มาเรียนรู้การสร้างส่วนต่างๆ กัน งานวิจัยในหัวข้อ "วิธีสร้างส่วนต่างๆของรูปทรงหลายเหลี่ยม"

ในบทนี้ เราจะดูจัตุรมุขและองค์ประกอบของมัน (ขอบจัตุรมุข พื้นผิว ใบหน้า จุดยอด) และเราจะแก้ปัญหาต่างๆ ในการสร้างส่วนต่างๆ ในจัตุรมุขโดยใช้วิธีทั่วไปในการสร้างส่วนต่างๆ

หัวข้อ: ความขนานของเส้นและระนาบ

บทเรียน: จัตุรมุข ปัญหาในการสร้างส่วนต่างๆ ในจัตุรมุข

จะสร้างจัตุรมุขได้อย่างไร? ลองหารูปสามเหลี่ยมตามใจกัน เอบีซี- จุดใดก็ได้ ดีไม่ใช่นอนอยู่ในระนาบของสามเหลี่ยมนี้ เราได้สามเหลี่ยม 4 อัน พื้นผิวที่เกิดจากสามเหลี่ยมทั้ง 4 นี้เรียกว่าจัตุรมุข (รูปที่ 1) จุดภายในที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวนี้ก็เป็นส่วนหนึ่งของจัตุรมุขเช่นกัน

ข้าว. 1. จัตุรมุข ABCD

องค์ประกอบของจัตุรมุข
เอ,บี, ค, ดี - จุดยอดของจัตุรมุข.
เอบี, เอ.ซี., ค.ศ, บี.ซี., บีดี, ซีดี - ขอบจัตุรมุข.
เอบีซี, เอบีดี, บีดีซี, เอดีซี - ใบหน้าจัตุรมุข.

ความคิดเห็น:สามารถแบนได้ เอบีซีสำหรับ ฐานจัตุรมุขแล้วชี้ ดีเป็น จุดยอดของจัตุรมุข- ขอบแต่ละด้านของจัตุรมุขคือจุดตัดของระนาบสองระนาบ ตัวอย่างเช่นซี่โครง เอบี- นี่คือจุดตัดของเครื่องบิน เอบีดีและ เอบีซี- จุดยอดแต่ละจุดของจัตุรมุขคือจุดตัดของระนาบสามระนาบ จุดยอด กอยู่ในเครื่องบิน เอบีซี, เอบีดี, กดีกับ- จุด กคือจุดตัดของระนาบที่กำหนดทั้งสามระนาบ ข้อเท็จจริงนี้เขียนดังนี้: ก= เอบีซี ∩ เอบีดี ∩ เครื่องปรับอากาศดี.

คำนิยาม จัตุรมุข

ดังนั้น, จัตุรมุขเป็นพื้นผิวที่เกิดจากรูปสามเหลี่ยมสี่รูป

ขอบจัตุรมุข- เส้นตัดกันของระนาบสองระนาบของจัตุรมุข

สร้างสามเหลี่ยม 4 อันเท่ากันจาก 6 นัด เป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ไขปัญหาบนเครื่องบิน และนี่เป็นเรื่องง่ายที่จะทำในอวกาศ ลองใช้จัตุรมุขกัน 6 ไม้ขีดคือขอบของมัน สี่หน้าของจัตุรมุข และจะเป็นสี่หน้า สามเหลี่ยมเท่ากัน- ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

ให้จัตุรมุข เอบีซีดี. จุด มอยู่ในขอบของจัตุรมุข เอบี, จุด เอ็นอยู่ในขอบของจัตุรมุข ในดีและช่วงเวลา รอยู่ที่ขอบ ดีกับ(รูปที่ 2.). สร้างส่วนของจัตุรมุขด้วยเครื่องบิน เอ็มเอ็นพี.

ข้าว. 2. การวาดภาพสำหรับปัญหาที่ 2 - สร้างส่วนของจัตุรมุขด้วยระนาบ

สารละลาย:
พิจารณาใบหน้าของจัตุรมุข ดีดวงอาทิตย์- บนใบหน้าของประเด็นนี้ เอ็นและ ปเป็นของใบหน้า ดีดวงอาทิตย์และด้วยเหตุนี้จึงมีจัตุรมุขด้วย แต่ตามเงื่อนไขจุดนั้น เอ็น, พีอยู่ในระนาบการตัด วิธี, เอ็นพี- นี่คือเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบ: ระนาบของใบหน้า ดีดวงอาทิตย์และระนาบการตัด สมมุติว่าเส้นตรงนั้น เอ็นพีและ ดวงอาทิตย์ไม่ขนานกัน พวกเขานอนอยู่ในระนาบเดียวกัน ดีดวงอาทิตย์.ลองหาจุดตัดของเส้นตรงกัน เอ็นพีและ ดวงอาทิตย์- เรามาแสดงแทนกันเถอะ อี(รูปที่ 3.)

ข้าว. 3. การเขียนโจทย์ปัญหา 2. การหาจุด E

จุด อีอยู่ในระนาบส่วน เอ็มเอ็นพีเพราะมันอยู่บนเส้นตรง เอ็นพีและเส้นตรง เอ็นพีอยู่ในระนาบส่วนทั้งหมด เอ็มเอ็นพี.

ชี้ด้วย อีอยู่ในเครื่องบิน เอบีซีเพราะมันอยู่บนเส้นตรง ดวงอาทิตย์ออกจากเครื่องบิน เอบีซี.

