การบวกความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์พร้อมตัวอย่าง
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตั้งชื่อลำดับของตัวเลข (เงื่อนไขของความก้าวหน้า)
ซึ่งแต่ละเทอมต่อมาจะแตกต่างจากเทอมก่อนหน้าด้วยเทอมใหม่ซึ่งเรียกอีกอย่างว่า ความแตกต่างของขั้นตอนหรือความก้าวหน้า.
ดังนั้น โดยการระบุขั้นตอนความก้าวหน้าและเทอมแรก คุณสามารถค้นหาองค์ประกอบใด ๆ ของมันได้โดยใช้สูตร
คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
1) สมาชิกแต่ละคนของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มจากเลขตัวที่สอง คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกรายก่อนหน้าและรายถัดไปของการก้าวหน้า
การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเทอมคี่ (คู่) ที่อยู่ติดกันของการก้าวหน้าเท่ากับเทอมที่อยู่ระหว่างเทอมเหล่านั้น ลำดับของตัวเลขนี้ก็คือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ การใช้คำสั่งนี้ ทำให้ง่ายต่อการตรวจสอบลำดับใดๆ
นอกจากนี้ ด้วยคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สูตรข้างต้นสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้
วิธีนี้ง่ายต่อการตรวจสอบหากคุณเขียนพจน์ทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับ
มักใช้ในทางปฏิบัติเพื่อลดความซับซ้อนในการคำนวณปัญหา
2) ผลรวมของเงื่อนไข n แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คำนวณโดยใช้สูตร
โปรดจำไว้ว่าสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ในการคำนวณและมักพบในสถานการณ์ชีวิตที่เรียบง่าย
3) หากคุณต้องการค้นหาไม่ใช่ผลรวมทั้งหมด แต่เป็นส่วนหนึ่งของลำดับที่เริ่มต้นจากเทอมที่ k สูตรผลรวมต่อไปนี้จะเป็นประโยชน์สำหรับคุณ
4) สิ่งที่น่าสนใจในทางปฏิบัติคือการหาผลรวมของเงื่อนไข n ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยเริ่มจากเลข k เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้สูตร
นี่เป็นการสรุปเนื้อหาทางทฤษฎีและไปสู่การแก้ปัญหาทั่วไปในทางปฏิบัติ
ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาเทอมที่สี่สิบของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 4;7;...
สารละลาย:
ตามเงื่อนไขที่เรามี
เรามากำหนดขั้นตอนความก้าวหน้ากันดีกว่า
ด้วยการใช้สูตรที่รู้จักกันดี เราจะพบระยะที่สี่สิบของความก้าวหน้า
ตัวอย่างที่ 2
สารละลาย:
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเทอมที่สามและเจ็ด ค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้าและผลรวมของสิบ
ให้เราเขียนองค์ประกอบที่กำหนดของความก้าวหน้าโดยใช้สูตร
เราลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง ผลก็คือเราพบขั้นตอนการก้าวหน้า
เราแทนค่าที่พบลงในสมการใดๆ เพื่อค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
เราคำนวณผลรวมของเงื่อนไขสิบข้อแรกของความก้าวหน้า
เราพบปริมาณที่ต้องการทั้งหมดโดยไม่ต้องใช้การคำนวณที่ซับซ้อน
สารละลาย:
ตัวอย่างที่ 3 ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดโดยตัวส่วนและหนึ่งในเงื่อนไขของมัน ค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้า ผลรวมของ 50 เทอมที่เริ่มต้นจาก 50 และผลรวมของ 100 เทอมแรก
มาเขียนสูตรสำหรับองค์ประกอบที่ร้อยของความก้าวหน้ากัน
และหาอันแรก
จากข้อแรก เราจะพบระยะที่ 50 ของความก้าวหน้า
การหาผลรวมของส่วนของความก้าวหน้า
และผลรวมของ 100 ตัวแรก
จำนวนความก้าวหน้าคือ 250
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาจำนวนพจน์ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หาก:
สารละลาย:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111
เรามาเขียนสมการในรูปของเทอมแรกและขั้นตอนการก้าวหน้าแล้วพิจารณากัน
เราแทนค่าที่ได้รับลงในสูตรผลรวมเพื่อกำหนดจำนวนคำศัพท์ในผลรวม
เราดำเนินการลดความซับซ้อน
และแก้สมการกำลังสอง
จากค่าทั้งสองที่พบ มีเพียงหมายเลข 8 เท่านั้นที่เหมาะกับเงื่อนไขของปัญหา ดังนั้น ผลรวมของแปดเทอมแรกของการก้าวหน้าคือ 111
ตัวอย่างที่ 5
แก้สมการ
1+3+5+...+x=307.
วิธีแก้: สมการนี้คือผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ลองเขียนเทอมแรกออกมาแล้วค้นหาความแตกต่างในความก้าวหน้า บางคนปฏิบัติต่อคำว่า "ความก้าวหน้า" ด้วยความระมัดระวัง เนื่องจากเป็นคำที่ซับซ้อนมากจากสาขาคณิตศาสตร์ขั้นสูง และยังง่ายที่สุดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
- งานมิเตอร์แท็กซี่ (ที่ยังเหลืออยู่) และการทำความเข้าใจแก่นแท้ (และในวิชาคณิตศาสตร์ไม่มีอะไรสำคัญไปกว่า "การเข้าใจแก่นแท้") ของลำดับเลขคณิตนั้นไม่ใช่เรื่องยากโดยวิเคราะห์แนวคิดเบื้องต้นบางประการ
ลำดับตัวเลขทางคณิตศาสตร์
ลำดับตัวเลขมักเรียกว่าชุดตัวเลข ซึ่งแต่ละชุดมีหมายเลขของตัวเอง
1 เป็นสมาชิกตัวแรกของลำดับ
และ 2 คือเทอมที่สองของลำดับ
และ 7 เป็นสมาชิกตัวที่เจ็ดของลำดับ
อย่างไรก็ตามไม่มีชุดตัวเลขและตัวเลขใด ๆ ที่น่าสนใจสำหรับเรา เราจะมุ่งความสนใจไปที่ลำดับตัวเลขซึ่งค่าของเทอมที่ n สัมพันธ์กับเลขลำดับด้วยความสัมพันธ์ที่สามารถกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ได้อย่างชัดเจน กล่าวอีกนัยหนึ่ง: ค่าตัวเลขจำนวนที่ n คือฟังก์ชันบางอย่างของ n
a คือค่าของสมาชิกของลำดับตัวเลข
n - ของเขา หมายเลขซีเรียล;
f(n) คือฟังก์ชัน โดยที่เลขลำดับในลำดับตัวเลข n คืออาร์กิวเมนต์
คำนิยาม
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มักเรียกว่าลำดับตัวเลข ซึ่งแต่ละเทอมที่ตามมาจะมีค่ามากกว่า (น้อยกว่า) กว่าเทอมก่อนหน้าด้วยจำนวนเดียวกัน สูตรสำหรับเทอมที่ n ของลำดับเลขคณิตมีดังนี้:
n - ค่าของสมาชิกปัจจุบันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
n+1 - สูตรของตัวเลขถัดไป
d - ความแตกต่าง (จำนวนหนึ่ง)
เป็นเรื่องง่ายที่จะตัดสินว่าหากผลต่างเป็นบวก (d>0) สมาชิกลำดับต่อมาของซีรีส์ที่กำลังพิจารณาจะมีค่ามากกว่าชุดก่อนหน้า และความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ดังกล่าวจะเพิ่มขึ้น
ในกราฟด้านล่าง ง่ายต่อการดูว่าทำไม ลำดับหมายเลขเรียกว่า "เพิ่มขึ้น"
ในกรณีที่ผลต่างเป็นลบ (ง<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
ค่าสมาชิกที่ระบุ
บางครั้งมีความจำเป็นต้องกำหนดค่าของคำศัพท์ใดก็ได้ a n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสามารถทำได้โดยการคำนวณค่าของสมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตามลำดับโดยเริ่มจากค่าแรกไปจนถึงค่าที่ต้องการ อย่างไรก็ตาม เส้นทางนี้ไม่เป็นที่ยอมรับเสมอไป ตัวอย่างเช่น จำเป็นต้องค้นหาค่าของเทอมที่ห้าในพันหรือแปดล้าน การคำนวณแบบเดิมจะใช้เวลานาน อย่างไรก็ตาม สามารถศึกษาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เฉพาะเจาะจงได้โดยใช้สูตรบางอย่าง นอกจากนี้ยังมีสูตรสำหรับเทอมที่ n: ค่าของเทอมใด ๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถกำหนดเป็นผลรวมของเทอมแรกของความก้าวหน้าด้วยผลต่างของความก้าวหน้าคูณด้วยจำนวนเทอมที่ต้องการลดลงด้วย หนึ่ง.
