3 5 วิธีแก้ปัญหา การแก้สมการเลขชี้กำลังทางคณิตศาสตร์
เครื่องคิดเลขฟรีที่เรานำเสนอให้คุณสนใจมีคลังแสงความเป็นไปได้มากมายสำหรับการคำนวณทางคณิตศาสตร์ ช่วยให้คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ได้ สาขาต่างๆกิจกรรม: ทางการศึกษา, มืออาชีพและ ทางการค้า- แน่นอนว่าการใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์นั้นได้รับความนิยมเป็นพิเศษ นักเรียนและ เด็กนักเรียนช่วยให้ทำการคำนวณต่างๆ ได้ง่ายขึ้นมาก
ในขณะเดียวกันก็สามารถเป็นเครื่องคิดเลขได้ เครื่องมือที่มีประโยชน์ในบางพื้นที่ของธุรกิจและเพื่อประชาชน อาชีพที่แตกต่างกัน- แน่นอนว่าความจำเป็นในการใช้เครื่องคิดเลขในการทำธุรกิจหรือ กิจกรรมแรงงานพิจารณาจากประเภทของกิจกรรมเป็นหลัก หากธุรกิจและอาชีพของคุณเกี่ยวข้องกับการคำนวณและการคำนวณอย่างต่อเนื่องก็คุ้มค่าที่จะลองใช้เครื่องคิดเลขอิเล็กทรอนิกส์และประเมินระดับความมีประโยชน์สำหรับงานเฉพาะ
เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้สามารถ
- ปฏิบัติตามมาตรฐานอย่างถูกต้อง ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์เขียนเป็นบรรทัดเดียวเช่น - 12*3-(7/2) และสามารถประมวลผลตัวเลขที่มากกว่าที่เราจะนับจำนวนมากได้ในเครื่องคิดเลขออนไลน์ เราไม่รู้ด้วยซ้ำว่าจะเรียกตัวเลขดังกล่าวว่าอะไรอย่างถูกต้อง ( มีอักขระ 34 ตัวและนี่ไม่ใช่ขีดจำกัดเลย).
- ยกเว้น แทนเจนต์, โคไซน์, ไซน์และฟังก์ชันมาตรฐานอื่นๆ - เครื่องคิดเลขรองรับการคำนวณ อาร์กแทนเจนต์, อาร์คโคแทนเจนต์และอื่น ๆ
- มีจำหน่ายที่อาร์เซนอล ลอการิทึม, แฟกทอเรียลและคุณสมบัติที่น่าสนใจอื่น ๆ
- เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้ รู้วิธีสร้างกราฟ!!!
ในการพล็อตกราฟ บริการจะใช้ปุ่มพิเศษ (กราฟจะถูกวาดด้วยสีเทา) หรือการแสดงตัวอักษรของฟังก์ชันนี้ (พล็อต) หากต้องการสร้างกราฟในเครื่องคิดเลขออนไลน์ เพียงเขียนฟังก์ชัน: พล็อต(ตาล(x)),x=-360..360.
เราใช้กราฟที่ง่ายที่สุดสำหรับแทนเจนต์ และหลังจากจุดทศนิยม เราก็ระบุช่วงของตัวแปร X ตั้งแต่ -360 ถึง 360
คุณสามารถสร้างฟังก์ชันใดก็ได้ โดยมีจำนวนตัวแปรเท่าใดก็ได้ เช่น: พล็อต(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4)หรือซับซ้อนกว่านั้นที่คุณคิดขึ้นมาได้ เราให้ความสนใจกับพฤติกรรมของตัวแปร X - ช่วงเวลาจากและถึงถูกระบุโดยใช้จุดสองจุด
ข้อเสียอย่างเดียว (ถึงจะเรียกว่าเสียเปรียบได้ยากก็ตาม) เรื่องนี้ เครื่องคิดเลขออนไลน์นั่นคือเขาไม่รู้วิธีสร้างทรงกลมและรูปสามมิติอื่น ๆ - เป็นเพียงเครื่องบินเท่านั้น
วิธีใช้เครื่องคิดเลขคณิตศาสตร์
1. จอแสดงผล (หน้าจอเครื่องคิดเลข) จะแสดงนิพจน์ที่ป้อนและผลลัพธ์ของการคำนวณเป็นสัญลักษณ์ธรรมดาตามที่เราเขียนบนกระดาษ ฟิลด์นี้ใช้สำหรับดูธุรกรรมปัจจุบันเท่านั้น รายการจะปรากฏบนจอแสดงผลเมื่อคุณพิมพ์นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ในบรรทัดอินพุต
2. ช่องอินพุตนิพจน์มีไว้สำหรับบันทึกนิพจน์ที่ต้องคำนวณ ควรสังเกตว่าสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในโปรแกรมคอมพิวเตอร์นั้นไม่เหมือนกับสัญลักษณ์ที่เรามักใช้บนกระดาษเสมอไป ในภาพรวมของฟังก์ชันเครื่องคิดเลขแต่ละฟังก์ชัน คุณจะพบการกำหนดที่ถูกต้องสำหรับการดำเนินการเฉพาะและตัวอย่างการคำนวณในเครื่องคิดเลข ในหน้านี้ด้านล่างนี้คือรายการการดำเนินการที่เป็นไปได้ทั้งหมดในเครื่องคิดเลข พร้อมทั้งระบุการสะกดที่ถูกต้องด้วย
3. แถบเครื่องมือ - คือปุ่มเครื่องคิดเลขที่แทนที่การป้อนสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ด้วยตนเองซึ่งระบุการดำเนินการที่เกี่ยวข้อง ปุ่มเครื่องคิดเลขบางปุ่ม (ฟังก์ชันเพิ่มเติม ตัวแปลงหน่วย การแก้เมทริกซ์และสมการ กราฟ) เสริมแถบงานด้วยฟิลด์ใหม่ที่มีการป้อนข้อมูลสำหรับการคำนวณเฉพาะ ช่อง "ประวัติ" ประกอบด้วยตัวอย่างการเขียนนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ รวมถึงรายการล่าสุด 6 รายการของคุณ
โปรดทราบว่าเมื่อคุณกดปุ่มเพื่อเรียกใช้ฟังก์ชันเพิ่มเติม การแปลงปริมาณ การแก้เมทริกซ์และสมการ และการพล็อตกราฟ แผงเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะเลื่อนขึ้นจนครอบคลุมส่วนหนึ่งของจอแสดงผล กรอกข้อมูลในช่องที่ต้องกรอกแล้วกดปุ่ม "I" (ไฮไลต์ด้วยสีแดงในภาพ) เพื่อดูหน้าจอขนาดเต็ม
