ตัวอักษรใดแสดงถึงจำนวนอตรรกยะ? จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ

จำนวนตรรกยะคือตัวเลขที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ - Q คือเซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมด

จำนวนตรรกยะแบ่งออกเป็น: บวก ลบ และศูนย์

จำนวนตรรกยะแต่ละตัวสามารถเชื่อมโยงกับจุดเดียวบนเส้นพิกัดได้ ความสัมพันธ์ "ไปทางซ้ายมากกว่า" สำหรับจุดต่างๆ สอดคล้องกับความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" สำหรับพิกัดของจุดเหล่านี้ คุณจะเห็นว่าจำนวนลบทุกจำนวน น้อยกว่าศูนย์และทุกสิ่ง จำนวนบวก- จากสอง ตัวเลขติดลบที่เล็กกว่าคืออันที่มีโมดูลัสมากกว่า ดังนั้น -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

จำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมเป็นงวดได้ ตัวอย่างเช่น, .

อัลกอริทึมสำหรับการดำเนินการกับจำนวนตรรกยะเป็นไปตามกฎเครื่องหมายสำหรับการดำเนินการที่สอดคล้องกันกับเศษส่วนศูนย์และบวก ใน Q การหารจะดำเนินการ ยกเว้นการหารด้วยศูนย์

ใดๆ สมการเชิงเส้น, เช่น. สมการของรูปแบบ ax+b=0 โดยที่ แก้ได้บนเซต Q แต่ไม่มีค่าใดๆ สมการกำลังสองใจดี , แก้ได้เป็นจำนวนตรรกยะ ไม่ใช่ทุกจุดบนเส้นพิกัดจะมีจุดที่มีเหตุผล ย้อนกลับไปเมื่อปลายศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสต์ศักราช n. e ในสำนักพีทาโกรัส ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่สมส่วนกับความสูงของมัน ซึ่งเท่ากับข้อความที่ว่า "สมการไม่มีรากที่เป็นเหตุเป็นผล" สิ่งที่กล่าวมาทั้งหมดนำไปสู่ความจำเป็นในการขยายเซต Q และแนวคิดเรื่องจำนวนอตรรกยะได้ถูกนำมาใช้ ให้เราแสดงเซตของจำนวนอตรรกยะด้วยตัวอักษร เจ .

บนเส้นพิกัด ฉันมีพิกัดไม่ลงตัวสำหรับทุกจุดที่ไม่มีพิกัดตรรกยะ โดยที่ r – ชุด ตัวเลขจริง. ในทางที่เป็นสากลการกำหนดจำนวนจริงเป็นเศษส่วนทศนิยม ทศนิยมแบบคาบกำหนดจำนวนตรรกยะ และทศนิยมแบบไม่คาบกำหนดจำนวนอตรรกยะ ดังนั้น 2.03(52) จึงเป็นจำนวนตรรกยะ 2.03003000300003... (คาบของตัวเลขที่ตามมาแต่ละตัว “3” เขียนเป็นศูนย์อีกหนึ่งตัว) จึงเป็นจำนวนอตรรกยะ

เซต Q และ R มีคุณสมบัติเป็นค่าบวก: ระหว่างจำนวนตรรกยะสองตัวใดๆ จะมีจำนวนตรรกยะจำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเช่น esoi a

สำหรับจำนวนอตรรกยะใดๆ α คุณสามารถระบุการประมาณอย่างมีเหตุผลทั้งส่วนที่ขาดและส่วนเกินได้ด้วยความแม่นยำ:< α

การดำเนินการหารากของจำนวนตรรกยะบางจำนวนจะส่งผลให้เกิดจำนวนอตรรกยะ การแยกรากของระดับธรรมชาติเป็นการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต เช่น การแนะนำมีความเกี่ยวข้องกับการแก้สมการพีชคณิตของรูปแบบ - ถ้า n เป็นเลขคี่ เช่น n=2k+1 โดยที่ แล้วสมการจะมีรากเดียว ถ้า n เป็นเลขคู่ n=2k โดยที่ สำหรับ a=0 สมการจะมีรากเดียว x=0 สำหรับ a<0 корней нет, при a>0 มีสองรากที่อยู่ตรงข้ามกัน การแยกรากเป็นการดำเนินการย้อนกลับของการปลุกพลังธรรมชาติ

รากเลขคณิต (เรียกสั้น ๆ ว่าราก) ของระดับที่ n ของจำนวนที่ไม่เป็นลบ a คือจำนวนที่ไม่เป็นลบ b ซึ่งเป็นรากของสมการ รากที่ n ของตัวเลขจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ เมื่อ n=2 ระดับของรูท 2 จะไม่ถูกระบุ:

เช่น เพราะว่า 2 2 =4 และ 2>0; , เพราะ 3 3 =27 และ 3>0; ไม่มีอยู่เพราะ -4<0.