สูตรนี้เป็นสูตรสากลสำหรับการเพิ่มและลดความก้าวหน้า
ตัวอย่างการคำนวณค่าของคำที่กำหนด
ให้เราแก้ปัญหาต่อไปนี้ในการค้นหาค่าของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
เงื่อนไข: มีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์พร้อมพารามิเตอร์:
เทอมแรกของลำดับคือ 3;
ผลต่างในชุดตัวเลขคือ 1.2
ภารกิจ: คุณต้องค้นหาค่าของคำศัพท์ 214 คำ
วิธีแก้ไข: เพื่อระบุค่าของคำที่กำหนด เราใช้สูตร:
ก(n) = a1 + d(n-1)
แทนที่ข้อมูลจากคำชี้แจงปัญหาลงในนิพจน์ เรามี:
ก(214) = ก1 + ง(n-1)
ก(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6
คำตอบ: เทอมที่ 214 ของลำดับมีค่าเท่ากับ 258.6
ข้อดีของวิธีการคำนวณนี้ชัดเจน - โซลูชันทั้งหมดใช้เวลาไม่เกิน 2 บรรทัด
ผลรวมของจำนวนเงื่อนไขที่กำหนด
บ่อยครั้งในชุดเลขคณิตที่กำหนดมีความจำเป็นต้องกำหนดค่ารวมของค่าของบางเซ็กเมนต์ ในการทำเช่นนี้ไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าของแต่ละเทอมแล้วบวกเข้าด้วยกัน วิธีการนี้ใช้ได้หากจำนวนคำศัพท์ที่ต้องการหาผลรวมมีน้อย ในกรณีอื่นๆ จะสะดวกกว่าถ้าใช้สูตรต่อไปนี้
ผลรวมของเงื่อนไขของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จาก 1 ถึง n เท่ากับผลรวมของเทอมที่หนึ่งและที่ n คูณด้วยจำนวนของเทอม n แล้วหารด้วยสอง หากในสูตรค่าของเทอมที่ n ถูกแทนที่ด้วยนิพจน์จากย่อหน้าก่อนหน้าของบทความเราจะได้รับ:
ตัวอย่างการคำนวณ
ตัวอย่างเช่น เรามาแก้ปัญหาโดยมีเงื่อนไขต่อไปนี้:
พจน์แรกของลำดับคือศูนย์
ความแตกต่างคือ 0.5
ปัญหานี้จำเป็นต้องพิจารณาผลรวมของเงื่อนไขของอนุกรมตั้งแต่ 56 ถึง 101
สารละลาย. ลองใช้สูตรเพื่อกำหนดจำนวนความก้าวหน้า:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
ขั้นแรกเรากำหนดค่าผลรวมของเงื่อนไข 101 ของความก้าวหน้าโดยการแทนที่เงื่อนไขที่กำหนดของปัญหาของเราลงในสูตร:
วินาที 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
เห็นได้ชัดว่าเพื่อที่จะหาผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าตั้งแต่วันที่ 56 ถึง 101 จำเป็นต้องลบ S 55 ออกจาก S 101
วินาที 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5
ดังนั้น ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สำหรับตัวอย่างนี้คือ:
ส 101 - ส 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5
ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ในทางปฏิบัติ
ในตอนท้ายของบทความ กลับไปที่ตัวอย่างลำดับเลขคณิตที่ให้ไว้ในย่อหน้าแรก - เครื่องวัดระยะทาง (มิเตอร์รถแท็กซี่) ลองพิจารณาตัวอย่างนี้
การขึ้นแท็กซี่ (ซึ่งรวมการเดินทาง 3 กม.) มีค่าใช้จ่าย 50 รูเบิล แต่ละกิโลเมตรถัดไปจะจ่ายในอัตรา 22 รูเบิล/กม. ระยะทางเดินทาง 30 กม. คำนวณค่าใช้จ่ายในการเดินทาง
1. ทิ้ง 3 กม. แรก ซึ่งราคาดังกล่าวรวมอยู่ในค่าลงจอดแล้ว
30 - 3 = 27 กม.
2. การคำนวณเพิ่มเติมนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าการแยกวิเคราะห์ชุดเลขคณิต
หมายเลขสมาชิก - จำนวนกิโลเมตรที่เดินทาง (ลบสามตัวแรก)
มูลค่าของสมาชิกคือผลรวม
เทอมแรกในปัญหานี้จะเท่ากับ 1 = 50 รูเบิล
ความแตกต่างของความก้าวหน้า d = 22 r
จำนวนที่เราสนใจคือค่าของเทอมที่ (27+1) ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - การอ่านมิเตอร์เมื่อสิ้นสุดกิโลเมตรที่ 27 เท่ากับ 27.999... = 28 กม.
