การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น วิธีการแก้ ตัวอย่าง ระบบสมการ

สารละลาย- ก= - ลองหา r(A) กัน เพราะ เมทริกซ์และมีลำดับที่ 3x4 ดังนั้นลำดับสูงสุดของผู้เยาว์คือ 3 นอกจากนี้ผู้เยาว์ลำดับที่สามทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ (ตรวจสอบด้วยตัวเอง) วิธี, r(ก)< 3. Возьмем главный ผู้เยาว์ขั้นพื้นฐาน = -5-4 = -9 ≠ 0. ดังนั้น r(A) =2

ลองพิจารณาดู เมทริกซ์ กับ = .

รองลงมาที่สาม คำสั่ง ≠ 0. ดังนั้น r(C) = 3

เนื่องจาก r(A) ≠ r(C) แสดงว่าระบบไม่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 2กำหนดความเข้ากันได้ของระบบสมการ

แก้ไขระบบนี้หากปรากฏว่าสอดคล้องกัน

สารละลาย.

ก = , ค = - เห็นได้ชัดว่า r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4 เนื่องจาก detC = 0 ดังนั้น r(C)< 4. ลองพิจารณาดู ส่วนน้อย ที่สาม คำสั่งซึ่งอยู่ที่มุมซ้ายบนของเมทริกซ์ A และ C: = -23 ≠ 0. ดังนั้น r(A) = r(C) = 3

ตัวเลข ไม่ทราบ ในระบบ n=3- ซึ่งหมายความว่าระบบมีโซลูชันที่เป็นเอกลักษณ์ ในกรณีนี้ สมการที่สี่แสดงถึงผลรวมของสามสมการแรกและสามารถละเว้นได้

ตามสูตรของแครเมอร์เราได้ x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23

2.4. วิธีเมทริกซ์ วิธีเกาส์เซียน

ระบบ n สมการเชิงเส้น กับ nสิ่งที่ไม่รู้จักสามารถแก้ไขได้ วิธีเมทริกซ์ ตามสูตร X = A -1 B (ที่Δ ≠ 0) ซึ่งได้มาจาก (2) โดยการคูณทั้งสองส่วนด้วย A -1

ตัวอย่างที่ 1. แก้ระบบสมการ

วิธีเมทริกซ์ (ในหัวข้อ 2.2 ระบบนี้แก้โดยใช้สูตรของแครเมอร์)

สารละลาย- Δ = 10 ≠ 0 A = - เมทริกซ์ที่ไม่เสื่อม

= (ตรวจสอบด้วยตัวเองโดยการคำนวณที่จำเป็น)

A -1 = (1/Δ)х= .

X = ก -1 โวลต์ = x= .

คำตอบ: .

จากมุมมองในทางปฏิบัติวิธีการและสูตรเมทริกซ์ เครเมอร์มีความเกี่ยวข้องกับการคำนวณจำนวนมาก ดังนั้นจึงได้รับสิทธิพิเศษ วิธีเกาส์เซียนซึ่งประกอบด้วยการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ตามลำดับ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ระบบสมการจะลดลงเป็นระบบที่เทียบเท่ากับเมทริกซ์ขยายแบบสามเหลี่ยม (องค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลักจะเท่ากับศูนย์) การกระทำเหล่านี้เรียกว่าการเคลื่อนไหวไปข้างหน้า จากระบบสามเหลี่ยมที่เป็นผลลัพธ์ ตัวแปรต่างๆ จะถูกพบโดยใช้การทดแทนต่อเนื่องกัน (ย้อนกลับ)

ตัวอย่างที่ 2- แก้ระบบโดยใช้วิธีเกาส์

(ข้างต้น ระบบนี้ได้รับการแก้ไขโดยใช้สูตรของแครมเมอร์และวิธีการเมทริกซ์)

สารละลาย.

ย้ายตรง. ให้เราเขียนเมทริกซ์ขยายแล้วลดขนาดลงโดยใช้การแปลงเบื้องต้น มุมมองสามเหลี่ยม:

~ ~ ~ ~ .

เราได้รับ ระบบ

ย้อนกลับย้ายจากสมการสุดท้ายที่เราพบ เอ็กซ์ 3 = -6 และแทนที่ค่านี้เป็นสมการที่สอง:

เอ็กซ์ 2 = - 11/2 - 1/4เอ็กซ์ 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

เอ็กซ์ 1 = 2 -เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ 3 = 2+4-6 = 0.

คำตอบ: .

2.5. ผลเฉลยทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้น

ให้ระบบสมการเชิงเส้นได้รับ = ข ฉัน(ฉัน- ให้ r(A) = r(C) = r กล่าวคือ ระบบมีการทำงานร่วมกัน อันดับย่อยใดๆ r นอกเหนือจากศูนย์คือ ผู้เยาว์ขั้นพื้นฐานโดยไม่สูญเสียลักษณะทั่วไป เราจะถือว่าฐานรองอยู่ในแถวและคอลัมน์ r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) แรกของเมทริกซ์ A m-r สุดท้ายสมการของระบบเราเขียนระบบที่สั้นลง:

ซึ่งเทียบเท่ากับของเดิม มาตั้งชื่อสิ่งที่ไม่รู้จักกันเถอะ x 1 ,….x อาร์พื้นฐานและ xr +1 ,…, xrปลดปล่อยและย้ายเงื่อนไขที่มีสิ่งไม่รู้อิสระไปทางด้านขวาของสมการของระบบที่ถูกตัดทอน เราได้รับระบบที่เกี่ยวข้องกับสิ่งไม่รู้พื้นฐาน:

ซึ่งสำหรับแต่ละชุดของค่าไม่ทราบค่าฟรี x r +1 = С 1 ,…, x n = С n-rมีทางออกเดียวเท่านั้น x 1 (ค 1 ,…, C n-r),…, x r (ค 1 ,…, C n-r),พบตามกฎของแครเมอร์

โซลูชั่นที่สอดคล้องกันที่สั้นลง ดังนั้น ระบบเดิมจึงมีรูปแบบดังนี้

X(C 1 ,…, C n-r) = - วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบ

หากในโซลูชันทั่วไปเรากำหนดค่าตัวเลขให้กับค่าไม่ทราบค่าอิสระ เราก็จะได้รับโซลูชัน ระบบเชิงเส้นเรียกว่าส่วนตัว

ตัวอย่าง- สร้างความเข้ากันได้และค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบ

สารละลาย- เอ = , ค = .

ดังนั้น ยังไง ร(เอ)= r(C) = 2 (ดูสิ่งนี้ด้วยตัวคุณเอง) จากนั้นระบบดั้งเดิมจะมีความสอดคล้องกันและมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด (เนื่องจาก r< 4).

ระบบสมการมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในภาคเศรษฐกิจสำหรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการต่างๆ ตัวอย่างเช่น เมื่อแก้ไขปัญหาด้านการจัดการและการวางแผนการผลิต เส้นทางลอจิสติกส์ (ปัญหาการขนส่ง) หรือการจัดวางอุปกรณ์

ระบบสมการไม่เพียงแต่ใช้ในคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังใช้ในฟิสิกส์ เคมี และชีววิทยาด้วย เมื่อแก้ปัญหาการหาขนาดประชากร

ระบบสมการเชิงเส้นคือสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปที่มีตัวแปรหลายตัวซึ่งจำเป็นต้องหาคำตอบร่วมกัน ลำดับตัวเลขที่สมการทั้งหมดกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงหรือพิสูจน์ว่าไม่มีลำดับดังกล่าว

สมการเชิงเส้น

สมการที่อยู่ในรูปแบบ ax+by=c เรียกว่าเชิงเส้น การกำหนด x, y คือสิ่งที่ไม่ทราบค่าซึ่งจะต้องพบ, b, a คือสัมประสิทธิ์ของตัวแปร, c คือเทอมอิสระของสมการ
การแก้สมการโดยพล็อตจะมีลักษณะเป็นเส้นตรง ซึ่งทุกจุดเป็นคำตอบของพหุนาม

ประเภทของระบบสมการเชิงเส้น

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดถือเป็นระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร X และ Y สองตัว

F1(x, y) = 0 และ F2(x, y) = 0 โดยที่ F1,2 เป็นฟังก์ชัน และ (x, y) เป็นตัวแปรฟังก์ชัน

แก้ระบบสมการ - นี่หมายถึงการค้นหาค่า (x, y) ที่ระบบเปลี่ยนเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงหรือการสร้างค่าที่เหมาะสมของ x และ y ไม่มีอยู่

คู่ของค่า (x, y) ซึ่งเขียนเป็นพิกัดของจุดเรียกว่าการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

หากระบบมีวิธีแก้ปัญหาร่วมกันเพียงวิธีเดียวหรือไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลย จะเรียกว่าเทียบเท่า

ระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันคือระบบที่ด้านขวามือเท่ากับศูนย์ หากส่วนขวาหลังเครื่องหมายเท่ากับมีค่าหรือแสดงโดยฟังก์ชัน ระบบดังกล่าวจะไม่เหมือนกัน

จำนวนตัวแปรสามารถมีได้มากกว่าสองตัวแปร ดังนั้นเราควรพูดถึงตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสามตัวขึ้นไป

เมื่อต้องเผชิญกับระบบต่างๆ เด็กนักเรียนจะถือว่าจำนวนสมการต้องตรงกับจำนวนที่ไม่ทราบเสมอไป แต่ไม่ได้เป็นเช่นนั้น จำนวนสมการในระบบไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวแปร สามารถมีได้มากเท่าที่ต้องการ

วิธีการแก้ระบบสมการที่ง่ายและซับซ้อน

ไม่มีวิธีการวิเคราะห์ทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว วิธีการทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับการแก้ปัญหาเชิงตัวเลข หลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนอธิบายรายละเอียดวิธีการต่างๆ เช่น การเรียงสับเปลี่ยน การบวกพีชคณิต การทดแทน รวมถึงวิธีกราฟิกและเมทริกซ์ วิธีแก้ด้วยวิธีเกาส์เซียน

ภารกิจหลักในการสอนวิธีการแก้ปัญหาคือการสอนวิธีวิเคราะห์ระบบอย่างถูกต้องและค้นหาอัลกอริธึมการแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับแต่ละตัวอย่าง สิ่งสำคัญคือไม่ต้องจดจำระบบกฎและการกระทำสำหรับแต่ละวิธี แต่ต้องเข้าใจหลักการของการใช้วิธีเฉพาะ

ตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นของหลักสูตรชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 โรงเรียนมัธยมศึกษาค่อนข้างง่ายและอธิบายได้ละเอียดมาก ในตำราคณิตศาสตร์เล่มใดก็ตาม ส่วนนี้ได้รับความสนใจเพียงพอ การแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์และแครมเมอร์ได้รับการศึกษาอย่างละเอียดในปีแรกของการศึกษาระดับอุดมศึกษา

การแก้ระบบโดยใช้วิธีทดแทน

การกระทำของวิธีการทดแทนมีวัตถุประสงค์เพื่อแสดงค่าของตัวแปรหนึ่งในรูปของตัวแปรที่สอง นิพจน์จะถูกแทนที่ลงในสมการที่เหลือ จากนั้นจึงลดลงเป็นรูปแบบที่มีตัวแปรเดียว การดำเนินการซ้ำขึ้นอยู่กับจำนวนสิ่งที่ไม่รู้จักในระบบ

ให้เราแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นของคลาส 7 โดยใช้วิธีการทดแทน:

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ตัวแปร x ถูกแสดงผ่าน F(X) = 7 + Y ผลลัพธ์ที่ได้ซึ่งถูกแทนที่ในสมการที่ 2 ของระบบแทน X ช่วยให้ได้ตัวแปร Y หนึ่งตัวในสมการที่ 2 . การแก้ตัวอย่างนี้เป็นเรื่องง่ายและช่วยให้คุณได้ค่า Y ขั้นตอนสุดท้ายนี่คือการตรวจสอบค่าที่ได้รับ

ไม่สามารถแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นด้วยการทดแทนได้เสมอไป สมการอาจซับซ้อนและการแสดงตัวแปรในรูปของค่าที่ไม่ทราบค่าที่สองนั้นยุ่งยากเกินไปสำหรับการคำนวณต่อไป เมื่อมีสิ่งแปลกปลอมมากกว่า 3 รายการในระบบ การแก้ไขด้วยการทดแทนก็ทำไม่ได้เช่นกัน

เฉลยตัวอย่างระบบสมการไม่เอกพันธ์เชิงเส้น:

