เหล่านี้เป็นตัวเลขสามมิติที่พบบ่อยที่สุดในบรรดาสิ่งที่คล้ายกันซึ่งพบได้ในชีวิตประจำวันและธรรมชาติ Stereometry หรือเรขาคณิตเชิงพื้นที่ ศึกษาคุณสมบัติของพวกมัน ในบทความนี้เราจะพูดถึงคำถามว่าคุณสามารถหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมสามเหลี่ยมปกติได้อย่างไรรวมถึงรูปสี่เหลี่ยมและหกเหลี่ยมด้วย

ปริซึมคืออะไร?

ก่อนที่จะคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมสามเหลี่ยมปกติและรูปประเภทอื่น ๆ คุณควรเข้าใจว่ามันคืออะไร จากนั้นเราจะเรียนรู้การกำหนดปริมาณดอกเบี้ย

จากมุมมองของเรขาคณิต ปริซึมคือตัวปริมาตรที่ล้อมรอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมที่เหมือนกันสองรูปและรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน n รูป โดยที่ n คือจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมหนึ่งรูป การวาดรูปนั้นเป็นเรื่องง่ายในการทำเช่นนี้คุณควรวาดรูปหลายเหลี่ยมบางประเภท จากนั้นวาดส่วนจากจุดยอดแต่ละจุดซึ่งจะมีความยาวเท่ากันและขนานกับส่วนอื่นๆ ทั้งหมด จากนั้นคุณจะต้องเชื่อมต่อปลายของเส้นเหล่านี้เข้าด้วยกันเพื่อให้ได้รูปหลายเหลี่ยมอีกอันที่เท่ากับรูปดั้งเดิม

ด้านบนคุณจะเห็นว่ารูปนี้ถูกจำกัดด้วยรูปห้าเหลี่ยมสองรูป (เรียกว่าฐานล่างและบนของรูป) และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานห้ารูปซึ่งตรงกับสี่เหลี่ยมในรูป

ปริซึมทั้งหมดแตกต่างกันในสองพารามิเตอร์หลัก:

• ประเภทของรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ใต้รูปนั้น
• มุมระหว่างสี่เหลี่ยมด้านขนานกับฐาน

จำนวนด้านของสี่เหลี่ยมทำให้ชื่อของปริซึม จากที่นี่เราจะได้รูปสามเหลี่ยม หกเหลี่ยม และสี่เหลี่ยมตามที่กล่าวข้างต้น

พวกเขายังแตกต่างกันในปริมาณความชัน สำหรับมุมที่ทำเครื่องหมายไว้หากมีค่าเท่ากับ 90 o ปริซึมดังกล่าวจะเรียกว่าตรงหรือสี่เหลี่ยม (มุมเอียงเป็นศูนย์) ถ้ามุมใดมุมหนึ่งไม่ถูกต้อง รูปนั้นจะเรียกว่าเอียง ความแตกต่างระหว่างพวกเขาชัดเจนตั้งแต่แรกเห็น ภาพด้านล่างแสดงพันธุ์เหล่านี้

อย่างที่คุณเห็นความสูง h เกิดขึ้นพร้อมกับความยาวของขอบด้านข้าง ในกรณีของมุมเอียง พารามิเตอร์นี้จะน้อยกว่าเสมอ

ปริซึมใดเรียกว่าถูกต้อง

เนื่องจากเราต้องตอบคำถามว่าจะหาพื้นที่ผิวด้านข้างได้อย่างไร ปริซึมที่ถูกต้อง(สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมจัตุรัส และอื่นๆ) คุณจะต้องกำหนดรูปปริมาตรประเภทนี้ มาวิเคราะห์เนื้อหาโดยละเอียดกันดีกว่า

ปริซึมปกติคือรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งรูปหลายเหลี่ยมปกติมีฐานที่เหมือนกัน รูปนี้อาจเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือรูปอื่นๆ เอ็นกอนใดๆ ที่ด้านยาวและมุมเท่ากันจะเป็นรูปปกติ

ปริซึมดังกล่าวจำนวนหนึ่งแสดงไว้ในแผนภาพด้านล่าง

พื้นผิวด้านข้างของปริซึม

ตามที่กล่าวไว้ในรูปนี้ประกอบด้วยระนาบ n + 2 ซึ่งเมื่อตัดกันจะเกิดเป็นหน้า n + 2 หน้า สองตัวอยู่ในฐานส่วนที่เหลือประกอบขึ้นด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนาน พื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมดประกอบด้วยผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าที่ระบุ หากเราไม่รวมค่าของทั้งสองฐานเราจะได้คำตอบสำหรับคำถามว่าจะหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมได้อย่างไร ดังนั้นคุณสามารถกำหนดความหมายและฐานแยกจากกันได้