ก 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
การคำนวณข้อมูลปฏิทินเป็นระยะเวลานานโดยพลการจะขึ้นอยู่กับสูตรที่อธิบายลำดับตัวเลขบางอย่าง ในทางดาราศาสตร์ ความยาวของวงโคจรจะขึ้นอยู่กับระยะห่างของวัตถุท้องฟ้าถึงดาวฤกษ์ในทางเรขาคณิต นอกจากนี้ ชุดตัวเลขต่างๆ ยังสามารถนำมาใช้ในสถิติและสาขาวิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์อื่นๆ ได้สำเร็จอีกด้วย
ลำดับตัวเลขอีกประเภทหนึ่งคือเรขาคณิต
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีลักษณะเฉพาะด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลงที่สูงกว่าเมื่อเทียบกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ในการเมือง สังคมวิทยา และการแพทย์ เพื่อแสดงให้เห็นความเร็วของการแพร่กระจายของปรากฏการณ์เฉพาะ เช่น โรคในระหว่างการแพร่ระบาด พวกเขามักจะกล่าวว่ากระบวนการพัฒนาเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
เทอมที่ N ของชุดตัวเลขเรขาคณิตแตกต่างจากชุดก่อนหน้าตรงที่คูณด้วยจำนวนคงที่บางตัว - ตัวส่วนเช่นเทอมแรกคือ 1 ตัวส่วนจะเท่ากับ 2 ตามลำดับดังนั้น:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
bn - ค่าของเทอมปัจจุบันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
b n+1 - สูตรของเทอมถัดไปของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
q เป็นตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (จำนวนคงที่)
หากกราฟของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นเส้นตรง ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะวาดภาพที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย:
เช่นเดียวกับในกรณีของเลขคณิต ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีสูตรสำหรับค่าของคำใดๆ ก็ตาม เทอมที่ n ใดๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะเท่ากับผลคูณของเทอมแรกและตัวส่วนของความก้าวหน้ากำลังของ n ลดลง 1:
ตัวอย่าง. เรามีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยเทอมแรกเท่ากับ 3 และตัวส่วนของความก้าวหน้าเท่ากับ 1.5 มาหาความก้าวหน้าระยะที่ 5 กัน
ข 5 = ข 1 ∙ คิว (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875
ผลรวมของจำนวนคำศัพท์ที่กำหนดจะคำนวณโดยใช้สูตรพิเศษด้วย ผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเท่ากับผลต่างระหว่างผลคูณของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าและตัวส่วนกับเทอมแรกของความก้าวหน้า หารด้วยตัวส่วนลดลงหนึ่ง:
หากแทนที่ bn โดยใช้สูตรที่กล่าวไว้ข้างต้น ค่าของผลรวมของเทอม n แรกของชุดตัวเลขที่พิจารณาจะอยู่ในรูปแบบ:
ตัวอย่าง. ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเริ่มต้นด้วยเทอมแรกเท่ากับ 1 ตัวส่วนถูกกำหนดให้เป็น 3 ลองหาผลรวมของแปดเทอมแรกกัน
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
ระดับรายการ
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีโดยละเอียดพร้อมตัวอย่าง (2019)
ลำดับหมายเลข
เรามานั่งลงและเริ่มเขียนตัวเลขกันดีกว่า ตัวอย่างเช่น:
คุณสามารถเขียนตัวเลขใดก็ได้ และอาจมีได้มากเท่าที่คุณต้องการ (ในกรณีของเราก็มีอยู่แล้ว) ไม่ว่าเราจะเขียนตัวเลขไปกี่จำนวน เราก็บอกได้เสมอว่าอันไหนเป็นอันดับแรก อันไหนเป็นที่สอง และต่อๆ ไปจนถึงตัวสุดท้าย นั่นคือ เราสามารถนับเลขได้ นี่คือตัวอย่างลำดับตัวเลข:
ลำดับหมายเลข
ตัวอย่างเช่น สำหรับลำดับของเรา:
หมายเลขที่กำหนดจะเฉพาะกับหมายเลขเดียวในลำดับเท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่มีตัวเลขสามวินาทีในลำดับ ตัวเลขที่สอง (เช่นตัวเลขที่ th) จะเหมือนกันเสมอ
จำนวนที่มีจำนวนเรียกว่าเทอมที่ 3 ของลำดับ
โดยปกติเราเรียกลำดับทั้งหมดด้วยตัวอักษรบางตัว (เช่น) และสมาชิกแต่ละคนของลำดับนี้จะเป็นตัวอักษรเดียวกัน โดยมีดัชนีเท่ากับจำนวนสมาชิกนี้:
ในกรณีของเรา:
สมมติว่าเรามีลำดับตัวเลขซึ่งความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่อยู่ติดกันเท่ากันและเท่ากัน
ตัวอย่างเช่น:
ฯลฯ
ลำดับตัวเลขนี้เรียกว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
คำว่า "ความก้าวหน้า" ถูกนำมาใช้โดยนักเขียนชาวโรมันชื่อ Boethius ย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 6 และเป็นที่เข้าใจในความหมายที่กว้างกว่าว่าเป็นลำดับตัวเลขที่ไม่มีที่สิ้นสุด ชื่อ "เลขคณิต" โอนมาจากทฤษฎีสัดส่วนต่อเนื่องที่ชาวกรีกโบราณศึกษา
นี่คือลำดับตัวเลข ซึ่งสมาชิกแต่ละตัวจะเท่ากับลำดับก่อนหน้าที่บวกเข้ากับหมายเลขเดียวกัน จำนวนนี้เรียกว่าผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และถูกกำหนดไว้
พยายามพิจารณาว่าลำดับตัวเลขใดเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และลำดับใดไม่ใช่:
ก)
ข)
ค)
ง)
เข้าใจแล้ว? ลองเปรียบเทียบคำตอบของเรา:
เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - b, c
ไม่ใช่ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - a, d
กลับไปที่ความก้าวหน้าที่กำหนด () แล้วลองค้นหาค่าของเทอมที่ 3 ของมัน มีอยู่ สองวิธีที่จะค้นหามัน
1. วิธีการ
เราสามารถบวกเลขความก้าวหน้าเข้ากับค่าก่อนหน้าได้จนกว่าเราจะถึงระยะที่ 3 ของความก้าวหน้า เป็นการดีที่เราไม่มีอะไรจะสรุปมากนัก - มีเพียงสามค่าเท่านั้น:
ดังนั้นเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายไว้จึงเท่ากับ
2. วิธีการ
จะเป็นอย่างไรถ้าเราจำเป็นต้องค้นหามูลค่าของระยะที่ 3 ของความก้าวหน้า? การบวกจะใช้เวลามากกว่าหนึ่งชั่วโมง และไม่ใช่ความจริงที่ว่าเราจะไม่ทำผิดพลาดเมื่อบวกตัวเลข
แน่นอนว่านักคณิตศาสตร์มีวิธีที่ไม่จำเป็นต้องเพิ่มผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ให้กับค่าก่อนหน้า ลองดูภาพที่วาดให้ละเอียดยิ่งขึ้น... แน่นอนคุณได้สังเกตเห็นรูปแบบบางอย่างแล้ว ได้แก่:
ตัวอย่างเช่น ลองดูว่าค่าของเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้ประกอบด้วยเท่าใด:
กล่าวอีกนัยหนึ่ง:
พยายามหาค่าของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดด้วยตัวเองด้วยวิธีนี้
คุณคำนวณหรือไม่? เปรียบเทียบบันทึกย่อของคุณกับคำตอบ:
โปรดทราบว่าคุณได้ตัวเลขเดียวกันกับวิธีก่อนหน้าทุกประการ เมื่อเราเพิ่มเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นค่าก่อนหน้าตามลำดับ
เรามาลอง "ลดความเป็นตัวตน" ของสูตรนี้ - มาวางไว้ในรูปแบบทั่วไปแล้วจะได้:
สมการความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ |
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถเพิ่มหรือลดลงได้
เพิ่มขึ้น- ความก้าวหน้าซึ่งแต่ละมูลค่าที่ตามมาของข้อกำหนดจะมากกว่าค่าก่อนหน้า
ตัวอย่างเช่น:
จากมากไปน้อย- ความก้าวหน้าซึ่งแต่ละค่าของข้อกำหนดที่ตามมาจะน้อยกว่าค่าก่อนหน้า
ตัวอย่างเช่น:
สูตรที่ได้รับใช้ในการคำนวณเงื่อนไขทั้งในเงื่อนไขที่เพิ่มขึ้นและลดลงของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
มาตรวจสอบสิ่งนี้ในทางปฏิบัติ
เราได้รับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขต่อไปนี้: มาตรวจสอบกันว่าตัวเลขลำดับที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้จะเป็นอย่างไรหากเราใช้สูตรของเราในการคำนวณ:
ตั้งแต่นั้นมา:
ดังนั้นเราจึงมั่นใจว่าสูตรดำเนินการทั้งในการลดลงและเพิ่มความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
พยายามค้นหาเงื่อนไขที่ th และ th ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้ด้วยตัวเอง
ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์:
คุณสมบัติความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
มาทำให้ปัญหาซับซ้อนขึ้น - เราจะได้คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
สมมติว่าเราได้รับเงื่อนไขต่อไปนี้:
- ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ค้นหาค่า
ง่าย ๆ ที่คุณพูดและเริ่มนับตามสูตรที่คุณรู้อยู่แล้ว:
ให้เอ่อแล้ว:
จริงอย่างแน่นอน ปรากฎว่าเราพบก่อนแล้วจึงบวกเข้ากับตัวเลขแรกแล้วได้สิ่งที่เรากำลังมองหา ถ้าความก้าวหน้าแสดงด้วยค่าเล็กๆ ก็ไม่มีอะไรซับซ้อน แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราได้รับตัวเลขในเงื่อนไขล่ะ? ยอมรับว่ามีความเป็นไปได้ที่จะเกิดข้อผิดพลาดในการคำนวณ
ทีนี้ลองคิดดูว่าจะสามารถแก้ไขปัญหานี้ในขั้นตอนเดียวโดยใช้สูตรใดๆ ได้หรือไม่? ใช่แน่นอน และนั่นคือสิ่งที่เราจะพยายามนำเสนอออกมาในตอนนี้
ให้เราแสดงคำที่ต้องการของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เนื่องจากสูตรในการค้นหาที่เรารู้จัก - นี่เป็นสูตรเดียวกับที่เราได้รับตั้งแต่ต้น:
, แล้ว:
- ระยะก่อนหน้าของความก้าวหน้าคือ:
- ระยะต่อไปของความก้าวหน้าคือ:
เรามาสรุปข้อกำหนดก่อนหน้าและถัดไปของความก้าวหน้า:
ปรากฎว่าผลรวมของเงื่อนไขก่อนหน้าและเงื่อนไขถัดไปของความก้าวหน้าคือค่าสองเท่าของเงื่อนไขความก้าวหน้าที่อยู่ระหว่างพวกเขา กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากต้องการค้นหาค่าของเทอมความก้าวหน้าด้วยค่าก่อนหน้าและค่าต่อเนื่องที่ทราบ คุณจะต้องบวกค่าเหล่านั้นแล้วหารด้วย
ใช่แล้ว เราได้เลขเดียวกัน มารักษาความปลอดภัยของวัสดุกันเถอะ คำนวณมูลค่าสำหรับความก้าวหน้าด้วยตัวเอง ไม่ยากเลย
ทำได้ดี! คุณรู้เกือบทุกอย่างเกี่ยวกับความก้าวหน้า! ยังคงต้องหาสูตรเพียงสูตรเดียวเท่านั้น ซึ่งตามตำนานสามารถอนุมานได้ง่าย ๆ ด้วยตัวเองโดยหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดกาล "ราชาแห่งนักคณิตศาสตร์" - Carl Gauss...
