร์ กโดยสเกลาร์ k เท่ากับเวกเตอร์ ข= เค กโมดูลัสซึ่งมีมากกว่าโมดูลัสของเวกเตอร์ k เท่า กและทิศทางก็สอดคล้องกับทิศทาง กสำหรับค่าบวก k และค่าตรงข้ามสำหรับค่าลบ k

 ตัวอย่างที่ 4.
  หาโมเมนตัมของวัตถุที่มีน้ำหนัก 2 กิโลกรัม เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 5 เมตร/วินาที (รูปที่ 10)

แรงกระตุ้นของร่างกาย พี= ม โวลต์- p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s และมุ่งไปทางความเร็ว โวลต์.

 ตัวอย่างที่ 5.
  ประจุ q = −7.5 nC วางอยู่ในสนามไฟฟ้าที่มีความแรง E = 400 V/m หาขนาดและทิศทางของแรงที่กระทำต่อประจุ

แรงก็คือ เอฟ= คิว อี- เนื่องจากประจุเป็นลบ เวกเตอร์แรงจึงมีทิศทางตรงกันข้ามกับเวกเตอร์ อี- (รูปที่ 11)


 แผนกเวกเตอร์ กด้วยสเกลาร์ k เท่ากับการคูณ กโดย 1/k
 สินค้าดอทเวกเตอร์ กและ ขเรียกว่าสเกลาร์ “c” ซึ่งเท่ากับผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์เหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน
(ก.ข.) = (ข.ก.) = ค,
с = ab.cosα (รูปที่ 12)


 ตัวอย่างที่ 6.
  ค้นหางานที่ทำโดยใช้แรงคงที่ F = 20 N ถ้าการกระจัด S = 7.5 ม. และมุม α ระหว่างแรงกับการกระจัด α = 120°

ตามคำนิยาม งานที่ทำโดยแรงจะเท่ากับผลคูณสเกลาร์ของแรงและการกระจัด
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7.5 m × cos120° = −150 × 1/2 = −75 J

 งานศิลปะของเว็กเตอร์เวกเตอร์ กและ ขเรียกว่าเวกเตอร์ ค, เป็นตัวเลขเท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของเวกเตอร์ a และ b คูณด้วยไซน์ของมุมระหว่างพวกเขา:
ค = ก × ข = ,
с = ab × sinα
  เวกเตอร์ คตั้งฉากกับระนาบที่เวกเตอร์อยู่ กและ ขและทิศทางของมันสัมพันธ์กับทิศทางของเวกเตอร์ กและ ขกฎสกรูขวา (รูปที่ 13)


 ตัวอย่างที่ 7.
  จงหาแรงที่กระทำต่อตัวนำที่ยาว 0.2 ม. วางอยู่ในสนามแม่เหล็กซึ่งมีการเหนี่ยวนำเท่ากับ 5 T ถ้าความแรงของกระแสไฟฟ้าในตัวนำคือ 10 A และทำให้เกิดมุม α = 30° กับทิศทางของสนามแม่เหล็ก .

กำลังแอมแปร์
dF = I = Idl × B หรือ F = I(l)∫(dl × B)
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0.2 ม. × 1/2 = 5 N

 พิจารณาการแก้ปัญหา.
  1. เวกเตอร์สองตัวถูกกำกับอย่างไร โดยโมดูลัสจะเหมือนกันและเท่ากับ a ถ้าโมดูลัสของผลรวมเท่ากับ: a) 0; ข) 2ก; ค) ก; ง) a√(2); จ) a√(3)?

 สารละลาย.
  ก) เวกเตอร์สองตัวถูกลากไปตามเส้นตรงเส้นเดียวในทิศทางตรงกันข้าม ผลรวมของเวกเตอร์เหล่านี้เป็นศูนย์

  b) เวกเตอร์สองตัวมีทิศทางตามเส้นตรงเส้นเดียวในทิศทางเดียวกัน ผลรวมของเวกเตอร์พวกนี้คือ 2a

  ค) เวกเตอร์สองตัวมีทิศทำมุม 120° ซึ่งกันและกัน ผลรวมของเวกเตอร์คือ a พบเวกเตอร์ผลลัพธ์โดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์:

2 + a 2 + 2aacosα = 2 ,
cosα = −1/2 และ α = 120°
  d) เวกเตอร์สองตัวมีทิศทำมุม 90° ซึ่งกันและกัน โมดูลัสของผลรวมเท่ากับ
ก 2 + ก 2 + 2aacosα = 2a 2 ,
cosα = 0 และ α = 90°

  จ) เวกเตอร์สองตัวมีทิศทางทำมุม 60° ซึ่งกันและกัน โมดูลัสของผลรวมเท่ากับ
ก 2 + ก 2 + 2aacosα = 3a 2 ,
cosα = 1/2 และ α = 60°
 คำตอบ: มุม α ระหว่างเวกเตอร์เท่ากับ: a) 180°; ข) 0; ค) 120°; ง) 90°; จ) 60°

2. ถ้า ก = ก 1 + ก 2การวางแนวของเวกเตอร์ สิ่งที่สามารถพูดได้เกี่ยวกับการวางแนวร่วมกันของเวกเตอร์ 1และ 2, ถ้า: ก) ก = ก 1 + ก 2 ; ข) ก 2 = ก 1 2 + ก 2 2 ; c) a 1 + a 2 = a 1 − a 2?

 สารละลาย.
  ก) ถ้าผลรวมของเวกเตอร์ถูกพบเป็นผลรวมของโมดูลของเวกเตอร์เหล่านี้ เวกเตอร์จะพุ่งไปตามเส้นตรงเส้นเดียวขนานกัน ก 1 || ก 2.
  b) หากเวกเตอร์ถูกชี้ทิศทางเป็นมุมซึ่งกันและกัน จะพบผลรวมโดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนาน
1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2 ,
cosα = 0 และ α = 90°
เวกเตอร์ตั้งฉากกัน ก 1 ⊥ ก 2.
  ค) สภาพ ก 1 + ก 2 = ก 1 - ก 2สามารถดำเนินการได้ถ้า 2− เวกเตอร์ศูนย์ จากนั้น a 1 + a 2 = a 1
 คำตอบ- ก) ก 1 || ก 2- ข) ก 1 ⊥ ก 2- วี) 2− เวกเตอร์ศูนย์

3. ใช้แรง 2 แรงครั้งละ 1.42 N ต่อจุดหนึ่งของร่างกายโดยทำมุม 60° ซึ่งกันและกัน แรงสองแรง 1.75 นิวตันแต่ละแรงถูกกระทำที่มุมใดที่จุดเดียวกันบนลำตัว เพื่อให้การกระทำของแรงเหล่านี้สมดุลกับการกระทำของแรงสองแรงแรก

สารละลาย.
  ตามเงื่อนไขของปัญหา แรง 2 แรง 1.75 N ในแต่ละแรง 2 แรง 1.42 N สมดุลกัน ซึ่งเป็นไปได้หากโมดูลของเวกเตอร์ผลลัพธ์ของคู่แรงเท่ากัน เรากำหนดเวกเตอร์ผลลัพธ์โดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนาน สำหรับแรงคู่แรก:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 ,
สำหรับแรงคู่ที่สองตามลำดับ
ฉ 2 2 + ฉ 2 2 + 2F 2 ฉ 2 cosβ = ฉ 2 .
การทำให้ด้านซ้ายของสมการเท่ากัน
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
ลองหามุมที่ต้องการ β ระหว่างเวกเตอร์กัน
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2)
หลังจากการคำนวณ
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60° − 2.1.752)/(2.1.752) = −0.0124,
เบต้า 90.7°

 วิธีแก้ปัญหาที่สอง.
  ลองพิจารณาการฉายภาพเวกเตอร์บนแกนพิกัด OX (รูปที่)

  โดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่างคู่สัญญาใน สามเหลี่ยมมุมฉากเราได้รับ
2F 1 คอส(α/2) = 2F 2 คอส(β/2),
ที่ไหน
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1.42/1.75) × cos(60/2) และ β data 90.7°

4. เวกเตอร์ ก = 3i - 4j- ปริมาณสเกลาร์ c สำหรับ |c ต้องเป็นเท่าใด ก| = 7,5?
 สารละลาย.
ค ก= ค( 3i - 4j) = 7,5
โมดูลเวกเตอร์ กจะเท่ากัน
ก 2 = 3 2 + 4 2 และ ก = ±5
แล้วจาก
ค.(±5) = 7.5,
มาหาสิ่งนั้นกัน
ค = ±1.5

5. เวกเตอร์ 1และ 2ออกจากจุดกำเนิดและมีพิกัดปลายคาร์ทีเซียน (6, 0) และ (1, 4) ตามลำดับ ค้นหาเวกเตอร์ 3เช่นนั้น: ก) 1 + 2 + 3= 0; ข) 1 − 2 + 3 = 0.