สำหรับ n=2k และ a>0 รากของสมการ (1) เขียนเป็น และ ตัวอย่างเช่น รากของสมการ x 2 =4 คือ 2 และ -2

สำหรับค่า n คี่ สมการ (1) มีรากเฉพาะสำหรับค่าใดๆ ถ้า a≥0 นั่นคือรากของสมการนี้ ถ้าก<0, то –а>0 และเป็นรากของสมการ ดังนั้นสมการ x 3 = 27 มีราก

จำนวนอตรรกยะ- นี้ จำนวนจริงซึ่งไม่เป็นตรรกยะ กล่าวคือ ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่เป็นจำนวนเต็ม จำนวนอตรรกยะสามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมที่ไม่ใช่คาบไม่จำกัดได้

ชุดของจำนวนอตรรกยะมักจะแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ในรูปแบบตัวหนาโดยไม่มีการแรเงา ดังนั้น: เช่น มีจำนวนอตรรกยะมากมาย ความแตกต่างระหว่างเซตของจำนวนจริงและจำนวนตรรกยะ

เกี่ยวกับการมีอยู่ของจำนวนอตรรกยะให้ชัดเจนยิ่งขึ้น นักคณิตศาสตร์โบราณรู้จักส่วนที่ไม่สามารถเทียบเคียงกับส่วนของความยาวหน่วยได้ ตัวอย่างเช่น พวกเขารู้ถึงความไม่ลงตัวของเส้นทแยงมุมและด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งเทียบเท่ากับความไร้เหตุผลของตัวเลข

คุณสมบัติ

• จำนวนจริงใดๆ สามารถเขียนเป็นเศษส่วนทศนิยมอนันต์ได้ ในขณะที่จำนวนอตรรกยะและมีเพียงเขียนเป็นเศษส่วนทศนิยมอนันต์ที่ไม่ใช่คาบเท่านั้น
• ตัวเลขอตรรกยะกำหนดส่วนของ Dedekind ในชุดจำนวนตรรกยะที่ไม่มีจำนวนมากที่สุดในคลาสที่ต่ำกว่า และไม่มีจำนวนที่น้อยที่สุดในคลาสบน
• จำนวนอดิศัยที่แท้จริงทุกจำนวนนั้นไม่มีเหตุผล
• จำนวนอตรรกยะทุกจำนวนเป็นพีชคณิตหรือทิพย์
• เซตของจำนวนอตรรกยะนั้นมีความหนาแน่นทุกจุดบนเส้นจำนวน ระหว่างตัวเลขสองตัวใดๆ ก็ตาม จะมีจำนวนอตรรกยะหนึ่งตัว
• ลำดับของเซตของจำนวนอตรรกยะนั้นมีลักษณะไม่เท่ากันกับลำดับของเซตของจำนวนอตรรกยะจริง
• ชุดของจำนวนอตรรกยะนับไม่ได้และเป็นชุดประเภทที่ 2

ตัวอย่าง

ตัวเลขอตรรกยะ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

ไม่มีเหตุผลคือ:

ตัวอย่างการพิสูจน์ความไร้เหตุผล

รากของ 2

ให้เราสมมติสิ่งที่ตรงกันข้าม: มันเป็นตรรกยะ กล่าวคือ มันถูกแสดงในรูปของเศษส่วนที่ลดไม่ได้ โดยที่คือจำนวนเต็มและเป็นจำนวนธรรมชาติ ลองยกกำลังสองของความเท่าเทียมกัน:

.

ตามมาด้วยว่าคู่เป็นคู่ และ ปล่อยให้มันเป็นที่ทั้งหมด แล้ว

ดังนั้นแม้แต่ หมายถึงคู่ และ เราพบสิ่งนั้น และ เป็นจำนวนคู่ ซึ่งขัดแย้งกับการลดทอนไม่ได้ของเศษส่วน. ซึ่งหมายความว่าสมมติฐานเดิมไม่ถูกต้อง และเป็นจำนวนอตรรกยะ

ลอการิทึมไบนารีของจำนวน 3

ให้เราสมมติสิ่งที่ตรงกันข้าม: มันเป็นตรรกยะ กล่าวคือ มันถูกแสดงเป็นเศษส่วน โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม เนื่องจาก และ สามารถเลือกให้เป็นค่าบวกได้ แล้ว

แต่แม้และแปลก เราได้รับความขัดแย้ง

จ

เรื่องราว

แนวคิดเรื่องจำนวนอตรรกยะถูกนำมาใช้โดยปริยายโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียในศตวรรษที่ 7 ก่อนคริสตกาล เมื่อมานาวา (ประมาณ 750 ปีก่อนคริสตกาล - ประมาณ 690 ปีก่อนคริสตกาล) พบว่ารากที่สองของจำนวนธรรมชาติบางตัว เช่น 2 และ 61 ไม่สามารถแสดงออกมาอย่างชัดเจนได้ .

การพิสูจน์ครั้งแรกของการมีอยู่ของจำนวนอตรรกยะมักมาจากฮิปปาซัสแห่งเมตาปอนตัส (ประมาณ 500 ปีก่อนคริสตกาล) ซึ่งเป็นชาวพีทาโกรัสที่พบข้อพิสูจน์นี้โดยการศึกษาความยาวของด้านข้างของรูปดาวห้าแฉก ในสมัยพีทาโกรัส เชื่อกันว่ามีหน่วยความยาวหน่วยเดียว ซึ่งมีขนาดเล็กเพียงพอและแบ่งแยกไม่ได้ ซึ่งเข้าสู่ส่วนใดๆ ก็ตามด้วยจำนวนเต็มครั้ง อย่างไรก็ตาม ฮิปปาซัสแย้งว่าไม่มีหน่วยความยาวเดียว เนื่องจากการสันนิษฐานว่ามีอยู่จริงทำให้เกิดความขัดแย้ง เขาแสดงให้เห็นว่าถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วมีจำนวนส่วนของหน่วยเป็นจำนวนเต็ม จำนวนนี้จะต้องเป็นทั้งเลขคู่และคี่ หลักฐานมีลักษณะดังนี้:

