โดยที่ฟังก์ชันรับค่ามากที่สุด ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวในโดเมนปิด
บ่อยครั้งในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ที่คุณต้องค้นหา ค่าที่น้อยที่สุดฟังก์ชั่น ตอนนี้เราจะบอกวิธีการทำเช่นนี้
วิธีค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน: คำแนะนำ
- เพื่อคำนวณค่าที่น้อยที่สุด ฟังก์ชั่นต่อเนื่องในส่วนที่กำหนด คุณต้องปฏิบัติตามอัลกอริทึมต่อไปนี้:
- ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
- ค้นหาจุดที่อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์รวมถึงจุดวิกฤตทั้งหมดในส่วนที่กำหนด จากนั้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้ นั่นคือ แก้สมการโดยที่ x เท่ากับศูนย์ ค้นหาว่าค่าใดมีค่าน้อยที่สุด
- ระบุว่าฟังก์ชันมีค่าใดที่จุดสิ้นสุด กำหนดค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้
- เปรียบเทียบข้อมูลที่ได้รับกับค่าต่ำสุด จำนวนผลลัพธ์ที่น้อยกว่าจะเป็นค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน
โปรดทราบว่าหากฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ไม่มีจุดที่เล็กที่สุด นั่นหมายความว่ามันกำลังเพิ่มขึ้นหรือลดลงในส่วนนี้ ดังนั้น ควรคำนวณค่าที่น้อยที่สุดบนเซกเมนต์จำกัดของฟังก์ชัน
ในกรณีอื่นๆ ทั้งหมด ค่าของฟังก์ชันจะคำนวณตามอัลกอริทึมที่ระบุ ในแต่ละจุดของอัลกอริทึม คุณจะต้องแก้โจทย์ง่ายๆ สมการเชิงเส้นมีรากเดียว แก้สมการโดยใช้รูปภาพเพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด
จะหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซกเมนต์ที่เปิดเพียงครึ่งเดียวได้อย่างไร? ในช่วงครึ่งเปิดหรือเปิดของฟังก์ชัน ควรหาค่าที่น้อยที่สุดดังนี้ ที่จุดสิ้นสุดของค่าฟังก์ชัน ให้คำนวณขีดจำกัดด้านเดียวของฟังก์ชัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ให้แก้สมการโดยให้ค่าแนวโน้มเป็นค่า a+0 และ b+0 โดยที่ a และ b เป็นชื่อของจุดวิกฤต
ตอนนี้คุณรู้วิธีหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันแล้ว สิ่งสำคัญคือการคำนวณทั้งหมดอย่างถูกต้องแม่นยำและไม่มีข้อผิดพลาด
ปล่อยให้ฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ ถูกกำหนดและต่อเนื่องในบางขอบเขต พื้นที่ปิด$ดี$. ปล่อยให้ฟังก์ชันที่กำหนดในบริเวณนี้มีอนุพันธ์บางส่วนที่มีขอบเขตจำกัดของลำดับแรก (ยกเว้น บางที สำหรับจำนวนจุดที่มีจำกัด) ในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวในพื้นที่ปิดที่กำหนด จำเป็นต้องใช้อัลกอริทึมอย่างง่ายสามขั้นตอน
อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ ในโดเมนปิด $D$
- ค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ ที่เป็นของโดเมน $D$ คำนวณค่าฟังก์ชันที่จุดวิกฤต
- ตรวจสอบพฤติกรรมของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ บนขอบเขตของขอบเขต $D$ ค้นหาจุดของค่าสูงสุดและต่ำสุดที่เป็นไปได้ คำนวณค่าฟังก์ชันที่จุดที่ได้รับ
- จากค่าฟังก์ชันที่ได้รับในสองย่อหน้าก่อนหน้า ให้เลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด
จุดวิกฤตคืออะไร? แสดง\ซ่อน
ภายใต้ จุดวิกฤติบอกเป็นนัยจุดที่อนุพันธ์บางส่วนอันดับหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ (เช่น $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ และ $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) หรืออย่างน้อยหนึ่งอนุพันธ์บางส่วนไม่มีอยู่
บ่อยครั้งที่มีการเรียกจุดที่อนุพันธ์บางส่วนอันดับหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ จุดคงที่- ดังนั้นจุดที่คงที่จึงเป็นเซตย่อยของจุดวิกฤติ
ตัวอย่างหมายเลข 1
ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน $z=x^2+2xy-y^2-4x$ ในพื้นที่ปิด จำกัดด้วยเส้น$x=3$, $y=0$ และ $y=x+1$.
