เส้นที่ผ่านจุด K(x 0 ; y 0) และขนานกับเส้น y = kx + a พบได้จากสูตร:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

โดยที่ k คือความชันของเส้นตรง

สูตรทางเลือก:
เส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 (x 1 ; y 1) และขนานกับเส้น Ax+By+C=0 แทนด้วยสมการ

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด K( ;) ขนานกับเส้นตรง y = x+ .

ตัวอย่างหมายเลข 1 เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด M 0 (-2,1) และในเวลาเดียวกัน:
a) ขนานกับเส้นตรง 2x+3y -7 = 0;
b) ตั้งฉากกับเส้นตรง 2x+3y -7 = 0
สารละลาย - ลองแสดงสมการด้วยความชันในรูปแบบ y = kx + a หากต้องการทำสิ่งนี้ ให้โอนค่าทั้งหมดยกเว้น y ไปที่ ด้านขวา: 3y = -2x + 7 . จากนั้นหารทางด้านขวามือด้วย 3 เราได้: y = -2/3x + 7/3
ลองหาสมการ NK ที่ผ่านจุด K(-2;1) ขนานกับเส้นตรง y = -2 / 3 x + 7 / 3
การแทนที่ x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 เราได้:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
หรือ
y = -2 / 3 x - 1 / 3 หรือ 3y + 2x +1 = 0

ตัวอย่างหมายเลข 2 เขียนสมการของเส้นขนานกับเส้น 2x + 5y = 0 แล้วสร้างรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เป็น 5 พร้อมกับแกนพิกัด
สารละลาย - เนื่องจากเส้นขนานกัน สมการของเส้นตรงที่ต้องการคือ 2x + 5y + C = 0 พื้นที่ สามเหลี่ยมมุมฉากโดยที่ a และ b คือขาของมัน มาหาจุดตัดของเส้นที่ต้องการด้วยแกนพิกัด:
;
.
ดังนั้น A(-C/2,0), B(0,-C/5) ลองแทนที่มันลงในสูตรสำหรับพื้นที่: - เราได้คำตอบสองวิธี: 2x + 5y + 10 = 0 และ 2x + 5y – 10 = 0

ตัวอย่างหมายเลข 3 เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (-2; 5) และขนานกับเส้นตรง 5x-7y-4=0
สารละลาย. เส้นตรงนี้สามารถแสดงได้ด้วยสมการ y = 5 / 7 x – 4 / 7 (ในที่นี้ a = 5 / 7) สมการของเส้นที่ต้องการคือ y – 5 = 5/7 (x – (-2)) เช่น 7(y-5)=5(x+2) หรือ 5x-7y+45=0 .

ตัวอย่างหมายเลข 4 หลังจากแก้ตัวอย่างที่ 3 (A=5, B=-7) โดยใช้สูตร (2) แล้ว เราจะพบว่า 5(x+2)-7(y-5)=0

ตัวอย่างหมายเลข 5 เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (-2;5) และขนานกับเส้นตรง 7x+10=0
สารละลาย. ที่นี่ A=7, B=0 สูตร (2) ให้ 7(x+2)=0 เช่น x+2=0 ไม่สามารถใช้สูตร (1) ได้ เนื่องจากสมการนี้ไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยความเคารพต่อ y (เส้นตรงนี้ขนานกับแกนพิกัด)

สมการของเส้นตรงบนระนาบ
เวกเตอร์ทิศทางเป็นเส้นตรง เวกเตอร์ปกติ

เส้นตรงบนเครื่องบินเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่ง รูปทรงเรขาคณิตคุ้นเคยกับคุณมาตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาและวันนี้เราจะได้เรียนรู้วิธีจัดการกับมันโดยใช้วิธีเรขาคณิตวิเคราะห์ หากต้องการเชี่ยวชาญวัสดุ คุณจะต้องสามารถสร้างเส้นตรงได้ รู้ว่าสมการใดกำหนดเส้นตรง โดยเฉพาะเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดของพิกัด และเส้นตรงที่ขนานกับแกนพิกัด ข้อมูลนี้สามารถพบได้ในคู่มือ กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้นฉันสร้างมันขึ้นมาเพื่อ Matan แต่ส่วนเกี่ยวกับ ฟังก์ชันเชิงเส้นมันประสบความสำเร็จและมีรายละเอียดมาก ดังนั้นกาน้ำชาที่รัก อุ่นเครื่องที่นั่นก่อน นอกจากนี้คุณต้องมีความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับ เวกเตอร์มิฉะนั้นความเข้าใจในเนื้อหาจะไม่สมบูรณ์

บน บทเรียนนี้เราจะมาดูวิธีที่คุณสามารถสร้างสมการเส้นตรงบนระนาบได้ ฉันไม่แนะนำให้ละเลยตัวอย่างเชิงปฏิบัติ (แม้ว่าจะดูเหมือนง่ายมากก็ตาม) เนื่องจากฉันจะให้ข้อเท็จจริงเบื้องต้นและที่สำคัญแก่พวกเขา เทคนิคทางเทคนิคที่จำเป็นในอนาคต รวมถึงในส่วนอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์ชั้นสูงด้วย

• จะเขียนสมการเส้นตรงด้วยสัมประสิทธิ์มุมได้อย่างไร?
• ยังไง ?
• จะหาเวกเตอร์ทิศทางโดยใช้สมการทั่วไปของเส้นตรงได้อย่างไร?
• จะเขียนสมการเส้นตรงจากจุดและเวกเตอร์ปกติได้อย่างไร?

และเราเริ่มต้น:

สมการของเส้นตรงกับความชัน

รูปแบบ "โรงเรียน" ที่รู้จักกันดีของสมการเส้นตรงเรียกว่า สมการของเส้นตรงกับความชัน- ตัวอย่างเช่น หากสมการกำหนดเส้นตรง ความชันของมันจะเป็น: ลองพิจารณาความหมายทางเรขาคณิตของสัมประสิทธิ์นี้และค่าของมันส่งผลต่อตำแหน่งของเส้นอย่างไร:

ในหลักสูตรเรขาคณิตได้รับการพิสูจน์แล้ว ความชันของเส้นตรงเท่ากับ แทนเจนต์ของมุมระหว่างทิศทางของแกนบวกและบรรทัดนี้: และมุมจะ “คลายเกลียว” ทวนเข็มนาฬิกา

เพื่อไม่ให้ภาพวาดเกะกะ ฉันจึงวาดมุมเพียงสองเส้นตรงเท่านั้น ลองพิจารณาเส้น "สีแดง" และความชันของมัน ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น: (มุม "อัลฟา" จะแสดงด้วยส่วนโค้งสีเขียว) สำหรับเส้นตรง "สีน้ำเงิน" ที่มีค่าสัมประสิทธิ์มุม ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง (มุม "เบต้า" จะแสดงด้วยส่วนโค้งสีน้ำตาล) และถ้ารู้แทนเจนต์ของมุม ก็หาได้ง่ายหากจำเป็น และมุมนั้นเองโดยใช้ ฟังก์ชันผกผัน– อาร์กแทนเจนต์ อย่างที่พวกเขาพูดกันว่ามีตารางตรีโกณมิติหรือเครื่องคิดเลขขนาดเล็กอยู่ในมือคุณ ดังนั้น, ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมแสดงถึงระดับความเอียงของเส้นตรงกับแกนแอบซิสซา.