ด้านล่างแสดงไว้ว่าพื้นผิวด้านข้างประกอบขึ้นด้วยรูปสี่เหลี่ยมสามอัน

พิจารณาขั้นตอนการคำนวณเพิ่มเติม เห็นได้ชัดว่าพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปริซึมเท่ากับผลรวมของพื้นที่ n ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สอดคล้องกัน โดยที่ n คือจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่สร้างฐานของรูปหลายเหลี่ยม สามารถหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานแต่ละอันได้โดยการคูณความยาวของด้านด้วยความสูง สิ่งนี้ใช้กับกรณีทั่วไป

หากปริซึมที่ศึกษาอยู่ในแนวตรงขั้นตอนการกำหนดพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง S b จะง่ายขึ้นอย่างมากเนื่องจากพื้นผิวดังกล่าวประกอบด้วยสี่เหลี่ยม ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้สูตรต่อไปนี้:

โดยที่ h คือความสูงของรูป P o คือเส้นรอบวงของฐาน

ปริซึมปกติและพื้นผิวด้านข้าง

ในกรณีของตัวเลขดังกล่าว สูตรที่ให้ไว้ในย่อหน้าข้างต้นจะใช้รูปแบบที่เฉพาะเจาะจงมาก เนื่องจากเส้นรอบวงของ n-gon เท่ากับผลคูณของจำนวนด้านและความยาวของ 1 จึงได้สูตรต่อไปนี้:

โดยที่ a คือความยาวด้านของ n-gon ที่สอดคล้องกัน

พื้นที่ผิวด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมและหกเหลี่ยม

ลองใช้สูตรด้านบนเพื่อกำหนดค่าที่จำเป็นสำหรับรูปร่างทั้งสามประเภทที่ระบุไว้ การคำนวณจะมีลักษณะดังนี้:

สำหรับสูตรสามเหลี่ยมจะอยู่ในรูปแบบ:

ตัวอย่างเช่น ด้านของสามเหลี่ยมคือ 10 ซม. และความสูงของรูปคือ 7 ซม. ดังนั้น:

ส 3 ข = 3*10*7 = 210 ซม. 2

ในกรณีของปริซึมสี่เหลี่ยม นิพจน์ที่ต้องการจะอยู่ในรูปแบบ:

หากเราใช้ค่าความยาวเท่ากันกับในตัวอย่างก่อนหน้า เราจะได้:

ส 4 ข = 4*10*7 = 280 ซม. 2

พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมหกเหลี่ยมคำนวณโดยสูตร:

แทนตัวเลขเดียวกันกับในกรณีก่อนหน้าเรามี:

ส 6 ข = 6*10*7 = 420 ซม. 2

โปรดทราบว่าในกรณีของปริซึมปกติประเภทใดก็ตาม พื้นผิวด้านข้างจะประกอบขึ้นด้วยสี่เหลี่ยมที่เหมือนกัน ในตัวอย่างข้างต้น พื้นที่ของแต่ละอันคือ a*h = 70 ซม. 2

การคำนวณหาปริซึมเฉียง

การหาค่าพื้นที่ผิวด้านข้างของรูปที่กำหนดนั้นค่อนข้างยากกว่ารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า อย่างไรก็ตาม สูตรข้างต้นยังคงเหมือนเดิม แทนที่จะใช้เส้นรอบวงฐาน ควรใช้เส้นรอบวงตัดตั้งฉาก และแทนที่จะใช้ความสูง ควรใช้ความยาวของขอบด้านข้าง

รูปด้านบนแสดงปริซึมเฉียงเฉียงรูปสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนานที่แรเงาคือชิ้นตั้งฉากที่ต้องคำนวณ P sr เส้นรอบวง ความยาวของขอบด้านข้างในรูประบุด้วยตัวอักษร C จากนั้นเราจะได้สูตร:

เส้นรอบวงของการตัดสามารถพบได้หากทราบมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างพื้นผิวด้านข้าง

พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึม สวัสดี! ในเอกสารฉบับนี้ เราจะวิเคราะห์กลุ่มปัญหาในด้านสามมิติ ลองพิจารณาการรวมกันของวัตถุ - ปริซึมและทรงกระบอก ในขณะนี้ บทความนี้จะสรุปบทความทั้งชุดที่เกี่ยวข้องกับการพิจารณาประเภทของงานในระบบสเตอริโอเมทรี

หากมีรายการใหม่ปรากฏในคลังงานแน่นอนว่าจะมีการเพิ่มเติมในบล็อกในอนาคต แต่สิ่งที่มีอยู่แล้วก็เพียงพอแล้วให้คุณเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหาทั้งหมดด้วยคำตอบสั้น ๆ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการสอบ จะมีเนื้อหาเพียงพอสำหรับปีต่อ ๆ ไป (โปรแกรมคณิตศาสตร์เป็นแบบคงที่)

งานที่นำเสนอเกี่ยวข้องกับการคำนวณพื้นที่ของปริซึม ฉันสังเกตว่าด้านล่างนี้เราพิจารณาปริซึมตรง (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นทรงกระบอกตรง)

โดยไม่ทราบสูตรใดๆ เราจึงเข้าใจว่าพื้นผิวด้านข้างของปริซึมนั้นเป็นของมันทั้งหมด ใบหน้าด้านข้าง- ปริซึมตรงมีด้านเป็นสี่เหลี่ยม

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปริซึมนั้นเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมด (นั่นคือสี่เหลี่ยม) หากเรากำลังพูดถึงปริซึมปกติซึ่งมีทรงกระบอกเขียนอยู่ ก็ชัดเจนว่าหน้าทั้งหมดของปริซึมนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากัน

อย่างเป็นทางการ พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมปกติสามารถสะท้อนได้ดังนี้:

27064. ทรงกระบอกที่มีรัศมีฐานและความสูงเท่ากับ 1 ให้หาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึม

พื้นผิวด้านข้างของปริซึมนี้ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมสี่อันที่มีพื้นที่เท่ากัน ความสูงของหน้าคือ 1 ขอบฐานของปริซึมคือ 2 (นี่คือรัศมีสองรัศมีของทรงกระบอก) ดังนั้นพื้นที่ของหน้าด้านข้างจึงเท่ากับ:

พื้นที่ผิวด้านข้าง:

73023. จงหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมสามเหลี่ยมปกติที่ล้อมรอบทรงกระบอกซึ่งมีรัศมีฐาน √0.12 และความสูง 3

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปริซึมที่กำหนดจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งสาม (สี่เหลี่ยม) ในการหาพื้นที่ของใบหน้าด้านข้าง คุณจำเป็นต้องทราบความสูงและความยาวของขอบฐาน ความสูงคือสาม ลองหาความยาวของขอบฐานกัน พิจารณาการฉายภาพ (มุมมองด้านบน):

เรามีรูปสามเหลี่ยมปกติซึ่งมีวงกลมที่มีรัศมี √0.12 กำกับอยู่ จากสามเหลี่ยมมุมฉาก AOC เราจะหา AC ได้ แล้ว AD (AD=2AC) ตามคำจำกัดความของแทนเจนต์:

ซึ่งหมายความว่า AD = 2AC = 1.2 ดังนั้น พื้นที่ผิวด้านข้างจึงเท่ากับ:

27066. จงหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมหกเหลี่ยมปกติที่ล้อมรอบทรงกระบอกซึ่งมีรัศมีฐานเป็น √75 และสูง 1

พื้นที่ที่ต้องการเท่ากับผลรวมของพื้นที่หน้าด้านข้างทั้งหมด ปริซึมหกเหลี่ยมปกติจะมีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากันที่ด้านด้านข้าง

ในการหาพื้นที่ของใบหน้า คุณจำเป็นต้องทราบความสูงและความยาวของขอบฐาน ทราบความสูงแล้ว มันเท่ากับ 1

ลองหาความยาวของขอบฐานกัน พิจารณาการฉายภาพ (มุมมองด้านบน):

เรามี หกเหลี่ยมปกติโดยเขียนวงกลมรัศมี √75 ลงไป

พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก ABO เรารู้ขา OB (นี่คือรัศมีของกระบอกสูบ) นอกจากนี้เรายังสามารถกำหนดมุม AOB ได้ โดยมีค่าเท่ากับ 300 (สามเหลี่ยม AOC มีด้านเท่ากันหมด OB คือเส้นแบ่งครึ่ง)