เราเข้าใจแล้ว อีเอ็ม- เส้นตัดกันของเครื่องบิน เอบีซีและ เอ็มเอ็นพี,ตั้งแต่คะแนน อีและ มนอนพร้อมกันในสองระนาบ - เอบีซีและ เอ็มเอ็นพี.มาเชื่อมต่อจุดต่างๆ มและ อีและเดินตรงต่อไป อีเอ็มถึงทางแยกด้วยเส้น เครื่องปรับอากาศ- จุดตัดกันของเส้น อีเอ็มและ เครื่องปรับอากาศมาแสดงกันเถอะ ถาม.

ดังนั้นในกรณีนี้ NPQМ- ส่วนที่ต้องการ

ข้าว. 4. การเขียนแบบสำหรับปัญหา 2. แนวทางแก้ไขปัญหา 2

ให้เราพิจารณากรณีที่เมื่อ เอ็นพีขนาน บี.ซี.- ถ้าตรง เอ็นพีขนานกับเส้นบางเส้น เช่น เส้นตรง ดวงอาทิตย์ออกจากเครื่องบิน เอบีซีแล้วตรงไป เอ็นพีขนานไปกับระนาบทั้งหมด เอบีซี.

ระนาบส่วนที่ต้องการจะผ่านเส้นตรง เอ็นพีขนานกับระนาบ เอบีซีและตัดระนาบเป็นเส้นตรง ตรม- แล้วเส้นตัดกัน ตรมขนานไปกับเส้น เอ็นพี- เราได้รับ NPQМ- ส่วนที่ต้องการ

จุด มอยู่ที่ขอบด้านข้าง กดีในจัตุรมุข เอบีซีดี- สร้างส่วนของจัตุรมุขโดยมีระนาบที่ผ่านจุดนั้น มขนานกับฐาน เอบีซี.

ข้าว. 5. การวาดภาพสำหรับปัญหา 3 สร้างส่วนของจัตุรมุขด้วยระนาบ

สารละลาย:
เครื่องบินตัด φ ขนานไปกับเครื่องบิน เอบีซีตามเงื่อนไขก็หมายความว่าเครื่องบินลำนี้ φ ขนานกับเส้น เอบี, เครื่องปรับอากาศ, ดวงอาทิตย์.
ในเครื่องบิน เอบีดีผ่านจุด มมาทำไดเร็กกันเถอะ PQขนาน เอบี(รูปที่ 5) ตรง PQอยู่ในเครื่องบิน เอบีดี- ในเครื่องบินก็เช่นเดียวกัน เครื่องปรับอากาศดีผ่านจุด รมาทำไดเร็กกันเถอะ ประชาสัมพันธ์ขนาน เครื่องปรับอากาศ- ได้ประเด็นแล้ว ร- เส้นตัดกันสองเส้น PQและ ประชาสัมพันธ์เครื่องบิน พีคิวอาร์ตามลำดับขนานกับเส้นตัดกันสองเส้น เอบีและ เครื่องปรับอากาศเครื่องบิน เอบีซีซึ่งหมายถึงเครื่องบิน เอบีซีและ พีคิวอาร์ขนาน. พีคิวอาร์- ส่วนที่ต้องการ ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

ให้จัตุรมุข เอบีซีดี- จุด ม- จุดภายใน ชี้ไปที่หน้าจัตุรมุข เอบีดี. เอ็น- จุดภายในของส่วน ดีกับ(รูปที่ 6.). สร้างจุดตัดของเส้น น.เอ็ม.และเครื่องบิน เอบีซี.

ข้าว. 6. การวาดภาพสำหรับปัญหา 4

สารละลาย:
เพื่อแก้ปัญหานี้ เราจะสร้างระนาบเสริม ดีมน- ให้มันตรงไป ดีมตัดเส้น AB ที่จุด ถึง(รูปที่ 7.). แล้ว, เอสเคดี- นี่คือส่วนหนึ่งของเครื่องบิน ดีมนและจัตุรมุข ในเครื่องบิน ดีมนโกหกและตรงไปตรงมา น.เอ็ม.และผลลัพธ์เป็นเส้นตรง เอสเค- แล้วถ้า น.เอ็ม.ไม่ขนานกัน เอสเคแล้วพวกมันจะตัดกัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง ร- จุด รและก็จะมีจุดตัดของเส้นที่ต้องการ น.เอ็ม.และเครื่องบิน เอบีซี.

ข้าว. 7. การเขียนแบบสำหรับปัญหา 4. แนวทางแก้ไขปัญหา 4

ให้จัตุรมุข เอบีซีดี. ม- จุดภายในของใบหน้า เอบีดี. ร- จุดภายในของใบหน้า เอบีซี. เอ็น- จุดภายในของขอบ ดีกับ(รูปที่ 8.) สร้างส่วนของจัตุรมุขโดยมีเครื่องบินผ่านจุดต่างๆ ม, เอ็นและ ร.