 สารละลาย.
  ลองพรรณนาเวกเตอร์ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน (รูปที่)

  ก) เวกเตอร์ผลลัพธ์ตามแกน Ox คือ
กx = 6 + 1 = 7
เวกเตอร์ผลลัพธ์ตามแนวแกน Oy คือ
ay = 4 + 0 = 4.
เพื่อให้ผลรวมของเวกเตอร์เท่ากับศูนย์ จำเป็นต้องเป็นไปตามเงื่อนไข
1 + 2 = −3.
เวกเตอร์ 3โมดูโล่จะเท่ากับเวกเตอร์ทั้งหมด ก 1 + ก 2แต่มุ่งไปในทิศทางตรงกันข้าม พิกัดปลายเวกเตอร์ 3เท่ากับ (−7, −4) และโมดูลัส
ก 3 = √(7 2 + 4 2) = 8.1

B) เวกเตอร์ผลลัพธ์ตามแกน Ox เท่ากับ
ax = 6 − 1 = 5,
และเวกเตอร์ผลลัพธ์ตามแนวแกน Oy
ay = 4 − 0 = 4
เมื่อตรงตามเงื่อนไข
1 − 2 = −3,
เวกเตอร์ 3จะมีพิกัดของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ a x = –5 และ y = −4 และโมดูลัสของมันจะเท่ากับ
ก 3 = √(5 2 + 4 2) = 6.4

6. ผู้ส่งสารเดินไปทางเหนือ 30 ม. ไปทางทิศตะวันออก 25 ม. ไปทางทิศใต้ 12 ม. จากนั้นขึ้นลิฟต์ไปยังอาคารสูง 36 ม. ระยะทางที่เขาเดินทางและการกระจัด S คือเท่าใด ?

 สารละลาย.
  ให้เราบรรยายถึงสถานการณ์ที่อธิบายไว้ในปัญหาบนเครื่องบินในระดับใดก็ได้ (รูปที่)

จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ โอเอมีพิกัด ทิศตะวันออก 25 ม. ทิศเหนือ 18 ม. และพิกัด 36 ขึ้นไป (25; 18; 36) ระยะทางที่บุคคลเดินทางได้เท่ากับ
L = 30 ม. + 25 ม. + 12 ม. +36 ม. = 103 ม.
ขนาดของเวกเตอร์การกระจัดสามารถพบได้โดยใช้สูตร
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
โดยที่ x o = 0, y o = 0, z o = 0
S = √(25 2 + 18 2 + 36 2) = 47.4 (ม.)
 คำตอบ: L = 103 ม., S = 47.4 ม.

7. มุม α ระหว่างเวกเตอร์สองตัว กและ ขเท่ากับ 60° กำหนดความยาวของเวกเตอร์ ค = ก + ขและมุม β ระหว่างเวกเตอร์ กและ ค- ขนาดของเวกเตอร์คือ a = 3.0 และ b = 2.0

 สารละลาย.
  ความยาวของเวกเตอร์เท่ากับผลรวมของเวกเตอร์ กและ ขลองพิจารณาใช้ทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่)

с = √(ก 2 + ข 2 + 2abcosα)
หลังจากเปลี่ยนตัวแล้ว
ค = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°) = 4.4
ในการหามุม β เราใช้ทฤษฎีบทไซน์สำหรับสามเหลี่ยม ABC:
b/sinβ = a/sin(α − β)
ขณะเดียวกันคุณควรรู้ไว้ด้วยว่า
บาป(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ
  แก้ง่ายๆ สมการตรีโกณมิติเรามาถึงการแสดงออก
tgβ = บีซินα/(a + bcosα),
เพราะฉะนั้น,
β = อาร์คแทน(บีซินα/(a + bcosα)),
β = อาร์คแทน(2.sin60/(3 + 2.cos60)) µ 23°
  ลองตรวจสอบโดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับสามเหลี่ยม:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2 ,
ที่ไหน
cosβ = (a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
และ
β = ส่วนโค้ง ((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = ส่วนโค้ง ((3 2 + 4.4 2 − 2 2)/(2.3.4.4)) = 23°
 คำตอบ: ค γ 4.4; β µ 23°

 แก้ไขปัญหา.
  8. สำหรับเวกเตอร์ กและ ขกำหนดไว้ในตัวอย่างที่ 7 จงหาความยาวของเวกเตอร์ ง = ก - ขมุม γ ระหว่าง กและ ง.