ลองใช้คำจำกัดความของแทนเจนต์ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก:

AC = 2AB เนื่องจาก OB เป็นค่ามัธยฐาน นั่นคือ แบ่ง AC ออกเป็นสองส่วน ซึ่งหมายถึง AC = 10

ดังนั้น พื้นที่ของใบหน้าด้านข้างคือ 1∙10=10 และพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างคือ:

76485. หาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมสามเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้ในทรงกระบอกซึ่งมีรัศมีฐานเป็น 8√3 และสูง 6

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปริซึมที่ระบุของใบหน้าที่มีขนาดเท่ากันสามหน้า (สี่เหลี่ยม) ในการหาพื้นที่ คุณจำเป็นต้องรู้ความยาวของขอบฐานของปริซึม (เรารู้ความสูง) หากเราพิจารณาการฉายภาพ (มุมมองด้านบน) เราจะมีสามเหลี่ยมปกติจารึกไว้ในวงกลม ด้านของสามเหลี่ยมนี้แสดงเป็นรัศมีดังนี้:

รายละเอียดของความสัมพันธ์ครั้งนี้ มันก็จะเท่ากัน

ดังนั้นพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างคือ: 24∙6=144 และพื้นที่ที่ต้องการ:

245354. ทรงกระบอกที่มีรัศมีฐานเป็น 2 ปริซึมสี่เหลี่ยมปกติจะกำหนดขอบเขตไว้ พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมคือ 48 จงหาความสูงของทรงกระบอก

มันง่ายมาก เรามีหน้าทั้งสี่ด้านที่มีพื้นที่เท่ากัน ดังนั้น พื้นที่ของหน้าเดียวคือ 48:4=12 เนื่องจากรัศมีของฐานของทรงกระบอกคือ 2 ขอบของฐานของปริซึมจะเป็น 4 ต้นๆ ซึ่งเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกระบอก (นี่คือรัศมีสองรัศมี) เรารู้พื้นที่ของหน้าและขอบด้านหนึ่ง ส่วนที่สองคือ ความสูงจะเท่ากับ 12:4=3

27065. จงหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมสามเหลี่ยมปกติที่ล้อมรอบทรงกระบอกซึ่งมีรัศมีฐานเป็น √3 และสูง 2

ขอแสดงความนับถืออเล็กซานเดอร์

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย กระบวนการยุติธรรม การดำเนินคดี และ/หรือ ตามคำขอสาธารณะ หรือการร้องขอจาก หน่วยงานภาครัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเราและบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

คำนิยาม.

นี่คือรูปหกเหลี่ยม ซึ่งมีฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันเท่ากัน และด้านด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากัน

ซี่โครงด้านข้าง- เป็นด้านร่วมของใบหน้าด้านที่อยู่ติดกันสองหน้า

ความสูงของปริซึม- นี่คือส่วนที่ตั้งฉากกับฐานของปริซึม

ปริซึมในแนวทแยง- ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดของฐานซึ่งไม่อยู่ในหน้าเดียวกัน

ระนาบแนวทแยง- ระนาบที่ผ่านแนวทแยงของปริซึมและขอบด้านข้าง

ส่วนแนวทแยง- ขอบเขตของจุดตัดของปริซึมและระนาบแนวทแยง หน้าตัดขวางของปริซึมรูปสี่เหลี่ยมปกติเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก

ส่วนตั้งฉาก (ส่วนตั้งฉาก)- นี่คือจุดตัดของปริซึมกับระนาบที่วาดตั้งฉากกับขอบด้านข้าง

องค์ประกอบของปริซึมทรงสี่เหลี่ยมปกติ

รูปนี้แสดงปริซึมสี่เหลี่ยมปกติสองอัน ซึ่งระบุด้วยตัวอักษรที่สอดคล้องกัน:

• ฐาน ABCD และ A 1 B 1 C 1 D 1 เท่ากันและขนานกัน
• หน้าด้านข้าง AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C และ CC 1 D 1 D โดยแต่ละอันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• พื้นผิวด้านข้าง - ผลรวมของพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างทั้งหมดของปริซึม
• พื้นผิวทั้งหมด - ผลรวมของพื้นที่ของฐานและใบหน้าด้านข้างทั้งหมด (ผลรวมของพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างและฐาน)
• ซี่โครงด้านข้าง AA 1, BB 1, CC 1 และ DD 1
• เส้นทแยงมุม B 1 D
• ฐานแนวทแยง BD
• ส่วนทแยง BB 1 D 1 D
• ส่วนตั้งฉาก A 2 B 2 C 2 D 2