ข้าว. 8. การวาดภาพสำหรับปัญหา 5 สร้างส่วนของจัตุรมุขด้วยระนาบ

สารละลาย:
ลองพิจารณากรณีแรกเมื่อเส้นตรง มนไม่ขนานกับระนาบ เอบีซี- ในโจทย์ที่แล้ว เราพบจุดตัดของเส้นนี้ มนและเครื่องบิน เอบีซี- นี่คือประเด็น ถึงได้มาโดยใช้ระนาบเสริม ดีมน, เช่น. เรากำลังดำเนินการ ดีมและเราก็ได้ประเด็น เอฟ- เราดำเนินการ ซีเอฟและที่สี่แยก มนเราได้รับประเด็น ถึง.

ข้าว. 9. การวาดโจทย์ 5. การหาจุด K

มาทำไดเร็กกันเถอะ KR- ตรง KRอยู่ทั้งในระนาบส่วนและในระนาบ เอบีซี- การได้รับคะแนน ป 1และ ร 2- กำลังเชื่อมต่อ ป 1และ มและเราก็เข้าใจประเด็นนี้ต่อไป ม.1- การเชื่อมต่อจุด ร 2และ เอ็น- เป็นผลให้เราได้ส่วนที่ต้องการ ป 1 ป 2 นิวเม็กซิโก 1- ปัญหาในกรณีแรกได้รับการแก้ไขแล้ว
ลองพิจารณากรณีที่ 2 เมื่อเป็นเส้นตรง มนขนานไปกับเครื่องบิน เอบีซี- เครื่องบิน เอ็มเอ็นพีผ่านเป็นเส้นตรง มนขนานไปกับเครื่องบิน เอบีซีและตัดกันเครื่องบิน เอบีซีตามเส้นตรงบางเส้น ร 1 ร 2แล้วตรงไป ร 1 ร 2ขนานกับเส้นที่กำหนด มน(รูปที่ 10.).

ข้าว. 10. การเขียนแบบสำหรับปัญหา 5. ส่วนที่ต้องการ

ทีนี้มาวาดเส้นตรงกัน ร 1 มและเราก็ได้ประเด็น ม.1.ป 1 ป 2 นิวเม็กซิโก 1- ส่วนที่ต้องการ

ดังนั้นเราจึงดูจัตุรมุขและแก้ไขปัญหาจัตุรมุขทั่วไปบางอย่าง ในบทต่อไป เราจะดูเรื่องรูปคู่ขนานกัน

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov - ฉบับที่ 5 แก้ไขและขยาย - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p. : ป่วย. เรขาคณิต. เกรด 10-11: หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป (ขั้นพื้นฐานและ ระดับโปรไฟล์)

2. Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: ป่วย เรขาคณิต. เกรด 10-11: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป

3. E.V. Potoskuev, L.I. Zvalich. - ฉบับที่ 6 แบบเหมารวม - อ.: อีแร้ง, 008. - 233 น. :อิล เรขาคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไปที่มีการศึกษาคณิตศาสตร์เชิงลึกและเฉพาะทาง

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติมบนเว็บ

2. วิธีสร้างหน้าตัดของจัตุรมุข คณิตศาสตร์().

3. เทศกาล แนวคิดการสอน ().

ทำโจทย์ที่บ้านในหัวข้อ “จัตุรมุข” วิธีหาขอบของจัตุรมุข ใบหน้าของจัตุรมุข จุดยอด และพื้นผิวของจัตุรมุข

1. เรขาคณิต เกรด 10-11: หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับพื้นฐานและเฉพาะทาง) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov - ฉบับที่ 5 แก้ไขและขยาย - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 หน้า: ป่วย งาน 18, 19, 20 น

2. จุด อีซี่โครงกลาง ปริญญาโทจัตุรมุข MAVS- สร้างส่วนของจัตุรมุขโดยมีเครื่องบินผ่านจุดต่างๆ บี, ซีและ อี.

3. ใน MABC จัตุรมุข จุด M เป็นของใบหน้า AMV จุด P เป็นของใบหน้า BMC จุด K เป็นของขอบ AC สร้างส่วนของจัตุรมุขโดยมีเครื่องบินผ่านจุดต่างๆ เอ็ม, อาร์, เค.

4. รูปทรงใดที่สามารถได้รับจากการจุดตัดของจัตุรมุขกับระนาบ?

ตามกฎแล้วปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการสร้างส่วนของลูกบาศก์โดยใช้ระนาบนั้นง่ายกว่าปัญหาที่เกี่ยวข้องกับส่วนของปิรามิด

เราสามารถวาดเส้นตรงผ่านจุดสองจุดได้หากพวกมันอยู่ในระนาบเดียวกัน เมื่อสร้างส่วนต่างๆ ของลูกบาศก์ อาจมีตัวเลือกอื่นสำหรับสร้างร่องรอยของระนาบการตัด เนื่องจากระนาบที่สามตัดระนาบขนานสองระนาบตามเส้นตรงขนานกัน ดังนั้นหากมีการสร้างเส้นตรงไว้ที่ด้านใดด้านหนึ่งแล้ว และอีกด้านหนึ่งมีจุดที่ส่วนนั้นผ่านไป เราก็สามารถวาดเส้นขนานกับ จุดนี้ผ่านจุดนี้

ลองดูตัวอย่างเฉพาะของวิธีสร้างส่วนต่างๆ ของลูกบาศก์โดยใช้ระนาบ

1) สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยมีระนาบที่ผ่านจุด A, C และ M

