เซตของสัญกรณ์จำนวนอตรรกยะ จำนวนอตรรกยะหมายถึงอะไร?

มากมายทุกคน ตัวเลขธรรมชาติเขียนแทนด้วยตัวอักษร N ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่เราใช้ในการนับวัตถุ ได้แก่ 1,2,3,4, ... ในบางแหล่ง เลข 0 ก็ถือเป็นเลขธรรมชาติเช่นกัน

เซตของจำนวนเต็มทั้งหมดจะแสดงด้วยตัวอักษร Z จำนวนเต็มล้วนเป็นจำนวนธรรมชาติ ศูนย์ และจำนวนลบ:

1,-2,-3, -4, …

ตอนนี้เราบวกเซตของเศษส่วนสามัญทั้งหมดเข้ากับเซตของจำนวนเต็มทั้งหมด: 2/3, 18/17, -4/5 และอื่นๆ จากนั้นเราก็จะได้ชุดทั้งหมด จำนวนตรรกยะ.

เซตของจำนวนตรรกยะ

เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมดเขียนแทนด้วยตัวอักษร Q เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมด (Q) เป็นเซตที่ประกอบด้วยตัวเลขในรูปแบบ m/n, -m/n และเลข 0 ใน เป็น n,mอาจเป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ ก็ได้ ควรสังเกตว่าจำนวนตรรกยะทั้งหมดสามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมแบบจำกัดหรืออนันต์ได้ ในทางกลับกันก็เป็นจริงเช่นกันว่าเศษส่วนทศนิยมแบบจำกัดหรืออนันต์สามารถเขียนเป็นจำนวนตรรกยะได้

แต่แล้วอย่างเช่น หมายเลข 2.0100100010...ล่ะ? มันเป็นเศษส่วนทศนิยมที่ไม่มีรอบระยะเวลาอนันต์ และมันใช้ไม่ได้กับจำนวนตรรกยะ

ในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียนจะศึกษาเฉพาะจำนวนจริง (หรือจำนวนจริง) เท่านั้น มากมายทุกคน ตัวเลขจริงเขียนแทนด้วยตัวอักษร R เซต R ประกอบด้วยจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะทั้งหมด

แนวคิดเรื่องจำนวนอตรรกยะ

จำนวนอตรรกยะล้วนเป็นทศนิยมอนันต์ที่ไม่ใช่เศษส่วนเป็นงวด จำนวนอตรรกยะไม่มีการกำหนดพิเศษ

ตัวอย่างเช่น จำนวนทั้งหมดที่ได้จากการแยกรากที่สองของจำนวนธรรมชาติที่ไม่ใช่กำลังสองของจำนวนธรรมชาติจะถือเป็นจำนวนอตรรกยะ (√2, √3, √5, √6 ฯลฯ)

แต่อย่าคิดว่าจำนวนอตรรกยะจะได้มาจากการแยกรากที่สองเท่านั้น ตัวอย่างเช่น จำนวน “pi” ก็ไม่มีเหตุผลเช่นกัน และได้มาจากการหาร และไม่ว่าคุณจะพยายามแค่ไหน คุณก็ไม่สามารถดึงมันออกมาได้ รากที่สองจากจำนวนธรรมชาติใดๆ

เราได้แสดงไปแล้วก่อนหน้านี้ว่า $1\frac25$ อยู่ใกล้กับ $\sqrt2$ ถ้ามันเท่ากับ $\sqrt2$ ทุกประการ จากนั้นอัตราส่วนคือ $\frac(1\frac25)(1)$ ซึ่งสามารถแปลงเป็นอัตราส่วนจำนวนเต็ม $\frac75$ ได้โดยการคูณส่วนบนและล่างของเศษส่วนด้วย 5 และจะเป็นค่าที่ต้องการ

แต่น่าเสียดายที่ $1\frac25$ ไม่ใช่ค่าที่แน่นอนของ $\sqrt2$ คำตอบที่ถูกต้องกว่า $1\frac(41)(100)$ ให้ความสัมพันธ์ $\frac(141)(100)$ แก่เรา เราได้รับความแม่นยำมากยิ่งขึ้นเมื่อเราเทียบ $\sqrt2$ กับ $1\frac(207)(500)$ ในกรณีนี้ อัตราส่วนเป็นจำนวนเต็มจะเท่ากับ $\frac(707)(500)$ แต่ $1\frac(207)(500)$ ไม่ใช่ค่าที่แน่นอนของรากที่สองของ 2 นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกใช้เวลาและความพยายามอย่างมากในการคำนวณ ค่าที่แน่นอน$\sqrt2$แต่พวกมันไม่เคยประสบความสำเร็จเลย พวกเขาไม่สามารถแสดงอัตราส่วน $\frac(\sqrt2)(1)$ เป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มได้