เป็นไปได้ในกรณีต่อไปนี้:

1) ถ้าความชันเป็นลบ: แล้วเส้นพูดคร่าวๆ จะเคลื่อนจากบนลงล่าง ตัวอย่างคือเส้นตรง "สีน้ำเงิน" และ "ราสเบอร์รี่" ในภาพวาด

2) หากความชันเป็นบวก เส้นจะลากจากล่างขึ้นบน ตัวอย่าง - เส้นตรง "สีดำ" และ "สีแดง" ในภาพวาด

3) หากความชันเป็นศูนย์: สมการก็จะอยู่ในรูปแบบ และเส้นตรงที่สอดคล้องกันจะขนานกับแกน ตัวอย่างคือเส้นตรง “สีเหลือง”

4) สำหรับตระกูลเส้นที่ขนานกับแกน (ไม่มีตัวอย่างในภาพวาด ยกเว้นแกนเอง) ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม ไม่มีอยู่จริง (ไม่ได้กำหนดแทนเจนต์ของ 90 องศา).

ยิ่งค่าสัมประสิทธิ์ความชันในค่าสัมบูรณ์มากขึ้น กราฟเส้นตรงจะชันมากขึ้นเท่านั้น.

ตัวอย่างเช่น พิจารณาเส้นตรงสองเส้น ตรงนี้เส้นตรงจึงมีความลาดชันมากกว่า ฉันขอเตือนคุณว่าโมดูลอนุญาตให้คุณเพิกเฉยต่อเครื่องหมาย เราสนใจเท่านั้น ค่าสัมบูรณ์ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม

ในทางกลับกัน เส้นตรงจะชันกว่าเส้นตรง .

ในทางกลับกัน ยิ่งค่าสัมประสิทธิ์ความชันในค่าสัมบูรณ์มีค่าน้อย เส้นตรงก็จะยิ่งแบนลง.

สำหรับเส้นตรง ความไม่เท่าเทียมเป็นจริง เส้นตรงจึงราบเรียบกว่า สไลด์สำหรับเด็กเพื่อไม่ให้เกิดรอยฟกช้ำและการกระแทก

เหตุใดจึงจำเป็น?

ยืดเวลาความทรมานของคุณ ความรู้เกี่ยวกับข้อเท็จจริงข้างต้นช่วยให้คุณเห็นข้อผิดพลาดของคุณได้ทันทีโดยเฉพาะข้อผิดพลาดเมื่อสร้างกราฟ - หากภาพวาดกลายเป็น "มีบางอย่างผิดปกติอย่างชัดเจน" ขอแนะนำให้คุณ ทันทีเห็นได้ชัดว่าเส้นตรงมีความชันมากและลากจากล่างขึ้นบน และเส้นตรงนั้นแบนมาก กดใกล้กับแกนและลากจากบนลงล่าง

ในปัญหาทางเรขาคณิต มักมีเส้นตรงหลายเส้นปรากฏขึ้น ดังนั้นจึงสะดวกในการกำหนดด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง

การกำหนด: เส้นตรงถูกกำหนดให้มีขนาดเล็ก ในตัวอักษรละติน- ตัวเลือกยอดนิยมคือการกำหนดโดยใช้ตัวอักษรเดียวกันกับตัวห้อยที่เป็นธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น เส้นห้าเส้นที่เราเพิ่งดูสามารถเขียนแทนด้วยได้ .

เนื่องจากเส้นตรงใดๆ ถูกกำหนดโดยจุดสองจุดโดยไม่ซ้ำกัน จึงสามารถเขียนแทนด้วยจุดเหล่านี้ได้: ฯลฯ การกำหนดบอกเป็นนัยอย่างชัดเจนว่าจุดนั้นอยู่ในเส้น

ได้เวลาอุ่นเครื่องแล้ว:

จะเขียนสมการเส้นตรงด้วยสัมประสิทธิ์มุมได้อย่างไร?

หากทราบจุดที่เป็นของเส้นบางเส้นและค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นนี้ สมการของเส้นนี้จะแสดงด้วยสูตร:

ตัวอย่างที่ 1

เขียนสมการของเส้นที่มีความชันหากรู้ว่าจุดนั้นอยู่ในเส้นที่กำหนด

สารละลาย: เรามาเขียนสมการเส้นตรงโดยใช้สูตรกันดีกว่า - ใน ในกรณีนี้:

คำตอบ:

การตรวจสอบทำได้ง่ายๆ ขั้นแรก เราจะดูสมการผลลัพธ์และตรวจสอบให้แน่ใจว่าความชันของเราอยู่ในตำแหน่งเดิม ประการที่สอง พิกัดของจุดต้องเป็นไปตามสมการนี้ ลองเสียบมันเข้ากับสมการ:

ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องซึ่งหมายความว่าจุดนั้นเป็นไปตามสมการผลลัพธ์

บทสรุป: พบสมการถูกต้อง

ตัวอย่างที่ยุ่งยากมากขึ้นสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ:

ตัวอย่างที่ 2

เขียนสมการสำหรับเส้นตรงหากรู้ว่ามุมเอียงของมันกับทิศทางบวกของแกนคือ และจุดนั้นเป็นของเส้นตรงนี้

หากคุณมีปัญหาใดๆ โปรดอ่านเนื้อหาทางทฤษฎีอีกครั้ง แม่นยำยิ่งขึ้นและใช้งานได้จริงมากขึ้น ฉันข้ามหลักฐานไปมากมาย

มันดังขึ้น โทรครั้งสุดท้ายงานรับปริญญาได้จบลงแล้ว และนอกประตูโรงเรียนของเรา เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ก็รอเราอยู่ เรื่องตลกจบลงแล้ว... หรือบางทีพวกเขาอาจจะเพิ่งเริ่มต้น =)

เราโบกปากกาของเราไปยังสิ่งที่คุ้นเคยและทำความคุ้นเคยกับสมการทั่วไปของเส้นตรง เพราะในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ นี่คือสิ่งที่ใช้จริงๆ:

สมการทั่วไปของเส้นตรงมีรูปแบบ: , มีตัวเลขอยู่ตรงไหน. ในขณะเดียวกันก็มีค่าสัมประสิทธิ์ พร้อมกันไม่เท่ากับศูนย์ เนื่องจากสมการสูญเสียความหมายไป

มาใส่สูทผูกสมการกับค่าสัมประสิทธิ์ความชันกันดีกว่า ก่อนอื่น เรามาย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปที่ ด้านซ้าย:

ต้องใส่คำว่า "X" ไว้เป็นอันดับแรก:

โดยหลักการแล้ว สมการนั้นมีรูปแบบอยู่แล้ว แต่ตามกฎของมารยาททางคณิตศาสตร์ ค่าสัมประสิทธิ์ของเทอมแรก (ในกรณีนี้) จะต้องเป็นบวก การเปลี่ยนสัญญาณ:

จำสิ่งนี้ไว้ คุณสมบัติทางเทคนิค! เราสร้างค่าสัมประสิทธิ์แรก (บ่อยที่สุด) เป็นบวก!