วิธีแก้ปัญหาโดยใช้การบวกพีชคณิต

เมื่อค้นหาคำตอบของระบบโดยใช้วิธีการบวก สมการจะถูกบวกทีละเทอมและคูณด้วยตัวเลขต่างๆ เป้าหมายสูงสุดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์คือสมการในตัวแปรตัวเดียว

การใช้วิธีนี้ต้องอาศัยการฝึกฝนและการสังเกต การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีบวกเมื่อมีตัวแปร 3 ตัวขึ้นไปไม่ใช่เรื่องง่าย การบวกพีชคณิตใช้สะดวกเมื่อสมการประกอบด้วยเศษส่วนและทศนิยม

อัลกอริธึมโซลูชัน:

1. คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนที่กำหนด จากผลการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ค่าสัมประสิทธิ์หนึ่งของตัวแปรควรเท่ากับ 1
2. เพิ่มผลลัพธ์ของนิพจน์ทีละเทอมและค้นหาหนึ่งในสิ่งที่ไม่รู้จัก
3. แทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการที่ 2 ของระบบเพื่อค้นหาตัวแปรที่เหลือ

วิธีการแก้ปัญหาโดยการแนะนำตัวแปรใหม่

ตัวแปรใหม่สามารถนำมาใช้ได้หากระบบต้องการคำตอบสำหรับสมการไม่เกินสองสมการ และจำนวนที่ไม่ทราบก็ไม่ควรเกินสองสมการด้วย

วิธีการนี้ใช้เพื่อทำให้สมการใดสมการหนึ่งง่ายขึ้นโดยการแนะนำตัวแปรใหม่ สมการใหม่ได้รับการแก้ไขสำหรับค่าที่ไม่รู้จักที่แนะนำ และใช้ค่าผลลัพธ์เพื่อกำหนดตัวแปรดั้งเดิม

ตัวอย่างแสดงให้เห็นว่าด้วยการแนะนำตัวแปรใหม่ t คุณสามารถลดสมการที่ 1 ของระบบให้เป็นตรีโกณมิติกำลังสองมาตรฐานได้ คุณสามารถแก้โจทย์พหุนามได้โดยการหาค่าจำแนก

จำเป็นต้องค้นหาค่าของตัวแยกแยะโดยใช้สูตรที่รู้จักกันดี: D = b2 - 4*a*c โดยที่ D คือตัวจำแนกที่ต้องการ b, a, c คือตัวประกอบของพหุนาม ในตัวอย่างที่ให้มา a=1, b=16, c=39 ดังนั้น D=100 ถ้าค่าการแบ่งแยกมากกว่าศูนย์ แสดงว่ามีสองวิธี: t = -b±√D / 2*a ถ้าค่าการแบ่งแยก น้อยกว่าศูนย์ดังนั้นจึงมีเพียงวิธีเดียวเท่านั้น: x= -b / 2*a

วิธีแก้ไขสำหรับระบบผลลัพธ์จะพบได้โดยวิธีการบวก

วิธีการแก้ระบบด้วยภาพ

เหมาะสำหรับ 3 ระบบสมการ วิธีการประกอบด้วยการสร้างกราฟของแต่ละสมการที่รวมอยู่ในระบบบนแกนพิกัด พิกัดของจุดตัดกันของเส้นโค้งจะเป็นคำตอบทั่วไปของระบบ

วิธีการแบบกราฟิกมีความแตกต่างหลายประการ ลองดูตัวอย่างต่างๆ ของการแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยภาพ

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่างสำหรับแต่ละบรรทัดมีการสร้างจุดสองจุดค่าของตัวแปร x จะถูกเลือกโดยพลการ: 0 และ 3 ขึ้นอยู่กับค่าของ x พบค่าสำหรับ y: 3 และ 0 จุดที่มีพิกัด (0, 3) และ (3, 0) ถูกทำเครื่องหมายบนกราฟและเชื่อมต่อกันด้วยเส้นตรง

ต้องทำซ้ำขั้นตอนสำหรับสมการที่สอง จุดตัดกันของเส้นตรงคือคำตอบของระบบ

ตัวอย่างต่อไปนี้จำเป็นต้องค้นหาคำตอบแบบกราฟิกของระบบสมการเชิงเส้น: 0.5x-y+2=0 และ 0.5x-y-1=0

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา เนื่องจากกราฟมีความขนานกันและไม่ตัดกันตลอดความยาวกราฟ

ระบบจากตัวอย่างที่ 2 และ 3 คล้ายกัน แต่เมื่อสร้างเสร็จแล้ว จะเห็นได้ชัดว่าวิธีแก้ปัญหาต่างกัน ควรจำไว้ว่าเป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะบอกว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาหรือไม่ จำเป็นต้องสร้างกราฟเสมอไป

เมทริกซ์และพันธุ์ของมัน

เมทริกซ์ใช้เพื่อเขียนระบบสมการเชิงเส้นอย่างกระชับ เมทริกซ์เป็นตารางชนิดพิเศษที่เต็มไปด้วยตัวเลข n*m มี n - แถวและ m - คอลัมน์

เมทริกซ์จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อจำนวนคอลัมน์และแถวเท่ากัน matrix-vector คือเมทริกซ์ของหนึ่งคอลัมน์ที่มีจำนวนแถวที่เป็นไปได้อย่างไม่สิ้นสุด เมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบอยู่ในเส้นทแยงมุมหนึ่งและมีองค์ประกอบที่เป็นศูนย์อื่นๆ เรียกว่าเอกลักษณ์

เมทริกซ์ผกผันคือเมทริกซ์เมื่อคูณด้วยเมทริกซ์ดั้งเดิมที่เปลี่ยนเป็นเมทริกซ์หน่วย

กฎสำหรับการแปลงระบบสมการให้เป็นเมทริกซ์

สัมพันธ์กับระบบสมการ ค่าสัมประสิทธิ์และเงื่อนไขอิสระของสมการจะเขียนเป็นตัวเลขเมทริกซ์ โดยสมการหนึ่งคือหนึ่งแถวของเมทริกซ์

แถวเมทริกซ์จะบอกว่าไม่เป็นศูนย์ ถ้าอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบของแถวไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น หากจำนวนตัวแปรแตกต่างกันในสมการใดๆ ก็จำเป็นต้องป้อนศูนย์แทนค่าที่ไม่รู้จักที่หายไป

คอลัมน์เมทริกซ์จะต้องสอดคล้องกับตัวแปรอย่างเคร่งครัด ซึ่งหมายความว่าค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x สามารถเขียนได้ในคอลัมน์เดียวเท่านั้น เช่น คอลัมน์แรก ค่าสัมประสิทธิ์ของ y ที่ไม่รู้จัก - เฉพาะในคอลัมน์ที่สองเท่านั้น

เมื่อคูณเมทริกซ์ องค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์จะคูณด้วยตัวเลขตามลำดับ

ตัวเลือกสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

การหาสูตร เมทริกซ์ผกผันค่อนข้างง่าย: K -1 = 1 / |K| โดยที่ K -1 คือเมทริกซ์ผกผัน และ |K| คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ |เค| ต้องไม่เท่ากับศูนย์แล้วระบบก็มีทางแก้

ดีเทอร์มิแนนต์คำนวณได้ง่ายสำหรับเมทริกซ์ขนาด 2 x 2 คุณเพียงแค่ต้องคูณองค์ประกอบในแนวทแยงเข้าด้วยกัน สำหรับตัวเลือก "สามคูณสาม" มีสูตร |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ก 3 ข 2 ค 1 . คุณสามารถใช้สูตรหรือจำไว้ว่าคุณต้องนำหนึ่งองค์ประกอบจากแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์เพื่อไม่ให้จำนวนคอลัมน์และแถวขององค์ประกอบซ้ำในการทำงาน

การแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์

วิธีเมทริกซ์ในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาช่วยให้คุณลดรายการที่ยุ่งยากเมื่อแก้ระบบที่มีตัวแปรและสมการจำนวนมาก

ในตัวอย่าง nm คือสัมประสิทธิ์ของสมการ เมทริกซ์คือเวกเตอร์ x n คือตัวแปร และ bn คือเทอมอิสระ

การแก้ระบบโดยใช้วิธีเกาส์เซียน

ในคณิตศาสตร์ชั้นสูง วิธีเกาส์เซียนได้รับการศึกษาร่วมกับวิธีแครมเมอร์ และกระบวนการค้นหาคำตอบของระบบเรียกว่าวิธีแก้เกาส์-แครเมอร์ วิธีการเหล่านี้ใช้เพื่อค้นหาตัวแปรของระบบที่มีสมการเชิงเส้นจำนวนมาก

วิธีเกาส์มีความคล้ายคลึงกับการแก้โจทย์โดยการแทนที่และการบวกพีชคณิตมาก แต่จะเป็นระบบมากกว่า ในหลักสูตรของโรงเรียน วิธีแก้แบบเกาส์เซียนจะใช้กับระบบสมการ 3 และ 4 วัตถุประสงค์ของวิธีนี้คือเพื่อลดระบบให้อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูกลับหัว โดย การแปลงพีชคณิตและการทดแทน ค่าของตัวแปรหนึ่งจะพบได้ในสมการใดสมการหนึ่งของระบบ สมการที่สองคือนิพจน์ที่มีตัวแปร 2 ตัวที่ไม่รู้จัก ในขณะที่ 3 และ 4 เป็นนิพจน์ที่มีตัวแปร 3 และ 4 ตัวตามลำดับ

หลังจากนำระบบไปสู่รูปแบบที่อธิบายไว้แล้ว วิธีแก้ไขเพิ่มเติมจะลดลงเป็นการทดแทนตัวแปรที่ทราบตามลำดับลงในสมการของระบบ

ในหนังสือเรียนของโรงเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตัวอย่างของการแก้ปัญหาด้วยวิธีเกาส์มีดังต่อไปนี้:

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ในขั้นตอนที่ (3) จะได้สมการสองสมการ: 3x 3 -2x 4 =11 และ 3x 3 +2x 4 =7 การแก้สมการใดๆ จะทำให้คุณสามารถหาตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง x n ได้

ทฤษฎีบทที่ 5 ซึ่งกล่าวถึงในเนื้อหา ระบุว่าหากสมการใดสมการหนึ่งของระบบถูกแทนที่ด้วยสมการที่เทียบเท่ากัน ระบบผลลัพธ์ที่ได้ก็จะเทียบเท่ากับสมการเดิมด้วย

วิธีเกาส์เป็นเรื่องยากสำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาที่จะเข้าใจ แต่เป็นวิธีการหนึ่งที่ง่ายที่สุด วิธีที่น่าสนใจเพื่อพัฒนาความฉลาดของเด็กที่ลงทะเบียนเรียนในหลักสูตรการศึกษาขั้นสูงในชั้นเรียนคณิตศาสตร์และฟิสิกส์

เพื่อความสะดวกในการบันทึก มักจะคำนวณดังนี้:

ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการและพจน์อิสระเขียนในรูปแบบของเมทริกซ์ โดยที่แต่ละแถวของเมทริกซ์สอดคล้องกับหนึ่งในสมการของระบบ แยกจากกัน ด้านซ้ายสมการจากทางขวา เลขโรมันระบุจำนวนสมการในระบบ

ขั้นแรก เขียนเมทริกซ์ที่จะใช้ทำงาน จากนั้นจึงดำเนินการทั้งหมดกับแถวใดแถวหนึ่ง เมทริกซ์ผลลัพธ์จะถูกเขียนหลังเครื่องหมาย "ลูกศร" และดำเนินการตามที่จำเป็นต่อไป การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตจนกว่าจะบรรลุผล

ผลลัพธ์ควรเป็นเมทริกซ์ที่หนึ่งในเส้นทแยงมุมเท่ากับ 1 และค่าสัมประสิทธิ์อื่น ๆ ทั้งหมดเท่ากับศูนย์นั่นคือเมทริกซ์จะลดลงเป็นรูปแบบหน่วย เราต้องไม่ลืมที่จะคำนวณด้วยตัวเลขทั้งสองข้างของสมการ

วิธีการบันทึกนี้ยุ่งยากน้อยกว่าและช่วยให้คุณไม่ต้องเสียสมาธิในการแสดงรายการสิ่งที่ไม่รู้จักมากมาย

การใช้วิธีการแก้ปัญหาใด ๆ ฟรีจะต้องได้รับการดูแลและประสบการณ์บางอย่าง ไม่ใช่ทุกวิธีจะมีลักษณะประยุกต์ วิธีการหาวิธีแก้ปัญหาบางอย่างนั้นเป็นที่นิยมมากกว่าในกิจกรรมเฉพาะของมนุษย์ในขณะที่วิธีอื่นนั้นมีไว้เพื่อวัตถุประสงค์ทางการศึกษา

อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติมีกรณีเกิดขึ้นอีกสองกรณี:

– ระบบไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีวิธีแก้ไข)
– ระบบมีความสม่ำเสมอและมีโซลูชั่นมากมายไม่สิ้นสุด

บันทึก : คำว่า "ความสม่ำเสมอ" หมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยที่สุด ในปัญหาหลายประการ จำเป็นต้องตรวจสอบความเข้ากันได้ของระบบก่อน วิธีการทำเช่นนี้ ดูบทความใน อันดับของเมทริกซ์.