เราจะทำตามข้างต้น แต่ก่อนอื่นเราจะจัดการกับการวาดภาพของพื้นที่ที่กำหนด ซึ่งเราจะแสดงด้วยตัวอักษร $D$ เราได้รับ สมการของสามเส้นตรงที่จำกัดบริเวณนี้ เส้นตรง $x=3$ ผ่านจุด $(3;0)$ ขนานกับแกนพิกัด (แกน Oy) เส้นตรง $y=0$ คือสมการของแกนแอบซิสซา (แกน Ox) ในการสร้างเส้นตรง $y=x+1$ เราจะหาจุดสองจุดที่เราจะวาดเส้นนี้ แน่นอนคุณสามารถแทนที่ค่าใดก็ได้สองสามค่าแทน $x$ ตัวอย่างเช่น แทนที่ $x=10$ เราจะได้: $y=x+1=10+1=11$ เราพบจุด $(10;11)$ อยู่บนเส้นตรง $y=x+1$ อย่างไรก็ตาม เป็นการดีกว่าถ้าหาจุดที่เส้นตรง $y=x+1$ ตัดกับเส้น $x=3$ และ $y=0$ ทำไมมันถึงดีกว่านี้? เพราะเราจะฆ่านกสองสามตัวด้วยหินนัดเดียว เราจะได้สองคะแนนเพื่อสร้างเส้นตรง $y=x+1$ และในเวลาเดียวกันก็ค้นหาว่าจุดใดที่เส้นตรงนี้ตัดกับเส้นอื่นที่จำกัดพื้นที่ที่กำหนด เส้นตรง $y=x+1$ ตัดกับเส้น $x=3$ ที่จุด $(3;4)$ และเส้น $y=0$ ตัดกันที่จุด $(-1;0)$ เพื่อไม่ให้ความคืบหน้าของการแก้ปัญหายุ่งเหยิงด้วยคำอธิบายเสริม ฉันจะจดคำถามเกี่ยวกับการได้รับสองประเด็นนี้ไว้ในบันทึก
คะแนน $(3;4)$ และ $(-1;0)$ ได้รับมาอย่างไร? แสดง\ซ่อน
เริ่มจากจุดตัดของเส้นตรง $y=x+1$ และ $x=3$ พิกัดของจุดที่ต้องการเป็นของเส้นตรงทั้งเส้นแรกและเส้นที่สอง ดังนั้นหากต้องการค้นหาพิกัดที่ไม่รู้จักคุณต้องแก้ระบบสมการ:
$$ \left \( \begin(ชิด) & y=x+1;\\ & x=3. \end(ชิด) \right. $$
วิธีแก้ปัญหาของระบบดังกล่าวนั้นไม่สำคัญ: การแทนที่ $x=3$ ในสมการแรกเราจะได้: $y=3+1=4$ จุด $(3;4)$ คือจุดตัดที่ต้องการของเส้น $y=x+1$ และ $x=3$
ทีนี้ ลองหาจุดตัดของเส้นตรง $y=x+1$ และ $y=0$ ให้เราเขียนและแก้ระบบสมการอีกครั้ง:
$$ \left \( \begin(ชิด) & y=x+1;\\ & y=0. \end(ชิด) \right. $$
เมื่อแทน $y=0$ ลงในสมการแรก เราจะได้: $0=x+1$, $x=-1$ จุด $(-1;0)$ คือจุดตัดที่ต้องการของเส้น $y=x+1$ และ $y=0$ (แกน x)
ทุกอย่างพร้อมที่จะสร้างภาพวาดที่จะมีลักษณะดังนี้:
คำถามในบันทึกดูเหมือนชัดเจนเพราะทุกสิ่งสามารถเห็นได้จากภาพ อย่างไรก็ตาม ควรจำไว้ว่าภาพวาดไม่สามารถใช้เป็นหลักฐานได้ ภาพวาดนี้ใช้เพื่อเป็นตัวอย่างเท่านั้น
พื้นที่ของเราถูกกำหนดโดยใช้สมการเส้นตรงที่ผูกไว้ แน่นอนว่า เส้นเหล่านี้นิยามสามเหลี่ยม ใช่ไหม? หรือมันไม่ชัดเจนทั้งหมด? หรือบางทีเราอาจได้รับพื้นที่อื่นซึ่งล้อมรอบด้วยเส้นเดียวกัน:
แน่นอนว่าสภาพแจ้งว่าพื้นที่ปิด ดังนั้น รูปที่แสดงไม่ถูกต้อง แต่เพื่อหลีกเลี่ยงความคลุมเครือดังกล่าว เป็นการดีกว่าที่จะกำหนดภูมิภาคด้วยความไม่เท่าเทียมกัน เราสนใจส่วนของระนาบที่อยู่ใต้เส้นตรง $y=x+1$ หรือไม่? โอเค งั้น $y ≤ x+1$ พื้นที่ของเราควรจะอยู่เหนือเส้น $y=0$ หรือไม่ เยี่ยมเลย นั่นหมายถึง $y ≥ 0$ อย่างไรก็ตาม อสมการสองอันสุดท้ายสามารถรวมเป็นหนึ่งเดียวได้อย่างง่ายดาย: $0 ≤ y ≤ x+1$
