ตัวคูณร่วมมากและมีน้อย วิธีการหาตัวคูณร่วมน้อย นก - นี่ และคำอธิบายทั้งหมด

เด็กนักเรียนได้รับมอบหมายงานมากมายในวิชาคณิตศาสตร์ ในหมู่พวกเขามักมีปัญหากับสูตรต่อไปนี้: มีสองความหมาย จะหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขที่กำหนดได้อย่างไร? มีความจำเป็นต้องสามารถทำงานดังกล่าวได้เนื่องจากทักษะที่ได้รับจะถูกนำมาใช้เพื่อทำงานกับเศษส่วนเมื่อใด ตัวส่วนที่แตกต่างกัน- ในบทความนี้ เราจะดูวิธีค้นหา LOC และแนวคิดพื้นฐาน

ก่อนที่จะค้นหาคำตอบสำหรับคำถามว่าจะหา LCM ได้อย่างไร คุณต้องนิยามคำว่าพหุคูณเสียก่อน- บ่อยครั้งที่การกำหนดแนวคิดนี้ฟังดูดังนี้: การคูณของค่า A ที่แน่นอนเรียกว่าเช่นนี้ จำนวนธรรมชาติซึ่งจะหารด้วย A ลงตัวโดยไม่มีเศษ ดังนั้น สำหรับ 4 ผลคูณจะเป็น 8, 12, 16, 20 ไปเรื่อยๆ จนถึงขีดจำกัดที่กำหนด

ในกรณีนี้ คุณสามารถจำกัดจำนวนตัวหารสำหรับค่าใดค่าหนึ่งได้ แต่ตัวคูณจะมีจำนวนไม่สิ้นสุด คุณค่าทางธรรมชาติก็มีคุณค่าเช่นเดียวกัน นี่คือตัวบ่งชี้ที่ถูกแบ่งออกเป็นพวกมันโดยไม่มีเศษเหลือ เมื่อเข้าใจแนวคิดเรื่องค่าที่น้อยที่สุดสำหรับตัวบ่งชี้บางตัวแล้ว มาดูวิธีค้นหากันดีกว่า

การค้นหา NOC

ผลคูณน้อยที่สุดของเลขชี้กำลังตั้งแต่สองตัวขึ้นไปคือจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่สามารถหารด้วยจำนวนที่ระบุทั้งหมดได้ลงตัว

มีหลายวิธีในการค้นหาค่าดังกล่าว, พิจารณา วิธีการดังต่อไปนี้:

1. ถ้าตัวเลขน้อย ให้เขียนเส้นที่หารด้วยทั้งหมดลงไป ทำสิ่งนี้ต่อไปจนกว่าคุณจะพบสิ่งที่เหมือนกัน ในการเขียนจะแสดงด้วยตัวอักษร K ตัวอย่างเช่นสำหรับ 4 และ 3 ผลคูณที่น้อยที่สุดคือ 12
2. หากค่าเหล่านี้มีขนาดใหญ่หรือคุณจำเป็นต้องค้นหาค่าพหุคูณของ 3 ค่าขึ้นไป คุณควรใช้เทคนิคอื่นที่เกี่ยวข้องกับการแยกตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ ขั้นแรก ให้จัดวางรายการที่ใหญ่ที่สุด จากนั้นจึงจัดวางรายการอื่นๆ ทั้งหมด แต่ละคนมีจำนวนตัวคูณของตัวเอง ตามตัวอย่าง แจกแจง 20 (2*2*5) และ 50 (5*5*2) สำหรับปัจจัยที่เล็กกว่า ให้ขีดเส้นใต้ปัจจัยและเพิ่มเข้าไปในปัจจัยที่ใหญ่ที่สุด ผลลัพธ์จะเป็น 100 ซึ่งจะเป็นตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขข้างต้น
3. เมื่อหาเลข 3 ตัว (16, 24 และ 36) หลักการจะเหมือนกันกับอีกสองตัว ลองขยายแต่ละอัน: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3 มีเพียงสองสองจากการขยายตัวของหมายเลข 16 เท่านั้นที่ไม่รวมอยู่ในการขยายที่ใหญ่ที่สุด เราบวกพวกมันและรับ 144 ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่เล็กที่สุดสำหรับค่าตัวเลขที่ระบุก่อนหน้านี้

ตอนนี้เรารู้แล้วว่าเทคนิคทั่วไปในการค้นหาค่าที่น้อยที่สุดสำหรับค่าสอง สามค่าขึ้นไปคืออะไร อย่างไรก็ตาม ยังมีวิธีการส่วนตัวอีกด้วยช่วยค้นหา NOC หากอันก่อนหน้าไม่ช่วย

วิธีค้นหา GCD และ NOC

วิธีการหาแบบส่วนตัว

เช่นเดียวกับส่วนทางคณิตศาสตร์อื่นๆ มีกรณีพิเศษในการค้นหา LCM ที่ช่วยในสถานการณ์เฉพาะ:

• หากตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งหารด้วยตัวอื่น ๆ ลงตัวโดยไม่มีเศษ ผลคูณต่ำสุดของตัวเลขเหล่านี้จะเท่ากับตัวเลขนั้น (LCM ของ 60 และ 15 คือ 15)
• ร่วมกัน หมายเลขเฉพาะไม่มีตัวประกอบเฉพาะร่วม ค่าที่น้อยที่สุดจะเท่ากับผลคูณของตัวเลขเหล่านี้ ดังนั้นสำหรับหมายเลข 7 และ 8 จะเป็น 56
• กฎเดียวกันนี้ใช้ได้กับกรณีอื่น ๆ รวมถึงกรณีพิเศษซึ่งสามารถอ่านได้ในวรรณกรรมเฉพาะทาง นอกจากนี้ยังควรรวมกรณีการแยกย่อยจำนวนประกอบซึ่งเป็นหัวข้อของแต่ละบทความและแม้แต่วิทยานิพนธ์ของผู้สมัครด้วย