คุณสมบัติของปริซึมทรงสี่เหลี่ยมปกติ

• ฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันเท่ากัน
• ฐานจะขนานกัน
• ใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• ขอบด้านข้างเท่ากัน
• ใบหน้าด้านข้างตั้งฉากกับฐาน
• ซี่โครงด้านข้างขนานกันและเท่ากัน
• ส่วนตั้งฉากตั้งฉากกับซี่โครงด้านข้างทั้งหมดและขนานกับฐาน
• มุมของส่วนตั้งฉาก - เส้นตรง
• หน้าตัดขวางของปริซึมรูปสี่เหลี่ยมปกติเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
• ตั้งฉาก (ส่วนตั้งฉาก) ขนานกับฐาน

สูตรสำหรับปริซึมทรงสี่เหลี่ยมปกติ

คำแนะนำในการแก้ปัญหา

เมื่อแก้ไขปัญหาในหัวข้อ " ปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ"หมายความว่า:

ปริซึมที่ถูกต้อง- ปริซึมที่ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ และขอบด้านข้างตั้งฉากกับระนาบของฐาน นั่นคือปริซึมสี่เหลี่ยมปกติจะอยู่ที่ฐาน สี่เหลี่ยม- (ดูคุณสมบัติของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติด้านบน) บันทึก- นี่เป็นส่วนหนึ่งของบทเรียนเกี่ยวกับปัญหาเรขาคณิต (ส่วน Stereometry - ปริซึม) นี่คือปัญหาที่แก้ไขได้ยาก หากคุณต้องการแก้ไขปัญหาเรขาคณิตที่ไม่มีอยู่ที่นี่ โปรดเขียนเกี่ยวกับปัญหานั้นในฟอรัม. เพื่อระบุการดำเนินการดึงข้อมูล รากที่สองสัญลักษณ์นี้ใช้ในการแก้ปัญหา√ .

งาน.

ในปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ พื้นที่ฐานคือ 144 ซม. 2 และความสูงคือ 14 ซม. จงหาเส้นทแยงมุมของปริซึมและพื้นที่ผิวทั้งหมด

สารละลาย.
รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนปกติคือสี่เหลี่ยมจัตุรัส
ดังนั้นด้านข้างของฐานจะเท่ากัน

√144 = 12 ซม.
โดยที่เส้นทแยงมุมของฐานของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติจะเท่ากับ
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

เส้นทแยงมุมของปริซึมปกติทำให้เกิดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยมีเส้นทแยงมุมของฐานและความสูงของปริซึม ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เส้นทแยงมุมของปริซึมรูปสี่เหลี่ยมปกติที่กำหนดจะเท่ากับ:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 ซม

คำตอบ: 22 ซม

งาน

กำหนดพื้นผิวรวมของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติถ้าเส้นทแยงมุมคือ 5 ซม. และเส้นทแยงมุมของหน้าด้านข้างคือ 4 ซม.

สารละลาย.
เนื่องจากฐานของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เราจึงหาด้านข้างของฐาน (เขียนแทนด้วย a) โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ก 2 + ก 2 = 5 2
2เอ 2 = 25
ก = √12.5

ความสูงของใบหน้าด้านข้าง (แสดงเป็น h) จะเท่ากับ:

ชม 2 + 12.5 = 4 2
ชั่วโมง 2 + 12.5 = 16
ชั่วโมง 2 = 3.5
ชั่วโมง = √3.5

พื้นที่ผิวทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ผิวด้านข้างและเป็นสองเท่าของพื้นที่ฐาน

ส = 2a 2 + 4ah
ส = 25 + 4√12.5 * √3.5
ส = 25 + 4√43.75
ส = 25 + 4√(175/4)
ส = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 µ 51.46 ซม. 2

คำตอบ: 25 + 10√7 data 51.46 ซม. 2

ปริซึมที่แตกต่างกันจะแตกต่างกัน ในขณะเดียวกันก็มีอะไรที่เหมือนกันหลายอย่าง หากต้องการหาพื้นที่ฐานของปริซึมคุณจะต้องเข้าใจว่าปริซึมนั้นมีประเภทใด