$$ \left \( \begin(ชิด) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(ชิด) \right. $$
ความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้กำหนดขอบเขต $D$ และกำหนดอย่างไม่คลุมเครือ โดยไม่ทำให้เกิดความคลุมเครือ แต่สิ่งนี้จะช่วยเราอย่างไรกับคำถามที่ระบุไว้ตอนต้นบันทึก? มันจะช่วยได้เช่นกัน :) เราต้องตรวจสอบว่าจุด $M_1(1;1)$ เป็นของภูมิภาค $D$ หรือไม่ ให้เราแทนที่ $x=1$ และ $y=1$ ในระบบอสมการที่กำหนดขอบเขตนี้ หากความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองเป็นที่พอใจแล้ว ประเด็นก็อยู่ที่ภูมิภาค ถ้าความไม่เท่าเทียมกันอย่างน้อยหนึ่งข้อไม่เป็นที่พอใจ ประเด็นนั้นก็ไม่ใช่ของภูมิภาค ดังนั้น:
$$ \left \( \begin(ชิด) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(ชิด) \right. \;\; \left \( \begin(ชิด) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3 \end(ชิด) \right $$
อสมการทั้งสองนั้นถูกต้อง จุด $M_1(1;1)$ เป็นของภูมิภาค $D$
ถึงเวลาศึกษาพฤติกรรมของหน้าที่บริเวณขอบเขตภูมิภาคแล้ว ได้แก่ ไปกันเถอะ เริ่มจากเส้นตรง $y=0$ กันก่อน
เส้นตรง $y=0$ (แกน abscissa) จำกัดขอบเขต $D$ ภายใต้เงื่อนไข $-1 ≤ x ≤ 3$ ลองแทน $y=0$ ลงไป ฟังก์ชันที่กำหนด$z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$ เราแสดงฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง $x$ ที่ได้รับจากการแทนที่เป็น $f_1(x)$:
$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cดอท 0-0^2-4x=x^2-4x -
ตอนนี้สำหรับฟังก์ชัน $f_1(x)$ เราจำเป็นต้องค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในช่วง $-1 ≤ x ≤ 3$ ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้แล้วจัดให้เป็นศูนย์:
$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$
ค่า $x=2$ เป็นของกลุ่ม $-1 ≤ x ≤ 3$ ดังนั้นเราจะเพิ่ม $M_2(2;0)$ ในรายการจุดด้วย นอกจากนี้ ให้เราคำนวณค่าของฟังก์ชัน $z$ ที่ส่วนท้ายของส่วน $-1 ≤ x ≤ 3$ เช่น ที่จุด $M_3(-1;0)$ และ $M_4(3;0)$. อย่างไรก็ตาม หากจุด $M_2$ ไม่ได้อยู่ในส่วนที่พิจารณา แน่นอนว่าก็ไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าของฟังก์ชัน $z$ ที่อยู่ในนั้น
ลองคำนวณค่าของฟังก์ชัน $z$ ที่จุด $M_2$, $M_3$, $M_4$ แน่นอน คุณสามารถแทนที่พิกัดของจุดเหล่านี้เป็นนิพจน์ดั้งเดิม $z=x^2+2xy-y^2-4x$ ได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับจุด $M_2$ เราได้รับ:
$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$
อย่างไรก็ตามการคำนวณสามารถทำให้ง่ายขึ้นเล็กน้อย ในการทำเช่นนี้ ควรจำไว้ว่าในส่วน $M_3M_4$ เรามี $z(x,y)=f_1(x)$ ฉันจะเขียนรายละเอียดนี้:
\begin(ชิด) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cจุด (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cดอท 3=-3 \end(ชิด)