กรณีพิเศษพบได้น้อยกว่า ตัวอย่างมาตรฐาน- แต่ต้องขอบคุณพวกเขา คุณสามารถเรียนรู้การทำงานกับเศษส่วนที่มีระดับความซับซ้อนต่างกันออกไปได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับเศษส่วนโดยมีตัวส่วนไม่เท่ากัน

ตัวอย่างบางส่วน

ลองดูตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ ที่จะช่วยให้คุณเข้าใจหลักการค้นหาตัวคูณที่น้อยที่สุด:

1. ค้นหา LOC (35; 40) ก่อนอื่นเราแยกย่อย 35 = 5*7 จากนั้น 40 = 5*8 เพิ่ม 8 เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดและรับ LOC 280
2. นโอซี (45; 54) เราแยกย่อยแต่ละรายการ: 45 = 3*3*5 และ 54 = 3*3*6 เราบวกเลข 6 ถึง 45 เราได้ LCM เท่ากับ 270
3. ดี ตัวอย่างสุดท้าย- มี 5 และ 4 ไม่มีตัวคูณเฉพาะ ดังนั้นตัวคูณร่วมน้อยในกรณีนี้คือผลคูณของตัวคูณ เท่ากับ 20

จากตัวอย่างคุณสามารถเข้าใจได้ว่า NOC ตั้งอยู่อย่างไร ความแตกต่างคืออะไร และความหมายของการยักย้ายดังกล่าวคืออะไร

การค้นหา NOC นั้นง่ายกว่าที่คิดไว้มาก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จะใช้ทั้งการขยายและการคูณอย่างง่าย ค่าง่ายๆอยู่ด้านบนของกันและกัน- ความสามารถในการทำงานกับคณิตศาสตร์ส่วนนี้จะช่วยในการศึกษาหัวข้อทางคณิตศาสตร์เพิ่มเติม โดยเฉพาะเศษส่วนที่มีระดับความซับซ้อนต่างกัน

อย่าลืมแก้ตัวอย่างเป็นระยะ วิธีการต่างๆสิ่งนี้จะพัฒนาเครื่องมือเชิงตรรกะและช่วยให้คุณจำคำศัพท์ได้มากมาย เรียนรู้วิธีค้นหาเลขยกกำลังแล้วคุณจะสามารถทำได้ดีในส่วนอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ มีความสุขในการเรียนคณิตศาสตร์!

วีดีโอ

วิดีโอนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจและจดจำวิธีหาตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุด

ใหญ่ที่สุด ตัวหารร่วมและตัวคูณร่วมน้อยคือแนวคิดหลักทางคณิตศาสตร์ที่ช่วยให้คุณดำเนินการได้อย่างง่ายดาย เศษส่วนสามัญ- LCM และมักใช้เพื่อค้นหาตัวส่วนร่วมของเศษส่วนหลายตัว

แนวคิดพื้นฐาน

ตัวหารของจำนวนเต็ม X คือจำนวนเต็ม Y อีกจำนวนหนึ่ง โดยที่ X หารกันโดยไม่เหลือเศษ ตัวอย่างเช่น ตัวหารของ 4 คือ 2 และ 36 คือ 4, 6, 9 ผลคูณของจำนวนเต็ม X คือตัวเลข Y ที่หารด้วย X ลงตัวโดยไม่มีเศษ ตัวอย่างเช่น 3 เป็นผลคูณของ 15 และ 6 เป็นผลคูณของ 12

สำหรับคู่ตัวเลขใดๆ เราสามารถหาตัวหารร่วมและตัวคูณได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับ 6 และ 9 ตัวคูณร่วมคือ 18 และตัวหารร่วมคือ 3 แน่นอนว่าคู่สามารถมีตัวหารและตัวคูณได้หลายตัว ดังนั้นการคำนวณจึงใช้ GCD ตัวหารที่ใหญ่ที่สุดและ LCM ตัวคูณที่เล็กที่สุด

ตัวหารที่น้อยที่สุดนั้นไม่มีความหมาย เนื่องจากสำหรับจำนวนใดๆ ก็ตามจะเป็นหนึ่งเสมอ ผลคูณที่ยิ่งใหญ่ที่สุดก็ไม่มีความหมายเช่นกัน เนื่องจากลำดับของผลคูณไปจนถึงค่าอนันต์

กำลังค้นหา gcd

มีหลายวิธีในการค้นหาตัวหารร่วมมาก วิธีที่มีชื่อเสียงที่สุดคือ:

• การค้นหาตัวหารตามลำดับ การเลือกตัวร่วมสำหรับคู่ และค้นหาตัวที่ใหญ่ที่สุด
• การสลายตัวของตัวเลขเป็นปัจจัยที่แบ่งแยกไม่ได้
• อัลกอริธึมแบบยุคลิด;
• อัลกอริธึมไบนารี

วันนี้ที่ สถาบันการศึกษาวิธีที่นิยมมากที่สุดคือวิธีการแยกตัวประกอบเฉพาะและอัลกอริทึมแบบยุคลิด ในทางกลับกันจะใช้เมื่อแก้สมการไดโอแฟนไทน์: จำเป็นต้องค้นหา GCD เพื่อตรวจสอบสมการเพื่อหาความเป็นไปได้ในการแก้ไขเป็นจำนวนเต็ม

การค้นหา NOC

ตัวคูณร่วมน้อยยังถูกกำหนดโดยการค้นหาตามลำดับหรือการแยกย่อยออกเป็นปัจจัยที่แบ่งแยกไม่ได้ นอกจากนี้ยังง่ายต่อการค้นหา LCM หากมีตัวหารที่ยิ่งใหญ่ที่สุดถูกกำหนดไว้แล้ว สำหรับตัวเลข X และ Y นั้น LCM และ GCD มีความสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