ในที่สุด ยูคลิด นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกผู้ยิ่งใหญ่ได้พิสูจน์ว่าไม่ว่าความแม่นยำในการคำนวณจะเพิ่มขึ้นมากเพียงใด ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะได้ค่าที่แน่นอนของ $\sqrt2$ ไม่มีเศษส่วนใดที่เมื่อยกกำลังสองจะให้ผลลัพธ์ 2 พวกเขาบอกว่าพีธากอรัสเป็นคนแรกที่ได้ข้อสรุปนี้ แต่ข้อเท็จจริงที่อธิบายไม่ได้นี้ทำให้นักวิทยาศาสตร์ประหลาดใจมากจนเขาสาบานตัวเองและสาบานจากนักเรียนของเขาว่าจะรักษา ความลับในการค้นพบนี้ อย่างไรก็ตามข้อมูลนี้อาจไม่เป็นความจริง

แต่ถ้าตัวเลข $\frac(\sqrt2)(1)$ ไม่สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มได้ ก็แสดงว่าไม่มีตัวเลขที่มี $\sqrt2$ เช่น $\frac(\sqrt2)(2)$ หรือ $\frac (4)(\sqrt2)$ ไม่สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มได้ เนื่องจากเศษส่วนดังกล่าวทั้งหมดสามารถแปลงเป็น $\frac(\sqrt2)(1)$ คูณด้วยตัวเลขบางตัวได้ ดังนั้น $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$ หรือ $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$ ซึ่งสามารถแปลงได้โดยการคูณด้านบนและด้านล่างด้วย $\sqrt2$ เพื่อให้ได้ $\frac(4) (\sqrt2)$. (เราควรจำไว้ว่าไม่ว่าตัวเลข $\sqrt2$ จะเป็นเท่าใด ถ้าเราคูณมันด้วย $\sqrt2$ เราจะได้ 2)

เนื่องจากจำนวน $\sqrt2$ ไม่สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มได้ จึงถูกเรียกว่า จำนวนอตรรกยะ- ในทางกลับกัน ตัวเลขทั้งหมดที่สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มจะถูกเรียกว่า มีเหตุผล.

จำนวนเต็มทั้งหมดและ ตัวเลขเศษส่วนทั้งบวกและลบ

ปรากฎว่ารากที่สองส่วนใหญ่เป็นจำนวนอตรรกยะ เฉพาะตัวเลขในชุดตัวเลขกำลังสองเท่านั้นที่มีรากที่สองที่เป็นตรรกยะ ตัวเลขเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่ากำลังสองสมบูรณ์ จำนวนตรรกยะก็เป็นเศษส่วนที่สร้างจากกำลังสองสมบูรณ์เหล่านี้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น $\sqrt(1\frac79)$ เป็นจำนวนตรรกยะเนื่องจาก $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ หรือ $1\frac13$ (4 คือราก รากที่สองของ 16 และ 3 คือรากที่สองของ 9)

ตัวเลขอตรรกยะคืออะไร? ทำไมพวกเขาถึงเรียกอย่างนั้น? พวกเขาใช้ที่ไหนและพวกเขาคืออะไร? น้อยคนนักที่จะตอบคำถามเหล่านี้ได้โดยไม่ต้องคิด แต่ในความเป็นจริงแล้ว คำตอบนั้นค่อนข้างง่าย แม้ว่าไม่ใช่ทุกคนที่ต้องการและในสถานการณ์ที่หายากมาก

สาระสำคัญและการกำหนด

จำนวนอตรรกยะเป็นจำนวนอนันต์ที่ไม่ใช่คาบ ความจำเป็นในการแนะนำแนวคิดนี้เนื่องมาจากความจริงที่ว่าเพื่อแก้ไขปัญหาใหม่ที่เกิดขึ้น แนวคิดที่มีอยู่ก่อนหน้านี้เกี่ยวกับจำนวนจริงหรือจำนวนจริง จำนวนเต็ม ธรรมชาติ และจำนวนตรรกยะไม่เพียงพออีกต่อไป ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณว่าปริมาณใดเป็นกำลังสองของ 2 คุณต้องใช้ทศนิยมอนันต์ที่ไม่ใช่คาบ นอกจากนี้ สมการง่ายๆ หลายๆ สมการยังไม่มีคำตอบหากไม่มีแนวคิดเรื่องจำนวนอตรรกยะ

ชุดนี้แสดงเป็น I และตามที่ชัดเจนแล้วค่าเหล่านี้ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนอย่างง่ายได้ซึ่งตัวเศษจะเป็นจำนวนเต็มและตัวส่วนจะเป็น

นับเป็นครั้งแรกไม่ทางใดก็ทางหนึ่งที่นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียพบกับปรากฏการณ์นี้ในศตวรรษที่ 7 เมื่อพบว่ารากที่สองของปริมาณบางปริมาณไม่สามารถระบุได้อย่างชัดเจน และการพิสูจน์ครั้งแรกของการมีอยู่ของตัวเลขดังกล่าวนั้นมาจาก Pythagorean Hippasus ซึ่งทำสิ่งนี้ในกระบวนการศึกษาหน้าจั่ว สามเหลี่ยมมุมฉาก- นักวิทยาศาสตร์บางคนที่มีชีวิตอยู่ก่อนยุคของเราได้มีส่วนสนับสนุนอย่างจริงจังในการศึกษาชุดนี้ การนำแนวคิดเรื่องจำนวนอตรรกยะมาใช้นั้นต้องอาศัยการแก้ไขระบบทางคณิตศาสตร์ที่มีอยู่ ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงมีความสำคัญมาก

ที่มาของชื่อ

หากอัตราส่วนที่แปลจากภาษาละตินคือ "เศษส่วน", "อัตราส่วน" ดังนั้นคำนำหน้า "ir"
ทำให้คำนี้มีความหมายตรงกันข้าม ดังนั้นชื่อของชุดตัวเลขเหล่านี้จึงบ่งบอกว่าไม่สามารถเชื่อมโยงกับจำนวนเต็มหรือเศษส่วนได้และมีตำแหน่งที่แยกจากกัน สิ่งนี้ตามมาจากสาระสำคัญของพวกเขา

จัดอยู่ในประเภททั่วไป

จำนวนอตรรกยะและจำนวนตรรกยะอยู่ในกลุ่มของจำนวนจริงหรือจำนวนจริง ซึ่งในทางกลับกันก็อยู่ในจำนวนเชิงซ้อน ไม่มีเซตย่อย แต่มีความหลากหลายทางพีชคณิตและทิพย์ซึ่งจะกล่าวถึงด้านล่าง

คุณสมบัติ

เนื่องจากจำนวนอตรรกยะเป็นส่วนหนึ่งของชุดของจำนวนจริง คุณสมบัติทั้งหมดที่ศึกษาในวิชาเลขคณิต (หรือเรียกอีกอย่างว่ากฎพีชคณิตพื้นฐาน) จึงมีผลกับจำนวนเหล่านี้

a + b = b + a (การสับเปลี่ยน);

(a + b) + c = a + (b + c) (การเชื่อมโยง);

a + (-a) = 0 (การมีอยู่ของจำนวนตรงข้าม);

ab = ba (กฎหมายสับเปลี่ยน);

(ab)c = a(bc) (การกระจายตัว);

a(b+c) = ab + ac (กฎการกระจาย);

a x 1/a = 1 (การมีอยู่ของจำนวนกลับ);

การเปรียบเทียบจะดำเนินการตามกฎหมายและหลักการทั่วไป:

ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c (การถ่ายทอดของความสัมพันธ์) และ ฯลฯ

แน่นอนว่าจำนวนอตรรกยะทั้งหมดสามารถแปลงได้โดยใช้เลขคณิตพื้นฐาน ไม่มีกฎพิเศษสำหรับเรื่องนี้

นอกจากนี้ สัจพจน์ของอาร์คิมิดีสยังใช้กับจำนวนอตรรกยะด้วย โดยระบุว่าสำหรับปริมาณ a และ b ใดๆ สองปริมาณ เป็นเรื่องจริงที่ว่าถ้าคุณใช้ a เป็นเทอมมากพอคูณด้วย คุณก็เอาชนะ b ได้

การใช้งาน

แม้ว่าคุณจะไม่ได้พบพวกเขาบ่อยนักในชีวิตประจำวัน แต่ก็ไม่สามารถนับจำนวนที่ไม่ลงตัวได้ มีจำนวนมากแต่แทบจะมองไม่เห็นเลย ตัวเลขอตรรกยะมีอยู่รอบตัวเรา ตัวอย่างที่ทุกคนคุ้นเคยคือ ไพ ซึ่งก็คือ 3.1415926... หรือ e ซึ่งเป็นฐานโดยพื้นฐานแล้ว ลอการิทึมธรรมชาติ, 2.718281828... ในพีชคณิต ตรีโกณมิติ และเรขาคณิต ต้องใช้อย่างต่อเนื่อง อนึ่ง ความหมายอันโด่งดังของ “อัตราส่วนทองคำ” นั่นก็คือ อัตราส่วนของทั้งส่วนที่ใหญ่กว่าต่อส่วนที่เล็กกว่าและในทางกลับกันก็เช่นกัน

อยู่ในชุดนี้ “เงิน” ที่รู้จักกันน้อยเช่นกัน

บนเส้นจำนวนพวกมันอยู่หนาแน่นมาก ดังนั้นระหว่างปริมาณสองปริมาณใดๆ ที่จัดว่าเป็นจำนวนตรรกยะ ปริมาณที่ไม่ลงตัวจะต้องเกิดขึ้นอย่างแน่นอน

ยังมีปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขอีกมากมายที่เกี่ยวข้องกับชุดนี้ มีเกณฑ์ต่างๆ เช่น การวัดความไม่ลงตัวและความปกติของตัวเลข นักคณิตศาสตร์ยังคงศึกษาตัวอย่างที่สำคัญที่สุดต่อไปเพื่อพิจารณาว่าตัวอย่างเหล่านั้นอยู่ในกลุ่มใดกลุ่มหนึ่ง ตัวอย่างเช่น เชื่อกันว่า e เป็นจำนวนปกติ นั่นคือ ความน่าจะเป็นที่ตัวเลขต่างกันจะปรากฏในรูปแบบเดียวกัน สำหรับพายนั้น การวิจัยยังอยู่ในระหว่างดำเนินการ การวัดความไม่ลงตัวคือค่าที่แสดงให้เห็นว่าตัวเลขที่กำหนดสามารถประมาณด้วยจำนวนตรรกยะได้ดีเพียงใด