แน่นอนว่าโดยปกติแล้วไม่จำเป็นต้องมีบันทึกโดยละเอียดดังกล่าว และในอนาคตเราจะเขียนการคำนวณทั้งหมดโดยสังเขป:
$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cจุด 3=-3.$$
ทีนี้ลองเปลี่ยนเป็นเส้นตรง $x=3$ เส้นตรงนี้จำกัดขอบเขต $D$ ภายใต้เงื่อนไข $0 ≤ y ≤ 4$ ลองแทน $x=3$ ลงในฟังก์ชันที่กำหนด $z$ จากการทดแทนนี้ เราจะได้ฟังก์ชัน $f_2(y)$:
$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3 -
สำหรับฟังก์ชัน $f_2(y)$ เราจำเป็นต้องค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในช่วง $0 ≤ y ≤ 4$ ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้แล้วจัดให้เป็นศูนย์:
$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$
ค่า $y=3$ อยู่ในส่วน $0 ≤ y ≤ 4$ ดังนั้นเราจะบวก $M_5(3;3)$ ไปยังจุดที่พบก่อนหน้านี้ด้วย นอกจากนี้ จำเป็นต้องคำนวณค่าของฟังก์ชัน $z$ ที่จุดที่ส่วนท้ายของส่วน $0 ≤ y ≤ 4$ เช่น ที่จุด $M_4(3;0)$ และ $M_6(3;4)$. ณ จุดที่ $M_4(3;0)$ เราได้คำนวณมูลค่าของ $z$ แล้ว ให้เราคำนวณค่าของฟังก์ชัน $z$ ที่จุด $M_5$ และ $M_6$ ฉันขอเตือนคุณว่าในส่วน $M_4M_6$ เรามี $z(x,y)=f_2(y)$ ดังนั้น:
\begin(ชิด) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cดอท 4-3=5 \end(ชิด)
และสุดท้าย ให้พิจารณาขอบเขตสุดท้ายของขอบเขต $D$ เช่น เส้นตรง $y=x+1$. เส้นตรงนี้จำกัดขอบเขต $D$ ภายใต้เงื่อนไข $-1 ≤ x ≤ 3$ เมื่อแทน $y=x+1$ ลงในฟังก์ชัน $z$ เราจะได้:
$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. -
อีกครั้งหนึ่งที่เรามีฟังก์ชันของตัวแปร $x$ หนึ่งตัว และอีกครั้งเราต้องค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันนี้ในช่วง $-1 ≤ x ≤ 3$ ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f_(3)(x)$ แล้วทำให้มันกลายเป็นศูนย์:
$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$
ค่า $x=1$ อยู่ในช่วง $-1 ≤ x ≤ 3$ ถ้า $x=1$ แล้ว $y=x+1=2$ ลองเพิ่ม $M_7(1;2)$ เข้าไปในรายการจุดแล้วค้นหาว่า ณ จุดนี้ค่าของฟังก์ชัน $z$ อยู่ที่เท่าไร จุดที่ส่วนท้ายของส่วน $-1 ≤ x ≤ 3$ เช่น คะแนน $M_3(-1;0)$ และ $M_6(3;4)$ ได้รับการพิจารณาก่อนหน้านี้ เราพบค่าของฟังก์ชันในนั้นแล้ว
$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$
ขั้นตอนที่สองของการแก้ปัญหาเสร็จสมบูรณ์ เราได้รับเจ็ดค่า:
$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$
หันมากันดีกว่า การเลือกค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุดจากตัวเลขที่ได้รับในย่อหน้าที่สามเราจะได้:
$$z_(ขั้นต่ำ)=-4; - z_(สูงสุด)=6.$$
ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว เหลือเพียงการเขียนคำตอบลงไป
คำตอบ: $z_(ขั้นต่ำ)=-4; - z_(สูงสุด)=6$.