จอแอลซีดี(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y)

ตัวอย่างเช่น ถ้า GCM(15,18) = 3 แล้ว LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90 ตัวอย่างที่ชัดเจนที่สุดของการใช้ LCM คือการหาตัวส่วนร่วมซึ่งเป็นตัวคูณร่วมน้อยของ เศษส่วนที่กำหนด

ตัวเลขโคไพรม์

ถ้าคู่ของตัวเลขไม่มีตัวหารร่วมกัน คู่ดังกล่าวจะเรียกว่าโคไพรม์ gcd สำหรับคู่ดังกล่าวจะเท่ากับ 1 เสมอ และขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่างตัวหารและตัวคูณ gcd สำหรับคู่โคไพรม์จะเท่ากับผลคูณของตัวหาร ตัวอย่างเช่น จำนวน 25 และ 28 ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ เนื่องจากไม่มีตัวหารร่วม และ LCM(25, 28) = 700 ซึ่งสอดคล้องกับผลคูณของจำนวนนั้น จำนวนที่แบ่งแยกไม่ได้สองตัวใดๆ จะเป็นจำนวนเฉพาะเสมอ

ตัวหารร่วมและเครื่องคิดเลขหลายตัว

การใช้เครื่องคิดเลขของเราทำให้คุณสามารถคำนวณ GCD และ LCM เพื่อให้ได้ตัวเลขต่างๆ ให้เลือก งานในการคำนวณตัวหารร่วมและตัวคูณพบได้ในวิชาเลขคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 และ 6 แต่ GCD และ LCM เป็นแนวคิดหลักในคณิตศาสตร์ และใช้ในทฤษฎีจำนวน ระนาบ และพีชคณิตเชิงการสื่อสาร

ตัวอย่างชีวิตจริง

ตัวส่วนร่วมของเศษส่วน

ตัวคูณร่วมน้อยใช้ในการค้นหาตัวส่วนร่วมของเศษส่วนหลายตัว สมมติว่าในโจทย์เลขคณิตคุณต้องรวมเศษส่วน 5 ตัว:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

ในการบวกเศษส่วน นิพจน์ต้องถูกลดให้เป็นตัวส่วนร่วม ซึ่งจะช่วยลดปัญหาในการหา LCM เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เลือกตัวเลข 5 ตัวในเครื่องคิดเลขและป้อนค่าของตัวส่วนในเซลล์ที่เหมาะสม โปรแกรมจะคำนวณ LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360 ตอนนี้คุณต้องคำนวณตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับแต่ละเศษส่วนซึ่งกำหนดเป็นอัตราส่วนของ LCM ต่อตัวส่วน ดังนั้นตัวคูณเพิ่มเติมจะมีลักษณะดังนี้:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

หลังจากนั้น เราคูณเศษส่วนทั้งหมดด้วยตัวประกอบเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องแล้วได้:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

เราสามารถรวมเศษส่วนดังกล่าวได้อย่างง่ายดายแล้วได้ผลลัพธ์เป็น 159/360 เราลดเศษส่วนลง 3 และดูคำตอบสุดท้าย - 53/120

การแก้สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น

สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นคือนิพจน์ในรูปแบบ ax + by = d ถ้าอัตราส่วน d / gcd(a, b) เป็นจำนวนเต็ม สมการก็จะแก้ได้ในจำนวนเต็ม ลองตรวจสอบสมการสองสามสมการเพื่อดูว่าสมการเหล่านี้มีค่าเฉลยเป็นจำนวนเต็มหรือไม่ ก่อนอื่น ลองตรวจสอบสมการ 150x + 8y = 37 เมื่อใช้เครื่องคิดเลข เราจะพบว่า GCD (150.8) = 2 หาร 37/2 = 18.5 ตัวเลขไม่ใช่จำนวนเต็ม ดังนั้นสมการจึงไม่มีรากของจำนวนเต็ม

ลองตรวจสอบสมการ 1320x + 1760y = 10120 ใช้เครื่องคิดเลขหา GCD(1320, 1760) = 440 หาร 10120/440 = 23 ผลลัพธ์ที่ได้คือจำนวนเต็ม ดังนั้น สมการไดโอแฟนไทน์จึงแก้ได้ด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม .

บทสรุป

GCD และ LCM มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีจำนวน และแนวความคิดเองก็มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในสาขาคณิตศาสตร์ที่หลากหลาย ใช้เครื่องคิดเลขของเราในการคำนวณ ตัวหารที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและผลคูณน้อยที่สุดของจำนวนใดๆ

หมายเลขที่สอง: ข=

ตัวคั่นหลักพันไม่มีตัวคั่นช่องว่าง "´

ผลลัพธ์:

ตัวหารร่วมมาก gcd( ก,ข)=6

ตัวคูณร่วมน้อยของ LCM( ก,ข)=468

เรียกว่า จำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถหารด้วยจำนวน a และ b โดยไม่มีเศษเหลือ ตัวหารร่วมมาก(GCD) ของตัวเลขเหล่านี้ เขียนแทนด้วย gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) หรือ hcf(a,b)

ตัวคูณร่วมน้อย LCM ของจำนวนเต็มสองตัว a และ b คือจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่หารด้วย a และ b ลงตัวโดยไม่มีเศษ แสดงว่า LCM(a,b) หรือ lcm(a,b)

เรียกจำนวนเต็ม a และ b สำคัญซึ่งกันและกันถ้าไม่มีตัวหารร่วมกันนอกจาก +1 และ −1

ตัวหารร่วมมาก

ให้สองอันเลย ตัวเลขบวก ก 1 และ ก 2 1) จำเป็นต้องค้นหาตัวหารร่วมของตัวเลขเหล่านี้ เช่น หาตัวเลขดังกล่าว λ ซึ่งแบ่งตัวเลข ก 1 และ ก 2 ในเวลาเดียวกัน มาอธิบายอัลกอริทึมกัน

1) ในบทความนี้ เราจะเข้าใจว่าคำว่า number เป็นจำนวนเต็ม

อนุญาต ก 1 ≥ ก 2 และปล่อยให้

ที่ไหน ม 1 , ก 3 เป็นจำนวนเต็มบางตัว ก 3 <ก 2 (ส่วนที่เหลือของดิวิชั่น ก 1 ต่อ ก 2 ควรน้อยกว่านี้ ก 2).