เมื่อ Carl Gauss อายุ 9 ขวบ ครูคนหนึ่งซึ่งยุ่งอยู่กับการตรวจสอบงานของนักเรียนในชั้นเรียนอื่น ได้ถามคำถามในชั้นเรียนดังนี้: “คำนวณผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดตั้งแต่ ถึง (ตามแหล่งข้อมูลอื่นถึง) รวม” ลองนึกภาพความประหลาดใจของครูเมื่อนักเรียนคนหนึ่งของเขา (นี่คือคาร์ล เกาส์) นาทีต่อมาให้คำตอบที่ถูกต้องกับงาน ในขณะที่เพื่อนร่วมชั้นของผู้บ้าระห่ำส่วนใหญ่ได้รับผลลัพธ์ที่ผิดหลังจากคำนวณมาเป็นเวลานาน...
คาร์ล เกาส์ วัยหนุ่มสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่างที่คุณสามารถสังเกตได้ง่ายเช่นกัน
สมมติว่าเรามีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยเทอมที่ -: เราจำเป็นต้องค้นหาผลรวมของเงื่อนไขเหล่านี้ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ แน่นอนว่า เราสามารถรวมค่าทั้งหมดด้วยตนเอง แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้างานนั้นต้องการหาผลรวมของเงื่อนไขตามที่เกาส์กำลังมองหา?
ให้เราบรรยายถึงความก้าวหน้าที่มอบให้เรา ดูตัวเลขที่ไฮไลต์อย่างใกล้ชิดแล้วลองดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่างๆ กับตัวเลขเหล่านั้น
คุณลองแล้วหรือยัง? คุณสังเกตเห็นอะไร? ขวา! ผลรวมของพวกเขาเท่ากัน
ทีนี้บอกหน่อยเถอะว่าความก้าวหน้าที่มอบให้เรามีทั้งหมดกี่คู่? แน่นอนว่าครึ่งหนึ่งของตัวเลขทั้งหมดนั่นเอง
จากข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของสองเทอมของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เท่ากัน และคู่ที่คล้ายกันเท่ากัน เราจึงได้ผลลัพธ์ว่าผลรวมทั้งหมดเท่ากับ:
.
ดังนั้น สูตรสำหรับผลรวมของเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะเป็นดังนี้:
ในปัญหาบางอย่างเราไม่รู้คำศัพท์ที่ 3 แต่เรารู้ถึงความแตกต่างของความก้าวหน้า ลองแทนสูตรของเทอมที่ 3 ลงในสูตรผลรวม
คุณได้อะไร?
ทำได้ดี! ตอนนี้เรากลับมาที่ปัญหาที่ Carl Gauss ถาม: คำนวณด้วยตัวคุณเองว่าผลรวมของตัวเลขที่เริ่มต้นจาก th เท่ากับเท่าใด และผลรวมของตัวเลขที่เริ่มต้นจาก th
คุณได้รับเท่าไหร่?
เกาส์พบว่าผลรวมของพจน์เท่ากัน และผลรวมของพจน์นั้น นั่นคือสิ่งที่คุณตัดสินใจ?
ในความเป็นจริง สูตรสำหรับผลรวมของเทอมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้รับการพิสูจน์โดยนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ ไดโอแฟนตัส ย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 3 และตลอดเวลานี้ คนที่มีไหวพริบได้ใช้คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อย่างเต็มที่
ตัวอย่างเช่น ลองนึกภาพอียิปต์โบราณและโครงการก่อสร้างที่ใหญ่ที่สุดในยุคนั้น - การก่อสร้างปิรามิด... รูปภาพแสดงด้านใดด้านหนึ่ง
คุณพูดว่าความก้าวหน้าอยู่ที่ไหน? มองให้ดีและหารูปแบบจำนวนบล็อกทรายในแต่ละแถวของกำแพงพีระมิด
ทำไมไม่ก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์? คำนวณจำนวนบล็อกที่จำเป็นในการสร้างกำแพงด้านหนึ่งหากวางอิฐบล็อกไว้ที่ฐาน ฉันหวังว่าคุณจะไม่นับในขณะที่เลื่อนนิ้วไปบนหน้าจอ คุณจำสูตรสุดท้ายและทุกสิ่งที่เราพูดเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้ไหม
ในกรณีนี้ ความคืบหน้าจะเป็นดังนี้:
ความแตกต่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
จำนวนเงื่อนไขของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
เรามาแทนที่ข้อมูลของเราเป็นสูตรสุดท้าย (คำนวณจำนวนบล็อกได้ 2 วิธี)
วิธีที่ 1
วิธีที่ 2
และตอนนี้คุณสามารถคำนวณบนมอนิเตอร์ได้: เปรียบเทียบค่าที่ได้รับกับจำนวนบล็อกที่อยู่ในปิรามิดของเรา เข้าใจแล้ว? ทำได้ดีมาก คุณเชี่ยวชาญผลรวมของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว
แน่นอนว่าคุณไม่สามารถสร้างปิรามิดจากบล็อกที่ฐานได้ แต่จากอะไรล่ะ? ลองคำนวณว่าต้องใช้อิฐทรายจำนวนเท่าใดในการสร้างกำแพงด้วยเงื่อนไขนี้
คุณจัดการหรือไม่?
คำตอบที่ถูกต้องคือบล็อก:
การฝึกอบรม
งาน:
- Masha กำลังมีรูปร่างดีสำหรับฤดูร้อน เธอเพิ่มจำนวนท่าสควอชทุกวัน Masha จะทำ squats กี่ครั้งในหนึ่งสัปดาห์ถ้าเธอทำ squats ในการฝึกซ้อมครั้งแรก?
- ผลรวมของเลขคี่ทั้งหมดที่มีอยู่เป็นเท่าใด
- เมื่อจัดเก็บบันทึก ตัวบันทึกจะซ้อนกันในลักษณะที่แต่ละชั้นบนสุดมีบันทึกหนึ่งรายการน้อยกว่าบันทึกก่อนหน้า อิฐหนึ่งก้อนมีท่อนไม้อยู่กี่ท่อน ถ้ารากฐานของท่อนไม้เป็นท่อนไม้?