พีชคณิตและเหนือธรรมชาติ

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว จำนวนอตรรกยะแบ่งออกเป็นพีชคณิตและทิพย์ ตามเงื่อนไข เนื่องจากพูดอย่างเคร่งครัด การจำแนกประเภทนี้จึงใช้เพื่อแบ่งเซต C

การกำหนดนี้จะซ่อนจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งรวมถึงจำนวนจริงหรือจำนวนจริงด้วย

ดังนั้นพีชคณิตคือค่าที่เป็นรากของพหุนามที่ไม่เท่ากันกับศูนย์ ตัวอย่างเช่น รากที่สองของ 2 จะอยู่ในหมวดหมู่นี้เนื่องจากเป็นคำตอบของสมการ x 2 - 2 = 0

จำนวนจริงอื่นๆ ทั้งหมดที่ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขนี้เรียกว่าจำนวนเหนือธรรมชาติ ความหลากหลายนี้รวมถึงตัวอย่างที่มีชื่อเสียงที่สุดและกล่าวถึงแล้ว - ตัวเลข pi และฐานของลอการิทึมธรรมชาติ e

สิ่งที่น่าสนใจคือนักคณิตศาสตร์ทั้งสองคนไม่ได้พัฒนาขึ้นมาในตำแหน่งนี้ ความไร้เหตุผลและความมีชัยของพวกเขาได้รับการพิสูจน์แล้วหลายปีหลังจากการค้นพบของพวกเขา สำหรับพาย มีการให้การพิสูจน์ในปี พ.ศ. 2425 และทำให้ง่ายขึ้นในปี พ.ศ. 2437 ซึ่งยุติการอภิปรายที่ยาวนาน 2,500 ปีเกี่ยวกับปัญหากำลังสองของวงกลม ยังไม่ได้รับการศึกษาอย่างครบถ้วน นักคณิตศาสตร์ยุคใหม่จึงมีบางอย่างที่ต้องทำ อย่างไรก็ตาม Archimedes คำนวณค่านี้ได้อย่างแม่นยำเป็นครั้งแรก ก่อนหน้าเขา การคำนวณทั้งหมดเป็นการประมาณมากเกินไป

สำหรับ e (เลขของออยเลอร์หรือเนเปียร์) พบข้อพิสูจน์ถึงความเหนือกว่าของมันในปี พ.ศ. 2416 ใช้ในการแก้สมการลอการิทึม

ตัวอย่างอื่นๆ ได้แก่ ค่าไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์สำหรับค่าพีชคณิตที่ไม่เป็นศูนย์

เนื้อหาในบทความนี้ให้ข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับ ตัวเลขอตรรกยะ- ก่อนอื่นเราจะให้คำจำกัดความของจำนวนอตรรกยะและอธิบายก่อน ด้านล่างนี้เราจะยกตัวอย่างจำนวนอตรรกยะ สุดท้ายนี้ เรามาดูวิธีการบางอย่างในการหาว่าจำนวนที่ระบุนั้นไม่มีเหตุผลหรือไม่

การนำทางหน้า

ความหมายและตัวอย่างจำนวนอตรรกยะ

เมื่อศึกษาทศนิยม เราจะแยกพิจารณาทศนิยมแบบไม่สิ้นสุดเป็นช่วงอนันต์ เศษส่วนดังกล่าวเกิดขึ้นเมื่อวัดความยาวทศนิยมของส่วนที่ไม่สามารถเทียบเคียงกับส่วนของหน่วยได้ นอกจากนี้เรายังตั้งข้อสังเกตอีกว่าเศษส่วนทศนิยมที่ไม่ใช่คาบไม่จำกัดไม่สามารถแปลงเป็นเศษส่วนสามัญได้ (ดูการแปลงเศษส่วนสามัญเป็นทศนิยมและในทางกลับกัน) ดังนั้น ตัวเลขเหล่านี้จึงไม่ใช่จำนวนตรรกยะ แต่เป็นตัวแทนของสิ่งที่เรียกว่าจำนวนอตรรกยะ

เราก็เลยมา. คำจำกัดความของจำนวนอตรรกยะ.

คำนิยาม.

ตัวเลขที่เข้าอยู่. สัญกรณ์ทศนิยมเป็นตัวแทนเศษส่วนทศนิยมที่ไม่ใช่คาบไม่จำกัด เรียกว่า ตัวเลขอตรรกยะ.

คำจำกัดความดังกล่าวช่วยให้เราสามารถให้ ตัวอย่างของจำนวนอตรรกยะ- ตัวอย่างเช่น เศษส่วนทศนิยมแบบไม่เป็นงวด 4.10110011100011110000... (จำนวนหลักและศูนย์เพิ่มขึ้นครั้งละหนึ่ง) ถือเป็นจำนวนอตรรกยะ ลองยกตัวอย่างอีกตัวอย่างหนึ่งของจำนวนอตรรกยะ: −22.353335333335... (จำนวนสามที่แยกแปดออกจะเพิ่มขึ้นทีละสองในแต่ละครั้ง)

ควรสังเกตว่าจำนวนอตรรกยะนั้นค่อนข้างหายากในรูปแบบของเศษส่วนทศนิยมที่ไม่มีคาบไม่สิ้นสุด มักจะพบในรูปแบบ ฯลฯ เช่นเดียวกับในรูปแบบของตัวอักษรที่ป้อนเป็นพิเศษ มากที่สุด ตัวอย่างที่มีชื่อเสียงจำนวนอตรรกยะในรูปแบบนี้คือรากที่สองทางคณิตศาสตร์ของสอง จำนวน “pi” π=3.141592... จำนวน e=2.718281... และจำนวนทอง

จำนวนอตรรกยะสามารถกำหนดได้ในรูปของจำนวนจริง ซึ่งรวมจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะเข้าด้วยกัน

คำนิยาม.