ตัวอย่างหมายเลข 2
ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน $z=x^2+y^2-12x+16y$ ในภูมิภาค $x^2+y^2 ≤ 25$
ก่อนอื่นเรามาสร้างภาพวาดกันก่อน สมการ $x^2+y^2=25$ (นี่คือเส้นแบ่งเขตของพื้นที่ที่กำหนด) กำหนดวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (เช่น ที่จุด $(0;0)$) และมีรัศมีเป็น 5. อสมการ $x^2 +y^2 ≤ $25 เป็นไปตามทุกจุดภายในและบนวงกลมที่กล่าวถึง
เราจะดำเนินการตาม. ลองหาอนุพันธ์ย่อยแล้วหาจุดวิกฤตกัน
$$ \frac(\บางส่วน z)(\บางส่วน x)=2x-12; \frac(\บางส่วน z)(\บางส่วน y)=2y+16. -
ไม่มีจุดใดที่ไม่มีอนุพันธ์บางส่วนที่พบ ให้เราค้นหาว่าจุดใดที่อนุพันธ์บางส่วนทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์พร้อมกันคือ มาหาจุดคงที่กัน
$$ \left \( \begin(ชิด) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(ชิด) \right. \;\; \left \( \begin(ชิด) & x =6;\\ & y=-8. \end(ชิด) \right $$
เราได้รับจุดคงที่ $(6;-8)$ อย่างไรก็ตาม จุดที่พบไม่ได้อยู่ในขอบเขต $D$ นี่เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงโดยไม่ต้องอาศัยการวาดภาพ ลองตรวจสอบว่าความไม่เท่าเทียมกัน $x^2+y^2 ≤ 25$ มีอยู่หรือไม่ ซึ่งกำหนดขอบเขต $D$ ของเรา ถ้า $x=6$, $y=-8$ แล้ว $x^2+y^2=36+64=100$ เช่น อสมการ $x^2+y^2 ≤ 25$ ไม่ถือเป็น สรุป: จุด $(6;-8)$ ไม่ได้อยู่ในพื้นที่ $D$
ดังนั้นจึงไม่มีจุดวิกฤตภายในขอบเขต $D$ เรามาต่อกันที่... เราจำเป็นต้องศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันบนขอบเขตของภูมิภาคที่กำหนด เช่น บนวงกลม $x^2+y^2=25$ แน่นอนว่าเราสามารถแสดง $y$ ในรูปของ $x$ แล้วแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในฟังก์ชัน $z$ ของเรา จากสมการของวงกลม เราได้: $y=\sqrt(25-x^2)$ หรือ $y=-\sqrt(25-x^2)$ ตัวอย่างเช่น การแทนที่ $y=\sqrt(25-x^2)$ ลงในฟังก์ชันที่กำหนด เราจะได้:
$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); - -5≤ x ≤ 5. $$
แนวทางแก้ไขเพิ่มเติมจะเหมือนกับการศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันที่ขอบเขตของภูมิภาคในตัวอย่างที่ 1 ก่อนหน้านี้โดยสมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม สำหรับฉันดูเหมือนว่าสมเหตุสมผลกว่าที่จะใช้วิธี Lagrange ในสถานการณ์นี้ เราจะสนใจเฉพาะส่วนแรกของวิธีนี้เท่านั้น หลังจากใช้ส่วนแรกของวิธี Lagrange แล้ว เราจะได้จุดที่เราจะตรวจสอบฟังก์ชัน $z$ สำหรับค่าต่ำสุดและสูงสุด
เราเขียนฟังก์ชันลากรองจ์:
$$ F=z(x,y)+\แลมบ์ดา\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\แลมบ์ดา\cdot (x^2+y^2 -25) -