คำตอบ:
- ให้เรากำหนดพารามิเตอร์ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ในกรณีนี้
(สัปดาห์ = วัน)คำตอบ:ในสองสัปดาห์ Masha ควรทำ squats วันละครั้ง
- เลขคี่ตัวแรก เลขสุดท้าย
ความแตกต่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
อย่างไรก็ตาม จำนวนเลขคี่คือครึ่งหนึ่ง เราจะมาตรวจสอบข้อเท็จจริงนี้โดยใช้สูตรในการหาเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:ตัวเลขประกอบด้วยเลขคี่
ลองแทนที่ข้อมูลที่มีอยู่ลงในสูตร:คำตอบ:ผลรวมของเลขคี่ทั้งหมดที่อยู่ในนั้นมีค่าเท่ากัน
- เรามาจำปัญหาเกี่ยวกับปิรามิดกันดีกว่า สำหรับกรณีของเรา a เนื่องจากแต่ละเลเยอร์บนสุดจะลดลงหนึ่งบันทึก ดังนั้นโดยรวมแล้วจะมีหลายเลเยอร์ นั่นก็คือ
ลองแทนที่ข้อมูลลงในสูตร:คำตอบ:มีท่อนซุงอยู่ในการก่ออิฐ
มาสรุปกัน
- - ลำดับตัวเลขที่ความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่อยู่ติดกันเท่ากันและเท่ากัน มันอาจจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงก็ได้
- การหาสูตรเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เขียนโดยสูตร - โดยที่ คือจำนวนตัวเลขในความก้าวหน้า
- คุณสมบัติของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์- - โดยที่คือจำนวนตัวเลขที่กำลังดำเนินอยู่
- ผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้สองวิธี:
โดยที่คือจำนวนค่า
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ระดับกลาง
ลำดับหมายเลข
ลองนั่งลงและเริ่มเขียนตัวเลขกัน ตัวอย่างเช่น:
คุณสามารถเขียนตัวเลขใดๆ ก็ได้ และจะมีได้มากเท่าที่คุณต้องการ แต่เราสามารถพูดได้เสมอว่าอันไหนเป็นอันดับแรก อันไหนเป็นที่สอง และอื่น ๆ นั่นคือเราสามารถนับพวกมันได้ นี่คือตัวอย่างลำดับตัวเลข
ลำดับหมายเลขคือชุดตัวเลขซึ่งแต่ละชุดสามารถกำหนดหมายเลขเฉพาะได้
กล่าวอีกนัยหนึ่ง แต่ละหมายเลขสามารถเชื่อมโยงกับจำนวนธรรมชาติจำนวนหนึ่งและเป็นจำนวนเฉพาะได้ และเราจะไม่กำหนดหมายเลขนี้ให้กับหมายเลขอื่นจากชุดนี้
ตัวเลขที่มีตัวเลขเรียกว่าสมาชิกตัวที่ 2 ของลำดับ
โดยปกติเราเรียกลำดับทั้งหมดด้วยตัวอักษรบางตัว (เช่น) และสมาชิกแต่ละคนของลำดับนี้จะเป็นตัวอักษรเดียวกัน โดยมีดัชนีเท่ากับจำนวนสมาชิกนี้:
จะสะดวกมากหากบางสูตรสามารถระบุเทอมที่ 3 ของลำดับได้ ยกตัวอย่างสูตร
กำหนดลำดับ:
และสูตรก็มีลำดับดังนี้:
ตัวอย่างเช่น ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือลำดับ (เทอมแรกในที่นี้มีค่าเท่ากัน และผลต่างคือ) หรือ (, ส่วนต่าง)
สูตรเทอมที่ n
เราเรียกสูตรที่เกิดซ้ำซึ่งในการหาเทอมที่ 3 คุณจำเป็นต้องรู้คำก่อนหน้าหรือหลายคำก่อนหน้านี้:
หากต้องการค้นหาระยะที่ 3 ของความก้าวหน้าโดยใช้สูตรนี้ เราจะต้องคำนวณเก้าค่าก่อนหน้า เช่น ปล่อยให้มัน. แล้ว:
ตอนนี้ชัดเจนแล้วว่าสูตรคืออะไร?
ในแต่ละบรรทัดที่เราบวกเข้าไป คูณด้วยตัวเลขจำนวนหนึ่ง อันไหน? ง่ายมาก: นี่คือจำนวนสมาชิกปัจจุบันลบ:
ตอนนี้สะดวกขึ้นมากแล้วใช่ไหม? เราตรวจสอบ:
ตัดสินใจด้วยตัวเอง:
ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ให้ค้นหาสูตรสำหรับเทอมที่ n และค้นหาเทอมที่ร้อย
สารละลาย:
เทอมแรกมีค่าเท่ากัน ความแตกต่างคืออะไร? นี่คือสิ่งที่:
(เหตุนี้จึงเรียกว่าความแตกต่างเพราะเท่ากับผลต่างของระยะต่อเนื่องของการก้าวหน้า)
ดังนั้นสูตร:
จากนั้นเทอมที่ร้อยจะเท่ากับ:
ผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดตั้งแต่ ถึง คืออะไร?
ตามตำนาน คาร์ล เกาส์ นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ เมื่อตอนอายุ 9 ขวบ คำนวณจำนวนนี้ในเวลาไม่กี่นาที เขาสังเกตเห็นว่าผลรวมของเลขตัวแรกและตัวสุดท้ายเท่ากัน ผลรวมของเลขที่สองและเลขสุดท้ายเท่ากัน ผลรวมของเลขที่สามและเลข 3 จากท้ายสุดเท่ากัน เป็นต้น มีคู่ดังกล่าวทั้งหมดกี่คู่? ถูกต้อง ครึ่งหนึ่งของจำนวนทั้งหมดนั่นเอง ดังนั้น,
สูตรทั่วไปสำหรับผลรวมของเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะเป็น:
ตัวอย่าง:
ค้นหาผลรวมของตัวคูณสองหลักทั้งหมด
สารละลาย:
ตัวเลขแรกคือสิ่งนี้ แต่ละหมายเลขที่ตามมาจะได้มาจากการเพิ่มหมายเลขก่อนหน้า ดังนั้นตัวเลขที่เราสนใจจะสร้างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วยเทอมแรกและผลต่าง
สูตรของเทอมที่ 3 สำหรับความก้าวหน้านี้:
มีคำศัพท์กี่คำที่อยู่ในความก้าวหน้าหากทุกคำต้องเป็นเลขสองหลัก?
ง่ายมาก: .
ระยะสุดท้ายของความก้าวหน้าจะเท่ากัน จากนั้นผลรวม:
คำตอบ: .
ตอนนี้ตัดสินใจด้วยตัวเอง:
- ทุกวันนักกีฬาจะวิ่งมากกว่าวันก่อนหน้า เขาจะวิ่งรวมกี่กิโลเมตรในหนึ่งสัปดาห์ถ้าเขาวิ่ง km m ในวันแรก?
- นักปั่นจักรยานเดินทางหลายกิโลเมตรทุกวันมากกว่าวันก่อนหน้า วันแรกเดินทาง กม. เขาต้องเดินทางกี่วันจึงจะครบหนึ่งกิโลเมตร? วันสุดท้ายของการเดินทางเขาจะเดินทางกี่กิโลเมตร?
- ราคาตู้เย็นในร้านค้าลดลงเท่ากันทุกปี พิจารณาว่าราคาตู้เย็นลดลงเท่าใดในแต่ละปีหากขายเป็นรูเบิลหกปีต่อมาขายเป็นรูเบิล
คำตอบ:
- สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการจดจำความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และกำหนดพารามิเตอร์ ในกรณีนี้ (สัปดาห์ = วัน) คุณต้องพิจารณาผลรวมของเงื่อนไขแรกของความก้าวหน้านี้:
.