สำหรับระบบเหล่านี้จะใช้วิธีการแก้ปัญหาที่เป็นสากลมากที่สุด - วิธีเกาส์เซียน- ในความเป็นจริงวิธี "โรงเรียน" จะนำไปสู่คำตอบด้วย แต่ในคณิตศาสตร์ชั้นสูงเป็นเรื่องปกติที่จะใช้วิธีการแบบเกาส์เซียนในการกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบตามลำดับ ผู้ที่ไม่คุ้นเคยกับอัลกอริธึมวิธีแบบเกาส์เซียนโปรดศึกษาบทเรียนก่อน วิธีเกาส์เซียนสำหรับหุ่นจำลอง.

การแปลงเมทริกซ์เบื้องต้นนั้นเหมือนกันทุกประการความแตกต่างจะอยู่ที่จุดสิ้นสุดของการแก้ปัญหา ขั้นแรก มาดูตัวอย่างสองสามตัวอย่างเมื่อระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา (ไม่สอดคล้องกัน)

ตัวอย่างที่ 1

อะไรดึงดูดสายตาคุณเกี่ยวกับระบบนี้ในทันที? จำนวนสมการน้อยกว่าจำนวนตัวแปร ถ้าจำนวนสมการน้อยกว่าจำนวนตัวแปรแล้วเราก็บอกได้ทันทีว่าระบบไม่สอดคล้องกันหรือมีวิธีแก้ปัญหามากมายอย่างไม่สิ้นสุด และสิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการค้นหา

จุดเริ่มต้นของการแก้ปัญหาเป็นเรื่องธรรมดาโดยสมบูรณ์ - เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบและนำมันมาเป็นรูปแบบขั้นตอนโดยใช้การแปลงเบื้องต้น:

(1) ที่ขั้นตอนซ้ายบน เราต้องได้ +1 หรือ –1 ไม่มีตัวเลขดังกล่าวในคอลัมน์แรก ดังนั้นการจัดเรียงแถวใหม่จะไม่ช่วยอะไร หน่วยจะต้องจัดระเบียบตัวเองและสามารถทำได้หลายวิธี ฉันทำสิ่งนี้: เราบวกบรรทัดที่สามเข้ากับบรรทัดแรก คูณด้วย –1

(2) ตอนนี้เราได้ศูนย์สองตัวในคอลัมน์แรก ไปที่บรรทัดที่สองเราบวกบรรทัดแรกคูณด้วย 3 ไปที่บรรทัดที่สามเราบวกบรรทัดแรกคูณด้วย 5

(3) หลังจากการแปลงเสร็จสิ้น ขอแนะนำให้ดูว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะลดความซับซ้อนของสตริงผลลัพธ์? สามารถ. เราหารบรรทัดที่สองด้วย 2 ในขณะเดียวกันก็รับค่าที่ต้องการ –1 ในขั้นตอนที่สอง หารบรรทัดที่สามด้วย –3

(4) เพิ่มบรรทัดที่สองเข้ากับบรรทัดที่สาม

ทุกคนคงสังเกตเห็นเส้นที่ไม่ดีซึ่งเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น: - เป็นที่ชัดเจนว่าสิ่งนี้ไม่สามารถเป็นเช่นนั้นได้ อันที่จริง ขอให้เราเขียนเมทริกซ์ผลลัพธ์ใหม่ กลับไปสู่ระบบสมการเชิงเส้น:

จากผลของการแปลงเบื้องต้น หากได้รับสตริงของแบบฟอร์ม โดยที่ตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ แสดงว่าระบบไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีวิธีแก้ปัญหา)

จะเขียนการสิ้นสุดของงานได้อย่างไร? มาวาดด้วยชอล์กสีขาวกันเถอะ: “ อันเป็นผลมาจากการแปลงเบื้องต้นจะได้สตริงของแบบฟอร์ม โดยที่ ” ได้รับและให้คำตอบ: ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา (ไม่สอดคล้องกัน)

หากตามเงื่อนไข หากจำเป็นต้องวิจัยระบบเพื่อความเข้ากันได้ ก็จำเป็นต้องจัดทำโซลูชันอย่างเป็นทางการในรูปแบบที่มั่นคงมากขึ้นโดยใช้แนวคิด อันดับเมทริกซ์และทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี.

โปรดทราบว่าไม่มีการกลับรายการอัลกอริทึมแบบเกาส์เซียนที่นี่ - ไม่มีวิธีแก้ไขและไม่มีอะไรให้ค้นหา

ตัวอย่างที่ 2

แก้ระบบสมการเชิงเส้น

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ- เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน ฉันขอเตือนคุณอีกครั้งว่าโซลูชันของคุณอาจแตกต่างจากโซลูชันของฉัน อัลกอริธึมแบบเกาส์ไม่มี "ความแข็งแกร่ง" มากนัก

อีกหนึ่ง คุณสมบัติทางเทคนิควิธีแก้ปัญหา: การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นสามารถหยุดได้ โดยทันทีทันทีที่บรรทัดเช่นที่ไหน ลองพิจารณาตัวอย่างที่มีเงื่อนไข: สมมติว่าหลังจากการแปลงครั้งแรกจะได้รับเมทริกซ์ - เมทริกซ์ยังไม่ได้ถูกลดขนาดเป็นรูปแบบระดับ แต่ไม่จำเป็นต้องทำการแปลงเบื้องต้นเพิ่มเติม เนื่องจากมีเส้นของแบบฟอร์มปรากฏขึ้น โดยที่ ควรตอบทันทีว่าระบบเข้ากันไม่ได้

เมื่อระบบสมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบ ก็แทบจะเป็นของขวัญเลยเพราะว่าได้คำตอบสั้นๆ ซึ่งบางครั้งอาจใช้เวลา 2-3 ขั้นตอนจริงๆ

แต่ทุกสิ่งในโลกนี้มีความสมดุล และปัญหาที่ระบบมีวิธีแก้ไขมากมายอย่างไม่สิ้นสุดนั้นยาวนานกว่านั้น

ตัวอย่างที่ 3

แก้ระบบสมการเชิงเส้น

มี 4 สมการและ 4 ไม่ทราบ ดังนั้นระบบอาจมีคำตอบเดียวหรือไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน อย่างไรก็ตาม วิธีเกาส์เซียนจะนำเราไปสู่คำตอบไม่ว่าในกรณีใดก็ตาม นี่คือความเก่งกาจของมัน

จุดเริ่มต้นเป็นมาตรฐานอีกครั้ง ให้เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ และนำมันมาอยู่ในรูปแบบขั้นตอนโดยใช้การแปลงเบื้องต้น:

เพียงเท่านี้คุณก็กลัว

(1) โปรดทราบว่าตัวเลขทั้งหมดในคอลัมน์แรกหารด้วย 2 ลงตัว ดังนั้น 2 ก็ใช้ได้ที่ขั้นตอนบนซ้าย ไปที่บรรทัดที่สองเราบวกบรรทัดแรกคูณด้วย –4 ไปที่บรรทัดที่สามเราเพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย –2 ไปที่บรรทัดที่สี่เราเพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย –1

ความสนใจ!หลายคนอาจถูกล่อลวงโดยบรรทัดที่สี่ ลบบรรทัดแรก สามารถทำได้ แต่ไม่จำเป็น ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดในการคำนวณเพิ่มขึ้นหลายครั้ง เพียงเพิ่ม: ไปที่บรรทัดที่สี่ให้เพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย –1 – แบบนั้นเลย!

(2) สามบรรทัดสุดท้ายเป็นสัดส่วน สามารถลบสองบรรทัดได้

นี่เราต้องโชว์อีกแล้ว เพิ่มความสนใจแต่เส้นเป็นสัดส่วนจริงหรือ? เพื่อความปลอดภัย (โดยเฉพาะสำหรับกาน้ำชา) เป็นความคิดที่ดีที่จะคูณบรรทัดที่สองด้วย –1 และหารบรรทัดที่สี่ด้วย 2 ทำให้ได้บรรทัดที่เหมือนกันสามบรรทัด และหลังจากนั้นก็ถอดสองตัวออก

จากผลของการแปลงเบื้องต้น เมทริกซ์ขยายของระบบจะลดลงเป็นรูปแบบขั้นตอน:

เมื่อเขียนงานลงในสมุดบันทึกขอแนะนำให้จดบันทึกเดียวกันด้วยดินสอเพื่อความชัดเจน

ให้เราเขียนระบบสมการที่เกี่ยวข้องใหม่:

ไม่มีกลิ่นของสารละลายเดี่ยว "ธรรมดา" ในระบบที่นี่ ไม่มีเส้นที่ไม่ดีเช่นกัน ซึ่งหมายความว่านี่เป็นกรณีที่สามที่เหลืออยู่ - ระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายอย่างไม่สิ้นสุด บางครั้ง ตามเงื่อนไข จำเป็นต้องตรวจสอบความเข้ากันได้ของระบบ (เช่น พิสูจน์ว่ามีวิธีแก้ปัญหาอยู่เลย) คุณสามารถอ่านเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ในย่อหน้าสุดท้ายของบทความ จะค้นหาอันดับของเมทริกซ์ได้อย่างไร?แต่สำหรับตอนนี้เรามาดูข้อมูลพื้นฐานกันดีกว่า:

ชุดวิธีแก้ปัญหาที่ไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับระบบนั้นเขียนโดยย่อในรูปแบบของสิ่งที่เรียกว่า วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบ .

เราค้นหาคำตอบทั่วไปของระบบโดยใช้วิธีผกผันของวิธีเกาส์เซียน

ก่อนอื่นเราต้องกำหนดตัวแปรที่เรามี ขั้นพื้นฐานและตัวแปรใดบ้าง ฟรี- คุณไม่จำเป็นต้องกังวลกับเงื่อนไขของพีชคณิตเชิงเส้น เพียงจำไว้ว่ามีเงื่อนไขดังกล่าวอยู่ ตัวแปรพื้นฐานและ ตัวแปรอิสระ.

ตัวแปรพื้นฐานจะ “นั่ง” ตามขั้นตอนของเมทริกซ์อย่างเคร่งครัดเสมอ.
ในตัวอย่างนี้ ตัวแปรพื้นฐานคือ และ

ตัวแปรอิสระคือทุกสิ่ง ที่เหลืออยู่ตัวแปรที่ไม่ได้รับขั้นตอน ในกรณีของเรามีอยู่สองตัว: – ตัวแปรอิสระ

ตอนนี้คุณต้องการ ทั้งหมด ตัวแปรพื้นฐานด่วน ผ่านเท่านั้น ตัวแปรอิสระ.

การย้อนกลับของอัลกอริธึมแบบเกาส์เซียนมักจะทำงานจากล่างขึ้นบน
จากสมการที่สองของระบบเราแสดงตัวแปรพื้นฐาน:

ตอนนี้ดูสมการแรก: - ขั้นแรกเราแทนที่นิพจน์ที่พบลงไป:

ยังคงแสดงตัวแปรพื้นฐานในแง่ของตัวแปรอิสระ:

ในที่สุดเราก็ได้สิ่งที่ต้องการ- ทั้งหมดตัวแปรพื้นฐาน ( และ ) จะถูกแสดงออกมา ผ่านเท่านั้นตัวแปรอิสระ:

ที่จริงแล้วโซลูชันทั่วไปพร้อมแล้ว:

จะเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปได้อย่างไร?
ตัวแปรอิสระจะถูกเขียนลงในโซลูชันทั่วไป "ด้วยตัวเอง" และแทนที่อย่างเคร่งครัด ใน ในกรณีนี้ควรเขียนตัวแปรอิสระในตำแหน่งที่สองและสี่:
.