4. แผงปุ่มกดตัวเลขประกอบด้วยตัวเลขและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ปุ่ม "C" จะลบรายการทั้งหมดในฟิลด์รายการนิพจน์ หากต้องการลบอักขระทีละตัว คุณต้องใช้ลูกศรทางด้านขวาของบรรทัดอินพุต
พยายามปิดวงเล็บที่ส่วนท้ายของนิพจน์เสมอ สำหรับการทำงานส่วนใหญ่ สิ่งนี้ไม่สำคัญ เพราะเครื่องคิดเลขออนไลน์จะคำนวณทุกอย่างถูกต้อง อย่างไรก็ตามในบางกรณีข้อผิดพลาดอาจเกิดขึ้นได้ ตัวอย่างเช่น เมื่อยกกำลังเศษส่วน วงเล็บปิดจะทำให้ตัวส่วนของเศษส่วนในเลขยกกำลังไปเป็นตัวส่วนของฐาน วงเล็บปิดจะแสดงเป็นสีเทาอ่อนบนจอแสดงผล และควรปิดเมื่อการบันทึกเสร็จสิ้น
สำคัญ | เครื่องหมาย | การดำเนินการ |
---|---|---|
ปี่ | ปี่ | ค่าคงที่ ไพ |
จ | จ | เบอร์ออยเลอร์ |
% | % | เปอร์เซ็นต์ |
() | () | เปิด/ปิดวงเล็บเหลี่ยม |
, | , | จุลภาค |
บาป | บาป(?) | ไซน์ของมุม |
เพราะ | เพราะ(?) | โคไซน์ |
สีแทน | สีแทน(y) | แทนเจนต์ |
บาป | บาป() | ไฮเปอร์โบลิกไซน์ |
เยี่ยมเลย | คอส() | โคไซน์ไฮเปอร์โบลิก |
ทานห์ | ทานห์() | ไฮเพอร์โบลิกแทนเจนต์ |
บาป -1 | สิน() | ไซน์ย้อนกลับ |
คอส -1 | เอคอส() | โคไซน์ผกผัน |
ตาล -1 | อาทัน() | แทนเจนต์ย้อนกลับ |
ซิน -1 | อาซิน() | ไซน์ไฮเปอร์โบลิกผกผัน |
โคช -1 | อาโคช() | โคไซน์ไฮเปอร์โบลิกผกผัน |
ทันห์ -1 | อาทานห์() | แทนเจนต์ไฮเปอร์โบลิกผกผัน |
x2 | ^2 | กำลังสอง |
x3 | ^3 | คิวบ์ |
xy | ^ | การยกกำลัง |
10 ครั้ง | 10^() | การยกกำลังฐาน 10 |
อดีต | ประสบการณ์() | การยกกำลังของจำนวนออยเลอร์ |
วx | ตารางวา(x) | รากที่สอง |
3 วx | sqrt3(x) | รากที่ 3 |
ใช่ | ตารางวา(x,y) | การสกัดราก |
บันทึก 2 x | ล็อก2(x) | ลอการิทึมไบนารี |
บันทึก | บันทึก(x) | ลอการิทึมทศนิยม |
ln | จริง(x) | ลอการิทึมธรรมชาติ |
เข้าสู่ระบบ yx | บันทึก(x,y) | ลอการิทึม |
ฉัน/ครั้งที่สอง | ยุบ/เรียกใช้ฟังก์ชันเพิ่มเติม | |
หน่วย | ตัวแปลงหน่วย | |
เมทริกซ์ | เมทริกซ์ | |
แก้ปัญหา | สมการและระบบสมการ | |
กราฟ | ||
ฟังก์ชั่นเพิ่มเติม (โทรด้วยปุ่ม II) | ||
ม็อด | ม็อด | การหารด้วยเศษ |
! | ! | แฟกทอเรียล |
ฉัน/เจ | ฉัน/เจ | หน่วยจินตภาพ |
อีกครั้ง | อีกครั้ง() | แยกส่วนที่แท้จริงทั้งหมด |
ฉัน | ฉัน() | ยกเว้นส่วนจริง |
|x| | เอบีเอส() | โมดูลัสจำนวน |
เรื่อง | หาเรื่อง() | อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน |
เอ็นซีอาร์ | เอ็นซีอาร์() | สัมประสิทธิ์ทวินาม |
จีซีดี | จีซีดี() | จีซีดี |
ลซม | lcm() | NOC |
ผลรวม | ผลรวม() | มูลค่ารวมของการตัดสินใจทั้งหมด |
เผชิญหน้า | แยกตัวประกอบ() | การแยกตัวประกอบเฉพาะ |
ความแตกต่าง | ส่วนต่าง() | ความแตกต่าง |
องศา | องศา | |
ราด | เรเดียน |
บริการแก้สมการออนไลน์จะช่วยคุณแก้สมการต่างๆ เมื่อใช้เว็บไซต์ของเรา คุณจะไม่เพียงได้รับคำตอบของสมการเท่านั้น แต่ยังเห็นอีกด้วย วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดนั่นคือการแสดงกระบวนการรับผลลัพธ์ทีละขั้นตอน บริการของเราจะเป็นประโยชน์สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย โรงเรียนมัธยมศึกษาและพ่อแม่ของพวกเขา นักเรียนจะสามารถเตรียมตัวสอบ ทดสอบความรู้ และผู้ปกครองจะสามารถควบคุมการตัดสินใจได้ สมการทางคณิตศาสตร์กับลูก ๆ ของคุณ ความสามารถในการแก้สมการ – ข้อกำหนดบังคับถึงเด็กนักเรียน บริการนี้จะช่วยให้คุณได้รับความรู้และพัฒนาความรู้ในด้านสมการทางคณิตศาสตร์ ด้วยความช่วยเหลือนี้ คุณสามารถแก้สมการต่างๆ ได้ เช่น สมการกำลังสอง ลูกบาศก์ ไม่ลงตัว ตรีโกณมิติ ฯลฯ บริการออนไลน์และประเมินค่าไม่ได้ เพราะนอกจากคำตอบที่ถูกต้องแล้ว คุณยังได้รับคำตอบโดยละเอียดของแต่ละสมการอีกด้วย ประโยชน์ของการแก้สมการออนไลน์ คุณสามารถแก้สมการออนไลน์บนเว็บไซต์ของเราได้ฟรีอย่างแน่นอน บริการนี้เป็นไปโดยอัตโนมัติโดยสมบูรณ์ คุณไม่จำเป็นต้องติดตั้งอะไรลงในคอมพิวเตอร์ของคุณ คุณเพียงแค่ต้องป้อนข้อมูล จากนั้นโปรแกรมก็จะให้วิธีแก้ปัญหาแก่คุณ ไม่รวมข้อผิดพลาดในการคำนวณหรือการพิมพ์ผิด กับเรา การแก้สมการทางออนไลน์เป็นเรื่องง่ายมาก