สมมุติว่า λ แบ่ง ก 1 และ ก 2 แล้ว λ แบ่ง ม 1 ก 2 และ λ แบ่ง ก 1 −ม 1 ก 2 =ก 3 (ข้อความที่ 2 ของบทความ “การหารของตัวเลข การทดสอบการหารลงตัว”) ตามมาด้วยตัวหารร่วมทุกตัว ก 1 และ ก 2 คือตัวหารร่วม ก 2 และ ก 3. สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกันหาก λ ตัวหารร่วม ก 2 และ ก 3 แล้ว ม 1 ก 2 และ ก 1 =ม 1 ก 2 +ก 3 ก็หารด้วย λ - ดังนั้นตัวหารร่วม ก 2 และ ก 3 เป็นตัวหารร่วมด้วย ก 1 และ ก 2. เพราะ ก 3 <ก 2 ≤ก 1 แล้วเราก็บอกได้ว่าคำตอบของโจทย์การหาตัวหารร่วมของตัวเลข ก 1 และ ก 2 ลดเหลือเป็นปัญหาที่ง่ายกว่าในการหาตัวหารร่วมของตัวเลข ก 2 และ ก 3 .

ถ้า ก 3 ≠0 เราก็หารได้ ก 2 บน ก 3. แล้ว

,

ที่ไหน ม 1 และ ก 4 เป็นจำนวนเต็มบางตัว ( กเหลืออีก 4 นัดจากดิวิชั่น ก 2 บน ก 3 (ก 4 <ก 3)). ด้วยเหตุผลเดียวกัน เราก็ได้ข้อสรุปว่าตัวหารร่วมของตัวเลข ก 3 และ ก 4 เกิดขึ้นพร้อมกับตัวหารร่วมของตัวเลข ก 2 และ ก 3 และยังมีตัวหารร่วมด้วย ก 1 และ ก 2. เพราะ ก 1 , ก 2 , ก 3 , ก 4, ... คือจำนวนที่ลดลงอย่างต่อเนื่อง และเนื่องจากมีจำนวนเต็มระหว่างจำนวนจำกัด ก 2 และ 0 จากนั้นในบางขั้นตอน n, ส่วนที่เหลือของการแบ่ง กไม่มี ก n+1 จะเท่ากับศูนย์ ( ก n+2 =0)

.

ตัวหารร่วมทุกตัว λ ตัวเลข ก 1 และ ก 2 เป็นตัวหารของตัวเลขด้วย ก 2 และ ก 3 , ก 3 และ ก 4 , .... กและ ก n+1 . บทสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน นั่นคือตัวหารร่วมของตัวเลข กและ ก n+1 ก็เป็นตัวหารของตัวเลขเช่นกัน ก n−1 และ กไม่ , .... , ก 2 และ ก 3 , ก 1 และ ก 2. แต่ตัวหารร่วมของตัวเลข กและ ก n+1 คือตัวเลข ก n+1 เพราะ กและ ก n+1 หารด้วย ก n+1 (จำไว้ว่า ก n+2 =0) เพราะฉะนั้น ก n+1 ก็เป็นตัวหารของตัวเลขเช่นกัน ก 1 และ ก 2 .

โปรดทราบว่าหมายเลข ก n+1 เป็นตัวหารที่มากที่สุดของตัวเลข กและ ก n+1 เนื่องจากตัวหารที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ก n+1 คือตัวมันเอง ก n+1 . ถ้า ก n+1 สามารถแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเต็มได้ จากนั้นตัวเลขเหล่านี้ก็เป็นตัวหารร่วมของตัวเลขเช่นกัน ก 1 และ ก 2. ตัวเลข กเรียกว่า n+1 ตัวหารร่วมมากตัวเลข ก 1 และ ก 2 .

ตัวเลข ก 1 และ ก 2 อาจเป็นจำนวนบวกหรือลบก็ได้ ถ้าตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวหารร่วมมากของตัวเลขเหล่านี้จะเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของอีกจำนวนหนึ่ง ตัวหารร่วมมากที่สุดของจำนวนศูนย์นั้นไม่ได้ถูกกำหนดไว้

อัลกอริทึมข้างต้นเรียกว่า อัลกอริทึมแบบยุคลิดเพื่อหาตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองตัว

ตัวอย่างการหาตัวหารร่วมมากของตัวเลขสองตัว

ค้นหาตัวหารร่วมมากของตัวเลขสองตัว 630 และ 434

• ขั้นตอนที่ 1 หารตัวเลข 630 ด้วย 434 ส่วนที่เหลือคือ 196
• ขั้นตอนที่ 2 หารตัวเลข 434 ด้วย 196 ส่วนที่เหลือคือ 42
• ขั้นตอนที่ 3 หารตัวเลข 196 ด้วย 42 ส่วนที่เหลือคือ 28
• ขั้นตอนที่ 4 หารตัวเลข 42 ด้วย 28 ส่วนที่เหลือคือ 14
• ขั้นตอนที่ 5 หารตัวเลข 28 ด้วย 14 ส่วนที่เหลือคือ 0