ปัญหาประเภทนี้เป็นปัญหาที่ง่ายที่สุดในการสร้างส่วนของลูกบาศก์ เนื่องจากจุด A และ C อยู่ในระนาบเดียวกัน (ABC) เราจึงสามารถวาดเส้นตรงผ่านจุดเหล่านั้นได้ ร่องรอยของมันคือส่วน AC มันมองไม่เห็น ดังนั้นเราจึงพรรณนา AC ด้วยจังหวะ ในทำนองเดียวกัน เราเชื่อมต่อจุด M และ C ซึ่งอยู่ในระนาบเดียวกัน (CDD1) และจุด A และ M ซึ่งอยู่ในระนาบเดียวกัน (ADD1) Triangle ACM เป็นส่วนที่จำเป็น

2) สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยมีระนาบผ่านจุด M, N, P

ในที่นี้มีเพียงจุด M และ N ที่อยู่ในระนาบเดียวกัน (ADD1) ดังนั้นเราจึงลากเส้นตรงผ่านจุดเหล่านั้นและได้ร่องรอย MN (มองไม่เห็น) เนื่องจากด้านตรงข้ามของลูกบาศก์อยู่ในระนาบขนาน ระนาบการตัดจะตัดตัดระนาบขนาน (ADD1) และ (BCC1) ตามเส้นขนาน เราได้สร้างเส้นขนานเส้นหนึ่งแล้ว - นี่คือ MN

ผ่านจุด P เราวาดเส้นขนานกับ MN ตัดกับขอบ BB1 ​​ที่จุด S PS คือร่องรอยของระนาบการตัดที่หน้า (BCC1)

เราลากเส้นตรงผ่านจุด M และ S ที่อยู่ในระนาบเดียวกัน (ABB1) เราได้รับร่องรอยของ MS (มองเห็นได้)

ระนาบ (ABB1) และ (CDD1) ขนานกัน มีเส้นตรง MS ในระนาบ (ABB1) อยู่แล้ว ดังนั้นผ่านจุด N ในระนาบ (CDD1) เราจึงวาดเส้นตรงขนานกับ MS เส้นนี้ตัดกับขอบ D1C1 ที่จุด L โดยมีร่องรอยคือ NL (มองไม่เห็น) จุด P และ L อยู่ในระนาบเดียวกัน (A1B1C1) ดังนั้นเราจึงลากเส้นตรงผ่านจุดเหล่านั้น

เพนตากอน MNLPS เป็นส่วนที่จำเป็น

3) สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยมีระนาบผ่านจุด M, N, P

จุด M และ N อยู่ในระนาบเดียวกัน (ВСС1) จึงสามารถลากเส้นตรงผ่านจุดเหล่านั้นได้ เราได้รับร่องรอย MN (มองเห็นได้) ระนาบ (BCC1) ขนานกับระนาบ (ADD1) ดังนั้น เมื่อผ่านจุด P ที่อยู่ใน (ADD1) เราจึงลากเส้นขนานกับ MN มันตัดขอบ AD ที่จุด E เราได้ร่องรอย PE (มองไม่เห็น)

ไม่มีจุดที่อยู่ในระนาบเดียวกันหรือเป็นเส้นตรงและจุดในระนาบขนานกันอีกต่อไป ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องต่อบรรทัดใดบรรทัดหนึ่งที่มีอยู่เพื่อรับคะแนนเพิ่มเติม

หากเราลากเส้น MN ต่อไป เนื่องจากมันอยู่ในระนาบ (BCC1) เราจึงต้องมองหาจุดตัดของ MN ด้วยเส้นใดเส้นหนึ่งของระนาบนี้ มีจุดตัดกับ CC1 และ B1C1 อยู่แล้ว - เหล่านี้คือ M และ N สิ่งที่เหลืออยู่คือเส้นตรง BC และ BB1 ลอง BC และ MN ต่อไปจนกระทั่งพวกมันตัดกันที่จุด K จุด K อยู่บนเส้น BC ซึ่งหมายความว่ามันเป็นของระนาบ (ABC) เราจึงสามารถวาดเส้นตรงผ่านจุด K และจุด E ซึ่งอยู่ในระนาบนี้ได้ ตัดขอบซีดีที่จุด H EH คือร่องรอยของมัน (มองไม่เห็น) เนื่องจาก H และ N อยู่ในระนาบเดียวกัน (CDD1) จึงสามารถลากเส้นตรงผ่านพวกมันได้ เราได้รับร่องรอย HN (มองไม่เห็น)

ระนาบ (ABC) และ (A1B1C1) ขนานกัน หนึ่งในนั้นมีเส้น EH อีกเส้นหนึ่งมีจุด M เราสามารถลากเส้นขนานกับ EH ถึง M ได้ เราได้รับการติดตาม MF (มองเห็นได้) ลากเส้นตรงผ่านจุด M และ F

MNHEPF หกเหลี่ยมเป็นส่วนที่จำเป็น

หากเราลากเส้นตรงต่อไป MN จนกระทั่งมันตัดกับระนาบตรงอีกอัน (BCC1) BB1 เราจะได้จุด G ที่เป็นของระนาบ (ABB1) ซึ่งหมายความว่าผ่าน G และ P เราสามารถวาดเส้นตรงที่มีร่องรอยเป็น PF ต่อไปเราวาดเส้นตรงผ่านจุดที่อยู่ในระนาบขนานและได้ผลลัพธ์เดียวกัน