ดังนั้นอย่าลืมใช้เว็บไซต์ของเราในการแก้สมการทุกประเภท คุณเพียงแค่ต้องป้อนข้อมูลและการคำนวณจะเสร็จสิ้นภายในไม่กี่วินาที โปรแกรมทำงานได้อย่างอิสระโดยไม่มีการแทรกแซงของมนุษย์ และคุณจะได้รับคำตอบที่แม่นยำและละเอียด การแก้สมการใน มุมมองทั่วไป- ในสมการดังกล่าว ค่าสัมประสิทธิ์ตัวแปรและรากที่ต้องการจะเชื่อมโยงถึงกัน กำลังสูงสุดของตัวแปรจะกำหนดลำดับของสมการดังกล่าว จากนี้สำหรับการใช้สมการ วิธีการต่างๆและทฤษฎีบทในการหาคำตอบ การแก้สมการประเภทนี้หมายถึงการค้นหารากที่ต้องการในรูปแบบทั่วไป บริการของเราช่วยให้คุณแก้สมการพีชคณิตที่ซับซ้อนที่สุดทางออนไลน์ได้ คุณสามารถรับทั้งวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับสมการและค่าเฉพาะสำหรับค่าตัวเลขของสัมประสิทธิ์ที่คุณระบุ ในการแก้สมการพีชคณิตบนเว็บไซต์ เพียงกรอกสองฟิลด์ให้ถูกต้องเท่านั้น: ด้านซ้ายและด้านขวาของสมการที่กำหนด คุณ สมการพีชคณิตกับ อัตราต่อรองแบบแปรผันโซลูชั่นจำนวนอนันต์ และด้วยการกำหนดเงื่อนไขบางประการ โซลูชั่นส่วนตัวจะถูกเลือกจากชุดโซลูชั่น สมการกำลังสอง สมการกำลังสองมีรูปแบบ ax^2+bx+c=0 สำหรับ a>0 การแก้สมการกำลังสองเกี่ยวข้องกับการหาค่าของ x ที่ ax ที่เท่ากัน^2+bx+c=0 มีอยู่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ค้นหาค่าจำแนกโดยใช้สูตร D=b^2-4ac ถ้าจะเลือกปฏิบัติ น้อยกว่าศูนย์จากนั้นสมการก็ไม่มีรากจริง (รากมาจากสนาม จำนวนเชิงซ้อน) หากเท่ากับศูนย์ สมการจะมีรากจริงหนึ่งราก และหากตัวจำแนกมากกว่าศูนย์ สมการนั้นจะมีรากจริงสองราก ซึ่งพบได้จากสูตร: D= -b+-sqrt/2a ในการแก้สมการกำลังสองออนไลน์ คุณเพียงแค่ต้องป้อนค่าสัมประสิทธิ์ของสมการ (จำนวนเต็ม เศษส่วน หรือทศนิยม) หากมีเครื่องหมายลบในสมการ คุณต้องใส่เครื่องหมายลบหน้าพจน์ที่เกี่ยวข้องของสมการ คุณสามารถแก้สมการกำลังสองออนไลน์ได้ ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ ซึ่งก็คือตัวแปรในสัมประสิทธิ์ของสมการ บริการออนไลน์ของเราสำหรับการค้นหา โซลูชั่นทั่วไป- สมการเชิงเส้น เพื่อแก้ปัญหา สมการเชิงเส้น(หรือระบบสมการ) มี 4 วิธีหลักๆ ที่ใช้ในทางปฏิบัติ เราจะอธิบายแต่ละวิธีโดยละเอียด วิธีการทดแทน การแก้สมการโดยใช้วิธีการทดแทนจำเป็นต้องแสดงตัวแปรหนึ่งในแง่ของตัวแปรอื่นๆ หลังจากนั้น นิพจน์จะถูกแทนที่ด้วยสมการอื่นของระบบ ดังนั้นชื่อของวิธีการแก้ปัญหา กล่าวคือ แทนที่จะเป็นตัวแปร นิพจน์จะถูกแทนที่ผ่านตัวแปรที่เหลือ ในทางปฏิบัติ วิธีการนี้จำเป็นต้องมีการคำนวณที่ซับซ้อน แม้ว่าจะเข้าใจได้ง่าย ดังนั้นการแก้สมการทางออนไลน์จะช่วยประหยัดเวลาและทำให้การคำนวณง่ายขึ้น คุณเพียงแค่ต้องระบุจำนวนสิ่งที่ไม่ทราบในสมการและกรอกข้อมูลจากสมการเชิงเส้น จากนั้นบริการจะทำการคำนวณ วิธีเกาส์ วิธีการนี้ขึ้นอยู่กับการแปลงระบบที่ง่ายที่สุดเพื่อให้ได้ระบบที่เทียบเท่ากัน มีลักษณะเป็นรูปสามเหลี่ยม- จากนั้นสิ่งไม่รู้จะถูกกำหนดทีละคน ในทางปฏิบัตินั้นจำเป็นต้องแก้สมการออนไลน์ดังกล่าวด้วย คำอธิบายโดยละเอียดซึ่งจะทำให้คุณมีความเข้าใจที่ดีเกี่ยวกับวิธีเกาส์เซียนในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น เขียนถึง รูปแบบที่ถูกต้องระบบสมการเชิงเส้นและคำนึงถึงจำนวนที่ไม่ทราบเพื่อแก้ระบบได้อย่างแม่นยำ วิธีการของแครมเมอร์ วิธีนี้จะแก้ระบบสมการในกรณีที่ระบบมีคำตอบเฉพาะ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์หลักที่นี่คือการคำนวณปัจจัยกำหนดเมทริกซ์ การแก้สมการโดยใช้วิธี Cramer ดำเนินการทางออนไลน์ คุณจะได้รับผลลัพธ์ทันทีพร้อมคำอธิบายที่ครบถ้วนและละเอียด เพียงเติมระบบด้วยค่าสัมประสิทธิ์และเลือกจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักก็เพียงพอแล้ว วิธีเมทริกซ์ วิธีนี้ประกอบด้วยการรวบรวมค่าสัมประสิทธิ์ของค่าที่ไม่ทราบในเมทริกซ์ A ค่าที่ไม่ทราบในคอลัมน์ X และค่าอิสระในคอลัมน์ B ดังนั้น ระบบสมการเชิงเส้นจึงลดลงเป็น สมการเมทริกซ์พิมพ์ AxX=B สมการนี้มีคำตอบเฉพาะเจาะจงก็ต่อเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A แตกต่างจากศูนย์ มิฉะนั้น ระบบจะไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบเป็นจำนวนอนันต์ การแก้สมการ วิธีเมทริกซ์คือการค้นหา เมทริกซ์ผกผันก.