คำตอบ: - นี่คือสิ่งที่ได้รับ: , จะต้องพบ
แน่นอนว่าคุณต้องใช้สูตรผลรวมเดียวกันกับในปัญหาก่อนหน้านี้:
.
แทนค่า:เห็นได้ชัดว่ารูตไม่พอดี ดังนั้นคำตอบก็คือ
ลองคำนวณเส้นทางที่เดินทางในวันสุดท้ายโดยใช้สูตรของเทอมที่ 3:
(กม.)
คำตอบ: - ที่ให้ไว้: . หา: .
ไม่มีอะไรง่ายไปกว่านี้แล้ว:
(ถู).
คำตอบ:
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ
นี่คือลำดับตัวเลขซึ่งความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่อยู่ติดกันจะเท่ากันและเท่ากัน
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถเพิ่ม () และลด ()
ตัวอย่างเช่น:
สูตรการหาเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
เขียนตามสูตร โดยที่ คือ จำนวนตัวเลขที่กำลังดำเนินอยู่
คุณสมบัติของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ช่วยให้คุณสามารถค้นหาคำศัพท์ของความก้าวหน้าได้อย่างง่ายดายหากทราบคำศัพท์ใกล้เคียง - โดยที่จำนวนตัวเลขในความก้าวหน้าคือจำนวนใด
ผลรวมของเงื่อนไขความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
มีสองวิธีในการค้นหาจำนวนเงิน:
จำนวนค่าอยู่ที่ไหน
จำนวนค่าอยู่ที่ไหน
ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นเรื่องง่าย ทั้งความหมายและสูตร แต่มีงานทุกประเภทในหัวข้อนี้ ตั้งแต่พื้นฐานไปจนถึงค่อนข้างแข็ง
ก่อนอื่นมาทำความเข้าใจความหมายและสูตรของจำนวนกันก่อน แล้วเราจะตัดสินใจ. เพื่อความสุขของคุณเอง) ความหมายของจำนวนเงินนั้นง่ายพอ ๆ กับหมู่ หากต้องการหาผลบวกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คุณเพียงแค่ต้องบวกเงื่อนไขทั้งหมดอย่างระมัดระวัง หากคำเหล่านี้มีน้อย คุณสามารถเพิ่มได้โดยไม่ต้องมีสูตรใดๆ แต่ถ้ามีเยอะหรือมาก...บวกน่ารำคาญครับ) กรณีนี้สูตรมาช่วยครับ
สูตรสำหรับจำนวนเงินนั้นง่าย:
เรามาดูกันว่าสูตรมีตัวอักษรประเภทใดบ้าง สิ่งนี้จะทำให้สิ่งต่าง ๆ ชัดเจนขึ้นมาก
ส - ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ผลบวก ทุกคนสมาชิกด้วย อันดับแรกโดย ล่าสุด.นี่เป็นสิ่งสำคัญ พวกเขารวมกันอย่างแน่นอน ทั้งหมดสมาชิกติดต่อกันโดยไม่ข้ามหรือข้าม และแน่นอนว่าเริ่มจาก อันดับแรก.ในปัญหาเช่นการหาผลรวมของเทอมที่ 3 และ 8 หรือผลรวมของเทอมที่ 5 ถึง 20 การใช้สูตรโดยตรงจะทำให้ผิดหวัง)
1 - อันดับแรกสมาชิกของความก้าวหน้า ทุกอย่างชัดเจนที่นี่มันง่าย อันดับแรกหมายเลขแถว
หนึ่ง- ล่าสุดสมาชิกของความก้าวหน้า เบอร์สุดท้ายของซีรีย์. ชื่อไม่คุ้นเท่าไหร่แต่พอประยุกต์เข้ากับปริมาณก็เหมาะมาก แล้วคุณจะเห็นเอง
n - หมายเลขสมาชิกคนสุดท้าย สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าในสูตรตัวเลขนี้ ตรงกับจำนวนคำที่เพิ่มเข้ามา
เรามากำหนดแนวคิดกัน ล่าสุดสมาชิก หนึ่ง- คำถามหากิน: สมาชิกคนไหนจะเป็น อันสุดท้ายถ้าได้รับ ไม่มีที่สิ้นสุดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์?)
หากต้องการตอบอย่างมั่นใจ คุณต้องเข้าใจความหมายเบื้องต้นของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และ... อ่านภารกิจให้ละเอียด!)
ในงานค้นหาผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เทอมสุดท้ายจะปรากฏเสมอ (ทางตรงหรือทางอ้อม) ซึ่งควรจะจำกัดไว้มิฉะนั้นจะเป็นจำนวนเงินสุดท้ายที่เฉพาะเจาะจง ก็ไม่มีอยู่จริงสำหรับการแก้ปัญหานั้นไม่สำคัญว่าจะได้รับความก้าวหน้าหรือไม่: มีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุด ไม่สำคัญว่าจะให้อย่างไร: ชุดตัวเลขหรือสูตรสำหรับเทอมที่ n
สิ่งสำคัญที่สุดคือต้องเข้าใจว่าสูตรนี้ใช้ได้ตั้งแต่เทอมแรกของการก้าวหน้าไปจนถึงเทอมที่มีตัวเลข n.จริงๆ แล้ว ชื่อเต็มของสูตรจะเป็นดังนี้: ผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จำนวนสมาชิกกลุ่มแรกๆ เหล่านี้ ได้แก่ nถูกกำหนดโดยงานเท่านั้น ในงาน ข้อมูลอันมีค่าทั้งหมดนี้มักจะได้รับการเข้ารหัส ใช่แล้ว... แต่ไม่เป็นไร ในตัวอย่างด้านล่างเราจะเปิดเผยความลับเหล่านี้)
ตัวอย่างงานเกี่ยวกับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ก่อนอื่น ข้อมูลที่เป็นประโยชน์:
ปัญหาหลักในงานที่เกี่ยวข้องกับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อยู่ที่การกำหนดองค์ประกอบของสูตรที่ถูกต้อง
ผู้เขียนงานเข้ารหัสองค์ประกอบเหล่านี้ด้วยจินตนาการอันไร้ขอบเขต) สิ่งสำคัญที่นี่ไม่ต้องกลัว เมื่อเข้าใจถึงแก่นแท้ขององค์ประกอบต่างๆ ก็เพียงพอที่จะถอดรหัสองค์ประกอบเหล่านั้นได้ ลองดูตัวอย่างบางส่วนโดยละเอียด เริ่มจากงานตาม GIA จริงกันก่อน
1. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดตามเงื่อนไข: a n = 2n-3.5 ค้นหาผลรวมของ 10 เทอมแรก
งานดี. ง่ายๆ.) การจะกำหนดปริมาณโดยใช้สูตรต้องรู้อะไรบ้าง? สมาชิกคนแรก 1เทอมสุดท้าย หนึ่งใช่หมายเลขสมาชิกคนสุดท้าย n.
จะรับเบอร์สมาชิกคนสุดท้ายได้ที่ไหน? n- ใช่แล้ว ตามเงื่อนไข! มันบอกว่า: ค้นหาผลรวม สมาชิก 10 คนแรกแล้วมันจะเป็นเลขอะไรล่ะ? ล่าสุด,สมาชิกคนที่สิบ?) ไม่เชื่อหรอก หมายเลขของเขาคือคนที่สิบ!) ดังนั้นแทนที่จะเป็น หนึ่งเราจะแทนลงในสูตร 10และแทน n- สิบ ขอย้ำว่าจำนวนสมาชิกคนสุดท้ายตรงกับจำนวนสมาชิก
มันยังคงอยู่ที่จะกำหนด 1และ 10- คำนวณได้ง่ายโดยใช้สูตรสำหรับเทอมที่ n ซึ่งระบุไว้ในข้อความแสดงปัญหา ไม่ทราบว่าต้องทำอย่างไร? เข้าร่วมบทเรียนก่อนหน้านี้ หากไม่มีสิ่งนี้จะไม่มีทางเกิดขึ้น
1= 2 1 - 3.5 = -1.5
10=2·10 - 3.5 =16.5
ส = ส 10.