การทำงานกับ PE แบบตรงจะให้ส่วน MNHEPF เดียวกัน

4) สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยมีระนาบผ่านจุด M, N, P

ตรงนี้เราสามารถวาดเส้นตรงผ่านจุด M และ N ที่อยู่ในระนาบเดียวกัน (A1B1C1) รอยเท้าของเธอคือ MN (มองเห็นได้) ไม่มีจุดที่อยู่ในระนาบเดียวกันหรือในระนาบขนานอีกต่อไป

ต่อไปเป็นเส้นตรง MN. มันอยู่ในระนาบ (A1B1C1) จึงสามารถตัดกับเส้นตรงเส้นใดเส้นหนึ่งของระนาบนี้ได้เท่านั้น มีจุดตัดกับ A1D1 และ C1D1 - N และ M แล้ว เส้นตรงอีกสองเส้นของระนาบนี้ - A1B1 และ B1C1 จุดตัดของ A1B1 และ MN คือ S เนื่องจากมันอยู่บนเส้น A1B1 มันจึงอยู่ในระนาบ (ABB1) ซึ่งหมายความว่าสามารถลากเส้นตรงผ่านจุดนั้นและจุด P ซึ่งอยู่ในระนาบเดียวกัน เส้น PS ตัดกับขอบ AA1 ที่จุด E PE คือรอยเส้น (มองเห็นได้) ผ่านจุด N และ E ซึ่งอยู่ในระนาบเดียวกัน (ADD1) คุณสามารถวาดเส้นตรงได้ โดยมีร่องรอยคือ NE (มองไม่เห็น) ในระนาบ (ADD1) มีเส้น NE ในระนาบขนานกับมัน (BCC1) มีจุด P เมื่อผ่านจุด P เราสามารถวาดเส้น PL ขนานกับ NE ได้ ตัดกับขอบ CC1 ที่จุด L โดย PL คือเส้นนี้ (มองเห็นได้) จุด M และ L อยู่ในระนาบเดียวกัน (CDD1) ซึ่งหมายความว่าสามารถลากเส้นตรงผ่านจุดเหล่านั้นได้ เส้นทางของเธอคือ ML (มองไม่เห็น) Pentagon MLPEN เป็นส่วนที่จำเป็น

เป็นไปได้ที่จะต่อเส้นตรง NM ทั้งสองทิศทางและมองหาจุดตัดไม่เพียงกับเส้นตรง A1B1 เท่านั้น แต่ยังรวมถึงเส้นตรง B1C1 ซึ่งอยู่ในระนาบด้วย (A1B1C1) ในกรณีนี้เราวาดเส้นตรงสองเส้นพร้อมกันผ่านจุด P: เส้นหนึ่งในระนาบ (ABB1) ผ่านจุด P และ S และเส้นที่สองในระนาบ (BCC1) ผ่านจุด P และ R หลังจากนั้นยังคงเชื่อมต่ออยู่ จุดที่อยู่ในระนาบเดียวกัน: M c L, E - กับ N

คุณรู้หรือไม่ว่าส่วนใดของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยเครื่องบิน? หากคุณยังคงสงสัยความถูกต้องของคำตอบสำหรับคำถามนี้ คุณสามารถตรวจสอบตัวเองได้ง่ายๆ เราขอแนะนำให้คุณทำการทดสอบสั้นๆ ด้านล่างนี้

คำถาม. ตัวเลขที่แสดงภาคตัดขวางของระนาบขนานเป็นจำนวนเท่าใด

ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องอยู่ในรูปที่ 3

หากคุณตอบถูกจะเป็นการยืนยันว่าคุณเข้าใจสิ่งที่คุณกำลังเผชิญอยู่ แต่น่าเสียดายที่แม้แต่คำตอบที่ถูกต้องสำหรับคำถามทดสอบก็ไม่ได้รับประกันว่าคุณจะได้เกรดสูงสุดในบทเรียนในหัวข้อ "ส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยม" ท้ายที่สุดสิ่งที่ยากที่สุดคือการไม่จดจำส่วนต่าง ๆ ในภาพวาดที่เสร็จแล้วแม้ว่าจะมีความสำคัญมากเช่นกัน แต่เป็นการก่อสร้าง

ขั้นแรก ให้เรากำหนดคำจำกัดความของส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยม ดังนั้น ส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ที่ขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมและมีด้านข้างอยู่บนใบหน้า

ตอนนี้เรามาฝึกสร้างจุดตัดกันอย่างรวดเร็วและแม่นยำกันดีกว่า ให้สอดคล้องกับ เครื่องบินที่ได้รับ- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ มาแก้ไขปัญหาต่อไปนี้

สร้างจุดตัดของเส้นตรง MN ด้วยระนาบของฐานล่างและฐานบน ปริซึมสามเหลี่ยม ABCA 1 B 1 C 1 โดยมีเงื่อนไขว่าจุด M เป็นของขอบด้านข้าง CC 1 และจุด N เป็นของขอบ BB 1

เริ่มต้นด้วยการขยายเส้นตรง MN ทั้งสองทิศทางในภาพวาด (รูปที่ 1) จากนั้น เพื่อให้ได้จุดตัดที่โจทย์ต้องการ เราจะขยายเส้นที่วางอยู่บนฐานบนและล่าง และตอนนี้มาถึงช่วงเวลาที่ยากที่สุดในการแก้ปัญหา: ต้องขยายบรรทัดใดในฐานทั้งสองเนื่องจากแต่ละบรรทัดมีสามบรรทัด