ตัวเลขอตรรกยะเป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ

ตัวเลขนี้ไม่มีเหตุผลใช่ไหม?

เมื่อตัวเลขไม่ได้ถูกกำหนดให้อยู่ในรูปของเศษส่วนทศนิยม แต่อยู่ในรูปของรูท ลอการิทึม ฯลฯ การตอบคำถามว่าตัวเลขนั้นไม่มีเหตุผลหรือไม่นั้นในหลายกรณีค่อนข้างยาก

ไม่ต้องสงสัยเลยว่าเมื่อตอบคำถามที่ถูกวางไว้จะมีประโยชน์มากที่จะรู้ว่าตัวเลขใดที่ไม่ลงตัว จากคำจำกัดความของจำนวนอตรรกยะ จะได้ว่าจำนวนอตรรกยะไม่ใช่จำนวนตรรกยะ ดังนั้น จำนวนอตรรกยะจึงไม่ใช่:

• เศษส่วนทศนิยมคาบที่มีขอบเขตจำกัดและอนันต์

นอกจากนี้ องค์ประกอบของจำนวนตรรกยะใดๆ ที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ (+, −, ·, :) ก็ไม่ใช่จำนวนอตรรกยะ เนื่องจากผลรวม ผลต่าง ผลคูณ และผลหารของจำนวนตรรกยะสองตัวนั้นเป็นจำนวนตรรกยะ เช่น ค่าของนิพจน์และเป็นจำนวนตรรกยะ ในที่นี้เราทราบว่าหากนิพจน์ดังกล่าวมีจำนวนอตรรกยะตัวเดียวในหมู่จำนวนตรรกยะ ค่าของนิพจน์ทั้งหมดจะเป็นจำนวนอตรรกยะ ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ จำนวนเป็นจำนวนอตรรกยะ และจำนวนที่เหลือเป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้นจึงเป็นจำนวนอตรรกยะ ถ้าเป็นจำนวนตรรกยะ ความสมเหตุสมผลของจำนวนก็จะตามมา แต่จำนวนนั้นไม่เป็นตรรกยะ

หากนิพจน์ที่ระบุตัวเลขประกอบด้วยจำนวนอตรรกยะ เครื่องหมายราก ลอการิทึม ฟังก์ชันตรีโกณมิติ, ตัวเลข π, e ฯลฯ จากนั้นจะต้องพิสูจน์ความไร้เหตุผลหรือเหตุผลของจำนวนที่กำหนดในแต่ละกรณีโดยเฉพาะ อย่างไรก็ตาม มีผลลัพธ์จำนวนหนึ่งที่สามารถนำมาใช้ได้ เรามาแสดงรายการหลักกัน

ได้รับการพิสูจน์แล้วว่ารากที่ k ของจำนวนเต็มเป็นจำนวนตรรกยะก็ต่อเมื่อตัวเลขที่อยู่ใต้รากนั้นเป็นกำลัง k ของจำนวนเต็มอื่น ในกรณีอื่น รากดังกล่าวระบุจำนวนอตรรกยะ ตัวอย่างเช่น ตัวเลข และ เป็นจำนวนอตรรกยะ เนื่องจากไม่มีจำนวนเต็มที่มีกำลังสองเป็น 7 และไม่มีจำนวนเต็มซึ่งการบวกยกกำลังที่ 5 จะให้เลข 15 และตัวเลขนั้นไม่เป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจาก และ .

สำหรับลอการิทึม บางครั้งเป็นไปได้ที่จะพิสูจน์ความไร้เหตุผลโดยใช้วิธีขัดแย้ง ตามตัวอย่าง ลองพิสูจน์ว่าบันทึก 2 3 เป็นจำนวนอตรรกยะ

สมมติว่าบันทึก 2 3 เป็นจำนวนตรรกยะและไม่ใช่จำนวนอตรรกยะ กล่าวคือ สามารถแสดงเป็น เศษส่วนทั่วไปม./น. และให้เราเขียนห่วงโซ่แห่งความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: . ความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้ายเป็นไปไม่ได้เนื่องจากอยู่ทางด้านซ้าย เลขคี่และทางด้านขวา – เท่ากัน ดังนั้นเราจึงเกิดข้อขัดแย้ง ซึ่งหมายความว่าสมมติฐานของเราไม่ถูกต้อง และพิสูจน์ว่าบันทึก 2 3 เป็นจำนวนอตรรกยะ

โปรดทราบว่า lna สำหรับ a ที่เป็นจำนวนตรรกยะบวกและไม่เป็นหนึ่งใดๆ จะเป็นจำนวนอตรรกยะ ตัวอย่างเช่น และ เป็นจำนวนอตรรกยะ