• อัตราส่วนของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากต่อความยาวของขาของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วสามารถแสดงได้เป็น ก:ข, ที่ไหน กและ ขเลือกให้เล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้
• ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส: ก² = 2 ข².
• เพราะ ก- สม่ำเสมอ, กต้องเป็นเลขคู่ (เนื่องจากกำลังสองของเลขคี่จะเป็นเลขคี่)
• เนื่องจาก ก:ขลดไม่ได้ ขจะต้องแปลก
• เพราะ กแม้เราจะแสดงถึง ก = 2ย.
• แล้ว ก² = 4 ย² = 2 ข².
• ข² = 2 ย² ดังนั้น ข- ถึงอย่างนั้น ขสม่ำเสมอ.
• อย่างไรก็ตามได้รับการพิสูจน์แล้วว่า ขแปลก. ความขัดแย้ง

นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกเรียกอัตราส่วนนี้ของปริมาณที่เทียบไม่ได้ อะโลโกส(พูดไม่ได้) แต่ตามตำนานพวกเขาไม่ได้ให้ความเคารพต่อฮิปปาซัส มีตำนานเล่าว่าฮิปปาซัสค้นพบระหว่างการเดินทางในทะเลและถูกชาวพีทาโกรัสคนอื่นๆ โยนลงน้ำ "สำหรับการสร้างองค์ประกอบของจักรวาลที่ปฏิเสธหลักคำสอนที่ว่าเอนทิตีทั้งหมดในจักรวาลสามารถลดจำนวนลงเป็นจำนวนเต็มและอัตราส่วนได้" การค้นพบฮิปปาซัสก่อให้เกิดปัญหาร้ายแรงสำหรับคณิตศาสตร์พีทาโกรัส โดยทำลายสมมติฐานที่ว่าตัวเลขและวัตถุทางเรขาคณิตเป็นหนึ่งเดียวกันและแยกจากกันไม่ได้

จำนวนตรรกยะทั้งหมดสามารถแสดงเป็นเศษส่วนร่วมได้ สิ่งนี้ใช้กับจำนวนเต็ม (เช่น 12, –6, 0) และเศษส่วนทศนิยมจำกัด (เช่น 0.5; –3.8921) และเศษส่วนทศนิยมเป็นคาบไม่สิ้นสุด (เช่น 0.11(23); –3 ,(87 )).

อย่างไรก็ตาม ทศนิยมที่ไม่ใช่คาบไม่จำกัดไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดาได้ นั่นคือสิ่งที่พวกเขาเป็น ตัวเลขอตรรกยะ(นั่นคือไม่มีเหตุผล) ตัวอย่างของตัวเลขดังกล่าวคือตัวเลข π ซึ่งมีค่าประมาณเท่ากับ 3.14 อย่างไรก็ตาม ไม่สามารถระบุค่าที่เท่ากันเป๊ะๆ ได้ เนื่องจากหลังจากเลข 4 จะมีจำนวนอื่นๆ ต่อเนื่องกันไม่รู้จบ ซึ่งไม่สามารถแยกแยะคาบการทำซ้ำได้ ยิ่งกว่านั้น แม้ว่าจะไม่สามารถแสดงตัวเลข π ได้อย่างแม่นยำ แต่ก็มีความหมายทางเรขาคณิตที่เฉพาะเจาะจง ตัวเลข π คืออัตราส่วนของความยาวของวงกลมใดๆ ต่อความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลาง ดังนั้น จำนวนอตรรกยะจึงมีอยู่ในธรรมชาติ เช่นเดียวกับจำนวนตรรกยะ

อีกตัวอย่างหนึ่งของจำนวนอตรรกยะก็คือรากที่สองของจำนวนบวก การแยกรากออกจากตัวเลขบางตัวจะให้ค่าตรรกยะจากตัวเลขอื่น - ไม่ลงตัว ตัวอย่างเช่น √4 = 2 กล่าวคือ รากของ 4 เป็นจำนวนตรรกยะ แต่ √2, √5, √7 และอื่นๆ อีกมากมายส่งผลให้เกิดจำนวนอตรรกยะ กล่าวคือ สามารถแยกออกมาได้โดยการประมาณเท่านั้น โดยปัดเศษให้เป็นทศนิยมตำแหน่งที่กำหนด ในกรณีนี้ เศษส่วนจะกลายเป็นแบบไม่เป็นคาบ นั่นคือมันเป็นไปไม่ได้ที่จะพูดอย่างแน่ชัดและแน่นอนว่ารากของตัวเลขเหล่านี้คืออะไร

ดังนั้น √5 จึงเป็นตัวเลขที่อยู่ระหว่างเลข 2 และ 3 เนื่องจาก √4 = 2 และ √9 = 3 เราสามารถสรุปได้ว่า √5 ใกล้ 2 มากกว่า 3 เนื่องจาก √4 ใกล้ √5 มากกว่า √9 ถึง √5 อันที่จริง √5 data 2.23 หรือ √5 data 2.24