ในขั้นตอนที่ 5 ส่วนที่เหลือของการหารคือ 0 ดังนั้น ตัวหารร่วมมากของตัวเลข 630 และ 434 จึงเป็น 14 โปรดทราบว่าตัวเลข 2 และ 7 ก็เป็นตัวหารของตัวเลข 630 และ 434 เช่นกัน

ตัวเลขโคไพรม์

คำนิยาม 1. ให้ตัวหารร่วมมากของตัวเลข ก 1 และ ก 2 เท่ากับหนึ่ง จากนั้นจึงเรียกหมายเลขเหล่านี้ หมายเลขโคไพรม์โดยไม่มีตัวหารร่วมกัน

ทฤษฎีบท 1. ถ้า ก 1 และ ก 2 หมายเลขโคไพรม์ และ λ ตัวเลขจำนวนหนึ่ง แล้วก็ตัวหารร่วมของตัวเลข แล 1 และ ก 2 เป็นตัวหารร่วมของตัวเลขด้วย λ และ ก 2 .

การพิสูจน์. พิจารณาอัลกอริทึมแบบยุคลิดในการค้นหาตัวหารร่วมมากของตัวเลข ก 1 และ ก 2 (ดูด้านบน)

.

จากเงื่อนไขของทฤษฎีบท จะได้ว่าตัวหารร่วมมากของจำนวนนั้นเป็นไปตามนั้น ก 1 และ ก 2 และดังนั้น กและ ก n+1 คือ 1 นั่นคือ ก n+1 = 1

ลองคูณความเท่าเทียมกันทั้งหมดนี้ด้วย λ , แล้ว

.

ให้ตัวหารร่วม ก 1 λ และ ก 2 ใช่ δ - แล้ว δ มาเป็นตัวคูณใน ก 1 λ , ม 1 ก 2 λ และใน ก 1 λ -ม 1 ก 2 λ =ก 3 λ (ดู "การหารตัวเลข" คำแถลง 2) ต่อไป δ มาเป็นตัวคูณใน ก 2 λ และ ม 2 ก 3 λ และดังนั้นจึงรวมเป็นปัจจัยใน ก 2 λ -ม 2 ก 3 λ =ก 4 λ .

เมื่อให้เหตุผลเช่นนี้ เราก็มั่นใจว่า δ มาเป็นตัวคูณใน ก n−1 λ และ ม n−1 ก n λ และด้วยเหตุนี้จึงเข้า ก n−1 λ −ม n−1 ก n λ =ก n+1 λ - เพราะ ก n+1 =1 แล้ว δ มาเป็นตัวคูณใน λ - ดังนั้นจำนวน δ เป็นตัวหารร่วมของตัวเลข λ และ ก 2 .

ให้เราพิจารณากรณีพิเศษของทฤษฎีบท 1

ผลที่ตามมา 1. อนุญาต กและ คจำนวนเฉพาะค่อนข้างมาก ข- แล้วผลิตภัณฑ์ของพวกเขา เครื่องปรับอากาศเป็นจำนวนเฉพาะเทียบกับ ข.

จริงหรือ. จากทฤษฎีบท 1 เครื่องปรับอากาศและ ขมีตัวหารร่วมเหมือนกันกับ คและ ข- แต่ตัวเลข คและ ขค่อนข้างง่าย เช่น มีตัวหารร่วมเพียงตัวเดียวคือ 1. แล้ว เครื่องปรับอากาศและ ขมีตัวหารร่วมร่วมตัวเดียวคือ 1 ดังนั้น เครื่องปรับอากาศและ ขเรียบง่ายซึ่งกันและกัน

ผลที่ตามมา 2. อนุญาต กและ ขตัวเลขโคไพรม์แล้วปล่อยให้ ขแบ่ง อาก้า- แล้ว ขแบ่งและ เค.

จริงหรือ. จากเงื่อนไขการอนุมัติ อาก้าและ ขมีตัวหารร่วมกัน ข- โดยอาศัยทฤษฎีบทที่ 1 ขจะต้องเป็นตัวหารร่วม ขและ เค- เพราะฉะนั้น ขแบ่ง เค.

ข้อพิสูจน์ที่ 1 สามารถสรุปได้

ผลที่ตามมา 3. 1. ให้ตัวเลข ก 1 , ก 2 , ก 3 , ..., ก m เป็นจำนวนเฉพาะสัมพันธ์กับจำนวน ข- แล้ว ก 1 ก 2 , ก 1 ก 2 · ก 3 , ..., ก 1 ก 2 ก 3 ··· ก m ผลคูณของจำนวนเหล่านี้เป็นจำนวนเฉพาะสัมพันธ์กับจำนวนนั้น ข.

2. ขอให้เรามีตัวเลขสองแถว

โดยให้ทุกจำนวนในชุดแรกเป็นจำนวนเฉพาะในอัตราส่วนของทุกจำนวนในชุดที่สอง แล้วสินค้า

คุณต้องค้นหาตัวเลขที่หารด้วยตัวเลขเหล่านี้แต่ละตัว

ถ้าจำนวนนั้นหารด้วย ก 1 ก็จะมีรูปแบบ ซา 1 ที่ไหน สหมายเลขบางอย่าง ถ้า ถามเป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข ก 1 และ ก 2 แล้ว

ที่ไหน ส 1 เป็นจำนวนเต็ม แล้ว

เป็น ผลคูณร่วมน้อยของตัวเลข ก 1 และ ก 2 .