เราได้ค้นพบความหมายขององค์ประกอบทั้งหมดของสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือการทดแทนและนับ:
แค่นั้นแหละ. คำตอบ: 75.
งานอื่นตาม GIA ซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย:
2. เมื่อพิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ผลต่างคือ 3.7 ก 1 = 2.3 ค้นหาผลรวมของ 15 เทอมแรก
เราเขียนสูตรผลรวมทันที:
สูตรนี้ช่วยให้เราสามารถหาค่าของพจน์ใดๆ ตามจำนวนของมันได้ เรามองหาสิ่งทดแทนง่ายๆ:
15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1
สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่องค์ประกอบทั้งหมดลงในสูตรเพื่อผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และคำนวณคำตอบ:
คำตอบ: 423.
โดยวิธีการถ้าอยู่ในสูตรผลรวมแทน หนึ่งเราเพียงแทนที่สูตรสำหรับเทอมที่ n แล้วได้:
ให้เรานำเสนอสิ่งที่คล้ายกันและรับสูตรใหม่สำหรับผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:
อย่างที่คุณเห็น เทอมที่ n ไม่จำเป็นที่นี่ หนึ่ง- ในบางปัญหา สูตรนี้ช่วยได้มาก ใช่... จำสูตรนี้ได้ หรือคุณสามารถแสดงในเวลาที่เหมาะสมเช่นที่นี่ ท้ายที่สุด คุณต้องจำสูตรสำหรับผลรวมและสูตรสำหรับเทอมที่ n ไว้เสมอ)
ตอนนี้งานอยู่ในรูปแบบของการเข้ารหัสแบบสั้น):
3. ค้นหาผลรวมของจำนวนบวกสองหลักที่เป็นทวีคูณของสาม
ว้าว! ทั้งสมาชิกคนแรกของคุณ หรือคนสุดท้ายของคุณ หรือความก้าวหน้าเลย... จะมีชีวิตอยู่ได้อย่างไร!?
คุณจะต้องคิดด้วยหัวและดึงองค์ประกอบทั้งหมดของผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ออกจากเงื่อนไข เรารู้ว่าตัวเลขสองหลักคืออะไร ประกอบด้วยตัวเลขสองตัว) จะเป็นตัวเลขสองหลักอะไร อันดับแรก- 10 น่าจะเป็น) A ล่าสุดเลขสองหลัก? 99 แน่นอน! ตัวสามหลักจะตามเขาไป...
ผลคูณของสาม... อืม... นี่คือตัวเลขที่หารด้วยสามลงตัว! สิบหารด้วยสามไม่ลงตัว 11 หารไม่ลงตัว... 12... หารลงตัว! จึงมีบางอย่างเกิดขึ้น คุณสามารถเขียนซีรีส์ตามเงื่อนไขของปัญหาได้แล้ว:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
ซีรีส์นี้จะเป็นซีรีส์ก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หรือไม่? แน่นอน! แต่ละคำจะแตกต่างจากคำก่อนหน้าด้วยสามอย่างเคร่งครัด หากคุณบวก 2 หรือ 4 เข้ากับคำใดคำหนึ่ง ให้พูดว่าผลลัพธ์คือ จำนวนใหม่นี้ไม่สามารถหารด้วย 3 ลงตัวอีกต่อไป คุณสามารถกำหนดผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้ทันที: ง = 3.มันจะมีประโยชน์!)
ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนพารามิเตอร์ความก้าวหน้าบางอย่างได้อย่างปลอดภัย:
จะเป็นเลขอะไรคะ? nสมาชิกคนสุดท้าย? ใครที่คิดว่า 99 ผิดมหันต์... ตัวเลขมันติดกันตลอดแต่สมาชิกเรากระโดดข้ามสามไปเลย พวกเขาไม่ตรงกัน
มีสองวิธีที่นี่ วิธีหนึ่งคือสำหรับผู้ที่ทำงานหนักมาก คุณสามารถจดความก้าวหน้า ชุดตัวเลขทั้งหมด และนับจำนวนสมาชิกด้วยนิ้วของคุณ) วิธีที่สอง สำหรับผู้รอบคอบ คุณต้องจำสูตรของเทอมที่ n ให้ได้ หากเราใช้สูตรกับโจทย์ เราจะพบว่า 99 เป็นเทอมที่ 30 ของความก้าวหน้า เหล่านั้น. n = 30.
ลองดูสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:
เรามองและชื่นชมยินดี) เราดึงทุกสิ่งที่จำเป็นในการคำนวณจำนวนเงินออกจากคำชี้แจงปัญหา:
1= 12.
30= 99.
ส = ส30.
สิ่งที่เหลืออยู่คือเลขคณิตเบื้องต้น เราแทนที่ตัวเลขลงในสูตรแล้วคำนวณ:
คำตอบ: 1665
ปริศนายอดนิยมประเภทอื่น:
4. มีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
จงหาผลรวมของพจน์ตั้งแต่ยี่สิบถึงสามสิบสี่
เราดูสูตรหาจำนวนเงินแล้ว...เราหงุดหงิด) สูตรขอเตือนไว้ก่อนว่าคำนวณจำนวนเงิน ตั้งแต่ครั้งแรกสมาชิก. และในโจทย์คุณต้องคำนวณผลรวม ตั้งแต่วันที่ยี่สิบ...สูตรจะไม่ทำงาน
แน่นอนคุณสามารถเขียนความคืบหน้าทั้งหมดในซีรีส์ และเพิ่มคำศัพท์จาก 20 ถึง 34 ได้ แต่... มันโง่และใช้เวลานานใช่ไหม?)
มีวิธีแก้ปัญหาที่หรูหรากว่านี้ มาแบ่งซีรี่ส์ของเราออกเป็นสองส่วน ส่วนแรกจะเป็น ตั้งแต่ภาคการศึกษาที่หนึ่งจนถึงภาคการศึกษาที่สิบเก้าส่วนที่สอง - จากยี่สิบถึงสามสิบสี่จะชัดเจนว่าถ้าเราคำนวณผลรวมของเงื่อนไขของส่วนแรก ส 1-19ลองบวกมันด้วยผลรวมของเงื่อนไขของส่วนที่สอง ส20-34เราจะได้ผลรวมของความก้าวหน้าจากเทอมแรกถึงเทอมที่ 34 ส 1-34- แบบนี้:
ส 1-19 + ส20-34 = ส 1-34
จากนี้เราจะเห็นว่าหาผลรวมได้ ส20-34สามารถทำได้โดยการลบแบบง่ายๆ
ส20-34 = ส 1-34 - ส 1-19
พิจารณาจำนวนเงินทั้งสองทางด้านขวา ตั้งแต่ครั้งแรกสมาชิกเช่น สูตรผลรวมมาตรฐานค่อนข้างใช้ได้กับพวกเขา มาเริ่มกันเลย?
เราแยกพารามิเตอร์ความก้าวหน้าออกจากคำชี้แจงปัญหา:
ง = 1.5
1= -21,5.