เพื่อแก้คณิตศาสตร์ ค้นหาอย่างรวดเร็ว การแก้สมการทางคณิตศาสตร์อยู่ในโหมด ออนไลน์- เว็บไซต์ www.site อนุญาต แก้สมการเกือบทุกอย่างที่ได้รับ พีชคณิต, ตรีโกณมิติหรือ สมการเหนือธรรมชาติออนไลน์- เมื่อเรียนคณิตศาสตร์เกือบทุกสาขาในแต่ละช่วง คุณต้องตัดสินใจ สมการออนไลน์- หากต้องการได้รับคำตอบทันที และที่สำคัญที่สุดคือคำตอบที่ถูกต้อง คุณต้องมีทรัพยากรที่ช่วยให้คุณดำเนินการนี้ได้ ขอบคุณเว็บไซต์ www.site แก้สมการออนไลน์จะใช้เวลาไม่กี่นาที ข้อได้เปรียบหลักของ www.site เมื่อแก้โจทย์คณิต สมการออนไลน์- นี่คือความเร็วและความแม่นยำของการตอบสนองที่ให้ไว้ เว็บไซต์สามารถแก้ปัญหาใดๆ สมการพีชคณิตออนไลน์, สมการตรีโกณมิติออนไลน์, สมการเหนือธรรมชาติออนไลน์และยัง สมการกับ พารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักอยู่ในโหมด ออนไลน์. สมการทำหน้าที่เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์อันทรงพลัง โซลูชั่นปัญหาในทางปฏิบัติ ด้วยความช่วยเหลือ สมการทางคณิตศาสตร์เป็นไปได้ที่จะแสดงข้อเท็จจริงและความสัมพันธ์ที่อาจดูสับสนและซับซ้อนเมื่อมองแวบแรก ปริมาณที่ไม่ทราบ สมการสามารถพบได้โดยการกำหนดปัญหาใน ทางคณิตศาสตร์ภาษาในรูปแบบ สมการและ ตัดสินใจได้รับงานในโหมด ออนไลน์บนเว็บไซต์ www.site. ใดๆ สมการพีชคณิต, สมการตรีโกณมิติหรือ สมการซึ่งประกอบด้วย เหนือธรรมชาติคุณสมบัติที่คุณทำได้อย่างง่ายดาย ตัดสินใจออนไลน์และรับคำตอบที่แน่นอน กำลังเรียน วิทยาศาสตร์ธรรมชาติคุณจะต้องเผชิญกับความต้องการอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ การแก้สมการ- ในกรณีนี้คำตอบจะต้องแม่นยำและต้องได้รับทันทีในโหมด ออนไลน์- ดังนั้นเพื่อ การแก้สมการทางคณิตศาสตร์ออนไลน์เราขอแนะนำเว็บไซต์ www.site ซึ่งจะกลายเป็นเครื่องคิดเลขที่ขาดไม่ได้ของคุณ แก้สมการพีชคณิตออนไลน์, สมการตรีโกณมิติออนไลน์และยัง สมการเหนือธรรมชาติออนไลน์หรือ สมการด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก สำหรับปัญหาเชิงปฏิบัติในการหารากเหง้าต่างๆ สมการทางคณิตศาสตร์ทรัพยากร www.. การแก้ปัญหา สมการออนไลน์ตัวคุณเองจะมีประโยชน์ในการตรวจสอบคำตอบที่ได้รับโดยใช้ การแก้สมการออนไลน์บนเว็บไซต์ www.site. คุณต้องเขียนสมการให้ถูกต้องและรับทันที โซลูชั่นออนไลน์หลังจากนั้นสิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการเปรียบเทียบคำตอบกับคำตอบของคุณกับสมการ การตรวจสอบคำตอบจะใช้เวลาไม่เกินหนึ่งนาทีก็เพียงพอแล้ว แก้สมการออนไลน์และเปรียบเทียบคำตอบ ซึ่งจะช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดได้ การตัดสินใจและแก้ไขคำตอบให้ตรงเวลาเมื่อ การแก้สมการออนไลน์ไม่ว่าจะเป็น พีชคณิต, ตรีโกณมิติ, เหนือธรรมชาติหรือ สมการด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก
ในวิดีโอนี้ เราจะวิเคราะห์สมการเชิงเส้นทั้งชุดที่แก้โดยใช้อัลกอริทึมเดียวกัน นั่นคือสาเหตุที่เรียกว่าสมการที่ง่ายที่สุด
ก่อนอื่น เรามานิยามกันดีกว่า: สมการเชิงเส้นคืออะไร และอันไหนเรียกว่าง่ายที่สุด?