นอกจากนี้ยังพิสูจน์ได้ว่าจำนวน e a สำหรับจำนวนตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์ a ใดๆ นั้นเป็นจำนวนอตรรกยะ และจำนวน π z สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ z นั้นเป็นจำนวนอตรรกยะ เช่น ตัวเลขไม่ลงตัว

จำนวนอตรรกยะยังเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ sin, cos, tg และ ctg สำหรับค่าตรรกยะและไม่เป็นศูนย์ใดๆ ของอาร์กิวเมนต์ ตัวอย่างเช่น sin1 , tan(−4) , cos5,7 เป็นจำนวนอตรรกยะ

ยังมีผลลัพธ์ที่พิสูจน์แล้วอื่นๆ แต่เราจะจำกัดตัวเองไว้เฉพาะผลลัพธ์ที่ระบุไว้แล้ว ก็ควรจะกล่าวด้วยว่าเมื่อพิสูจน์ผลลัพธ์ข้างต้นทฤษฎีที่เกี่ยวข้องด้วย ตัวเลขพีชคณิต และ ตัวเลขเหนือธรรมชาติ.

โดยสรุป เราทราบว่าเราไม่ควรด่วนสรุปเกี่ยวกับความไร้เหตุผลของตัวเลขที่กำหนด ตัวอย่างเช่น เห็นได้ชัดว่าจำนวนอตรรกยะถึงระดับที่ไม่ลงตัวนั้นเป็นจำนวนอตรรกยะ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่กรณีเสมอไป เพื่อยืนยันข้อเท็จจริงดังกล่าว เราขอนำเสนอปริญญา เป็นที่ทราบกันว่า - เป็นจำนวนอตรรกยะ และได้รับการพิสูจน์แล้วว่า - เป็นจำนวนอตรรกยะ แต่เป็นจำนวนตรรกยะ คุณยังสามารถยกตัวอย่างจำนวนอตรรกยะ ผลรวม ผลต่าง ผลคูณ และผลหารที่เป็นจำนวนตรรกยะได้ ยิ่งไปกว่านั้น ความสมเหตุสมผลหรือความไม่ลงตัวของตัวเลข π+e, π−e, π·e, π π, π e และอื่นๆ อีกมากมายยังไม่ได้รับการพิสูจน์

อ้างอิง.

• คณิตศาสตร์.ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: การศึกษา เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน / [น. ใช่แล้ว Vilenkin และคนอื่น ๆ ] - ฉบับที่ 22, ว. - อ.: Mnemosyne, 2551. - 288 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-00897-2.
• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย

การทำความเข้าใจตัวเลข โดยเฉพาะจำนวนธรรมชาติ เป็นหนึ่งใน "ทักษะ" ทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุด อารยธรรมหลายแห่ง แม้แต่อารยธรรมสมัยใหม่ก็มีสาเหตุบางประการเช่นกัน คุณสมบัติลึกลับเนื่องจากมีความสำคัญอย่างมากในการอธิบายธรรมชาติ แม้ว่า วิทยาศาสตร์สมัยใหม่และคณิตศาสตร์ไม่ได้ยืนยันคุณสมบัติ "มหัศจรรย์" เหล่านี้ ความสำคัญของทฤษฎีจำนวนก็ไม่อาจปฏิเสธได้

ในอดีต จำนวนธรรมชาติจำนวนหนึ่งปรากฏขึ้นก่อน จากนั้นจึงบวกเศษส่วนอย่างรวดเร็วและจำนวนอตรรกยะบวกเข้าไป จำนวนศูนย์และจำนวนลบถูกนำมาใช้หลังจากเซตย่อยของเซตของจำนวนจริง ชุดสุดท้ายซึ่งเป็นชุดจำนวนเชิงซ้อนปรากฏเมื่อมีการพัฒนาทางวิทยาศาสตร์สมัยใหม่เท่านั้น

ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ตัวเลขไม่ได้ถูกนำมาใช้ตามลำดับประวัติศาสตร์ แม้ว่าจะค่อนข้างใกล้เคียงกันก็ตาม

จำนวนธรรมชาติ $\mathbb(N)$

เซตของจำนวนธรรมชาติมักแสดงเป็น $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ และมักจะเติมด้วยศูนย์เพื่อแสดงถึง $\mathbb(N)_0$

$\mathbb(N)$ กำหนดการดำเนินการของการบวก (+) และการคูณ ($\cdot$) ด้วยคุณสมบัติต่อไปนี้สำหรับ $a,b,c\in \mathbb(N)$ ใดๆ:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ เซต $\mathbb(N)$ ถูกปิดภายใต้การดำเนินการของการบวกและการคูณ
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ สับเปลี่ยน
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ การเชื่อมโยง
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ การกระจายตัว
5. $a\cdot 1=a$ เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการคูณ

เนื่องจากชุด $\mathbb(N)$ มีองค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการคูณ แต่ไม่ใช่สำหรับการบวก การบวกศูนย์เข้ากับชุดนี้จึงทำให้แน่ใจได้ว่าจะมีองค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการบวก

นอกเหนือจากการดำเนินการทั้งสองนี้แล้ว ความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" ($