9. ค้นหาเส้นโครงของเวกเตอร์ ก = 4.0i + 7.0jเป็นเส้นตรง ซึ่งมีทิศทางที่ทำให้มุม α = 30° กับแกน Ox เวกเตอร์ กและเส้นตรงอยู่ในระนาบ xOy

10. เวกเตอร์ กทำให้มุม α = 30° โดยมีเส้นตรง AB, a = 3.0 เวกเตอร์ควรตั้งตรงที่มุม β ถึงเส้นตรง AB ข(b = √(3)) ดังนั้นเวกเตอร์ ค = ก + ขขนานกับ AB? จงหาความยาวของเวกเตอร์ ค.

11. ให้เวกเตอร์สามตัว: ก = 3i + 2j - k; b = 2i - j + k; с = ฉัน + 3j- ค้นหาก) ก+ข- ข) เอ+ซี- วี) (ก ข)- ช) (ก, ค)ข − (ก, ข)ค.

12. มุมระหว่างเวกเตอร์ กและ ขเท่ากับ α = 60°, a = 2.0, b = 1.0 ค้นหาความยาวของเวกเตอร์ ค = (ก, ข)ก + ขและ d = 2b − a/2.

13. พิสูจน์ว่าเวกเตอร์ กและ ขตั้งฉากกันถ้า a = (2, 1, −5) และ b = (5, −5, 1)

14. จงหามุม α ระหว่างเวกเตอร์ กและ ขถ้า a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1)

15. เวกเตอร์ กทำให้มุม α = 30° กับแกน Ox, เส้นโครงของเวกเตอร์นี้บนแกน Oy เท่ากับ a y = 2.0 เวกเตอร์ ขตั้งฉากกับเวกเตอร์ กและ b = 3.0 (ดูรูป)

เวกเตอร์ ค = ก + ข- ค้นหา: ก) การฉายภาพของเวกเตอร์ ขบนแกน Ox และ Oy; b) ค่าของ c และมุม β ระหว่างเวกเตอร์ คและแกนวัว ค) (ก, ข); ง) (ก, ค)

 คำตอบ:
  9. a 1 = a x cosα + a y sinα 7.0
  10. β = 300°; ค = 3.5
  11. ก) 5i + เจ; ข) ผม + 3j - 2k; ค) 15i - 18j + 9 k
  12.ค = 2.6; ง = 1.7
  14. แอลฟา = 44.4°
  15.ก) ข x = −1.5; โดย y = 2.6; ข) ค = 5; β µ 67°; ค) 0; ง) 16.0
  การเรียนฟิสิกส์ทำให้คุณมีโอกาสที่ดีในการศึกษาต่อในมหาวิทยาลัยเทคนิค ซึ่งจะต้องอาศัยความรู้เชิงลึกในวิชาคณิตศาสตร์ เคมี ภาษา และวิชาอื่นๆ ที่ไม่ค่อยพบนัก Savich Egor ผู้ชนะการแข่งขันกีฬาโอลิมปิกของพรรครีพับลิกันสำเร็จการศึกษาจากหนึ่งในคณะของ MIPT ซึ่งมีความต้องการความรู้ด้านเคมีเป็นอย่างมาก หากคุณต้องการความช่วยเหลือที่ State Academy of Sciences ในสาขาเคมี โปรดติดต่อผู้เชี่ยวชาญ คุณจะได้รับความช่วยเหลือที่มีคุณสมบัติเหมาะสมและทันเวลาอย่างแน่นอน

ในวิชาฟิสิกส์ ปริมาณมีหลายประเภท ได้แก่ เวกเตอร์และสเกลาร์

ปริมาณเวกเตอร์คืออะไร?