เพื่อให้ขั้นตอนสุดท้ายของการก่อสร้างเสร็จสมบูรณ์อย่างถูกต้อง มีความจำเป็นต้องพิจารณาว่าฐานตรงใดอยู่ในระนาบเดียวกันกับเส้นตรง MN ที่เราสนใจ ในกรณีของเรา นี่คือ CB แบบตรงที่ด้านล่างและ C 1 B 1 ที่ฐานด้านบน และนี่คือสิ่งที่เราขยายออกไปจนกว่าพวกมันจะตัดกับเส้นตรง NM (รูปที่ 2)

จุดผลลัพธ์ P และ P 1 คือจุดตัดของเส้นตรง MN กับระนาบของฐานบนและล่างของปริซึมสามเหลี่ยม ABCA 1 B 1 C 1 .

หลังจากวิเคราะห์ปัญหาที่นำเสนอแล้ว คุณสามารถดำเนินการสร้างส่วนต่างๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมได้โดยตรง จุดสำคัญจะมีเหตุผลที่จะช่วยให้คุณบรรลุผลที่ต้องการ ด้วยเหตุนี้ในที่สุดเราจะพยายามสร้างเทมเพลตที่จะสะท้อนลำดับการดำเนินการเมื่อแก้ไขปัญหาประเภทนี้

ลองพิจารณาปัญหาต่อไปนี้ สร้างส่วนของปริซึมสามเหลี่ยม ABCA 1 B 1 C 1 โดยระนาบที่ผ่านจุด X, Y, Z ของขอบ AA 1, AC และ BB 1 ตามลำดับ

วิธีแก้ปัญหา: ลองวาดรูปวาดแล้วดูว่าจุดคู่ใดอยู่ในระนาบเดียวกัน

คู่จุด X และ Y สามารถเชื่อมต่อ X และ Z ได้เพราะว่า พวกเขานอนอยู่ในระนาบเดียวกัน

มาสร้างจุดเพิ่มเติมที่จะอยู่บนใบหน้าเดียวกันกับจุด Z โดยขยายเส้น XY และ CC 1 เพราะ พวกเขานอนอยู่ในระนาบของใบหน้า AA 1 C 1 C เรียกจุดผลลัพธ์ P

จุด P และ Z อยู่ในระนาบเดียวกัน - ในระนาบของใบหน้า CC 1 B 1 B ดังนั้นเราจึงสามารถเชื่อมต่อพวกมันได้ เส้นตรง PZ ตัดกับขอบ CB ณ จุดหนึ่ง เรียกมันว่า T จุด Y และ T อยู่ในระนาบล่างของปริซึม แล้วเชื่อมต่อเข้าด้วยกัน ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยม YXZT จึงถูกสร้างขึ้น และนี่คือส่วนที่ต้องการ

มาสรุปกัน หากต้องการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยระนาบ คุณต้อง:

1) ลากเส้นตรงผ่านจุดคู่ที่อยู่ในระนาบเดียวกัน

2) ค้นหาเส้นที่ระนาบส่วนและใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมตัดกัน ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องค้นหาจุดตัดของเส้นตรงที่เป็นของระนาบส่วนโดยมีเส้นตรงวางอยู่ในใบหน้าด้านใดด้านหนึ่ง

กระบวนการสร้างส่วนต่างๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมมีความซับซ้อนเนื่องจากมีความแตกต่างกันในแต่ละกรณี และไม่มีทฤษฎีใดอธิบายได้ตั้งแต่ต้นจนจบ มีเพียงหนึ่งเดียวจริงๆ วิธีที่ถูกต้องการเรียนรู้ที่จะสร้างส่วนต่าง ๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมอย่างรวดเร็วและแม่นยำนั้นเป็นการฝึกฝนอย่างต่อเนื่อง ยิ่งคุณสร้างส่วนต่างๆ มากเท่าไร คุณก็จะยิ่งทำสิ่งนี้ได้ง่ายขึ้นในอนาคต

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

ดังที่คุณทราบ ข้อสอบคณิตศาสตร์ใดๆ ก็ตามมีการแก้ปัญหาเป็นส่วนหลัก ความสามารถในการแก้ปัญหาเป็นตัวบ่งชี้หลักของระดับการพัฒนาทางคณิตศาสตร์

บ่อยครั้งในการสอบของโรงเรียนตลอดจนการสอบที่จัดขึ้นที่มหาวิทยาลัยและโรงเรียนเทคนิคมีหลายกรณีที่นักเรียนแสดง ผลลัพธ์ที่ดีในสาขาทฤษฎีผู้ที่รู้คำจำกัดความและทฤษฎีบทที่จำเป็นทั้งหมดจะสับสนเมื่อแก้ไขปัญหาง่ายๆ

ในช่วงปีการศึกษา นักเรียนแต่ละคนจะเป็นผู้ตัดสินใจ จำนวนมากงาน แต่งานเดียวกันนั้นมอบให้กับนักเรียนทุกคน และหากนักเรียนบางคนได้เรียนรู้ กฎทั่วไปและวิธีการแก้ปัญหา บ้างก็เจอปัญหาแบบที่ไม่คุ้นเคยก็ไม่รู้ด้วยซ้ำว่าจะแก้ไขอย่างไร