ในการคำนวณผลรวมของเทอม 19 และ 34 แรก เราจำเป็นต้องมีเทอมที่ 19 และ 34 เราคำนวณโดยใช้สูตรสำหรับเทอมที่ n เช่นเดียวกับในปัญหาที่ 2:
19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5
34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28
ไม่เหลืออะไรเลย จากผลรวมของ 34 เทอมลบผลรวมของ 19 เทอม:
ส 20-34 = ส 1-34 - ส 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5
คำตอบ: 262.5
หมายเหตุสำคัญประการหนึ่ง! มีเคล็ดลับที่มีประโยชน์มากในการแก้ปัญหานี้ แทนการคำนวณโดยตรง สิ่งที่คุณต้องการ (S 20-34)เรานับ สิ่งที่ดูเหมือนไม่จำเป็น - ส 1-19แล้วพวกเขาก็ตัดสินใจ ส20-34ละทิ้งสิ่งที่ไม่จำเป็นออกไปจากผลลัพธ์ที่สมบูรณ์ การ “หลอกหู” แบบนี้มักจะช่วยคุณให้พ้นจากปัญหาอันชั่วร้าย)
ในบทเรียนนี้ เราพิจารณาปัญหาซึ่งเพียงพอที่จะเข้าใจความหมายของผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คุณต้องรู้สูตรสองสามสูตร)
คำแนะนำการปฏิบัติ:
เมื่อแก้ไขปัญหาใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ฉันแนะนำให้เขียนสูตรหลักสองสูตรจากหัวข้อนี้ทันที
สูตรสำหรับเทอมที่ n:
สูตรเหล่านี้จะบอกคุณทันทีว่าต้องค้นหาอะไรและคิดไปในทิศทางใดเพื่อแก้ไขปัญหา ช่วยได้.
และตอนนี้งานสำหรับโซลูชันอิสระ
5. ค้นหาผลรวมของตัวเลขสองหลักทั้งหมดที่หารด้วยสามไม่ลงตัว
เจ๋งไหม) คำใบ้ซ่อนอยู่ในบันทึกของปัญหา 4 ปัญหาที่ 3 จะช่วยได้
6. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดตามเงื่อนไข: a 1 = -5.5; n+1 = n +0.5 ค้นหาผลรวมของ 24 เทอมแรก
ผิดปกติ?) นี่เป็นสูตรที่เกิดซ้ำ คุณสามารถอ่านเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ในบทเรียนก่อนหน้า อย่าละเลยลิงค์ ปัญหาดังกล่าวมักพบใน State Academy of Sciences
7. วาสยาเก็บเงินไว้สำหรับวันหยุด มากถึง 4,550 รูเบิล! และฉันตัดสินใจมอบความสุขให้กับคนโปรด (ตัวฉันเอง) เป็นเวลาสองสามวัน) ใช้ชีวิตอย่างสวยงามโดยไม่ต้องปฏิเสธตัวเองอะไรเลย ใช้จ่าย 500 รูเบิลในวันแรกและในแต่ละวันถัดไปใช้จ่ายมากกว่าครั้งก่อน 50 รูเบิล! จนกว่าเงินจะหมด วาสยามีความสุขกี่วัน?
ยากไหม) สูตรเพิ่มเติมจากปัญหา 2 จะช่วยได้
คำตอบ (ไม่เป็นระเบียบ): 7, 3240, 6.
หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...
ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)
คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)
คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้
คำแนะนำ
การก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือลำดับของรูปแบบ a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d ขั้นตอนที่ d ความก้าวหน้าเห็นได้ชัดว่าคำทั่วไปของระยะที่ n ตามอำเภอใจของเลขคณิต ความก้าวหน้ามีรูปแบบ: An = A1+(n-1)d แล้วได้รู้จักสมาชิกคนหนึ่ง ความก้าวหน้า, สมาชิก ความก้าวหน้าและขั้นตอน ความก้าวหน้าคุณสามารถนั่นคือจำนวนสมาชิกที่มีความก้าวหน้า แน่นอนว่าจะถูกกำหนดโดยสูตร n = (An-A1+d)/d
ตอนนี้เทอมที่ m เป็นที่รู้จักแล้ว ความก้าวหน้าและสมาชิกอีกคน ความก้าวหน้า- n แต่ n เหมือนในกรณีก่อนหน้า แต่เป็นที่รู้กันว่า n และ m ไม่ตรงกัน ความก้าวหน้าสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร: d = (An-Am)/(n-m) จากนั้น n = (อัน-แอม+เอ็มดี)/d
หากทราบผลรวมขององค์ประกอบหลายรายการในสมการทางคณิตศาสตร์ ความก้าวหน้าเช่นเดียวกับตัวแรกและตัวสุดท้ายก็สามารถกำหนดจำนวนองค์ประกอบเหล่านี้ได้เช่นกัน ความก้าวหน้าจะเท่ากับ: S = ((A1+An)/2)n จากนั้น n = 2S/(A1+An) - ชเดนอฟ ความก้าวหน้า- จากข้อเท็จจริงที่ว่า An = A1+(n-1)d สูตรนี้สามารถเขียนใหม่เป็น: n = 2S/(2A1+(n-1)d) จากนี้เราสามารถแสดง n ได้โดยการแก้สมการกำลังสอง
ลำดับเลขคณิตคือชุดตัวเลขที่เรียงลำดับกัน ซึ่งสมาชิกแต่ละตัวจะแตกต่างจากลำดับก่อนหน้าด้วยจำนวนที่เท่ากัน ยกเว้นลำดับแรก ค่าคงที่นี้เรียกว่าผลต่างของความก้าวหน้าหรือขั้นตอน และสามารถคำนวณได้จากเงื่อนไขที่ทราบของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
คำแนะนำ
หากทราบค่าของเงื่อนไขที่หนึ่งและที่สองหรือคู่อื่น ๆ ที่อยู่ติดกันจากเงื่อนไขของปัญหา ให้คำนวณความแตกต่าง (d) เพียงลบค่าก่อนหน้าออกจากเทอมถัดไป ค่าผลลัพธ์อาจเป็นตัวเลขบวกหรือลบ ขึ้นอยู่กับว่าความก้าวหน้าเพิ่มขึ้นหรือไม่ ในรูปแบบทั่วไป ให้เขียนคำตอบสำหรับคู่ใดๆ (aᵢ และ aᵢ₊₁) ของพจน์ใกล้เคียงของการก้าวหน้าดังนี้: d = aᵢ₊₁ - aᵢ
สำหรับเงื่อนไขคู่หนึ่งของความก้าวหน้าดังกล่าว หนึ่งในนั้นคือเงื่อนไขแรก (a₁) และอีกเงื่อนไขหนึ่งเป็นเงื่อนไขอื่นที่เลือกโดยพลการ คุณสามารถสร้างสูตรสำหรับค้นหาความแตกต่าง (d) ได้ อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ ต้องทราบหมายเลขซีเรียล (i) ของสมาชิกที่เลือกโดยพลการของลำดับ ในการคำนวณความแตกต่าง ให้บวกทั้งสองตัวเลขแล้วหารผลลัพธ์ที่ได้ด้วยเลขลำดับของคำใดๆ ที่ลดลงหนึ่งคำ โดยทั่วไป ให้เขียนสูตรดังนี้: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1)
นอกจากสมาชิกตามอำเภอใจของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีเลขลำดับ i แล้ว ยังรู้จักสมาชิกอีกคนที่มีเลขลำดับ u ให้เปลี่ยนสูตรจากขั้นตอนก่อนหน้าตามลำดับ ในกรณีนี้ ผลต่าง (d) ของการก้าวหน้าจะเป็นผลรวมของสองพจน์นี้หารด้วยผลต่างของเลขลำดับ: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v)
สูตรในการคำนวณความแตกต่าง (d) จะค่อนข้างซับซ้อนมากขึ้นหากเงื่อนไขของปัญหาให้ค่าของเทอมแรก (a₁) และผลรวม (Sᵢ) ของตัวเลขที่กำหนด (i) ของเทอมแรกของลำดับเลขคณิต เพื่อให้ได้ค่าที่ต้องการ ให้หารผลรวมด้วยจำนวนพจน์ที่ประกอบกัน ลบค่าของตัวเลขตัวแรกในลำดับ และเพิ่มผลลัพธ์เป็นสองเท่า หารค่าผลลัพธ์ด้วยจำนวนพจน์ที่ประกอบเป็นผลรวมที่ลดลงหนึ่งคำ โดยทั่วไป ให้เขียนสูตรในการคำนวณค่าจำแนกดังนี้: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1)