เราค้นหาอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันลากรองจ์และเขียนระบบสมการที่เกี่ยวข้อง:
$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (จัดแนว) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \left \( \begin(ชิด) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( ชิด)\right.$ $
เพื่อแก้ระบบนี้ ให้เราชี้ให้เห็นทันทีว่า $\lambda\neq -1$ ทำไม $\แลมบ์ดา\neq -1$? ลองแทนที่ $\lambda=-1$ ในสมการแรก:
$$ x+(-1)\cdot x=6; - x-x=6; - 0=6. -
ผลลัพธ์ที่ขัดแย้งกัน $0=6$ บ่งชี้ว่าค่า $\lambda=-1$ ไม่สามารถยอมรับได้ เอาท์พุต: $\lambda\neq -1$. ลองแสดง $x$ และ $y$ ในรูปของ $\lambda$:
\begin(ชิด) & x+\lambda x=6;\; x(1+\แลมบ์ดา)=6;\; x=\frac(6)(1+\แลมบ์ดา) \\ & y+\แลมบ์ดา y=-8;\; y(1+\แลมบ์ดา)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\แลมบ์ดา) \end(ชิด)
ฉันเชื่อว่ามันชัดเจนที่นี่ว่าทำไมเราจึงกำหนดเงื่อนไข $\lambda\neq -1$ โดยเฉพาะ วิธีนี้ทำเพื่อให้นิพจน์ $1+\lambda$ พอดีกับตัวส่วนโดยไม่มีการรบกวน นั่นคือเพื่อให้แน่ใจว่าตัวส่วน $1+\lambda\neq 0$
ให้เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์สำหรับ $x$ และ $y$ ลงในสมการที่สามของระบบ นั่นคือ ใน $x^2+y^2=25$:
$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\แลมบ์ดา)^2)+\frac(64)((1+\แลมบ์ดา)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\แลมบ์ดา)^2)=25 ; - (1+\แลมบ์ดา)^2=4 -
จากผลลัพธ์ความเท่าเทียมกัน จะได้ว่า $1+\lambda=2$ หรือ $1+\lambda=-2$ ดังนั้นเราจึงมีสองค่าของพารามิเตอร์ $\lambda$ ได้แก่: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$ ดังนั้นเราจึงได้ค่า $x$ และ $y$ สองคู่:
\begin(ชิด) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; - y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4 \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; - y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4 \end(ชิด)
ดังนั้นเราจึงได้จุดสุดขั้วที่มีเงื่อนไขที่เป็นไปได้สองจุด นั่นคือ $M_1(3;-4)$ และ $M_2(-3;4)$. มาหาค่าของฟังก์ชัน $z$ ที่จุด $M_1$ และ $M_2$:
\begin(ชิด) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cดอท 4=125 \end(ชิด)
เราควรเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดจากค่าที่เราได้รับในขั้นตอนที่หนึ่งและที่สอง แต่ใน ในกรณีนี้ทางเลือกมีน้อย :) เรามี:
$$ z_(นาที)=-75; - z_(สูงสุด)=125. -
คำตอบ: $z_(ขั้นต่ำ)=-75; - z_(สูงสุด)=$125.