จำนวนอตรรกยะยังได้รับในการคำนวณอื่นๆ (ไม่ใช่เฉพาะเมื่อแยกราก) และอาจเป็นค่าลบได้

ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับจำนวนอตรรกยะ เราสามารถพูดได้ว่าไม่ว่าเราจะใช้หน่วยส่วนใดในการวัดความยาวที่แสดงโดยตัวเลขดังกล่าว เราก็ไม่สามารถวัดได้อย่างแน่นอน

ในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ จำนวนอตรรกยะสามารถมีส่วนร่วมพร้อมกับจำนวนตรรกยะได้ ในขณะเดียวกันก็มีความสม่ำเสมอหลายประการ ตัวอย่างเช่น ถ้าเฉพาะจำนวนตรรกยะเท่านั้นที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนตรรกยะเสมอ หากมีผู้ไม่มีเหตุผลเข้าร่วมในปฏิบัติการก็เป็นไปไม่ได้ที่จะพูดได้อย่างชัดเจนว่าผลลัพธ์จะเป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะ

ตัวอย่างเช่น หากคุณคูณจำนวนอตรรกยะสองตัว √2 * √2 คุณจะได้ 2 - นี่คือจำนวนตรรกยะ ในทางกลับกัน √2 * √3 = √6 เป็นจำนวนอตรรกยะ

หากการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ ผลลัพธ์ที่ได้จะไม่ลงตัว เช่น 1 + 3.14... = 4.14... ; √17 – 4.

ทำไม √17 – 4 จึงเป็นจำนวนอตรรกยะ? ลองจินตนาการว่าเราได้รับจำนวนตรรกยะ x จากนั้น √17 = x + 4 แต่ x + 4 เป็นจำนวนตรรกยะ เพราะเราถือว่า x เป็นจำนวนตรรกยะ จำนวน 4 ก็เป็นจำนวนตรรกยะเช่นกัน ดังนั้น x + 4 จึงเป็นจำนวนตรรกยะ อย่างไรก็ตาม จำนวนตรรกยะไม่สามารถเท่ากับจำนวนอตรรกยะ √17 ได้ ดังนั้นสมมติฐานที่ว่า √17 – 4 ให้ผลลัพธ์ที่เป็นตรรกยะจึงไม่ถูกต้อง ผลลัพธ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์จะไม่มีเหตุผล

อย่างไรก็ตาม มีข้อยกเว้นสำหรับกฎนี้ ถ้าเราคูณจำนวนอตรรกยะด้วย 0 เราจะได้จำนวนตรรกยะ 0

จำนวนตรรกยะ– จำนวนที่แสดงด้วยเศษส่วนธรรมดา m/n โดยที่ตัวเศษ m เป็นจำนวนเต็ม และตัวส่วน n เป็นจำนวนธรรมชาติ จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมอนันต์เป็นคาบได้ เซตของจำนวนตรรกยะเขียนแทนด้วย Q

หากจำนวนจริงไม่เป็นจำนวนตรรกยะ แสดงว่าเป็นเช่นนั้น จำนวนอตรรกยะ- เศษส่วนทศนิยมที่แสดงจำนวนอตรรกยะนั้นเป็นอนันต์และไม่เป็นคาบ เซตของจำนวนอตรรกยะมักจะแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ I

เรียกว่าจำนวนจริง พีชคณิตถ้าเป็นรากของพหุนามบางตัว (ดีกรีที่ไม่ใช่ศูนย์) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตรรกยะ จะมีการเรียกตัวเลขที่ไม่ใช่พีชคณิต เหนือธรรมชาติ.

คุณสมบัติบางอย่าง:

ชุดของจำนวนตรรกยะตั้งอยู่ทุกจุดอย่างหนาแน่นบนแกนจำนวน: ระหว่างจำนวนตรรกยะที่ต่างกันสองตัวใดๆ จะมีจำนวนตรรกยะอย่างน้อยหนึ่งตัว (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นชุดของจำนวนตรรกยะที่ไม่มีที่สิ้นสุด) อย่างไรก็ตามปรากฎว่าชุดของจำนวนตรรกยะ Q และชุดของจำนวนธรรมชาติ N นั้นเท่ากันนั่นคือสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างพวกมันได้ (องค์ประกอบทั้งหมดของชุดของจำนวนตรรกยะสามารถกำหนดหมายเลขใหม่ได้) .

เซต Q ของจำนวนตรรกยะจะปิดภายใต้การบวก ลบ คูณ และหาร ซึ่งก็คือผลรวม ผลต่าง ผลคูณและผลหารของจำนวนตรรกยะสองตัว ก็เป็นจำนวนตรรกยะเช่นกัน

จำนวนตรรกยะทั้งหมดเป็นพีชคณิต (ตรงกันข้ามเป็นเท็จ)

จำนวนอดิศัยที่แท้จริงทุกจำนวนนั้นไม่มีเหตุผล

จำนวนอตรรกยะทุกจำนวนเป็นพีชคณิตหรือทิพย์

เซตของจำนวนอตรรกยะนั้นมีความหนาแน่นทุกจุดบนเส้นจำนวน: ระหว่างตัวเลขสองตัวใดๆ จะมีจำนวนอตรรกยะจำนวนหนึ่ง (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นเซตของจำนวนอตรรกยะที่ไม่มีที่สิ้นสุด)