ก 1 และ ก 2 ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ จากนั้นก็เป็นตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนนั้น ก 1 และ ก 2:

เราจำเป็นต้องหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเหล่านี้

จากที่กล่าวมาข้างต้นจะเป็นไปตามจำนวนทวีคูณใดๆ ก 1 , ก 2 , ก 3 ต้องเป็นจำนวนทวีคูณ ε และ ก 3 และกลับ. ให้ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข ε และ ก 3 ใช่ ε 1. ต่อไปเป็นทวีคูณของตัวเลข ก 1 , ก 2 , ก 3 , ก 4 ต้องเป็นจำนวนทวีคูณ ε 1 และ ก 4. ให้ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข ε 1 และ ก 4 ใช่ ε 2. ดังนั้นเราจึงพบว่ามีจำนวนทวีคูณทั้งหมด ก 1 , ก 2 , ก 3 ,...,ก m ตรงกับผลคูณของจำนวนหนึ่ง ε n ซึ่งเรียกว่าตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนที่กำหนด

ในกรณีพิเศษเมื่อมีตัวเลข ก 1 , ก 2 , ก 3 ,...,ก m ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ จากนั้นก็เป็นตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนนั้น ก 1 , ก 2 ดังแสดงข้างต้น มีรูปแบบ (3) ต่อไปตั้งแต่ ก 3 ไพรม์สัมพันธ์กับตัวเลข ก 1 , ก 2 แล้ว ก 3 จำนวนเฉพาะ ก 1 · ก 2 (ข้อพิสูจน์ 1) หมายถึงตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข ก 1 ,ก 2 ,ก 3 เป็นตัวเลข ก 1 · ก 2 · ก 3. เมื่อพิจารณาในทำนองเดียวกัน เราก็ได้ข้อความต่อไปนี้

คำแถลง 1. ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนโคไพรม์ ก 1 , ก 2 , ก 3 ,...,ก m เท่ากับผลคูณของมัน ก 1 · ก 2 · ก 3 ··· กม.

คำแถลง 2. จำนวนใดๆ ที่หารด้วยจำนวนโคไพรม์แต่ละตัวลงตัว ก 1 , ก 2 , ก 3 ,...,ก m ก็หารด้วยผลคูณของมันได้เช่นกัน ก 1 · ก 2 · ก 3 ··· กม.

ตัวหารร่วมมาก

คำจำกัดความ 2

ถ้าจำนวนธรรมชาติ a หารด้วยจำนวนธรรมชาติ $b$ ลงตัว แล้ว $b$ จะเรียกว่าตัวหารของ $a$ และ $a$ จะเรียกว่าผลคูณของ $b$

ให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติ จำนวน $c$ เรียกว่าตัวหารร่วมของทั้ง $a$ และ $b$

เซตของตัวหารร่วมของตัวเลข $a$ และ $b$ นั้นมีจำกัด เนื่องจากไม่มีตัวหารใดมากกว่า $a$ ได้ ซึ่งหมายความว่าในบรรดาตัวหารเหล่านี้จะมีตัวหารที่ใหญ่ที่สุด ซึ่งเรียกว่าตัวหารร่วมมากที่สุดของตัวเลข $a$ และ $b$ และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ต่อไปนี้:

$GCD\(a;b)\ หรือ \D\(a;b)$

หากต้องการหาตัวหารร่วมมากของตัวเลขสองตัวที่คุณต้องการ:

1. หาผลคูณของตัวเลขที่พบในขั้นตอนที่ 2 จำนวนที่ได้จะเป็นตัวหารร่วมมากที่ต้องการ

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหา gcd ของตัวเลข $121$ และ $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

เลือกตัวเลขที่รวมอยู่ในส่วนขยายของตัวเลขเหล่านี้

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

หาผลคูณของตัวเลขที่พบในขั้นตอนที่ 2 จำนวนที่ได้จะเป็นตัวหารร่วมมากที่ต้องการ

$GCD=2\cdot 11=22$

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหา gcd ของ monomials $63$ และ $81$

เราจะพบตามอัลกอริธึมที่นำเสนอ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้:

ลองแยกตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

เราเลือกตัวเลขที่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขเหล่านี้

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

ลองหาผลคูณของตัวเลขที่พบในขั้นตอนที่ 2 กัน จำนวนที่ได้จะเป็นตัวหารร่วมมากที่ต้องการ

$GCD=3\cdot 3=9$

คุณสามารถค้นหา gcd ของตัวเลขสองตัวได้ด้วยวิธีอื่น โดยใช้ชุดตัวหารของตัวเลข

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหา gcd ของตัวเลข $48$ และ $60$

สารละลาย:

ลองหาเซตตัวหารของตัวเลข $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

ทีนี้ ลองหาเซตตัวหารของจำนวน $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

ลองหาจุดตัดของชุดเหล่านี้: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ชุดนี้จะกำหนดชุดของตัวหารร่วมของตัวเลข $48$ และ $60 $. องค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดในชุดนี้จะเป็นตัวเลข $12$ ซึ่งหมายความว่าตัวหารร่วมมากที่สุดของตัวเลข $48$ และ $60$ คือ $12$

คำจำกัดความของ NPL

คำจำกัดความ 3

ผลคูณร่วมของจำนวนธรรมชาติ$a$ และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติที่เป็นผลคูณของทั้ง $a$ และ $b$

ผลคูณร่วมของตัวเลขคือตัวเลขที่หารด้วยตัวเลขเดิมโดยไม่มีเศษ ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวเลข $25$ และ $50$ ตัวคูณร่วมจะเป็นตัวเลข $50,100,150,200$ เป็นต้น

ตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุดจะเรียกว่าตัวคูณร่วมน้อย และจะแสดงแทน LCM$(a;b)$ หรือ K$(a;b).$

หากต้องการค้นหา LCM ของตัวเลขสองตัว คุณต้อง:

1. แยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ
2. เขียนตัวประกอบที่เป็นส่วนหนึ่งของจำนวนแรกและเพิ่มตัวประกอบที่เป็นส่วนหนึ่งของจำนวนที่สองและไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของจำนวนแรกลงไป

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหา LCM ของตัวเลข $99$ และ $77$

เราจะพบตามอัลกอริธึมที่นำเสนอ สำหรับสิ่งนี้

แยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

$99=3\cdot 3\cdot 11$

เขียนปัจจัยที่รวมอยู่ในข้อแรก

เพิ่มตัวคูณที่เป็นส่วนหนึ่งของวินาทีและไม่ใช่ส่วนหนึ่งของตัวแรก

หาผลคูณของตัวเลขที่พบในขั้นตอนที่ 2 จำนวนที่ได้จะเป็นตัวคูณร่วมน้อยที่ต้องการ

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

การรวบรวมรายการตัวหารของตัวเลขมักเป็นงานที่ต้องใช้แรงงานมาก มีวิธีค้นหา GCD ที่เรียกว่าอัลกอริทึมแบบยุคลิด

ข้อความที่ใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด:

ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติ และ $a\vdots b$ แล้ว $D(a;b)=b$

ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติเช่นนั้น $b

เมื่อใช้ $D(a;b)= D(a-b;b)$ เราจะสามารถลดจำนวนที่กำลังพิจารณาได้อย่างต่อเนื่องจนกว่าจะถึงคู่ของตัวเลข โดยที่หนึ่งในนั้นหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งลงตัว จากนั้นจำนวนที่น้อยกว่านี้จะเป็นตัวหารร่วมมากที่สุดเท่าที่ต้องการสำหรับตัวเลข $a$ และ $b$

คุณสมบัติของ GCD และ LCM

1. ตัวคูณร่วมใดๆ ของ $a$ และ $b$ จะหารด้วย K$(a;b)$ ลงตัว
2. ถ้า $a\vdots b$ ดังนั้น К$(a;b)=a$

ถ้า K$(a;b)=k$ และ $m$ เป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น K$(am;bm)=km$

ถ้า $d$ เป็นตัวหารร่วมของ $a$ และ $b$ แล้ว K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

ถ้า $a\vdots c$ และ $b\vdots c$ แล้ว $\frac(ab)(c)$ จะเป็นผลคูณร่วมของ $a$ และ $b$

สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ $a$ และ $b$ จะถือว่ามีความเท่าเทียมกัน

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

ตัวหารร่วมของตัวเลข $a$ และ $b$ คือตัวหารของ $D(a;b)$

นิพจน์และปัญหาทางคณิตศาสตร์ต้องใช้ความรู้เพิ่มเติมมากมาย NOC เป็นหนึ่งในหัวข้อหลัก โดยเฉพาะอย่างยิ่งมักใช้ในหัวข้อนี้ มีการศึกษาในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย และไม่ยากที่จะเข้าใจเนื้อหา บุคคลที่คุ้นเคยกับพลังและตารางสูตรคูณจะไม่มีปัญหาในการระบุตัวเลขที่จำเป็นและการค้นพบ ผลลัพธ์.

คำนิยาม

ตัวคูณร่วมคือจำนวนที่สามารถหารให้เป็นตัวเลขสองตัวพร้อมกันได้อย่างสมบูรณ์ (a และ b) ส่วนใหญ่แล้วตัวเลขนี้ได้มาจากการคูณตัวเลขเดิม a และ b ตัวเลขจะต้องหารด้วยตัวเลขทั้งสองพร้อมกันโดยไม่มีการเบี่ยงเบน

NOC คือชื่อย่อที่ใช้สำหรับการกำหนด โดยรวบรวมจากตัวอักษรตัวแรก

วิธีรับหมายเลข

วิธีการคูณตัวเลขไม่เหมาะกับการค้นหา LCM เสมอไป แต่จะเหมาะกับตัวเลขหลักเดียวหรือสองหลักมากกว่า เป็นเรื่องปกติที่จะแบ่งปัจจัยออกเป็นหลายปัจจัย ยิ่งมีจำนวนปัจจัยมากเท่าใด ก็จะยิ่งมีปัจจัยมากขึ้นเท่านั้น

ตัวอย่าง #1

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด โรงเรียนมักจะใช้ตัวเลขเฉพาะ หลักเดียวหรือสองหลัก ตัวอย่างเช่น คุณต้องแก้โจทย์ต่อไปนี้ หาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 7 และ 3 วิธีแก้ก็ค่อนข้างง่าย แค่คูณพวกมันเข้าด้วยกัน ด้วยเหตุนี้จึงมีเลข 21 และไม่มีจำนวนที่เล็กกว่านี้เลย

ตัวอย่างหมายเลข 2

งานเวอร์ชันที่สองนั้นยากกว่ามาก ให้หมายเลข 300 และ 1260 โดยจำเป็นต้องค้นหา LOC เพื่อแก้ไขปัญหา จะดำเนินการต่อไปนี้:

การแยกย่อยตัวเลขตัวแรกและตัวที่สองให้เป็นตัวประกอบอย่างง่าย 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7 ขั้นตอนแรกเสร็จสมบูรณ์

ขั้นตอนที่สองเกี่ยวข้องกับการทำงานกับข้อมูลที่ได้รับแล้ว แต่ละหมายเลขที่ได้รับจะต้องมีส่วนร่วมในการคำนวณผลลัพธ์สุดท้าย สำหรับแต่ละปัจจัย จำนวนครั้งที่ใหญ่ที่สุดจะนำมาจากจำนวนเดิม LCM เป็นตัวเลขทั่วไป ดังนั้นตัวประกอบของตัวเลขจะต้องซ้ำกันในแต่ละตัว แม้แต่ตัวประกอบที่อยู่ในสำเนาเดียวก็ตาม ตัวเลขเริ่มต้นทั้งสองมีตัวเลข 2, 3 และ 5 อยู่ในกำลังที่ต่างกัน 7 จะปรากฏในกรณีเดียวเท่านั้น