ในเรขาคณิตวิเคราะห์ สมการของเส้นตรงมักจะถูกกำหนดไว้ในรูปแบบทั่วไปเสมอ ถ้าจำเป็นก็สามารถลดเป็นรูปแบบ "โรงเรียน" ได้อย่างง่ายดายโดยมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม (ยกเว้นเส้นตรงที่ขนานกับแกนกำหนด)

ลองถามตัวเองดูว่าอะไร เพียงพอรู้จักสร้างเส้นตรงไหม? สองจุด แต่เกี่ยวกับเหตุการณ์ในวัยเด็กนี้มากขึ้น ตอนนี้ยังคงยึดติดกับกฎลูกศร เส้นตรงแต่ละเส้นมีความชันที่เฉพาะเจาะจงมาก ซึ่งง่ายต่อการ "ปรับตัว" เวกเตอร์.

เวกเตอร์ที่ขนานกับเส้นตรงเรียกว่าเวกเตอร์ทิศทางของเส้นนั้น- เห็นได้ชัดว่าเส้นตรงใดๆ มีเวกเตอร์ทิศทางมากมายอย่างไม่สิ้นสุด และทั้งหมดนั้นจะอยู่ในแนวเดียวกัน (มีทิศทางร่วมหรือไม่ - มันไม่สำคัญ)

ฉันจะแสดงเวกเตอร์ทิศทางดังนี้:

แต่เวกเตอร์ตัวเดียวไม่เพียงพอที่จะสร้างเส้นตรง เวกเตอร์นั้นเป็นอิสระและไม่เชื่อมโยงกับจุดใด ๆ บนระนาบ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องรู้จุดที่เป็นของเส้นเพิ่มเติมด้วย

จะเขียนสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทางได้อย่างไร?

หากทราบจุดใดจุดหนึ่งของเส้นและเวกเตอร์ทิศทางของเส้นนี้ สมการของเส้นนี้สามารถคอมไพล์ได้โดยใช้สูตร:

บางครั้งก็เรียกว่า สมการมาตรฐานของเส้นตรง .

จะทำอย่างไรเมื่อ พิกัดใดพิกัดหนึ่งเท่ากับศูนย์ เราจะเข้าใจในตัวอย่างการใช้งานด้านล่าง อย่างไรก็ตามโปรดทราบ - ทั้งสองอย่างพร้อมกันพิกัดไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ เนื่องจากเวกเตอร์ศูนย์ไม่ได้ระบุทิศทางเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 3

เขียนสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทาง

สารละลาย: เรามาเขียนสมการเส้นตรงโดยใช้สูตรกันดีกว่า ในกรณีนี้:

การใช้คุณสมบัติของสัดส่วนทำให้เรากำจัดเศษส่วนได้:

และเรานำสมการมาสู่ ลักษณะทั่วไป:

คำตอบ:

ตามกฎแล้วไม่จำเป็นต้องวาดรูปในตัวอย่างนี้ แต่เพื่อความเข้าใจ:

ในภาพวาด เราเห็นจุดเริ่มต้น เวกเตอร์ทิศทางดั้งเดิม (สามารถพล็อตได้จากจุดใดก็ได้บนระนาบ) และเส้นตรงที่สร้างขึ้น อย่างไรก็ตาม ในหลายกรณี การสร้างเส้นตรงจะสะดวกที่สุดโดยใช้สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม การแปลงสมการของเราให้อยู่ในรูปแบบเป็นเรื่องง่าย และเลือกจุดอื่นเพื่อสร้างเส้นตรงได้อย่างง่ายดาย

ดังที่กล่าวไว้ในตอนต้นของย่อหน้า เส้นตรงมีจำนวนเวกเตอร์ทิศทางเป็นอนันต์ และทั้งหมดเป็นเส้นตรง ตัวอย่างเช่น ฉันวาดเวกเตอร์ดังกล่าวสามตัว: - ไม่ว่าเราจะเลือกเวกเตอร์ทิศทางใดก็ตาม ผลลัพธ์จะเป็นสมการเส้นตรงเดียวกันเสมอ

เรามาสร้างสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทางกันดีกว่า:

การหาสัดส่วน:

หารทั้งสองข้างด้วย –2 แล้วได้สมการที่คุ้นเคย:

ผู้ที่สนใจสามารถทดสอบเวกเตอร์ได้ในลักษณะเดียวกัน หรือเวกเตอร์คอลลิเนียร์อื่นๆ

ตอนนี้เรามาแก้ปัญหาผกผันกัน:

จะหาเวกเตอร์ทิศทางโดยใช้สมการทั่วไปของเส้นตรงได้อย่างไร?

ง่ายมาก:

หากเส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการทั่วไปในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม เวกเตอร์ก็คือเวกเตอร์ทิศทางของเส้นนี้

ตัวอย่างการค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:

ข้อความนี้ช่วยให้เราสามารถค้นหาเวกเตอร์ทิศทางเดียวจากจำนวนอนันต์ แต่เราไม่ต้องการอะไรมากไปกว่านี้ แม้ว่าในบางกรณีจะแนะนำให้ลดพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง:

ดังนั้น สมการจะระบุเส้นตรงที่ขนานกับแกน และพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางผลลัพธ์จะถูกหารอย่างสะดวกด้วย –2 จะได้เวกเตอร์พื้นฐานเป็นเวกเตอร์ทิศทางอย่างแน่นอน ตรรกะ

ในทำนองเดียวกัน สมการระบุเส้นตรงขนานกับแกน และโดยการหารพิกัดของเวกเตอร์ด้วย 5 เราจะได้เวกเตอร์ออร์ตเป็นเวกเตอร์ทิศทาง

ตอนนี้เรามาทำกัน ตรวจสอบตัวอย่างที่ 3- ตัวอย่างขึ้นไป ฉันขอเตือนคุณว่าในนั้นเราได้รวบรวมสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทาง

ประการแรกโดยใช้สมการของเส้นตรง เราสร้างเวกเตอร์ทิศทางขึ้นมาใหม่: – ทุกอย่างเรียบร้อยดี เราได้รับเวกเตอร์ดั้งเดิมแล้ว (ในบางกรณี ผลลัพธ์อาจเป็นเวกเตอร์โคลิเนียร์กับเวกเตอร์ดั้งเดิม และมักจะสังเกตได้ง่ายจากสัดส่วนของพิกัดที่สอดคล้องกัน)

ประการที่สองพิกัดของจุดจะต้องเป็นไปตามสมการ เราแทนที่พวกมันลงในสมการ:

ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องซึ่งเรายินดีเป็นอย่างยิ่ง

บทสรุป: งานเสร็จสมบูรณ์อย่างถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 4

เขียนสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทาง

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน ขอแนะนำอย่างยิ่งให้ตรวจสอบโดยใช้อัลกอริทึมที่เพิ่งกล่าวถึง พยายามตรวจสอบฉบับร่างเสมอ (ถ้าเป็นไปได้) การทำผิดพลาดที่สามารถหลีกเลี่ยงได้ 100% เป็นเรื่องโง่