สมการเชิงเส้นคือสมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวและอยู่ที่ระดับแรกเท่านั้น
สมการที่ง่ายที่สุดหมายถึงการก่อสร้าง:
สมการเชิงเส้นอื่นๆ ทั้งหมดจะถูกลดขนาดให้เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดโดยใช้อัลกอริทึม:
- ขยายวงเล็บ ถ้ามี
- ย้ายพจน์ที่มีตัวแปรไปด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ และย้ายเทอมที่ไม่มีตัวแปรไปอีกด้านหนึ่ง
- ให้คำที่คล้ายกันทางซ้ายและขวาของเครื่องหมายเท่ากับ
- หารสมการผลลัพธ์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร $x$
แน่นอนว่าอัลกอริทึมนี้ไม่ได้ช่วยเสมอไป ความจริงก็คือบางครั้งหลังจากการใช้เครื่องจักรทั้งหมดนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร $x$ จะเท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้ เป็นไปได้สองทางเลือก:
- สมการนี้ไม่มีคำตอบเลย ตัวอย่างเช่น เมื่อผลลัพธ์เช่น $0\cdot x=8$ ปรากฏออกมา นั่นคือ ทางซ้ายเป็นศูนย์ และทางขวาเป็นตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ ในวิดีโอด้านล่าง เราจะดูสาเหตุหลายประการที่ทำให้สถานการณ์นี้เป็นไปได้
- ผลเฉลยคือตัวเลขทั้งหมด กรณีเดียวที่เป็นไปได้คือเมื่อสมการลดลงเหลือโครงสร้าง $0\cdot x=0$ มันค่อนข้างสมเหตุสมผลที่ไม่ว่าเราจะแทนที่ $x$ อะไรก็ตาม มันก็ยังกลายเป็น "ศูนย์เท่ากับศูนย์" เช่น ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง
ตอนนี้เรามาดูกันว่าทั้งหมดนี้ทำงานอย่างไรโดยใช้ตัวอย่างในชีวิตจริง
ตัวอย่างการแก้สมการ
วันนี้เรากำลังพูดถึงสมการเชิงเส้น และเฉพาะสมการที่ง่ายที่สุดเท่านั้น โดยทั่วไป สมการเชิงเส้นหมายถึงความเท่าเทียมกันใดๆ ที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวเท่านั้น และจะไปที่ระดับแรกเท่านั้น
โครงสร้างดังกล่าวได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกันโดยประมาณ:
- ก่อนอื่น คุณต้องเปิดวงเล็บ (ถ้ามี) (เช่นในของเรา ตัวอย่างสุดท้าย);
- จากนั้นจึงผสมให้เข้ากัน
- สุดท้าย ให้แยกตัวแปรออก เช่น ย้ายทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร—เงื่อนไขที่มีตัวแปร—ไปด้านหนึ่ง และย้ายทุกสิ่งที่เหลือโดยไม่มีตัวแปรไปยังอีกด้านหนึ่ง
ตามกฎแล้วคุณจะต้องนำสิ่งที่คล้ายกันมาในแต่ละด้านของความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นและหลังจากนั้นสิ่งที่เหลืออยู่ก็คือหารด้วยสัมประสิทธิ์ของ "x" แล้วเราจะได้คำตอบสุดท้าย
ตามทฤษฎี สิ่งนี้ดูดีและเรียบง่าย แต่ในทางปฏิบัติ แม้แต่นักเรียนมัธยมปลายที่มีประสบการณ์ก็สามารถสร้างข้อผิดพลาดที่ไม่เหมาะสมในสมการเชิงเส้นที่ค่อนข้างง่ายได้ โดยทั่วไปแล้วข้อผิดพลาดจะเกิดขึ้นเมื่อเปิดวงเล็บหรือเมื่อคำนวณ "บวก" และ "ลบ"
นอกจากนั้น ยังเกิดขึ้นที่สมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบเลย หรือคำตอบคือเส้นจำนวนทั้งหมด กล่าวคือ หมายเลขใดก็ได้ เราจะดูรายละเอียดปลีกย่อยเหล่านี้ในบทเรียนของวันนี้ แต่เราจะเริ่มต้นตามที่คุณเข้าใจแล้วด้วยเหตุนี้ งานง่ายๆ.
โครงการแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่าย
ก่อนอื่น ให้ฉันเขียนโครงร่างทั้งหมดสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดอีกครั้ง:
- ขยายวงเล็บออก ถ้ามี
- เราแยกตัวแปรต่างๆ เช่น เราย้ายทุกอย่างที่มี "X's" ไปด้านหนึ่ง และทุกอย่างที่ไม่มี "X's" ไปอีกด้านหนึ่ง
- เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน
- เราหารทุกอย่างด้วยสัมประสิทธิ์ของ "x"
แน่นอนว่าโครงการนี้ไม่ได้ผลเสมอไป มีรายละเอียดปลีกย่อยและลูกเล่นบางอย่างอยู่ และตอนนี้เราจะมาทำความรู้จักกับพวกเขา
การแก้ตัวอย่างจริงของสมการเชิงเส้นอย่างง่าย
ภารกิจที่ 1
ขั้นตอนแรกต้องการให้เราเปิดวงเล็บ แต่ไม่ได้อยู่ในตัวอย่างนี้ เราจึงข้ามขั้นตอนนี้ไป ในขั้นตอนที่ 2 เราต้องแยกตัวแปรต่างๆ ออก โปรดทราบ: เรากำลังพูดถึงเฉพาะข้อกำหนดส่วนบุคคลเท่านั้น ลองเขียนมันลงไป:
เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันทางซ้ายและขวา แต่ได้ดำเนินการไปแล้วที่นี่ ดังนั้นเราจึงไปยังขั้นตอนที่สี่: หารด้วยค่าสัมประสิทธิ์:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
ดังนั้นเราจึงได้คำตอบ
ภารกิจที่ 2
เราเห็นวงเล็บในปัญหานี้ ดังนั้นมาขยายกันดีกว่า:
ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาเราเห็นการออกแบบเดียวกันโดยประมาณ แต่ให้ดำเนินการตามอัลกอริทึมนั่นคือ การแยกตัวแปร:
นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:
งานนี้มีรากฐานมาจากอะไร? คำตอบ: สำหรับใด ๆ ดังนั้นเราจึงเขียนได้ว่า $x$ เป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้
ภารกิจที่ 3
สมการเชิงเส้นที่สามน่าสนใจกว่า:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
มีวงเล็บหลายอันที่นี่ แต่ไม่ได้คูณด้วยอะไรเลย แต่นำหน้าด้วยเครื่องหมายต่างกัน มาทำลายพวกเขากัน:
เราทำขั้นตอนที่สองที่เรารู้อยู่แล้ว:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
มาทำคณิตศาสตร์กันเถอะ:
เราดำเนินการ ขั้นตอนสุดท้าย— หารทุกอย่างด้วยสัมประสิทธิ์ของ "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
สิ่งที่ต้องจำเมื่อแก้สมการเชิงเส้น
หากเราเพิกเฉยต่องานง่าย ๆ เกินไป ฉันอยากจะพูดดังต่อไปนี้:
- อย่างที่ผมบอกไปแล้ว ไม่ใช่ทุกสมการเชิงเส้นจะมีวิธีแก้ปัญหา บางครั้งมันก็ไม่มีรากเลย
- แม้ว่าจะมีราก แต่ก็อาจมีศูนย์อยู่ด้วย - ไม่มีอะไรผิดปกติ
ศูนย์เป็นตัวเลขเดียวกันกับตัวเลขอื่นๆ คุณไม่ควรเลือกปฏิบัติไม่ว่าในทางใดทางหนึ่ง หรือคิดว่าถ้าคุณได้ศูนย์ แสดงว่าคุณได้ทำสิ่งผิด
คุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งเกี่ยวข้องกับการเปิดวงเล็บ โปรดทราบ: เมื่อมี "ลบ" อยู่ข้างหน้า เราจะลบออก แต่ในวงเล็บเราเปลี่ยนเครื่องหมายเป็น ตรงข้าม- จากนั้นเราสามารถเปิดมันได้โดยใช้อัลกอริธึมมาตรฐาน: เราจะได้สิ่งที่เราเห็นในการคำนวณด้านบน