ปริมาณเวกเตอร์มีลักษณะสำคัญสองประการ: ทิศทางและโมดูล- เวกเตอร์สองตัวจะเหมือนกันถ้าค่าสัมบูรณ์และทิศทางเท่ากัน เพื่อแสดงปริมาณเวกเตอร์ มักใช้ตัวอักษรที่มีลูกศรอยู่ด้านบน ตัวอย่างของปริมาณเวกเตอร์คือ แรง ความเร็ว และความเร่ง

เพื่อที่จะเข้าใจสาระสำคัญของปริมาณเวกเตอร์ เราควรพิจารณาจาก จุดเรขาคณิตวิสัยทัศน์. เวกเตอร์คือส่วนที่มีทิศทาง ความยาวของส่วนดังกล่าวมีความสัมพันธ์กับค่าโมดูลัสของมัน ตัวอย่างทางกายภาพของปริมาณเวกเตอร์คือการกระจัดของจุดวัสดุที่เคลื่อนที่ในอวกาศ พารามิเตอร์ต่างๆ เช่น ความเร่งของจุดนี้ ความเร็วและแรงที่กระทำต่อจุดนั้น สนามแม่เหล็กไฟฟ้าก็จะแสดงเป็นปริมาณเวกเตอร์ด้วย

หากเราพิจารณาปริมาณเวกเตอร์โดยไม่คำนึงถึงทิศทาง ก็สามารถวัดส่วนดังกล่าวได้ แต่ผลลัพธ์ที่ได้จะสะท้อนถึงลักษณะเฉพาะบางส่วนของปริมาณเท่านั้น สำหรับเธอ การวัดเต็มรูปแบบควรเสริมค่าด้วยพารามิเตอร์อื่น ๆ ของเซ็กเมนต์ทิศทาง

ในพีชคณิตเวกเตอร์มีแนวคิดอยู่ เวกเตอร์เป็นศูนย์- แนวคิดนี้หมายถึงประเด็น ส่วนทิศทางของเวกเตอร์ศูนย์นั้นถือว่าไม่แน่นอน หากต้องการแสดงเวกเตอร์ศูนย์ จะใช้ศูนย์เลขคณิตโดยพิมพ์เป็นตัวหนา

หากเราวิเคราะห์ทั้งหมดข้างต้น เราสามารถสรุปได้ว่าส่วนที่กำกับทั้งหมดกำหนดเวกเตอร์ สองส่วนจะกำหนดเวกเตอร์หนึ่งตัวก็ต่อเมื่อเท่ากันเท่านั้น เมื่อเปรียบเทียบเวกเตอร์ จะใช้กฎเดียวกันกับเมื่อเปรียบเทียบปริมาณสเกลาร์ ความเสมอภาคหมายถึงข้อตกลงที่สมบูรณ์ทุกประการ

ปริมาณสเกลาร์คืออะไร?

ต่างจากเวกเตอร์ตรงที่ปริมาณสเกลาร์มีพารามิเตอร์เพียงตัวเดียวเท่านั้น ของเธอ ค่าตัวเลข - เป็นที่น่าสังเกตว่าค่าที่วิเคราะห์สามารถมีทั้งค่าตัวเลขบวกและค่าลบ

ตัวอย่างได้แก่ มวล แรงดันไฟฟ้า ความถี่ หรืออุณหภูมิ ด้วยปริมาณดังกล่าว คุณสามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่างๆ ได้ เช่น การบวก การหาร การลบ การคูณ สำหรับปริมาณสเกลาร์ คุณลักษณะดังกล่าวเป็นทิศทางไม่ปกติ

ปริมาณสเกลาร์ถูกวัดด้วยค่าตัวเลข จึงสามารถแสดงบนแกนพิกัดได้ ตัวอย่างเช่น บ่อยครั้งมากจะมีการสร้างแกนของระยะทางที่เดินทาง อุณหภูมิ หรือเวลา

ความแตกต่างหลักระหว่างปริมาณสเกลาร์และเวกเตอร์

จากคำอธิบายที่ให้ไว้ข้างต้น เป็นที่ชัดเจนว่าความแตกต่างที่สำคัญระหว่างปริมาณเวกเตอร์และปริมาณสเกลาร์คือของพวกเขา ลักษณะเฉพาะ- ปริมาณเวกเตอร์มีทิศทางและขนาด ในขณะที่ปริมาณสเกลาร์มีเพียงค่าตัวเลขเท่านั้น แน่นอนว่าสามารถวัดปริมาณเวกเตอร์ได้เช่นเดียวกับปริมาณสเกลาร์ แต่คุณลักษณะดังกล่าวจะไม่สมบูรณ์เนื่องจากไม่มีทิศทาง