ในกรณีที่พิกัดหนึ่งของเวกเตอร์ทิศทางเป็นศูนย์ ให้ดำเนินการง่ายๆ ดังนี้:

ตัวอย่างที่ 5

สารละลาย: สูตรนี้ไม่เหมาะสมเนื่องจากตัวส่วนทางด้านขวาเป็นศูนย์ มีทางออก! ใช้คุณสมบัติของสัดส่วนเราเขียนสูตรใหม่ในรูปแบบและส่วนที่เหลือกลิ้งไปตามร่องลึก:

คำตอบ:

การตรวจสอบ:

1) คืนค่าเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:
– เวกเตอร์ผลลัพธ์ที่ได้จะอยู่ในแนวเดียวกับเวกเตอร์ทิศทางเดิม

2) แทนพิกัดของจุดลงในสมการ:

ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

บทสรุป: งานเสร็จสมบูรณ์อย่างถูกต้อง

คำถามเกิดขึ้น ทำไมต้องกังวลกับสูตรหากมีเวอร์ชันสากลที่จะใช้งานได้ในกรณีใด? มีสองเหตุผล อย่างแรก สูตรจะอยู่ในรูปเศษส่วน จำได้ดีขึ้นมาก- และประการที่สอง ข้อเสียของสูตรสากลก็คือ ความเสี่ยงที่จะเกิดความสับสนเพิ่มขึ้นอย่างมากเมื่อทำการแทนพิกัด

ตัวอย่างที่ 6

เขียนสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทาง

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง

กลับมาที่ประเด็นสองประเด็นที่แพร่หลาย:

จะเขียนสมการเส้นตรงโดยใช้จุดสองจุดได้อย่างไร?

หากทราบจุดสองจุด สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดเหล่านี้สามารถคอมไพล์ได้โดยใช้สูตร:

อันที่จริง นี่เป็นสูตรประเภทหนึ่งและนี่คือเหตุผล: หากทราบจุดสองจุด เวกเตอร์จะเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่กำหนด ในชั้นเรียน เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลองเราพิจารณาแล้ว งานที่ง่ายที่สุด– วิธีค้นหาพิกัดของเวกเตอร์จากจุดสองจุด จากปัญหานี้ พิกัดของเวกเตอร์ทิศทางคือ:

บันทึก : คะแนนสามารถ “สลับ” ได้ และสามารถใช้สูตรได้ - วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวจะเทียบเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 7

เขียนสมการเส้นตรงโดยใช้จุดสองจุด .

สารละลาย: เราใช้สูตร:

การรวมตัวส่วน:

และสับไพ่:

ตอนนี้เป็นเวลาที่จะกำจัด ตัวเลขเศษส่วน- ในกรณีนี้ คุณต้องคูณทั้งสองข้างด้วย 6:

เปิดวงเล็บแล้วนึกถึงสมการ:

คำตอบ:

การตรวจสอบชัดเจน - พิกัดของจุดเริ่มต้นจะต้องเป็นไปตามสมการผลลัพธ์:

1) แทนที่พิกัดของจุด:

ความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง

2) แทนที่พิกัดของจุด:

ความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง

บทสรุป: เขียนสมการเส้นตรงถูกต้อง

ถ้า อย่างน้อยหนึ่งรายการของคะแนนไม่เป็นไปตามสมการ ให้มองหาข้อผิดพลาด

เป็นที่น่าสังเกตว่าการตรวจสอบแบบกราฟิกในกรณีนี้เป็นเรื่องยาก เนื่องจากการสร้างเส้นตรงและดูว่าจุดนั้นเป็นของมันหรือไม่ ไม่ง่ายเลย

ฉันจะกล่าวถึงแง่มุมทางเทคนิคเพิ่มเติมอีกสองสามประการของโซลูชัน บางทีในปัญหานี้การใช้สูตรมิเรอร์จะทำกำไรได้มากกว่า และในจุดเดียวกัน สร้างสมการ:

เศษส่วนน้อยลง หากต้องการ คุณสามารถแก้โจทย์จนจบได้ ผลลัพธ์ควรเป็นสมการเดียวกัน

ประเด็นที่สองคือการดูคำตอบสุดท้ายแล้วดูว่าจะทำให้ง่ายขึ้นอีกหรือไม่ ตัวอย่างเช่น หากคุณได้สมการ ขอแนะนำให้ลดมันลงสอง: – สมการจะกำหนดเส้นตรงเส้นเดียวกัน อย่างไรก็ตาม นี่เป็นหัวข้อสนทนาอยู่แล้ว ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น.

หลังจากได้รับคำตอบแล้ว ในกรณีที่ 7 ในกรณีนี้ ฉันตรวจสอบว่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการหารด้วย 2, 3 หรือ 7 ลงตัวหรือไม่ แม้ว่าการลดลงดังกล่าวมักเกิดขึ้นระหว่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 8

เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดต่างๆ .

นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ ซึ่งจะช่วยให้คุณเข้าใจและฝึกฝนเทคนิคการคำนวณได้ดีขึ้น

คล้ายกับย่อหน้าก่อนหน้า: ถ้าอยู่ในสูตร ตัวส่วนตัวใดตัวหนึ่ง (พิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง) กลายเป็นศูนย์ จากนั้นเราจะเขียนมันใหม่ในรูปแบบ . สังเกตอีกครั้งว่าเธอดูอึดอัดและสับสนแค่ไหน ฉันไม่เห็นประเด็นมากในการนำมา ตัวอย่างการปฏิบัติเนื่องจากเราได้แก้ไขปัญหาดังกล่าวแล้วจริง ๆ (ดูข้อ 5, 6)

เวกเตอร์ปกติโดยตรง (เวกเตอร์ปกติ)

อะไรเป็นเรื่องปกติ? ด้วยคำพูดง่ายๆ, ปกติจะตั้งฉาก นั่นคือเวกเตอร์ปกติของเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด แน่นอนว่า เส้นตรงใดๆ มีจำนวนอนันต์ (เช่นเดียวกับเวกเตอร์ทิศทาง) และเวกเตอร์ปกติของเส้นตรงทั้งหมดจะเป็นเส้นตรง (มีทิศทางร่วมหรือไม่ ก็ไม่ทำให้เกิดความแตกต่าง)

การจัดการกับพวกมันจะง่ายกว่าการใช้เวกเตอร์นำทาง:

หากเส้นถูกกำหนดโดยสมการทั่วไปในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม แล้วเวกเตอร์ก็คือเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้

หากพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางต้องถูก "ดึงออก" ออกจากสมการอย่างระมัดระวัง พิกัดของเวกเตอร์ปกติก็สามารถ "ลบออก" ได้ง่ายๆ

เวกเตอร์ปกติตั้งฉากกับเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงเสมอ ให้เราตรวจสอบมุมตั้งฉากของเวกเตอร์เหล่านี้โดยใช้ ผลิตภัณฑ์ดอท:

ฉันจะยกตัวอย่างด้วยสมการเดียวกันกับเวกเตอร์ทิศทาง:

เป็นไปได้ไหมที่จะสร้างสมการของเส้นตรงโดยให้จุดหนึ่งจุดกับเวกเตอร์ปกติ? ฉันรู้สึกได้ถึงลำไส้ของฉัน มันเป็นไปได้ หากทราบเวกเตอร์ปกติ ทิศทางของเส้นตรงก็จะถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจน - นี่คือ "โครงสร้างแข็ง" ที่มีมุม 90 องศา

จะเขียนสมการเส้นตรงจากจุดและเวกเตอร์ปกติได้อย่างไร?