ในการคำนวณผลลัพธ์สุดท้าย คุณจะต้องนำแต่ละตัวเลขที่มีค่ามากที่สุดของกำลังที่มากที่สุดมาแสดงในสมการ สิ่งที่เหลืออยู่คือการคูณและรับคำตอบ หากกรอกถูกต้อง งานจะแบ่งออกเป็นสองขั้นตอนโดยไม่มีคำอธิบาย:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

นั่นคือปัญหาทั้งหมด หากคุณพยายามคำนวณจำนวนที่ต้องการด้วยการคูณ คำตอบก็จะไม่ถูกต้องอย่างแน่นอน เนื่องจาก 300 * 1260 = 378,000

การตรวจสอบ:

6300/300 = 21 - ถูกต้อง;

6300/1260 = 5 - ถูกต้อง

ความถูกต้องของผลลัพธ์ที่ได้จะถูกกำหนดโดยการตรวจสอบ - หาร LCM ด้วยตัวเลขดั้งเดิมทั้งสอง หากตัวเลขเป็นจำนวนเต็มในทั้งสองกรณี แสดงว่าคำตอบนั้นถูกต้อง

NOC หมายถึงอะไรในวิชาคณิตศาสตร์?

ดังที่คุณทราบ ไม่มีฟังก์ชันใดที่ไร้ประโยชน์ในคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันนี้ก็ไม่มีข้อยกเว้น วัตถุประสงค์ทั่วไปที่สุดของจำนวนนี้คือการลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม ปกติจะเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5-6 นอกจากนี้ยังเป็นตัวหารร่วมสำหรับตัวคูณทั้งหมดด้วย หากมีเงื่อนไขดังกล่าวในโจทย์ นิพจน์ดังกล่าวสามารถค้นหาตัวคูณได้ไม่เพียงแต่จากตัวเลขสองตัวเท่านั้น แต่ยังค้นหาจำนวนที่มากกว่านั้นด้วย เช่น สาม ห้า และอื่นๆ ยิ่งมีจำนวนมากขึ้นเท่าใด การดำเนินการในงานก็จะมากขึ้นเท่านั้น แต่ความซับซ้อนจะไม่เพิ่มขึ้น

ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดตัวเลข 250, 600 และ 1500 คุณจะต้องค้นหา LCM ทั่วไป:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - ตัวอย่างนี้อธิบายการแยกตัวประกอบโดยละเอียดโดยไม่มีการลดลง

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

ในการเขียนนิพจน์จำเป็นต้องระบุปัจจัยทั้งหมดในกรณีนี้คือให้ 2, 5, 3 - สำหรับตัวเลขทั้งหมดนี้จำเป็นต้องกำหนดระดับสูงสุด

ข้อควรสนใจ: ปัจจัยทั้งหมดจะต้องถูกทำให้ง่ายขึ้นโดยสมบูรณ์ หากเป็นไปได้ ให้แยกย่อยเป็นระดับหลักเดียว

การตรวจสอบ:

1) 3000/250 = 12 - ถูกต้อง;

2) 3000/600 = 5 - จริง;

3) 3000/1500 = 2 - ถูกต้อง

วิธีนี้ไม่จำเป็นต้องใช้ลูกเล่นหรือความสามารถระดับอัจฉริยะ ทุกอย่างเรียบง่ายและชัดเจน

อีกวิธีหนึ่ง

ในทางคณิตศาสตร์ มีหลายสิ่งเชื่อมโยงกัน หลายสิ่งสามารถแก้ไขได้ด้วยสองวิธีขึ้นไป วิธีเดียวกันคือการค้นหาตัวคูณร่วมน้อย LCM วิธีการต่อไปนี้สามารถใช้ได้ในกรณีของตัวเลขสองหลักธรรมดาและตัวเลขหลักเดียว ตารางจะถูกรวบรวมโดยป้อนตัวคูณในแนวตั้ง ตัวคูณในแนวนอน และผลิตภัณฑ์จะถูกระบุในเซลล์ที่ตัดกันของคอลัมน์ คุณสามารถสะท้อนตารางโดยใช้เส้นจดตัวเลขและเขียนผลลัพธ์ของการคูณตัวเลขนี้ด้วยจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึงอนันต์บางครั้ง 3-5 จุดก็เพียงพอแล้วตัวเลขที่สองและตัวต่อมาต้องผ่านกระบวนการคำนวณเดียวกัน ทุกอย่างเกิดขึ้นจนกว่าจะพบตัวคูณร่วม

ด้วยตัวเลข 30, 35, 42 คุณต้องค้นหา LCM ที่เชื่อมต่อกับตัวเลขทั้งหมด:

1) ผลคูณของ 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 เป็นต้น

2) ผลคูณของ 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 เป็นต้น

3) ผลคูณของ 42: 84, 126, 168, 210, 252 เป็นต้น

จะสังเกตได้ว่าตัวเลขทั้งหมดมีความแตกต่างกันมาก โดยตัวเลขทั่วไปเพียงตัวเดียวในนั้นคือ 210 จึงจะเป็น NOC ในกระบวนการที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณนี้ยังมีตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดซึ่งคำนวณตามหลักการที่คล้ายกันและมักพบในปัญหาข้างเคียง ความแตกต่างมีขนาดเล็กแต่ค่อนข้างสำคัญ LCM เกี่ยวข้องกับการคำนวณตัวเลขที่หารด้วยค่าเริ่มต้นที่กำหนดทั้งหมด และ GCD เกี่ยวข้องกับการคำนวณค่าที่ใหญ่ที่สุดที่ใช้หารตัวเลขเดิม