1. $a b$ การผ่าตัดไตรโคโตมี
2. ถ้า $a\leq b$ และ $b\leq a$ แล้ว $a=b$ ความไม่สมมาตร
3. ถ้า $a\leq b$ และ $b\leq c$ แล้ว $a\leq c$ จะเป็นสกรรมกริยา
4. ถ้า $a\leq b$ แล้ว $a+c\leq b+c$
5. ถ้า $a\leq b$ แล้ว $a\cdot c\leq b\cdot c$

จำนวนเต็ม $\mathbb(Z)$

ตัวอย่างของจำนวนเต็ม:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

การแก้สมการ $a+x=b$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นที่รู้จักว่าเป็นจำนวนธรรมชาติ และ $x$ เป็นจำนวนธรรมชาติที่ไม่รู้จัก จำเป็นต้องมีการดำเนินการใหม่ - การลบ (-) หากมีจำนวนธรรมชาติ $x$ ที่เป็นไปตามสมการนี้ แล้ว $x=b-a$ อย่างไรก็ตาม สมการเฉพาะนี้ไม่จำเป็นต้องมีคำตอบบนเซต $\mathbb(N)$ ดังนั้นการพิจารณาเชิงปฏิบัติจึงต้องขยายชุดของจำนวนธรรมชาติเพื่อรวมคำตอบของสมการนั้นด้วย สิ่งนี้นำไปสู่การแนะนำชุดจำนวนเต็ม: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$

เนื่องจาก $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$ จึงสมเหตุสมผลที่จะถือว่าการดำเนินการที่แนะนำก่อนหน้านี้ $+$ และ $\cdot$ และความสัมพันธ์ $ 1 $0+a=a+0=a$ มีองค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการเพิ่มเติม
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ มีอยู่แล้ว หมายเลขตรงข้าม$-a$ สำหรับ $a$

คุณสมบัติ 5.:
5. ถ้า $0\leq a$ และ $0\leq b$ แล้ว $0\leq a\cdot b$

เซต $\mathbb(Z)$ จะถูกปิดภายใต้การดำเนินการลบเช่นกัน นั่นคือ $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$

จำนวนตรรกยะ $\mathbb(Q)$

ตัวอย่างของจำนวนตรรกยะ:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

ตอนนี้ ให้พิจารณาสมการในรูปแบบ $a\cdot x=b$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นที่รู้จักว่าเป็นจำนวนเต็ม และ $x$ เป็นที่รู้จัก เพื่อให้วิธีแก้ปัญหาเป็นไปได้ จำเป็นต้องเริ่มดำเนินการหาร ($:$) และวิธีแก้ปัญหาจะอยู่ในรูปแบบ $x=b:a$ นั่นคือ $x=\frac(b)(a)$ . ปัญหาเกิดขึ้นอีกครั้งว่า $x$ ไม่ได้เป็นของ $\mathbb(Z)$ เสมอไป ดังนั้นจึงจำเป็นต้องขยายชุดของจำนวนเต็ม นี่เป็นการแนะนำชุดของจำนวนตรรกยะ $\mathbb(Q)$ ที่มีองค์ประกอบ $\frac(p)(q)$ โดยที่ $p\in \mathbb(Z)$ และ $q\in \mathbb(N)$ เซต $\mathbb(Z)$ เป็นเซตย่อยที่แต่ละสมาชิก $q=1$ ดังนั้น $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ และการดำเนินการของการบวกและการคูณจะขยายไปยังเซตนี้ตาม กฎต่อไปนี้ซึ่งรักษาคุณสมบัติข้างต้นทั้งหมดไว้ในชุด $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

มีการแนะนำแผนกดังต่อไปนี้:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

บนเซต $\mathbb(Q)$ สมการ $a\cdot x=b$ มีคำตอบเฉพาะสำหรับแต่ละ $a\neq 0$ (ไม่ได้กำหนดไว้ว่าการหารด้วยศูนย์) ซึ่งหมายความว่ามีองค์ประกอบผกผัน $\frac(1)(a)$ หรือ $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (ก)\cdot a=a)$

ลำดับของเซต $\mathbb(Q)$ สามารถขยายได้ดังนี้:
$\frac(p_1)(q_1)

เซต $\mathbb(Q)$ มีคุณสมบัติที่สำคัญอย่างหนึ่ง: ระหว่างจำนวนตรรกยะสองตัวใดๆ จะมีจำนวนตรรกยะอื่นๆ มากมายเป็นอนันต์ ดังนั้นจึงไม่มีจำนวนตรรกยะสองตัวที่อยู่ติดกัน ต่างจากเซตของจำนวนธรรมชาติและจำนวนเต็ม

จำนวนอตรรกยะ $\mathbb(I)$

ตัวอย่างของจำนวนอตรรกยะ:
$0.333333...$
$\sqrt(2) \ประมาณ 1.41422135...$
$\pi\ประมาณ 3.1415926535...$