หากทราบจุดหนึ่งของเส้นตรงและเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้ สมการของเส้นนี้จะแสดงด้วยสูตร:

ที่นี่ทุกอย่างได้ผลโดยไม่มีเศษส่วนและความประหลาดใจอื่น ๆ นี่คือเวกเตอร์ปกติของเรา รักเขา. และด้วยความเคารพ =)

ตัวอย่างที่ 9

เขียนสมการของเส้นตรงโดยกำหนดจุดและเวกเตอร์ตั้งฉาก หาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

สารละลาย: เราใช้สูตร:

ได้รับสมการทั่วไปของเส้นแล้ว มาตรวจสอบกัน:

1) “ลบ” พิกัดของเวกเตอร์ปกติออกจากสมการ: – ใช่ จริงๆ แล้วเวกเตอร์ดั้งเดิมได้มาจากเงื่อนไข (หรือควรได้รับเวกเตอร์คอลลิเนียร์)

2) ตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นไปตามสมการหรือไม่:

ความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง

หลังจากที่เรามั่นใจว่าสมการนั้นประกอบขึ้นอย่างถูกต้องแล้ว เราจะทำงานส่วนที่สองที่ง่ายกว่าให้เสร็จ เรานำเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงออกมา:

คำตอบ:

ในรูปวาดสถานการณ์จะเป็นดังนี้:

เพื่อวัตถุประสงค์ในการฝึกอบรม งานที่คล้ายกันในการแก้ปัญหาอย่างอิสระ:

ตัวอย่างที่ 10

เขียนสมการของเส้นตรงโดยกำหนดจุดและเวกเตอร์ตั้งฉาก หาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

ส่วนสุดท้ายของบทเรียนจะเน้นไปที่เรื่องทั่วไปไม่มากแต่ก็เช่นกัน สายพันธุ์ที่สำคัญสมการของเส้นตรงบนระนาบ

สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ
สมการของเส้นตรงในรูปแบบพาราเมตริก

สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ มีรูปแบบ โดยที่ค่าคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์ สมการบางประเภทไม่สามารถแสดงในรูปแบบนี้ได้ เช่น สัดส่วนโดยตรง (เนื่องจากเทอมอิสระเท่ากับศูนย์และไม่มีทางจะได้สมการที่อยู่ทางด้านขวา)

หากพูดในเชิงเปรียบเทียบแล้ว นี่คือสมการประเภท "ทางเทคนิค" งานทั่วไปคือการแสดงสมการทั่วไปของเส้นเป็นสมการของเส้นในส่วนต่างๆ สะดวกยังไง? สมการของเส้นตรงในส่วนช่วยให้คุณค้นหาจุดตัดของเส้นตรงด้วยแกนพิกัดได้อย่างรวดเร็ว ซึ่งอาจมีความสำคัญมากในปัญหาทางคณิตศาสตร์ระดับสูงบางข้อ

ลองหาจุดตัดของเส้นตรงกับแกนกัน เรารีเซ็ต "y" และสมการจะอยู่ในรูปแบบ ได้รับจุดที่ต้องการโดยอัตโนมัติ: .

เช่นเดียวกับแกน – จุดที่เส้นตรงตัดกับแกนพิกัด

บทความนี้เผยให้เห็นที่มาของสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่ตั้งอยู่บนระนาบ ขอให้เราได้สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม เราจะแสดงและแก้ไขตัวอย่างต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับเนื้อหาที่ครอบคลุมอย่างชัดเจน

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

ก่อนที่จะได้สมการของเส้นที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด จำเป็นต้องใส่ใจกับข้อเท็จจริงบางประการก่อน มีสัจพจน์ที่บอกว่าผ่านจุดสองจุดที่แตกต่างกันบนเครื่องบิน คุณสามารถวาดเส้นตรงได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง จุดที่กำหนดสองจุดบนระนาบถูกกำหนดโดยเส้นตรงที่ผ่านจุดเหล่านี้

หากระนาบถูกกำหนดโดยระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxy เส้นตรงใดๆ ที่ปรากฎในนั้นจะสอดคล้องกับสมการของเส้นตรงบนระนาบ นอกจากนี้ยังมีการเชื่อมต่อกับเวกเตอร์กำกับของเส้นตรงด้วย ข้อมูลนี้เพียงพอที่จะรวบรวมสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด

ลองดูตัวอย่างการแก้ปัญหาที่คล้ายกัน จำเป็นต้องสร้างสมการสำหรับเส้นตรงที่ผ่านจุดแยกสองจุด M 1 (x 1, y 1) และ M 2 (x 2, y 2) ซึ่งอยู่ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

ในสมการมาตรฐานของเส้นบนระนาบที่มีรูปแบบ x - x 1 a x = y - y 1 ay ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y ถูกระบุด้วยเส้นที่ตัดกับมันที่จุดที่มีพิกัด M 1 (x 1, y 1) โดยมีเวกเตอร์นำทาง a → = (a x , a y)

จำเป็นต้องสร้างสมการทางบัญญัติของเส้นตรง a ซึ่งจะผ่านจุดสองจุดด้วยพิกัด M 1 (x 1, y 1) และ M 2 (x 2, y 2)

เส้นตรง a มีเวกเตอร์ทิศทาง M 1 M 2 → พร้อมพิกัด (x 2 - x 1, y 2 - y 1) เนื่องจากมันตัดกันจุด M 1 และ M 2 เราได้รับข้อมูลที่จำเป็นเพื่อแปลงสมการบัญญัติด้วยพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) และพิกัดของจุด M 1 ที่วางอยู่บนพวกมัน (x 1, y 1) และ M 2 (x 2 , y 2) . เราได้สมการในรูปแบบ x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 หรือ x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1

พิจารณารูปด้านล่าง

หลังจากการคำนวณเราเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นบนระนาบที่ผ่านจุดสองจุดด้วยพิกัด M 1 (x 1, y 1) และ M 2 (x 2, y 2) เราได้สมการในรูปแบบ x = x 1 + (x 2 - x 1) · แลมบ์ y = y 1 + (y 2 - y 1) · แลมหรือ x = x 2 + (x 2 - x 1) · แลม y = y 2 + (y 2 - y 1) · แลมบ์

ลองมาดูการแก้ปัญหาหลายตัวอย่างให้ละเอียดยิ่งขึ้น

ตัวอย่างที่ 1

เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่าน 2 จุดที่กำหนดด้วยพิกัด M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6

สารละลาย

สมการมาตรฐานสำหรับเส้นตรงที่ตัดกันที่จุดสองจุดด้วยพิกัด x 1, y 1 และ x 2, y 2 อยู่ในรูปแบบ x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ตามเงื่อนไขของปัญหา เราจะได้ว่า x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6 จำเป็นต้องแทนที่ค่าตัวเลขลงในสมการ x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 จากตรงนี้ เราจะได้ว่าสมการบัญญัติอยู่ในรูปแบบ x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6

คำตอบ: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

หากคุณต้องการแก้ปัญหาด้วยสมการประเภทอื่น ก่อนอื่นคุณสามารถไปที่สมการตามรูปแบบบัญญัติได้เนื่องจากง่ายกว่าที่จะมาจากสมการนั้นไปยังสมการอื่น

ตัวอย่างที่ 2

เขียนสมการทั่วไปของเส้นตรงที่ผ่านจุดต่างๆ ด้วยพิกัด M 1 (1, 1) และ M 2 (4, 2) ในระบบพิกัด O x y

สารละลาย

ขั้นแรก คุณต้องเขียนสมการบัญญัติของเส้นตรงที่กำหนดซึ่งผ่านจุดสองจุดที่กำหนด เราได้สมการในรูปแบบ x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

นำสมการทางบัญญัติมาเป็นรูปแบบที่ต้องการ จากนั้นเราจะได้:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

คำตอบ: x - 3 ปี + 2 = 0 .