ด้วยบริการนี้คุณสามารถทำได้ ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันตัวแปรหนึ่งตัว f(x) พร้อมโซลูชันที่จัดรูปแบบใน Word ถ้ากำหนดฟังก์ชัน f(x,y) ไว้ ก็จำเป็นต้องค้นหาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว คุณยังสามารถค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันเพิ่มและลดได้
กฎสำหรับการเข้าฟังก์ชั่น:
เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับฟังก์ชันสุดขั้วของตัวแปรหนึ่งตัว
สมการ f" 0 (x *) = 0 คือ สภาพที่จำเป็นสุดขั้วของฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว เช่น ณ จุด x * อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันจะต้องหายไป โดยระบุจุดคงที่ x c ซึ่งฟังก์ชันไม่เพิ่มหรือลดลงเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับปลายสุดของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว
ให้ f 0 (x) สามารถหาอนุพันธ์ได้สองเท่าโดยเทียบกับ x ที่อยู่ในเซต D หากตรงจุด x * ตรงตามเงื่อนไข:ฉ" 0 (x *) = 0
ฉ"" 0 (x *) > 0
จากนั้นจุด x * คือจุดต่ำสุด (ทั่วโลก) ของฟังก์ชัน
หากตรงจุด x * ตรงตามเงื่อนไข:
ฉ" 0 (x *) = 0
ฉ"" 0 (x *)< 0
จากนั้นจุด x * คือค่าสูงสุดเฉพาะที่ (ทั่วโลก)
ตัวอย่างหมายเลข 1 ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน: บนเซ็กเมนต์
สารละลาย. 
จุดวิกฤติคือหนึ่ง x 1 = 2 (f’(x)=0) จุดนี้เป็นของกลุ่ม (จุด x=0 ไม่สำคัญ เนื่องจาก 0∉)
เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนและที่จุดวิกฤติ
ฉ(1)=9, ฉ(2)= 5 / 2 , ฉ(3)=3 8 / 81
คำตอบ: f นาที = 5/2 ที่ x=2; f สูงสุด =9 ที่ x=1
ตัวอย่างหมายเลข 2 ใช้อนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่า หาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชัน y=x-2sin(x)
สารละลาย.
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: y’=1-2cos(x) . มาหาจุดวิกฤตกัน: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z เราพบว่า y''=2sin(x) คำนวณ ซึ่งหมายความว่า x= π / 3 +2πk, k∈Z คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน 
ซึ่งหมายความว่า x=- π / 3 +2πk, k∈Z คือจุดสูงสุดของฟังก์ชัน
ตัวอย่างหมายเลข 3 ตรวจสอบฟังก์ชันสุดขั้วในบริเวณใกล้กับจุด x=0
สารละลาย. ในที่นี้จำเป็นต้องค้นหาจุดสุดขีดของฟังก์ชัน หากค่าสุดขั้ว x=0 ให้ค้นหาประเภทของค่านั้น (ค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุด) หากจุดที่พบไม่มี x = 0 ให้คำนวณค่าของฟังก์ชัน f(x=0)
ควรสังเกตว่าเมื่ออนุพันธ์ในแต่ละด้านของจุดที่กำหนดไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย สถานการณ์ที่เป็นไปได้จะไม่หมดลงแม้แต่ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้: มันสามารถเกิดขึ้นได้สำหรับย่านใกล้เคียงขนาดเล็กโดยพลการที่ด้านหนึ่งของจุด x 0 หรือ ทั้งสองด้านมีเครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์ ณ จุดเหล่านี้ จำเป็นต้องใช้วิธีอื่นเพื่อศึกษาฟังก์ชันของภาวะสุดขั้ว
คำชี้แจงปัญหา 2:
ด้วยฟังก์ชันที่กำหนดและต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง คุณต้องค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชันในช่วงเวลานี้
รากฐานทางทฤษฎี
ทฤษฎีบท (ทฤษฎีบท Weierstrass ที่สอง):
หากมีการกำหนดฟังก์ชันและต่อเนื่องในช่วงเวลาปิด ฟังก์ชันนั้นจะถึงค่าสูงสุดและต่ำสุดในช่วงเวลานี้