นิพจน์ผลลัพธ์สำหรับตัวแปรพื้นฐาน และจำเป็นต้องเขียนในตำแหน่งที่หนึ่งและสามอย่างชัดเจน:

ให้ตัวแปรอิสระ ค่าที่กำหนดเองคุณจะพบมากมายนับไม่ถ้วน โซลูชั่นส่วนตัว- ค่าที่ได้รับความนิยมมากที่สุดคือศูนย์เนื่องจากโซลูชันเฉพาะนั้นหาได้ง่ายที่สุด ลองใช้วิธีแก้ปัญหาทั่วไปแทน:

– โซลูชั่นส่วนตัว

คู่หวานอีกคู่คือคู่หนึ่ง ลองแทนที่มันลงในวิธีแก้ปัญหาทั่วไป:

– อีกหนึ่งโซลูชั่นส่วนตัว

จะเห็นได้ง่ายว่าระบบสมการนั้นมี โซลูชั่นมากมายอนันต์(เนื่องจากเราสามารถให้ตัวแปรอิสระได้ ใดๆค่า)

แต่ละวิธีแก้ปัญหาเฉพาะจะต้องเป็นไปตามนั้น ถึงทุกคนสมการของระบบ นี่เป็นพื้นฐานสำหรับการตรวจสอบความถูกต้องของโซลูชัน "อย่างรวดเร็ว" ตัวอย่างเช่น ใช้วิธีแก้ปัญหาเฉพาะและแทนที่มันทางด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบเดิม:

ทุกอย่างต้องมาคู่กัน และด้วยวิธีแก้ปัญหาเฉพาะใดๆ ที่คุณได้รับ ทุกอย่างก็ควรจะตกลงเช่นกัน

แต่พูดอย่างเคร่งครัด การตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาเฉพาะบางครั้งก็เป็นการหลอกลวง เช่น วิธีแก้ปัญหาบางอย่างอาจเป็นไปตามแต่ละสมการของระบบ แต่จริงๆ แล้ววิธีแก้ปัญหาทั่วไปกลับพบว่าไม่ถูกต้อง

ดังนั้นการตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจึงมีความละเอียดถี่ถ้วนและเชื่อถือได้มากขึ้น วิธีตรวจสอบผลลัพธ์การแก้ปัญหาทั่วไป ?

มันไม่ใช่เรื่องยากแต่ค่อนข้างน่าเบื่อ เราจำเป็นต้องใช้การแสดงออก ขั้นพื้นฐานตัวแปรในกรณีนี้ และ และแทนที่มันทางด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบ

ทางด้านซ้ายของสมการแรกของระบบ:

ทางด้านซ้ายของสมการที่สองของระบบ:


จะได้ด้านขวาของสมการดั้งเดิม

ตัวอย่างที่ 4

แก้ระบบโดยใช้วิธีเกาส์เซียน ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปและวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสองข้อ ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาทั่วไป

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ จำนวนสมการน้อยกว่าจำนวนไม่ทราบ ซึ่งหมายความว่าชัดเจนทันทีว่าระบบจะไม่สอดคล้องกันหรือมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด อะไรคือสิ่งสำคัญในกระบวนการตัดสินใจ? ให้ความสนใจและความสนใจอีกครั้ง- เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

และอีกสองสามตัวอย่างเพื่อเสริมกำลังวัสดุ

ตัวอย่างที่ 5

แก้ระบบสมการเชิงเส้น หากระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน ให้ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสองข้อ และตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาทั่วไป

สารละลาย: ลองเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบแล้วใช้การแปลงเบื้องต้น ทำให้มันอยู่ในรูปแบบขั้นตอน:

(1) เพิ่มบรรทัดแรกลงในบรรทัดที่สอง ไปที่บรรทัดที่สามเราบวกบรรทัดแรกคูณด้วย 2 ไปที่บรรทัดที่สี่เราบวกบรรทัดแรกคูณด้วย 3
(2) ไปที่บรรทัดที่สาม เราบวกบรรทัดที่สอง คูณด้วย –5 ไปที่บรรทัดที่สี่เราเพิ่มบรรทัดที่สองคูณด้วย –7
(3) บรรทัดที่สามและสี่เหมือนกัน เราจะลบบรรทัดใดบรรทัดหนึ่งออก

นี่คือความงาม:

ตัวแปรพื้นฐานขึ้นอยู่กับขั้นตอน ดังนั้น - ตัวแปรพื้นฐาน
มีตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียวที่ไม่ได้รับขั้นตอน:

ย้อนกลับ:
เรามาแสดงตัวแปรพื้นฐานผ่านตัวแปรอิสระกันดีกว่า:
จากสมการที่สาม:

ลองพิจารณาสมการที่สองและแทนที่นิพจน์ที่พบลงไป:

ลองพิจารณาสมการแรกและแทนที่นิพจน์ที่พบแล้วลงในสมการนั้น:

ใช่แล้ว เครื่องคิดเลขที่คำนวณเศษส่วนธรรมดาก็ยังสะดวกอยู่

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ:

เกิดขึ้นอีกครั้งได้อย่างไร? ตัวแปรอิสระอยู่เพียงลำพังในตำแหน่งที่สี่ที่ถูกต้อง นิพจน์ผลลัพธ์สำหรับตัวแปรพื้นฐานยังอยู่ในลำดับด้วย

ให้เราตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปทันที งานเพื่อคนผิวดำแต่ทำไปแล้วก็รับไว้ =)

เราแทนที่ฮีโร่สามตัว , , ลงในด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบ:

จะได้ทางด้านขวามือของสมการที่สอดคล้องกัน ดังนั้นจึงสามารถหาคำตอบทั่วไปได้ถูกต้อง

ตอนนี้จากวิธีแก้ปัญหาทั่วไปที่พบ เราได้รับวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสองประการ ตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียวที่นี่คือพ่อครัว ไม่จำเป็นต้องเก็บสมองของคุณ

ปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น – โซลูชั่นส่วนตัว
ปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น – อีกหนึ่งโซลูชั่นส่วนตัว

คำตอบ: วิธีแก้ไขปัญหาทั่วไป: , โซลูชั่นส่วนตัว: , .

ฉันไม่ควรจำเรื่องคนผิวดำ... ...เพราะแรงจูงใจซาดิสม์ทุกประเภทเข้ามาในหัวของฉัน และฉันจำภาพโฟโต้ช็อปอันโด่งดังซึ่งมี Ku Klux Klansmen ในชุดคลุมสีขาววิ่งข้ามสนามตามหลังนักฟุตบอลผิวดำคนหนึ่ง ฉันนั่งยิ้มเงียบๆ รู้ไหมว่ากวนใจแค่ไหน...

คณิตศาสตร์หลายๆ อย่างเป็นอันตราย ดังนั้นนี่คือตัวอย่างสุดท้ายที่คล้ายกันให้คุณแก้โจทย์ด้วยตัวเอง

ตัวอย่างที่ 6

หาคำตอบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้น

ฉันได้ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปแล้ว คำตอบที่เชื่อถือได้ วิธีแก้ปัญหาของคุณอาจแตกต่างจากวิธีแก้ปัญหาของฉัน สิ่งสำคัญคือวิธีแก้ปัญหาทั่วไปตรงกัน

หลายๆ คนอาจสังเกตเห็นช่วงเวลาที่ไม่พึงประสงค์ในการแก้ปัญหา บ่อยครั้งมากเมื่อย้อนกลับวิธีเกาส์ เราต้องแก้ไข เศษส่วนสามัญ- ในทางปฏิบัติ เป็นเช่นนี้จริง ๆ กรณีที่ไม่มีเศษส่วนพบได้น้อยกว่ามาก เตรียมตัวให้พร้อมทั้งจิตใจและที่สำคัญที่สุดคือทางเทคนิค

ฉันจะอาศัยคุณลักษณะบางอย่างของโซลูชันที่ไม่พบในตัวอย่างที่แก้ไขแล้ว

วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบบางครั้งอาจมีค่าคงที่ (หรือค่าคงที่) เช่น: ตัวแปรพื้นฐานตัวหนึ่งมีค่าเท่ากับจำนวนคงที่: ไม่มีอะไรแปลกใหม่เกี่ยวกับเรื่องนี้ มันเกิดขึ้น แน่นอนว่าในกรณีนี้ ผลเฉลยใดๆ จะมีเลข 5 อยู่ในตำแหน่งแรก

ไม่ค่อยมี แต่มีระบบที่ จำนวนสมการมากกว่าจำนวนตัวแปร- วิธีเกาส์เซียนทำงานในสภาวะที่รุนแรงที่สุด ควรลดเมทริกซ์ที่ขยายของระบบให้อยู่ในรูปแบบขั้นตอนโดยใช้อัลกอริธึมมาตรฐาน ระบบดังกล่าวอาจไม่สอดคล้องกัน อาจมีวิธีแก้ปัญหามากมายอย่างไม่สิ้นสุด และที่น่าแปลกก็คืออาจมีวิธีแก้ปัญหาเพียงวิธีเดียว

วิธีเกาส์เซียนหรือที่เรียกว่าวิธีการกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบตามลำดับมีดังนี้ เมื่อใช้การแปลงเบื้องต้น ระบบสมการเชิงเส้นจะถูกนำมาใช้ในรูปแบบที่เมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์กลายเป็น สี่เหลี่ยมคางหมู (เช่นเดียวกับรูปสามเหลี่ยมหรือขั้นบันได) หรือใกล้กับรูปสี่เหลี่ยมคางหมู (จังหวะตรงของวิธีเกาส์เซียน ซึ่งต่อไปนี้จะเรียกว่าจังหวะตรง) ตัวอย่างของระบบดังกล่าวและวิธีแก้ไขอยู่ในภาพด้านบน

ในระบบดังกล่าว สมการสุดท้ายจะมีตัวแปรเพียงตัวเดียวและสามารถหาค่าของตัวแปรได้อย่างชัดเจน ค่าของตัวแปรนี้จะถูกแทนที่ลงในสมการก่อนหน้า ( ผกผันของวิธีเกาส์เซียน จากนั้นเพียงย้อนกลับ) ซึ่งพบตัวแปรก่อนหน้าและอื่นๆ

ในระบบสี่เหลี่ยมคางหมู (สามเหลี่ยม) ดังที่เราเห็น สมการที่สามไม่มีตัวแปรอีกต่อไป ยและ xและสมการที่สองคือตัวแปร x .

หลังจากที่เมทริกซ์ของระบบมีรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูแล้ว การทำความเข้าใจปัญหาความเข้ากันได้ของระบบ กำหนดจำนวนวิธีแก้ปัญหา และค้นหาวิธีแก้ปัญหาด้วยตนเองก็ไม่ใช่เรื่องยากอีกต่อไป

ข้อดีของวิธีการ:

1. เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีสมการและไม่ทราบค่ามากกว่าสามสมการ วิธีเกาส์จะไม่ยุ่งยากเท่ากับวิธีแครมเมอร์ เนื่องจากการแก้ด้วยวิธีเกาส์ต้องใช้การคำนวณน้อยกว่า
2. วิธีเกาส์สามารถแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่แน่นอน กล่าวคือ มีวิธีแก้ทั่วไป (และเราจะวิเคราะห์มันในบทเรียนนี้) และเมื่อใช้วิธีแครเมอร์ เราจะบอกได้เพียงว่าระบบไม่แน่นอนเท่านั้น
3. คุณสามารถแก้ระบบสมการเชิงเส้นซึ่งจำนวนไม่ทราบค่าไม่เท่ากับจำนวนสมการ (เราจะวิเคราะห์พวกมันในบทเรียนนี้ด้วย)
4. วิธีการนี้ขึ้นอยู่กับวิธีการระดับประถมศึกษา (โรงเรียน) - วิธีการทดแทนสิ่งที่ไม่รู้จักและวิธีการบวกสมการซึ่งเราได้กล่าวถึงในบทความที่เกี่ยวข้อง

เพื่อให้ทุกคนเข้าใจถึงความเรียบง่ายของระบบสมการเชิงเส้นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู (สามเหลี่ยม ขั้นตอน) ที่ถูกแก้ เราจึงนำเสนอวิธีแก้ของระบบดังกล่าวโดยใช้การเคลื่อนที่แบบย้อนกลับ วิธีแก้ปัญหาอย่างรวดเร็วสำหรับระบบนี้แสดงไว้ในรูปภาพเมื่อเริ่มบทเรียน

ตัวอย่างที่ 1แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้ค่าผกผัน:

สารละลาย. ในระบบสี่เหลี่ยมคางหมูนี้มีตัวแปร zสามารถหาได้จากสมการที่สาม เราแทนค่าของมันลงในสมการที่สองและรับค่าของตัวแปร ย:

ตอนนี้เรารู้ค่าของตัวแปรสองตัวแล้ว - zและ ย- เราแทนที่มันลงในสมการแรกและรับค่าของตัวแปร x:

จากขั้นตอนก่อนหน้านี้เราเขียนคำตอบให้กับระบบสมการ:

เพื่อให้ได้ระบบสมการเชิงเส้นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งเราแก้ไขได้ง่ายมากจำเป็นต้องใช้จังหวะไปข้างหน้าที่เกี่ยวข้องกับการแปลงเบื้องต้นของระบบสมการเชิงเส้น ก็ไม่ใช่เรื่องยากเช่นกัน

การแปลงเบื้องต้นของระบบสมการเชิงเส้น

จากการทำซ้ำวิธีการบวกสมการของระบบทางพีชคณิต เราพบว่าเราสามารถเพิ่มสมการของระบบอีกสมการหนึ่งลงในสมการหนึ่งของระบบได้ และแต่ละสมการสามารถคูณด้วยตัวเลขจำนวนหนึ่งได้ เป็นผลให้เราได้รับระบบสมการเชิงเส้นที่เทียบเท่ากับสมการนี้ ในนั้น สมการหนึ่งมีตัวแปรเพียงตัวเดียวอยู่แล้ว เมื่อแทนค่าที่เป็นสมการอื่น เราก็จะได้คำตอบ การเพิ่มดังกล่าวเป็นหนึ่งในประเภทของการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นของระบบ เมื่อใช้วิธีเกาส์เซียน เราสามารถใช้การแปลงได้หลายประเภท

ภาพเคลื่อนไหวด้านบนแสดงให้เห็นว่าระบบสมการค่อยๆ กลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูได้อย่างไร นั่นคือสิ่งที่คุณเห็นในแอนิเมชั่นแรกและมั่นใจตัวเองว่ามันง่ายที่จะค้นหาคุณค่าของสิ่งที่ไม่รู้จักทั้งหมดจากมัน วิธีดำเนินการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวและแน่นอนว่าจะมีการกล่าวถึงตัวอย่างเพิ่มเติมต่อไป

เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยสมการจำนวนเท่าใดก็ได้และไม่ทราบค่าในระบบสมการและในเมทริกซ์ขยายของระบบ สามารถ:

1. จัดเรียงบรรทัดใหม่ (ซึ่งกล่าวไว้ในตอนต้นของบทความนี้);
2. หากการแปลงอื่นส่งผลให้มีแถวเท่ากันหรือเป็นสัดส่วน ก็สามารถลบได้ ยกเว้นแถวเดียว
3. ลบแถว "ศูนย์" โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับศูนย์
4. คูณหรือหารสตริงใด ๆ ด้วยจำนวนที่แน่นอน
5. ในบรรทัดใดๆ ให้เพิ่มอีกบรรทัดหนึ่ง คูณด้วยตัวเลขจำนวนหนึ่ง

จากผลของการแปลง เราได้ระบบสมการเชิงเส้นที่เทียบเท่ากับอันนี้

อัลกอริทึมและตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์จตุรัสของระบบโดยใช้วิธีเกาส์

ก่อนอื่นให้เราพิจารณาแก้ระบบสมการเชิงเส้นซึ่งจำนวนไม่ทราบค่าเท่ากับจำนวนสมการ เมทริกซ์ของระบบดังกล่าวเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั่นคือจำนวนแถวในระบบนั้นเท่ากับจำนวนคอลัมน์

ตัวอย่างที่ 2แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีโรงเรียน เราได้คูณสมการตัวใดตัวหนึ่งในระยะต่อเทอมด้วยจำนวนที่แน่นอน เพื่อให้ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรตัวแรกในสมการทั้งสองมีค่าเท่ากับ ตัวเลขตรงข้าม- เมื่อบวกสมการ ตัวแปรนี้จะถูกตัดออก วิธีเกาส์ก็ใช้วิธีเดียวกัน

เพื่อให้ง่ายขึ้น รูปร่างโซลูชั่น มาสร้างเมทริกซ์ขยายของระบบกันดีกว่า:

ในเมทริกซ์นี้ ค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบจะอยู่ที่ด้านซ้ายก่อนถึงเส้นแนวตั้ง และเงื่อนไขอิสระจะอยู่ทางด้านขวาหลังจากเส้นแนวตั้ง

เพื่อความสะดวกในการหารค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร (เพื่อให้ได้หารด้วยเอกภาพ) ลองสลับแถวแรกและแถวที่สองของเมทริกซ์ระบบกัน- เราได้ระบบที่เทียบเท่ากับระบบนี้ เนื่องจากในระบบสมการเชิงเส้น สมการสามารถสับเปลี่ยนกันได้:

โดยใช้สมการแรกใหม่ กำจัดตัวแปร xจากสมการที่สองและสมการที่ตามมาทั้งหมด- ในการทำเช่นนี้ เราจะเพิ่มแถวแรกคูณด้วย (ในกรณีของเราด้วย ) ในแถวที่สองของเมทริกซ์ ไปยังแถวที่สาม - แถวแรกคูณด้วย (ในกรณีของเราด้วย )

ที่เป็นไปเช่นนี้เพราะว่า

หากมีสมการมากกว่าสามสมการในระบบของเรา เราจะต้องบวกบรรทัดแรกเข้ากับสมการที่ตามมาทั้งหมด คูณด้วยอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน แล้วใช้เครื่องหมายลบ

เป็นผลให้เราได้เมทริกซ์ที่เทียบเท่ากับระบบนี้ ระบบใหม่สมการซึ่งสมการทั้งหมดเริ่มจากวินาที ไม่มีตัวแปร x :

หากต้องการลดความซับซ้อนของบรรทัดที่สองของระบบผลลัพธ์ ให้คูณด้วยเมทริกซ์ของระบบสมการที่เทียบเท่ากับระบบนี้อีกครั้ง:

ตอนนี้ รักษาสมการแรกของระบบผลลัพธ์ไว้ไม่เปลี่ยนแปลง โดยใช้สมการที่สองเรากำจัดตัวแปร ย จากสมการที่ตามมาทั้งหมด ในการทำเช่นนี้ เราจะเพิ่มแถวที่สองคูณด้วย (ในกรณีของเราด้วย ) ในแถวที่สามของเมทริกซ์ระบบ

หากมีสมการมากกว่าสามสมการในระบบของเรา เราจะต้องเพิ่มบรรทัดที่สองให้กับสมการที่ตามมาทั้งหมด คูณด้วยอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันซึ่งนำมาด้วยเครื่องหมายลบ

เป็นผลให้เราได้รับเมทริกซ์ของระบบที่เทียบเท่ากับระบบสมการเชิงเส้นนี้อีกครั้ง:

เราได้รับระบบสมการเชิงเส้นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่เทียบเท่ากัน:

หากจำนวนสมการและตัวแปรมากกว่าในตัวอย่างของเรา กระบวนการกำจัดตัวแปรตามลำดับจะดำเนินต่อไปจนกว่าเมทริกซ์ของระบบจะกลายเป็นสี่เหลี่ยมคางหมู ดังในตัวอย่างสาธิตของเรา

เราจะพบวิธีแก้ปัญหา "จากจุดสิ้นสุด" - การย้อนกลับ- สำหรับสิ่งนี้ จากสมการสุดท้ายที่เราหาได้ z:
.
แทนค่านี้ลงในสมการก่อนหน้า เราจะพบ ย:

จากสมการแรก เราจะพบ x:

คำตอบ: คำตอบของระบบสมการนี้คือ .

: ในกรณีนี้ จะได้รับคำตอบเดียวกันหากระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ หากระบบมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด นี่จะเป็นคำตอบ และนี่คือหัวข้อของส่วนที่ห้าของบทเรียนนี้

แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์เซียนด้วยตัวเอง แล้วดูผลเฉลย

ต่อหน้าเราอีกครั้งคือตัวอย่างของข้อต่อและ ระบบบางอย่างสมการเชิงเส้น ซึ่งจำนวนสมการเท่ากับจำนวนที่ไม่ทราบ ความแตกต่างจากตัวอย่างสาธิตของเราจากอัลกอริธึมก็คือ มีสมการสี่ตัวอยู่แล้วและไม่ทราบค่าสี่ตัว

ตัวอย่างที่ 4แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์:

ตอนนี้คุณต้องใช้สมการที่สองเพื่อกำจัดตัวแปรออกจากสมการที่ตามมา มาดำเนินการกัน งานเตรียมการ- เพื่อให้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์สะดวกยิ่งขึ้น คุณจะต้องได้รับหนึ่งในคอลัมน์ที่สองของแถวที่สอง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ลบบรรทัดที่สามออกจากบรรทัดที่สอง และคูณผลลัพธ์บรรทัดที่สองด้วย -1

ตอนนี้ให้เราดำเนินการกำจัดตัวแปรออกจากสมการที่สามและสี่อย่างแท้จริง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มบรรทัดที่สองคูณด้วย เข้ากับบรรทัดที่สาม และบรรทัดที่สองคูณด้วย เข้ากับบรรทัดที่สี่

ตอนนี้ เมื่อใช้สมการที่สาม เราจะกำจัดตัวแปรออกจากสมการที่สี่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มบรรทัดที่สามเข้ากับบรรทัดที่สี่ คูณด้วย เราได้รับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมคางหมูแบบขยาย

เราได้ระบบสมการที่เทียบเท่ากับ ระบบนี้:

ดังนั้นผลลัพธ์และระบบที่กำหนดจึงเข้ากันได้และแน่นอน เราพบทางออกสุดท้าย "จากจุดสิ้นสุด" จากสมการที่สี่ เราสามารถแสดงค่าของตัวแปร “x ที่สี่” ได้โดยตรง:

เราแทนค่านี้เป็นสมการที่สามของระบบแล้วได้

,

,

ในที่สุดการทดแทนค่า

สมการแรกให้

,

เราจะหา "x ก่อน" ได้ที่ไหน:

คำตอบ: ระบบสมการนี้มีคำตอบที่ไม่เหมือนใคร .

คุณยังสามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาของระบบบนเครื่องคิดเลขโดยใช้วิธีของแครมเมอร์ได้ ในกรณีนี้ คุณจะได้รับคำตอบเดียวกันหากระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ

การแก้ปัญหาประยุกต์โดยใช้วิธีเกาส์โดยใช้ตัวอย่างปัญหาเกี่ยวกับโลหะผสม

ระบบสมการเชิงเส้นใช้ในการจำลองวัตถุจริงในโลกทางกายภาพ มาแก้ปัญหาข้อใดข้อหนึ่งกัน - โลหะผสม ปัญหาที่คล้ายกัน - ปัญหาเกี่ยวกับสารผสม ต้นทุน หรือ ความถ่วงจำเพาะ สินค้าแต่ละชิ้นในกลุ่มผลิตภัณฑ์และสิ่งที่คล้ายกัน

ตัวอย่างที่ 5โลหะ 3 ชิ้นมีมวลรวม 150 กิโลกรัม โลหะผสมชนิดแรกประกอบด้วยทองแดง 60% ส่วนที่สอง - 30% ส่วนที่สาม - 10% ยิ่งไปกว่านั้น ในโลหะผสมที่สองและสามที่นำมารวมกันจะมีทองแดงน้อยกว่าโลหะผสมตัวแรก 28.4 กิโลกรัม และในโลหะผสมที่สามจะมีทองแดงน้อยกว่าโลหะผสมที่สอง 6.2 กิโลกรัม หามวลของโลหะผสมแต่ละชิ้น

สารละลาย. เราเขียนระบบสมการเชิงเส้น:

เราคูณสมการที่สองและสามด้วย 10 เราได้ระบบสมการเชิงเส้นที่เทียบเท่า:

เราสร้างเมทริกซ์เพิ่มเติมของระบบ:

ให้ความสนใจ ตรงไปข้างหน้า ด้วยการบวก (ในกรณีของเราคือการลบ) หนึ่งแถวคูณด้วยตัวเลข (เราใช้มันสองครั้ง) การแปลงต่อไปนี้จะเกิดขึ้นกับเมทริกซ์ขยายของระบบ:

การย้ายโดยตรงสิ้นสุดลงแล้ว เราได้รับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมคางหมูแบบขยาย

เราใช้การเคลื่อนที่แบบย้อนกลับ เราพบวิธีแก้ปัญหาตั้งแต่จุดสิ้นสุด เราเห็นสิ่งนั้น

จากสมการที่สองที่เราพบ

จากสมการที่สาม -

คุณยังสามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาของระบบบนเครื่องคิดเลขโดยใช้วิธีของแครมเมอร์ได้ ในกรณีนี้ คุณจะได้รับคำตอบเดียวกันหากระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ

ความเรียบง่ายของวิธีการของเกาส์เห็นได้จากข้อเท็จจริงที่ว่านักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ ใช้เวลาเพียง 15 นาทีในการประดิษฐ์มันขึ้นมา นอกเหนือจากวิธีการที่ตั้งชื่อตามเขาแล้ว คำพูดที่ว่า "เราไม่ควรสับสนระหว่างสิ่งที่ดูเหมือนเหลือเชื่อและผิดธรรมชาติสำหรับเรากับสิ่งที่เป็นไปไม่ได้เลย" ยังเป็นที่รู้จักจากผลงานของเกาส์ ซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของ คำแนะนำสั้น ๆเพื่อทำการค้นพบ

ในปัญหาที่ประยุกต์หลายๆ ปัญหาอาจไม่มีข้อจำกัดประการที่สาม นั่นคือสมการที่สาม จากนั้นคุณจะต้องแก้ระบบสมการสองสมการโดยไม่ทราบค่าสามค่าโดยใช้วิธีเกาส์เซียน หรือในทางกลับกัน มีค่าไม่ทราบน้อยกว่าสมการ ตอนนี้เราจะเริ่มแก้ระบบสมการดังกล่าว

เมื่อใช้วิธี Gaussian คุณสามารถระบุได้ว่าระบบใดเข้ากันได้หรือเข้ากันไม่ได้ nสมการเชิงเส้นด้วย nตัวแปร

วิธีเกาส์และระบบสมการเชิงเส้นที่มีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด

ตัวอย่างถัดไปคือระบบสมการเชิงเส้นที่มีความสม่ำเสมอแต่ไม่แน่นอน กล่าวคือ มีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด

หลังจากดำเนินการแปลงค่าในเมทริกซ์แบบขยายของระบบ (การจัดเรียงแถวใหม่ การคูณและหารแถวด้วยตัวเลขที่กำหนด การบวกอีกแถวเข้ากับหนึ่งแถว) แถวต่างๆ เช่น

ถ้าสมการทั้งหมดมีรูปแบบ

เงื่อนไขอิสระมีค่าเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าระบบมีความไม่แน่นอน กล่าวคือ มีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด และสมการประเภทนี้ "ไม่จำเป็น" และเราแยกออกจากระบบ

ตัวอย่างที่ 6

สารละลาย. เรามาสร้างเมทริกซ์ขยายของระบบกันดีกว่า จากนั้น เมื่อใช้สมการแรก เราจะกำจัดตัวแปรออกจากสมการที่ตามมา เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มบรรทัดแรกลงในบรรทัดที่สอง สาม และสี่ คูณด้วย :

ตอนนี้เรามาเพิ่มบรรทัดที่สองเข้ากับบรรทัดที่สามและสี่

เป็นผลให้เรามาถึงระบบ

สมการสองอันสุดท้ายกลายเป็นสมการของรูปแบบ สมการเหล่านี้สอดคล้องกับค่าใดๆ ของสิ่งที่ไม่ทราบและสามารถละทิ้งได้

เพื่อให้เป็นไปตามสมการที่สองเราสามารถเลือกค่าใดก็ได้สำหรับ และ จากนั้นค่าสำหรับจะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกัน: - จากสมการแรกจะพบค่าที่ไม่ซ้ำกันด้วย: .

ทั้งให้และ ระบบใหม่ล่าสุดมีความสม่ำเสมอแต่ไม่มีกำหนดและมีสูตร

ตามอำเภอใจและให้คำตอบทั้งหมดของระบบที่กำหนดแก่เรา

วิธีเกาส์และระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่มีคำตอบ

ตัวอย่างถัดไปคือระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่สอดคล้องกัน นั่นคือระบบที่ไม่มีคำตอบ คำตอบสำหรับปัญหาดังกล่าวมีการกำหนดไว้ดังนี้ ระบบไม่มีวิธีแก้ไข

ดังที่ได้กล่าวไปแล้วเกี่ยวกับตัวอย่างแรก หลังจากดำเนินการแปลงแล้ว แถวของแบบฟอร์มอาจปรากฏในเมทริกซ์แบบขยายของระบบ

สอดคล้องกับสมการของรูปแบบ

หากในหมู่พวกเขามีสมการอย่างน้อยหนึ่งสมการที่มีเทอมอิสระที่ไม่เป็นศูนย์ (เช่น ) ดังนั้นระบบสมการนี้ไม่สอดคล้องกันนั่นคือมันไม่มีคำตอบและคำตอบของมันเสร็จสมบูรณ์

ตัวอย่างที่ 7แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์:

สารละลาย. เราเขียนเมทริกซ์แบบขยายของระบบ เมื่อใช้สมการแรก เราจะแยกตัวแปรออกจากสมการที่ตามมา เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วยบรรทัดที่สอง บรรทัดแรกคูณด้วยบรรทัดที่สาม และบรรทัดแรกคูณด้วยบรรทัดที่สี่

ตอนนี้คุณต้องใช้สมการที่สองเพื่อกำจัดตัวแปรออกจากสมการที่ตามมา เพื่อให้ได้อัตราส่วนจำนวนเต็มของสัมประสิทธิ์ เราจะสลับแถวที่สองและสามของเมทริกซ์ขยายของระบบ

หากต้องการแยกสมการที่สามและสี่ออก ให้บวกสมการที่สองคูณด้วย เข้ากับบรรทัดที่สาม และสมการที่สองคูณด้วย เข้ากับบรรทัดที่สี่

ตอนนี้ เมื่อใช้สมการที่สาม เราจะกำจัดตัวแปรออกจากสมการที่สี่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มบรรทัดที่สามเข้ากับบรรทัดที่สี่ คูณด้วย

ระบบที่กำหนดจึงเทียบเท่ากับสิ่งต่อไปนี้:

ระบบผลลัพธ์ไม่สอดคล้องกันเนื่องจากสมการสุดท้ายของมันไม่สามารถตอบสนองด้วยค่าที่ไม่รู้จักใด ๆ ดังนั้นระบบนี้จึงไม่มีวิธีแก้ปัญหา

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) ถือเป็นหัวข้อที่สำคัญที่สุดในหลักสูตรพีชคณิตเชิงเส้นอย่างไม่ต้องสงสัย ปัญหาจำนวนมากจากคณิตศาสตร์ทุกแขนงมาถึงการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ปัจจัยเหล่านี้อธิบายเหตุผลของบทความนี้ เนื้อหาของบทความได้รับการคัดเลือกและจัดโครงสร้างเพื่อให้คุณสามารถทำได้ด้วยความช่วยเหลือ

• เลือกวิธีการที่เหมาะสมที่สุดในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นของคุณ
• ศึกษาทฤษฎีวิธีการที่เลือก
• แก้ระบบสมการเชิงเส้นของคุณโดยการพิจารณาคำตอบโดยละเอียดของตัวอย่างและปัญหาทั่วไป

คำอธิบายโดยย่อของเนื้อหาของบทความ

ขั้นแรก เราจะให้คำจำกัดความ แนวคิด และสัญลักษณ์ที่จำเป็นทั้งหมด

ต่อไป เราจะพิจารณาวิธีการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งจำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักและมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ประการแรก เราจะเน้นที่วิธีของแครมเมอร์ ประการที่สอง เราจะแสดงวิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการดังกล่าว และประการที่สาม เราจะวิเคราะห์วิธีเกาส์ (วิธีการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับ) เพื่อรวมทฤษฎีนี้เข้าด้วยกัน เราจะแก้ SLAE หลายรายการด้วยวิธีที่ต่างกันออกไปอย่างแน่นอน

หลังจากนี้ เราจะมาต่อกันที่การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น มุมมองทั่วไปโดยที่จำนวนสมการไม่ตรงกับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักหรือเมทริกซ์หลักของระบบเป็นเอกพจน์ ขอให้เรากำหนดทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี ซึ่งช่วยให้เราสามารถสร้างความเข้ากันได้ของ SLAE ได้ ให้เราวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของระบบ (หากเข้ากันได้) โดยใช้แนวคิดเรื่องพื้นฐานรองของเมทริกซ์ เราจะพิจารณาวิธีเกาส์ด้วยและอธิบายรายละเอียดวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่าง

เราจะอาศัยโครงสร้างของคำตอบทั่วไปของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันอย่างแน่นอน ขอให้เราให้แนวคิดเกี่ยวกับระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา และแสดงให้เห็นว่าคำตอบทั่วไปของ SLAE เขียนโดยใช้เวกเตอร์ของระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาอย่างไร เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้น เรามาดูตัวอย่างกัน

โดยสรุป เราจะพิจารณาระบบสมการที่สามารถลดให้เป็นสมการเชิงเส้นได้ รวมถึงปัญหาต่างๆ ในการแก้ปัญหาที่ SLAE เกิดขึ้น

การนำทางหน้า

คำจำกัดความ แนวคิด การกำหนด

เราจะพิจารณาระบบของสมการพีชคณิตเชิงเส้น p ที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ตัว (p สามารถเท่ากับ n) ของรูปแบบ

ตัวแปรที่ไม่รู้จัก - ค่าสัมประสิทธิ์ (บางค่าจริงหรือ จำนวนเชิงซ้อน) - เงื่อนไขอิสระ (เช่น จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน)

SLAE รูปแบบการบันทึกนี้เรียกว่า ประสานงาน.

ใน รูปแบบเมทริกซ์การเขียนระบบสมการนี้มีรูปแบบ
ที่ไหน - เมทริกซ์หลักของระบบ - เมทริกซ์คอลัมน์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก - เมทริกซ์คอลัมน์ของเทอมอิสระ

หากเราเพิ่มเมทริกซ์-คอลัมน์ของเทอมอิสระให้กับเมทริกซ์ A เป็นคอลัมน์ที่ (n+1) เราจะได้สิ่งที่เรียกว่า เมทริกซ์ขยายระบบสมการเชิงเส้น โดยทั่วไปแล้วเมทริกซ์แบบขยายจะแสดงด้วยตัวอักษร T และคอลัมน์ของคำศัพท์อิสระจะถูกคั่นด้วยเส้นแนวตั้งจากคอลัมน์ที่เหลือนั่นคือ

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นเรียกว่าชุดค่าของตัวแปรที่ไม่รู้จักซึ่งเปลี่ยนสมการทั้งหมดของระบบให้เป็นอัตลักษณ์ สมการเมทริกซ์สำหรับค่าที่กำหนดของตัวแปรที่ไม่รู้จักก็จะกลายเป็นตัวตนด้วย

หากระบบสมการมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ ระบบจะเรียกมันว่า ข้อต่อ.

ถ้าระบบสมการไม่มีคำตอบก็จะถูกเรียก ไม่ใช่ข้อต่อ.

ถ้า SLAE มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ก็จะถูกเรียก แน่ใจ- หากมีมากกว่าหนึ่งวิธี ดังนั้น – ไม่แน่นอน.

ถ้าเงื่อนไขอิสระของสมการทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ จากนั้นระบบจะถูกเรียก เป็นเนื้อเดียวกัน, มิฉะนั้น - ต่างกัน.

การแก้ระบบเบื้องต้นของสมการพีชคณิตเชิงเส้น

หากจำนวนสมการของระบบเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักและดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักไม่เท่ากับศูนย์ SLAE ดังกล่าวจะถูกเรียก ระดับประถมศึกษา- ระบบสมการดังกล่าวมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัวและในกรณีนี้ ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันตัวแปรที่ไม่รู้จักทั้งหมดเป็นศูนย์

เราเริ่มศึกษา SLAE ดังกล่าวใน โรงเรียนมัธยมปลาย- เมื่อทำการแก้โจทย์ เราใช้สมการหนึ่ง แสดงตัวแปรที่ไม่รู้จักตัวหนึ่งในรูปของตัวแปรอื่นๆ แล้วแทนที่มันลงในสมการที่เหลือ จากนั้นจึงนำสมการถัดไป แสดงตัวแปรที่ไม่รู้จักตัวถัดไปแล้วแทนที่เป็นสมการอื่น เป็นต้น หรือใช้วิธีการบวก กล่าวคือ เพิ่มสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปเพื่อกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักบางตัว เราจะไม่เจาะลึกวิธีการเหล่านี้โดยละเอียด เนื่องจากโดยพื้นฐานแล้วเป็นวิธีการปรับเปลี่ยนวิธีเกาส์

วิธีการหลักในการแก้ระบบเบื้องต้นของสมการเชิงเส้นคือวิธีแครมเมอร์ วิธีเมทริกซ์ และวิธีเกาส์ มาจัดเรียงกันดีกว่า

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครเมอร์

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

โดยจำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่ทราบ และดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบแตกต่างจากศูนย์ กล่าวคือ

อนุญาต เป็นตัวกำหนดเมทริกซ์หลักของระบบ และ - ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้รับจาก A โดยการแทนที่ ที่ 1, 2, …, นคอลัมน์ตามลำดับไปยังคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ:

ด้วยสัญลักษณ์นี้ ตัวแปรที่ไม่รู้จักจะถูกคำนวณโดยใช้สูตรของวิธี Cramer เช่น - นี่คือวิธีการหาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีของแครมเมอร์

ตัวอย่าง.