ทำความเข้าใจเรื่องนี้ ข้อเท็จจริงง่ายๆจะช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงการทำผิดพลาดที่โง่เขลาและน่ารังเกียจในโรงเรียนมัธยม เมื่อการกระทำดังกล่าวถูกละเลย
การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน
เรามาดูสมการที่ซับซ้อนกว่านี้กันดีกว่า ตอนนี้การก่อสร้างจะซับซ้อนมากขึ้นและเมื่อทำการแปลงต่าง ๆ ฟังก์ชันกำลังสองจะปรากฏขึ้น อย่างไรก็ตาม เราไม่ควรกลัวสิ่งนี้ เพราะถ้าตามแผนของผู้เขียน เรากำลังแก้สมการเชิงเส้น ในระหว่างกระบวนการแปลง monomials ทั้งหมดที่มีฟังก์ชันกำลังสองจะต้องถูกยกเลิก
ตัวอย่างหมายเลข 1
แน่นอนว่าขั้นตอนแรกคือการเปิดวงเล็บออก เรามาทำสิ่งนี้อย่างระมัดระวัง:
มาดูความเป็นส่วนตัวกันดีกว่า:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:
แน่นอนว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ ดังนั้นเราจะเขียนสิ่งนี้ไว้ในคำตอบ:
\[\varไม่มีอะไร\]
หรือไม่มีราก
ตัวอย่างหมายเลข 2
เราทำการกระทำแบบเดียวกัน ขั้นตอนแรก:
มาย้ายทุกอย่างด้วยตัวแปรไปทางซ้ายและไม่มีตัวแปรไปทางขวา:
นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:
แน่นอนว่าสมการเชิงเส้นนี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ดังนั้นเราจะเขียนมันแบบนี้:
\[\var ไม่มีอะไร\],
หรือไม่มีราก
ความแตกต่างของการแก้ปัญหา
สมการทั้งสองได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ จากการใช้สองนิพจน์นี้เป็นตัวอย่าง เรามั่นใจอีกครั้งว่าแม้ในสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด ทุกอย่างอาจไม่ง่ายนัก อาจมีรากเดียวหรือไม่มีก็ได้ หรือหลายรากอย่างไม่สิ้นสุด ในกรณีของเรา เราพิจารณาสมการสองสมการ ซึ่งทั้งสองสมการไม่มีรากเลย
แต่ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปยังข้อเท็จจริงอีกประการหนึ่ง: วิธีทำงานกับวงเล็บและวิธีเปิดหากมีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้า พิจารณาสำนวนนี้:
ก่อนที่จะเปิด คุณต้องคูณทุกอย่างด้วย "X" โปรดทราบ: ทวีคูณ แต่ละเทอม- ข้างในมีสองเทอม - ตามลำดับ, สองเทอมและคูณ
และหลังจากการเปลี่ยนแปลงที่ดูเหมือนขั้นพื้นฐาน แต่สำคัญมากและเป็นอันตรายเสร็จสิ้นแล้ว คุณสามารถเปิดวงเล็บได้จากมุมมองของข้อเท็จจริงที่ว่ามีเครื่องหมายลบอยู่หลังจากนั้น ใช่ ใช่: ตอนนี้เมื่อการแปลงเสร็จสิ้น เราจำได้ว่ามีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บ ซึ่งหมายความว่าทุกสิ่งด้านล่างเพียงเปลี่ยนเครื่องหมาย ในขณะเดียวกันวงเล็บก็หายไปและที่สำคัญที่สุดคือ "ลบ" ด้านหน้าก็หายไปเช่นกัน
เราทำเช่นเดียวกันกับสมการที่สอง:
ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันจะให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงเล็กๆ น้อยๆ ที่ดูเหมือนไม่มีนัยสำคัญเหล่านี้ เนื่องจากการแก้สมการนั้นเป็นลำดับของการแปลงเบื้องต้นเสมอ โดยที่การไม่สามารถดำเนินการง่ายๆ ได้อย่างชัดเจนและมีความสามารถนำไปสู่ความจริงที่ว่านักเรียนมัธยมปลายมาหาฉันและเรียนรู้ที่จะแก้สมการง่ายๆ ดังกล่าวอีกครั้ง
แน่นอนว่าวันนั้นจะมาถึงเมื่อคุณจะต้องฝึกฝนทักษะเหล่านี้จนเป็นไปโดยอัตโนมัติ คุณไม่จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงมากมายในแต่ละครั้งอีกต่อไป คุณจะเขียนทุกอย่างในบรรทัดเดียว แต่ในขณะที่คุณเพิ่งเรียนรู้ คุณต้องเขียนแต่ละการกระทำแยกกัน
การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น
สิ่งที่เรากำลังจะแก้ไขตอนนี้แทบจะเรียกได้ว่าเป็นงานที่ง่ายที่สุด แต่ความหมายยังคงเหมือนเดิม
ภารกิจที่ 1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
คูณองค์ประกอบทั้งหมดในส่วนแรก:
มาทำความเป็นส่วนตัวกันดีกว่า:
นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:
มาทำขั้นตอนสุดท้ายให้เสร็จ:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
นี่คือคำตอบสุดท้ายของเรา และแม้ว่าในกระบวนการแก้เรามีสัมประสิทธิ์กับฟังก์ชันกำลังสอง พวกมันก็หักล้างกัน ซึ่งทำให้สมการเป็นเส้นตรงและไม่ใช่กำลังสอง
ภารกิจที่ 2
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
มาทำขั้นตอนแรกกันอย่างระมัดระวัง: คูณแต่ละองค์ประกอบจากวงเล็บแรกด้วยแต่ละองค์ประกอบจากวินาที ควรมีคำศัพท์ใหม่ทั้งหมดสี่คำหลังการเปลี่ยนแปลง:
ตอนนี้เรามาทำการคูณอย่างระมัดระวังในแต่ละเทอม:
ย้ายเงื่อนไขที่มี "X" ไปทางซ้ายและเงื่อนไขที่ไม่มี - ไปทางขวา:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:
เราได้รับคำตอบสุดท้ายอีกครั้ง
ความแตกต่างของการแก้ปัญหา
หมายเหตุที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับสมการทั้งสองนี้คือ ทันทีที่เราเริ่มคูณวงเล็บที่มีมากกว่าหนึ่งเทอม มันจะคูณด้วย กฎถัดไป: เราใช้เทอมแรกจากเทอมแรกและคูณกับแต่ละองค์ประกอบจากเทอมที่สอง จากนั้นเราก็นำองค์ประกอบที่สองจากองค์ประกอบแรกและคูณกับแต่ละองค์ประกอบจากวินาทีในทำนองเดียวกัน ผลก็คือเราจะมีเทอมสี่เทอม
เกี่ยวกับผลรวมพีชคณิต
จากตัวอย่างสุดท้ายนี้ ฉันอยากจะเตือนนักเรียนว่าผลรวมพีชคณิตคืออะไร ในคณิตศาสตร์คลาสสิก เราหมายถึง 1-7$ การออกแบบที่เรียบง่าย: ลบเจ็ดจากหนึ่ง ในพีชคณิตเราหมายถึงสิ่งต่อไปนี้: ไปที่ตัวเลข "หนึ่ง" เราจะบวกอีกจำนวนหนึ่งคือ "ลบเจ็ด" นี่คือสาเหตุที่ผลรวมพีชคณิตแตกต่างจากผลรวมเลขคณิตทั่วไป
ทันทีที่เมื่อทำการแปลงทั้งหมด การบวกและการคูณแต่ละครั้ง คุณเริ่มเห็นโครงสร้างที่คล้ายกับที่อธิบายไว้ข้างต้น คุณจะไม่มีปัญหาใดๆ ในพีชคณิตเมื่อทำงานกับพหุนามและสมการ
สุดท้ายนี้ เรามาดูตัวอย่างอีกสองสามตัวอย่างที่จะซับซ้อนกว่าตัวอย่างที่เราเพิ่งดูไป และเพื่อแก้ปัญหานี้ เราจะต้องขยายอัลกอริธึมมาตรฐานของเราเล็กน้อย
การแก้สมการด้วยเศษส่วน
เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว เราจะต้องเพิ่มอีกหนึ่งขั้นตอนให้กับอัลกอริทึมของเรา แต่ก่อนอื่น ฉันขอเตือนคุณเกี่ยวกับอัลกอริทึมของเรา:
- เปิดวงเล็บ
- แยกตัวแปร
- เอาอันที่คล้ายกันมาด้วย
- หารด้วยอัตราส่วน.