ตัวอย่างของงานดังกล่าวถูกกล่าวถึงในหนังสือเรียนของโรงเรียนระหว่างบทเรียนพีชคณิต ปัญหาของโรงเรียนแตกต่างกันตรงที่ทราบสมการของเส้นตรงกับสัมประสิทธิ์มุม โดยมีรูปแบบ y = k x + b หากคุณต้องการค้นหาค่าของความชัน k และตัวเลข b ซึ่งสมการ y = k x + b กำหนดเส้นในระบบ O x y ที่ผ่านจุด M 1 (x 1, y 1) และ M 2 (x 2, y 2) โดยที่ x 1 ≠ x 2 เมื่อ x 1 = x 2 จากนั้นสัมประสิทธิ์เชิงมุมจะใช้กับค่าอนันต์และเส้นตรง M 1 M 2 ถูกกำหนดโดยทั่วไป สมการที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ x - x 1 = 0 .

เพราะว่าจุดต่างๆ ม.1และ ม.2อยู่บนเส้นตรง จากนั้นพิกัดของพวกมันจะเป็นไปตามสมการ y 1 = k x 1 + b และ y 2 = k x 2 + b จำเป็นต้องแก้ระบบสมการ y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b สำหรับ k และ b

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะหา k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 หรือ k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

ด้วยค่าเหล่านี้ของ k และ b สมการของเส้นที่ผ่านจุดสองจุดที่กำหนดจะกลายเป็น y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 หรือ y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2

เป็นไปไม่ได้ที่จะจำสูตรจำนวนมากเช่นนี้ในคราวเดียว ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องเพิ่มจำนวนการทำซ้ำในการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 3

เขียนสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมที่ผ่านจุดต่างๆ ด้วยพิกัด M 2 (2, 1) และ y = k x + b

สารละลาย

ในการแก้ปัญหา เราใช้สูตรที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมในรูปแบบ y = k x + b ค่าสัมประสิทธิ์ k และ b ต้องใช้ค่าที่สมการนี้สอดคล้องกับเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดด้วยพิกัด M 1 (- 7, - 5) และ M 2 (2, 1)

คะแนน ม.1และ ม.2ตั้งอยู่บนเส้นตรง ดังนั้นพิกัดจะต้องทำให้สมการ y = k x + b มีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง จากนี้เราจะได้ว่า - 5 = k · (- 7) + b และ 1 = k · 2 + b ลองรวมสมการเข้ากับระบบ - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b แล้วแก้โจทย์

เมื่อทดแทนเราจะได้สิ่งนั้น

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

ตอนนี้ค่า k = 2 3 และ b = - 1 3 จะถูกแทนที่ในสมการ y = k x + b เราพบว่าสมการที่ต้องการผ่านจุดที่กำหนดจะเป็นสมการของรูปแบบ y = 2 3 x - 1 3 .

วิธีการแก้ปัญหานี้จะกำหนดการใช้จ่ายล่วงหน้า ปริมาณมากเวลา. มีวิธีที่งานจะได้รับการแก้ไขในสองขั้นตอนอย่างแท้จริง

ให้เราเขียนสมการทางบัญญัติของเส้นที่ผ่าน M 2 (2, 1) และ M 1 (- 7, - 5) โดยมีรูปแบบ x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

ทีนี้มาดูสมการความชันกัน เราเข้าใจแล้วว่า: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3

คำตอบ: y = 2 3 x - 1 3 .

ถ้าในพื้นที่สามมิติ มีระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z โดยมีจุดที่ไม่ตรงกันสองจุดที่มีพิกัด M 1 (x 1, y 1, z 1) และ M 2 (x 2, y 2, z 2) เส้นตรง M ผ่านพวกมัน 1 M 2 จำเป็นต้องได้สมการของเส้นนี้

เรามีสิ่งนั้น สมการบัญญัติของรูปแบบ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z และรูปแบบพาราเมตริกของรูปแบบ x = x 1 + a x · แลม y = y 1 + a y · z - z = z 1 + a z · แล สามารถกำหนดเส้นตรงในระบบพิกัด O x y z โดยผ่านจุดที่มีพิกัด (x 1, y 1, z 1) โดยมีเวกเตอร์ทิศทาง a → = (a x, a y, a z)

ตรง ม 1 ม 2 มีเวกเตอร์ทิศทางในรูปแบบ M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) โดยที่เส้นตรงผ่านจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) และ M 2 (x 2 , y 2 , z 2) ดังนั้นสมการบัญญัติสามารถอยู่ในรูปแบบ x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 หรือ x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1 ในทางกลับกัน พาราเมตริก x = x 1 + (x 2 - x 1 ) แล ะ y = y 1 + (y 2 - y 1) แล z = z 1 + (z 2 - z 1) เลอ หรือ x = x 2 + (x 2 - x 1) แล y = y 2 + (y 2 - y 1) · แลมซี = z 2 + (z 2 - z 1) · แลมบ์

พิจารณาภาพวาดที่แสดงจุดที่กำหนด 2 จุดในอวกาศและสมการของเส้นตรง

ตัวอย่างที่ 4

เขียนสมการของเส้นตรงที่กำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z ของปริภูมิสามมิติ โดยผ่านจุดที่กำหนดสองจุดด้วยพิกัด M 1 (2, - 3, 0) และ M 2 (1, - 3, - 5)

สารละลาย

มีความจำเป็นต้องค้นหาสมการทางบัญญัติ เนื่องจากเรากำลังพูดถึงปริภูมิสามมิติ หมายความว่าเมื่อเส้นตรงผ่านจุดที่กำหนด สมการมาตรฐานที่ต้องการจะอยู่ในรูปแบบ x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - ซี 1 ซี 2 - ซี 1 .