เซตของจำนวนอตรรกยะนับไม่ได้

เมื่อแก้ไขปัญหาจะสะดวกพร้อมกับจำนวนอตรรกยะ a + b√ c (โดยที่ a, b เป็นจำนวนตรรกยะ c เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่กำลังสองของจำนวนธรรมชาติ) เพื่อพิจารณาจำนวน "คอนจูเกต" a – b√ c: ผลบวกและผลคูณของจำนวนดั้งเดิม – จำนวนตรรกยะ ดังนั้น a + b√ c และ a – b√ c จึงเป็นรากของสมการกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

ปัญหากับแนวทางแก้ไข

1. พิสูจน์ว่า

ก) หมายเลข √ 7;

b) บันทึกหมายเลข 80;

ค) หมายเลข √ 2 + 3 √ 3;

ไม่มีเหตุผล

ก) สมมติว่าตัวเลข √ 7 เป็นจำนวนตรรกยะ จากนั้นจะมีโคไพรม์ p และ q โดยที่ √ 7 = p/q ดังนั้นเราจะได้ p 2 = 7q 2 เนื่องจาก p และ q ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น p 2 ดังนั้น p จึงหารด้วย 7 ลงตัว จากนั้น p = 7k โดยที่ k เป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น q 2 = 7k 2 = pk ซึ่งขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่า p และ q เป็นจำนวนเฉพาะ

ดังนั้นสมมติฐานจึงเป็นเท็จ ซึ่งหมายความว่าตัวเลข √ 7 นั้นไม่มีเหตุผล

b) ให้เราถือว่าบันทึกตัวเลข 80 เป็นจำนวนตรรกยะ จากนั้นจะมี p และ q โดยธรรมชาติซึ่ง log 80 = p/q หรือ 10 p = 80 q ซึ่งเราจะได้ 2 p–4q = 5 q–p เมื่อพิจารณาว่าตัวเลข 2 และ 5 ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ เราพบว่าความเสมอภาคสุดท้ายเป็นไปได้สำหรับ p–4q = 0 และ q–p = 0 เท่านั้น โดยที่ p = q = 0 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เนื่องจาก p และ q ถูกเลือก ให้เป็นธรรมชาติ

ดังนั้นสมมติฐานจึงเป็นเท็จ ซึ่งหมายความว่าตัวเลข lg 80 นั้นไม่ลงตัว

c) ให้เราแสดงตัวเลขนี้ด้วย x

จากนั้น (x – √ 2) 3 = 3 หรือ x 3 + 6x – 3 = √ 2 (3x 2 + 2) หลังจากยกกำลังสองสมการนี้แล้ว เราพบว่า x ต้องเป็นไปตามสมการ

x 6 – 6x 4 – 6x 3 + 12x 2 – 36x + 1 = 0

รากตรรกยะของมันคือตัวเลข 1 และ –1 เท่านั้น การตรวจสอบแสดงว่า 1 และ –1 ไม่ใช่ราก

ดังนั้นตัวเลขที่กำหนด √ 2 + 3 √ 3 ​​​​จึงไม่มีเหตุผล

2. เป็นที่รู้กันว่าตัวเลข a, b, √ก –√ข,– มีเหตุผล พิสูจน์ว่า √ก และ √ขยังเป็นจำนวนตรรกยะอีกด้วย

มาดูผลงานกัน

(√ ก – √ ข)·(√ ก + √ ข) = ก – ข

ตัวเลข √ก +√ข,ซึ่งเท่ากับอัตราส่วนของตัวเลข a – b และ √ก –√ข,เป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจากผลหารของจำนวนตรรกยะสองตัวคือจำนวนตรรกยะ ผลรวมของจำนวนตรรกยะสองตัว

½ (√ ก + √ ข) + ½ (√ ก – √ ข) = √ ก

– จำนวนตรรกยะ ผลต่าง

½ (√ ก + √ ข) – ½ (√ ก – √ ข) = √ ข

ก็เป็นจำนวนตรรกยะด้วยซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์

3. พิสูจน์ว่ามีจำนวนอตรรกยะบวก a และ b โดยที่จำนวน a b เป็นจำนวนธรรมชาติ

4. มีจำนวนตรรกยะ a, b, c, d ที่เป็นไปตามความเท่าเทียมกันหรือไม่

(ก + ข √ 2 ) 2n + (ค + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

โดยที่ n คือจำนวนธรรมชาติ?

หากความเท่าเทียมกันที่กำหนดในเงื่อนไขเป็นที่น่าพอใจ และตัวเลข a, b, c, d เป็นจำนวนตรรกยะ ความเท่าเทียมกันก็จะเป็นไปตามนั้นด้วย:

(ก–ข √ 2 ) 2n + (ค – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

แต่ 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0 ผลความขัดแย้งพิสูจน์ว่าความเสมอภาคเดิมนั้นเป็นไปไม่ได้

คำตอบ: พวกเขาไม่มีอยู่จริง

5. ถ้าส่วนที่มีความยาว a, b, c เป็นรูปสามเหลี่ยม ดังนั้น สำหรับ n ทั้งหมด = 2, 3, 4, . - - ส่วนที่มีความยาว n √ a, n √ b, n √ c ก็เป็นรูปสามเหลี่ยมเช่นกัน พิสูจน์มัน

หากส่วนที่มีความยาว a, b, c ก่อตัวเป็นรูปสามเหลี่ยม แสดงว่าอสมการของสามเหลี่ยมจะให้มา