วิธีการของแครมเมอร์ .

สารละลาย.

เมทริกซ์หลักของระบบมีรูปแบบ - มาคำนวณดีเทอร์มิแนนต์กัน (หากจำเป็น ดูบทความ):

เนื่องจากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบไม่เป็นศูนย์ ระบบจึงมีคำตอบเฉพาะที่สามารถพบได้โดยวิธีของแครมเมอร์

มาเขียนและคำนวณปัจจัยกำหนดที่จำเป็นกัน (เราได้รับดีเทอร์มิแนนต์โดยการแทนที่คอลัมน์แรกในเมทริกซ์ A ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ ดีเทอร์มิแนนต์โดยการแทนที่คอลัมน์ที่สองด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ และโดยการแทนที่คอลัมน์ที่สามของเมทริกซ์ A ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ) : :

การค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จักโดยใช้สูตร :

คำตอบ:

ข้อเสียเปรียบหลักของวิธีของแครมเมอร์ (หากเรียกได้ว่าเป็นข้อเสีย) คือความซับซ้อนในการคำนวณปัจจัยกำหนดเมื่อจำนวนสมการในระบบมากกว่าสาม

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์ (โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน)

ให้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นกำหนดไว้ในรูปแบบเมทริกซ์ โดยที่เมทริกซ์ A มีมิติ n คูณ n และดีเทอร์มิแนนต์ของมันคือไม่เป็นศูนย์

เนื่องจาก ดังนั้นเมทริกซ์ A จึงกลับด้านได้ นั่นคือ มีเมทริกซ์ผกผัน หากเราคูณทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันทางซ้าย เราจะได้สูตรสำหรับค้นหาคอลัมน์เมทริกซ์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก นี่คือวิธีที่เราได้คำตอบสำหรับระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีเมทริกซ์

สารละลาย.

ลองเขียนระบบสมการใหม่ในรูปแบบเมทริกซ์:

เพราะ

ดังนั้น SLAE สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีเมทริกซ์ การใช้เมทริกซ์ผกผันสามารถหาคำตอบของระบบนี้ได้ดังนี้ .

มาสร้างเมทริกซ์ผกผันโดยใช้เมทริกซ์จากการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบของเมทริกซ์ A (หากจำเป็น ดูบทความ):

ยังคงต้องคำนวณเมทริกซ์ของตัวแปรที่ไม่รู้จักโดยการคูณเมทริกซ์ผกผัน ไปยังคอลัมน์เมทริกซ์ของสมาชิกอิสระ (หากจำเป็น ดูบทความ):

คำตอบ:

หรือในรูปแบบอื่น x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1

ปัญหาหลักในการหาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์คือความซับซ้อนในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน โดยเฉพาะเมทริกซ์จัตุรัสที่มีลำดับสูงกว่าอันดับสาม

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์

สมมติว่าเราจำเป็นต้องค้นหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น n ตัวแปรที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ตัว
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักซึ่งแตกต่างจากศูนย์

สาระสำคัญของวิธีเกาส์ประกอบด้วยการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับ: ตัวแรก x 1 ถูกแยกออกจากสมการทั้งหมดของระบบ เริ่มจากตัวที่สอง จากนั้น x 2 ก็ถูกแยกออกจากสมการทั้งหมด เริ่มจากตัวที่สาม และต่อไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งเหลือเพียงตัวแปรที่ไม่รู้จัก x n เท่านั้น สมการสุดท้าย กระบวนการเปลี่ยนสมการของระบบเพื่อกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับนี้เรียกว่า วิธีเกาส์เซียนโดยตรง- หลังจากลากเส้นไปข้างหน้าของวิธีเกาส์เซียนเสร็จแล้ว จะพบ x n จากสมการสุดท้าย โดยใช้ค่านี้จากสมการสุดท้าย จากนั้นจึงคำนวณ x n-1 และต่อๆ ไป จะได้ x 1 จากสมการแรก กระบวนการคำนวณตัวแปรที่ไม่รู้จักเมื่อย้ายจากสมการสุดท้ายของระบบไปยังสมการแรกเรียกว่า ผกผันของวิธีเกาส์เซียน.

ให้เราอธิบายสั้น ๆ เกี่ยวกับอัลกอริทึมสำหรับการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก

เราจะถือว่า เนื่องจากเราสามารถบรรลุสิ่งนี้ได้เสมอโดยการจัดเรียงสมการของระบบใหม่ ลองกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 ออกจากสมการทั้งหมดของระบบ โดยเริ่มจากตัวที่สอง ในการดำเนินการนี้ เราบวกสมการแรก คูณด้วย สมการแรก คูณด้วย สมการที่สาม บวกสมการแรก คูณด้วย และอื่นๆ เข้ากับสมการที่ n บวกสมการแรก คูณด้วย ระบบสมการหลังจากการแปลงดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบ

ที่ไหนและ .

เราคงจะได้ผลลัพธ์เดียวกันถ้าเราแสดง x 1 ในรูปของตัวแปรที่ไม่รู้จักอื่นๆ ในสมการแรกของระบบ และแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการอื่นๆ ทั้งหมด ดังนั้นตัวแปร x 1 จึงไม่รวมอยู่ในสมการทั้งหมด โดยเริ่มจากสมการที่สอง

ต่อไปเราดำเนินการในลักษณะเดียวกัน แต่เพียงส่วนหนึ่งของระบบผลลัพธ์ซึ่งมีการทำเครื่องหมายไว้ในรูปเท่านั้น

ในการทำเช่นนี้ เราบวกสมการที่สองเข้ากับสมการที่สามของระบบ บวกสมการที่สองคูณด้วย เข้ากับสมการที่สี่ บวกสมการที่สอง คูณด้วย และต่อไปเรื่อยๆ เข้ากับสมการที่ n บวกสมการที่สอง คูณด้วย ระบบสมการหลังจากการแปลงดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบ

ที่ไหนและ - ดังนั้นตัวแปร x 2 จึงไม่รวมอยู่ในสมการทั้งหมด โดยเริ่มจากสมการที่สาม

ต่อไปเราดำเนินการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จัก x 3 และดำเนินการคล้ายกับส่วนของระบบที่ทำเครื่องหมายไว้ในรูป

ดังนั้นเราจึงดำเนินการก้าวหน้าโดยตรงของวิธีเกาส์เซียนต่อไปจนกระทั่งระบบเกิดรูปแบบ

จากนี้ไป เราจะเริ่มต้นการย้อนกลับของวิธีเกาส์เซียน: เราคำนวณ x n จากสมการสุดท้ายเป็น โดยใช้ค่าที่ได้รับของ x n เราจะหา x n-1 จากสมการสุดท้าย และต่อไป เราจะพบ x 1 จากสมการแรก .

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีเกาส์

สารละลาย.

ให้เราแยกตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 ออกจากสมการที่สองและสามของระบบ ในการทำเช่นนี้ เราได้บวกส่วนที่สอดคล้องกันของสมการแรกเข้ากับทั้งสองด้านของสมการที่สองและสาม คูณด้วยและด้วย ตามลำดับ:

ตอนนี้เรากำจัด x 2 ออกจากสมการที่สามโดยบวกไปทางซ้ายของสมการและ ด้านขวาด้านซ้ายและด้านขวาของสมการที่สอง คูณด้วย:

นี่เป็นการสิ้นสุดจังหวะไปข้างหน้าของวิธีเกาส์

จากสมการสุดท้ายของระบบสมการผลลัพธ์ที่เราพบ x 3:

จากสมการที่สองเราได้

จากสมการแรก เราจะพบตัวแปรที่ไม่ทราบค่าที่เหลืออยู่ และด้วยเหตุนี้จึงทำการย้อนกลับของวิธีเกาส์ให้สมบูรณ์

คำตอบ:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นแบบทั่วไป

โดยทั่วไป จำนวนสมการของระบบ p ไม่ตรงกับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก n:

SLAE ดังกล่าวอาจไม่มีวิธีแก้ปัญหา มีวิธีแก้ไขปัญหาเดียว หรือมีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน ข้อความนี้ยังใช้กับระบบสมการที่มีเมทริกซ์หลักเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและเอกพจน์ด้วย

ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี

ก่อนที่จะหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น จำเป็นต้องสร้างความเข้ากันได้ของระบบก่อน คำตอบสำหรับคำถามเมื่อ SLAE เข้ากันได้และเมื่อใดที่ไม่สอดคล้องกันจะได้รับจาก ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี:
เพื่อให้ระบบสมการ p ที่ไม่ทราบค่า n (p สามารถเท่ากับ n) มีความสอดคล้องกัน จำเป็นและเพียงพอที่อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบจะเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยาย นั่นคือ , อันดับ(A)=อันดับ(T)

ให้เราพิจารณาตัวอย่างการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลีเพื่อกำหนดความเข้ากันได้ของระบบสมการเชิงเส้น

ตัวอย่าง.

ค้นหาว่าระบบสมการเชิงเส้นมีหรือไม่ โซลูชั่น

สารละลาย.

- เรามาใช้วิธีการแบ่งเขตผู้เยาว์กันดีกว่า ผู้เยาว์ลำดับที่สอง แตกต่างจากศูนย์ ลองดูผู้เยาว์ลำดับที่สามที่อยู่ติดกับ:

เนื่องจากผู้เยาว์ที่มีขอบเขตทั้งหมดของลำดับที่สามมีค่าเท่ากับศูนย์ อันดับของเมทริกซ์หลักจึงเท่ากับสอง

ในทางกลับกัน อันดับของเมทริกซ์ขยาย เท่ากับสาม เนื่องจากผู้เยาว์อยู่ในลำดับที่สาม

แตกต่างจากศูนย์

ดังนั้น, รัง(A) ดังนั้น เมื่อใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี เราสามารถสรุปได้ว่าระบบสมการเชิงเส้นดั้งเดิมไม่สอดคล้องกัน

คำตอบ:

ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ดังนั้นเราจึงได้เรียนรู้ที่จะสร้างความไม่สอดคล้องกันของระบบโดยใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี

แต่จะหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับ SLAE ได้อย่างไรหากมีการสร้างความเข้ากันได้

ในการทำสิ่งนี้ เราจำเป็นต้องมีแนวคิดเรื่องพื้นฐานรองของเมทริกซ์และทฤษฎีบทเกี่ยวกับอันดับของเมทริกซ์

ส่วนน้อย ลำดับสูงสุดเรียกว่าเมทริกซ์ A แตกต่างจากศูนย์ ขั้นพื้นฐาน.

จากคำจำกัดความของฐานรอง จะตามมาว่าลำดับของมันเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ สำหรับเมทริกซ์ A ที่ไม่ใช่ศูนย์ อาจมีเมทริกซ์รองได้หลายตัวเสมอ

ตัวอย่างเช่น พิจารณาเมทริกซ์ .

ตัวรองอันดับสามทั้งหมดของเมทริกซ์นี้มีค่าเท่ากับศูนย์ เนื่องจากองค์ประกอบของแถวที่สามของเมทริกซ์นี้เป็นผลรวมขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวที่หนึ่งและแถวที่สอง

ผู้เยาว์ลำดับที่สองต่อไปนี้เป็นข้อมูลพื้นฐาน เนื่องจากไม่ใช่ศูนย์

ผู้เยาว์ ไม่ใช่พื้นฐาน เนื่องจากมีค่าเท่ากับศูนย์

ทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์

หากอันดับของเมทริกซ์ของลำดับ p คูณ n เท่ากับ r ดังนั้น องค์ประกอบแถว (และคอลัมน์) ทั้งหมดของเมทริกซ์ที่ไม่ได้สร้างพื้นฐานรองที่เลือกจะถูกแสดงเชิงเส้นตรงในแง่ขององค์ประกอบแถว (และคอลัมน์) ที่สอดคล้องกันที่สร้าง พื้นฐานรอง

ทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์บอกอะไรเรา

ตามทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี หากเราได้กำหนดความเข้ากันได้ของระบบแล้ว เราจะเลือกพื้นฐานรองใดๆ ของเมทริกซ์หลักของระบบ (ลำดับของมันเท่ากับ r) และแยกสมการทั้งหมดที่ทำ ไม่ถือเป็นเกณฑ์รองที่เลือก SLAE ที่ได้รับในลักษณะนี้จะเทียบเท่ากับสมการดั้งเดิม เนื่องจากสมการที่ถูกละทิ้งยังคงซ้ำซ้อน (ตามทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์ พวกมันคือผลรวมเชิงเส้นของสมการที่เหลือ)

เป็นผลให้หลังจากละทิ้งสมการที่ไม่จำเป็นของระบบไปแล้ว จะเป็นไปได้สองกรณี

ถ้าจำนวนสมการ r ในระบบผลลัพธ์เท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก มันจะแน่นอนและสามารถหาคำตอบได้เพียงวิธีเดียวโดยวิธีแครมเมอร์ วิธีเมทริกซ์ หรือวิธีเกาส์

ตัวอย่าง.