ฟังก์ชันสามารถเข้าถึงค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดได้ทั้งที่จุดภายในของช่วงเวลาหรือที่ขอบเขต เรามาอธิบายตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดกัน 
คำอธิบาย:
1) ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดบนขอบเขตด้านซ้ายของช่วงเวลาที่จุด และค่าต่ำสุดบนขอบเขตด้านขวาของช่วงเวลาที่จุด
2) ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดที่จุด (นี่คือจุดสูงสุด) และค่าต่ำสุดที่ขอบเขตด้านขวาของช่วงเวลาที่จุดนั้น
3) ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดบนขอบเขตด้านซ้ายของช่วงเวลาที่จุดที่ และค่าต่ำสุดที่จุด (นี่คือจุดต่ำสุด)
4) ฟังก์ชันจะคงที่ตามช่วงเวลา เช่น ถึงค่าต่ำสุดและสูงสุด ณ จุดใด ๆ ในช่วงเวลาและค่าต่ำสุดและสูงสุดจะเท่ากัน
5) ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดที่จุด และค่าต่ำสุดที่จุด (แม้ว่าฟังก์ชันจะมีทั้งค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดในช่วงเวลานี้)
6) ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดที่จุดหนึ่ง (นี่คือจุดสูงสุด) และค่าต่ำสุดที่จุดหนึ่ง (นี่คือจุดต่ำสุด)
ความคิดเห็น:
"สูงสุด" และ " ค่าสูงสุด" - สิ่งต่าง ๆ สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความของค่าสูงสุดและความเข้าใจตามสัญชาตญาณของวลี "มูลค่าสูงสุด"
อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหา 2
4) เลือกค่าที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) จากค่าที่ได้รับและจดคำตอบ
ตัวอย่างที่ 4:
กำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน 
บนส่วน
สารละลาย:
1) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน 
2) ค้นหาจุดที่นิ่ง (และจุดที่สงสัยว่าสุดขั้ว) โดยการแก้สมการ ให้ความสนใจกับจุดที่ไม่มีอนุพันธ์จำกัดสองด้าน 
3) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดคงที่และที่ขอบเขตของช่วงเวลา
4) เลือกค่าที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) จากค่าที่ได้รับและจดคำตอบ
ฟังก์ชันในส่วนนี้ถึงค่าสูงสุด ณ จุดที่มีพิกัด
ฟังก์ชันในส่วนนี้ถึงค่าต่ำสุดที่จุดที่มีพิกัด
คุณสามารถตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณได้โดยดูที่กราฟของฟังก์ชันที่กำลังศึกษาอยู่ 
ความคิดเห็น:ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดที่จุดสูงสุด และค่าต่ำสุดที่ขอบเขตของเซ็กเมนต์
เป็นกรณีพิเศษ
สมมติว่าคุณจำเป็นต้องค้นหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันบางอย่างบนเซ็กเมนต์ หลังจากเสร็จสิ้นขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมแล้วนั่นคือ การคำนวณอนุพันธ์จะเห็นได้ชัดว่าใช้เวลาเท่านั้น ค่าลบทั่วทั้งส่วนที่พิจารณา จำไว้ว่าถ้าอนุพันธ์เป็นลบ ฟังก์ชันก็จะลดลง เราพบว่าฟังก์ชันลดลงทั่วทั้งเซ็กเมนต์ สถานการณ์นี้แสดงอยู่ในกราฟหมายเลข 1 ในตอนต้นของบทความ
ฟังก์ชันจะลดลงในส่วนดังกล่าว เช่น มันไม่มีจุดสุดโต่ง จากภาพ เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันจะใช้ค่าที่น้อยที่สุดบนขอบเขตด้านขวาของเซ็กเมนต์ และ มูลค่าสูงสุด- ทางซ้าย ถ้าอนุพันธ์ของเซ็กเมนต์เป็นบวกทุกจุด ฟังก์ชันก็จะเพิ่มขึ้น ค่าที่น้อยที่สุดจะอยู่ที่ขอบด้านซ้ายของส่วน ค่าที่ใหญ่ที่สุดจะอยู่ทางด้านขวา
บนส่วน [-1, 2]
.
.
บนส่วน .
.
- ตั้งแต่นี้เป็นต้นมา ค่าต่ำสุดคือค่าสูงสุดเพียงค่าเดียวของฟังก์ชันนี้ ซึ่งเป็นค่าที่น้อยที่สุด- ดังนั้นด้านข้างของฐานถังควรเป็น 2 ม. และความสูงควรเป็น .