เหตุผลประการหนึ่งของสถานการณ์นี้คือในขณะที่นักเรียนบางคนเจาะลึกกระบวนการแก้ปัญหาและพยายามตระหนักและเข้าใจเทคนิคทั่วไปและวิธีการแก้ปัญหาเหล่านั้น แต่คนอื่นๆ กลับไม่ได้คิดถึงมันและพยายามแก้ไขปัญหาที่นำเสนออย่างรวดเร็ว เท่าที่จะทำได้

นักเรียนจำนวนมากไม่ได้วิเคราะห์ปัญหาที่กำลังแก้ไข และไม่ได้ระบุเทคนิคทั่วไปและวิธีการแก้ไข ในกรณีเช่นนี้ ปัญหาจะได้รับการแก้ไขเพื่อให้ได้คำตอบที่ต้องการเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น นักเรียนหลายคนไม่รู้ด้วยซ้ำว่าสาระสำคัญของการแก้ปัญหาการก่อสร้างคืออะไร แต่ งานก่อสร้างเป็นงานบังคับในหลักสูตร Stereometry ปัญหาเหล่านี้ไม่เพียงแต่สวยงามและเป็นต้นฉบับในวิธีการแก้ปัญหาเท่านั้น แต่ยังมีคุณค่าในทางปฏิบัติอีกด้วย

ต้องขอบคุณงานก่อสร้างที่ทำให้ความสามารถในการจินตนาการทางจิตใจพัฒนาขึ้น รูปทรงเรขาคณิต, การคิดเชิงพื้นที่พัฒนาขึ้น การคิดเชิงตรรกะเช่นเดียวกับสัญชาตญาณทางเรขาคณิต ปัญหาการก่อสร้างจะพัฒนาทักษะการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ

ปัญหาการก่อสร้างไม่ใช่เรื่องง่าย เนื่องจากไม่มีกฎหรืออัลกอริธึมเดียวในการแก้ปัญหา งานใหม่แต่ละงานมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวและต้องใช้แนวทางการแก้ปัญหาเฉพาะบุคคล

กระบวนการแก้ไขปัญหาการก่อสร้างเป็นลำดับของการก่อสร้างระดับกลางบางส่วนที่นำไปสู่เป้าหมาย

การก่อสร้างส่วนต่าง ๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมนั้นขึ้นอยู่กับสัจพจน์ต่อไปนี้:

1) หากจุดสองจุดของเส้นตรงอยู่ในระนาบใดระนาบหนึ่ง เส้นทั้งหมดก็จะอยู่ในระนาบนี้

2) หากระนาบสองลำมีจุดร่วมกัน ระนาบทั้งสองจะตัดกันเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดนี้

ทฤษฎีบท:ถ้าระนาบขนานสองระนาบตัดกันด้วยระนาบที่สาม เส้นตรงของจุดตัดจะขนานกัน

สร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยมีระนาบผ่านจุด A, B และ C ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

วิธีการติดตาม

ฉัน.สร้าง ส่วนตัดขวางของปริซึมระนาบที่ผ่านเส้นตรงที่กำหนด g (ร่องรอย) บนระนาบของฐานหนึ่งของปริซึมและจุด A

กรณีที่ 1

จุด A เป็นของฐานอีกฐานหนึ่งของปริซึม (หรือหน้าขนานกับเส้น g) - ระนาบตัดตัดฐาน (หน้า) นี้ไปตามส่วน BC ขนานกับเส้น g .

กรณีที่ 2

จุด A อยู่ที่ด้านข้างของปริซึม:

ส่วน BC ของ AD เส้นตรงคือจุดตัดของด้านนี้กับระนาบการตัด

กรณีที่ 3

การก่อสร้างส่วน ปริซึมสี่เหลี่ยมระนาบที่ลากผ่านเส้นตรง g ในระนาบฐานล่างของปริซึมและจุด A บนขอบด้านข้างด้านใดด้านหนึ่ง

ครั้งที่สองสร้าง ภาพตัดขวางของปิรามิดระนาบที่วิ่งผ่านเส้นตรงที่กำหนด g (ร่องรอย) บนระนาบฐานของปิรามิดและจุด A

ในการสร้างส่วนของปิรามิดด้วยระนาบ ก็เพียงพอที่จะสร้างจุดตัดของใบหน้าด้านข้างด้วยระนาบการตัด

กรณีที่ 1

หากจุด A เป็นของหน้าขนานกับเส้นตรง g ระนาบการตัดจะตัดใบหน้านี้ไปตามส่วน BC ขนานกับรอยของ g

กรณีที่ 2

หากจุด A ที่เป็นของส่วนนั้นตั้งอยู่บนใบหน้าที่ไม่ขนานกับใบหน้าของร่องรอย g ดังนั้น:

1) จุด D ถูกสร้างขึ้นโดยที่ระนาบของใบหน้าตัดกับร่องรอยที่กำหนด g

2) ลากเส้นตรงผ่านจุด A และ D

ส่วน BC ของ AD เส้นตรงคือจุดตัดของด้านนี้กับระนาบการตัด

ส่วนปลายของส่วน BC ก็เป็นของใบหน้าข้างเคียงด้วย ดังนั้น เมื่อใช้วิธีการที่อธิบายไว้ จึงสามารถสร้างจุดตัดของพื้นผิวเหล่านี้ด้วยระนาบการตัดได้ ฯลฯ