ดังนั้นเราจึงมี

(n √ a + n √ b) n > a + b > c = (n √ c) n

ยังไม่มีข้อความ √ ก + n √ ข > n √ ค

กรณีที่เหลือของการตรวจสอบอสมการของสามเหลี่ยมก็ถือว่าคล้ายกัน โดยมีข้อสรุปดังนี้

6. พิสูจน์ว่าเศษส่วนทศนิยมอนันต์คือ 0.1234567891011121314... (หลังจุดทศนิยมทั้งหมด ตัวเลขธรรมชาติตามลำดับ) เป็นจำนวนอตรรกยะ

ดังที่คุณทราบ จำนวนตรรกยะจะแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมซึ่งมีจุดเริ่มต้นจากเครื่องหมายที่กำหนด ดังนั้นจึงเพียงพอแล้วที่จะพิสูจน์ว่าเศษส่วนนี้ไม่มีคาบในสัญลักษณ์ใดๆ สมมติว่าไม่เป็นเช่นนั้น และลำดับ T ของตัวเลข n หลักคือคาบของเศษส่วน โดยเริ่มต้นที่จุดทศนิยมตำแหน่งที่ m เป็นที่ชัดเจนว่าในบรรดาตัวเลขหลังหลักที่ m นั้นมีจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ดังนั้นจึงมีหลักที่ไม่เป็นศูนย์ในลำดับของหลัก T ซึ่งหมายความว่า เริ่มจากหลักที่ m หลังจุดทศนิยม ในบรรดาตัวเลข n หลักใดๆ ในแถวจะมีตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ อย่างไรก็ตามใน สัญกรณ์ทศนิยมสำหรับเศษส่วนนี้จะต้องมีสัญลักษณ์ทศนิยมเป็น 100...0 = 10 k โดยที่ k > m และ k > n เห็นได้ชัดว่ารายการนี้เกิดขึ้นทางด้านขวาของหลักที่ m และมีศูนย์มากกว่า n ตัวติดกัน ดังนั้นเราจึงได้รับข้อขัดแย้งที่ทำให้การพิสูจน์สมบูรณ์

7. ให้เศษส่วนทศนิยมอนันต์ 0,a 1 a 2 ... . พิสูจน์ว่าตัวเลขในรูปแบบทศนิยมสามารถจัดเรียงใหม่ได้เพื่อให้เศษส่วนผลลัพธ์แสดงจำนวนตรรกยะ

จำไว้ว่าเศษส่วนจะแสดงจำนวนตรรกยะก็ต่อเมื่อมันเป็นคาบโดยเริ่มจากเครื่องหมายบางตัวเท่านั้น เราจะแบ่งตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9 ออกเป็นสองคลาส: ในคลาสแรกเราจะรวมตัวเลขที่ปรากฏในเศษส่วนดั้งเดิมเป็นจำนวนจำกัดในคลาสที่สองเรารวมตัวเลขที่ปรากฏในเศษส่วนดั้งเดิมด้วยจำนวนอนันต์ของ ครั้ง เรามาเริ่มเขียนเศษส่วนเป็นคาบซึ่งสามารถหาได้จากต้นฉบับโดยการจัดเรียงตัวเลขใหม่ ขั้นแรก หลังจากศูนย์และลูกน้ำ เราจะเขียนตัวเลขทั้งหมดจากคลาสแรกตามลำดับแบบสุ่ม โดยแต่ละครั้งจะมากเท่าที่ปรากฏในรูปแบบเศษส่วนดั้งเดิม ตัวเลขชั้นแรกที่บันทึกไว้จะนำหน้าจุดในส่วนที่เป็นเศษส่วนของทศนิยม ต่อไป เราจะเขียนตัวเลขจากชั้นเรียนที่สองทีละรายการตามลำดับ เราจะประกาศให้การรวมกันนี้เป็นช่วงเวลาและทำซ้ำเป็นจำนวนอนันต์ ดังนั้นเราจึงเขียนเศษส่วนคาบที่ต้องการเพื่อแสดงจำนวนตรรกยะที่แน่นอน

8. พิสูจน์ว่าในทุกเศษส่วนทศนิยมอนันต์มีลำดับของตำแหน่งทศนิยมที่มีความยาวตามใจชอบ ซึ่งเกิดขึ้นไม่สิ้นสุดหลายครั้งในการสลายตัวของเศษส่วน

ให้ m เป็นจำนวนธรรมชาติที่กำหนดมาโดยพลการ ลองแบ่งเศษส่วนทศนิยมอนันต์นี้ออกเป็นส่วนๆ โดยมีหลัก m ในแต่ละส่วน จะมีส่วนดังกล่าวจำนวนอนันต์ อีกด้านหนึ่ง ระบบต่างๆประกอบด้วยหลัก m มีเพียง 10 m คือจำนวนจำกัด ด้วยเหตุนี้ อย่างน้อยหนึ่งระบบเหล่านี้จึงต้องถูกทำซ้ำที่นี่หลายๆ ครั้งไม่จำกัด

ความคิดเห็น สำหรับจำนวนอตรรกยะ √ 2, π หรือ จเราไม่รู้ด้วยซ้ำว่าตัวเลขใดถูกทำซ้ำอย่างไม่สิ้นสุดหลายครั้งในเศษส่วนทศนิยมอนันต์ที่เป็นตัวแทน แม้ว่าแต่ละตัวเลขเหล่านี้สามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายว่ามีตัวเลขดังกล่าวที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองหลัก

9. พิสูจน์ด้วยวิธีเบื้องต้นว่ารากที่เป็นบวกของสมการ

ไม่มีเหตุผล

สำหรับ x > 0 ด้านซ้ายสมการเพิ่มขึ้นเมื่อมี x และเห็นได้ง่ายว่าที่ x = 1.5 จะน้อยกว่า 10 และที่ x = 1.6 จะมีมากกว่า 10 ดังนั้น รากที่เป็นบวกเพียงรากเดียวของสมการจึงอยู่ภายในช่วง (1.5; 1.6 ).