เพื่อให้เข้าใจถึงความแตกต่างระหว่างปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวกเตอร์ได้ชัดเจนยิ่งขึ้น ควรยกตัวอย่างไว้ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เรามาลองใช้ความรู้ดังกล่าวกัน ภูมิอากาศ- ถ้าเราบอกว่าลมพัดด้วยความเร็ว 8 เมตรต่อวินาที ก็จะมีการใช้ปริมาณสเกลาร์ แต่ถ้าเราบอกว่าลมเหนือพัดด้วยความเร็ว 8 เมตรต่อวินาที เรากำลังพูดถึงค่าเวกเตอร์

เวกเตอร์มีบทบาทอย่างมากในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เช่นเดียวกับในด้านกลศาสตร์และฟิสิกส์ในหลายๆ ด้าน ส่วนใหญ่ ปริมาณทางกายภาพสามารถแสดงเป็นเวกเตอร์ได้ สิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถสรุปและลดความซับซ้อนของสูตรและผลลัพธ์ที่ใช้ได้อย่างมาก บ่อยครั้งที่ค่าเวกเตอร์และเวกเตอร์ถูกระบุซึ่งกันและกัน ตัวอย่างเช่น ในวิชาฟิสิกส์ คุณอาจได้ยินว่าความเร็วหรือแรงเป็นเวกเตอร์

โดยทั่วไปเวกเตอร์จะเข้าใจว่าเป็นปริมาณที่มีลักษณะสำคัญ 2 ประการ:

1. โมดูล;
2. ทิศทาง.

ดังนั้นเวกเตอร์สองตัวจะถือว่าเท่ากันหากโมดูลและทิศทางของทั้งสองตรงกัน ค่าที่เป็นปัญหาส่วนใหญ่มักเขียนเป็นตัวอักษรโดยมีลูกศรชี้อยู่ด้านบน

ปริมาณประเภทที่สอดคล้องกันที่พบบ่อยที่สุดได้แก่ ความเร็ว แรง และอื่นๆ เช่น ความเร่ง

จากมุมมองทางเรขาคณิต เวกเตอร์สามารถเป็นส่วนที่มีทิศทางซึ่งความยาวมีความสัมพันธ์กับโมดูลของมัน

หากเราพิจารณาปริมาณเวกเตอร์แยกจากทิศทางของมัน ก็จะสามารถวัดปริมาณเวกเตอร์ได้โดยหลักการแล้ว จริงอยู่นี่จะเป็นลักษณะเฉพาะบางส่วนของปริมาณที่สอดคล้องกันไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง เต็ม - ทำได้ก็ต่อเมื่อมีการเสริมด้วยพารามิเตอร์ของส่วนทิศทาง

ปริมาณสเกลาร์คืออะไร?

ตามสเกลาร์ เรามักจะหมายถึงปริมาณที่มีลักษณะเฉพาะเพียงอย่างเดียว นั่นก็คือค่าตัวเลข ในกรณีนี้ ค่าที่อยู่ระหว่างการพิจารณาอาจเป็นค่าบวกหรือลบก็ได้

ปริมาณสเกลาร์ทั่วไปได้แก่ มวล ความถี่ แรงดันไฟฟ้า และอุณหภูมิ ด้วยสิ่งเหล่านี้เป็นไปได้ที่จะดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่างๆ - การบวกการลบการคูณการหาร

ทิศทาง (ตามลักษณะเฉพาะ) ไม่ใช่เรื่องปกติสำหรับปริมาณสเกลาร์

การเปรียบเทียบ

ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างปริมาณเวกเตอร์และปริมาณสเกลาร์คือ ปริมาณเวกเตอร์แรกมีลักษณะเฉพาะที่สำคัญ ได้แก่ ขนาดและทิศทาง ในขณะที่ปริมาณเวกเตอร์ที่สองมีค่าเป็นตัวเลข เป็นที่น่าสังเกตว่าโดยหลักการแล้วปริมาณเวกเตอร์สามารถวัดได้เช่นเดียวกับปริมาณสเกลาร์ อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้คุณลักษณะของมันจะถูกกำหนดเพียงบางส่วนเท่านั้น เนื่องจากจะไม่มีทิศทาง

เมื่อพิจารณาว่าความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์กับ ปริมาณสเกลาร์เราจะสะท้อนข้อสรุปในตารางเล็กๆ