กรณีที่ 3

การก่อสร้างส่วน ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมเครื่องบินที่ผ่านด้านข้างของฐานและจุด A ที่ขอบด้านข้างด้านใดด้านหนึ่ง

ปัญหาเกี่ยวกับการสร้างส่วนต่างๆ ผ่านจุดบนใบหน้า

1. สร้างส่วนของจัตุรมุข ABCD โดยระนาบที่ผ่านจุดยอด C และจุด M และ N บนใบหน้า ACD และ ABC ตามลำดับ

จุด C และ M อยู่บนใบหน้า ACD ซึ่งหมายความว่าเส้นตรง CM อยู่ในระนาบของใบหน้านี้ (รูปที่ 1)

ให้ P เป็นจุดตัดของเส้นตรง CM และ AD ในทำนองเดียวกัน จุด C และ N อยู่ที่หน้า ACB ซึ่งหมายความว่าเส้นตรง CN อยู่ในระนาบของใบหน้านี้ ให้ Q เป็นจุดตัดของเส้น CN และ AB จุด P และ Q เป็นของทั้งระนาบหน้าตัดและหน้า ABD ดังนั้น PQ ของส่วนคือด้านข้างของส่วน ดังนั้น CPQ ของสามเหลี่ยมจึงเป็นส่วนที่จำเป็น

2. สร้างส่วนของจัตุรมุข ABCD โดยระนาบ MPN โดยที่จุด M, N, P อยู่ตามลำดับบนขอบ AD ในหน้า BCD และในหน้า ABC และ MN ไม่ขนานกับระนาบของหน้า ABC (รูปที่ 2).

ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่ทราบวิธีสร้างภาพตัดขวางของรูปทรงหลายเหลี่ยมใช่หรือไม่
เพื่อขอความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ -.
บทเรียนแรกฟรี!

blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม

ในระหว่างบทเรียนทุกคนจะได้แนวคิดในหัวข้อนี้”ปัญหาในการสร้างส่วนต่างๆ ในลักษณะขนานกัน” ขั้นแรก เราจะตรวจสอบคุณสมบัติการสนับสนุนพื้นฐานสี่ประการของขนาน จากนั้นเราจะแก้ปัญหาทั่วไปในการสร้างส่วนต่างๆ ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและกำหนดพื้นที่หน้าตัดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

หัวข้อ: ความขนานของเส้นและระนาบ

บทเรียน: ปัญหาในการสร้างส่วนต่างๆ ในรูปขนาน

ในระหว่างบทเรียน ทุกคนจะสามารถมีแนวคิดในหัวข้อนี้ได้ “ปัญหาในการสร้างส่วนต่างๆ ในรูปขนาน”.

ลองพิจารณา ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ที่ขนานกัน (รูปที่ 1) มาจำคุณสมบัติของมันกัน

ข้าว. 1. คุณสมบัติของรูปขนาน

1) ใบหน้าที่อยู่ตรงข้าม (สี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากัน) อยู่ในระนาบขนานกัน

ตัวอย่างเช่น สี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD และ A 1 B 1 C 1 D 1 เท่ากัน (นั่นคือสามารถซ้อนทับได้) และนอนอยู่ในระนาบขนาน

2) ความยาวของขอบขนานเท่ากัน

ตัวอย่างเช่น AD = BC = A 1 D 1 = B 1 C 1 (รูปที่ 2)

ข้าว. 2. ความยาวของขอบด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นเท่ากัน

3) เส้นทแยงมุมของจุดตัดด้านขนานที่จุดหนึ่งและถูกแบ่งครึ่งโดยจุดนี้

ตัวอย่างเช่น เส้นทแยงมุมของเส้นขนาน BD 1 และ B 1 D ตัดกันที่จุดหนึ่งและถูกแบ่งครึ่งโดยจุดนี้ (รูปที่ 3)

4) หน้าตัดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถเป็นรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม หกเหลี่ยม

ปัญหาหน้าตัดของเส้นขนาน

ตัวอย่างเช่น พิจารณาแก้ไขปัญหาต่อไปนี้ ให้ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ที่ขนานกันและจุด M, N, K บนขอบ AA 1, A 1 D 1, A 1 B 1 ตามลำดับ (รูปที่ 4) สร้างส่วนของเส้นขนานโดยใช้ระนาบ MNK จุด M และ N อยู่ในระนาบ AA 1 D 1 และในระนาบการตัดพร้อมกัน ซึ่งหมายความว่า MN คือเส้นตัดของระนาบทั้งสองที่ระบุ ในทำนองเดียวกันเราได้รับ MK และ KN นั่นคือส่วนจะเป็นสามเหลี่ยม MKN

1. เรขาคณิต เกรด 10-11: หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับพื้นฐานและเฉพาะทาง) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov - ฉบับที่ 5 แก้ไขและขยาย - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 หน้า: ป่วย

งาน 13, 14, 15 หน้า 50

2. ให้ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ที่ขนานกัน M และ N เป็นจุดกึ่งกลางของขอบ DC และ A 1 B 1

a) สร้างจุดตัดกันของเส้นตรง AM และ AN ด้วยระนาบของหน้า BB 1 C 1 C

b) สร้างเส้นตัดของเครื่องบิน AMN และ BB 1 C 1

3. สร้างส่วนของ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ที่ขนานกันโดยมีระนาบผ่าน BC 1 และ M ตรงกลางของขอบ DD 1