อนิจจา อัลกอริธึมที่ยอดเยี่ยมนี้ ดูเหมือนจะไม่เหมาะสมเลยเมื่อเรามีเศษส่วนอยู่ตรงหน้า ในแง่ของประสิทธิภาพทั้งหมด อัลกอริธึมที่ยอดเยี่ยมนี้ และสิ่งที่เราจะเห็นด้านล่างนี้ เรามีเศษส่วนทั้งทางซ้ายและขวาในสมการทั้งสอง
วิธีการทำงานในกรณีนี้? ใช่ มันง่ายมาก! ในการดำเนินการนี้คุณต้องเพิ่มขั้นตอนอื่นให้กับอัลกอริทึมซึ่งสามารถทำได้ทั้งก่อนการดำเนินการครั้งแรกและหลังจากนั้น ได้แก่ กำจัดเศษส่วน ดังนั้นอัลกอริทึมจะเป็นดังนี้:
- กำจัดเศษส่วน.
- เปิดวงเล็บ
- แยกตัวแปร
- เอาอันที่คล้ายกันมาด้วย
- หารด้วยอัตราส่วน.
“การกำจัดเศษส่วน” หมายความว่าอย่างไร? และเหตุใดจึงสามารถทำได้ทั้งหลังและก่อนขั้นตอนมาตรฐานแรก? ที่จริงแล้ว ในกรณีของเรา เศษส่วนทั้งหมดเป็นตัวส่วนเป็นตัวเลข เช่น ทุกที่ตัวส่วนเป็นเพียงตัวเลข. ดังนั้น ถ้าเราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนนี้ เราก็จะกำจัดเศษส่วนออกไป
ตัวอย่างหมายเลข 1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
กำจัดเศษส่วนในสมการนี้:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
โปรดทราบ: ทุกอย่างคูณด้วย "สี่" หนึ่งครั้ง เช่น เพียงเพราะคุณมีวงเล็บสองวงเล็บไม่ได้หมายความว่าคุณต้องคูณแต่ละวงเล็บด้วย "สี่" มาเขียนกัน:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
ตอนนี้เรามาขยาย:
เราแยกตัวแปร:
เราดำเนินการลดข้อกำหนดที่คล้ายกัน:
\[-4x=-1\ซ้าย| :\left(-4 \right) \right.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
เราได้รับคำตอบสุดท้ายแล้ว มาดูสมการที่สองกันดีกว่า
ตัวอย่างหมายเลข 2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
ที่นี่เราทำการกระทำเดียวกันทั้งหมด:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว
นั่นคือทั้งหมดที่ฉันอยากจะบอกคุณในวันนี้
ประเด็นสำคัญ
ข้อค้นพบที่สำคัญคือ:
- รู้อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น
- ความสามารถในการเปิดวงเล็บ
- ไม่ต้องกังวลหากคุณเห็น ฟังก์ชันกำลังสองเป็นไปได้มากว่าในกระบวนการของการเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติมพวกเขาจะลดลง
- สมการเชิงเส้นมีรากอยู่สามประเภท แม้แต่รากที่ง่ายที่สุด: รากเดียว เส้นจำนวนทั้งหมดคือราก และไม่มีรากเลย
ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะช่วยให้คุณเชี่ยวชาญหัวข้อที่เรียบง่าย แต่สำคัญมากสำหรับการทำความเข้าใจคณิตศาสตร์ทั้งหมดเพิ่มเติม หากมีบางอย่างไม่ชัดเจน ให้ไปที่ไซต์และแก้ไขตัวอย่างที่นำเสนอที่นั่น คอยติดตามสิ่งที่น่าสนใจอีกมากมายรอคุณอยู่!
มีการศึกษาสมการกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ดังนั้นจึงไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่ ความสามารถในการแก้ไขปัญหาเหล่านี้มีความจำเป็นอย่างยิ่ง
สมการกำลังสองคือสมการที่มีรูปแบบ ax 2 + bx + c = 0 โดยที่สัมประสิทธิ์ a, b และ c เป็นตัวเลขใดๆ และ a ≠ 0
ก่อนเรียน วิธีการเฉพาะคำตอบ โปรดทราบว่าสมการกำลังสองทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสามประเภท:
- ไม่มีราก
- มีรากเพียงอันเดียว
- พวกเขามีสองรากที่แตกต่างกัน
นี่เป็นข้อแตกต่างที่สำคัญระหว่างสมการกำลังสองกับสมการเชิงเส้น โดยที่รากนั้นมีอยู่เสมอและไม่ซ้ำกัน จะทราบได้อย่างไรว่าสมการหนึ่งมีกี่ราก? มีสิ่งที่ยอดเยี่ยมสำหรับสิ่งนี้ - เลือกปฏิบัติ.