ตามเงื่อนไขเราจะได้ว่า x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5 ตามมาว่าสมการที่จำเป็นจะถูกเขียนดังนี้:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

คำตอบ: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

คำนิยาม.เส้นตรงใดๆ บนระนาบสามารถระบุได้ด้วยสมการอันดับหนึ่ง

ขวาน + Wu + C = 0,

นอกจากนี้ค่าคงที่ A และ B ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน สมการลำดับแรกนี้เรียกว่า สมการทั่วไปของเส้นตรงขึ้นอยู่กับค่าต่างๆ ค่าคงที่ A, Bและ C มีกรณีพิเศษดังต่อไปนี้:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – เส้นตรงตัดผ่านจุดกำเนิด

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - เส้นตรงขนานกับแกน Ox

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – เส้นตรงขนานกับแกน Oy

B = C = 0, A ≠0 – เส้นตรงเกิดขึ้นพร้อมกับแกน Oy

A = C = 0, B ≠0 – เส้นตรงเกิดขึ้นพร้อมกับแกน Ox

สามารถแสดงสมการของเส้นตรงได้ ในรูปแบบต่างๆขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด

สมการของเส้นตรงจากจุดและเวกเตอร์ปกติ

คำนิยาม.ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน เวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบ (A, B) จะตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ Ax + By + C = 0

ตัวอย่าง- ค้นหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด A(1, 2) ซึ่งตั้งฉากกับ (3, -1)

สารละลาย- ด้วย A = 3 และ B = -1 ลองเขียนสมการของเส้นตรง: 3x – y + C = 0 ในการค้นหาสัมประสิทธิ์ C เราจะแทนที่พิกัดของจุด A ที่กำหนดลงในนิพจน์ผลลัพธ์ เราจะได้: 3 – 2 + C = 0 ดังนั้น C = -1 . ผลรวม: สมการที่ต้องการ: 3x – y – 1 = 0

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด

ให้จุดสองจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) และ M 2 (x 2, y 2, z 2) ถูกกำหนดไว้ในอวกาศ จากนั้นสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดเหล่านี้คือ:

ถ้าตัวส่วนใดๆ เท่ากับศูนย์ ตัวเศษที่สอดคล้องกันควรจะเท่ากับศูนย์ บนระนาบ สมการของเส้นที่เขียนด้านบนจะถูกทำให้ง่ายขึ้น:

ถ้า x 1 ≠ x 2 และ x = x 1 ถ้า x 1 = x 2

เรียกว่าเศษส่วน = k ความลาดชันโดยตรง.

ตัวอย่าง- ค้นหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด A(1, 2) และ B(3, 4)

สารละลาย.เมื่อใช้สูตรที่เขียนข้างต้น เราจะได้:

สมการของเส้นตรงจากจุดและความชัน

หากผลรวม Ax + Bu + C = 0 นำไปสู่รูปแบบ:

และกำหนด จากนั้นจึงเรียกสมการผลลัพธ์ สมการของเส้นตรงกับความชันเค.

สมการของเส้นตรงจากจุดและเวกเตอร์ทิศทาง

โดยการเปรียบเทียบกับจุดที่พิจารณาสมการของเส้นตรงผ่านเวกเตอร์ปกติ คุณสามารถป้อนคำจำกัดความของเส้นตรงผ่านจุดและเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงได้

คำนิยาม.เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์แต่ละตัว (α 1, α 2) ส่วนประกอบที่ตรงตามเงื่อนไข A α 1 + B α 2 = 0 เรียกว่าเวกเตอร์กำกับของเส้น

ขวาน + Wu + C = 0

ตัวอย่าง. ค้นหาสมการของเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ทิศทาง (1, -1) และผ่านจุด A(1, 2)

สารละลาย.เราจะค้นหาสมการของเส้นที่ต้องการในรูปแบบ: Ax + By + C = 0 ตามคำจำกัดความสัมประสิทธิ์จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข:

1 * A + (-1) * B = 0 เช่น ก = บี

จากนั้นสมการของเส้นตรงจะมีรูปแบบ: Ax + Ay + C = 0 หรือ x + y + C / A = 0 สำหรับ x = 1, y = 2 เราได้รับ C/ A = -3 เช่น สมการที่ต้องการ:

สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ

หากในสมการทั่วไปของเส้นตรง Ах + Ву + С = 0 С≠0 จากนั้นหารด้วย –С เราจะได้: หรือ

ความหมายทางเรขาคณิตของค่าสัมประสิทธิ์ก็คือค่าสัมประสิทธิ์ กคือพิกัดจุดตัดของเส้นตรงกับแกนอ็อกซ์ และ ข– พิกัดจุดตัดของเส้นตรงกับแกนออย

ตัวอย่าง.จะได้สมการทั่วไปของเส้นตรง x – y + 1 = 0 ค้นหาสมการของเส้นตรงในส่วนนี้

C = 1, , ก = -1, ข = 1

สมการปกติของเส้นตรง

ถ้าทั้งสองข้างของสมการ Ax + By + C = 0 คูณด้วยตัวเลข ซึ่งเรียกว่า ปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานแล้วเราก็ได้

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

สมการปกติของเส้นตรง ต้องเลือกเครื่องหมาย±ของปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

ตัวอย่าง- เมื่อพิจารณาจากสมการทั่วไปของเส้นตรง 12x – 5y – 65 = 0 คุณต้องเขียน ประเภทต่างๆสมการของเส้นนี้

สมการของเส้นนี้ในส่วนต่างๆ:

สมการของเส้นนี้ด้วยความชัน: (หารด้วย 5)

- cos φ = 12/13; บาป φ= -5/13; พี = 5.

ควรสังเกตว่าไม่ใช่ทุกเส้นตรงที่สามารถแสดงด้วยสมการในส่วนต่างๆ เช่น เส้นตรงที่ขนานกับแกนหรือผ่านจุดกำเนิดของพิกัด

ตัวอย่าง- เส้นตรงตัดส่วนบวกที่เท่ากันบนแกนพิกัด เขียนสมการของเส้นตรงถ้าพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เกิดจากส่วนเหล่านี้คือ 8 ซม. 2

สารละลาย.สมการของเส้นตรงมีรูปแบบ: , ab /2 = 8; ab=16; ก=4, ก=-4 ก = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

ตัวอย่าง- เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด A(-2, -3) และจุดกำเนิด

สารละลาย. สมการของเส้นตรงคือ: โดยที่ x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; ปี 2 = -3

มุมระหว่างเส้นตรงบนเครื่องบิน

คำนิยาม.ถ้าให้สองบรรทัด y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 แล้ว มุมแหลมระหว่างเส้นตรงเหล่านี้จะถูกกำหนดเป็น

.

เส้นตรงสองเส้นขนานกันถ้า k 1 = k 2 เส้นตรงสองเส้นจะตั้งฉากกันถ้า k 1 = -1/ k 2

ทฤษฎีบท.เส้น Ax + Bу + C = 0 และ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ขนานกันเมื่อสัมประสิทธิ์ A 1 = แลม A, B 1 = แลมบ์เป็นสัดส่วน ถ้า C 1 = แลมซีด้วย แสดงว่าเส้นตรง พิกัดของจุดตัดกันของเส้นตรงสองเส้นพบว่าเป็นวิธีแก้ระบบสมการของเส้นเหล่านี้

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

คำนิยาม.เส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 (x 1, y 1) และตั้งฉากกับเส้นตรง y = kx + b แสดงด้วยสมการ:

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัด

ทฤษฎีบท.หากกำหนดจุด M(x 0, y 0) ดังนั้นระยะทางถึงเส้น Ax + Bу + C = 0 จะถูกกำหนดเป็น

.