เนื่องจากระหว่างจำนวนตรรกยะสองตัวใดๆ ก็มีจำนวนตรรกยะอื่นๆ มากมายเป็นอนันต์ จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะสรุปอย่างผิดพลาดว่าเซตของจำนวนตรรกยะมีความหนาแน่นมากจนไม่จำเป็นต้องขยายออกไปอีก แม้แต่พีทาโกรัสก็ยังทำผิดพลาดในสมัยของเขา อย่างไรก็ตาม ผู้ร่วมสมัยของเขาได้หักล้างข้อสรุปนี้แล้วเมื่อศึกษาคำตอบของสมการ $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) บนเซตของจำนวนตรรกยะ ในการแก้สมการดังกล่าว จำเป็นต้องแนะนำแนวคิดเรื่องรากที่สอง จากนั้นคำตอบของสมการนี้จะอยู่ในรูปแบบ $x=\sqrt(2)$ สมการเช่น $x^2=a$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนตรรกยะที่ทราบ และ $x$ เป็นจำนวนที่ไม่ทราบ ไม่ได้มีคำตอบสำหรับเซตของจำนวนตรรกยะเสมอไป และอีกครั้งที่จำเป็นต้องขยายสมการ ชุด. ชุดของจำนวนอตรรกยะเกิดขึ้น และตัวเลขเช่น $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... เป็นของชุดนี้

จำนวนจริง $\mathbb(R)$

การรวมกันของเซตของจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะคือเซตของจำนวนจริง เนื่องจาก $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$ จึงมีเหตุผลอีกครั้งที่จะถือว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และความสัมพันธ์ที่นำมาใช้ยังคงรักษาคุณสมบัติไว้ในชุดใหม่ การพิสูจน์อย่างเป็นทางการในเรื่องนี้เป็นเรื่องยากมาก ดังนั้นคุณสมบัติที่กล่าวมาข้างต้นของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และความสัมพันธ์ของเซตของจำนวนจริงจึงถูกนำมาใช้เป็นสัจพจน์ ในพีชคณิต วัตถุดังกล่าวเรียกว่าเขตข้อมูล ดังนั้นเซตของจำนวนจริงจึงเรียกว่าเขตข้อมูลเรียงลำดับ

เพื่อให้นิยามของเซตของจำนวนจริงสมบูรณ์ จำเป็นต้องแนะนำสัจพจน์เพิ่มเติมที่แยกเซต $\mathbb(Q)$ และ $\mathbb(R)$ สมมติว่า $S$ เป็นเซตย่อยที่ไม่ว่างของเซตจำนวนจริง องค์ประกอบ $b\in \mathbb(R)$ เรียกว่าขอบเขตบนของเซต $S$ ถ้า $\forall x\in S$ เก็บ $x\leq b$ จากนั้นเราบอกว่าชุด $S$ นั้นมีขอบเขตอยู่ด้านบน ขอบเขตบนที่เล็กที่สุดของชุด $S$ เรียกว่า supremum และเขียนแทนด้วย $\sup S$ แนวคิดของขอบเขตล่าง ชุดขอบเขตด้านล่าง และ infinum $\inf S$ ได้รับการแนะนำในทำนองเดียวกัน ตอนนี้สัจพจน์ที่หายไปมีการกำหนดดังนี้:

สับเซตที่ไม่ว่างและมีขอบเขตบนของเซตจำนวนจริงจะมีค่าสูงสุด
นอกจากนี้ยังสามารถพิสูจน์ได้ว่าฟิลด์ของจำนวนจริงที่กำหนดในลักษณะข้างต้นนั้นไม่ซ้ำกัน

จำนวนเชิงซ้อน$\mathbb(C)$

ตัวอย่างของจำนวนเชิงซ้อน:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ โดยที่ $i = \sqrt(-1)$ หรือ $i^2 = -1$

เซตของจำนวนเชิงซ้อนแสดงถึงคู่ลำดับของจำนวนจริงทั้งหมด นั่นคือ $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$ ซึ่งการดำเนินการของ การบวกและการคูณมีการกำหนดไว้ดังนี้:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

การเขียนจำนวนเชิงซ้อนมีอยู่หลายรูปแบบ ซึ่งรูปแบบที่พบบ่อยที่สุดคือ $z=a+ib$ โดยที่ $(a,b)$ คือคู่ของจำนวนจริง และตัวเลข $i=(0,1)$ เรียกว่าหน่วยจินตภาพ

มันง่ายที่จะแสดงว่า $i^2=-1$ การขยายเซต $\mathbb(R)$ ไปยังเซต $\mathbb(C)$ ช่วยให้เราสามารถหารากที่สองของ ตัวเลขติดลบซึ่งเป็นเหตุให้เกิดชุดจำนวนเชิงซ้อนขึ้นมา มันง่ายที่จะแสดงว่าเซตย่อยของเซต $\mathbb(C)$ ที่กำหนดโดย $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ เป็นไปตามเงื่อนไขทั้งหมด สัจพจน์ของจำนวนจริง ดังนั้น $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$ หรือ $R\subset\mathbb(C)$

โครงสร้างพีชคณิตของเซต $\mathbb(C)$ ที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการบวกและการคูณมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
1. การสับเปลี่ยนของการบวกและการคูณ
2. ความสัมพันธ์ของการบวกและการคูณ
3. $0+i0$ - องค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการบวก
4. $1+i0$ - องค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการคูณ
5. การคูณเป็นการแจกแจงด้วยการบวก
6. มีการผกผันเพียงตัวเดียวสำหรับทั้งการบวกและการคูณ