เลือกปฏิบัติ
ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 จากนั้นตัวแยกแยะก็เป็นเพียงตัวเลข D = b 2 − 4ac
คุณต้องรู้สูตรนี้ด้วยใจ มาจากไหนไม่สำคัญตอนนี้ อีกสิ่งหนึ่งที่สำคัญ: ด้วยเครื่องหมายของการแบ่งแยก คุณสามารถระบุได้ว่าสมการกำลังสองมีรากกี่ราก กล่าวคือ:
- ถ้า D< 0, корней нет;
- ถ้า D = 0 แสดงว่ามีรากเดียวเท่านั้น
- ถ้า D > 0 จะมีราก 2 อัน
โปรดทราบ: ผู้จำแนกระบุจำนวนรากและไม่ใช่สัญญาณเลยเนื่องจากหลายคนเชื่อด้วยเหตุผลบางประการ ดูตัวอย่างแล้วคุณจะเข้าใจทุกอย่างด้วยตัวเอง:
งาน. สมการกำลังสองมีกี่ราก:
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0
ลองเขียนสัมประสิทธิ์สำหรับสมการแรกแล้วหาค่าจำแนก:
a = 1, b = −8, c = 12;
ง = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
การแบ่งแยกเป็นบวก สมการจึงมีรากที่ต่างกัน 2 ราก เราวิเคราะห์สมการที่สองในลักษณะเดียวกัน:
ก = 5; ข = 3; ค = 7;
ง = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131
การเลือกปฏิบัติเป็นลบไม่มีราก สมการสุดท้ายที่เหลืออยู่คือ:
ก = 1; ข = −6; ค = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0
การแบ่งแยกเป็นศูนย์ - รูทจะเป็นหนึ่ง
โปรดทราบว่าค่าสัมประสิทธิ์ได้ถูกเขียนไว้สำหรับแต่ละสมการแล้ว ใช่ มันยาว ใช่ มันน่าเบื่อ แต่คุณจะไม่ปะปนโอกาสและทำผิดพลาดโง่ๆ เลือกด้วยตัวคุณเอง: ความเร็วหรือคุณภาพ
อย่างไรก็ตาม หากคุณเข้าใจแล้ว คุณไม่จำเป็นต้องจดค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดหลังจากผ่านไประยะหนึ่ง คุณจะดำเนินการดังกล่าวในหัวของคุณ คนส่วนใหญ่เริ่มทำสิ่งนี้หลังจากแก้สมการไปแล้ว 50-70 ข้อ โดยทั่วไปแล้วไม่มากขนาดนั้น
รากของสมการกำลังสอง
ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหากันดีกว่า หากจำแนก D > 0 คุณสามารถค้นหารากได้โดยใช้สูตร:
สูตรพื้นฐานสำหรับรากของสมการกำลังสอง
เมื่อ D = 0 คุณสามารถใช้สูตรใดก็ได้เหล่านี้ - คุณจะได้ตัวเลขเดียวกันซึ่งจะเป็นคำตอบ สุดท้ายนี้ถ้า D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 − 2x - x 2 = 0;
- x 2 + 12x + 36 = 0
สมการแรก:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; ข = −2; ค = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16
D > 0 ⇒ สมการมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ:
สมการที่สอง:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; ข = −2; ค = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64
D > 0 ⇒ สมการอีกครั้งมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3 \\ \end(จัดแนว)\]
ในที่สุดสมการที่สาม:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; ข = 12; ค = 36;
ง = 12 2 − 4 1 36 = 0
D = 0 ⇒ สมการมีหนึ่งรูท ใช้สูตรไหนก็ได้ ตัวอย่างเช่นอันแรก:
อย่างที่คุณเห็นจากตัวอย่างทุกอย่างนั้นง่ายมาก ถ้ารู้สูตรและนับได้ก็ไม่มีปัญหา บ่อยครั้งที่ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเมื่อแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ลบลงในสูตร เทคนิคที่อธิบายไว้ข้างต้นจะช่วยได้อีกครั้ง: ดูสูตรตามตัวอักษร เขียนแต่ละขั้นตอน - และในไม่ช้าคุณก็จะกำจัดข้อผิดพลาด
สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์
มันเกิดขึ้นที่สมการกำลังสองแตกต่างจากที่ให้ไว้ในคำจำกัดความเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น:
- x 2 + 9x = 0;
- x 2 - 16 = 0
สังเกตได้ง่ายว่าสมการเหล่านี้ขาดคำศัพท์ข้อใดข้อหนึ่งไป สมการกำลังสองดังกล่าวแก้ได้ง่ายกว่าสมการมาตรฐาน โดยไม่จำเป็นต้องคำนวณการแบ่งแยกด้วยซ้ำ ขอแนะนำแนวคิดใหม่:
สมการ ax 2 + bx + c = 0 เรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ถ้า b = 0 หรือ c = 0 กล่าวคือ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x หรือองค์ประกอบอิสระเท่ากับศูนย์
แน่นอนว่าเป็นกรณีที่ยากมากเมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์: b = c = 0 ในกรณีนี้ สมการจะอยู่ในรูปแบบ ax 2 = 0 เห็นได้ชัดว่าสมการดังกล่าวมีรากเดียว: x = 0.
ลองพิจารณากรณีที่เหลือ ให้ b = 0 จากนั้นเราจะได้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 + c = 0 มาแปลงกันหน่อย:
ตั้งแต่เลขคณิต รากที่สองมีอยู่จากจำนวนที่ไม่เป็นลบเท่านั้น ความเสมอภาคสุดท้ายสมเหตุสมผลสำหรับ (−c /a) ≥ 0 เท่านั้น สรุป:
- หากสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 + c = 0 เป็นไปตามสมการ (−c /a) ≥ 0 ก็จะได้ราก 2 อัน สูตรที่ให้ไว้ข้างต้น
- ถ้า (−c /a)< 0, корней нет.
อย่างที่คุณเห็นไม่จำเป็นต้องมีการเลือกปฏิบัติ - ไม่สมบูรณ์ สมการกำลังสองไม่มีการคำนวณที่ซับซ้อนเลย ที่จริงแล้ว ไม่จำเป็นต้องจำความไม่เท่าเทียมกัน (−c /a) ≥ 0 ด้วยซ้ำ การแสดงค่า x 2 และดูว่าอีกด้านของเครื่องหมายเท่ากับมีอะไรอยู่ก็เพียงพอแล้ว ถ้ามี จำนวนบวก- จะมีสองราก ถ้าเป็นลบก็จะไม่มีรากเลย
ตอนนี้เรามาดูสมการของรูปแบบ ax 2 + bx = 0 ซึ่งองค์ประกอบอิสระมีค่าเท่ากับศูนย์ ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่: จะมีสองรากเสมอ ก็เพียงพอแล้วที่จะแยกตัวประกอบพหุนาม:
นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บผลคูณจะเป็นศูนย์เมื่อมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ นี่คือที่มาของราก โดยสรุป ลองดูที่สมการเหล่านี้บางส่วน:
งาน. แก้สมการกำลังสอง:
- x 2 - 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 - 9 = 0
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6 ไม่มีรากเพราะว่า สี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่สามารถเท่ากับจำนวนลบได้
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5