การพิสูจน์.ให้จุด M 1 (x 1, y 1) เป็นฐานของจุดตั้งฉากที่ตกลงจากจุด M ไปยังเส้นตรงที่กำหนด จากนั้นระยะห่างระหว่างจุด M และ M 1:

(1)

พิกัด x 1 และ y 1 สามารถพบได้โดยการแก้ระบบสมการ:

สมการที่สองของระบบคือสมการของเส้นที่ผ่าน จุดที่กำหนดให้ M 0 ตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด หากเราแปลงสมการแรกของระบบให้อยู่ในรูปแบบ:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + ขวาน 0 + โดย 0 + C = 0,

จากนั้นเมื่อแก้ไขเราจะได้:

เมื่อแทนนิพจน์เหล่านี้เป็นสมการ (1) เราพบว่า:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่าง- กำหนดมุมระหว่างเส้น: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1

เค 1 = -3; เค 2 = 2; ทีจีφ = - φ= π /4.

ตัวอย่าง- แสดงว่าเส้นตรง 3x – 5y + 7 = 0 และ 10x + 6y – 3 = 0 ตั้งฉากกัน

สารละลาย- เราพบว่า: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1 ดังนั้น เส้นตรงทั้งสองจึงตั้งฉากกัน

ตัวอย่าง- ให้เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยม A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ค้นหาสมการของความสูงที่ดึงมาจากจุดยอด C

สารละลาย- เราพบสมการของด้าน AB: - 4 x = 6 ปี – 6;

2 x – 3 ปี + 3 = 0;

สมการความสูงที่ต้องการมีรูปแบบ: Ax + By + C = 0 หรือ y = kx + b เค = . แล้ว ย = . เพราะ ความสูงผ่านจุด C จากนั้นพิกัดจะเป็นไปตามสมการนี้: จากโดยที่ b = 17. รวม: .

คำตอบ: 3 x + 2 y – 34 = 0

สมการ Canonical ของเส้นในปริภูมิคือสมการที่กำหนดเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดเส้นตรงไปยังเวกเตอร์ทิศทาง

ให้จุดและเวกเตอร์ทิศทางถูกกำหนดไว้ จุดใดจุดหนึ่งอยู่บนเส้น ลเฉพาะในกรณีที่เวกเตอร์และเป็นเส้นตรง กล่าวคือ เป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับพวกมัน:

.

สมการข้างต้นเป็นสมการมาตรฐานของเส้นตรง

ตัวเลข ม , nและ พีคือเส้นโครงของเวกเตอร์ทิศทางไปยังแกนพิกัด เนื่องจากเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ จึงเป็นตัวเลขทั้งหมด ม , nและ พีไม่สามารถเท่ากับศูนย์พร้อมกันได้ แต่หนึ่งหรือสองคนอาจกลายเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น ในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ อนุญาตให้ใช้รายการต่อไปนี้:

,

ซึ่งหมายความว่าเส้นโครงของเวกเตอร์บนแกน เฮ้ยและ ออนซ์มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นทั้งเวกเตอร์และเส้นที่กำหนดโดยสมการบัญญัติจึงตั้งฉากกับแกน เฮ้ยและ ออนซ์เช่น เครื่องบิน คุณออซ .

ตัวอย่างที่ 1เขียนสมการของเส้นตรงในอวกาศที่ตั้งฉากกับระนาบ และผ่านจุดตัดของระนาบนี้กับแกน ออนซ์ .

สารละลาย. ลองหาจุดตัดของระนาบนี้กับแกนกัน ออนซ์- เนื่องจากจุดใดๆ ที่วางอยู่บนแกน ออนซ์มีพิกัด แล้วสมมติในสมการที่กำหนดของระนาบ x = ย = 0 เราได้ 4 z- 8 = 0 หรือ z= 2 . ดังนั้นจุดตัดของระนาบนี้กับแกน ออนซ์มีพิกัด (0; 0; 2) . เนื่องจากเส้นที่ต้องการตั้งฉากกับระนาบ จึงขนานกับเวกเตอร์ปกติ ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงจึงสามารถเป็นเวกเตอร์ปกติได้ เครื่องบินที่ได้รับ

ทีนี้มาเขียนสมการที่ต้องการของเส้นตรงที่ผ่านจุดหนึ่งกัน ก= (0; 0; 2) ในทิศทางของเวกเตอร์:

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด

เส้นตรงสามารถกำหนดได้ด้วยจุดสองจุดที่วางอยู่บนเส้นนั้น และ ในกรณีนี้ เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงสามารถเป็นเวกเตอร์ได้ จากนั้นสมการมาตรฐานของเส้นตรงจะเกิดขึ้น

.

สมการข้างต้นกำหนดเส้นที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด

ตัวอย่างที่ 2เขียนสมการของเส้นในปริภูมิที่ผ่านจุด และ

สารละลาย. ให้เราเขียนสมการเส้นตรงที่ต้องการในรูปแบบที่ให้ไว้ข้างต้นในการอ้างอิงทางทฤษฎี:

.

เนื่องจาก ดังนั้นเส้นตรงที่ต้องการจึงตั้งฉากกับแกน เฮ้ย .

ตรงเหมือนเส้นตัดกันของระนาบ

เส้นตรงในอวกาศสามารถนิยามได้ว่าเป็นเส้นตัดกันของระนาบที่ไม่ขนานกัน 2 ระนาบ และนั่นคือ เซตของจุดที่เป็นไปตามระบบสมการเชิงเส้น 2 สมการ

สมการของระบบก็เรียกอีกอย่างว่า สมการทั่วไปตรงไปในอวกาศ

ตัวอย่างที่ 3เขียนสมการมาตรฐานของเส้นตรงในปริภูมิที่กำหนดโดยสมการทั่วไป

สารละลาย. ในการเขียนสมการบัญญัติของเส้นตรงหรือสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด คุณจะต้องค้นหาพิกัดของจุดสองจุดใดๆ บนเส้นตรง พวกมันอาจเป็นจุดตัดของเส้นตรงที่มีจุดสองจุดใดก็ได้ ประสานงานเครื่องบิน, ตัวอย่างเช่น คุณออซและ xออซ .

จุดตัดของเส้นตรงและระนาบ คุณออซมีแอบซิสซา x= 0 . ดังนั้นหากสมมุติในระบบสมการนี้ x= 0 เราจะได้ระบบที่มีตัวแปรสองตัว:

การตัดสินใจของเธอ ย = 2 , z= 6 ร่วมกับ x= 0 กำหนดจุด ก(0; 2; 6) เส้นที่ต้องการ แล้วสมมติในระบบสมการที่กำหนด ย= 0 เราได้ระบบ

การตัดสินใจของเธอ x = -2 , z= 0 ร่วมกับ ย= 0 กำหนดจุด บี(-2; 0; 0) จุดตัดของเส้นตรงกับระนาบ xออซ .

ทีนี้ลองเขียนสมการของเส้นที่ผ่านจุดต่างๆ กัน ก(0; 2; 6) และ บี (-2; 0; 0) :

,

หรือหลังจากหารตัวส่วนด้วย -2:

,