ทฤษฎีทั่วไป

ปริซึมคือรูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ ที่ด้านข้างมีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ยิ่งไปกว่านั้นฐานของมันสามารถเป็นรูปหลายเหลี่ยมใดก็ได้ตั้งแต่รูปสามเหลี่ยมไปจนถึงรูป n-gon ยิ่งไปกว่านั้น ฐานของปริซึมจะเท่ากันเสมอ สิ่งที่ใช้ไม่ได้กับใบหน้าด้านข้างคือขนาดอาจแตกต่างกันอย่างมาก

เมื่อแก้ไขปัญหาไม่เพียงแต่จะพบพื้นที่ฐานของปริซึมเท่านั้น อาจต้องอาศัยความรู้พื้นผิวด้านข้าง กล่าวคือ ใบหน้าทั้งหมดที่ไม่ใช่ฐาน เต็มพื้นผิวจะมีการรวมตัวกันของใบหน้าทั้งหมดที่ประกอบเป็นปริซึมอยู่แล้ว

บางครั้งปัญหาก็เกี่ยวข้องกับความสูง มันตั้งฉากกับฐาน เส้นทแยงมุมของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดใดๆ ที่ไม่อยู่ในหน้าเดียวกันเป็นคู่

ควรสังเกตว่าพื้นที่ฐานของปริซึมตรงหรือเอียงไม่ได้ขึ้นอยู่กับมุมระหว่างปริซึมกับใบหน้าด้านข้าง หากพวกมันมีรูปร่างเหมือนกันทั้งด้านบนและด้านล่าง พื้นที่ของพวกมันก็จะเท่ากัน

ปริซึมสามเหลี่ยม

ที่ฐานจะมีจุดยอดสามจุดคือรูปสามเหลี่ยม อย่างที่คุณทราบมันอาจจะแตกต่างออกไป ถ้าเป็นเช่นนั้น ก็เพียงพอที่จะจำไว้ว่าพื้นที่ของมันถูกกำหนดโดยครึ่งหนึ่งของผลคูณของขา

สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์มีลักษณะดังนี้: S = ½ av

เพื่อหาพื้นที่ฐานใน มุมมองทั่วไปสูตรจะมีประโยชน์: นกกระสาและสูตรที่นำครึ่งหนึ่งของด้านข้างขึ้นไปตามความสูงที่ดึงเข้าไป

ควรเขียนสูตรแรกดังนี้: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)) สัญกรณ์นี้ประกอบด้วยกึ่งเส้นรอบรูป (p) นั่นคือผลรวมของด้านทั้งสามหารด้วยสอง

ประการที่สอง: S = ½ n a * a

หากคุณต้องการหาพื้นที่ฐานของปริซึมสามเหลี่ยมซึ่งเป็นปริซึมสม่ำเสมอ สามเหลี่ยมนั้นจะกลายเป็นด้านเท่ากันหมด มีสูตรดังนี้: S = ¼ a 2 * √3

ปริซึมสี่เหลี่ยม

ฐานของมันคือจตุรัสใดๆ ที่รู้จัก อาจเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนก็ได้ ในแต่ละกรณีในการคำนวณพื้นที่ฐานของปริซึม คุณจะต้องมีสูตรของคุณเอง

หากฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า พื้นที่จะถูกกำหนดดังนี้ S = ab โดยที่ a, b คือด้านของสี่เหลี่ยม

เมื่อพูดถึงปริซึมสี่เหลี่ยม พื้นที่ฐานของปริซึมปกติจะคำนวณโดยใช้สูตรสี่เหลี่ยมจัตุรัส เพราะเขาคือผู้ที่นอนอยู่ที่รากฐาน ส = ก 2

ในกรณีที่ฐานเป็นรูปขนาน จะต้องมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: S = a * n a มันเกิดขึ้นที่ด้านของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและมุมใดมุมหนึ่งได้รับมา จากนั้น ในการคำนวณความสูง คุณจะต้องใช้สูตรเพิ่มเติม: n a = b * sin A ยิ่งไปกว่านั้น มุม A อยู่ติดกับด้าน "b" และความสูง n อยู่ตรงข้ามกับมุมนี้

หากมีรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนอยู่ที่ฐานของปริซึม คุณจะต้องใช้สูตรเดียวกันกับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานในการกำหนดพื้นที่ (เนื่องจากเป็นกรณีพิเศษ) แต่คุณสามารถใช้สิ่งนี้ได้: S = ½ d 1 d 2 โดยที่ d 1 และ d 2 คือเส้นทแยงมุมสองเส้นของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ปริซึมห้าเหลี่ยมปกติ

กรณีนี้เกี่ยวข้องกับการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยม ซึ่งเป็นบริเวณที่หาได้ง่ายกว่า แม้ว่ามันจะเกิดขึ้นที่ตัวเลขสามารถมีจำนวนจุดยอดที่แตกต่างกันได้

เนื่องจากฐานของปริซึมเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ จึงสามารถแบ่งรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าได้ห้ารูป จากนั้นพื้นที่ฐานของปริซึมจะเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมดังกล่าวหนึ่งอัน (ดูสูตรด้านบน) คูณด้วย 5

ปริซึมหกเหลี่ยมปกติ

ตามหลักการที่อธิบายไว้สำหรับปริซึมห้าเหลี่ยม เราสามารถแบ่งรูปหกเหลี่ยมของฐานออกเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าได้ 6 รูป สูตรสำหรับพื้นที่ฐานของปริซึมนั้นคล้ายกับสูตรก่อนหน้า ควรคูณด้วยหกเท่านั้น

สูตรจะมีลักษณะดังนี้: S = 3/2 a 2 * √3

งาน

ลำดับที่ 1 เมื่อพิจารณาจากเส้นตรงปกติ เส้นทแยงมุมคือ 22 ซม. ความสูงของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือ 14 ซม. คำนวณพื้นที่ฐานของปริซึมและพื้นผิวทั้งหมด

สารละลาย.ฐานของปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่ไม่ทราบด้านข้าง คุณสามารถหาค่าได้จากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส (x) ซึ่งสัมพันธ์กับเส้นทแยงมุมของปริซึม (d) และความสูง (h) x 2 = ง 2 - n 2 ในทางกลับกัน ส่วน “x” นี้ก็คือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมซึ่งมีขาเท่ากับด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส นั่นคือ x 2 = a 2 + a 2 ปรากฎว่า a 2 = (d 2 - n 2)/2

แทนที่ตัวเลข 22 แทน d และแทนที่ "n" ด้วยค่าของมัน - 14 ปรากฎว่าด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 12 ซม. ตอนนี้แค่หาพื้นที่ของฐาน: 12 * 12 = 144 ซม 2.

หากต้องการทราบพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมด คุณต้องเพิ่มพื้นที่ฐานสองเท่าและเพิ่มพื้นที่ด้านข้างเป็นสี่เท่า อย่างหลังสามารถพบได้ง่ายโดยใช้สูตรสำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า: คูณความสูงของรูปทรงหลายเหลี่ยมและด้านข้างของฐาน นั่นคือ 14 และ 12 ตัวเลขนี้จะเท่ากับ 168 ซม. 2 พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึมกลายเป็น 960 ซม. 2

คำตอบ.พื้นที่ฐานปริซึม 144 ซม. 2 พื้นผิวทั้งหมดคือ 960 ซม. 2

ลำดับที่ 2. ให้ไว้ที่ฐานมีรูปสามเหลี่ยมด้านหนึ่งยาว 6 ซม. ในกรณีนี้ เส้นทแยงมุมของหน้าด้านข้างคือ 10 ซม. จงคำนวณพื้นที่: ฐานและพื้นผิวด้านข้าง

สารละลาย.เนื่องจากปริซึมเป็นแบบปกติ ฐานจึงเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า ดังนั้น พื้นที่ของมันจะเท่ากับ 6 กำลังสอง คูณด้วย ¼ และด้วยรากที่สองของ 3 การคำนวณอย่างง่ายนำไปสู่ผลลัพธ์: 9√3 ซม. 2 นี่คือพื้นที่ฐานหนึ่งของปริซึม

ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเหมือนกันและเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านขนาด 6 และ 10 ซม. หากต้องการคำนวณพื้นที่ ให้คูณตัวเลขเหล่านี้ แล้วคูณด้วยสาม เพราะปริซึมมีด้านหลายด้านพอดี จากนั้นพื้นที่ผิวด้านข้างของแผลจะเท่ากับ 180 ซม. 2

คำตอบ.พื้นที่: ฐาน - 9√3 ซม. 2, พื้นผิวด้านข้างของปริซึม - 180 ซม. 2