ขอให้เราเขียนรากเป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ p/q โดยที่ p และ q เป็นจำนวนธรรมชาติที่ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ จากนั้นที่ x = p/q สมการจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

หน้า 5 + หน้า 4 = 10q 5

โดยที่ p เป็นตัวหารของ 10 ดังนั้น p จึงเท่ากับหนึ่งในตัวเลข 1, 2, 5, 10 อย่างไรก็ตาม เมื่อเขียนเศษส่วนที่มีตัวเศษ 1, 2, 5, 10 เราจะสังเกตได้ทันทีว่า ไม่มีอันใดตกอยู่ในช่วง (1.5; 1.6)

ดังนั้น รากที่เป็นบวกของสมการดั้งเดิมจึงไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดาได้ ดังนั้นจึงเป็นจำนวนอตรรกยะ

10. ก) มีจุด A, B และ C สามจุดบนระนาบหรือไม่ ซึ่งสำหรับจุด X ใดๆ ความยาวของส่วน XA, XB และ XC อย่างน้อยหนึ่งจุดนั้นไม่มีเหตุผล

b) พิกัดของจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมมีเหตุผล พิสูจน์ว่าพิกัดของจุดศูนย์กลางของเส้นรอบวงนั้นมีเหตุผลเช่นกัน

c) มีทรงกลมที่มีจุดตรรกยะจุดเดียวหรือไม่? (จุดตรรกยะคือจุดที่พิกัดคาร์ทีเซียนทั้งสามจุดเป็นจำนวนตรรกยะ)

ก) ใช่ มีอยู่จริง ให้ C เป็นจุดกึ่งกลางของส่วน AB จากนั้น XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2 หากตัวเลข AB 2 ไม่ลงตัว ตัวเลข XA, XB และ XC จะไม่สามารถเป็นจำนวนตรรกยะพร้อมกันได้

b) ให้ (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) และ (a 3 ; b 3) เป็นพิกัดของจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม พิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบถูกกำหนดโดยระบบสมการ:

(x – ก 1) 2 + (y – ข 1) 2 = (x – ก 2) 2 + (y – ข 2) 2,

(x – ก 1) 2 + (y – ข 1) 2 = (x – ก 3) 2 + (y – ข 3) 2.

ง่ายต่อการตรวจสอบว่าสมการเหล่านี้เป็นเส้นตรง ซึ่งหมายความว่าการแก้ระบบสมการที่พิจารณานั้นเป็นเหตุผล

c) มีทรงกลมดังกล่าวอยู่ เช่น ทรงกลมที่มีสมการ

(x – √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2

จุด O ที่มีพิกัด (0; 0; 0) เป็นจุดเหตุผลที่วางอยู่บนทรงกลมนี้ จุดที่เหลือของทรงกลมนั้นไม่มีเหตุผล มาพิสูจน์กัน

ให้เราสมมติสิ่งที่ตรงกันข้าม: ให้ (x; y; z) เป็นจุดตรรกยะของทรงกลม แตกต่างจากจุด O เห็นได้ชัดว่า x แตกต่างจาก 0 เนื่องจากที่ x = 0 มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ (0; 0; 0) ซึ่งขณะนี้เราไม่สนใจ เปิดวงเล็บแล้วแสดง √ 2:

x 2 – 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x)

ซึ่งไม่สามารถเกิดขึ้นได้กับตรรกยะ x, y, z และอตรรกยะ √ 2 ดังนั้น O(0; 0; 0) จึงเป็นจุดเหตุผลเพียงจุดเดียวบนทรงกลมที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

ปัญหาที่ไม่มีวิธีแก้ไข

1. พิสูจน์ว่าจำนวนนั้น

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

ไม่มีเหตุผล

2. ความเท่าเทียมกัน (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n มีค่าเท่ากับจำนวนเท่าใด m และ n?

3. มีตัวเลขใดที่ตัวเลข a – √ 3 และ 1/a + √ 3 เป็นจำนวนเต็มหรือไม่?

4. ตัวเลข 1, √ 2, 4 สามารถเป็นสมาชิก (ไม่จำเป็นต้องอยู่ติดกัน) ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้หรือไม่?

5. พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n สมการ (x + y√ 3) 2n = 1 + √ 3 ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนตรรกยะ (x; y)

คำจำกัดความของจำนวนอตรรกยะ

จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่อยู่ในรูปแบบทศนิยมซึ่งแสดงถึงเศษส่วนทศนิยมที่ไม่เป็นคาบไม่สิ้นสุด

ตัวอย่างเช่น ตัวเลขที่ได้จากการหารากที่สองของจำนวนธรรมชาตินั้นไม่มีเหตุผลและไม่ใช่กำลังสองของจำนวนธรรมชาติ แต่ไม่ใช่ว่าจำนวนอตรรกยะทั้งหมดจะได้มาจากการแยกรากที่สอง เนื่องจากจำนวน "pi" ที่ได้จากการหารนั้นก็ไม่มีเหตุผลเช่นกัน และคุณไม่น่าจะได้มันมาจากการพยายามแยก รากที่สองจากจำนวนธรรมชาติ

คุณสมบัติของจำนวนอตรรกยะ

ต่างจากตัวเลขที่เขียนเป็นทศนิยมอนันต์ มีเพียงตัวเลขที่ไม่ลงตัวเท่านั้นที่ถูกเขียนเป็นทศนิยมอนันต์แบบไม่เป็นคาบ
ผลรวมของจำนวนอตรรกยะที่ไม่ใช่ลบสองตัวสามารถลงเอยเป็นจำนวนตรรกยะได้
จำนวนอตรรกยะกำหนดการตัด Dedekind ในชุดจำนวนตรรกยะ ในคลาสที่ต่ำกว่าซึ่งไม่มี จำนวนมากและด้านบนก็มีไม่น้อย
จำนวนอดิศัยที่แท้จริงใดๆ ก็ตามนั้นไม่มีเหตุผล
จำนวนอตรรกยะทั้งหมดเป็นพีชคณิตหรือทิพย์
เซตของจำนวนอตรรกยะบนเส้นตรงนั้นมีอยู่หนาแน่น และระหว่างตัวเลขสองตัวใดๆ จะต้องเป็นจำนวนอตรรกยะอย่างแน่นอน
เซตของจำนวนอตรรกยะเป็นเซตอนันต์ นับไม่ได้ และเป็นเซตประเภทที่ 2
เมื่อดำเนินการทางคณิตศาสตร์ใดๆ กับจำนวนตรรกยะ ยกเว้นการหารด้วย 0 ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนตรรกยะ
เมื่อบวกจำนวนตรรกยะเข้ากับจำนวนอตรรกยะ ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนอตรรกยะเสมอ
เมื่อบวกจำนวนอตรรกยะ เราก็จะได้จำนวนตรรกยะ
เซตของจำนวนอตรรกยะไม่เป็นคู่

ตัวเลขไม่ใช่เรื่องไร้เหตุผล

บางครั้งมันก็ค่อนข้างยากที่จะตอบคำถามว่าตัวเลขนั้นไม่มีเหตุผลหรือไม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีที่ตัวเลขนั้นอยู่ในรูปเศษส่วนทศนิยมหรืออยู่ในรูปแบบของนิพจน์ตัวเลข รูต หรือลอการิทึม

ดังนั้นจึงไม่ฟุ่มเฟือยที่จะรู้ว่าตัวเลขใดที่ไม่ลงตัว หากเราปฏิบัติตามคำจำกัดความของจำนวนอตรรกยะ เราก็รู้อยู่แล้วว่าจำนวนตรรกยะไม่สามารถเป็นจำนวนตรรกยะได้

จำนวนอตรรกยะไม่ใช่:

ประการแรก จำนวนธรรมชาติทั้งหมด
ประการที่สอง จำนวนเต็ม
ประการที่สาม เศษส่วนทั่วไป;
ประการที่สี่แตกต่าง ตัวเลขผสม;
ประการที่ห้า สิ่งเหล่านี้คือเศษส่วนทศนิยมแบบคาบไม่สิ้นสุด

นอกเหนือจากที่กล่าวมาทั้งหมด จำนวนอตรรกยะไม่สามารถเป็นการรวมกันของจำนวนตรรกยะใดๆ ที่กระทำโดยเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ เช่น +, -, , : เนื่องจากในกรณีนี้ ผลลัพธ์ของจำนวนตรรกยะสองตัวก็จะเป็นเช่นกัน จำนวนตรรกยะ

ทีนี้มาดูกันว่าตัวเลขใดที่ไม่ลงตัว:

คุณรู้เกี่ยวกับการมีอยู่ของแฟนคลับที่ซึ่งแฟน ๆ ของปรากฏการณ์ทางคณิตศาสตร์ลึกลับนี้กำลังมองหาข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ Pi และพยายามที่จะคลี่คลายความลึกลับของมัน? บุคคลใดก็ตามที่รู้ตัวเลข Pi จำนวนหนึ่งหลังจุดทศนิยมด้วยใจก็สามารถเป็นสมาชิกของชมรมนี้ได้

คุณรู้ไหมว่าในเยอรมนีภายใต้การคุ้มครองของ UNESCO มีพระราชวัง Castadel Monte ด้วยสัดส่วนที่คุณสามารถคำนวณ Pi ได้ กษัตริย์เฟรดเดอริกที่ 2 ทรงอุทิศทั้งพระราชวังให้กับจำนวนนี้

ปรากฎว่าพวกเขาพยายามใช้ตัวเลข Pi ในการก่อสร้างหอคอยบาเบล แต่น่าเสียดายที่สิ่งนี้นำไปสู่การล่มสลายของโครงการ เนื่องจากในเวลานั้นยังไม่มีการศึกษาการคำนวณค่า Pi ที่แน่นอนอย่างเพียงพอ

นักร้อง Kate Bush ในแผ่นดิสก์ใหม่ของเธอบันทึกเพลงชื่อ "Pi" ซึ่งมีตัวเลขหนึ่งร้อยยี่สิบสี่จากผู้โด่งดัง ชุดตัวเลข 3, 141…..