.

สารละลาย.

อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบ มีค่าเท่ากับสอง เนื่องจากผู้เยาว์อยู่ในลำดับที่สอง แตกต่างจากศูนย์ อันดับเมทริกซ์แบบขยาย ก็เท่ากับสองเช่นกัน เนื่องจากรองอันดับสามเพียงอันดับสามเท่านั้นที่เป็นศูนย์

และผู้เยาว์ลำดับที่สองที่พิจารณาข้างต้นแตกต่างจากศูนย์ จากทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี เราสามารถยืนยันความเข้ากันได้ของระบบสมการเชิงเส้นดั้งเดิมได้ เนื่องจากอันดับ(A)=อันดับ(T)=2

เราใช้พื้นฐานรอง - มันถูกสร้างขึ้นโดยค่าสัมประสิทธิ์ของสมการที่หนึ่งและที่สอง:


สมการที่สามของระบบไม่ได้มีส่วนร่วมในการสร้างฐานรอง ดังนั้นเราจึงแยกมันออกจากระบบตามทฤษฎีบทอันดับของเมทริกซ์:


นี่คือวิธีที่เราได้รับระบบเบื้องต้นของสมการพีชคณิตเชิงเส้น เรามาแก้มันโดยใช้วิธีของ Cramer:


คำตอบ:

x 1 = 1, x 2 = 2

ถ้าจำนวนสมการ r ในผลลัพธ์ SLAE จำนวนน้อยลงตัวแปรที่ไม่รู้จัก n จากนั้นทางด้านซ้ายของสมการเราจะทิ้งเงื่อนไขที่เป็นฐานรองไว้และเราถ่ายโอนเงื่อนไขที่เหลือไปทางด้านขวาของสมการของระบบที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม

เรียกว่าตัวแปรที่ไม่รู้จัก (r ในจำนวนนั้น) ที่เหลืออยู่ทางด้านซ้ายของสมการ หลัก.

ตัวแปรที่ไม่รู้จัก (มี n - r ชิ้น) ที่อยู่ทางด้านขวาเรียกว่า ฟรี.

ตอนนี้เราเชื่อว่าตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระสามารถรับค่าที่กำหนดเองได้ ในขณะที่ตัวแปรที่ไม่รู้จักหลัก r จะถูกแสดงผ่านตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระในลักษณะเฉพาะ นิพจน์เหล่านี้สามารถพบได้โดยการแก้ค่า SLAE ที่เป็นผลลัพธ์โดยใช้วิธี Cramer, วิธีเมทริกซ์ หรือวิธี Gauss

ลองดูด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น .

สารละลาย.

ลองหาอันดับของเมทริกซ์หลักของระบบกัน โดยวิธีการกั้นเขตผู้เยาว์ สมมติว่า 1 1 = 1 เป็นจำนวนรองที่ไม่เป็นศูนย์ของลำดับแรก มาเริ่มค้นหาผู้เยาว์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของลำดับที่สองที่อยู่ติดกับผู้เยาว์นี้:


นี่คือวิธีที่เราพบค่ารองที่ไม่เป็นศูนย์ของลำดับที่สอง มาเริ่มค้นหารองลำดับที่สามที่ไม่เป็นศูนย์:


ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์หลักคือสาม อันดับของเมทริกซ์แบบขยายก็เท่ากับสามเช่นกันนั่นคือระบบมีความสอดคล้องกัน

เรานำอันดับรองที่ไม่เป็นศูนย์ของลำดับที่สามที่พบมาเป็นฐาน

เพื่อความชัดเจน เราจะแสดงองค์ประกอบที่เป็นพื้นฐานรอง:


เราทิ้งเงื่อนไขที่เกี่ยวข้องกับพื้นฐานรองไว้ทางด้านซ้ายของสมการระบบ และโอนส่วนที่เหลือที่มีเครื่องหมายตรงข้ามไปทางด้านขวา:


ให้ค่าตัวแปรที่ไม่รู้จักฟรี x 2 และ x 5 กันนั่นคือเรายอมรับ , ที่ไหนเป็นตัวเลขที่กำหนดเอง ในกรณีนี้ SLAE จะอยู่ในรูปแบบ


ให้เราแก้ระบบประถมศึกษาผลลัพธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีของแครมเมอร์:


เพราะฉะนั้น, .

ในคำตอบของคุณ อย่าลืมระบุตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระ

คำตอบ:

ตัวเลขที่กำหนดเองอยู่ที่ไหน

มาสรุปกัน

ในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นทั่วไป ก่อนอื่นเราต้องพิจารณาความเข้ากันได้ของระบบโดยใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี หากอันดับของเมทริกซ์หลักไม่เท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยายแล้วเราจะสรุปได้ว่าระบบเข้ากันไม่ได้

หากอันดับของเมทริกซ์หลักเท่ากับอันดับของเมทริกซ์แบบขยายเราจะเลือกฐานรองและละทิ้งสมการของระบบที่ไม่มีส่วนร่วมในการก่อตัวของฐานรองที่เลือก

ถ้าลำดับของฐานรองเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก SLAE ก็มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ซึ่งสามารถพบได้โดยวิธีการใดๆ ก็ตามที่เรารู้จัก

หากลำดับของฐานรองน้อยกว่าจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักจากนั้นทางด้านซ้ายของสมการของระบบเราจะปล่อยเงื่อนไขไว้กับตัวแปรที่ไม่รู้จักหลักโอนเงื่อนไขที่เหลือไปทางด้านขวาและให้ค่าตามอำเภอใจ ตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระ จากระบบผลลัพธ์ของสมการเชิงเส้น เราค้นหาตัวแปรหลักที่ไม่รู้จักโดยใช้วิธีแครเมอร์ วิธีเมทริกซ์ หรือวิธีเกาส์

วิธีเกาส์สำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นรูปแบบทั่วไป

วิธีเกาส์สามารถใช้เพื่อแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นใดๆ ก็ตาม โดยไม่ต้องทดสอบความสอดคล้องของระบบก่อน กระบวนการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับทำให้สามารถสรุปเกี่ยวกับทั้งความเข้ากันได้และความไม่เข้ากันของ SLAE และหากมีวิธีแก้ไข ก็จะทำให้สามารถค้นหาได้

จากมุมมองทางการคำนวณ ควรใช้วิธีเกาส์เซียนมากกว่า

ดูมัน คำอธิบายโดยละเอียดและวิเคราะห์ตัวอย่างในบทความเรื่องวิธีเกาส์สำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นแบบทั่วไป

การเขียนคำตอบทั่วไปของระบบพีชคณิตเชิงเส้นแบบเอกพันธ์และแบบไม่เอกพันธ์โดยใช้เวกเตอร์ของระบบพื้นฐานของคำตอบ

ในส่วนนี้ เราจะพูดถึงระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันพร้อมกันซึ่งมีคำตอบจำนวนอนันต์

ให้เราจัดการกับระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันก่อน

ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น p ที่ไม่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักคือชุดของคำตอบอิสระเชิงเส้น (n – r) ของระบบนี้ โดยที่ r คือลำดับของฐานรองของเมทริกซ์หลักของระบบ

หากเราแสดงว่าคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นของ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันเป็น X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) เป็นคอลัมน์ เมทริกซ์ของมิติ n คูณ 1) จากนั้นคำตอบทั่วไปของระบบเอกพันธ์นี้จะแสดงเป็นการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ของระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ตามอำเภอใจ C 1, C 2, ..., C (n-r) นั้น เป็น, .

คำว่าคำตอบทั่วไปของระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น (ออโรสเลา) หมายถึงอะไร

ความหมายนั้นง่าย: สูตรระบุวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ SLAE ดั้งเดิมหรืออีกนัยหนึ่งคือรับชุดค่าใด ๆ ของค่าคงที่ตามอำเภอใจ C 1, C 2, ... , C (n-r) โดยใช้สูตรที่เราจะ รับหนึ่งในวิธีแก้ปัญหาของ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันดั้งเดิม

ดังนั้น หากเราพบระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา เราก็สามารถกำหนดคำตอบทั้งหมดของ SLAE เอกพันธ์นี้ได้เป็น

ให้เราแสดงกระบวนการสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาสำหรับ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกัน

เราเลือกฐานรองของระบบดั้งเดิมของสมการเชิงเส้น แยกสมการอื่นๆ ทั้งหมดออกจากระบบ และโอนพจน์ทั้งหมดที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระไปทางด้านขวามือของสมการของระบบที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม มาแจกสิ่งไม่รู้ฟรีกันเถอะ ค่าตัวแปร 1,0,0,…,0 และคำนวณค่าไม่ทราบหลักโดยการแก้ระบบมูลฐานของสมการเชิงเส้นที่เป็นผลลัพธ์ด้วยวิธีใดก็ตาม เช่น โดยใช้วิธี Cramer ซึ่งจะส่งผลให้ X (1) - คำตอบแรกของระบบพื้นฐาน หากเราให้ค่าที่ไม่รู้จักฟรีแก่ค่า 0,1,0,0,…,0 และคำนวณค่าที่ไม่รู้จักหลัก เราจะได้ X (2) และอื่นๆ หากเรากำหนดค่า 0.0,…,0.1 ให้กับตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระและคำนวณค่าที่ไม่รู้จักหลัก เราจะได้ X (n-r) . ด้วยวิธีนี้ ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาสำหรับ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันจะถูกสร้างขึ้น และสามารถเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปได้ในรูปแบบ

สำหรับระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการพีชคณิตเชิงเส้น วิธีการแก้ปัญหาทั่วไปจะแสดงอยู่ในรูปแบบ โดยที่ คือคำตอบทั่วไปของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันที่สอดคล้องกัน และเป็นคำตอบเฉพาะของ SLAE ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันดั้งเดิม ซึ่งเราได้รับจากการให้ค่าที่ไม่ทราบค่าอิสระ ​0,0,…,0 และการคำนวณค่าของไม่ทราบหลัก

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ค้นหาระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและคำตอบทั่วไปของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน .

สารละลาย.

อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้นจะเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยายเสมอ เรามาค้นหาอันดับของเมทริกซ์หลักโดยใช้วิธีกำหนดขอบเขตรอง เนื่องจากไม่ใช่ศูนย์รองของลำดับแรก เราจะหาองค์ประกอบ 1 1 = 9 ของเมทริกซ์หลักของระบบ เรามาค้นหาขอบเขตรองที่ไม่ใช่ศูนย์ของลำดับที่สองกันดีกว่า:

พบลำดับรองรองซึ่งแตกต่างจากศูนย์ มาดูผู้เยาว์ลำดับที่สามที่อยู่ติดกับมันเพื่อค้นหาสิ่งที่ไม่ใช่ศูนย์:

ผู้เยาว์ที่มีขอบลำดับที่สามทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์หลักและเมทริกซ์ขยายจะเท่ากับสอง เอาล่ะ เพื่อความชัดเจน ให้เราสังเกตองค์ประกอบของระบบที่ประกอบขึ้นเป็น:

สมการที่สามของ SLAE ดั้งเดิมไม่ได้มีส่วนร่วมในการสร้างฐานรอง ดังนั้นจึงสามารถแยกออกได้:

เราทิ้งคำศัพท์ที่มีสิ่งที่ไม่รู้หลักไว้ทางด้านขวาของสมการ และโอนคำศัพท์ที่มีสิ่งที่ไม่รู้ฟรีไปทางด้านขวา:

ให้เราสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์ดั้งเดิม ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาของ SLAE นี้ประกอบด้วยสองวิธีแก้ปัญหา เนื่องจาก SLAE ดั้งเดิมมีตัวแปรที่ไม่รู้จักสี่ตัวแปร และลำดับของรองพื้นฐานจะเท่ากับสอง ในการค้นหา X (1) เราให้ค่าตัวแปรที่ไม่รู้จักฟรี x 2 = 1, x 4 = 0 จากนั้นเราจะค้นหาตัวแปรหลักจากระบบสมการ
.